Hajek–Renyi型不等式\（（α，β））-混合序列及其在变点模型中的应用

摘要

本文研究了Hajek–Renyi型不等式\（（α，β））-混合序列。作为结果的一个重要应用，我们进一步研究了平均变点模型的CUSUM型估计\（（α，β））-混合序列。我们建立了CUSUM估计的弱相合收敛速度。此外，我们还提供了一些仿真研究和实际数据示例来支持理论结果。

1引言

不等式在数学科学的几乎所有分支中都发挥着重要作用。概率不等式是概率论和数理统计中的重要工具。对于概率极限理论和统计大样本理论，几乎所有重要的结果都是通过建立强大的概率不等式来证明的。让\（{X_{n}，n\ge1\}）是在概率空间上定义的随机变量序列\（（\Omega，\mathscr{F}，P）\）.如果\（{b{n}，n\ge1\}）是一个正数的非递减实数序列\（{X_{n}，n\ge1\}）是一系列独立随机变量\（EX_{n}=0\），那么对于任何\（\varepsilon>0\）和正整数\（m\len\）、Hajek和Renyi[7]得到了以下重要不等式：

$$开始{对齐}P\Biggl（\max_{m\le-k\le-n}\Biggl\vert\frac{1}{b_{k}}\sum_{i=1}^{k}X_{i}\Bigr\vert>\varepsilon\Biggr）\le\varepsion^{-2}\Bigl{2}}+\压裂{1}{b{m}^{2}{\总和{i=1}^{m} E类{X_{i}}^{2}\Biggr）。\结束{对齐}$$

自哈耶克-雷尼型不等式提出以来，许多学者对它表现出了浓厚的兴趣。例如，Liu等人[15]将Hajek–Renyi不等式推广到负相关随机变量，并利用该不等式证明了NA随机变量的Marcinkiewicz强大数定律。普拉卡萨·拉奥[18]得到了关联序列的一个Hajek–Renyi型不等式，并给出了一些应用。Prakasa Rao不等式[18]由Sung改进[23]，并且还介绍了相关随机变量的一些应用。Hu等人[11]提高了Sung的成绩[23]采用与宋不同的半鞅方法。Yang等人[27]将Hajek–Renyi型不等式推广到两两负象限相关序列\（L^{r}\）(\（r>1\）)通过建立不等式，得到了这些序列的强大数定律。万[24]建立了Hajek–Renyi不等式ρ-混合序列。邓等人[4]研究了Hajek–Renyi型不等式\（0<第2页）对于扩展负相关（END）随机变量序列。

本文进一步研究了Hajek–Renyi型不等式\（（α，β））-混合随机变量\（1<第2页）让我们回顾一下\（（α，β））-混合随机变量，这是由Bradley和Bryc首先介绍的[1].

让\（{X_{n}，n\ge1\}）是定义在概率空间上的随机变量序列\（（\Omega，\mathscr{F}，P）\）.表示\（S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X（X）_{i} \），\（第1页）、和\（S_{0}=0\）.让n个和米为正整数，且设\（\mathscr{F}（F）_{n} ^｛m｝=\西格玛（X_｛i｝，n\le i\le m）\）.给定σ-代数\（\mathscr{A}\）和\（\mathscr{B}\）在里面\（\mathscr{F}\），让

$$\begin{aligned}\lambda（\mathscr{A}，\mathscr{B}）=\sup_{X\in L_{1/\alpha}（\mathscr{A{），Y\in L_{1/\beta}（\ mathscr}）}\frac{\vert EXY-EXEY\vert}{\vert X\vert_{1/\ alpha}\vert Y\vert_{1/\beta}}，\ end{alinged}$$

哪里\（0<\alpha\），\（β<1），\（α+β=1）、和\（\|X\|_{p}=（E|X|^{p}）^{1/p}\）.定义\（（α，β））-混合系数

$$\begin{aligned}\lambda（n）=\sup_{k\ge1}\lampda\bigl（\mathscr{F}（F）_{1} ^{k}，\mathscr{F}（F）_{k+n}^{\infty}\biger），\quad n \ge 1。\结束{对齐}$$

