求解Banach空间单调变分不等式的次梯度外梯度算法

摘要

本文介绍了一种求解Banach空间中具有Lipschitz连续单调映射的经典变分不等式问题的算法。我们用一个新的简单迭代步长修改了次梯度外梯度方法，在不知道映射的Lipschitz常数的情况下，建立了算法的强收敛性。最后，通过数值实验验证了该算法的有效性和优越性。我们的结果将Hilbert空间中的一些工作推广到了Banach空间。

1介绍

Hartman和Stampacchia首次提出的变分不等式问题[1]1966年，它是在一个统一和通用的框架内研究工程力学、物理学、经济学、最优化理论和应用科学的一个非常重要的工具（参见[2,三]). 在适当的条件下，求解变分不等式问题有两种常用的方法，一种是正则化方法，另一种是投影方法。许多作者提出并分析了许多求解变分不等式问题的投影型算法[4–22]. 梯度法是最简单的算法，它只在可行集上进行一次投影，并且该方法的收敛性要求具有强单调性。为了避免强单调性假设，Korpelevich[4]提出了一种求解欧氏空间中变分不等式的算法，称为外梯度型方法。次梯度外梯度型算法是由Censor等人在[5]用于求解实Hilbert空间中的变分不等式。Yao等人[6]提出了一种迭代算法，用于求解Hilbert空间中伪单调变分不等式和伪压缩算子的不动点的公共解。

过去，大多数变分不等式都是在欧几里德或希尔伯特空间中，最近，外梯度型方法从希尔伯特空间扩展到了巴拿赫空间（参见[23–27]). 在[23]他们使用次梯度外推方法和Halpern方法提出了求解Banach空间中变分不等式的算法。在[24]，他们提出了一种分裂算法，用于在Banach空间中寻找增生算子的有限族包含问题的公共零点。受上述工作的启发，在本文中，我们扩展了[8]用于求解从Hilbert空间到Banach空间的变分不等式。值得强调的是，我们的算法结构简单，算法的收敛性不需要知道映射的Lipschitz常数。论文组织如下。在Sect。 2，我们将在续集中介绍一些必要的准备工作。在Sect。 三，我们提出了一种算法并分析了其收敛性。最后，在门派。 4我们给出了一个数值例子并进行了比较。

2数学入门

本节我们将介绍一些定义和本文中使用的基本结果。假设X（X）是一个具有双重属性的真实巴拿赫空间\（X^{\ast}\）,\（\|\cdot\|\）和\（\|\cdot\|_{\ast}\）表示规范X（X）和\（X^{\ast}\）分别为，\（语言x，x^{ast}语言）中的对偶耦合\（X\乘以X^{\ast}\）为所有人\（x^{\ast}\在x^{\ ast}\中）和\（x中的x）,\（x{n}\右箭头x\）序列的强收敛性\（{x{n}）属于X（X）到\（x中的x）,\（x{n}\rightharpoonup x\）序列的弱收敛\（{x{n}）属于X（X）到\（x中的x）.\（S_{X}\）表示单位球面X（X）、和\（B_{X}\）闭合单位球X（X）.让C类是的非空闭凸子集X（X），其闭合表示为C̄和\（F:C\右箭头X^{\ast}\）是一个连续映射。考虑变分不等式（简而言之，\（\操作符名{VI}（F，C）\）)这包括找到一个点\（x\以C\表示）这样的话

$$\bigl\langle F（x），y-x\bigr\rangle\geq 0，\quad\所有y\in C$$

(1)

让S公司是解决方案集(1). 寻找解决方案S公司是优化理论中的基本问题。众所周知x个是的解决方案\（\操作符名{VI}（F，C）\）当且仅当x个是不动点方程的解\（x=P_{C}（x-\lambda F（x）），其中λ是一个任意的正常数。因此，可以利用定点算法的知识来求解\（\操作符名{VI}（F，C）\）.

接下来我们回顾巴拿赫空间的一些性质。让X（X）成为一个真正的巴拿赫空间\（X^｛*｝\）是相应的对偶空间。

定义1

假设\（C\子条款X\）是一个非空集合，\（F:C\右箭头X^{\ast}\）是连续映射，那么

\（（A1）\）:

映射F类是单调的，即。，

$$\bigl\langle F（x）-F（y），x-y\bigr\rangle\geq 0，\quad\对于所有x，y\in C$$

(2)

\（（A2）\）:

映射F类Lipschitz为连续常数\（L>0\），即存在\（L>0\）这样的话

$$\bigl\Vert F（x）-F（y）\bigr\Vert\leq L\Vert x-y\Vert，\quad\所有x，y\in C$$

(3)

\（（A3）\）:

([28])映射F类被称为半连续的C类进入之内\（X^{*}\）iff用于任何\（x，y\在C\中）和\（X中的z）函数\（t映射到语言z，F（tx+（1-t）y）语言）属于$[0, 1]$进入之内\（\mathcal{R}\）是连续的。

这个归一化对偶映射 \（J_{X}\）（通常为书面形式J型)第页，共页X（X）进入之内\（X^{*}\）由定义

$$J（x）=在x^{*}|\bigl\langle x，x^{*{\bigr\rangle=\bigl\垂直x^{**}\bigr\垂直^{2}=\Vert x\Vert^{2neneneep$$

为所有人\（x中的x）.让\（q\ in（0,2]\）. The广义对偶映射 \（J_｛q｝：X\右箭头2^｛X^｛*｝｝\）已定义（有关定义和属性，请参见[24])由

$$J_{q}（x）=\bigl\{J_{q}（x）\in x^｛*｝|\bigl\langle J_{q}（x），x\bigr\rangle=\Vert x\Vert\bigl\Vert J_{q}（x）\bigr\Vert，\bigl\Vert J_{q}（x）\bigr\Vert=\Vert x\Vert^｛q-1｝\bigr\｝$$

为所有人\（x中的x）.

