在本节中，我们讨论了系数问题、解析性质、包含结果和半径问题。有趣的是，与文献中的现有结果相比，我们获得的结果是尖锐的。
首先，我们定义以下内容。
定义2.1
A函数\（q（z）\）（带有\（q（\mathtt{0}）=1）)在中进行分析E类属于这个班\（\波浪号{P}（P）_{m} ^{\beta}[A，B]\）（用于\（{m}\geq2\）)当且仅当存在\（p{1}（z），p{2}（z）在{\波浪线{\mathrm{p}}^{\beta}[A，B]\中）这样的话
$$q（z）=\biggl（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}\biggr）q{1}（z）-\biggl（\frac{m}{4}-\E中的裂缝{1}{2}\biggr）q{2}（z）\quad\text{for}z\$$
很容易看出\（{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\）是凸的。对于的特殊值A类,B类、和β，我们得到了几位研究人员研究的解析函数的几个子类[4,7–9,13–15].
定义2.2
解析函数\（f（z）\在\颚化符{\mathsf{R}}_{m}^{beta}[A，B]\中）当且仅当
$$\frac{zf^{{prime}}（z）}{f（z）{}在{波浪线{\mathrm{P}}{{m}^{beta}[A，B]\quad\text{for}z在E中$$
(2.1)
注意，对于\（β=1），班级\（波浪线{\mathsf{R}}_{m}^{beta}[A，B]\）生成类\（\mathsf{右}_{m} [A，B]\）[8]和\（\tilde{\mathsf{R}}_{m}^{beta}[1，-1]=\mathsf{右}_{m} （β）。对于\（β=frac{1}{2}\）,\（B=\mathtt{0}\）、和\（A=A）具有\（\ in（\mathtt{0}，1]\），我们获得类
$$\tilde{\mathsf{R}}_{m}^{{\frac{1}{2}}[a，\mathtt{0}]=q_{1}，q_{2}\prec\sqrt{1+az}\quad\text{for}z在E中$$
(2.2)
定义2.3
A函数\（f\in\mathcal{A}\）属于\（波浪线{\mathsf{V}}_{m}^{beta}[A，B]\）当且仅当（f）是局部单价的
$$\frac{（zf^{{prime}}（z））^{{prime}}}{f^{prime{}（z）}\在{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\quad\text{for}z中$$
(2.3)
发件人(2.1)和(2.3)，认为
$$f\在\ tilde{\mathsf{V}}_{m}^{beta}[A，B]\quad\Leftrightarrow\quad zf'（z$$
(2.4)
请注意，对于A类,B类、和β，在中获得并研究了几个类[8]. 对于\（β=frac{1}{2}\）,\（m=2）,\（B=\mathtt{0}\）和\（A=A）,\（\ in（\mathtt{0}，1]\）、Aouf[1]获得了以下类别：
$$\波浪线{\mathsf{V}}_{m}^{\frac{1}{2}}[a，\mathtt{0}]=\biggl\{f\在a:\frac}（zf^{\prime}}（z））^{\prime}}{f^{{\prime}}（z）-\biggl（\frac{m}{4}-\压裂{1}{2}\biggr）q{2}（z），q{1}，q{2{\prec\sqrt{1+az}\bigr\}$$
现在我们证明了以下引理，它们表示属于该类的函数的系数不等式\（{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\）。通过选择的特殊值A类,B类、和β，我们可以将我们的发现与现有的结果联系起来。我们假设\（m\geq 2）,\（-1\leq B<A\leq 1）,\（\mathtt{0}<\beta\leq1\），除非另有说明。
引理2.4
假设\（q（z）=1+\sum{n=1}^{infty}a_{n} z（z）^{n} \）属于\（{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\）.然后
$$\verta{n}\vert\leq\frac{\betam}{2}\vertA-B\vert\quad\textit{for-all}n\geq1$$
(2.4*)
证明
假设\（q（z）\）属于\（{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\）具有\（q（z）=1+\sum{n=1}^{infty}a_{n} z（z）^{n} \）。那么
$$q（z）=\biggl（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}\biggr）q{1}（z）-\biggl（\frac{m}{4}-\裂缝{1}{2}\biggr）q{2}（z），四边形q{1}，q{2{在{\波浪线{\mathrm{P}}^{beta}[A，B]中$$
