强拓扑下概率广义度量空间的统计收敛性

摘要

在本文中，概率的概念克-度度量空间我，这是概率的推广G公司-引入度量空间。然后，通过赋予强拓扑我-子集的维数渐近密度A类属于\（\mathbb{N}^{l}\）用于引入统计收敛的Cauchy序列并研究一些基本事实。

1介绍

概率度量空间理论(颗粒物-空间）作为普通度量空间的推广，由Menger于[12]. 在这个空间中，分布函数被认为是统计中一对点的距离，而不是确定性。

广义度量空间的概念（简要G公司-公制空间）由穆斯塔法和西姆斯于2006年推出[16]. 然后，在2014年，Zhou等人[26]广义的概念颗粒物-空间到G公司-度量空间，定义了概率广义度量空间，用PGM公司-空间。

在[三]，Choi等人提出了G公司-度量空间命名克-度度量空间我，其中距离随度数变化\（l=1,2）相当于普通和G公司-公制。

统计收敛的概念是由斯坦豪斯首先提出的[25]用于实际序列，由Fast开发[7]然后由肖恩伯格重新介绍[22]. 许多作者，例如[4,6,8,9,17,21]，讨论并发展了这一概念。统计收敛理论在各个领域有许多应用，如近似理论[5]，有限可加集函数[4]，三角级数[27]，和局部凸空间[11].

2008年，Sencimen和Pehlivan[24]在具有强拓扑的概率度量空间中引入了统计收敛序列和统计柯西序列的概念。

本文的目的是发展一个概念来推广概率G公司-概率度量空间克-度度量空间我这里，广义空间的符号仍然称为PGM公司-空间。这个我-子集的维数渐近密度A类属于\（\mathbb{N}^{l}\）作者之前在[1]介绍了关于强拓扑的统计收敛序列和Cauchy序列，并研究了一些基本事实。注意，在这个定义中\（l=1）和\（l=2）这些值与颗粒物-空间和PGM公司-空间（与G公司-公制）。因此，定义和所得结果表明，本研究更全面。

2前期工作

在本节中，与以下内容相关的一些基本定义和结果颗粒物-空间，PGM公司-给出并讨论了空间和统计收敛性。首先，回顾三角范数的定义(t吨-规范）如下。

定义2.1

([23])

地图\（T:[0,1]\倍[0,1]\~[0,1]\\）被称为连续t-范数如果T型满足以下条件：

• （i） T型是交换的和关联的，即。，\（T（a，b）=T（b，a）\）和\（T（a，T（b，c））=T（T（a，b），c）为所有人\（[0,1]\中的a、b、c）;

• （ii） T型是连续的；

• （iii） \（T（a，1）=a）为所有人\（[0,1]\中的a）;

• （iv） \（T（a，b）\leq T（c，d）\）无论何时\（a \leq c）和\（b \leq d）为所有人\（[0,1]\中的a、b、c、d）.

A分布函数F类是来自扩展领域的地图\（\mathbb{右}_{\infty}:=\mathbb{R}\cup\{-\infty，\infty-}\）进入之内$[0, 1]$这样，它在每个实数上都是不递减的、左连续的，并且\（F（-\infty）=0）和\（F（infty）=1）所有分布函数的集合用Δ和表示\（\Delta^{+}:=\{F\in\Delta:F（0）=0\}\）.

定义2.2

([23])

一个Menger概率度量空间(颗粒物-空格）是三元组\（（X，F，T）\），其中X（X）是非空集合，T型是连续的t吨-规范。和F类是来自的映射\（X\乘以X\到\增量^｛+｝\）满足以下条件：

(\（F_｛（x，y）｝\）表示的值F类在这对\（（x，y）\）)

• （i） \（F_{（x，y）}（t）=1）为所有人\（x中的x，y\）和\（t>0\）当且仅当\（x=y）;

• （ii） \（F_{（x，y）}（t）=;

• （iii） \（F{（x，y）}（t+s）为所有人\（x中的x、y、z）和\（t，s \geq 0）.