让\（U=\{x\在x:\|x\|=1\}\中）.规范X（X）据说是Gáteaux可微如果，对于每个\（x，y\单位为U），限制

$$\lim_{t\rightarrow0}\frac{\Vertx+ty\Vert-\VertX\Vert}{t}$$

(4)

存在。在这种情况下，空间X（X）也称为光滑的我们知道X（X）是平滑的iffJ型是的单值映射X（X）进入之内\（X^{*}\）,X（X）是自反iffJ型情绪低落，而且X（X）严格凸iffJ型是一对一的。因此，如果X（X）是一个光滑的、严格凸的和自反的Banach空间，那么J型是单值双射，则存在逆映射\（J^{-1}\）与对偶映射一致\（J^{*}\）在\（X^{*}\）。有关更多详细信息，请参阅[29–31]. 如果(4)一致收敛于\（S_{x}中的x，y\）,X（X）据说是均匀光滑的。如果\（裂缝{x+y}{2}无论何时\（S_{x}中的x，y\）和\（x\neq y\）.模量\（\delta_{X}\）凸性的定义为

$$\delta_{X}（\varepsilon）=\inf\biggl\{1-\biggl \Vert\frac{X+y}{2}\biggr\Vert\Big|X，y\ in B_{Xneneneep，\Vert X-y\Vert\geq\varepsilon\biggr$$

(5)

为所有人\（[0,2]中的\varepsilon\）.A巴纳赫空间X（X）据说是一致凸的如果\（delta_{X}（\varepsilon）>0）众所周知，巴拿赫空间X（X）一致凸当且仅当对于任意两个序列\（{x{n}）和\（{y_{n}\}\）在里面X（X）这样的话

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Vert x_{n}\Vert=\lim_{n\right arrow\finfty{n\Vert=1\quad\text{和}\quad\\lim{n\riftarrow/infty}\Vert-x_{n}+y_{n{n}\Vert=2，\quad_lim{n\rightarror\finfty}\Vert_x_{n} -年_{n} \垂直=0$$

保持。一致凸Banach空间是严格凸和自反的。由[24]我们知道巴纳赫空间X（X）是光滑的当且仅当对偶映射\（J_{q}\）是单值的且一致光滑当且仅当对偶映射\（J_{q}\）在有界集上是单值且范数到范数一致连续的X（X）此外，如果存在\（c>0）这样，对所有人来说\（[0,2]中的\varepsilon\）,\（delta_{X}（\varepsilon）>c\varepsilon^{2}\），然后X（X）据说是2-一致凸很明显，每个2-一致凸Banach空间都是一致凸的，所有Hilbert空间都是均匀光滑的和2-一致凸的并且因此是自反的。

现在，我们回顾一些有用的定义和结果。首先，我们引入广义投影算子X（X）.让\（C\子条款X\）是实一致凸Banach空间的非空闭凸子集X（X）那么我们就知道了\（X中的z），存在唯一的元素\（C中的\波浪线{z}\）这样的话\（z-颚化符｛z｝\|\leq\|z-y）为所有人\（y\在C\中）.放置\（波浪线{z}=P_{C} z（z）\)，操作员\（P_{C}:X^{*}\右箭头C\子集X\）被称为广义投影（或度量投影）算子属于X（X）到上面C类.

为了避免强单调性假设，Korpelevich[4]给出外梯度类型方法：

$$y_｛n｝=P_｛C｝\bigl（x_{无}-\λF（x_{n}）\bigr），\qquad x_{n+1}=P_{C}\bigl（x_{无}-\λF（y_{n}）\更大）$$

(6)

哪里\（（0，\frac{1}{L}）中的\lambda\）.

次梯度外梯度类型算法的扩展(6)其中第二个正交投影到欧氏空间中某个可构造集上求解\（\操作符名{VI}（F，C）\）在真实的希尔伯特空间中。其方法如下：

$$y_{n}=P_{C}\bigl（x_{无}-\λF（x_{n}）\bigr），x_{n+1}=P_{T_n}}\bigl（x_{无}-\λF（y_{n}）\更大）$$

(7)

哪里\（T_{n}=\{x\在x|\langle x中_{无}-\λF（x_{n}）-y_{n{，x-y_{n}范围和\（（0，\frac{1}{L}）中的\lambda\）.Cai等人[23]建议采用以下方法：

$$\textstyle\begin{cases}x_{0}\在x中，\\y_{n}=P_{C}（Jx_{无}-\λ_{n}F（x_{n{）），在x|\langle Jx中_{无}-\λ{n}F（x{n}）-Jy_{n}，x-y_{n}范围\leq0\}，\\z_{n{=P_{T_{n}}（Jx_{无}-\λ{n}F（y_{n}）），\\x{n+1}=J^{-1}（\alpha_{n} Jx公司_{0}+（1-\alpha_{n}）Jz_{n{），\结束{cases}$$

(8)

哪里J型是的归一化对偶映射X（X）进入之内\（X^{*}\）,\（（0，frac{1}{L}）中的lambda_{n}）,\（{\alpha_{n}}\子集（0,1）\）,\（\alpha_｛n｝\right箭头0\）和\（\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}=+\infty）他们证明了\（{x{n}）由生成(8)强烈收敛于\（P_{S} Jx公司_{0}\).

