最佳近似值\（（\mathcal）{希腊}_{1} ，\mathcal{希腊}_{2})\)-矩阵Menger-Banach代数中的随机算子不等式及其应用\（\mathbb{H}\）-福克斯控制功能

摘要

我们稳定伪随机\（（\mathcal）{希腊}_{1} ，\mathcal{希腊}_{2})\)-矩阵Menger-Banach代数中使用一类随机矩阵控制函数的随机算子不等式。我们得到了随机变量的近似值\（（\mathcal）{希腊}_{1} ，\mathcal{希腊}_{2})\)-随机算子不等式的直接方法和不动点方法。作为应用，我们同时应用了随机Mittag-Lefler和\（\mathbb{H}\）-fox控制函数在随机算子不等式中得到更好的逼近。

1导言和序言

特殊函数理论，如Mittag-Lefler函数、超几何函数、Wright函数、，\（\mathbb{H}\）-福克斯函数等围绕着数学的一个重要部分。近几个世纪来，解决各种科学领域中出现的问题的必要性推动了特殊函数理论的发展。这些函数在各种不同的领域都有广泛的应用，包括材料科学和工程科学、生物学、化学、数学物理以及应用数学和纯数学。感兴趣的读者可以阅读文献[1–4].

1903年，瑞典数学家Gosta Mittag-Lefler提出了指数函数的推广，并介绍了该函数的一些性质。1905年，Wiman介绍了它的一般形式。Mittag-Lefler函数自然地作为分数阶积分微分方程的解出现，特别是在研究电网络、随机游动、流体流动、超扩散输运、动力学方程的分数推广、，扩散输运类似于扩散，在复杂系统的研究中。在过去20年中，由于Mittag-Lefler函数具有广泛的应用潜力，科学家和工程师对它的兴趣显著增加。我们建议读者查阅文献[5,6].

1961年，查尔斯·福克斯（Charles Fox）提出了Meijer G函数和福克斯-赖特函数的推广。\（\mathbb{H}\）-Fox函数由对称Fourier核背景下的Mellin–Barnes积分定义。它有很多很好的应用，特别是在分数微积分和统计学中。此外，它在反应扩散、理论物理和数学概率论等一系列与反应相关的主题中发挥着重要作用。有关更多详细信息，请参阅[7,8].

在[9]，作者介绍并应用了以下添加剂(\（\rho{1}\）,\（\rho{2}\）)-复Banach空间中的函数不等式：

$$\begin{aligned}和\bigl\Vert f（x+y+z）-f（x）-f$$

在哪儿\（\rho{1}\）,\（\rho{2}\）是固定的非零复数\（\vert\rho{1}\vert+\vert\rro{2}\vert<2\）。

在这里，我们引入了一类随机矩阵控制函数，并将它们应用于近似以下伪随机加性\（（\mathcal）{希腊}_{1} ，\mathcal{希腊}_{2})\)-矩阵Menger-Banach代数中的随机算子不等式：

$$开始{对齐}和\Phi^{匹配{Q}（j，\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}{希腊}_{1} [\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}+\mathsf{A}{希腊}_{2} [\mathcal{Q}（j，\mathsf{R}+\mathsf{A}$$

(1.1)

哪里\（0\neq\mathcal{希腊}_{1} ，\mathcal{希腊}_{2} \in\mathbb{C}\）是固定的，并且\（\max\{|\mathcal{希腊}_{1} |，|\mathcal{希腊}_{2}|\}<2\)。

现在，让我们\（mho=[0,1]\）和

$$\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\mho）=\left\{\begin{bmatrix}\mathfrak{米}_{1} &&\\&\ddots&\\&&\mathfrak{米}_{n} \end{bmatrix}=\operatorname{diag}[\mathfrak{米}_{1} 、\dots、\mathfrak{米}_{n} ]，\mathfrak{米}_{1} 、\dots、\mathfrak{米}_{n} 在\ mho\ right\}中$$

我们表示\（{\boldsymbol{\mathfrak{M}}}:=\operatorname{diag}[\mathfrak{米}_{1} 、\dots、\mathfrak{米}_{n} [\proceq｛\boldsymbol｛\mathfrak｛n｝｝｝：=\运算符名称｛diag｝[\mathfrak{无}_{1} 、\dots、\mathfrak{无}_{n} ]\）如果\（\mathfrak）{米}_{i} \leq\mathfrak公司{无}_{i} \）对于任何\（1），并注意$\mathbf{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{ccc}\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& & \\ & <trans\; data-src="\ddots ">\ddots </trans>& \\ & & \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans>$和$\mathbf{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{ccc}\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}& & \\ & <trans\; data-src="\ddots ">\ddots </trans>& \\ & & \mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans>$。

接下来，我们定义了一个广义t-范数\（\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\）。

定义1.1

([10])

上的广义t-范数\（\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\）是一个操作\（\odot:\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\mho）\times\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\ to \ operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\）满足以下条件：

• (1) \（对于所有{\boldsymbol{\mathfrak{M}}}\in\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\mho））（{\boldsymbol{\mathfrak{M}}}\odot\textbf{1}）={\bolsymbol{\matchfrak{M}}）（边界条件）；

• (2) \（对于所有（{\boldsymbol{\mathfrak{M}}，{\bolssymbol}\mathfrak{N}}）在（\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （mho））^{2}（交换性）；

• (3) \（（对于所有（{\boldsymbol{\mathfrak{M}}}，{\bolssymbol}\mathfrak{N}}}{，{\ boldsympol{\mathfrak}I}}}}）\in（\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\mho）^{3}）（{\boldsymbol{\mathfrak{M}}\odot（{\blodsymbol{\matchfrak{n}}}\oot{\bolsymbol}\mathbrak{I}}）=（结合性）；

• (4) \（对于所有（{\boldsymbol{\mathfrak{M}}}，{\bolssymbol}\mathbrak{M{}}}^{\prime}，\boldsymbol{\ mathfrak{N}}、\bolsymbol{\matchfrak{N}{\prime}）在（\operatorname{diag}\mathsf）中{无}_{n} （\mho^{4}）（{\boldsymbol{\mathfrak{M}}\proceq{\bolssymbol}\mathbrak{M{}}^{\prime}\text{和}\boldsymbol{\ mathfrak{n}}\preceq\boldsimbol{\fathfrak}n}}^{\prime}\Longrightarrow{\bodsymboldsyMBol{\mathfrak_2M}}和}粗体符号{\mathfrak{M}}}^{\prime}\odot{\boldsymbol{\matchfrak{n}}}^{\prime}\）（单调性）。

对于每个\（\boldsymbol{\mathfrak{M}}，\boldsymbol{\ mathfrak{N}}\in\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\）和所有序列\（粗体符号｛\mathfrak｛M｝｝_｛k｝\｝\）和\（\{\boldsymbol{\mathfrak{N}}_{k}\}\）汇聚到\（\boldsymbol｛\mathfrak｛M｝｝\）和\（\boldsymbol{\mathfrak{N}}\），如果我们有

$$\lim_{k}（\boldsymbol{\mathfrak{M}}{k}\odot\boldsymbol{\matchfrak{N}}_{k{）=\boldsimbol{\ mathfrak{M}{odot\mathbf{\math frak{N}}$$

然后⊙在\（\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\）是连续的，请参见[11,12]. 考虑以下连续广义t-范数的例子：

• (1) 让\（\odot_{P}:\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\mho）\times\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\ to \ operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\）这样的话

  $${\boldsymbol{\mathfrak{M}}\odot_{P}{\bolssymbol}\mathfrak{N}}=\operatorname{diag}[\mathbrak{米}_{1} 、\dots、\mathfrak{米}_{n} ]\odot_{P}\operatorname{diag}[\mathfrak{无}_{1} 、\dots、\mathfrak{无}_{n} ]=\操作员姓名{diag}[\mathfrak{米}_{1}. \马特拉克{无}_{1} 、\dots、\mathfrak{米}_{n} ●●●●。\马特拉克{无}_{n} ]$$

