维纳过程和分数布朗运动驱动的Riemann–Liouville分数阶随机演化方程

摘要

本文研究了一类由维纳过程和分数布朗运动驱动的Riemann–Liouville分数阶随机演化方程温和解的存在唯一性。我们的结果是通过使用分数微积分、随机分析和不动点技术得到的。此外，还提供了一个例子来说明所获得的抽象结果的应用。

1介绍

分数微积分在过去几十年中得到了广泛的应用，因为它被认为是模拟具有长期记忆和远程空间相互作用的物理系统的最佳工具之一，在科学和工程以及其他应用科学的各个领域也发挥着重要作用。由于分数阶微积分的深入发展，文献中分数阶微分方程的理论分析和应用取得了重大突破[8,14,15,17,23]. 近几十年来，具有Caputo分数阶导数的分数阶微分方程的温和解的存在唯一性以及可控性受到了广泛关注。我们可以参考[1–三,11,13,16,18–20,24,25]以及其中的参考文献。

值得一提的是，通过应用拉普拉斯变换和概率密度函数，Zhou等人[26]给出了一类具有非局部条件的Riemann–Liouville分数阶演化方程温和解的适当概念。Li等人。[10]利用α-预解算子。杨和王[22]研究了Riemann–Liouville分数阶微分包含的近似可控性。有关Riemann–Liouville分数阶微分方程温和解存在性的更多详细信息，可以参考[12,20]. 另一方面，Ahmed和El-Borai[1]研究了Hilfer分数阶随机积分微分方程。我们可以参考[5–7]有关Hilfer分数阶微分方程和包含的温和解的存在性和近似可控性的更多详细信息。

分数布朗运动作为布朗运动的推广，近年来受到了广泛关注，它是一个具有自相似性、平稳增量以及长程相关性质的高斯过程。当Hurst参数\（在（0，压裂{1}{2}）中），分数布朗运动既不是半鞅，也不是马尔可夫过程。因此，经典的随机分析技术是无效的。最近，许多作者研究了分数布朗运动驱动的随机微分方程，见[4,9,21,28]以及其中的参考文献。

然而，我们想强调的是，研究由Wiener过程和分数布朗运动驱动的Riemann–Liouville分数阶随机演化方程温和解的存在性是自然的，也是重要的，因为与整数阶情形相比，它还没有得到充分的研究。本文研究了由维纳过程和分数布朗运动驱动的非局部条件下的以下Riemann–Liouville分数阶随机演化方程：

$$\textstyle\begin{cases}{}^{L}\mathcal{D}^{alpha}[x（t）-h（t，x（t J{'}=（0，b]，\\mathcal中的^{h}（t）}{dt}{我}_{0^{+}}^{1-\alpha}[x（0）-g（x）]=x_{0}\在x中，\end{cases}$$

(1.1)

哪里\（{}^{L}\mathcal{D}（D）_{t} ^{\alpha}\）表示为定义的Riemann–Liouville时间分数导数\（压裂{1}{2}<\alpha<1\）,\（\mathcal{I}^{\alpha}\）是时间Riemann–Liouville分数阶积分算子α;\（x（\cdot）\）取可分希尔伯特空间中的值X（X）,一是解析半群的无穷小生成元\（\｛S（t）\｝_｛t\ geq 0｝\）关于实可分Hilbert空间X（X）带内积\（\langle\cdot，\cdot\rangle\）和规范\（\Vert\cdot\Vert\）.假设K（K）是另一个具有内积的可分Hilbert空间\（\langle\cdot，\cdot\rangle\）和规范\（\Vert\cdot\Vert_{K}\）.让\（L（K，X）\）表示所有有界线性算子的空间K（K）到X（X）,\（h:J\乘以X\右箭头X\）和\（F:J\乘以X\右箭头L（K，X）\）是满足下列特定假设的函数(\（\mathrm{高}_{2}\))–(\（\mathrm{高}_{3}\));\（ω（t）是给定的K（K）-具有有限迹核协方差算子的值Wiener过程\（Q>0）定义在过滤完全概率空间上\（（\Omega，\mathcal{F}，P）\）;\（B^{H}\）是带有Hurst参数的分数布朗运动\（H \ in（\压裂{1}{2}，1）\）.初始数据\（x{0}\）是一个\（\mathcal{F}（F）_{0}\)-独立于维纳过程的可测量随机过程ω和fBm\（B^{H}（t）\）有限的二阶矩。

本文简要概述如下。在Sect。 2，我们回顾了分数布朗运动和分数微积分的一些符号和预备知识。使用不动点定理，Sect。 三确定系统温和解的存在性(1.1). 在Sect。 4，我们将给出一个示例来说明所获得的抽象结果的应用。最后一节给出了结论和讨论。

2前期工作

在本节中，我们首先介绍一些符号、定义和初步事实。

我们首先回顾一些关于fBm的基本事实和Wiener积分。让\（（\Omega，\mathcal{F}，P）\）是一个完全概率空间。我们选择一个时间间隔\（J=[0，b]\）具有任意固定地平线b条，假设\（{B^{H}（t），t在J\}中）成为具有Hurst参数的一维分数布朗运动\（H\英寸（0,1）\）定义意味着\（B^{H}\）是具有协方差函数的连续中心高斯过程

$$R_{H}（s，t）=\frac{1}{2}\bigl（t^{2H}+s^{2H}-\vert t-s\vert^{2H}\biger）$$

在下文中，我们总是假设\（压裂{1}{2}<H<1\）.考虑平方可积核

$$K_{H}（s，t）=c_{H} 秒^{\压裂{1}{2} -高}\nint_{s}^{t}（u-s）u^{H-\frac{1}{2}}\，du$$

哪里\（c_{H}=[\压裂{H（2H-1）}{β（2-2H，H-\压裂{1}{2}）}]^{压裂{1{2}}）,\（t>s\）.那么我们有

$$\frac{\partial K_{H}}{\paratil t}（t，s）=c_{H{}\biggl$$

我们将用表示\（\mathcal{H}\）fBm的再生核Hilbert空间。事实上，\（\mathcal{H}\）是指示函数线性空间的闭包\（\｛I_｛[0，t]｝，t\在[0，t]\｝\）关于标量积

$$\langle I_{[0，t]}，I_{[0，s]}\rangle_{\mathcal{H}}=R_{H}（t，s）$$

映射\（I_{[0，t]}\右箭头{B^{H}（t）}\）可以扩展到以下等距\（\mathcal{H}\）和第一个维纳混沌，我们表示为\（B^{H}（\varphi）\）的图像φ在这个等距之下。

设置\（K_{H}^{*}\）是来自的线性运算符\（\mathcal{H}\）到\（L^{2}（[0，b]）\）由定义

$$\bigl（K_{H}^{*}\varphi\bigr）（s）=\int_{s}^{t}\varph（t）\frac{\partial K_{H2}{\partitle t}（t，s）\，dt$$

回忆一下操作员\（K_{H}^{*}\）是介于\（\mathcal{H}\）和\（L^{2}（[0，b]）\）.

让这个过程\（ω=ω（t））,\（位于[0，b]\中）由定义

$$\omega（t）=B^{H}\bigle（\bigl（K_{H}^{*}\biger）^{-1}我_{[0，b]）}\bigr）$$

然后ω是Wiener过程，而\（B^{H}\）具有积分表示

$$B^{H}（t）=\int_{0}^{t} K（K）_{H} （t，s）\，d\omega（s）$$

我们记得φ,ψ在\（[0，b]\），它们的标量积\（\mathcal{H}\）由提供

$$\langle\varphi，\psi\rangle_{\mathcal{H}}=\alpha_{H}\int_{0}^{b}\int_0}^{b}\psi（r）\psi（u）\vert-r-u\vert^{2H-2}\，du\，dr<\infty$$

哪里\（α{H}=H（2H-1））.