定义1.1

A序列 \（{X_{n}，n\ge1\}）随机变量的\（（α，β））-混合，如果\（\lambda（n）\向下箭头0\）作为\（n\rightarrow\infty\）。

自从\（（α，β））-混合的概念被提出，许多学者对此进行了研究，并得到了许多极限定理。例如，布拉德利和布莱克[1]得到了的中心极限定理\（（α，β））-绝对正则条件下的混合序列；邵[20]进一步研究了\（（α，β））-混合序列；蔡[2]研究平稳条件下联合概率密度函数和条件概率密度函数递推估计的强相合性和几乎必然收敛速度\（（α，β））-混合过程；卢和林[16]建立了\（（α，β））-混合序列；Shen等人[21]给出了力矩不等式\（（α，β））-基于Lu和Lin的混合序列[16]并得到了的收敛定理\（（α，β））-混合序列；高[6]得到了随机占优的强稳定性的结果\（（\alpha，\beta）\）-混合序列；于[28]利用矩不等式证明了Rosenthal型不等式\（（α，β））-并研究了混合序列的强收敛性；Samura等人[19]研究了部分线性回归模型估计量的强相合性、完全相合性和平均相合性\（（\alpha，\beta）\）-混合错误。

受上述文献的启发，我们进一步研究了Hajek–Renyi型不等式\（（α，β））-采用Marcinkiewicz–Zygmund型最大不等式混合随机变量。作为应用，我们研究了基于\（（α，β））-混合序列。此外，我们还提供了一些仿真研究和实际数据示例来验证理论结果。

这项工作的布局安排如下。主要结果见第节。 2作为一个应用，第节中给出了一个变点模型。 三第节提供了一些数值分析和实际数据示例。 4和5分别是。在本文中，让C类，\（C_{1}，C_{2}，\点\）表示一些正常数，其值在不同的地方可能不同，\（\log x=\ln\max\{e，x\}\）、和\（\lfloor x \rfloor）表示不超过的最大整数x个。

2Hajek–Renyi型不等式

我们首先提出了Marcinkiewicz–Zygmund型最大不等式\（（α，β））-混合随机变量，将用于证明我们的主要结果。

引理2.1

（Samura等人[19])

让 \（1<第2页）。让 \（\｛X_｛n｝，n \ ge 1 \｝\） 是一系列 \（（α，β））-将随机变量与 \（EX_{n}=0\），\（E|X_{n}|^{p}<\infty\），和 \（\sum_{n=1}^{\infty}（\lambda（n）），哪里 \（0<α，β<1） 和 \（α+β=1）。让 \（{a{ni}，1个i个n，n个1） 是实数数组。然后存在一个正常数 C类 仅取决于 α，β，和 \（\lambda（\cdot）\） 这样的话

$$\begin{aligned}E\max_{1\lek\len}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{k} 一个_{ni}X_{i} \Biggr\vert^{p}\le C（\logn）^{p{sum_{i=1}^{n}\verta{ni}\vert^}\vert X_{i}\vert_p}。\结束{对齐}$$

(2.1)

拿\（a{ni}=1\）英寸(2.1)，我们有

$$\begin{aligned}E\max_{1\lek\len}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{k} X（X）_{i} \Biggr\vert^{p}\le C（\logn）^{p{sum_{i=1}^{n}\vert X_{i}\vert^}。\结束{对齐}$$

(2.2)

现在我们将陈述并证明本文的主要结果。第一个是Hajek–Renyi型不等式\（（α，β））-混合序列。

定理2.1

（Hajek–Renyi型不等式）

让 \（1<第2页）。让 \（{X_{n}，n\ge1\}） 是一个序列 \（（α，β））-将随机变量与 \（EX_{n}=0\），\（E|X_｛n｝|^｛p｝<\infty\），和 \（\sum_{n=1}^{\infty}（\lambda（n）），哪里 \（0<α，β<1） 具有 \（α+β=1）。让 \（{b{n}，n\ge1\}） 是一个不递减的正数序列。那么对于任何 \（\varepsilon>0\） 和 \（第1页），

$$开始{对齐}P\Biggl（\max_{1\le-k\le-n}\Biggl\vert\frac{1}{b_{k}}\sum_{i=1}^{k}X_{i}\Bigr\vert\ge\varepsilon\Biggr）\le\frac{C{（\logn）^{P}}{varepsilen^P}}\vert^{P}}{b{i}^{P{}}，\end{aligned}$$