算法的主要缺点(7)和(8)需要知道利普希茨常数或对其进行一些估计。叶基尼和奥拉尼伊[7]提出了以下次梯度外梯度方法：

$$\textstyle\begin{cases}\text{Given}\rho\in（0，1），\mu\in（0,1），\\y_{n}=P_{C}（x_{无}-\lambda_{n}F（x{n}）），\text{where}\lambda_{n}=\rho^{l_{n{}}\text{和}l_{n}\text}是最小的非负inter}l\\text{，这样}\lampda_{n｝\VertF（x_{n｝）-F（y_{nneneneep）\Vert\leq\mu\Vertx_{n} -年_{n} \垂直，\\z_{n}=P_{T_{n}}（x_{无}-\λ_{n}F（y_{n{）），\text{其中}T_{n}={x\在H|\langlex中_{无}-\λ_｛n｝F（x_｛n｝）-y _｛n｝，x-y_｛n｝\rangle \leq 0\｝，\\x_｛n+1｝=\alpha_{n} （f）（x_{n}）+（1-\alpha_{n{）z_{nneneneep，\text{其中}f:H\rightarrowH\text{是压缩映射}。\结束{cases}$$

(9)

的算法(9)不需要知道Lipschitz常数，但该方法可能涉及额外投影的计算。

在[32]，Alber引入了一个功能\（V（x^{*}，y）：x^{*{\乘以x\右箭头R\）通过

$$V\bigl（x^{*}，y\bigr）=\bigl\Vert x^{**}\bigr\Vert^{2}_{*}-2\bigl\langle x^{*}，y\bigr\rangle+\Verty\Vert^{2}$$

(10)

显然，

$$V\bigl（x^｛*｝，y\bigr）\geq\bigl（\bigl\Vert x^｛*｝\bigr\Vert _｛*｝-\Vert y\Vert\bigr）^｛2｝$$

操作员\（P_{C}:X^{*}\longrightarrow C\subseteq X\）据说是广义投影算子如果它与任意不动点相关\（x^{*}\在x^{**}\中），最小化问题的解决方案

$$V\bigl（x^{*}，\tilde{x^{**}}\bigr）=\inf_{y\在C}V\bigle（x^{*{，y\biger）中$$

哪里\（\波浪线{x^{*}}=P_{C} x个^{*}\在C\子集X\中）称为广义投影点的\（x^{*}\）。有关的更多结果\（P_{C}\），请参阅[32]. 下一个引理可以描述\（P_{C}\）.

引理1

让C类是中的非空闭凸集X（X）和 \（x^{*}中的x^{*{，y^{**}\）,\（\波浪线{x^{*}}=P_{C} x个^{*}\).然后

$$\begon｛aligned｝\mathrm｛（i）｝&&quad\bigl\langle J\tilde｛x^｛*｝｝-x^｛*｝，y-\tilde｛x^｛*｝｝\bigr\rangle \ geq 0，\fquad\ for all y\ in C。\\\mathrm｛（ii）｝&&quad V\bigl（J\tilde｛x^｛*｝｝，y\bigr）\leq V\bigl（x^｛*｝，y\bigr）-V\bigl（x^｛*｝，\tilde｛x^｛*｝）｛\bigr），\ quad \ for all y \ in C。\ \ \mathrm｛（iii）｝&\ quad V \ bigl（x^｛*｝，z \ bigr）+2 \ bigl \ langle J^{-1}x^{*}-z，y^{*}\bigr\rangle\leqV\bigl（x^{*{+y^{}，z\bigr），\quad\forall z\in x。\end{aligned}$$

在[32]，Alber还介绍了Lyapunov泛函 \（\varphi:X\次X\右箭头R\）通过

$$\varphi（x，y）=\Vert x\Vert^{2}-2langle Jx，y\rangle+\Vert y\Vert^{2}，\quad\对于x中的所有x，y\$$

然后，组合(10)，我们获得\（V（x^{*}，y）=\varphi（J^{-1}x^{*}，y）\），对于所有人\（x^{*}\在x^{**}\中）,\（X\中的y\）此外，我们有以下引理（请参见[33]).

引理2

([33])

让X（X）成为一个真正的2-一致凸Banach空间.然后,存在 \（\mu\geq 1）这样的话,为所有人 \（x中的x，y\）,

$$\frac{1}{\mu}\Vert x-y\Vert^{2}\leq\varphi（x，y）$$

以下两个引理将对我们后续的收敛性分析有用，它们在[34,35].

引理3

([34])

让 \（{a{n}）是一个实数序列，在无穷大时不会减少，因为存在一个子序列 \（{a{n{j}}）属于 \（{a{n}）这满足了 \（a{n{j}}<a{n}}+1}\）为所有人 \（j\in\mathcal{N}）.定义顺序 \（τ（n）整数如下:

$$\tau（n）=最大值：a{k}<a{k+1}$$

哪里 \（n_{0}\in\mathcal{n}\）这样的话 \（\｛k\leq n_｛0｝：a_｛k｝<a_｛k+1｝\｝\）非空.然后保持以下状态:

• （i） \（tau（n）\leq\tau（n+1）\leq \cdots\） ,和 \（\tau（n）\longrightarrow\infty\）;

• （ii） \（a{τ（n）}和 \（a{n}\leqa{{tau（n）}+1}）.

引理4

([35])

让 \（{a{n}）是非负实数序列，并且 \（存在N>0）,这样的话 \（所有n\geq n\）,满足以下关系:

$$a{n+1}\leq（1-\alpha_{n}）a{n}+\alpha_n}\sigma{n{+\gamma_n}$$

哪里(我)\（{\alpha_{n}\}\子集（0，1）\）,\（\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_{n}=\infty）; (ii（ii）)\（西格玛）是这样一个序列 \（limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\leq0\）; (三)\（\gamma_{n}\geq0\）,\（\sum_｛n=0｝^｛\infty｝\gamma _｛n｝<\infty）.然后 \（\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\）.