嵌入关系如下[21]:

$$L^{1}\bigl（[0，b]\biger）\subset L^{\frac{1}{\mathcal{H}}}\subset\vert\mathcal}H}\vert\subset\mathcal{H}$$

假设Y（Y）是一个真正的可分希尔伯特空间。假设存在一个完整的正交系统\（{e_{n}{n=1}^{infty}）在Y（Y）.让\（L（Y，Y）中的Q\）是具有有限迹的算子\（\操作员姓名{Tr}问题=\sum_｛n=1｝^｛\infty｝\lambda_｛n｝<\infty）(\（\lambda_{n}\geq0\）)使得\（Qe_{n}=\lambda_{n}e_{n}\）。通过使用协方差运算符问，上的无限维fBMY（Y）可以定义为

$$B^{H}（t）=B_{Q}^{H{（t_{n} B类_{n} ^{H}（t）$$

哪里\（B_{n}^{H}（t）\）一维标准分数布朗运动相互独立于\（（\Omega，\mathcal{F}，P）\）.假设空间\（\mathcal{左}_{2} ^{0}:=\mathcal{左}_{2} ^{0}（Y，X）\）包括所有问-Hilbert–Schmidt操作员\（\varphi:Y\右箭头X\）回忆一下\（L（Y，X）中的\varphi\）称为问-Hilbert–Schmidt算子如果

$$\Vert\varphi\Vert_{mathcal{左}_{2} ^{0}}^{2}:=\sum_{n=1}^{\infty}\Vert\sqrt{\lambda_{n}}\varphie_{n}\Vert^{2{<\infty$$

(2.1)

空间\（\mathcal{左}_{2}^{0}\)配备内部产品\（兰格尔\varphi，psi\rangle_{mathcal{左}_{2} ^{0}}=\sum_{n=1}^{\infty}\langle\varphi e_{n}，\psie_{n}\rangle\）是一个可分离的希尔伯特空间。

让\（（\phi（s））_{s\in[0，b]}\）是一个确定性函数，其值为\（\mathcal{左}_{2} ^{0}（Y，X）\）.的随机积分ϕ关于\（B^{H}\）定义为

$$\int_{0}^{t}\phi（s）\，dB^{H}=\sum_{n=1}^{infty}\int_}0}^}\sqrt{\lambda_{n}}\bigl（K_{H}^{*}（\phie_{n}）\bigr）$$

引理2.1

([4])

如果 \（\varphi:[0，b]\rightarrow\mathcal{左}_{2} ^{0}（Y，X）\） 满足 \（\int_{0}^{b}\Vert\varphi（s）\Vert^{2}_{\马塔尔{左}_{2} ^{0}}\，ds<\infty\）,然后是上述金额(2.1)定义为 X（X）-有值随机变量,我们有

$$E\biggl\Vert\int_{0}^{t}\varphi（s）\，dB^{H}\biggr\Vert^{2}\leq c_{0}高（2H-1）t^{2H-1}\int_{0}^{t}\bigl\Vert\varphi（s）\bigr\Vert_{mathcal{左}_{2} ^｛0｝｝^｛2｝\，ds$$

我们接下来表示为\（\mathcal{左}_{2} （\欧米茄，X）\）所有强大的可测量、平方积分的集合，X（X）-值随机变量。显然，\（\mathcal{左}_{2} （\欧米茄，X）\）是一个配备规范的巴纳赫空间\（\Vert x（\cdot）\Vert_{mathcal{左}_{2} （\Omega，X）}=（E\vert X（\cdot）\vert）^{\frac{1}{2}}）.让\（C（J，\mathcal{左}_{2} （\欧米茄，X）\）表示所有的Banach空间X（X）-来自的有值连续函数\（J=[0，b]\）进入之内\（\mathcal{左}_{2} （\欧米茄，X）\）令人满意的\（J}中的\sup_{t\垂直x（t）\Vert^{2}<\infty\）.让\（J｛'｝=（0，b]\）.定义系统的温和解决方案(1.1)，我们还需要考虑Banach空间\C（J，mathcal）中的（C_{\alpha}（J，X）=\{X:t^{1-\ alpha}X（t）{左}_{2} （\欧米茄，X）\}\）符合规范

$$\Vert x\Vert_{C_{\alpha}}=\Bigl（J}中的\sup_{t\）E\Bigl\Vert t^{1-\alpha{x（t）\bigr\Vert^{2}\bigr）^{\frac{1}{2}}$$

在本文中，我们假设\（0\英寸\rho（A）\）哪里\（\rho（A）\）表示的预解集一然后我们可以定义分数幂\（^{\eta}\）作为其域上的闭线性算子\（D（A^{\eta}）\）对于\（0<\eta\leq 1\）（请参见[25]). 对于解析半群\（\｛S（t）\｝_｛t\ geq 0｝\），以下属性保持不变：

• （i） 存在\（M\geq 1）这样的话

  $$\begin{aligned}M:=\sup_{t\in[0，+\infty）}S（t）<\infty；\end{alinged}$$

• （ii） 对于\（对于（0,1]\中的所有元素），存在一个正常数\（C_{\eta}\）这样的话

  $$开始{aligned}\bigl\Vert A^{\eta}S（t）\bigr\Vert\leq\frac{C_{\eta}}{t^{\ta}}，\quad 0<t\leqb.结束{aligned}$$

为了进一步方便，请设置

$$\开始{aligned}\mathcal{宋体}_{阿尔法}（t）x=\int_{0}^{\infty}\phi_{\alpha}（\theta）S\bigl（t^{\alfa}\theta\bigr）x\，d\theta，\quad\quad\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）x=\int_{0}^{\infty}\alpha\theta\phi_{\alba}（\theta）S\bigl（t^{\alha}\theta\ bigr）x\，d\theta，\end{aligned}$$

哪里

$$\beart｛aligned｝\phi _｛\alpha｝（\ttheta）=\frac｛1｝｛\alpha｝\ttheta ^｛-1-\frac｛1｝｛\alpha｝｝\psi _｛\alpha｝\bigl（\ttheta ^｛\frac｛-1｝｛\alpha｝｝\bigr），\ end｛aligned｝$$

其中涉及Wright-type函数

$$\begin{aligned}\psi_{\alpha}（\theta）=\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}（-1）^{n-}\theta^{-\alphan-1}\frac{\Gamma（n\alpha+1）}{n！}\sin（n\pi\alpha），\quad\theta\ in（0，\infty），\end{alinged}$$

与以下单边稳定概率函数相关：\（φ{α}（θ）geq 0）,\（\theta\in（0，\infty）\）和\（int_{0}^{\infty}\phi_{\alpha}（θ），d\theta=1）.

引理2.2

([23])

操作员 \（\mathcal{宋体}_{\字母}\） 和 \（\mathcal{P}（P）_{\字母}\） 具有以下属性:

• （i） 对于任何固定 \（t \geq 0，\mathcal{宋体}_{\字母}（t）\） 和 \（\mathcal{P}（P）_{\字母}（t）\） 是线性有界运算符,我.e（电子）.,对于任何 \（x中的x）,

  $$\开始｛对齐｝&&bigl\Vert\mathcal{宋体}_{\alpha}（t）x\bigr\Vert\leq M\Vert x\Vert\quad\textit{和}\quad\bigl\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）x\bigr\Vert\leq\frac{M}{\Gamma（\alpha）}\Vert x\Vert。\结束{对齐}$$

• （ii） \（\{\mathcal{宋体}_{\alpha}（t）\}_{t\geq0}\） 和 \（\{\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）\}_{t\geq0}\） 是强连续的.

• （iii） 对于每个 \（t>0）,\（\mathcal{宋体}_{\字母}（t）\） 和 \（\mathcal{P}（P）_{\字母}（t）\） 也是紧凑运算符，如果 \（S（t），t>0） 是紧凑的.

引理2.3

([25,27])

对于任何 \（t>0） 和 \（0\leq\gamma<1）,存在一个正常数 \（C_{\gamma}\） 这样的话

$$A\mathcal美元{P}（P）_{\alpha}（t）x=A^{1-\gamma}\mathcal{P}（P）_{\α}（t）A^{\γ}x$$

和

$$\bigl\垂直A^{\gamma}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）\bigr\Vert\leq\frac{\alpha C_{\gamma}\gamma（2-\gamma）}{t^{\alfa\gamma{\gamma_（1+\alpha（1-\gamma））}$$

引理2.4

([23])

对于 \（σ\ in（0,1]\） 和 \（0<a \leq b）,我们有 \（\vert a^{\sigma}-b^{\signa}\vert\leq（b-a）^{\segma}\）.

引理2.5

如果

$$开始{对齐}x（t）={}&\frac{t^{alpha-1}}{\Gamma（\alpha）}\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x（0）\bigr）+g（x）\biger]+h\bigl（t，x（t+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega^{\alpha-1}\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}（s），\quad t>0，\end{aligned}$$

那么我们有

$$\开始{对齐}x（t）&=t^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x（0）\biger）+g（x）\bigr]+h\bigl（t，x（t）\ bigr）\\&\四{}+\int_{0{0}^{t}（t-s）^{alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega（s）\\&\quad{}+\int_{0}^{t}（t-s）^{\alfa-1}A\mathcal{P}（P）_｛\alpha｝（t-s）h\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds\\&&quad｛｝+\int _｛0｝^｛t｝（t-s）^｛\alpha-1｝\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}（s），\quad t>0。\结束{对齐}$$

证明

参考[25]，我们省略了这里的证明。□

三主要成果

在本节中，我们提出并证明了系统温和解的存在性(1.1). 为了发展我们的结果，我们首先给出了系统温和解的概念(1.1).