哪里 C类 仅取决于 α，β，\（\lambda（\cdot）\），和 第页。

定理的证明2.1

设置\（S_｛k｝=\ sum_｛i=1｝）^{k} X（X）_{i} \）和\（b_{0}=0\）.假设\（\sum_{i=1}^{0}X_{i} /b_{i}=0\）。很容易验证

$$开始{对齐}\frac{S_{k}}{b_{k}=&\frac}1}{b_ak}}\sum_{i=1}^{k}X_{i}=\frac[1}{b_Ak}}\sum_{i=1}^{k}\sum__{j} -b个_{j-1}）\压裂{X{i}}{b{i}{\\=&\压裂{1}{b_{k}}\sum_{j=1}^{k}（b_{j} -b个_{j-1}）\sum_{i=j}^{k}\frac{X{i}{b_{i}}\\le&\max_{1\lej\lek}\Biggl\vert\sum{i=j}^{k}\frac{X{i}}{b_ai}}\Bigr\vert。\结束{对齐}$$

因此

$$开始{aligned}\biggl\{\biggl/vert\frac{S_{k}}{b_{k}{biggr\vert\ge\varepsilon\biggr\}\subset\biggl\}\max_{1\le-j\le-k}\biggl \vert\sum_{i=j}^{k}\frac{X_{i}{{i}}$$

因此

$$开始{aligned}\biggl\{max_{1\le k\le-n}\bigbl\vert\frac{S_{k}}{b_{k}{biggr\vert\ge\varepsilon\biggr}\subset&\biggl biggr\vert\ge\varepsilon\biggr\}\\=&\biggl\{\max_{1\lej\lek\len}\biggl/vert\sum_{i=1}^{k}\frac{X_{i}}{b_{i{}-\和{i=1}^{j-1}\frac{X{i}{b_{i}}\Biggr\vert\ge\varepsilon\Biggr}\\\subset&\Biggl\{max_{1\lej\len}\Bigl\vert\sum{i=1{^{j}\frac{X{i}{b_ai}}第页。\结束{对齐}$$

(2.3)

发件人(2.3)我们有

$$\开始{对齐}P\biggl\{\max_{1\le k\le-n}\biggl \vert\frac{S_k}}{b_{k}}\bigr\vert\ge\varepsilon\biggr}\le P\biggl \{max_{2\le j\le n}\biggl\vert\sum_{i=1}^{j}\frac{X_{i}{{b_i}}}\biggr \vert\ge \frac{\varepsilon}{2}\biggr\}。\结束{对齐}$$

(2.4)

根据马尔可夫不等式和(2.2)我们有

$$开始{对齐}P\Biggl\{\max_{1\le-j\le-n}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{j}\frac{X_{i}}{b_{i{}}\Bigr\vert\ge\frac}{2}\Biggr\}\le&\frac_2^{P}{\varepsilon^{P{}E\Biggl（max_{1\le-j\ le-n}\ Biggl \vert\sum_{i=1}^{j}\frac{X_{i}{b_{i{}\Biggr\vert^{P}\Bigr）\\le&\ frac{C{（\logn）^{P{}}{varepsilon^{pneneneep}\sum_{i=1}^{n}\frac｛E\vert X_｛i｝\vert ^｛p｝｝｛b_｛i｝^｛p｝｝。\结束{对齐}$$

(2.5)