下面的结果证明了我们的主要结果，它依赖于中给出的迭代的某些估计和其他经典性质[23].

引理5

([23])

让 \（x^{*}=P_{S}x_{0}\）.定义 \（a{n}=\varphi（x{n}，x^{*}）\）和 \（b{n}=2语言x_{0}-x^{*}，x_{n+1}-x^{*}\范围\）,然后

• （i） \（a{n+1}\leq（1-\alpha{n}）a{n}+\alpha_{n} b条_{n} \）,

• （ii） \（-1\leq\limsup_｛n\rightarrow\infty｝b_｛n｝<\infty\）

引理6

([36])

让C类是拓扑向量空间的非空凸子集X（X）和 \（F:C\右箭头X^{*}\）是半连续映射,然后 \（x^{*}\）是的解决方案(1)当且仅当

$$\bigl\langle F\bigl（x^{*}\bigr），y-x^{**}\biger\rangle\geq 0，\quad\forall y\in C$$

(11)

三主要成果

在本节中，我们介绍了一种新的迭代算法，用于求解Banach空间中的单调变分不等式问题。为了给出该方法并建立其收敛性，我们做了以下假设。

假设1

• （a） 可行集C类是实2-一致凸Banach空间的非空闭凸子集X（X）.

• （b） \（F:X\右箭头X^{\ast}\）是单调的C类和L（左）-Lipschitz连续开X（X）.

• （c） 解决方案集S公司属于\（\操作符名{VI}（F，C）\）非空。

现在，我们使用以下算法讨论单调变分不等式的强收敛性。我们的算法有以下几种形式。

算法A

（步骤0）：

采取\（\lambda_{0}>0\）,\（x\中的x_{0}\）是给定的起点，\（在（0，1）中为\mu\）.

（步骤1）：

给定当前迭代\（x{n}\），计算

$$y_{n}=P_{C}\bigl（Jx_{无}-\λ{n}F（x{n}）\更大）$$

(12)

如果\（x{n}=y{n}\），然后停止：\（x_｛n｝\）是一种解决方案。否则，请转至步骤2。

（第2步）：

构建集合\（T_{n}=\{x\在x|\langle Jx中_{无}-\lambda _{n}F（x _{n}）-Jy_并计算

$$z_{n}=P_{T_{n}}\bigl（Jx_{无}-\λ{n}F（y_{n}）大），四元x{n+1}=J^{-1}大（α{n}Jx{0}+（1-\α{n{）Jz{n}\bigr）$$

(13)

（步骤3）：

计算

$$\lambda_{n+1}=\textstyle\begin{cases}\min\{{frac{\mu（\Vert x_{n} -年_{n} \垂直^{2}+\垂直z_{n} -年_{n} 垂直^{2}）}{2\langle F（x_{n}）-F（y_{n{），z_{n} -年_{n} 范围}，lambda_{n}}，&\text{if}\langleF（x{n}）-F（y_{n{），z_{n} -年_{n} \nrangle>0，\\lambda_{n}，&\text{otherwise}。\结束｛个案例｝$$

(14)

设置\（n：=n+1）并返回到步骤1。

我们证明了算法的强收敛定理A类首先，我们给出了以下定理，它在主要定理的证明中起着至关重要的作用。

定理1

假设1持有和 \（x{n}\）,\（y{n}\）,\（λ{n}）是由算法生成的序列A类,那么我们得到了以下结果:

• (1) 如果 \（x{n}=y{n}\）对一些人来说 \（以n表示）,然后 \（S\中的x_{n}\）.

• (2) 序列 \（λ_｛n｝\｝\）是一个具有下界的单调递减序列 \（\min\{{\frac{\mu}{L}，\lambda_{0}}\}\）,因此,限制 \（\{\lambda_{n}\}\）存在并表示 \（\lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n}\）.很明显 \（\lambda>0）.

证明

（1） 如果\（x{n}=y{n}\），然后\（x_{n}=P_{C}（Jx_{无}-\lambda _{n}F（x _{n}）\），所以\（x_{n}\在C\中）.通过广义投影的特征\（P_{C}\）到上面C类，我们有

$$\bigl\langle Jx美元_{无}-\λ_{n}F（x_{n{）-Jx_{n}，x_{n} -x个C中所有x的\bigr\rangle\geq 0\quad\$$

因此，

$$\bigl\langle-\lambda _｛n｝F（x_｛n｝），x_{n} -x个对于C中的所有x，\bigr\rangle=\lambda_{n}\bigl\langleF（x_{n{），x-x_{n}\bigr\ rangle\geq0\quad\$$

自\（\lambda_{n}\geq0\）,\（S\中的x_{n}\）.

（2） 很明显\（\{\lambda_{n}\}\）是一个单调递减的序列。自F类是具有常数的Lipschitz连续映射\（L>0\），如果\（语言F（x_{n}）-F（y_{n{），x_{n+1}-y_{n}范围>0），我们有

$$\压裂{\mu（\垂直x_{n} -年_{n} \垂直^{2}+\垂直z_{n} -年_{n} ｛2｝）｝｛2｝语言F（x _｛n｝）-F（y_｛n｝），z_{n} -年_{n} \rangle}\geq\frac{2\mu\垂直x_{n} -年_{n} \垂直\垂直z_{n} -年_{n} \垂直}{2\垂直F（x_{n}）-F（y_{n{）\垂直\垂直z_{n} -年_{n} \垂直}\geq\frac{\mu\Vert x_{n} -年_{n} \垂直}{L\垂直x_{n} -年_{n} \Vert}=\frac{\mu}{L}$$

(15)

很明显，序列\（\{\lambda_{n}\}\）有下限\（\min\{{\frac{\mu}{L}，\lambda_{0}}\}\）.