定义3.1

安\（\mathcal{F}（F）_{t} \）-自适应可测随机过程\（x在C_{α}（J，x）中）据说是一种温和的系统解决方案(1.1)如果\（x{0}，g\in\mathcal{左}_{2} ^{0}（\欧米茄，X）\），每个\（[0，b）中的\），函数\（（t-s）^{α-1}AT_{α}（t-s，x）h（s，x（s））是可积的，并验证了以下积分方程：

$$\开始｛对齐｝x（t）=&t^｛\alpha-1｝\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x（0）\biger）+g（x）\bigr]+h\bigl（t，x（t）\ bigr）\\&{}+\int _{0}^{t}（t-s）^{alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega（s）\\&{}+\int_{0}^{t}（t-s）^{\alfa-1}A\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）h\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds\\&{}+\int_{0}^{t}（t-s）^{\ala-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}（s），\quad t \ in J{'}。\结束{对齐}$$

为了方便读者，我们首先介绍一些符号：

$$\begin{aligned}和\bigl\Vert A^{-\beta}\bigr\Vert=M_{0}，\quad\quad K（\alpha，\beta）=\frac{C_{1-\beta{\Gamma（1+\beta）}}{（1+C）^{2-2\alpha{1}}}，\\&\alpha_1}\在\bigg[\frac{1}{2}中，\alpha\bigg）。\结束{对齐}$$

为了确定主要结果，我们需要以下假设：

(\（\mathrm{高}_{1}\)):

半群\（S（t）\）每个都很紧凑\（t>0）;

(\（\mathrm{高}_{2}\)):

• （2a） 对于每个\（x中的x），函数\（F（\cdot，x）：J\rightarrow\mathcal{左}_{2} ^{0}（X，Y）\）在以下方面具有很强的可衡量性t吨，对于每个\（t\英寸J\），函数\（F（t，\cdot）：X\rightarrow\mathcal{左}_{2} ^{0}（X，Y）\）在以下方面是连续的x个;

• （2b） 存在一个函数\L^{frac{1}{2\alpha中的（N（t）_{1}-1}}（J） \）,\（在[\frac{1}{2}，\alpha中）和一个连续的非递减函数\（\vartheta:[0，\infty）\到（0，\inffy）\）这样，对于任何\（（t，x）\单位为J\乘以C_{\α}\），我们有\（E\垂直F（t，x（t））\Vert^{2}\leq N（t）\times\vartheta（\Vertx\Vert_{C_{\alpha}}）\）,\（\liminf_{r\rightarrow\infty}\frac{\vartheta（r）}{r}\，ds=\Theta<\infty）;

(\（\mathrm{高}_{3}\)):

• （3a） \（h（t，\cdot）:X\右箭头X\）每个都是连续的\（t\英寸J\），对于每个\（x中的x），函数\（h（\cdot，x）：J\右箭头x\）具有很强的可衡量性；

• （3b） 存在常量\（β\在（0,1）中\）和\（L>0\）这样的话\（在D（A^{\beta}）中为h\）以及任何\（x，y\在C_{\alpha}（J，x）中\）,\（t\英寸J\），函数\（A^{\beta}h（\cdot，x）\）具有很强的可衡量性，并且\（A^{\beta}h（t，x（t））\）满足

  $$E\bigl\Vert A^{\beta}h\bigl（t，x（t）\bigr）-A^{\beta}h\bigl-（t，y（t）\ bigr，bigr\Vert^{2}\leq L\Vert x-y\Vert_{C_{\alpha}}$$

  为所有人\（x，y\在C_{\alpha}（J，x）中\）,\（t\英寸J\）;

• （3c） 存在一个连续的非递减函数\（\zeta:[0，\infty）\rightarrow（0，\inffy）\）和一个常数\（r>0\）这样对于a.e。\（t\英寸J\）,\（x在C_{α}（J，x）中），我们有

  $$E\bigl\Vert A^{\beta}h\bigl（t，x（t）\bigr）\biger\Vert^{2}\leq L\bigle（1+\zeta\bigl.（\Vert x\Vert_{C_{\alpha}}\bigr.）\biger），\quad\quad\liminf_{r\rightarrow\infty}\frac{\zeta（r）}{r}\，ds=\Pi_{1}<\infty$$

(\（\mathrm{高}_{4}\)):

\（g:C_{\alpha}（J，X）\rightarrow\mathcal{左}_{0}^{2}（\欧米茄，X）\）是这样的

• （i） 存在一个连续的非递减函数\（\mu:[0，\infty）\到（0，\inffy）\）这样的话\（E \垂直g（x）\垂直^{2}\leq\mu（\垂直x \垂直_{C_{\alpha}}）\）为所有人\（x在C_{α}（J，x）中）和一个常数\（r>0\）这样对于a.e。\（t\英寸J\）,\（x在C_{α}（J，x）中），我们有

  $$E\bigl\Vert g（x）\bigr\Vert^{2}\leq L\bigl（1+\mu\bigl（\Vert x\Vert_{C_{\alpha}}\bigr）\biger），\quad\quad\liminf_{r\rightarrow\infty}\frac{\mu（r）}{r}\，ds=\Pi_{2}<\infty$$

• （ii） 克是一个完全连续的映射；

(\（\mathrm{高}_{5}\)):

函数\（σ：J\rightarrow\mathcal{左}_{2} ^{0}（X，Y）\）满足

$$\int_{0}^{b}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert_{mathcal{左}_{2} ^{0}}^{\frac{2}{2\alpha_{1}-1}}\对于所有b>0，ds<\infty，\quad\$$

我们定义操作符\（\Psi:C_{\α}（J，X）\rightarrow C_{\alpha}（J，X）\）如下：

$$\开始{aligned}（\Psix）（t）=&t^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x（0）\biger）+g（x）\bigr]+h\bigl（t，（t）\ bigr）\\&{}+\int _{0}^{t}（t-s）^{alpha-1}A\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）h\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds\\&{}+\int_{0}^{t}（t-s）^{\ala-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega（s）\\&{}+\int_{0}^{t}（t-s）^{alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}（s），\quad t \ in J{'}。\结束{对齐}$$

设置

$$\开始｛对齐｝&\开始｛对齐｝（\Psi_{1} x个)（t）={}&t^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x（0）\biger）+g（x）\bigr]+h\bigl（t，x（t）\ bigr）\\&{}+\int _{0}^{t}（t-s）^{alpha-1}A\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）h\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds，\quad t\在J{'}中，\end{aligned}\\&\begin{alinged}（\Psi_{2} x个)（t）={}&\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega（s）\\&{}+\int_{0}^{t}（t-s）^{alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}（s），\quad t \ in J{'}。\end{aligned}\end{alinged}$$

根据假设(\（\mathrm{高}_{3}\))和引理2.3，我们获得

$$\begin｛aligned｝&E\biggl\Vert\int _｛0｝^｛t｝（t-s）^｛\alpha-1｝A\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）h\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds\biggr\Vert^{2}\\&\quad\leq E\int_{0}^{t}\bigl\Vert（t-s{P}（P）_{\alpha}（t-s）A^{\beta}h\bigl（s，x（s）\biger）\bigr\Vert^{2}\，ds\\&\quad\leq\int_{0}^{t}\bigl\Vert（t-s{P}（P）_{\alpha}（t-s）\bigr\Vert\，ds\\&\quad\quad{}\times\int_{0}^{t}（ts）^{\alfa-1}A^{1-\beta}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）E\bigl\VertA^{\beta}h\bigl（s，x（s）\biger）\bigr\Vert^{2}\，ds\\&\quad\leq\frac{\alba^{2{（C_{1-\beta{）^{2neneneep \Gamma^{2neneneei（1+\beta）}{\Gamma{2}（1+\ alpha\beta）^{\alpha\beta-1}\，ds\int_{0}^{t}（t-s）^{\ alpha\beta-1}E\bigl\VertA^{\beta}h\bigl（s，x（s）\bigr）\biger\Vert^{2}\，ds\\&\quad\leq b^{2\alpha\beta}\frac{（C_{1-\beta{）^{2}\Gamma^{2{（1+\beta）}{\beta^{2neneneep \Gamma{2}（1+/alpha\beta）}L\bigl L（1+\zeta\bigl（\Vert x\Vert_{C_{\alpha}}\bigr）\biger）。\结束{对齐}$$

现在，根据假设(\（\mathrm{高}_{2}\))，我们得到

$$\开始{aligned}&E\biggl\Vert\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega（s）\ biggr\Vert^{2}\\&\quad\leq\operatorname{Tr}问题\frac{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{2（\alfa-1）}E\bigl\VertF\bigl（s，x（s）\bigr）\biger\Vert^{2neneneep \，ds\\&\quad\leq\operatorname{Tr}问题\frac｛M^｛2｝｝｛\Gamma^｛2｝（\alpha）｝\biggl（\int _｛0｝^｛t｝（t-s）^｛\frac｛2（\alpha-1）｝｛2-2 \alpha_｛1｝｝｝\，ds\biggr）^｛2-2 \alpha_｛1｝｝\vartheta\bigl_{1}-1}}}\\&\quad\leq\operatorname{Tr}问题\压裂{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\vartheta\bigl（\Vertx\Vert_{C_{\alpha}\bigr）\frac{b^{（1+C）（2-2\alpha_{1}）}{（1+C）^{2-2\alfa_{1{}}\VertN\Vert_{L^{\frac}{1}\alpha_{1}-1}}}\\&\quad=\操作员姓名{Tr}问题\压裂{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\vartheta\bigl（\Vert x\Vert_{C_{\alpha}}\bigr）\Lambda\Vert N\Vert_{L^{\frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}. \结束{对齐}$$

对于温和解决方案的最后一项，根据假设(\（\mathrm{高}_{5}\))，我们有估计

$$\开始{aligned}&E\biggl\Vert\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\α}（t-s）\σ（s）\，dB^{高}_{Q} （s）\biggr\Vert^{2}\\&\quad\leq c_{0}高（2H-1）t^{2H-1}\frac{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{2（\alfa-1）}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert_{mathcal{左}_{2} ^{0}}^{2}\，ds\\&\四元\leq c_{0}高（2H-1）t^{2H-1}\分形{M^{2}}{\Gamma^{2{（阿尔法）}\biggl（int_{0}^{t}（t-s）^{\frac{2（阿尔法-1）}{2-2\alpha_1}}\，ds\biggr）大\Vert^{\frac{2}{2\alpha_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}\\&\四元\leq c_{0}高（2H-1）\压裂{M^{2}}{\伽马{2}（\alpha）}\压裂{b^{（1+c）_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}. \结束{对齐}$$

在下面，我们将给出系统的第一个存在性结果(1.1).