最后，定理的期望结果2.1紧随其后(2.4)和(2.5). □

根据定理2.1我们可以进一步得到以下结果。

定理2.2

（广义Hajek–Renyi型不等式）

让 \（1<第2页）。让 \（{X_{n}，n\ge1\}） 是一系列 \（（α，β））-将随机变量与 \（EX_{n}=0\），\（E|X_｛n｝|^｛p｝<\infty\），和 \（\sum_{n=1}^{\infty}（\lambda（n）），哪里 \（0<α，β<1） 具有 \（α+β=1）。让 \（{b{n}，n\ge1\}） 是一个不递减的正数序列。那么对于任何 \（\varepsilon>0\） 和正整数 \（m>n\），我们有

$$开始{对齐}P\Biggl（\max_{n\lek\lem}\Biggl\vert\frac{1}{b_{k}}\sum_{j=1}^{k}X_{j}\Bigr\vert\ge\varepsilon\Biggr）\le\frac{C{（\logn）^{P}}{varepsilen^{P{}\Bigl（\frac}{1}{b_}n}^{P>}和{j=1}^{n} E类\vert X_{j}\vert^{p}+\sum_{j=n+1}^{m}\frac{E\vert X{j}\ vert^}{b_{j{^{p{}\Biggr），\end{aligned}$$

哪里 C类 仅取决于 α，β，\（\lambda（\cdot）\），和 第页。

定理的证明2.2

请注意

$$\begin{aligned}\max_{n\lek\lem}\Biggl\vert\frac{1}{b_{k}}\sum_{j=1}^{k}X_{j}\Bigr\vert\le\frac{1'{b_}}\Biggl\vert\sum{j=1}^{n}X_j}\Biggr\vert+max_{n+1 \lek\le m}\bigl\vert_frac{1}{b_{k}}\sum_{j=n+1}^{k}X{j}\Biggr\vert。\结束{对齐}$$

由此可见

$$开始{aligned}\Biggl（\max_{n\le-k\le-m}\Bigl\vert\frac{1}{b_{k}}\sum_{j=1}^{k}X_{j}\Bigr\vert\ge\varepsilon\Biggr）\子集\Biggl（\frac{1\{b_}n}}\Biggl\vert_sum_j=1}^{n}X_{j}\Bigcr\vert\ge\frac{varc{epsilon}{2}\Biggr）\cup\Biggl（\max_{n+1\lek\lem}\Bigl\vert\frac{1}{b_{k}}\sum_{j=n+1}^{k}X{j}\Biggr\vert\ge\frac{\varepsilon}{2}\Biggr）。\结束{对齐}$$

因此

$$开始{对齐}&P\Biggl（\max_{n\lek\lem}\Biggl\vert\frac{1}{b_{k}}\sum_{j=1}^{k}X_{j}\Bigr\vert\ge\varepsilon\Biggr）\ge\frac{\varepsilon}{2}\Biggr）+P\Biggl（\max_{n+1\lek\lem}\Bigl\vert\frac{1}{b_{k}}\sum_{j=n+1}^{k}X_{j}\Biggr\vert\ge\frac{\varepsilon}{2}\Biggr）。\结束{对齐}$$

（2.6）

现在我们考虑(2.6). 利用马尔可夫不等式和引理2.1我们有

$$开始{对齐}P\Biggl（\frac{1}{b_{n}}\Biggl\vert\sum_{j=1}^{n}X_{j}\Bigr\vert\ge\frac}\varepsilon}{2}\Biggr）\le\frac[2]^{p} b_{n} ^{p}}E\Biggl\vert\sum_{j=1}^{n}X_{j}\Biggr\vert^{p{le\frac{C（\logn）^{pneneneep}{varepsilon^{p} b条_{n} ^{p}}\sum_{j=1}^{n}E\vert X_{j}\vert^{p{。\结束{对齐}$$

(2.7)

对于第二项，应用定理2.1到\（{X_{n+i}，1\le-i\le-m-n\}），我们获得

$$开始{对齐}P\Biggl（\max_{n+1\lek\lem}\Biggl\vert\frac{1}{b_{k}}\sum_{j=n+1}^{k}X_{j}\Bigr\vert\ge\frac{varepsilon}{2}\Biggr）=&P\Bigl（\max_1\lek\ lem-n}\Bigl\vert\frac{1{b_}n+k}\sum _{j=1}^{k}X_{n+j}\Biggr\vert\ge\frac{\varepsilon}{2}\Bigr）\\le&\frac{C{（\logn）^{P}}{（\ varepsilen/2）^{P}}\sum_{j=1}^{m-n}\frac{E\vert X_{n+j}\vert^{p}}{b{n+j}^{p{}\\=&\frac}C{（\logn）^{p}}{varepsilon ^{p{}\sum_{j=n+1}^{m}\frac[E\vertX_{j}\vert^{p。\结束{对齐}$$