自\（\{\lambda_{n}\}\）是单调递减序列，并且具有下限\（\{\lambda_{n}\}\）存在，我们表示\（\lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n}\）显然，\（\lambda>0）. □

以下引理在定理证明中起着关键作用2.

引理7

假设1持有.让 \（{x{n}）是由算法生成的序列A类和 \（{\alpha_{n}\}\子集（0，1）\）.然后是序列 \（{x{n}）是有界的.

证明

让\（u\在S\中）.通过引理1（ii），我们有

$$\开始{aligned}[b]V（Jz_{n}，u）&=V\bigl（JP_{T_{n}}\bigl（Jx_{无}-\λ_{n}F（y_{n{）\大），u \大）\\&\leq V \大（Jx_{无}-\λ_｛n｝F（y_｛n｝），u\bigr）-V\bigl（Jx_{无}-\λ_{n}F（y_{nneneneep），z_{n{biger）\\&=bigl\Vert Jx_{无}-\λ_{n}F（y_{n{）\较大\垂直^{2}-2\bigl\langle Jx公司_{无}-\λ_{n}F（y_{n{），u\bigr\rangle+\Vert u\Vert^{2}\\&\quad{}-\bigl\Vert Jx_{无}-\λ_{n}F（y_{n{）\bigr\Vert^{2}+2\bigl\langle Jx_{无}-lambda_{n}F（y_{n{n}），z_{n}\bigr\rangle-\Vertz_{nneneneep \Vert^{2}\\&=-2\langleJx_{n{，u\rangle+2\lambda_n}\bigl\langleF（y_n}）^{2}-垂直z{n}\垂直^{2}\\&=V（Jx{n}，u）-V。\结束{对齐}$$

(16)

自F类是单调的，即。，\（语言F（y_{n}）-F（u），y_{n} -u个\范围\geq 0\），对于所有人\（以n表示），与结合\（u\在S\中），我们有

$$\bigl\langle F（y_｛n｝），y_{n} -u个\大\rangle\geq\bigl\langle F（u），y_{n} -u个\bigr\rangle\geq 0$$

然后\（0\leq\langle F（y_｛n｝），y_{n} -u个+z（z）_{n} -z（-z）_{n} 范围=语言F（y_{n}），y_{n} -z（-z）_{n} 等级-等级F（y_{n}），u-z_{n{等级。这意味着

$$\bigl\langle F（y_{n}），y_{n} -z（-z）_{n} 大范围F（y_{n}），u-z_{nneneneep大范围，n中的所有n$$

(17)

根据的定义\（T_｛n｝\），我们有\（语言Jx_{无}-\λ_{n}F（x_{n{）-Jy_n}，z_{n} -年_{n} \rangle\leq 0\）.然后

$$\开始{aligned}\开始{arigned}[b]&\bigl\langle Jx_{无}-\λ_{n}F（y_{n{）-Jy_{n}，z_{n} -年_{n} \bigr\rangle\\&\quad=\bigl\langle Jx_{无}-\λ_{n}F（x_{n{）-Jy_n}，z_{n} -年_{n} \bigr\rangle+\lambda_{n}\bigl\langle F（x_{n{）-F（y_{nneneneep），z_{n} -年_{n} \bigr\rangle\\&\quad\leq\lambda_{n}\bigl\langleF（x_{n{）-F（y_{nneneneep），z_{n} -年_{n} 范围更大。\end{aligned}\end{alinged}$$

(18)

使用的定义\（λ{n+1}）和(17), (18)至(16)，我们得到

$$\begin｛aligned｝[b]V（Jz_｛n｝，u）&&leq V（Jx_｛n｝，u）-V（Jx_｛n｝，z_｛n｝）+2\lambda _｛n｝\bigl\langle F（y_｛n｝），u-z_｛n｝\bigr\ rangle \\&&leq V（Jx_｛n｝，u）-V（Jx_｛n｝，z_｛n｝）+2\lambda _｛n｝\bigl\langle F（y_｛n｝），y_{n} -z（-z）_{n} 大范围\\&=V（Jx{n}，u）-V_{无}-\λ_{n} F类（y_{n}）-Jy_{n}，z_{n} -年_{n} 大\rangle\&\leq V（Jx{n}，u）-V（Jx_{n}，y_{n{）-V_{n} -年_{n} 更大的\rangle\\&\leq V（Jx{n}，u）-V（Jx_{n}，y_{n{）-V_{n} -年_{n} \垂直^{2}+\垂直z_{n} -年_{n} \Vert^{2}\biger）。\结束{对齐}$$

(19)

根据定理1（2） ，我们得到\（\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n}\frac{\mu}{\lambda{n+1}}=\mu（0<\mu<1）\），这意味着存在一个整数\（N_{0}>0\）这样，对于每一个\（n>n_{0}\），我们有\（0<\lambda{n}\frac{\mu}{\lambda{n+1}}<1），将此结果纳入(19)，我们每获得\（n>n_{0}\）,

$$开始{对齐}V（Jz_{n}，u）和\leq V（Jx_{nneneneep，u）-V（Jx{n}，y_{n{）-V_{n} -年_{n} \垂直^{2}+\垂直z_{n} -年{n}\Vert^{2}\bigr）\\&\leq V（Jx{n}，u）-（1-\mu）\bigl（V（Jx{n}，y_{n}）+V（Jy_{n}，z_{n{）\bigr。\结束{对齐}$$