定理3.1

假设假设(\（\mathrm{高}_{1}\))–(\（\mathrm{高}_{5}\))持有,然后是系统(1.1)至少定义了一种温和的解决方案 \（J{'}\） 前提是 \（2b^{2（1-\alpha）}M_{0}左+2b^{2（1-\α+\α\β）}K^{2}（\α，\β）L<1） 和

$$\开始{对齐}&\压裂{15M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\bigl[M^{2}_{0}左\Pi_{1}+L\Pi_{2}\bigr]+5b^{2（1-\alpha）}M_{0}左\Pi_{1}+5b^{2（1-\alpha+\alpha\beta）}K^{2}（\alpha，\beta_{1}-1}}< 1. \结束{对齐}$$

证明

表示\（B_{q}=\{x\在C_{alpha}（J，x）中，\Vertx\Vert_{C_{alpha}}\leqq\}\）那么很明显\（B_｛q｝\）是一个有界的闭凸集\（C_{\α}（J，X）\）。我们分六个步骤演示证明。

第1步.我们将证明存在一个常数\（r=r（a）\）这样的话\（\Psi（B_{r}）\子集B_{r}\）.

事实上，如果这个说法不成立，那么对于每个正常数第页存在一些\（x^{（r）}\在B_{r}\中）这样的话\（\Psi（x^{（r）}）\notin B_{r}\）即。，

$$\开始{对齐}r<&\bigl\Vert\Psi\bigl（x^{（r）}\bigr）\bigr\Vert^{2}_在J{'}}t^{2（1-\alpha）}\biggl\{5E\bigl\Vertt^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x^{（r）}（t-s）^{\alpha-1}A\mathcal{P}（P）_｛\alpha｝（t-s）h\bigl（s，x^｛（r）｝（s）\bigr）\，ds\biggr\Vert^｛2｝\&｛｝+5E\biggl\Vert\int _｛0｝^｛t｝（t-s）^｛\alpha-1｝\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）F\bigl（s，x^{（r）}\bigr）\，d\omega（s）\biggr\Vert^{2}\\&{}+5E\biggl\Vert\int_{0}^{t}（ts）^{alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\α}（t-s）\σ（s）\，dB^{高}_{Q} （s）\biggr\Vert^{2}\biggr\}\\leq&\frac{5M^{2{}{\Gamma^{2]（\alpha）}\bigl[E\bigl\Vertx_{0}+h\bigl（0，x^{（r）}（0 \bigl\Vert A^{-\beta}\bigr\Vert^{2} L（左）\bigl（1+\zeta\bigl\Vert x^{（r）}\bigr\Vert_{C_{\alpha}}\biger）\\&{}+5b^{2（1-\alpha+\alpha\beta）}K^{2}（\alpha，\beta torname公司{Tr}问题\压裂{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\vartheta\bigl（\bigl\Vert x^{（r）}\bigr\Vert_{C_{\alpha}}\biger）\Lambda\Vert N\Vert_{L^{\frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}\\&{}+5c_{0}高（2H-1）\压裂{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\压裂{b^{（1+c）（2-2\alpha_{1}）+2H+1-2\alpha}}{（+c）^{2-2\alfa_{1{}}}\biggl（\int_{0}^{b}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert^{2\frac{2}{2\alpha_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}\\leq&\压裂{5M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\bigl[3E\Vertx_{0}\Vert^{2neneneep+3M^{2}_{0}左\bigl（1+\zeta（r）\bigr）+3L\bigle（1+/\mu（r）\ bigr，\bigr]\\&{}+5b^{2（1-\alpha）}M^{2}_{0}左\bigl（1+\zeta（r）\bigr）+5b^{2（1-\alpha+\alpha\beta）}K^{2}（\alpha，\beta{Tr}问题\压裂{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\vartheta（r）\Lambda\VertN\Vert_{L^{\frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}\\&{}+5c_{0}高（2H-1）\压裂{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\压裂{b^{（1+c）（2-2\alpha_{1}）+2H+1-2\alpha}}{（+c）^{2-2\alfa_{1{}}}\biggl（\int_{0}^{b}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert^{2\frac{2}{2\alpha_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}. \结束{对齐}$$

将两边分开第页并让\（r\rightarrow\infty\）产量

$$\开始{对齐}&\压裂{15M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\bigl[M^{2}_{0}左\Pi_{1}+L\Pi_{2}\bigr]+5b^{2（1-\alpha）}M_{0}左\Pi_{1}+5b^{2（1-\alpha+\alpha\beta）}K^{2}（\alpha，\beta_{1}-1}}> 1. \结束{对齐}$$

这与定理的假设相矛盾3.1，这意味着存在第页从而Ψ映射\（B_{r}\）融入自身。

第2步。我们证明了这一点\（\Psi_{1}\）是对的收缩\（B_{r}\）.

对于任何\（B_{r}中的x，y\），我们推导

$$\开始{aligned}和\bigl\Vert（\Psi_{1} x个)（t）-（\Psi_{1} 年)（t）\较大\垂直^{2}_在J{'}}t^{2（1-\alpha）}E\bigl\Vert（\Psi_{1} x个)（t）-（\Psi_{1} 年)（t）J^{prime}}2t^{2（1-\alpha）}中的（t）\bigr\Vert^{2}\\&\quad\leq\sup_{t{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}A\mathcal{P}（P）_｛\alpha｝（t-s）\bigl[h\bigl（s，x（s）\bigr）-h\bigl（s，y（s）\bigr）\bigr]\，ds\biggr\Vert^｛2｝\&&quad\leq\sup_｛t\ in J｛'｝2t^｛2（1-\alpha）｝\bigl\Vert A^｛-\beta｝\bigr\Vert^{2} E类\bigl\VertA^{\beta}h\bigl（t，x（t）\bigr）-A^{\beta}h \bigl（t，y（t）\ bigr{P}（P）_{\alpha}（t-s）\，ds\\&\quad\quad{}\times\int_{0}^{t}（ts）^{\alfa-1}A^{1-\beta}\mathcal{P}（P）_｛\alpha｝（t-s）E\bigl\Vert A^｛\beta｝h\bigl（s，x（s）\bigr）-A ^｛\beta｝h\bigl（s，y（s）\bigr）\bigr\Vert ^｛2｝\，ds\\&&quad\leq 2b^｛2（1-\alpha）｝M^{2}_{0}左\Vert x-y\Vert_{C_{1-\alpha}}+2b^{2（1-\ alpha+\alpha\beta）}K^{2}（\alpha，\beta^{2}_{0}左+2b^{2（1-\alpha+\alpha\beta）}K^{2}（\alpha，\ beta）L\bigr]\Vert x-y\Vert_{C_{\alpha}}。\结束{对齐}$$

因此，\（\Psi_{1}\）是定理假设的收缩3.1.

步骤3.\（\Psi_{2}\）是完全连续的。

为了证明这个断言，我们将步骤3细分为三个声明。

权利要求1.\（\Psi_{2}\）将有界集映射为一致有界集\（C_{\α}（J，X）\）.

我们只需要证明存在常量\（\增量>0\）这样，对于每个\（\Psi_{2} x个，x\在B_{r}\中）,\（\垂直\Psi_{2} x个\垂直_{C_{\alpha}}\leq\Delta\）持有。事实上，对于每个\（在J{'}\中）通过使用Hölder不等式，我们得到

$$\开始{对齐}\Vert\Psi_{2} x个\Vert_{C_{\alpha}}^{2}&=\sup_{t\在J{'}}t^{2（1-\alpha）}E\biggl\Vert-t^{\alfa-1}\mathcal中{P}（P）_{\alpha}（t）\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x（0）\bigr）+g（x）\biger]\\&\quad{}+int_{0{^{t}（t-s）^{alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega（s）\\&\quad{}+\int_{0}^{t}（t-s）^{\alfa-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}\biggr\Vert^{2}\\&\leq 3\frac{M^{2{}{\Gamma^2}（\alpha）}E\bigl\Vertx{0}+H\bigl（0，x（0）\bigr）+g{Tr}问题\压裂{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\vartheta（r）\Lambda\VertN\Vert_{L^{\frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}四元｛｝+3b^｛2H+1-2\α｝c_{0}高（2H-1）\压裂{M^{2}}{\伽马{2}（\alpha）}\压裂{b^{（1+c）（2-2\alpha_{1}）}{（1+c）^{2-2\alfa_{1{}}}\biggl（\int_{0}^{b}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert^{2{2\alpha_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}\\&\leq 3\frac{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\bigl[3E\Vertx_{0}\Vert^{2neneneep+3M^{2}_{0}左\bigl（1+\zeta（r）\bigr）+3L\bigle（1+/\mu（r）\figr）\bigr]\\&\quad{}+3b^{2-2\alpha}\operatorname{Tr}问题\压裂{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\vartheta（r）\Lambda\VertN\Vert_{L^{\frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}四元｛｝+3b^｛2H+1-2\α｝c_{0}高（2H-1）\压裂{M^{2}}{\伽马{2}（\alpha）}\压裂{b^{（1+c）（2-2\alpha_{1}）}{（1+c）^{2-2\alfa_{1{}}}\biggl（\int_{0}^{b}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert^{2{2\alpha_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}\\&：=\增量。\结束{对齐}$$

因此，对于每个\（\rho\in\Psi_{2} x个\)，我们有\（\Vert\rho（t）\Vert_{C_{alpha}}\leq\Delta\）.