  然后\（\odot_{P}\）是一个连续广义t-范数。

• (2) 让\（\ odot_｛M｝：\ operatorname｛diag｝\mathsf{无}_{n} （\mho）\times\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\ to \ operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\）这样的话

  $$\开始{aligned}{\boldsymbol{\mathfrak{M}}\odot_{M}{\boldsymbol{\matchfrak{N}}=&\operatorname{diag}[\mathfrak{米}_{1} 、\dots、\mathfrak{米}_{n} ]\odot_{M}\operatorname{diag}[\mathfrak{无}_{1} 、\dots、\mathfrak{无}_{n} ]\\=&\运算符名称{diag}\bigl[\min\{\mathfrak{米}_{1} ，\mathfrak{无}_{1} \}、\点、\分钟\{\马特拉克{米}_{n} ，\mathfrak{无}_{n} \}\bigr]。\结束{对齐}$$

  然后\（\odot_{M}\）是一个连续广义t-范数。

• (3) 让\（\odot_{L}:\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\mho）\times\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\ to \ operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\）这样的话

  $$\开始{aligned}{\boldsymbol{\mathfrak{M}}\odot_{L}{\boldsymbol{\matchfrak{N}}=&\operatorname{diag}[\mathfrak{米}_{1} 、\dots、\mathfrak{米}_{n} ]\odot_{L}\operatorname{diag}[\mathfrak{无}_{1} 、\dots、\mathfrak{无}_{n} ]\\=&\运算符名称{diag}\bigl[\max\{\mathfrak{米}_{1} +\mathfrak（+\马特拉克）{无}_{1}-1，0\}，\dots，\max\{\mathfrak{米}_{n} +\mathfrak（+\马特拉克）{无}_{n} -1个，0\}\bigr]。\结束{对齐}$$

  然后\（\\odot_{L}\）是一个连续广义t-范数。

此外，我们给出了一些数值示例并比较了结果：

$$\begin{aligned}和\operatorname{diag}[0.5,0.2,1]\odot_{M}\operator name{diag{[0.3,0.7,0]=\begin{bmatrix}0.5&\\&0.2&\\&1\end{bmatricx}\odot_{M}\ begin}0.3&\\0.7&\\&0\end{bmatrix}=\being{bmatriax}0.3&\\&0.2&\\&&0\end{bmattrix}，\\&\operatorname{diag}[0.5,0.2,1]\odot_{P}\operator name{diag}[0.3,0.7,0]=\ begin｛bmatrix｝0.5&&\\&0.2&&\\&&1\end｛bmatrix｝\ odot _｛P｝\ begin｛bmatrix｝0.3&&\\&0.7&&\\&&0\end｛bmatrix｝=\ begin｛bmatrix｝0.15&&\\&0.14&&\\&&0\end｛bmatrix｝，\\&&\ operatorname｛diag｝[0.5,0.2,1]\ odot _｛L｝\ operatorname｛diag｝[0.3,0.7,0]=\ begin｛bmatrix｝0.5&&\ \&0.2&&\&&1\end｛bmatrix｝\odot_｛L｝\begin{bmatrix}0.3&&\\&0.7&\\&&0\end{bmatricx}=\begin{bmatriax}0&&\\&0\end{bmatrix}。\结束{对齐}$$

此外，由于

$$\开始{aligned}\operatorname{diag}[0.3,0.2,0]\succeq\operator名称{diag{[0.15,0.14,0]\suckeq\operatorname{diag}[0,0,0]，\end{aligned}$$

我们得到

$$\begin{aligned}和\operatorname{diag}[0.5,0.2,1]\odot_{M}\operator name{diag}[0.3,0.7,0]\\&\quad\succeq\operatormame{diag{}[0.50,2,1]\odot _{P}\operatorname{diag.}[0.30,7,0]\&\quad \suckeq\operator name{diag{}[0.5,0.2,1]\odotoot_{L}\opperator name{diag.{[0.3,07,0]。\结束{对齐}$$

考虑\（\mathcal{E}^{+}\），矩阵分布函数集，包括左连续和递增映射\（\Phi:{\mathbb{R}}\cup\{-\infty，\infty\}\to\operatorname{diag}\mathsf{无}_{n} （\ mho）\）这样的话\（\Phi_{0}={\mathbf{0}}\）和\（\Phi_{+\infty}={\mathbf{1}}\）.现在\（\Delta^{+}\subseteq\mathcal{E}^{+{）都是（正确的）映射吗\（\Phi\in\mathcal{E}^{+}\）对于其中\（\ell^{-}\Phi_{\Theta}=\lim_{\sigma\to\Theta^{-{}\Phi _{\sigma}={\mathbf{1}}\）注意，适当的矩阵分布函数是实际随机变量的矩阵分布q个这样的话\（P（|q|=\infty）=0\）。

打开\（\mathcal{E}^{+}\），我们定义“⪯“如下所示：

$$\Psi\proceq\Phi\quad\Longleftrightarrow\quad\\Psi_{\Theta}\proceQ\Phi_{\Theta}，\quad_forall\Theta\in\mathbb{R}$$

此外

$$\nabla美元^{s}_{r} =\textstyle\begin{cases}{\mathbf{0}}、&\text{if}r\leqs、\\{mathbf}1}}和&\text}if}r>s\end{cases{$$

属于\（\mathcal{E}^{+}\）对于任何矩阵分布函数Φ，\（\Phi\preceq\nabla^{0}\）[11,13–15]. 例如，

$$\Phi _｛\Theta｝=\textstyle\beart｛cases｝｛\mathbf｛0｝｝，&&Theta\leq 0，\\\operatorname｛diag｝[1-\frac｛1｝｛e^｛\Theta｝｝，\ frac｛1｝｛e^｛\frac｛1｝｛\Theta｝｝｝｝，\ frac｛1｝｛\Theta｝+1｝]，&&Theta>0\end｛cases｝$$

是中的矩阵分布函数\（\操作员名称{诊断}M_{3} （\ mho）\）。请注意\（\Phi_{\Theta}=\operatorname{diag}[\Phi_1，\Thetaneneneep，\dots，\Phi{n，\Theta}]\），其中\（\Phi_{i，\Theta}\）是分布函数，是矩阵分布函数。

定义1.2

让\（\mathbb{S}\）是线性空间，⊙是连续广义t-范数，并且\（\Phi:\mathbb{S}\到\Delta^{+}\）是一个矩阵分布函数。三人组\（（\mathbb{S}，\Phi，\odot）\）称为矩阵Menger赋范空间

（D-1）\（\菲律宾^{s}_{\Theta}=\nabla^{0}_{\Theta}\）对于任何\（\Theta>0\）当且仅当\（s=0）;

（D-2）\（\Phi^{\rhos}_{\Theta}=\Phi^{s}_{\frac{\Theta}{|\rho|}}\）为所有人\（位于\mathbb{s}\中）和\（\rho\in\mathbb{C}\）具有\（\rho\neq 0\）;

（D-3）\（\Phi^{s+s'}_{\Theta+\varrho}\suckeq\Phi^{s}_{\Theta}\odot\Phi^{s'}_{\varrho}\）为所有人\（s，s'\in\mathbb{s}\）和\（\ Theta，\ varrho \ geq 0\）。

例如，矩阵分布函数Φ由

$$\菲律宾^{s}_{\Theta}=\textstyle\begin{cases}{\mathbf{0}}，&\text{if}\Theta\leq 0，\\operatorname{diag}[\exp（-\frac{\Verts\Vert}{\Theta}），\frac}\Theta{\Thet+\Verts\ Vert}]，&\text{if}\Theta>0，\end{cases}$$

是矩阵Menger范数\（（\mathbb{S}，\Phi，\odot_{M}）\）和\（（\mathbb{S}，\|\cdot\|）\）分别是矩阵Menger赋范空间和线性赋范空间。

定义1.3

让\（（\mathbb{S}，\Phi，\odot）\）是矩阵Menger赋范空间⊙,⊘是连续广义t-范数。如果

（D-4）\（\Phi^{ss'}_{\Theta\Theta^{\prime}}\suckeq\Phi^{s}_{\tata}\odot\Phi^{s'}_{\tata^{prime}}\）对于任何\（s，s'\in\mathbb{s}\）以及任何\（\Theta^{\prime}，\Theta>0\）,

然后\（（\mathbb{S}，\Phi，\odot，\oslash）\）称为矩阵Menger赋范代数。

如果

$$\bigl\Vert-ss'\bigr\Vert\le\Vert-s\bigl\Vert s'\biger\Vert+\Theta^{\prime}\bigl\ Vert s'\bigr\ Vert+\ Theta\Vert s\quad\bigl（s，s'\in\bigl）（\mathbb{s}，\Vert\cdot\Vert\bigr）；\Theta，\Theta^{\prime}>0\biger）$$