然后，根据\（x{n+1}\），我们每个\（n>n_{0}\）,

$$\开始{对齐}V（Jx_{n+1}，u）&=V\bigl（\alpha_{n} Jx公司_{0}+（1-\alpha_{n}）Jz_{nneneneep，u\bigr）\\&=\bigl\Vert\alpha_{n} Jx公司_｛0｝+（1-\alpha_｛n｝）Jz_｛n｝\bigr\Vert^{2}-2\bigl\langle\alpha_{n} Jx公司{0}+（1-\alpha_{n}）Jz_{n{，u\bigr\rangle+\Vertu\Vert^{2}\\&\leq\alpha_n}\VertJx_{0}\Vert^{2}-2\alpha_{n}\langle Jx_{0}，u\rangle+\alpha_{n}\Vert u\Vert^{2}\\&\quad{}+\bigl\Vert（1-\alpha_{n}）Jz_{n^{2}-2（1-\alpha_{n}）\langle Jz_{n{，u\rangle+（1-\alpha_{n}）\垂直u\Vert^{2}\\&=\alpha_{n} V（V）（Jx{0}，u）+（1-\alpha{n}）V（Jz{n}，u）\\&\leq\alpha_{n} V（V）（Jx{0}，u）+（1-\alpha{n}）V（Jx}n}，u）\\&\leq\max\bigl\{V。\结束{对齐}$$

因此，\（V（Jx_{n}，u）\}\）有界。自\（V（Jx{n}，u）\geq\frac{1}{\mu}\|x_{n} -u个 \|^{2}\)，我们看到了\（x｛n｝\｝\）有界。□

定理2

假设1持有,顺序 \（{\alpha_{n}\}\）满足 \（{\alpha_{n}\}\子集（0，1）\）,\（\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_{n}=\infty）和 \（\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=0\）.让 \（{x{n}）是由算法生成的序列A类.然后 \（{x{n}）强收敛于一个解 \（x^{*}=P_{S} Jx公司_{0}\).

证明

让\（x^{*}=P_{S} Jx公司_{0}\)，通过引理1（i） ，我们有

$$\开始{aligned}\bigl\langle Jx_{0}-Jx^{*}，z-x^{*}\bigr\rangle\leq 0，\quad\forall z\in S.\end{aligned}$$

通过定理的证明1，我们得到\（\存在N_{0}\geq 0\），使得\（所有n\geq n_{0}\）,\（V（Jz{n}，x^{*}）.

来自定理1（1） ，我们看到序列\（{x{n}）因此是有界的，\（{y_{n}\}\）和\（{z{n}）有界。此外，通过(19)，我们看到存在\（N_{0}\geq 0\）这样，对于每一个\（n\geq n_{0}\）,

$$\begin｛aligned｝[b]V\bigl（Jx_｛n+1｝，x^｛*｝\bigr）&=V\bigl（\alpha_{n} Jx公司_{0}+（1-\alpha_{n}）Jz_{n{，x^{*}\biger）\\&\leq\alpha_{n} V（V）\bigl（Jx{0}，x^{*}\bigr）+（1-\alpha{n}）V\bigl_{n} V（V）\bigl（Jx{0}，x^{*}\bigr）+（1-\alpha{n}）V\bigl。\结束{对齐}$$

(20)

案例1如引理所示5，套\（a{n}=\varphi（x{n}，x^{*}）\）.根据定理1（1） ，我们知道存在\（N_{1}\in\mathcal{N}\）(\（N_{1}\geq N_{0}\）)，这样序列\（\{\varphi（x_{n}，x^{*}）\}^{\infty}_{n=n_{1}}\）没有增加。然后\（{a{n}^{infty}{n=1}）聚合，在中使用(20)，我们得到，当\（n>n_{1}\geqN_{0}\）,

$$开始{对齐}[b]&（1-\alpha_{n}）（1-\mu）\bigl_{n} 五\bigl（Jx{0}，x^{*}\bigr）-V\bigl_{n} V（V）\bigl（Jx_{0}-Jx_{n} ，x^｛*｝\bigr）。\结束{对齐}$$

(21)

由\（V（Jx_{0}-Jx_{n} ，x^{*}）\）有界，因为\（{a{n}^{infty}{n=1}）收敛，我们有，当\（n\longrightarrow\infty\）,

$$（1-\alpha_{n}）（1-\mu）\bigl（\varphi（x_{n{n，y_{n}）+\varfi（y_{n}，z_{n）\bigr）\leq\varphi\bigl（x_}n，x^{*}\bigr）-\varphi\ bigl_{0}-x_{n} ，x^{*}\bigr）\longrightarrow 0$$

请注意\（\varphi（x{n}，y{n}）\geq0\）和\（0<\mu\）,\（α{n}<1），我们有，何时\（n\longrightarrow\infty\）,

$$\垂直x_{n} -年_{n} \Vert^{2}\longrightarrow 0\quad\text{和}\quad_Vert y_{n} -z（-z）_{n} \Vert^{2}\longrightarrow 0$$

(22)

此外，根据\（x{n+1}\），我们有

$$\垂直Jx_{n+1}-Jz_{n}\Vert=\alpha_{nneneneep \VertJx_{0}-Jz_{n} \Vert\longrightarrow 0，\quad\text{作为}n\longrightarrow\infty$$

自\（J ^｛-1｝\）在有界子集上范数到范数一致连续\（X^{*}\），我们有\（\|x{n+1}-z{n}\|\右箭头0\）因此，我们得到

$$\垂直x_{n+1}-x_{n}\Vert=\垂直x_{n+1{-z_{n}\Vert+\Vert z_{n} -年_{n} \垂直+\垂直_{n} -x个_{n} \Vert\longrightarrow 0，\quad n\longright箭头\infty$$