定义2.3

([16])

让X（X）是一个非空集合并且\（G:X\乘以X\乘以X\到\mathbb{R}^{+}\），是一个满足以下条件的函数：

• 1) \（G（x，y，z）=0）如果\（x=y=z）;

• 2) \（0<G（x，x，y）\）为所有人\（x中的x，y\）具有\（x\neq y\）;

• 3) \（G（x，x，y））为所有人\（x中的x、y、z）具有\（z\neq y\）;

• 4) \（G（x，y，z）=G（x、z、y）=G（三个变量对称）；

• 5) \（G（x，y，z）\leq G（x、a、a）+G（a、y、z）\）为所有人\（x中的x，y，z，a）.

然后这对\（（X，G）\）被称为G公司-度量空间。

以下定义是对颗粒物-上的空格G公司-公制。

定义2.4

([26])

A类门格尔概率 G度量空间(PGM公司-空格）是三元组\（（X，G^{*}，T）\），其中X（X）是一个非空集合，T型是连续的t吨-规范，以及\（G^{*}\）是来自的映射\（X次X次X）进入之内\（\增量^{+}\），满足以下条件：

• （i） \（G^{*}_{（x，y，z）}（t）=1\）为所有人\（x中的x、y、z）和\（t>0\）当且仅当\（x=y=z）;

• （ii） \（G^{*}_{（x，x，y）}（t）为所有人\（x中的x，y\）具有\（z\neq y\）和\（t>0\）;

• （iii） \（G^{*}_{（x，y，z）}（t）=G^{**}_{（x，z，y）}（三个变量对称）；

• （iv） \（G^{*}_{（x，y，z）}（t+s）\geqT为所有人\（x中的x，y，z，a）和\（s，t\geq 0）.

定义2.5

([26])

让\（（X，G^{*}，T）\）成为PGM公司-空间和\（x_｛0｝\在x\中）。对于\（epsilon>0\）和\（0<增量<1），的\（（\ε，\δ）\）-附近\（x{0}\）定义如下：

$$N_｛x_｛0｝｝（\epsilon，\delta）=\bigl\｛y\在x:G^｛*｝_｛（x_｛0｝，y，y）｝（\epsilon）>1-\delta，G^｛*｝_｛（y，x_｛0｝，x_｛0｝）｝（\epsilon）>1-\delta\bigr｝中$$

定义2.6

([26])

• （i） A序列\（{x{n}）在一个PGM公司-空间\（（X，G^{*}，T）\）据说是收敛的到某一点\（x中的x）如果，对于每个\（epsilon>0\）和\（0<增量<1），存在一个正整数\（M_{\epsilon，\delta}\）这样的话\（x_{n}\在n_{x}（\epsilon，\delta）中\）无论何时\（n>M_{\epsilon，\delta}\）.

• （ii） A序列\（{x{n}）在一个PGM公司-空间\（（X，G^{*}，T）\）被称为柯西序列if，对于每个\（epsilon>0\）和\（0<增量<1），存在一个正整数\（M_{\epsilon，\delta}\）这样的话\（G^{*}{（x{m}，x{n}，x{l}）}（\epsilon）>1-\delta\）无论何时\（m，n，l>m_{ε，δ}）.

• （iii） A类PGM公司-空间\（（X，G^{*}，T）\）据说是完成如果每个Cauchy序列X（X）收敛到中的一点X（X）.

在下文中，将讨论统计收敛的一些基本概念。

定义2.7

([7])

让\（A\subet\mathbb｛N｝\）和\（A（n）={k\在A中；k\leqn\}\）。然后渐近密度属于A类定义如下：

$$\delta（A）=\lim_{n\to\infty}\frac{\vertA（n）\vert}{n}$$

对于子集A类属于\（\mathbb{N}\），如果\（△（A）=1）据说是统计密度很明显\（\delta（\mathbb{N} -A类)=1-\增量（A）\）.