然后使用

$$\菲律宾^{s}_{\Theta}=\textstyle\begin{cases}{\mathbf{0}}，&\Theta\leq 0，\\operatorname{diag}[\frac{1}{e^{\frac}\Verts\Vert}{\Theta}}$$

\（（\mathbb{S}，\Phi，\odot_{M}，\tot_{P}）\）是矩阵Menger赋范代数，反之亦然。一个完备的矩阵Menger赋范代数称为矩阵Menger Banach代数。

考虑矩阵Menger-Banach代数\（欧米茄{1}）和\（欧米茄{2}）.让\（（\mathcal｛J｝，\Pi，\Phi）\）是一个概率测度空间。让\（（欧米茄{1}，{\mathfrak{B}}{\Omega{1}}）和\（\Omega_{2}，\mathfrak{乙}_{\欧米茄{2}}）是Borel可测量空间。然后是一张地图\（\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\to\Omega{2}\）是随机运算符，如果\（{j:\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）\in\mathcal{C}\}\in\Pi\）为所有人S公司在里面\（欧米茄{1}）和\（\mathcal{C}\in\mathfrak{乙}_{\欧米茄{2}}\）。此外\（\mathcal{Q}\）是线性的，如果

$$\mathcal{Q}（j，d\mathsf{S}+b\mathsf}R}）=d\mathcal}Q}$$

和\（\mathcal{Q}\）如果存在\（\mathsf{Q}（j）>0\）这样的话

$$\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）-\mathcal{Q}（j，\fathsf{R}）}_{\mathsf{Q}-（j）\Theta}\ge\Phii^{\fathsf{宋体}-\mathsf{R}}{Theta}，\quad\forall，\mathsf{S}，\ mathsf}R}\in\Omega_{1}，\Theta>0$$

定理1.4

([16])

考虑一个完备的广义度量空间 \（（\xi，\zeta）\） 和一个严格的压缩函数 \（\mathfrak{L}:\xi\rightarrow\xi\） Lipschitz常数 \（\mathfrak{P}<1\）。然后,对于每个给定元素 \（j \ in \ xi \）,任何一个

$$\zeta\bigl（\mathfrak{L}^{\imath}j，\mathfrak{L}^{\iath+1}j\bigr）=\infty$$

对于每个 \（\imath\in\mathbb{N}\） 或者有 \（\imath_{0}\in\mathbb{N}\） 这样的话

• (1) \（\zeta（\mathfrak｛L｝^｛\imath｝j，\mathfrak｛L｝^｛\imath+1｝j）<\infty\）,\（对于所有m_{0}）;

• (2) 序列的极限点 \（马thfrak｛L｝^｛\imath｝j｝\） 是固定点 \（\mathfrak{Z}^{*}\） 属于 \（\mathfrak{L}\）;

• (3) \（\mathfrak{Z}^{*}\） 是唯一的不动点 \（\mathfrak{L}\） 在集合中 \（\mathsf{D}=\{\mathfrak{Z}\在\xi\mid\zeta中（\mathfrak{L}^{\imath_{0}}j，\mathflak{Z}）<\infty\}\）;

• (4) \（（1-\mathfrak{P}）\zeta（\mathbrak{Z}，\mathfrak{Z}^{*}）\ le\zeta 对于每个 \（\mathfrak{Z}\在\mathsf{D}\中）。

2不等式的直接方法逼近(1.1)

在本节中，我们改进并概括了[9]获得更好的近似值（另请参见[17–28]).

引理2.1

假设 \（\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 随机运算符是否满足(1.1)对于每个 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\） 和 \（j\in\mathcal{j}）。然后 \（\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 是添加剂。

证明

放\（\mathsf{S}=\mathsf{R}=\mathsf{A}=0\）英寸(1.1)，我们有

$$\开始{对齐}&\Phi^{2\mathcal{Q}（j，0）}_{\Theta}\succeq\Phi_{mathcal{希腊}_{1} \mathcal{Q}（j，0）}_{\Theta}\circledast_{M}\Phi^{mathcal{希腊}_{2} （\mathcal{Q}j，0）}_{\Theta}，\end{aligned}$$

等等

$$开始{对齐}和\Phi^{数学{Q}（j，0）}_{\frac{\Theta}{2}}\succeq\Phi_{\mathcal{Q}（j，O）}_}\frac}\Theta{\max\{\vert\mathcal{希腊}_{1} \vert，\vert\mathcal{希腊}_{2} \vert\}}，\end{对齐}$$

(2.1)

自从\（最大值\{\vert\mathcal{希腊}_{1} \vert，\vert\mathcal{希腊}_{2} \vert\}<2\）,\（\mathcal｛Q｝（j，0）=0\）对于每个\（j\in\mathcal{j}）。

现在，把\（\mathsf{R}=0\）英寸(1.1)，我们有

$$\开始{对齐}\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}+\mathsf{A}）-\mathcal{Q}-（j，\ mathsf}S}）-\ mathcal}Q}{希腊}_{1} [\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}+\mathsf{A}$$

(2.2)

和

$$\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}+\mathsf{A}$$

或\（\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}+\mathsf{A}为所有人\（\mathsf{S}，\mathsf{A}\ in \Omega_{1}\），自\（\vert\mathcal{希腊}_{1} \vert<2\）.所以\（\mathcal{Q}\）是添加剂。□

定理2.2

假设以下假设成立以下为：

• \（（\Omega_{1}，\Phi，\odot_{M}，\ oslash_{M{）\） 是矩阵Menger-Banach代数,

• \（\phi:\Omega_{1}^{3}\rightarrow\Delta^{+}\） 是矩阵分布函数,

• 存在一个 \（\mathfrak{P}<1\） 这样的话 \（\phi^{\frac{\mathsf{S}}{2}，\frac}\mathsf{R}}{2]，\frac{\mathsf{A}{2{}{\Theta}\succeq\phi^}\mathsf{S}，\ mathsf}R}，\fathsf{A}}{\frac{2\Theta}{\mathfrak{P}}） 为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\） 和 \（\Theta>0\）,

• 为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\） 和 \（\Theta>0\）,

  $$\lim_{n\to\infty}\phi^{\分形{\mathsf{S}}{2^{n}}，分形{\mathsf{R}}{2_{n}{，分形}\mathsf{A}}{2 ^{n{}}}{^{0}_{\Theta}$$

  (2.3)

• 随机算子 \（\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 满足 \（\mathcal｛Q｝（j，0）=0\） 和

  $$开始{对齐}和\Phi^{匹配{Q}（j，\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}{希腊}_{1} [\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}+\mathsf{A}{希腊}_{2} [\mathcal｛Q｝（j，\mathsf｛R｝+\mathsf｛A｝）-\mathcal｛Q｝（j，\mathsf｛R｝）-\mathcal｛Q｝（j，\mathsf｛A｝）]｝_$$

  (2.4)

  为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}） 和 \（\Theta>0\）。

然后我们可以找到一个唯一的加性随机算子 \（\mathcal{V}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 这样的话

$$\begin{aligned}\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）-\mathcal{V}（j，\mathsf{S}）}_{\Theta}\suckeq\Phi^{\mathsf{S}，\math2f{S{，0}_{\frac{2（1-\mathfrak{P}）\Theta{\mathfrak{P}}}，\ end{alinged}$$

(2.5)

为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}） 和 \（\Theta>0\）。

证明

放\（\mathsf{A}=0\）和\（\mathsf{S}=\mathsf{R}\）英寸(2.4)，我们得到

$$\begin{aligned}\Phi^{mathcal{Q}（j，2\mathsf{S}）-2\mathcal}Q}$$

(2.6)

为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}）和\（\Theta>0\）.因此

$$\开始{对齐}\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）-2\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{S}}{2}hsf{S}，0}_{\frac{2\Theta}{\mathfrak{P}}}，\end{aligned}$$

(2.7)