权利要求2.\（\Psi_{2}（B_{r}）\）在上是等连续的\（B_{r}\）.

表示\（\bar{E}=\{y\在C（J，X）中：y（t）=t^{1-\alpha}（\Psi_{2} x个)（t） ，y（0）=y（0^{+}），x\在B_{r}\}\中，用于\（t{1}=0\）,\（0<t{2}\leqb\），我们可以获得

$$\开始{对齐}&E\bigl\垂直y（t_{2}）-y（0）\bigr\Vert^{2}\\&\quad\leq 3\bigl\Vert\bigl[\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t{2}）-\mathcal{P}（P）_{\alpha}（0）\bigr]\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x（0_{2} -秒)^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega（s）\biggr\Vert^｛2｝\\&&quad\quad｛｝+3t_｛2｝^｛1-\alpha｝\biggl\Vert\int _｛0｝^｛t_｛2｝｝｝（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}（s）\biggr\Vert^{2}\rightarrow 0，\quad\text{as}t_{2}\ rightarror t_{1}=0。\结束{对齐}$$

对于\（0<t{1}<t{2}\leqb\），强大的连续性\（\{\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）：t\geq 0\}\）意味着存在一个常量\（增量>0）这样的话\（\转换t_{2} -吨_{1} \vert<\delta\）和\（\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t{1}）-\mathcal{P}（P）_{\α}（t_{2}）\垂直此外，请注意\（c＝\frac｛\alpha-1｝｛1-\alpha_｛1｝｝），然后针对\（对于B_{r}中的所有x\），这就产生了

$$\开始{对齐}&E\bigl\Verty y（t_{2}）-y（t_}1}）\bigr\Vert^{2}\\&\quad\leq 9E\bigle\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t{2}）\bigl[x{0}+h\bigl（0，x（0）\bigr）+g（x）\biger]-\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{1}）\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x（0）\bigr）+g（x）\biger]\bigr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+9E\biggl\Vert\int_{0{^{1}}\bigl[t_{2}^{1-\alpha}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-t{1}^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^｛\alpha-1｝\bigr]\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega（s）\ biggr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+9E\biggl\Vert\int_{0}^{t_{1}}\bigl[t_{2}^{1-\alpha}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-t{1}^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^｛\alpha-1｝\bigr]\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}（s）\biggr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+9E\biggl\Vert\int_{0}^{t_{1}-\varepsilon}t{1}^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigl[\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)-\马查尔{P}（P）_{\alpha}（t_{1} -秒)\bigr]F\bigl（s，x（s）\bigr（s）\，d\omega（s）\siggr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+9E\biggl\Vert\int_{0}^{t_{1}-\varepsilon}t{1}^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigl[\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)-\马查尔{P}（P）_{\alpha}（t_{1} -秒)\bigr]\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}（s）\biggr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+9E\biggl\Vert\int_{t_{1}-\varepsilon}^{t{1}}t{1{^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigl[\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)-\马查尔{P}（P）_{\alpha}（t_{1} -秒)\bigr]F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega（s）\ biggr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+9E\biggl\Vert\int_{t_{1}-\varepsilon}^{t{1}}t{1{^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigl[\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)-\马查尔{P}（P）_{\alpha}（t_{1} -秒)\bigr]\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}（s）\biggr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+9E\biggl\Vert\int_{t{1}}^{t{2}}t_{2}^{1-\alpha}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)F\bigl（s，x（s）\bigr）\，d\omega（s）\ biggr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+9E\biggl\Vert\int_{t_{1}}^{t_{2}}t_{1-\alpha}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)\sigma（s）\，dB_{Q}^{H}（s）\biggr\Vert^{2}\\&\quad\leq 9\bigl\Vert\mathcal（s）{P}（P）_{\alpha}（t{2}）-\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{1}）\bigr\Vert^{2} E类\bigl\Vert x_{0}+h\bigl（0，x（0）\biger）+g（x）\bigr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+9\operatorname{Tr}问题\nint_{0}^{t_{1}}\bigl\Vert t_{2}^{1-\alpha}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-t{1}^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}\times\bigl\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)\较大\垂直^{2} E类\bigl\Vert F\bigl（s，x（s）\bigr）\biger\Vert^{2}\，ds\\&\quad\quad{}+9c_{0}高（2H-1）t_｛1｝^｛2H-1｝\int _｛0｝^｛t_｛1｝｝\bigl\Vert t_｛2｝^｛1-\alpha｝（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-t{1}^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}\times\bigl\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)\bigr\Vert^{2}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\ Vert_{\mathcal{L}^{2}_{0}}^{2}\，ds\\&\quad\quad{}+9\sup_{[0，t_{1}-\varepsilon]}\bigl\Vert\mathcal（变量）{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)-\mathcal公司{P}（P）_{\alpha}（t_{1} -秒)\bigr\Vert^{2}\operatorname{Tr}问题\vartheta（r）\Vert N\Vert_{L^{frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}\\&\quad\quad{}\times\biggl[\frac{t{1}^{（1+c）（2-2\alpha{1}）}}{（1+c）^{2-2\alfa{1}}-\frac}\varepsilon^{_{0}高（2H-1）b^{2H-1}\sup_{[0，t_{1}-\varepsilon]}\bigl\Vert\mathcal（变量）{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)-\马查尔{P}（P）_{\alpha}（t_{1} -秒)\bigr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}\times\biggl[\frac{t_1}^{（1+c）（2-2\alpha_{1}）}{（+c）^{2-2\alfa_{1{}}}-\frac}\varepsilon^{b}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert^{\frac{2}{2\alpha_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}\\\&\quad\quad｛｝+9\运算符名称{Tr}问题\裂缝{4M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\int_{t_{1}-\varepsilon｝^｛t_｛1｝｝t_｛1｝^｛2（1-\alpha）｝（t_{1} -秒)^｛2（\alpha-1）｝E\bigl\Vert F\bigl（s，x（s）\bigr）\bigr\Vert ^｛2｝\，ds\\\quad\quad｛｝+9c_{0}高（2H-1）t{1}^{2H-1}\压裂{4M^{2}}{Gamma^{2{（α）}\int_{t_{1}-\varepsilon｝^｛t_｛1｝｝t_｛1｝^｛2（1-\alpha）｝（t_{1} -秒)^{2（\alpha-1）}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert_{mathcal{左}_{2} ^{0}}^{2}\，ds\\&\quad\quad{}+9\operatorname{Tr}问题\frac｛M^｛2｝｝｛\Gamma ^｛2｝（\alpha）｝b^｛2-2\alpha｝\int _｛t_｛1｝｝^｛t_｛2｝｝（t_{2} -秒)^{2（\alpha-1）}E\bigl\Vert F\bigl（s，x（s）\biger）\bigr\Vert^{2}\，ds\\&\quad\quad{}+9c_{0}高（2H-1）\frac{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}b^{2H+1-2\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}（t_{2} -秒)^{2（\alpha-1）}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert_{mathcal{左}_{2} ^{0}}^{2}\，ds\\&\quad=9\sum_{i=1}^{9} 我_{i} ，\结束｛对齐｝$$