定义2.8

([7])

A序列\（{x{n}）在里面\（\mathbb{R}\）据说是统计收敛的到某一点x个在里面\（\mathbb{R}\）如果，对于每个\（epsilon>0\）,

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\bigl\vert\bigl\{k\leqn：\vert x_{k} -x个\vert\geq\epsilon\bigr\}\bigr\ vert=0$$

有关统计收敛的更多信息，请参阅[2,4,7–10,13–15,18–20]可以寻址。

三主要成果

本节介绍并讨论了主要定义和结果。首先，考虑以下定义，它是G公司-公制空间到我-尺寸情况，其中\（l\in\mathbb{N}\）.

定义3.1

([三])

让X（X）做一个非空的集合。A函数\（g:X^{l+1}\longrightarrow\mathbb{右}_{+}\)被称为克-度度量我在X（X）如果满足以下条件：

• 第1组） \（g（x{0}，x{1}，\ldots，x{l}）=0\）当且仅当\（x{0}=x{1}=\cdots=x{l}\）,

• g2） \（g（x{0}，x{1}，\ldots，x{l}）=g（x_{\sigma（0）}，x_{\segma（1）}用于置换σ在\（\{0，1，\ldot，l\}\）,

• g3） \（g（x{0}，x{1}，ldots，x{l}）为所有人\（（（x{0}，x{1}，\ldots，x{l}），（y_{0}.，y_{1}.，\ldot，y_}）在x^{l+1}中具有\（{x{i}:i=0，1，\ldots，l\}\substeq\{y_{i}：i=0、1，\ltots，l \}\）,

• g4） 对于所有人\（x_{0}，x_{1}，\ldot，x_}s}，y_{0{，y_1}，\ ldot，y_}t}，w\ in x\）具有\（s+t+1=l\）,

  $$g（x{0}，x{1}，\ldot，x{s}，y{0}，y{1}，\ldots，y{t}）\leq g（x_{0}$$

这对\（（X，g）\）被称为克-公制空间。值得注意的是，如果\（l=1）（分别为。\（l=2）)则它等价于一个普通的度量空间（分别是。G公司-公制空间）。

定义3.2

([三])

让\（（X，g）\）成为克-公制空间，\（x中的x）成为重点，并且\（{x_{k}\}\subseteq x\）是一个序列。

• 1) \（{x{k}） 克-收敛到x个如果是所有人\（epsilon>0\）存在\（N\in\mathbb{N}\）这样的话

  $$i{1}，\ldots，i{l}\geq N\quad\Longrightarrow\quad g（x，x{1}，\ldot，x{l}）<\epsilon$$

• 2) \（{x{k}）据说是克-柯西（Cauchy if for all）\（epsilon>0\）存在\（N\in\mathbb{N}\）这样的话

  $$i{0}，i{1}，\ldot，i{l}\geq N\quad\Longrightarrow\quad g（x_{i{0{}，x_{1}}，\ ldot，x_i{l{}}）<\epsilon$$

• 3) \（（X，g）\）如果每个克-Cauchy序列\（（X，g）\）是克-收敛于\（（X，g）\）.

现在，通过装备Definition2.4具有克-度量，我们引入以下定义，这是一个推广。

定义3.3

门格尔概率克-度量空间（仍然表示为PGM公司-空格）是三元组\（（X，F，T）\），其中X（X）是一个非空集合，T型是连续的t吨-规范，以及F类是来自的映射\（X^{l+1}\）进入之内\（\增量^{+}\），满足以下条件：

• （i） \（F{（x{0}，x{1}，\ldots，x{l}）}（t）=1\）为所有人\（x\中的x_{0}，x_{1}，\ldots，x_}l}\）和\（t>0\）当且仅当\（x{0}=x{1}=\cdots=x{l}\）;

• （ii） \（F{（x{0}，x{1}，\ldots，x{l}）}（t）\geqF{为所有人\（（（x{0}，x{1}，\ldots，x{l}），（y_{0}.，y_{1}.，\ldot，y_}）在x^{l+1}中具有\（{x{i}:i=0，1，\ldots，l\}\substeq\{y_{i}：i=0、1，\ltots，l \}\）;

• （iii） \（F{（x{0}，x{1}，\ldots，x{l}）}（t）=F{用于置换σ在\（\{0，1，\ldot，l\}\）;