(2.8)

组合(2.6), (2.7)、和(2.8)，我们得到了预期的结果。这就完成了定理的证明。□

三变点模型的应用

首先，我们简要介绍了转换点模型。对于一些人\（0<\tau^{*}<1\），让\（k^{*}=\floor n\tau^{*{rfloor\）。对于\（第1页），假设观察结果\（X_{1}，\点，X_{n}\）满足模型要求

$$\开始{aligned}X_{i}=\mu+\delta_{n} 我\bigl（k^{*}+1\lei\len\bigr）+Z_{i}，\quad 1\lei\le n，\end{aligned}$$

(3.1)

其中平均参数μ，更改金额\（增量{n}\）、和更改点位置\（k^{*}\）未知，并且\（{Z_{i}，1\leqi\leqn\}）是均值为零的随机变量序列。我们表示为\（\tau^{*}=k^{*{/n\）变化点的比率。

估计值\（k^{*}\）和\（\套^{*}\）在模型中(3.1)基于CUSUM方法（见Cörgő和Horváth[三])分别定义为

$$\开始{aligned}\hat{k}_{n} （θ）=\min\Bigl\{k:\vertU_{k}\vert=\max_{1\leqj\leqn}\vert U_{j}\vert\Bigr\}\quad\text{{and}}\quat\hat{tau}_{n}（θ{k}_{n} /n，\结束{对齐}$$

(3.2)

哪里

$$开始{对齐}U_{k}=\biggl（\frac{k（n-k）}{n}\biggr）^{1-\theta}\biggl（\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} X（X）_{我}-\压裂{1}{n-k}\sum_{i=k+1}^{n} X_{i} \Biggr）\end{对齐}$$

(3.3)

和一些\（0\leq\theta<1）。

在过去的几十年里，许多统计学家研究了CUSUM型估计量的大样本性质。例如，霍瓦思和科科什卡[9]研究了长程相依平稳高斯随机变量变点CUSUM估计的渐近分布；拉维埃尔[14]在强混合强相依过程的变点估计问题中，给出了最小对比度估计的一些收敛性结果；哈里斯和怀利[8]建立了平稳序列均值变化点估计的统一框架，并给出了CUSUM估计的收敛速度；Shi等人[22]研究了NA序列下变点CUSUM估计的强收敛性和相应速度，并提出了一种搜索变点位置的迭代算法。最近关于变点分析的研究可以参考霍瓦思和赖斯的研究[10]，Jin等人[12]，Messer等人[17]，Xu等人[25]，Yang等人[26]，Ding等人[5]以及其中的参考文献。在本节中，我们研究了基于\（（α，β））-使用我们之前建立的Hajek–Renyi型不等式混合序列。我们列出了一些假设。

假设A.1

对于一些人\（1<第2页），让\（{Z_{n}，n\ge1\}）是一系列\（（α，β））-将随机变量与\（EZ_{i}=0\），\（\sup_{i\ge1}E|Z_{i}|^{p}<\infty\），且混合系数满足\（\sum_{n=1}^{\infty}（\lambda（n）），其中\（0<α，β<1）具有\（α+β=1）。

假设A.2

对于\（0\leθ<1\）和\（1<第2页），让

$$开始{aligned}\delta_{n}\neq 0\quad\text{和}\quad g_{n{（theta，p）/\delta_{n}\rightarrow0\quae\text{as}n\right箭头\infty。\结束{对齐}$$

哪里

$$g_｛n｝（\theta，p）=\textstyle\boot｛cases｝n^｛1/p-1｝\log n&&\text｛｛if｝｝｛0\le\ttheta<\frac｛1｝｛p｝｝，\\n^｛1/p-1｝\log ^｛1/p+1｝n&&\text｛if｝｝｛theta=\frac｛1｝｛p｝，\\n^｛\ttheta-1｝\log n&&\text｛if｝｝｛1｝｛p｝<\ttheta<1｝。\结束{cases}$$