哪里

$$\开始{aligned}&I_{1}=\bigl\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t{2}）-\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{1}）\bigr\Vert^{2} E类\bigl\Vert x_{0}+h\bigl（0，x（0）\bigr）+g（x）\biger\Vert^{2}，\\&\开始{对齐}I_{2}={}&\运算符名称{Tr}问题\nint_{0}^{t_{1}}\bigl\Vert t_{2}^{1-\alpha}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-t{1}^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigr\Vert^{2}\\&{}\times\bigl\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)\较大\垂直^{2} E类\bigl\Vert F\bigl（s，x（s）\bigr）\biger\Vert^{2}\，ds，\end{aligned}\\&\开始{aligned}I_{3}={}&c_{0}高（2H-1）t_｛1｝^｛2H-1｝\int _｛0｝^｛t_｛1｝｝\bigl\Vert t_｛2｝^｛1-\alpha｝（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-t{1}^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigr\Vert^{2}\\&{}\times\bigl\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)\bigr\Vert^{2}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\ Vert^}2\，ds，\end{aligned}\\&\begin{alinged}I_{4}={}&\sup_{[0，t_{1}-\varepsilon]}\bigl\Vert\mathcal（变量）{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)-\mathcal公司{P}（P）_{\alpha}（t_{1} -秒)\bigr\Vert^{2}\operatorname{Tr}问题\vartheta（r）\Vert N\Vert_{L^{frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}\\&{}\times\biggl[\frac{t_{1}^{（1+c）（2-2\alpha_1}）}{（1+c）^{2-2\alfa_1}}-\frac}\varepsilon^{_{0}高（2H-1）b^{2H-1}\sup_{[0，t_{1}-\varepsilon]}\bigl\Vert\mathcal（变量）{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)-\mathcal公司{P}（P）_{\alpha}（t_{1} -秒)\bigr\Vert^{2}\\&{}\times\biggl[\frac{t_{1}^{（1+c）（2-2\alpha_{1}）}{（+c）^{2-2\alfa_{1{}}-\frac}\varepsilon^{bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert^{\frac{2}{2\alpha_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}，\end｛aligned｝\\&&\ begin｛aligned｝I_｛6｝=｛｝&&\运算符名称{Tr}问题\裂缝{4M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\int_{t_{1}-\varepsilon｝^｛t_｛1｝｝t_｛1｝^｛2（1-\alpha）｝（t_{1} -秒)^｛2（\alpha-1）｝E\bigl\Vert F\bigl（s，x（s）\bigr）\bigr\Vert ^｛2｝\，ds\\\leq｛｝&&运算符名称{Tr}问题\压裂{4M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}t_{1}^{2-2\alpha}\frac{\varepsilon^{（1+c）（2-2\alfa{1}）}}{（+c）^{2-2\ alpha{1}}\vartheta（r）\VertN\Vert_{L^{\frac}{1}{2\alpha_{1}-1}}}，\结束{aligned}\\&\开始{aligned}I_{7}={}&c_{0}高（2H-1）t{1}^{2H-1}\压裂{4M^{2}}{Gamma^{2{（α）}\int_{t_{1}-\varepsilon}^{t{1}}t{1{^{2（1-\alpha）}（t_{1} -秒)^{2（\alpha-1）}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert_{mathcal{左}_{2} ^{0}}^{2}\，ds\\leq{}（&c）_{0}高（2H-1）t{1}^{2H+1-2\alpha}\frac{4M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}，\结束{aligned}\\&\开始{aligned}I_{8}&=\operatorname{Tr}问题\frac｛M^｛2｝｝｛\Gamma ^｛2｝（\alpha）｝b^｛2-2\alpha｝\int _｛t_｛1｝｝^｛t_｛2｝｝（t_{2} -秒)^{2（\alpha-1）}E\bigl\Vert F\bigl（s，x（s）\biger）\bigr\Vert^{2}\，ds\\&\leq\operatorname{Tr}问题\裂缝{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}b^{2-2\alpha}\frac{（t_{2} -吨_{1} ）^{（1+c）（2-2\alpha_{1}）}}{（1+c）^{2-2\alfa_{1{}}\vartheta（r）\VertN\Vert_{L^{frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}，\结束{aligned}\\&\开始{aligned}I_{9}&=c_{0}高（2H-1）\frac{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}b^{2H+1-2\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}（t_{2} -秒)^{2（\alpha-1）}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert_{mathcal{左}_{2} ^｛0｝｝^｛2｝\，ds \\&\ leq c_{0}高（2H-1）\压裂{M^{2}}{\伽马{2}（阿尔法）}b^{2H+1-2\阿尔法}\压裂{（t_{2} -吨_{1} ）^{（1+c）（2-2\alpha_{1}）}}{（1+c）^{2-2\alfa_{1{}}}\biggl（int_{0}^{b}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert^{\frac{2}{2\alpha_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}. \end{aligned}\end{alinged}$$

自\（p\ in（0，\alpha）\），我们有\（（1+c）（2-2α{1}）>0），因此术语来自\（I_{6}\）到\（I_｛9｝\）趋于零\（t）_{2} -吨_{1} \右箭头0\）和\（\varepsilon\rightarrow 0\）. The strong continuity of\（\{\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）：t\geq 0\}\）表示\（\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)-\马查尔{P}（P）_{\alpha}（t_{1} -秒)\垂直^{2}\右箭头0\）作为\（\增量\右箭头0\）.因此\（I_{1}\）,\（I_{4}\）,\（I_{5}\）也趋向于零\（t）_{2} -吨_{1} \右箭头0\）.

对于\（I_{2}\）根据标准计算\（p\ in（0，\alpha）\），我们有

$$\开始{aligned}I_{2}\leq&\operatorname{Tr}问题\nint_{0}^{t_{1}}\bigl\Vert t_{2}^{1-\alpha}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-t{1}^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigr\Vert^{2}\\&{}\times\bigl\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t_{2} -秒)\较大\垂直^{2} E类\bigl\Vert F\bigl（s，x（s）\bigr）\biger\Vert^{2}\，ds\\leq&\operatorname{Tr}问题\裂缝{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}}\bigl\Vert t_{2}^{1-\alpha}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-t{1}^{1-\alpha}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigr\Vert^{2} E类\bigl\Vert F\bigl（s，x（s）\bigr）\biger\Vert^{2}\，ds\\leq&\operatorname{Tr}问题\压裂{M^{2}}{\伽马{2}（阿尔法）}\压裂{1}{（1+c）^{2-2\阿尔法{1}}}\bigl[（t_{2} -吨_{1} ）^{（1+c）（2-2\alpha_{1}）}\\&{}+t_{1}^{_{1}-1}}}. \结束{对齐}$$

因此\（I_{2}\）趋于零\（t）_{2} -吨_{1} \右箭头0\）同样，我们可以得到\（I_{3}\）趋于零\（t）_{2} -吨_{1} \右箭头0\）.

因此E类和\（\{\Psi_{2} x个：x\在B_{r}\}\中）意味着\（\Psi_{2}\）在上是等连续的\（B_{r}\）.

权利要求3.\（V（t）=\{（\Psi_{2} x个)（t） ，x\在B_{r}\}\中）是一个相对紧凑的X（X）.

让\（0<t\leq b\）被修复。然后针对\（对于（0，t）中的所有\lambda\）和\（所有增量都大于0）,\（x\在B_{r}\中），定义运算符

$$\开始{aligned}\bigl（\Psi_{2}^{\lambda，\delta}x\bigr）（t）=&t^{1-\alpha}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x（0）\bigr）+g（x）\biger]\\&{}+\alpha\int_{0{^{t-\lambda}\int_\\delta}^{\infty}\theta（t-s），d\omega（s）\\&{}+\alpha\int_{0}^{t-\lambda}\int_}\delta}^{\infty}\theta（t-s）^{\alpha-1}\phi_{\alba}（θ）S\bigl（（t-S）^{\alpha}\theta\bigr）\sigma（S）\，dB^{高}_{Q} （s）\\=&t^{1-\alpha}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）\bigl[x_{0}+h\bigl（0，x（0）\bigr）+g（x）\biger]\\&{}+\alpha S\bigle（\lambda^{alpha}\theta\biger）\int_{0{^{t-\lambda}\thetta\biger a-\lambda^{\alpha}\theta\biger）F\bigl（S，x（S）\bigr（S）\，d\omega（S）\\&{}+\alpha S\bigl（\lambda^{\alpha}\theta\bigr）\int_{0}^{t-\lambda}\int__{\delta}^{\infty}\theta（t-S）^{\alpha-1}\phi_{\alfa}（\theta）S\bigle（（t-S^{高}_{Q} （s）。\结束{对齐}$$

从\（S（\lambda^{\alpha}\delta），\lambda ^{\alpha}\delta>0\），我们得到的是\（对于（0，t）中的所有\lambda\）和\（所有增量都大于0），集合\（V^｛\lambda，\delta｝（t）=\｛（\Psi_｛2｝^｛\lambda，\delta｝x）（t），x\在B_｛r｝\｝中）相对紧凑X（X）.