• （iv） 对于所有人\（x_{0}，x_{1}，ldots，x_}m}，y_{0{，y_1}，idots，y_}n}，w\ in x\）具有\（m+n+1=l\）,

  $$F_{（x_{0}，x_{1}，\ldots，x_}m}，y_{0{，y_1}，\tots，y_}n}）}（t+s）\geqT\bigl（F_{（x_}0}、x_1}、\tots、x_{m}、w、w）}\ldot，w）}（s）\bigr）$$

下面，根据中给出的渐近密度的推广[1]，统计收敛和Cauchy序列PGM公司-引入了空间。

定义3.4

让\（（X，F，T）\）成为PGM公司-空间。对于任何\（epsilon>0\）,\（0<增量<1）和\（x\在x\中），强者\（（\ε，\δ）\）-附近x个由子集定义\（M_{x}（\ε，\δ）\）属于\（X^{l}\）如下：

$$M_{x}（\epsilon，\delta）=\bigl\{（x_{1}，x_{2}，\ldots，x_}）\in x^{l}；F{（x，x{1}，x{2}，\ldots，x{l}）}（\epsilon）>1-\delta\bigr\}$$

接下来，我们将集合的渐近密度的概念推广到我-维度案例。

定义3.5

让\（K\子集\mathbb{N}^{l}\），的l维渐近密度属于K由定义

$$\delta_{l}（K）=\lim_{n\to\infty}\frac{l！}{n^{l}}\bigl\vert\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\K；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn\bigr\}\bigr\vert$$

定义3.6

让\（（X，F，T）\）成为PGM公司-空间。

• （i） A序列\（{x{n}）在里面X（X）在统计上收敛到一点x个在里面X（X）w.r.t.强拓扑如果，对于任何\（epsilon>0\）和\（0<增量<1）,

  $$\delta_{l}\bigl（\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\in\mathbb{N}^{l}:F_{（x_{i_1}}，x_{i_2}}），\ldot，x_i_{l{}，x）}（\epsilon）\leq 1-\delta\bigr\}\bigr）=0$$

  并表示为\（x{n}\覆盖{st}{\右箭头}x\）或\（st-\lim_{n\to\infty}x_{n}=x\）.

• （ii） \（{x{n}）称为统计Cauchy w.r.t.强拓扑\（epsilon>0\）和\（0<增量<1），存在\（i_{\epsilon}\in\mathbb{N}\）这样的话

  $$\delta_｛l｝\bigl（\bigl\{（i_｛1｝，i_｛2｝，\ldots，i_｛l｝）\in\mathbb｛N｝^｛l｝：F_｛（x_｛i_｛1｝｝，x_｛i_｛2｝｝，\ldots，x_｛i_｛l｝｝，x_｛i_｛\epsilon｝）｝（\ epsilon）\leq 1-\delta\bigr｝\bigr）=0$$

我们可以重申部分\（（i）\）定义如下：

(\（i ^｛\prime｝\）):

\（x{n}\覆盖{st}{\右箭头}x\）如果且仅当，对于任何\（epsilon>0\）和\（0<增量<1）,

$$\delta_{l}\bigl（\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）在\mathbb{N}^{l}中：（x_{i_{1\}，x_{2{}，\ ldots、x_{l{}）notinM_{x}（\epsilon，\delta）\bigr\}\bigr）=0$$

以下定理表明，如果序列在统计上收敛到X（X），那么这一点是独一无二的。

定理3.7

让 \（{x{n}） 是一个序列 PGM公司-空间 \（（X，F，T）\） 这样的话 \（x{n}\覆盖{st}{\右箭头}x\） 和 \（x{n}\覆盖{st}{\右箭头}y\）,然后 \（x=y）.