为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}）和\（\Theta>0\）.更换S公司通过\（\frac{\mathsf{S}}{2^{n}}\）英寸(2.7)，我们得到

$$开始{对齐}[b]\Phi^{2^{n}\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{S}}{2^}n}）-2^{n+1}\matchcal{Q}（j，\ frac{\ mathsf}}{2 ^{n+1}}）}_{\Theta}和\succeq\Phi^{\frac}\mathsf{S}{2 \mathsf{S}}{2^{n}}，0}_{\frac{\Theta}{2~{n-1}\mathfrak{P}}\\&\succeq\Phi^{\frac{\mathsf{S}{2${n-1{}，\frac}\mathsf2{S}{2^}n-1}}}（\frac{\Theta}{2^{n-1}\mathfrak{P}}）}\\&\succeq\cdots\\&\suckeq\phi^{\mathsf{S}，\mathsf{S}，0}_{\frac}2}{\mathfrak{P}^{n+1}}\Theta{。\结束{对齐}$$

(2.8)

它源自

$$2^{n}\mathcal{Q}\biggl \mathcal{Q}\biggl（j，\frac{\mathsf{S}}{2^{k-1}}\bigr）$$

和(2.8)那个

$$\Phi^{2^{n}\mathcal{Q}}\odot_{M}\cdots\odot_}\Phi^{mathsf{S}，\mathsf{S}，0}_{Theta}=\Phi^}\mathsf{S}，\mathf{Sneneneep，0}_{Theta}$$

为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）,\（\Theta>0\）也就是说，

$$开始{对齐}\Phi^{2^{n}\mathcal{Q}P}^{k}}{2}}}。\结束{对齐}$$

(2.9)

更换S公司具有\（{\frac{\mathsf{S}}{2^{m}}}\）英寸(2.9)，我们得到

$$\begin｛aligned｝\Phi ^｛2^｛n+m｝\mathcal｛Q｝（j，\frac｛\mathsf｛S｝｝｛2^｛n+m｝）-2^｛m｝\mathcal｛Q｝（j，\frac｛\mathsf｛S｝｝｛2^｛m｝）｝_｛\ Theta｝\successq\Phi ^｛\mathsf｛S｝，\mathsf｛S｝，0｝_｛P｝^｛k｝｝｛2｝｝｝。\结束{对齐}$$

(2.10)

自\（\phi^{\mathsf{S}，\mathsf{S}，0}{\frac{\Theta}{\sum_{k=m+1}^{n+m}\frac}\mathfrak{P}^{k}}{2}}）倾向于\（纳布拉^{0}_{\Theta}\）作为\（n，m至infty），我们得出以下结论：\（{2^{n}\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{S}}{2^}n}）都是柯西\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）.自\（欧米茄{2}）是一个矩阵Menger Banach代数，序列\（{2^{n}\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{S}}{2^}n}）是收敛的。考虑随机运算符\（\mathcal{V}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\）由定义

$$\mathcal{V}（j，\mathsf{S}）：=\lim_{k\to\infty}2^{k}\mathcal{Q}\biggl（j，\frac{\mathsf{S}}{2^{k}}\bigr）$$

为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）.推杆\（m=0）并让\（到英寸）英寸(2.10)，我们获得

$$\begin{aligned}\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）-\mathcal{V}（j，\mathsf{S}）}_{\Theta}\suckeq\Phi^{\mathsf{S}，\math2f{S{，0}_{\frac{2（1-\mathfrak{P}）\Theta{\mathfrak{P}}}，\ end{alinged}$$

(2.11)

为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}）和\（\Theta>0\）。

现在(2.4)意味着

$$开始{对齐}和\Phi^{mathcal{V}（j，\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}）-\mathcal}V}{n}（\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}}{2^{n}}（j，\frac{\mathsf{R}}{2^{n}}）-\mathcal{Q}{希腊}_{1} [\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{S}+\mathsf{A}}{2^{n}}2^{n}\数学{希腊}_{2} [\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{R}+\mathsf{A}}{2^{n}}^{\frac{\mathsf{S}}{2^{n}}，\ frac{\ mathsf}}{2 ^{n{}}{希腊}_{1} [\mathcal{V}（j，\mathsf{S}+\mathsf{A}{希腊}_{2} [\mathcal{V}（j，\mathsf{R}+\mathsf{A}$$

为所有人\（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）,\（\Theta>0\），自\（\phi^｛\frac｛x｝｛2^｛n｝｝，\frac｛\mathsf｛S｝｝｛2^｛n｝｝，0｝_｛\frac｛Theta｝｛2^｛n｝｝｝）倾向于\（纳布拉^{0}_{\Theta}\）作为\（到英寸）.因此

$$\Phi^{\mathcal{V}（j，\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}）-\mathcal{V}（j，\ mathsf}）-\mathcali{V}-（j，\tathsf{R}）{希腊}_{1} [\mathcal{V}（j，\mathsf{S}+\mathsf{A}{希腊}_{2} [\mathcal{V}（j，\mathsf{R}+\mathsf{A}$$

为所有人\（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）,\（\Theta>0\）.引理2.1意味着随机运算符\（\mathcal{V}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\）是随机相加的。

现在，证明随机算子的唯一性\（\mathcal{V}\），假设存在随机加性随机算子\（\mathcal{V}^{prime}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega _{2}\）这满足了(2.5). 然后

$$开始{对齐}和\Phi^{mathcal{V}（j，\mathsf{S}）-\mathcal}V}^{prime}（j，\frac{\mathsf{S}}{2^{n}}）}{\Theta}，\\&\begin{aligned}\Phi^{2^}\n}\mathcal{V}（j，\ frac{\ mathsf}}{2_{n}）-2^{n{n}\mathcal{V{^{素数}（j，\frac{\mathsf{S}}{2^{n}}）}_{\Theta}和\succeq\Phi^{2^}\mathcal{V}（j，\frac{\mathf{S{2^ n}）-2^{n{mathcal}{Q}}}\odot_{M}\Phi^{2^{n}\mathcal{V}^{prime}}\\&\succeq\phi^{\frac{\mathfrac{S}}{2^{n}}，\frac}\mathsf{S}{2${n}{，0}_{frac{2（1-\mathbrak{P}）\Theta}{2#{n}\mathfrak{P}}}\\&\sacceq\ phi^{S}，\tathsf{S}，0{（1-\mathfrak{P}）\Theta}{\mathfrak{P}^{n+1}}}。\end{aligned}\end{alinged}$$

自\（\lim_{n\to\infty}\frac{2（1-\mathfrak{P}）}{\mathfrak{P}^{n+1}}=\infty），我们明白了\（\phi^{\mathsf{S}，\mathsf{S}，0}_{\frac{2（1-\mathfrak{P}）\Theta}{\mathfrak{P}^{n+1}}}\）倾向于\（纳布拉^{0}_{\Theta}\）作为\（到英寸）。

因此，我们得出结论\（\Phi^{2^{n}\mathcal{V}（j，\frac{\mathsf{S}}{2^}}）-2^{n{\mathcal{V}^{prime}为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）,\（\Theta>0\）.所以\（\mathcal{V}（j，\mathsf{S}）=\mathcal{V}^{prime}为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）、和\（j\in\mathcal{j}）. □

定理2.3

假设 \（（\Omega_{1}，\Phi，\odot_{M}，\ oslash_{M{）\） 是矩阵Menger Banach代数 \（\phi:\Omega_{1}^{3}\rightarrow\Delta^{+}\） 是一个矩阵分布函数，因此存在 \（\mathfrak{P}<1\） 具有 \（\phi^{\mathsf{S}，\mathsf{R}，0}{\Theta}\succeq\phi^}\frac{\mathsf{S}}{2}，\frac{\mathsf{R}}{2]，0{{\frac}{\Theta}{2\mathfrak{P}}}\） 为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}\ in \Omega_{1}\）,\（\lim_{n\to\infty}\phi^{2^{n}\mathsf{S}，2^{n}\mathsf{R}，0}_{2^}\Theta}=\nabla^{0}_{\Theta}\） 对于任何 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}\ in \Omega_{1}\）,\（\Theta>0\）。假设随机运算符 \（\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 满足(2.4)和 \（\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）=0\） 为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}\ in \Omega_{1}\） 和 \（j\in\mathcal{j}）。则存在唯一的加性随机算子 \（\mathcal{V}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 这样的话

$$\begin{aligned}\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）-\mathcal{V}（j，\mathcf{S{）}_{\Theta}\suckeq\Phi^{\mathsf{S}，\mathsf{S}，0}_{2（1-\mathfrak{P}）\Theta{，\end{alinged}$$