此外，对于每个\（x\在B_{r}\中），我们有

$$\开始{aligned}和\bigl\Vert（\Psi_{2} x个)（t）-\bigl（\Psi_{2}^{\lambda，\delta}x\bigr））^{\alpha}\theta\biger）F（s，x（s）\，d\omega（s）\\&\quad\quad{}+\int_{0}^{t}\int_}\delta}^{\infty}\α\θ（t-s）^{\α-1}\φ{\α}（\θ）s\bigl（（t-s}\θ\较大）\σ\，dB^{高}_{Q} （s）\\&\quad\quad{}-\int_{0}^{t-\lambda}\int_}\delta}^{\infty}\alpha\theta（t-s）^{\alpha-1}\phi_{\alba}（\theta）s\bigl（t-s ^{\infty}\alpha\theta（t-s）\θ\较大）\σ\，dB^{高}_{Q} （s）J{'}}t^{2（1-\alpha）}E\Vert\int_{0}^{t}\int_{0}^{delta}\theta（t-s）^{alpha-1}\phi_{alpha}（\theta）s\bigl（（t-s）^{\alpha}\theta\bigr）F（s，x（s）\，d\omega（s）在J{'}}t^{2（1-\alpha）}E\biggl\Vert\int_{0}^{t}\int_{0^{\δ}\θ（t-s）^{\α-1}\φ{\α}（\theta）s\bigl（t-s）^{\alpha}\theta\bigr）\sigma（s）\，dB^{高}_{Q} （s）J{'}}t^{2（1-\alpha）}E\Vert\int_{t-\lambda}^{t}\int_{delta}^{\infty}\θ在J{'}}t^{2（1-\alpha）}中的x（s）\，d\omega \，ds\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+4\alpha^{2{\sup_{t\tE\biggl\Vert\int_{t-\lambda}^{t}\int_{delta}^{\infty}\θ^{高}_{Q} （s）\biggr\Vert^{2}\&\quad\leq 4\alpha^{2{b^{2-2\alpha}M^{2neneneep \operatorname{Tr}问题\兰姆达\vartheta（r）\Vert N\Vert_{L^{frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}\biggl（int_{0}^{delta}\theta\phi_{alpha}（\theta），d\theta\biggr）^{2}\\&\quad\quad{}+4\alpha^{2} c（c）_{0}高（2H-1）b^{2H+1-2\alpha}M^{2}\Lambda\biggl（int_{0}^{delta}\theta\phi_{alpha}（theta）\，d\theta\biggr）^{2{\\&\quad\quad{}\times\biggal（int_}0}^t}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert^{2\frac{2}{2\alpha_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}\\&\quad\quad{}+4\alpha^{2}b^{2-2\alpha}M^{2{\operatorname{Tr}问题\vartheta（r）\Vert N\Vert _｛L^｛\frac｛1｝｛2\alpha_{1}-1}}}压裂{1}{\Gamma^{2}（\alpha+1）}\frac{\lambda^{（1+c）（2-2\alpha_1}）}}{（+c）^{2-2\alfa_1}}\\&\quad\quad{}+4\alpha^{2{c_{0}高（2H-1）b^{2H+1-2\alpha}M^{2}\frac{1}{\Gamma^{2{（\alpha+1）}\frac{\lambda^{（1+c）（2-2\alpha_1}）}{（1+c）^{2-2\alfa_1}}\\&\quad\quad{}\times\biggl（int_{0}^{\lampda}\bigl\Vert\sigma（s）\bigr\Vert^{\frac}2}{2\字母_{1}-1}}\，ds\biggr）^{2\alpha_{1}-1}，\结束{对齐}$$

我们使用了等式

$$\int_{0}^{\infty}\theta^{\xi}\phi_{\alpha}（\theta）\，d\theta=\int_}0}^}\infty}\frac{1}{\theta^{\ alpha\xi}}\psi_{\alpha}$$

上述不等式的右侧趋于零，如下所示\（\lambda，\delta\rightarrow 0\）所以我们可以推断\（\垂直（\Psi_{2} x个)（t） -（\Psi_{2}^{\lambda，\delta}x）（t）\Vert_{C_{\alpha}}\rightarrow0\）作为\（\lambda，\delta\rightarrow 0^{+}\）这使我们能够断言，有相对紧的集合任意靠近该集合\（V（t）=\{（\Psi_{2} x个)（t） ，x\在B_{r}\}\中）因此，\（V（t）=\{（\Psi_{2} x个)（t） ，x\在B_{r}\}\中）相对紧凑X（X）.

我们根据权利要求1-3和Arzola–Ascoli定理推断出\（\Psi_{2}\）是一个完全连续的映射。利用Krasnoselskii的不动点定理，我们认为算子方程\（\Psi x=\Psi_{1} x个+\磅/平方英寸_{2} x个\)上有一个固定点\（B_{r}\）这是一种温和的系统解决方案(1.1). 证据完整。□

为了给出最后一个存在定理，我们需要以下假设：

(\（\mathrm{高}_{0}\)):

\（S（t）\）在一致算子拓扑中是连续的\（t \geq 0）、和\（\｛S（t）\｝_｛t\ geq 0｝\）一致有界，即存在\（M\geq 1）这样的话\（\sup_{t\in[0，+\infty）}\vert S（t）\vert\leq M\）;

(\（\mathrm{高}_{6}\)):

存在正常数L（左）这样，对于任何\（C_{\alpha}（J，x）中的x_{1}，x_{2}），我们有\（E \垂直g（x_{1}）-g（x_{2}）\垂直^{2}\leq L \垂直x_{1} -x个_{2} \垂直_{C_{\alpha}}\）;

(\（\mathrm{高}_{7}\)):

存在一个函数\L^{\frac{1}{2\alpha中的（N_{1}（t）_{1}-1}}（J） \）,\（在[\frac{1}{2}，\alpha中），对于任何\（x，y\在x\中）,\（t\英寸J\），我们有

$$E\bigl\Vert F\bigl（t，x（t）\bigr）-F\bigl（t，y（t）\ bigr，\bigr\Vert^{2}\leq N_{1}（t）\sdot\Vert x-y\Vert_{C_{\alpha}}$$

为了方便起见，让

$$\开始{对齐}M{'}=&4b^{2（1-\alpha）}\frac{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}L+4b^{2（1-\ alpha^{2}_{0}左+4b^{2（1-\alpha+\alpha\beta）}K^{2}（\alpha，\beta{Tr}问题\压裂{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\Lambda\Vert N_{1}\Vert_{L^{\frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}. \结束{对齐}$$

为了结束这一节，我们将继续研究系统的最后一个存在唯一性定理(1.1)基于巴拿赫收缩原理。

定理3.2

假设假设(\（\mathrm{高}_{0}\)), (\（\mathrm{高}_{2}\))–(\（\mathrm{高}_{7}\))持有,然后是系统(1.1)具有独特的温和解决方案 \（B_{r}\） 前提是 \（M{'}<1\）.

证明

根据定理定义运算符Ψ3.1然后通过定理中使用的类似参数3.1，我们可以得到算子Ψ映射\（B_{r}\）进入自身，其中\（B_{r}\）定义见定理3.1.

此外，我们还有

$$\开始{对齐}&\bigl\Vert（\Psi x）（t）-（\Psiy）（t）\bigr\Vert^{2}_｛C_｛\alpha｝｝\\&&\quad=\sup_｛t\ in J｛'｝｝t^｛2（1-\alpha）｝E\bigl\Vert（\Psi x）（t）-（\Psi y）（t）\bigr\Vert^｛2｝\\&&\quad\leq 4\sup_｛t\ in J｛'｝t^｛2（1-\alpha）｝E\bigl\Vert\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t）\bigl[g（x）-g（y）\bigr]\bigr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+4\sup_{在J{'}}t^{2（1-\alpha）}中的E\bigl\Verth\bigl t^{2（1-\alpha）}E\biggl\Vert\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}A\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）\bigl[h\bigl（s，x（s）\bigr）-h\bigl_（s，y（s）\ bigr）\bigr]\，ds\biggr\Vert^{2}\\&\quad\quad{}+4\sup_{t\在J{'}}t^{2（1-\alpha）}E\biggl\Vert\int_{0}^{t}（t）^{alpha-1}\mathcal中{P}（P）_{\alpha}（t-s）\bigl[F\bigl（s，x（s J{'}}t^{2（1-\alpha）}\bigl\VertA^{-\beta}\bigr\Vert^{2} E类\bigl\VertA^{\beta}h\bigl（t，x（t）\bigr）-A^{\beta}h\bigl（t，y（t）\ bigr{P}（P）_{\alpha}（t-s）\bigr\Vert\，ds\\&\quad\quad{}\times\int_{0}^{t}（ts）^{\alfa-1}A^{1-\beta}\mathcal{P}（P）_{\alpha}（t-s）E\bigl\Vert A^{\beta}h\bigl{Tr}问题\frac{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{2\alpha-2}E\bigl\Vert F\bigl（s，x（s）\bigr）-F\bigl（s，y（s）\ bigr）}L\垂直x-y\垂直_{C_{alpha}}+4b^{2（1-\alpha）}M^{2}_{0}左\Vert x-y\Vert_{C_{\alpha}}\\&\quad\quad{}+4b^{2（1-\alpha+\alpha\beta）}K^{2}（\alpha，\beta{Tr}问题\压裂{M^{2}}{\伽马{2}（阿尔法）}\压裂{b^{（1+c）（2-2\阿尔法{1}）}}{（+c）^{2-2\阿尔法{1}}\垂直N_{1}\垂直L^{\压裂{1}{2\阿尔法_{1}-1}}}\Vert x-y\Vert_{C_{\alpha}}\\&\quad=\biggl[4b^{2（1-\alpha）}\frac{M^{2}{\Gamma^{2{（\alpha）}L+4b^{2（1-\ alpha^{2}_{0}左+4b^{2（1-\alpha+\alpha\beta）}K^{2}（\alpha，\beta{Tr}问题\压裂{M^{2}}{\Gamma^{2{（\alpha）}\Lambda\Vert N_{1}\Vert_{L^{\frac{1}{2\alpha_{1}-1}}}\biggr]\Vert x-y\Vert_{C_{alpha}}\\&\quad<\Vert x-y\Vert_{C_}\alpha}}。\结束{对齐}$$