证明

让\（epsilon>0\）和\（0<增量<1），通过T型，存在\（0<\增量{0}<1\）这样的话

$$T（1-\增量{0}，1-\增量}）>1-\增量$$

设置

$$\开始{对齐}&A（\epsilon，\delta）：=\biggl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\in\mathbb{N}^{l}:F_{（x_{i_1}}，x_{i_2}}），\ldot，x_i_{l}}}{0}\biggr\}，\\&B（\epsilon，\delta）：=\biggl\{（i{1}，i{2}，\ldots，i{l}）\in\mathbb{N}^{l}:F{（x{i{1{}，x{i}2}}\biggl（\frac{\epsilon}{2}\biggr）\leq1-\delta{0}\bigr\}，\end{aligned}$$

和

$$C（\epsilon，\delta）：=A$$

自\（x{n}\覆盖{st}{\右箭头}x\）和\（x{n}\覆盖{st}{\右箭头}y\），所以\（delta_{l}（A（\epsilon，\delta））=\delta_}（B（\epsilon，\telta））=0.）因此\（δ{l}（C（ε，δ））=0\），因此\（delta_{l}（C^{C}（\epsilon，\delta））=1\）.假设\（（（i{1}，i{2}，\ldots，i{l}）在C^{C}（\epsilon，\delta）中，然后是定义的第（ii）部分3.3和（iv）定义2.1我们有

$$开始{对齐}F_{（x，y，y，\ldots，y）}（\epsilon）和\geq T\biggl frac{\epsilon}{2}\biggr）\&\geq T\biggl（F{（x{i{1}}，x{i}2}，\ldot，x{i{l}}}，\ldots，x_｛i_｛l｝｝，y）｝\biggl（\frac｛ε｝｛2｝\biggr）\\&>T（1-\δ_｛0｝，1-\δ_｛0｝）\\&>1-\δ。\结束{对齐}$$

自\（增量>0）是武断的，我们得出结论\（F_{（x，y，y，\ldots，y）}（\epsilon）=1\），因此\（x=y \）. □

定理3.8

中的每个收敛序列 PGM公司-空间在统计上是收敛的.

证明

让\（{x{n}）是中的一个序列PGM公司-空间\（（X，F，T）\）收敛到一点\（x中的x）。对于\（epsilon>0\）和\（0<增量<1），存在\（n_{0}\in\mathbb{n}\）这样，对所有人来说\（i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\geqn{0}\）,

$$F{（x{i{1}}，x{i}2}，\ldots，x{i{l}，x）}（\epsilon）>1-\delta$$

设置

$$A（n）：=\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\in\mathbb{n}^{l}:i_{1}，i_{2}，\ ldots、i_{l}\leq n，F{$$

然后

$$\bigl\vert A（n）\bigr\vert\geq\binom{n-n_{0}}{l}$$

和

$$\lim_{n\to\infty}\frac{l！\vert A（n）\vert}{n^{l}}\geq\lim_{n\to\infty}\frac{l！}{n_{l}{binom{n-n_{0}}{l}=1$$

所以

$$st-\lim_{n\to\infty}x_{n}=x$$

 □

示例3.9证明了上述定理的逆命题是无效的。

示例3.9

让\（X=\mathbb{R}\）和\（G:\mathbb{R}\times\mathbb}R}\times\mathbb{R}\ longrightarrow\mathbb2{R}^{+}\）成为G公司-上的公制\（\mathbb{R}\）由定义

$$G（x，y，z）=\vert x-y\vert+\vert x-z\vert+\vert y-z\vert$$

\（（T=\分钟）\）定义函数\（F:\mathbb{R}\times\mathbb}R}\times\mathbb{R}\ longrightarrow\mathbb2{R}^{+}\）如下：

$$F_{（x，y，z）}（t）=\textstyle\begin{cases}H（t），&x=y=z，\\mathcal{D}{（\frac{t}{G（x，y，z）{）}，&\text{otherwise，}\end{casesneneneep$$

哪里\（H（t）\）和\（\mathcal{D}（t）\）分布函数如下：

$$H（t）=\textstyle\begin｛cases｝0，\t\t\leq 0，\\t，\t\t>0。\end{cases}\displaystyle，\quad\quad\mathcal{D}=\textstyle\begin{cases}0，&t\leq 0，\\1-e^{-t}，&t>0。\结束{cases}$$