(2.12)

为所有人 \（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}） 和 \（\Theta>0\）。

证明

放\（\mathsf{A}=0\）和\（\mathsf{S}=\mathsf{R}\）英寸(2.4)，我们有

$$开始{aligned}\Phi^{\frac{1}{2}\mathcal{Q}（j，2\mathsf{S}）-\mathcal{Q}（j，\mathsf}S}$$

(2.13)

为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}）和\（\Theta>0\）.因此

$$\开始{对齐}\Phi^{\frac{1}{2}\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）-\mathcal{Q}（j，2\mathsf}）}_{\Theta}\suckeq\Phi^{2t，2t，0}_{\Theta}\suckeq\phi^{\mathsf{S}，\mathsf{S}，0}_{\frac{\Theta}{2\mathfrak{P}}}，\ end{aligned}$$

(2.14)

为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}）和\（\Theta>0\）.更换S公司通过\（2^｛n｝\mathsf｛S｝\）英寸(2.14)，我们有

$$开始{对齐}\Phi^{\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q}（j，2^{n}\mathsf{S}）-\frac{1}{2^}n+1}}\mathcal{Q}（j,2^{n+1}\mathsf{S{）}_{Theta}\succeq\Phi^{2^{n}\ mathsf}S}，2^ n}\mathf{Sneneneep，0}{2\times 2^{n}\Theta}\succeq\Phi^{\mathsf{S}，\mathsf{S}，0}{\frac{2\times 2^}}{（2\mathfrak{P}）^{n{}\Theta}。\结束{对齐}$$

（2.15）

发件人

$$\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q}\bigl（j，2^{n}\mathsf{S}\biger 1}{2^{k}}\mathcal{Q}\bigl（j，2^{k}\mathsf{S}\bigr）$$

和(2.15)，我们得到

$$\Phi^{\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q}（j，2^{n}\mathsf{S}）-\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）}_{sum_{k=0}^{n-1}\frac}（2\mathfrak{P}）f{S}，0}_{\Theta}$$

对于每个\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}）和\（\Theta>0\）也就是说，

$$开始{对齐}\Phi^{\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q}（j，2^{n}\mathsf{S}）-\mathcal{Q}hfrak{P}）^{k}}{2\乘以2^{k{}}}}。\结束{对齐}$$

(2.16)

更换S公司通过\（{2^{m}\mathsf{S}}\）英寸(2.16)，我们得到

$$开始{对齐}\Phi^{\frac{1}{2^{n+m}}\mathcal{Q}（j，2^{n+m}\mathsf{S}}{总和{k=m}^{n+m}\裂缝{（2\mathfrak{P}）^{k}}{2\乘以2^{k{}}}}。\结束{对齐}$$

(2.17)

作为\（m，n至infty）,\（\phi^{\mathsf{S}，\mathsf{S}，0}{\frac{\Theta}{\sum_{k=m}^{n+m}\frac}（2\mathfrak{P}）^{k}}{2\times 2^{k{}}}）倾向于\（纳布拉^{0}_{\Theta}\）。这意味着序列\（{\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q}（j，2^{n}\mathsf{S}）任何情况下都是柯西\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）和\（j\in\mathcal{j}）.自\（欧米茄{2}）是一个矩阵Menger Banach代数，序列\（{\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q}（j，2^{n}\mathsf{S}）聚合。

现在，我们确定随机算子\（\mathcal{V}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\）如下：

$$\mathcal｛V｝（j，\mathsf｛S｝）：=\lim_｛k\to\infty｝\frac｛1｝｛2^｛k｝｝\mathcal｛Q｝\bigl（j，2^｛k｝\mathsf｛S｝\bigr）$$

对于每个\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）和\（j\in\mathcal{j}）.推杆\（m=0）并让\（到英寸）英寸(2.17)，我们得到

$$\begin{aligned}\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）-\mathcal{V}（j，\mathcf{S{）}_{\Theta}\suckeq\Phi^{\mathsf{S}，\mathsf{S}，0}_{2（1-\mathfrak{P}）\Theta{，\end{alinged}$$

(2.18)

为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}）和\（\Theta>0\）.使用定理2.2完成证明。□

三不等式逼近的不动点方法(1.1)

我们使用不动点技术来获得加法的近似值\（（\mathcal）{希腊}_{1} ，\mathcal{希腊}_{2})\)-随机算子不等式(1.1)在矩阵Menger-Banach代数中。

定理3.1

假设以下假设成立以下为：

• \（（\Omega_{1}，\Phi，\odot_{M}，\ oslash_{M{）\） 是矩阵Menger-Banach代数,

• \（\phi:\Omega_{1}^{3}\rightarrow\Delta^{+}\） 是矩阵分布函数,令人满意的(2.3)为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）,和 \（\Theta>0\）,

• 存在一个 \（\mathfrak{P}<1\）,这样的话 \（\phi^{\frac{\mathsf{S}}{2}，\frac}\mathsf{R}}{2]，\frac{\mathsf{A}{2{}{\Theta}\succeq\phi^}\mathsf{S}，\ mathsf}R}，\fathsf{A}}{\frac{2\Theta}{\mathfrak{P}}） 为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\） 和 \（\Theta>0\）,

• 随机算子 \（\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 满足 \（\mathcal｛Q｝（j，0）=0\） 和(2.4)为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}） 和 \（\Theta>0\）,

然后我们可以找到一个唯一的加性随机算子 \（\mathcal{V}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 令人满意的(2.5)为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}） 和 \（\Theta>0\）。

证明

放\（\mathsf{S}=\mathsf{R}\）和\（\mathsf{A}=0\）英寸(2.4)，我们有

$$开始{对齐}\Phi^{2\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{S}}{2}）-\mathcal}Q}$$

(3.1)

几乎无处不在\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）和\（\Theta>0\）。

考虑

$$\xi:=\bigl\{\mathcal{Z}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}，\mathcale{Z}（J，0）=0\bigr\}$$

广义度量定义如下：

$$\begin{aligned}\zeta（\mathcal{P}，\mathcal{Z}）=\inf\bigl\{\hsflash\in{\mathbb{R}}_{+}：\Phi^{\mathcall{P}（j，\mathsf{S}）-\mathcaligned{Z}-（j，\ mathsf}S}Theta}，对于所有\mathsf{S}\in \Omega_{1}，\Theta>0\bigr\}。\结束{对齐}$$

在[29]Miheţ和Radu表明\（（\xi，\zeta）\）已完成。

我们定义线性函数\（\mathfrak{L}:\xi\rightarrow\xi\）作为

$$\mathfrak{L}\mathcal{H}（j，\mathsf{S}）：=2\mathcal{H}\biggl（j，\frac{\mathsf{S}}{2}\bigr）$$

几乎无处不在\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）.考虑\（\mathcal{H}，\mathcal{K}\ in \xi\）这样的话\（\zeta（\mathcal{H}，\mathcal{K}）=\varepsilon\）.然后

$$\Phi^{mathcal{H}（j，\mathsf{S}）-\mathcal{K}$$

几乎无处不在\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）和\（\Theta>0\）、以及

$$开始{对齐}\Phi^{mathfrak{L}\mathcal{H}（j，\mathsf{S}矩阵{S}}{2}）}_{\frac{\mathfrak{P}\varepsilon\Theta}{2{}\\ge&\Phi^{\frac{\mathsf{S}{2neneneep，0}{\frac{\mathfrak{P}\Theta}{2}}\\ge&\phi^{\mathsf{S}，\mathsf{S}，0}{\Theta}\end{aligned}$$

几乎无处不在\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）和\（\Theta>0\）因此，从\（\zeta（\mathcal{H}，\mathcal{K}）=\varepsilon\），我们得出结论\（\zeta（\mathfrak｛L｝\mathcal｛H｝，\mathfrak｛L｝\mathcal｛K｝）\le\mathfrak｛P｝\varepsilon\）等等

$$\zeta（\mathfrak{L}\mathcal{H}，\mathfrak{L}\mathcal{K}）\le\mathflak{P}\zeta$$

对于每个\（\mathcal｛H｝，\mathcal｛K｝\in\xi\）。

由(3.1)，我们有

$$开始{对齐}\Phi^{2\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{S}}{2}）-\mathcal}Q}$$