因此，巴拿赫收缩原理意味着Ψ在\（B_{r}\）这是一种温和的系统解决方案(1.1). 这就完成了证明。□

4一个例子

作为应用程序，我们提供了一个示例来说明我们的结果。考虑以下由fBm和Wiener过程驱动的分数随机演化方程：

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}{}^{L}\mathcal{D}^{frac{3}{4}}[u（t，z）-\int_{0}^{pi}W（z，y）u（t、y）\，dy]=u_{zz}（t、z）+\hat{F}（t，u（t）（z）\frac{D\omega（t）}{dt}，\\hphantom{}^L}\数学{D}^{\分数{3}{4}}[u（t，z）-\int_{0}^{\pi}W（z，y）u（t、y）\，dy]=}{}+\hat{\sigma}（t，u（t）（z）\分数{dB{Q}^{H}（t）}{dt}，（0，b]中的四元t，[0，\pi]中的z，在J=[0，b]，\\mathcal{I}^{frac{1}{4}}（u（t，z）-\sum_{I=1}^{n}\int_{0}^{\pi}k（z，y）u（t_{I}，y）\，dy）=u_{0{（z），在[0，\pi]中，\quad z\，\end{cases}\displaystyle\end{对齐}$$

(4.1)

哪里\（{}^{L}\mathcal{D}^{frac{3}{4}}\）表示Riemann–Liouville阶分数导数\（\压裂{3}{4}\）,\（数学｛I｝^｛\frac｛1｝｛4｝｝）是Riemann–Liouville阶积分\（\压裂{1}{4}\）,n个是一个正整数，\（0＜t_｛0｝＜t_｛1｝＜\cdots＜t_｛n｝＜b\）,\（z\在[0，\pi]\中）.

编写上述系统(4.1)变成抽象形式(1.1)，我们选择空间\（X=L^{2}[0，\pi]\）。接下来我们定义一个运算符一通过\（Av=v{''}\）使用域\（D（A）={v\在X:v中，v{'}\text{绝对连续}，v{''}\在X中，v（0）=v（\pi）=0\}\）.然后一是强连续半群的生成器\（S（t）_{t\geq0}\}\）正如我们所知，它是紧凑的、分析的和自共轭的。

从以前的工作中转移[25],一具有离散谱一是\（-n^{2}，n在n中）具有相应的正交特征向量\（e_{n}（z）=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin（nz）\）.然后\（Az=\sum_{n=1}^{infty}n^{2}\langlez，e_{n}\ranglee_{n}\）另一方面，我们知道

• （i） 对于每个\（X中的v）,\（S（t）v=sum_{n=1}^{infty}e^{-n^{2} 吨}\兰格v，e_{n}此外，\（S（\cdot）\）是一致稳定半群\（\垂直S（t）\垂直\leq e^{-t}\）;

• （ii） 对于每个\（X中的v）,\（A^{-\frac{1}{2}}v=\sum_{n=1}^{\infty}\frac}1}{n}\langlev，e_{n}\rangle e_{n}）和\（\Vert A^｛-\frac｛1｝｛2｝｝\Vert ^｛2｝=1\）;

• （iii） 操作员\（^{\压裂{1}{2}}\）由提供\（X中的A^{{1}{2}}v=\sum_{n=1}^{infty}n语言v，e_{n}语言e_{n}）在空间上\（D（A^｛\frac｛1｝｛2｝｝）=在X中的\｛v（\cdot）\，在X中的\ sum_｛n=1｝^｛infty｝\langle v，e_｛n｝\langle e_｛n｝\）.

出租\（（W_{h} v（v）)（z） =\int_{0}^{\pi}W（z，y）v（y）\，dy\），用于\（E=L^{2}中的v\（[0，\pi]，\mathbb{R}）\）,\（z\在[0，\pi]\中），我们假设以下假设成立：

\（（\bar{a}）\）:

\（\ω\）表示一维标准布朗运动；

\（（\bar{b}）\）:

函数\（W（z，y），z，y\在[0，\pi]\中）是可衡量的并且

$$\int_{0}^{\pi}\int_}0}^}\pi}W^{2}（z，y）\，dy\，dz<\infty$$

\（（\bar{c}）\）:

函数\（\部分_{z} W公司（z，y）\）是可衡量的，\（W（0，y）=W（pi，y）=0）、和

$$\bar{\Lambda}=\biggl（\int_{0}^{\pi}\int_}0}^}\pi}\bigl（\partial_{z} W公司（z，y）\大）^{2}\，dy，dz\大gr）^{压裂{1}{2}}<L<\infty$$

请注意\（（\bar{c}）\）使我们能够证明\（W_{h}\）是上的有界线性算子X（X）此外，\（D（A^{压裂{1}{2}）中的W_{h}（v））、和\（\VertA^{\frac{1}{2}}W_{h}\Vert_{L^{2}[0，\pi]}<\infty\）的确\（W_{h}\）和（ii）产生

$$\bigl\langle W_｛h｝（v），e_｛n｝\bigr\rangle=\int _｛0｝^｛\pi｝e_｛n｝（z）\biggl（\int _｛0｝^｛\pi｝W（z，y）v（y）\，dy\biggr）\，dz=\frac｛1｝｛n｝\sqrt｛\frac｛2｝｛\pi｝}\bigl\langle\bar｛W｝（v），\cos（nz）\bigr\rangle$$

哪里W̄由定义

$$\bigl（\bar{W}（v）\bigr）（z）=\int_{0}^{\pi}W{z}（z，y）v（y）\，dy$$

我们从中得知\（（\bar{b}）\）那个\（\bar｛W｝：X\右箭头X\）是一个有界线性算子\（\Vert\bar{W}\Vert_{L^{2}[0.b]}\leq\bar{\Lambda}\）。因此我们可以写作\（\垂直A^{\压裂{1}{2}}W_{h}（v）\垂直^{2}_{L^{2}[0，\pi]}=\Vert\bar{W}（v）\Vert^{2}_{L^{2}[0，\pi]}\）.

• （iv） 对于函数\（\hat{F}:[0，b]\times[0，\pi]\rightarrow[0，\ pi]\）满足以下条件：

  • (1) 对于每个\（位于[0，b]，\hat{F}（s，\cdot）中）是连续的，对于每个\（u\在X中，\hat{F}（\cdot，u）\）是可测量的；

  • (2) 存在一个函数\L^{frac{1}{2\alpha中的（N（t）_{1}-1}}（J） \）,\（在[\frac{1}{2}，\alpha中）和一个连续的非递减函数\（\vartheta:[0，\infty）\到（0，\inffy）\）这样，对于任何\（（t，u）\单位：J\乘以X\），我们有\（E \垂直F（t，u（t））\垂直^{2}\leq N（t）\时间\变θ（\垂直u \垂直_{C_{1-\alpha}}）\）,\（\liminf_{r\rightarrow\infty}\frac{\vartheta（r）}{r}\，ds=\Theta<\infty）.

定义中的分数布朗运动Y（Y）通过

$$B_{Q}^{H}（t）=\sum_{n=1}^{infty}\sqrt{$$

哪里\（H \ in（\压裂{1}{2}，1）\）和\（\{B^{高}_{n} ，在n\}中为n\）是相互独立的一维分数布朗运动序列。假设函数\（{\sigma}:[0，+\infty）\rightarrow\mathcal{左}_{2} ^{0}（L^{2}（[0,1]），L^{2]（[0，1]））\）满足

$$\int _｛0｝^｛b｝\bigl\Vert\hat｛\sigma｝（s）\bigr\Vert_｛L_｛0｝^｛2｝｝^｛\frac｛2｝｛2｝｛alpha_{1}-1}}\对于所有b>0，ds<\infty，\quad\$$

出租\（u（t）（z）=u（t，z）\）,\（t\英寸J\）,\（z\在[0，\pi]\中），我们定义\（h:[0，b]\乘以X\右箭头X\）,\（F:[0，b]\乘以X\右箭头L（K，X）\）和\（g:E\右箭头X\）通过\（h（t，u）=W{h}（u）\）,\（{F}（s，u）（z）=F（s，u（z）））,\（g（u）=\sum_{i=0}^{p}\bar{Q} u个（t_{i}）\）和\（西格玛（t）={西格玛}（t）），其中

$$\bar{Q}（u）=\int_{0}^{\pi}k（y，z）u（y）\，dy$$

有了上述选择一,F类,小时,σ，系统(4.1)可以看作是系统的抽象形式(1.1). 另一方面，假设定理的假设3.1保持。因此，使用定理3.1，我们声称该系统(4.1)接受温和的解决方案\（[0，b]\）根据上述附加假设。

5结论

本文考虑了一类Riemann–Liouville分数阶随机演化方程。特别是，利用不动点技术、分数阶微积分和随机分析获得了充分条件，以确保由Wiener过程和fBm驱动的Riemann–Liouville分数阶随机演化方程存在温和解。我们最后给出了一个示例。我们未来的工作将讨论由fBm和乘性噪声驱动的分数阶Navier–Stokes随机微分方程的爆炸性解。