根据定理1（1） ，我们知道\（{x{n}）有界，则存在子序列\（{x{n{k}}）弱收敛到某些\（X中的z_{0}\），使得\（x{n{k}}\rightharpoonup z{0}\）和

$$\开始{aligned}\limsup_{n\rightarrow\infty}\bigl\langle Jx_{0}-Jx^{*}，x_{n} -x个^｛*｝\bigr\rangle=\lim_｛k\rightarrow\infty｝\bigl\langle Jx_{0}-Jx^{*}，x_{n_{k}}-x^{*}\bigr\rangle=\bigl\langleJx_{0}-Jx^{*}，z_{0}-x^{*}\bigr\rangle\leq 0。\结束{对齐}$$

(23)

然后\（y{n{k}}\rightharpoonup z{0}\）和\（C\中的z_{0}\）.自F类是单调的\（y_{n_{k}}=P_{C}，通过引理1（i） ，我们有\（兰格Jx{n{k}}-\lambda{n{k}}F（x{n}k}）-Jy{n{k}}，zy{n_k}}\rangle\leq0\）,\（对于C中的所有z）。总而言之\（z\在C\中）,

$$开始{对齐}0&\leq\langle Jy_{n_{k}}-Jx_{n_n{k}}，z-y_{n_{k{}}\rangle+\lambda_{n_0k}}\bigl\langle F（x_{n_0k}）{k}}\rangle+\lambda_{n{k}{\bigl\langleF（x_{n_{k}），z-x_{n-k}}}\大\rangle\\&\leq\langle Jy_{n_{k}}-Jx_{n_2k}}，z-y_{k{}}\rangle+\lambda_{n_1k}}\bigl\langle F（z）{k}}范围更大。\结束{对齐}$$

让\（k\rightarrow\infty\），利用事实\（\lim_{k\rightarrow\infty}\|y_{n_{k}}-x_{n_2k}}\|=0\）,\（\｛y_｛n_｛k｝｝\｝\）有界且\（\lim_{k\rightarrow\infty}\lambda_{n_{k}}=\lambda>0\），我们获得\（语言F（z），zz_{0}语言,\（对于C中的所有z）.通过引理6，我们有\（z_｛0｝\在S\中）.

按引理1（iii）和(19)，我们有

$$\begin{aligned}\varphi\bigl（x_{n+1}，x^{*}\bigr）&=V\bigl_{n} Jx公司_{0}+（1-\alpha_{n}）Jz_{n{，x^{*}\bigr）\\&\leq V\bigl（\alpha_{n} Jx公司_{0}+（1-\α{n}）Jz_{无}-\α{n}\bigl（Jx_｛0｝-Jx^{*}\bigr），x^{*{\biger）+2\alpha_{n}\bigl\langle Jx_{0}-Jx^{*}，x_{n+1}-x^{*}\bigr\rangle\\&\leq\alpha_{n} V（V）\bigl（Jz，x^{*}\bigr）+（1-\alpha_{n}）V\bigl_{0}-Jx^{*}，x_{n+1}-x^{*}\bigr\rangle\\&=（1-\alpha_{n}）V\bigl（Jz_{n{，x^{**}\biger）+2\alpha_n}\bigl\langle Jx_{0}-Jx^{*}，x_{n+1}-x^{*}\bigr\rangle\\&\leq（1-\alpha_{n}）\varphi\bigl_{0}-Jx^{*}，x{n+1}-x^{*}\更大范围。\结束{对齐}$$

它来自引理5和引理4那个\（\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi（x_{n}，x^{*}）=0\），这意味着

$$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x^{*}$$

案例2假设存在子序列\（{x{n{j}}）属于\（{x{n}）这样的话\（瓦尔斐（x{m{j}}，x^{*}）为所有人\（j\in\mathcal{N}）.来自Lemma三，存在一个非递减序列\（m_{k}\in\mathcal{N}\）这样的话\（\lim_{n\rightarrow\infty}m_{k}=infty\）以下不平等适用于所有人\（k\in\mathcal{N}\）:

$$\begin{aligned}\varphi\bigl（x_{m_{k}}，x^{*}\bigr）<\varphi\ bigl。\结束{对齐}$$

(24)

由(21)，我们知道

$$\begin{aligned}\begin{aligned}[b]&（1-\alpha_{m{k}}）\biggl（1-\lambda_{m_{k}{frac{\mu}{\lambda{m_k}}+1}}\biggr）\bigl \bigr）\\&\quad\leq\bigl\Vert x_{m_{k}}-x^{*}\bigr\Vert^{2}-\bigl\Vertx_{m_{k}}+1}-x^{*}\bigr\Vert^{2}+\alpha_{m_ak}}\bigl\ Vertx_{0}-x^{*}\bigr\Vert^{2}。\end{aligned}\end{alinged}$$

(25)

自\（{x{n{k}}）有界，则存在子序列\（{x{m{k}}）属于\（｛x_｛n_｛k｝｝\｝\）弱收敛到\（X中的z_{0}\）使用与案例1证明中相同的论点，并结合(25)和\（\lim{k\rightarrow\infty}（1-\lambda{m{k}}\frac{mu}{\lambda{m{k}}+1}}）=1-\mu>0\），我们获得

$$\lim_{k\rightarrow\infty}\Vert x_{m_{k}}-y_{m_ak}}\Vert=0，\qquad\lim__k\right arrow\finfty{}\Vert-z_{m_ k}}-y-{m_}k}}\Vert=0.，\qquid\lim _{k\ rightarror\infty}\ Vert x_{m_k}+1}-x_{m_{k}}}}\Vert=0$$