几乎无处不在\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）和\（\Theta>0\），这意味着\（\zeta（\mathcal{Q}，\mathfrak{L}\mathcal{Q}）\le\frac{\mathfrak{P}}{2}\）。

定理1.4意味着存在一个随机运算符\（\mathcal{V}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\）这样：

• (1) 函数的固定点\（\mathfrak{L}\）是\（\mathcal{V}\）,

  $$\begin{aligned}\mathcal{V}（j，x）=2\mathcal{V}\biggl（j，\frac{x}{2}\bigr）\end{aligned}$$

  （3.2）

  几乎无处不在\（x在欧米茄{1}中），在集合中是唯一的

  $$\mathsf{D}=\bigl\{\mathcal{H}\ in \xi:\zeta（\mathcal{H}，\mathcali{K}）<\infty\bigr\}$$

• (2) \（\zeta（\mathfrak{L}^{p}\mathcal{Q}，\mathcal{V}）\rightarrow0\）作为\（p\rightarrow\infty\），这意味着

  $$\begin{aligned}\lim_{p\to\infty}2^{p}\mathcal{Q}\biggl（j，\frac{\mathsf{S}}{2^{p}}\bigr）=\mathcal{V}（j，\ mathsf{S}）\end{alinged}$$

  (3.3)

  几乎无处不在\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）;

• (3) \（zeta（\mathcal{Q}，\mathcal{V}）\le\frac{1}{1-\mathfrak{P}}\zeta（\ mathcal}，\ mathfrak{L}\ mathcal}）\），这意味着

  $$\begin{aligned}\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）-\mathcal{V}（j，\mathcf{S{）}_{\Theta}\ge\Phi^{\mathsf{S}，\mathf{S{，0}_{\ frac{2（1-\mathfrak{P}）}{\mathfrak{P}}\Theta{\end aligned{$$

  几乎无处不在\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）和\（\Theta>0\）。

使用(2.4)和(3.3)，我们有

$$开始{对齐}和\Phi^{mathcal{V}（j，\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}）-\mathcal}V}{n}（\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}}{2^{n}}（j，\frac{\mathsf{R}}{2^{n}}）-\mathcal{Q}{希腊}_{1} [\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{S}+\mathsf{A}}{2^{n}}2^{n}\数学{希腊}_{2} [\mathcal{Q}（j，\frac{\mathsf{R}+\mathsf{A}}{2^{n}}^{\frac{\mathsf{S}}{2^{n}}，\ frac{\ mathsf}}{2 ^{n{}}{希腊}_{1} [\mathcal｛V｝（j，\mathsf｛S｝+\mathsf｛A｝）-\mathcal｛V｝（j，\mathsf｛S｝）-\mathcal｛V｝（j，\mathsf｛A｝）]}_{希腊}_{2} [\mathcal{V}（j，\mathsf{R}+\mathsf{A}$$

几乎无处不在\（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）和\（\Theta>0\）.因此

$$\Phi^｛\mathcal｛V｝（j，\mathsf｛S｝+\mathsf｛R｝+\mathsf｛A｝）-\mathcal｛V｝（j，\mathsf｛S｝）-\mathcal｛V｝（j，\mathsf｛R｝）-\mathcal｛V｝（j，\mathsf｛A｝）｝_｛Theta｝\successq\Phi^｛\mathcal{希腊}_{1} [\mathcal{V}（j，\mathsf{S}+\mathsf{A}{希腊}_{2} [\mathcal{V}（j，\mathsf{R}+\mathsf{A}$$

几乎无处不在\（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）和\（\Theta>0\）现在，引理2.1意味着\（\mathcal{V}\）是一个加性随机算子。□

定理3.2

假设 \（（\Omega_{1}，\Phi，\odot_{M}，\ oslash_{M{）\） 是矩阵Menger Banach代数 \（\phi:\Omega_{1}^{3}\rightarrow\Delta^{+}\） 是一个矩阵分布函数，因此存在 \（\mathfrak{P}<1\） 具有 \（\phi^{\mathsf{S}，\mathsf{R}，0}{\Theta}\succeq\phi^}\frac{\mathsf{S}}{2}，\frac{\mathsf{R}}{2]，0{{\frac}{\Theta}{2\mathfrak{P}}}\） 为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}\ in \Omega_{1}\）,\（\lim_{n\to\infty}\phi^{2^{n}\mathsf{S}，2^{n}\mathsf{R}，0}_{2^}\Theta}=\nabla^{0}_{\Theta}\） 对于任何 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}\ in \Omega_{1}\）,\（\Theta>0\）。假设随机运算符 \（\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 满足(2.4)和 \（\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）=0\） 为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}\ in \Omega_{1}\） 和 \（j\in\mathcal{j}）。则存在唯一的加性随机算子 \（\mathcal{V}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 令人满意的(2.12)为所有人 \（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j，}） 和 \（\Theta>0\）。

证明

让\（（\xi，\zeta）\）与定理证明中的相同2.2.我们定义了线性函数\（\mathfrak{L}:\xi\rightarrow\xi\）作为

$$\mathfrak｛L｝\mathcal｛H｝（j，\mathsf｛S｝）：=\mathfrac｛1｝｛2｝\mathcal｛H｝（j，2\mathsf｛S｝）$$

几乎无处不在\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）.使用(2.5)，我们获得

$$\开始{aligned}\Phi^{\frac{\mathcal{Q}（j，2\mathsf{S}）}{2}-\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）}_{\Theta}\ge\phi^{\frac{\mathsf{S}}{2}，\frac}\mathsf-{S}{2{，0}_{\frac{\Theta}{\mathfrak{P}}}\end{aligned}$$

几乎无处不在\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）和\（\Theta>0\）。

采用与定理证明类似的方法3.1，将完成证明。□

4随机Mittag-Lefler和Fox的应用\（\mathbb{H}\）-控制功能

在本节中，我们应用随机Mittag-Lefler控制函数和随机Fox\（\mathbb{H}\）-控制函数在随机算子不等式中获得更好的逼近(1.1). 现在，我们介绍上述随机控制函数的概念。

假设\（\mathbb{T}\）是向量空间，并且\（\Theta_{bullet}>0\）。

我们将通过Mittag-Lefler函数给出随机赋范空间的一个例子，但在此之前，我们将介绍Mittag/Lefler函数本身。

特殊功能

$$\begin{aligned}\Xi_{\sigma}（z）=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma（1+\sigma-k）}，\quad\sigma\in\mathbb{C}，\ Re（\sigma）>0，z\in\mathbb{C}\end{aligned}$$

(4.1)

称为Mittag-Lefler函数[三]，其中\（\mathbb｛C｝\）Γ分别是复数集和伽玛函数。

考虑单参数Mittag-Lefler函数

$$\开始{aligned}\Xi_{sigma}\biggl（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}\biggr）=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_｛\circ｝\Vert｝｛\Theta _｛\bullet｝｝）^｛k｝｛\Gamma（1+\sigma k）｝，\ quad\sigma \ in（0,1]，\mathbf{T}（T）_{\circ}\在{\mathbb{T}}中，\Theta_{\bullet}>0，\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert<\frac{1}{n}，n\in\mathbb{n}。\结束{对齐}$$

现在，我们想在以下四个步骤中展示\（（\mathbb{T}，\Xi_{sigma}（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_｛\circ｝\Vert｝｛\Theta _｛\bullet｝｝），\分钟）\）是一个随机赋范空间。

（1） 如果\（σ\ in（0,1]\），然后\（\Xi_{\sigma}（0）=1\）和\（\lim_{\mathbf{T}（T）_{\circ}\rightarrow-\infty}\Xi_{\sigma}（\mathbf{T}（T）_{\circ}）=0\）因此，我们可以得出以下结论\（\Xi_{\sigma}\）对所有人来说都是一个递增函数\（σ\ in（0,1]\），我们还有\（（0,1]\中的Xi_{\sigma}\）。

（2） 很容易证明\（\Xi_{\sigma}（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}）=1\）对于每个\（\Theta_{bullet}>0\），当且仅当\（\mathbf{T}（T）_{\circ}=0\）。