(3.4)

定理3.1

Let假设A.1款和 A.2款感到满意。然后，对于任何 \（0θ<1），

$$\begin{aligned}\hat{\tau}_{n}（\theta）-\tau^{*}=O_{P}\bigl（g_{n{（\tea，P）/\vert\delta{n}\vert\bigr）。\结束{对齐}$$

定理的证明3.1

让\（tau_{n}=\floor k/n\floor）。对于任何\（0θ<1），由(3.1)和(3.2)我们有

$$\begin｛aligned｝EU_｛k｝（\theta）=&&biggl（\frac｛k（n-k）｝｛n｝\biggr）^｛1-\theta｝\biggl（\frac｛1｝｛k｝\sum_｛i=1｝^{k} EX公司_{我}-\压裂{1}{n-k}\sum_{i=k+1}^{n} EX公司_{i} \Biggr）\\=&\textstyle\begin{cases}-\delta_{n} n个^{1-\tau}\tau_{n}^{1-\theta}{（1-\tau_}n}）^{-\theta{{（1-\tau^{*}）}}，&{k\lek^{*{}}_{n} n个^{1-\tau{n}（1-\tau_n}）}^{1-\theta}{\tau_{n}}^{-\theta{{\tau^{*}}，&{k>k^{*{}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.5)

和

$$\开始{aligned}EU_{k^{*}}（\theta）=-\delta_{n} n个^{1-\theta}\bigl（\tau^{*}\bigr）^{1-\teata}{\bigl。\结束{对齐}$$

(3.6)

因此，科科什卡和莱普斯的（3.11）[13]我们有

$$开始{aligned}\vert\delta_{n}\vert_overline{\tau}n^{1-\theta}\bigl\vert{hat{\tau{}}_{无}-\tau^{*}\bigr\vert\le2\max_{1\lek\len-1}\bigl\vertU_{k}（θ）-EU_{k}（theta）\bigr\ vert，\end{aligned}$$

(3.7)

哪里\（上横线{\tau}:=（1-\theta）（\tau^{*}）^{-\theta}（1-\tau^}）.签署人(3.1)和(3.3)我们很容易看到

$$\开始{aligned}&\vert\delta_{n}\vert^｛-1｝n^{θ-1}\max_{1\le-k\len-1}\bigl\vertU_{k}（θ）-EU_{k}（theta）\bigr\vert\\&\quad\le\vert\delta_{n}\vert^{-1}个^{θ-1}最大值{1_{i} -出厂_{i} ）\Biggr\vert+\vert\delta_{n}\vert^{-1}个^{θ-1}max_{1\lek\len-1}frac{1}{（n-k）^{theta}}\Biggl\vert\sum_{i=k+1}^{n}（X_{i} -EX公司_{i} ）\Biggr\vert\\&\quad=\vert\delta_{n}\vert^{-1}个^{θ-1}最大值{1\lek\len-1}分形{1}{k^{θ子}}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{k} Z轴_{i} \Biggr\vert+\vert\delta_{n}\vert^{-1}个^｛\theta-1｝\max_｛1\le k\le n-1｝\frac｛1｝｛（n-k）^｛\theta｝｝\Biggl\vert\sum _｛i=k+1｝^{n} Z轴_{i} \Biggr\vert\\&\quad=i_{n1}+i_{n2}。\结束{对齐}$$

(3.8)

由(3.4), (3.7)、和(3.8)，证明定理3.1，我们必须证明

$$\begin{aligned}I_{ni}=O_{P}\bigl（g_{n}（theta，P）/\vert\delta{n}\vert\bigr），\quad I=1，2，\end{alinged}$$