现在，考虑中的以下顺序\（\mathbb{R}\）:

$$x_｛n｝=\textstyle\boot｛cases｝n，&n\text｛为正方形，｝\\1，&&\text｛否则。｝\end｛cases｝$$

很明显\（{x{n}）统计上收敛到1，但它不是正常收敛的。

定义3.10

一套\（A={n_{k}:k\in\mathbb{n}\}\）据说是统计密度在里面\（\mathbb{N}\）如果集合

$$A（n）=\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）在A^{l}，i_{1{，i_2}，\ ldots、i_{l}\leqn\bigr\}中$$

具有渐近密度1，即。，

$$\delta_{l}（A）=\lim_{n\to\infty}\frac{l！\vertA（n）\vert}{n^{l}}=1$$

定理3.11

让 \（{x{n}） 是中的一个序列 PGM公司-空间 \（（X，F，T）\）.那么以下是等效的:

• （i） \（{x{n}） 统计上收敛到一点 \（x中的x）.

• （ii） 有一个序列 \（\｛y_｛n｝\｝\） 在里面 X（X） 这样的话 \（x{n}=y{n}\） 几乎所有人 n个,和 \（{y_{n}\}\） 收敛到x.

• （iii） 有一个统计密集的子序列 \（{x{n{k}}） 属于 \（{x{n}） 这样的话 \（{x{n{k}}） 是收敛的.

• （iv） 有一个统计密集的子序列 \（{x{n{k}}） 属于 \（{x{n}） 这样的话 \（｛x_｛n_｛k｝｝\｝\） 在统计学上是收敛的.

证明

\（（（i\Longrightarrow\mathit{ii}）\）让\（{x{n}）是一个收敛于x个，所以

$$开始{对齐}和\delta_{l}\bigl（\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\in\mathbb{N}^{l}:F_{（x_{i_1}}，x_{i_2}，\ ldots、x_{l{}，x）}（\epsilon）>1-\delta\bigr\}\bigr）\&\quad=\lim_{N\to \infty}\frac{l！}{N^{l}}\bigl|\bigl\{（i{1}，i{2}，\ldots，i{l}）\in\mathbb{N}^{l{；i_｛1｝，i_｛2｝，\ldots，i_｛l｝\leq n，F_｛（x_｛i_｛1｝｝，x_｛i_｛2｝｝），\ldots，x_｛i_｛l｝｝，x）｝（\epsilon）>1-δ\bigr｝\bigr |=1。\结束{对齐}$$

对于每个\（k\in\mathbb{N}\），我们可以选择递增序列\（{n_{k}）这样，对于每一个\（n>n{k}\）,

$$\frac{l！}{n^{l}}\biggl\vert\biggl{（i{1}，i{2}，\ldots，i{l}）\in\mathbb{n}^{l{；i{1}，i{2}，\ldot，i{l}\leqn，F{（x{i{1{}}，x{i}2}、\ldot、x{i_l}}、x）}（\epsilon）>1-\frac{1}{2^{k}}\biggr\}\bigr\vert>1-\frac{1{2^}{k}$$

定义顺序\（{y_{n}\}\）如下：

$$y_{m}=\textstyle\begin{cases}x{m}，&1\leqm\leqn_{1}，\\x{m{，&n_{k}<m\leq n_{k+1}，i{1}，i{2}，\ldot，i{l-1}\leq n _{k+1}}，x{m}，x）}（\epsilon）>1-\frac{1}{2^{k}}，\\x，&\text{otheral}。\结束{cases}$$

选择\（k\in\mathbb{N}\）这样的话\（\压裂{1}{2^{k}}<\增量\）很明显\（{y_{m}）收敛到x个.修复\（n\in\mathbb{n}\），用于\（n{k}<n\leqn{k+1}），我们有

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\in\mathbb{N}^{l}；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn；x{i{j}}\neqy_{i{j}}\bigr\}\\&\quad\substeq\bigl\{（i{1}，i{2}，ldots，i{l}）\in\mathbb{N}^{l}:；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn\bigr\}\\&\quad\quad\biggl{}-\biggl\{（i{1{，i}，ildots，i{l}）\in\mathbb{n}^{l}；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn{k}，F{（x{i{1{}，x{i}2}。\end{aligned}\end{alinged}$$