（3） 对于任何\（\mathbf{T}（T）_{\circ}\in\mathbb{T}\）和\（\Theta_{bullet}>0\），我们有

$$\开始{aligned}\Xi_{sigma}\biggl（-\frac{\Vert\hslash\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}\biggr）=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{（-\frac{\Vert\hslash\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta{\bullet}}）^{k}{\Gamma（1+\sigma k）}\\=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{（-\frac}\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\frac{\Theta_{\bullet}}{\Vert\hsflash\Vert}}）^{k}{\Gamma（1+\sigma k）}\\=&\Xi_{\sigma}\biggl（-\frac}\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\frac{\Theta_{\bullet}}{\Vert\hslash\Vert}}\biggr）。\结束{对齐}$$

（4） 让\（\Xi_{\sigma}（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}）\leq\Xi_{\sigma}（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\Vert}{\Theta_{\bullet}^{\ prime}}）\）。那么我们有\（法国）{T}（T）_{\circ}^{\prime}\Vert}{\Theta_{\bullet}^{\ prime}}\leq\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}\）为所有人\（\mathbf{T}（T）_{\circ}，\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\in\mathbb{T}\）和\（\Theta_{bullet}，\Theta_{bullet}^{prime}>0\）现在，如果\（\mathbf{T}（T）_{\circ}=\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\），那么我们有\（\Theta_{bullet}\leq\Theta_{bullet}^{prime}\）。否则，我们会

$$\开始{aligned}\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}+\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}\geq&\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}+\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\Vert}{\Theta_{\bullet}^{\ prime}}\\geq&2\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta{\bullet}+\Theta_{\bullt}^{\prime}}+2\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\Vert}{\Theta_{\bullet}+\Theta_{\bullt}^{\ prime}}\\geq&2\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}+\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\Vert}{\Theta_{\bullet}+\Theta_{\bullt}^{\ prime}}，\end{aligned}$$

等等\（法国）{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}\geq\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}+\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\Vert}{\Theta_{\bullet}+\Theta_{\bullt}^{\ prime}}\）.但是\（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}\leq-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}+\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\Vert}{\Theta_{\bullet}+\Theta_{\bullt}^{\ prime}}\）还有

$$\开始{aligned}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_｛\circ｝\Vert｝｛\Theta｛\bullet｝｝）^｛k｝｛\Gamma（1+\sigma k）｝\leq\sum_｛k=0｝^｛\infty｝\frac｛（-\frac｛\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}+\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\Vert}{\Theta_{\bullet}+\Theta_{\bullt}^{\trime}}）^{k}}{\Gamma（1+\sigma-k）}，\end{aligned}$$

(4.2)

这意味着

$$\Xi_{\sigma}\biggl（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}\biggr）\leq\Xi_{\sigma}\bigl（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}+\mathbf{T}（T）_｛\circ｝^｛\prime｝\Vert｝｛\ Theta _｛\bullet｝+\ Theta _｛\bullet｝^｛\prime｝｝\biggr）$$

因此我们有

$$\Xi_{\sigma}\biggl（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}+\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\Vert}{\Theta_{\bullet}+\Theta_{\bullt}^{\ prime}}\biggr）\geq\min\biggl\{\Xi_{\sigma}\bigl（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_｛\circ｝\Vert｝｛\Theta_｛\bullet｝｝\biggr），\ Xi_｛\sigma｝\biggl（-\frac｛\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\Vert}{\Theta_{\bullet}^{\trime}}\biggr）\biggr\}$$

为所有人\（\mathbf{T}（T）_{\circ}，\mathbf{T}（T）_{\circ}^{\prime}\in\mathbb{T}\）和\（\Theta_{bullet}，\Theta_{bullet}^{prime}>0\）因此，\（\Xi_{\sigma}（-\frac{\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}）是一个随机Mittag-Lefler控制函数。

现在，我们来介绍福克斯\（\mathbb{H}\）-功能[30]如下：

$$\开始{aligned}&\mathbb{H}^{m，n}_{p，q}\bigl[z\vert{}^{（a_{j}，a_{j{）{1，p}}_{（b_{j｝，b_{jneneneep）_{1，q}}\bigr]：=\frac{1}{2\pii}\int_{mathfrak{L}}\theta（\xi）z^{xi}\，d\xi，\\quad i^{2}=1，\quad z\in\mathbb{C}\反斜杠\{0\}，\quad z^{xi}=\exp\bigl（\xi\bigl[\log\vert z\vert+i\arg（z）\bigr]\bigr），\end{aligned}$$

(4.3)

在哪儿\（\log\vert z\vert）表示的自然对数\（\vert z\vert\）和\（\arg（z）\）不一定是主要价值。为了方便起见，让

$$\theta（\xi）：=\frac{\prod^{米}_{j=1}\伽马（b_{j} -B类_{j} \xi）\prod_{j=1}^{n}\Gamma（1-a{j}+a{j}\xi_{j} -A类_{j} \xi）}$$

空乘积解释为1，整数米,n个,第页,q个满足不等式

$$0\leq n\leq p\quad\text｛and｝\quad 1\leq m\leq$$

其中系数

$$A_{j}>0\quad（j=1，\ldots，p）\quad\text{和}\quad B_{j{>0\quid（j=1，\ldot，q）$$

以及复杂的参数

$$a_{j}\quad（j=1，\ldots，p）\quad\text{和}\quadb_{jneneneep \quad$$

被约束到没有被积函数的极点(4.3)重合，以及\（\mathfrak{L}\）是梅林-巴恩斯型的合适轮廓（在综合体中ξ-平面）将一个产品的两极与另一个产品分开。此外，如果我们允许

$$\ell:=\sum_{j=1}^{n} A类_{j}-\sum_{j=n+1}^{p} A类_{j} +\总和{j=1}^{m} B类_{j}-\sum_{j=m+1}^{q} B_{j} >0$$

然后是积分(4.3)绝对收敛并定义\（\mathbb{H}\）-功能，部门分析

$$\bigl\vert\arg（z）\bigr\vert<\frac{1}{2}\ell\pi$$

要点\（z=0）被默认地排除在外。事实上\（\mathbb{H}\）-函数是有意义的，它定义了一个解析函数z（z）也可以在以下任一情况下

$$\epsilon:=\sum_{j=1}^{p} A类_{j}-\sum_{j=1}^{q} B_{j} <0\quad\text{和}\quad 0<\vert z\vert<\infty$$

或

$$\epsilon=0\quad\text{和}\quad 0<\vert z\vert<R:=\prod_{j=1}^{p} A类_{j} ^{-A_{j}}\prod_{j=1}^{q} B_{j} ^{B_{j}}$$

以类似的方式，我们可以证明\（\mathbb{H}^{m，n}_｛p，q｝[-\frac｛\Vert\mathbf{T}（T）_{\circ}\Vert}{\Theta_{\bullet}}\Vert{}^{（a_{j}，a_{j{）{1，p}}{是一只随机的狐狸\（\mathbb{H}\）-控制功能，适用于所有\（\mathbf{T}（T）_{\circ}\in\mathbb{T}\）和\（\Theta_{bullet}>0\）,\（A_｛j｝，A_｛j｝>0\）(\（j=1，\ldot，p）),\（B_{j}，B_{j{>0\）(\（j=1，\ldot，q）)和\（p，q\in\mathbb{N}\）。

推论4.1

让 \（（\Omega_{1}，\Phi，\odot_{M}，\ odot_}M}）\） 是矩阵Menger-Banach代数。假设 \（\mathsf{M}>1\） 和 W公司 是非负实数,和 \（\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 随机运算符是否满足 \（\mathcal｛Q｝（j，0）=0\） 和

$$\开始{对齐}[b]&\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}）-\mathcal{Q}（j，\ mathsf}S}）-\mathcali{Q}-（j，\tathsf{R}{希腊}_{1} [\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}+\mathsf{A}{希腊}_{2} [\mathcal{Q}（j，\mathsf{R}+\mathsf{A}^{\mathsf{M}}+\Vert\mathsf（R）}\Vert^{\mathsf（M）}+\Vert\mathsf{A}\Vert（M）{（M））}{\Theta}\biggr），\\&\qquad{}\frac{\Theta}{\Thet+\mathsf{W}}\Vert^{\mathsf{M}}+\Vert\mathsf{R}\Vert ^{\mathsf{M}}+\ Vert\mathsf{A}\Vert\mathsf}）}{\Theta}\biggr），\\&\qquad{}\mathbb{H}^{m，n}_{p，q}\biggl[-\frac{\mathsf{W}（\Vert\mathsf}S}\Vert^{\mathf{M}}+\Vert\mathsf{R}\Vert_mathsf[M}}+\Vert\mathsf{A}\Verthsf{M{}）}{\Theta}\bigm\Vert^{（A_{j}，A_{j{）_{1，p}}_{（b_{{j}，b_{j}）{1，q}}\biggr]\biggr]\end{aligned}$$