哪里\（g{n}（θ，p））定义于(3.4). 对于任何\（M>0），它遵循定理2.1具有\（\sup_{i\ge1}E|Z_{i}|^{p}<\infty\）那个

$$\开始{aligned}&P\Biggl（\vert\delta_{n}\vert^{-1}个^{θ-1}max_{1\lek\len-1}frac{1}{k^{theta}}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{k} Z轴_{i} \Biggr\vert>Mg_{n}（θ，p）/\vert\delta_{n{vert\Biggr）\&\quad\le\frac{C_{1}n^{theta p-p}{（logn）^{p}}{M^{p{g_{n}^}}（theta，p）}\sum_{i=1}^{n}\frac}E\vert Z_{i}\vert^{pneneneep}{i^{thet p}}\\&\quad\le\textstyle\begin{cases}C_{2} M（M）^{-p}个^{1-p}（\log n）^{p} 克_{n} ^{-p}（θ，p），&{0\le\theta<\frac{1}{p}}，\\C_{3} 米^｛-p｝n^{1-p}（\logn）^{p+1}g{n}^{-p}（\theta，p），&{\theta=\frac{1}{p}}，\\C_{4} M（M）^{-p}个^｛p（θ-1）｝（\log n）^{p} 克_{n} ^{-p}（θ，p），&{frac{1}{p}<theta<1}。\结束{cases}\显示样式\\&\四\le C_{5} M（M）^{-p}。\结束{对齐}$$

(3.9)

因此，通过采取M（M）足够大(3.9)我们有\（I{n1}=O_{P}（g{n}（θ，P）/|delta{n}|）。此外，我们可以看到

$$\begin｛aligned｝I_｛n2｝=\ vert\ delta _｛n｝\ vert^{-1}个^{θ-1}max_{1\lek\len-1}frac{1}{（n-k）^{theta}}\Biggl\vert\sum_{i=k+1}^{n} Z轴_{i} \Biggr\vert=\vert\delta_{n}\vert^{-1}个^{θ-1}最大值{1\lek<n}分形{1}{k^{θ子}}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{k} Z轴_{n-i+1}\Biggr\vert。\结束{对齐}$$

因此，类似于(3.9)，我们可以得到\（I{n2}=O_{P}（g{n}（θ，P）/|delta{n}|）.定理证明完成。□

备注3.1

在均值变点模型中(3.1)，如果\（\增量{n}=\增量{0}\neq 0\）和\（{Z_{n}，n\ge1\}）是一个独立的同分布随机变量序列\（EZ_{1}=0\）和\（VaR（Z_{1}）=\σ^{2}>0\）然后是Kokoszka和Leipus[13]获得以下结果：

$$\hat{\tau}_{n}（θ）-\tau^{*}=\textstyle\begin{cases}O_{p}{p}（n^{\theta-1}）&\text{{if}}{\frac{1}{2}<\theta<1}。\结束{cases}$$

(3.10)

在本文中，定理3.1改进和扩展了Kokoszka和Leipus的相应版本[13]从独立同分布序列到\（（α，β））-无同分布条件的混合序列。条件\（VaR（Z_{1}）=\σ^{2}>0\）在科科什卡和莱普斯[13]被削弱为\（\sup_{i\ge1}E|Z_{i}|^{p}<\infty\）最近，Ding等人[5]得到了m-渐近几乎负相关（m-AANA）序列均值变点模型的CUSUM估计的收敛速度，定理3.1还扩展了Ding等人的相应理论[5].

4数值分析

在本节中，我们进行了一些简单的模拟，以验证基于\（（α，β））-将随机变量与随机系数混合。在均值变点模型中(3.1)，我们假设存在一个平均变点位置\（k^{*}\）这样的话

$$\开始{aligned}X_{i}=\mu+\delta_{n} 我\bigl（k^{*}+1\lei\len\bigr）+Z_{i}，\quad 1\lei\le n，\end{aligned}$$

哪里\（Z_{i}=\sum_{k=0}^{m} e（电子）_{i+k}\）对于\（第1页）和固定的正整数米.让\（e_{i}\stackrel{\text{i.id}}{\sim}N（0，\sigma_{0}^{2}）），其中\（西格玛{0}^{2}=1/（m+1）\）。很容易验证\（{Z{1}，Z{2}，\ldots，Z{n}\}\）是一个\（（α，β））-混合顺序。