同样，我们可以得出这样的结论

$$\开始{aligned}\limsup_{k\rightarrow\infty}\bigl\langle Jx_{0}-Jx^{*}，x_{m_{k}+1}-x^{*}\bigr\rangle=\limsup_{k\rightarrow\infty}\bigl\langle Jx_{0}-Jx^{*}，x_{m_{k}}-x^{**}\bigr\rangle\leq 0。\结束{对齐}$$

(26)

它源自(25)以及案例1的证据\（m_{k}\geqN_{0}\），我们有

$$\begin{aligned}和\begin{aligned}\bigl\Vert x_{m_{k}}+1}-x^{*}\bigr\Vert^{2}&\leq（1-\alpha_{m_c}}）\bigl\ Vert x_{m_}}-x^}_{0}-x^{*}，x_{{m_{k}}+1}-x^{*}\bigr\rangle\\&\leq（1-\alpha_{m_k}}）\bigl\Vert x_{m_ak}}+1}-x_{*}\ bigr\Vert^{2}+2\alpha__{0}-x^{*}，x_{{m_{k}}+1}-x^{*}\bigr\rangle，\end{aligned}\\&\begin{aligned}\varphi\bigl（x_{m_}+1}，x^{*{}\biger）&\leq（1-\alpha_{m_c}}）\varphi\ bigl Jx公司_{0}-Jx^{*}，x_{m{k}+1}-x^{*}\bigr\rangle\\&\leq（1-\alpha_{m_{k}}）\varphi\bigl_｛0｝-Jx^{*}，x{m{k}+1}-x^{*}\较大范围。\end{aligned}\end{alinged}$$

自\（\alpha_{n}>0\），这意味着\（对于所有m_{k}\geq N_{1}\），我们有

$$\begin｛aligned｝\varphi\bigl（x_｛m_｛k｝｝，x^｛*｝\bigr）\leq\varphi\bigl（x_｛m_｛k｝+1｝，x^｛*｝\bigr）\leq\bigl\langle Jx_{0}-Jx^{*}，x{{m{k}}+1}-x^{*}\较大范围。\结束{对齐}$$

然后

$$\limsup_{k\rightarrow\infty}\varphi\bigl（x_{m_{k}}，x^{*}\bigr）\leq\limsup _{k\ rightarror\infty}\bigl\langle Jx_{0}-Jx^{*}，x_{m{k}+1}-x^{*}\bigr\rangle\leq 0$$

我们获得\（\limsup_{k\rightarrow\infty}\varphi（x_{m_{k}}，x^{*}）=0\），这意味着\（\lim_{k\rightarrow\infty}\|x_{m_{k}}-x^{*}\|^{2}=0\）.自\（\|x_{k} -x个^｛*｝\|\leq\|x_（｛m_｛k｝｝+1｝-x^｛*｝\|\），我们有\（\lim_{k\rightarrow\infty}\|x_{k} -x个^{*}\|=0\).因此\（x_{k}\右箭头x^{*}\）证明到此结束。□

4数值实验

在本节中，我们给出了两个与变分不等式相关的数值实验。

示例4.1

我们将提出的算法与中的算法3.5进行了比较[23]. 对于算法A类和算法3.5英寸[23]，我们采取\（α{n}=frac{1}{100（n+2）}\）。要终止算法，我们使用条件\（年_{n} -x个_{n} \ |\leq\varepsilon\）和\（varepsilon=10^｛-3｝\）对于所有算法。

让\（H=L^{2}（[0,2\pi]）\）符合规范\（\|x\|=（int_{0}^{2\pi}|x（t）|^{2}\，dt）^{1}{2}）和内积\（\langle x，y\langle=[4]\ int _｛0｝^｛2 \pi｝x（t）y（t）\，dt\）,\（x，y\单位为H\）.操作员\（F:H\右箭头H\）由定义\（Fx（t）=最大值（0，x（t,\（t\ in[0,2\pi]\）为所有人\（x\单位：H\）可以很容易地验证F类Lipschitz是连续的和单调的。可行集为\（H:int_{0}^{2\pi}（t^{2}+1）x（t）中的C={x\，dt\leq1\}\）。注意\（S\中的0\）等等\（S\neq\emptyset\）.我们接受\（λ{0}=0.7）和\（\mu=0.9\）for算法A类。对于算法3.5英寸[23]，我们采取\（λ=0.7）.数值结果如表所示1.

表1算法比较A类和算法3.5英寸[23]

示例4.2

这个例子很经典。可行集为\（C=R^{m}\）和\（F（x）=轴），其中A类是一个正方形\（m\乘以m\）条件给出的矩阵

$$a{i，j}=\textstyle\begin{cases}-1，&\text{if}j=m+1-i\text{和}j>i，\\1，&\text{if}j=m+1-i\text}和}j<i，\\0，&\ttext{否则}。\结束{cases}$$

这是一个经典的例子，其中通常的梯度方法不收敛米，零矢量是示例的解4.1.我们接受\（λ=0.7）(\（λ=0.9）)和\（\mu=0.9\）for算法A类。对于算法3.5英寸[17]，我们采取\（λ=0.7\）和\（L=1）对于所有测试，我们都会\（x_{0}=（1，\ldots，1）\）.数值结果如表所示2.

表2算法比较A类和算法3.5英寸[17]

表格1和2说明了算法的行为可能类似于当我们知道Lipschitz常数时的行为。

5结论

本文考虑一致凸Banach空间中具有Lipschitz连续单调映射的单调变分不等式问题的一个强收敛性结果。我们的算法基于具有新步长的次梯度外梯度方法，在不知道映射的Lipschitz常数的情况下建立了算法的收敛性。我们的结果扩展了Yang和Liu在[8]从Hilbert空间到一致凸Banach空间，这些空间也是一致光滑的，并且具有强收敛性。最后，通过数值实验验证了该方法的有效性和优越性。