因此，

$$开始{对齐}&\lim_{n\to\infty}\frac{l！}{n^{l}}\bigl\vert\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldot，i_}）\in\mathbb{n}^{l{；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn；x{i{j}}\neqy_{i{j}}\bigr\}\biger\vert\\&\quad\leq1-\lim_{n\to\infty}\frac{l！}{n^{l}}\biggl\vert\biggl{（i{1}，i{2}，\ldots，i{l}）\in\mathbb{n}^{l{；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn{k}，F{（x{i{1{}，x{i}2}对齐}$$

所以

$$\开始{aligned}&\delta_{l}\bigl（\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\in\mathbb{N}^{l}；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn；x{i{j}}\neqy_{i{j}}\bigr\}\biger）\\&\quad=\lim_{n\to\infty}\frac{l！}{n^{l}}\bigl\vert\bigl\{（i{1}，i{2}，\ldots，i{l}）\in\mathbb{n}^{l{}；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn；x_｛i_｛j｝｝\neq y_｛i_｛j｝｝\bigr\｝\bigr\vert=0。\结束{对齐}$$

\（（\mathit{ii}\Longrightarrow\mathit{ii{）\）让\（{y_{n}\}\）是中的收敛序列X（X）和\（A=\mathbb｛n｝：y_｛n｝\neq x_｛n｝\｝\）.我们有\（△{l}（A）=1），所以序列\（{y_{n}\}\）是的统计密集子序列\（{x{n}）这是收敛的。

\（（\mathit{ii}\Longrightarrow\mathit{iv}）\）从定理中可以看出3.8.

\（（\mathit{iv}\Longrightarrow i）\）让\（{x{n{k}}）是一个统计密集的子序列\（{x{n}）在统计上收敛到一点\（x中的x）.设置\（A={n_{k}:k\in\mathbb{n}\}\），所以\（△{l}（A）=1）。对于ϵ>和\（0<增量<1）,

$$\开始{aligned}&\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\in \mathbb{N}^{l}；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn，F{（x{i{1{}，x{i}2}；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn，F{（x{i{1{}，x{i}2}），\ldot，x{i{l}}，x）}（\epsilon）>1-\delta\bigr\}。\结束{对齐}$$

因此，

$$开始{对齐}&\lim_{n\to\infty}\frac{l！}{n^{l}}\bigl\vert\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldot，i_}）\in\mathbb{n}^{l{；i{1}，i{2}，\ldot，i{l}\leqn，F{（x{i{1{}，x{i}2}{1}，i{2}，\ldots，i{l}）在\mathbb{A}^{l}中；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn，F{（x{i{1{}}，x{i}2}。\结束{对齐}$$

所以，

$$\delta_{l}\bigl（\bigl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\in\mathbb{N}^{l}；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn，F{（x{i{1{}，x{i}2}），\ldot，x{l}}，x）}（\epsilon）>1-\delta\bigr\}\bigr）=1$$

因此\（{x{n}）统计上收敛到x个. □

以下推论是上述定理的直接结果。

推论3.12

中的每个统计收敛序列 PGM公司-空间具有收敛子序列.

定理3.13

中的每个统计收敛序列 PGM公司-空间在统计学上是柯西的.

证明

假设\（{x{n}）是一个在统计上收敛于一点的序列x个.让\（epsilon>0\）和\（0<\增量<1\）.自T型是连续的，有\（0<\增量{1}<1\）和\（0<\增量{2}<1\）这样的话\（T（1-\δ{1}，1-\δ}）>1-\δ）另一方面，存在\（i{\epsilon}\）这样的话

$$F{（}x{i{\epsilon}，x，x，\ldots，x）}\biggl（\frac{\epsilon}{2}\bigr）>1-\delta{1}$$

自

$$F{（x{i{1}}，x{i}2}，\ldot，x{i{l}，x）}（\epsilon）\geq T\biggl（F{ots，x{i{l}}，x{i{\epsilon}}）}\biggl（\frac{\epsilon}{2}\bigr）\biggr）$$