为了简单起见，我们采用\（\mu=1\），\（τ{0}=0.35\）、和\（m=10）用于500次复制的模拟。对于\（n=50、150、300、600），我们使用Python软件计算\（｛hat｛\tau｝｝_｛n｝（θ）\）具有不同的\（θ=0.1，0.3，0.5）和\（δ{n}=n^{-0.2}，n^{-0.1}，n ^{0}），其中\（{\hat{\tau}}_{n}（θ）\）由定义(3.2). 我们获得了如图所示的箱线图1。如图所示1作为n个增加，CUSUM估计值\（{\hat{\tau}}_{n}（θ）\）收敛到真参数\（\套{0}\）另一方面，估算值\（τ{n}）对于较大的值具有较低的偏差和可变性\（增量{n}\）。

图1

的箱线图\（{\hat{\tau}}_{n}（θ）\）具有不同的参数值θ和\（增量{n}\）在这种情况下\（τ{0}=0.35\）

为了进一步检验CUSUM估计对不同变化点位置的影响，我们还考虑了其他两种情况\（τ{0}=0.55）和\（τ_｛0｝=0.75）其他设置与案例中的设置相同\（τ{0}=0.35\）。我们还使用Python软件计算\（｛hat｛\tau｝｝_｛n｝（θ）\）结果如图所示2和三分别是。从这两张图中，我们可以得出一些类似的结果，如图所示1。

图2

的箱线图\（{\hat{\tau}}_{n}（θ）\）具有不同的参数值θ和\（增量{n}\）在这种情况下\（τ{0}=0.55）

图3

的箱线图\（{\hat{\tau}}_{n}（θ）\）具有不同的参数值θ和\（增量{n}\）在这种情况下\（τ{0}=0.75）

具体来说，我们还计算了估计器的均方误差（MSE）\（{\hat{\tau}}_{n}（θ）\）在这种情况下\（τ{0}=0.35\）如表所示1具有不同的θ和\（增量{n}\）在不同的样本大小下。什么时候？θ取不同的值，我们可以看到样本越大，MSE越小。此外，作为\（增量{n}\）增加，MSE变得越来越小。表中反映的结果1与图中箱线图得出的结论一致1这些模拟结果与我们在第。 三。

表1估算值的MSE\（{\hat{\tau}}_{n}（θ）\）具有不同的θ和\（增量{n}\）

5真实数据示例

在本节中，我们对基于金融时间序列的平均变化点模型进行了实际数据分析。让\（P_｛t｝\）是北京碳排放配额（BEA）的收盘价。因此，收益定义为\（r_{t}=\log（P_{t{）-\ log（P_{t-1}）\）。该数据集用于东亚银行从2020年6月1日至2021年5月31日的每日回报。数据可以在网址：http://www.tanpaifang.com/考虑到某些交易日没有交易，我们删除了这些数据。

首先，我们在图中绘制了样本自相关函数（ACF）和偏相关函数（PACF）4图中系列的趋势5其ACF和PACF均为平稳过程。然后我们进行单位根检验，得出这次收益率序列是平稳的。图4单位根检验表明，收益率的时间序列是一个移动平均过程。

图4

收益时间序列的自相关函数和偏自相关函数

图5

2020年6月1日至2021年5月31日的回报时间序列

接下来，我们使用CUSUM估计器来检测从2020年6月1日到2021年5月31日的回报时间序列的变化点。对于不同的\（θ=0,0.1,0.2，点，0.9），的值\（帽子{k}_{n} （θ）如表所示1根据图5和表2位置197不应该是真正的更改点位置。因此，我们检测到平均变化点位置171（2020年4月14日）。图中增加了平均变点位置5最后，我们对这一变化点给出了经济和政策解释。据了解，北京市生态环境局于2021年4月12日发布了关于做好重点碳排放单位管理和碳排放交易试点工作的通知。该通知指出，有必要最大限度地发挥市场机制在控制温室气体排放中的作用，有效减少温室气体排放，完善碳排放交易机制。2021年4月12日后，平均回报率从负值显著变为正值。

表2：\（帽子{k}_{n} （θ）对于不同的θ