(4.4)

为所有人 \（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）,\（0<\西格玛\leq 1\）,\（\Theta>0\）,\（A_｛j｝，A_｛j｝>0\）(\（j=1，\ldot，p）),\（B_｛j｝，B_｛j｝>0\）(\（j=1，\ldot，q）),和 \（p，q\in\mathbb{N}\）。则存在唯一的加性随机算子 \（\mathcal{V}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 这样的话

$$\开始{对齐}[b]\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）-\mathcal{V}}{2（2^{\mathsf{M}}-2）\Theta}\biggr），\\&{}\frac{2（2 ^{\mathsf{M}}-2\Vert\mathsf{S}\Vert^{\mathsf}M}}\boldsymbol{\Xi}_{\sigma}\biggl（-\frac{2^{\mathsf{M}+2}\mathsf{W}\Vert\mathsf}S}\Vert^{\mathsf2{M}}{2（2^{\tathsf{M}-2）\Theta}\bigr），\\&{}\mathbb{H}^{m，n}_{p，q}\biggl[-\frac{2^{\mathsf{M}+2}\mathsf{W}\Vert\mathsf}\S}\Vert^{\mathsf{M}}{2 biggr]\biggr]，\end{对齐}$$

(4.5)

为所有人 \（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）,\（0<\西格玛\leq 1\）,\（\Theta>0\）,\（A_｛j｝，A_｛j｝>0\）(\（j=1，\ldot，p）),\（B_｛j｝，B_｛j｝>0\）(\（j=1，\ldot，q）),和 \（p，q\in\mathbb{N}\）。

证明

它遵循定理2.2通过推杆

$$\begin{aligned}\phi^{\mathsf{S}，\mathsf{R}，\tathsf{A}}_{\Theta}={}&\operatorname{diag}\biggl[\exp\biggl（-\frac{\mathsf{W}（\Vert\mathsf}S}\Vert^{\mathsf{M}}+\Vert\mathsf}{R}\Vert_{\mathf{M{}+\Vert\mathsf{A}\Vert^{\mathsf{M}}）}{\Theta}\biggr}+\Vert\mathsf{R}\Vert^{mathsf}M}}+\Vert\mathsf{A}\Vert_{mathsf{M}}）}，\\&{}\boldsymbol{\Xi}_{\sigma}\biggl（-\frac{\mathsf\W}（\Vert\marhsf{S}\Vert1^{\mathf{M}+\Vert\mathsf+\Vert\mathsf{A}\Vert^{mathsf{M}}）}{Theta}\biggr），\\&{}\mathbb{H}^{m，n}_{p，q}\biggl[-\frac{\mathsf{W}（\Vert\mathsf}S}\Vert^{\mathf{M}}+\Vert\mathsf{R}\Vert_mathsf[M}}+\Vert\mathsf{A}\Verthsf{M{}）}{\Theta}\bigm\Vert^{（A_{j}，A_{j{）_{1，p}}_{（b_{{j}，b_{j}）{1，q}}\biggr]\biggr，\end{aligned}$$

为所有人\（\mathsf{S}，\mathsf{R}，\ mathsf}A}\ in \Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）,\（\Theta>0\）,\（0<\西格玛\leq 1\）,\（A{j}，A{j}>0\）(\（j=1，\ldot，p）),\（B_{j}，B_{j{>0\）(\（j=1，\ldot，q）),\（p，q\in\mathbb{N}\）、和\（\mathfrak｛P｝=2^｛1-\mathsf｛M｝｝）. □

推论4.2

假设 \（（\Omega_{1}，\Phi，\odot_{M}，\ oslash_{M{）\） 是矩阵Menger-Banach代数。假设 \（\mathsf{M}<1\）,\（\mathsf｛W｝\geq 0\）,和 \（\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 随机运算符是否满足(4.4)和 \（\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）=0\） 为所有人 \（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\） 和 \（j\in\mathcal{j}）。则存在唯一的加性随机算子 \（\mathcal{V}:\mathcal{J}\times\Omega_{1}\rightarrow\Omega{2}\） 这样的话

$$\开始{对齐}[b]\Phi^{\mathcal{Q}（j，\mathsf{S}）-\mathcal{V}}}）\Theta}\biggr），\frac{（2-2^{\mathsf{M}}}}，\\&{}\粗体符号{\Xi}_{\sigma}\biggl（-\frac{2\mathsf{W}\Vert\mathsf}\S}\Vert^{\mathsf\M}}{（2-2^{\mathsf{M}}）\Theta}\bigr），\mathbb{H}^{m，n}_{p，q}\biggl[-\frac{2^{\mathsf{M}+2}\mathsf{W}\Vert\mathsf}\S}\Vert^{\mathsf{M}}{2 biggr]\biggr]，\end{对齐}$$

(4.6)

为所有人 \（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）,\（0<\西格玛\leq 1\）,\（\Theta>0\）,\（A{j}，A{j}>0\）(\（j=1，\ldot，p）),\（B_{j}，B_{j{>0\）(\（j=1，\ldot，q）),和 \（p，q\in\mathbb{N}\）。

证明

这一主张来源于定理2.3通过推杆

$$\begin{aligned}\phi^{\mathsf{S}，\mathsf{R}，\tathsf{A}}_{\Theta}={}&\operatorname{diag}\biggl[\exp\biggl（-\frac{\mathsf{W}（\Vert\mathsf}S}\Vert^{\mathsf{M}}+\Vert\mathsf}{R}\Vert_{\mathf{M{}+\Vert\mathsf{A}\Vert^{\mathsf{M}}）}{\Theta}\biggr}+\Vert\mathsf{R}\Vert^{mathsf}M}}+\Vert\mathsf{A}\Vert_{mathsf{M}}）}，\\&{}\boldsymbol{\Xi}_{\sigma}\biggl（-\frac{\mathsf\W}（\Vert\marhsf{S}\Vert1^{\mathf{M}+\Vert\mathsf+\Vert\mathsf{A}\Vert^{mathsf{M}}）}{Theta}\biggr），\\&{}\mathbb{H}^{m，n}_{p，q}\biggl[-\frac{\mathsf{W}（\Vert\mathsf}S}\Vert^{\mathf{M}}+\Vert\mathsf{R}\Vert_mathsf[M}}+\Vert\mathsf{A}\Verthsf{M{}）}{\Theta}\bigm\Vert^{（A_{j}，A_{j{）_{1，p}}_{（b_{{j}，b_{j}）{1，q}}\biggr]\biggr，\end{aligned}$$

为所有人\（\mathsf{S}\in\Omega_{1}\）,\（j\in\mathcal{j}）,\（\Theta>0\）,\（0<\sigma\leq 1）,\（A{j}，A{j}>0\）(\（j=1，\ldot，p）),\（B_{j}，B_{j{>0\）(\（j=1，\ldot，q）),\（p，q\in\mathbb{N}\）、和\（\mathfrak｛P｝=2^｛\mathsf{M} -1个}\). □

5结论

通过直接法和不动点法，我们研究了加法的一个近似\（（\mathcal）{希腊}_{1} ，\mathcal{希腊}_{2})\)-矩阵Menger赋范代数中一类随机矩阵控制函数的随机算子不等式。作为应用，我们应用了随机Mittag-Lefler控制函数和\（\mathbb{H}\）-fox控制函数在随机算子不等式中得到了较好的逼近。

如前一节所示，使用一种新方法（替代不动点方法），我们得到了一个新的稳定性近似结果，与直接方法相比，该结果产生了更好的近似。

至于未来的研究方向，我们可以用超几何函数、Wright函数、Fox–Wright方程等来代替上述控制函数。此外，我们可以使用矩阵值模糊控制函数来代替一类随机矩阵控制函数。