所以

$$\开始{aligned}&\biggl\{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\in\mathbb{N}^{l}；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn，F{（x{i{1{}，x{i}2}1}，i{2}，\ldots，i{l}）\in\mathbb{n}^{1}；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn，F{（x{i{1{}，x{i}2}），\ldot，x{i{l}}，x）}（\epsilon）>1-\delta\bigr\}。\结束{对齐}$$

因此

$$开始{对齐}&\lim_{n\to\infty}\frac{l！}{n^{l}}\biggl\vert\biggl{（i_{1}，i_{2}，\ldots，i_}）\in\mathbb{n}^{l{；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn，F{（x{i{1{}，x{i}2}n\to\infty}\frac{l！}{n^{l}}\bigl\vert\bigl\{（i{1}，i{2}，ldots，i{l}）\in\mathbb{n}^{l{；i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\leqn，F{（x{i{1{}}，x{i}2}。\结束{对齐}$$

自\（{x{n}）是统计收敛的，所以前面不等式的右边是零。因此，它表明\（{x{n}）在统计学上是Cauchy。□

定义3.14

让\（（X，F，T）\）成为PGM公司-空间。如果每个统计柯西序列都是统计收敛的，那么\（（X，F，T）\）据说是统计上已完成.

推论3.15

每个统计完成 PGM公司-空间已完成.

证明

让\（（X，F，T）\）统计完整PGM公司-空间。假设\（{x{n}）是中的Cauchy序列\（（X，F，T）\），所以这是一个统计上的柯西序列。自X（X）统计上是完整的，所以\（x｛n｝\｝\）在统计学上是收敛的。按推论3.12，有一个子序列\（{x{n{k}}）属于\（{x{n}）收敛到一点\（x中的x）.通过连续性T型，用于\（0<增量<1），存在\（0、2、3、4）这样的话

$$\textstyle\begin{cases}T（1-\delta{1}，1-\delta{2}）>1-\ delta，\\T（1-\ delta{3}，1-\delta_{4}）>1-\ delat{1}。\结束{cases}$$

让\（δ{5}：=最大值，δ{2}，δ{3}），那么我们有

$$T\bigl（T（1-\delta_{5}，1-\delta _{4}），1-\delta_{5}\bigr）>1-\ delta$$

对于\（epsilon>0\），自\（{x{n}）是柯西，那么就存在\（N_{1}\in\mathbb{N}\）和\（x{i{epsilon}}位于x{n}中）这样，对所有人来说\（i{1}，i{2}，\ldots，i{l}\geqN{1}\）,

$$F{（x{i{1}}，x{i}2}，\ldots，x{i{l}}$$

从那以后\（x{n{k}}\右箭头x\），存在\（N_{2}\geq N_{1}\）这样，对于\（i{n{1}}，i{n}2}},

$$F{（x{i{n{1}}}，x{i}n{2}}、\ldots、x{i_n{l}}和x）}\biggl（\frac{\epsilon}{4}\bigr）>1-\delta_{5}$$

对于\（i{1}，i{2}，\ldots，i{l}，i{n{1}}，l{n{2}}，我们有

$$\begin｛aligned｝&F_｛（x_｛i_｛1｝｝，x_｛i_｛2｝｝，\ldots，x_｛i_｛l｝，x）｝（\epsilon）\\&&quad\geq T\biggl（F_｛（x_}，x_｛i_｛ε｝）｝\biggl（\frac｛ε｝｛2｝\biggr）\biggr）\\&&quad\geq T\biggl（T\biggl（F_｛（x_｛i_｛ε｝），x_｛i_｛n_｛1｝}}{2}}，\ldot，x{i{l}}}}，\ldot，x{i{n{l}}）}\biggl（\frac{\epsilon}{4}\bigr）（1）\biggr），F{（x{i{1}}，x{i}2}，ldots，x{i{l}}\biger）\\&\quad>1-\delta。\结束{对齐}$$

第三个不等式产生于部分\（（\mathit{ii}）\）定义的3.3以及F类所以，\（{x{n}）是收敛的，因此\（（X，F，T）\）已完成。□