如果\（q{1}（z）=1+sum{n=1}^{infty}{b}_{n} z（z）^{n} \）和\（q{2}（z）=1+sum{n=1}^{infty}{c}_{n} z（z）^{n} \），然后
$$1+\sum_{n=1}^{\infty}一个_{n} z（z）^{n} =\biggl（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}\biggr）\biggl（1+\sum_{n=1}^{\infty}{b}_{n} z（z）^{n} \Biggr）-\biggl（\frac{m}{4}-\裂缝{1}{2}\biggr）\Biggl（1+\sum_{n=1}^{\infty}{c}_{n} z（z）^{n} \Biggr）$$
通过比较\（z ^｛n｝\）利用三角形不等式，我们得到
$$\verta{n}\vert\leq\biggl（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}\biggr）\vert{b}_{n} \vert+\biggl（\frac{m}{4}-\压裂{1}{2}\biggr）\vert{c}_{n} \垂直$$
自\（q_{i}（z）\prec（\frac{1+Az}{1+Bz}）^{\beta}=1+\beta（A-B）z+\cdots\）对于\（i=1,2）.使用著名的Rogosinski结果[15]关于从属关系，我们有\（\垂直{b}_{n} \vert\leq\beta\vert A-B\vert\）和\（\vert c_{n}\vert\leq\beta\vert A-B\vert\）为所有人\（第1页）。这意味着
$$\vert a_{n}\vert\leq\biggl（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}\biggr）\beta\vert a-B\vert+\biggal（\frac{m}{4}-\frac{1}{2}\biggr）\beta\vert A-B\vert$$
这是必要的。这就完成了证明。 □
下面的引理扩展了类中函数的不等式界\（\mathrm{P}（P）_{m} [A，B]\）.
引理2.5
如果\（q（z）\）属于\（{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\）和\（z=\mathrm{r} e（电子）^{i\θ}\）,然后
$$\压裂{m（k_{1} -k个_{2} ）+2（k_{1}+k_{2}）}{4（1-B^{2} 第页^{2} ）}\leq\operatorname{Re}\bigl\{q（z）\bigr\}\leq\frac{m}{2}\biggl（\frac{1+Ar}{1+Br}\bigr）^{\beta}$$
(2.5)
哪里\（k_｛1｝=（1-（A-B）r-ABr^｛2｝）^｛\beta｝\）,\（k{2}=（1+（A-B）r-ABr^{2}）^{\β}\）.
证明
假设\（q（z）在{\波浪线{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\中。那么
$$q（z）=\biggl（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}\biggr）q{1}（z）-\biggl（\frac{m}{4}-\frac｛1｝｛2｝\biggr）q_｛2｝（z），quad\text｛where｝q_｛1｝（z），q_｛2｝（z）\text｛in｝\tilede｛\mathrm｛P｝｝^｛\beta｝[A，B]$$
(2.6)
利用三角形不等式，我们得到
$$\operatorname{Re}\bigl（q（z）\bigr）\leq\bigl\vert{q（z{4}-\frac{1}{2}\biggr）\bigl\vert{q{2}（z）}\bigr\vert$$
(2.7)
自\（q_｛1｝（z），q_｛2｝（z）\在｛\mathrm｛P｝｝｝中^｛\beta｝[A，B]\），然后
$$\operatorname{Re}\bigl\{q_{i}（z）\bigr\}\leq\biggl（\frac{1+A\vert w\vert}{1+B\vert w \vert{\biggr）^{\beta}<\biggl（\frac{1+Ar}{1+Br}\bigger）^{beta}\quad\text{for}i=1,2$$
(2.8)
哪里\（w（z）\）在中定义E类，它是一个具有\（w{（0）}=0\）和\（\vert w（z）\vert<r）.使用(2.8)英寸(2.7)，我们得到的是(2.5).
此外(2.6)可以写为
$${\operatorname{Re}\bigl（q（z）\bigr）}\geq\biggl（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}\biggr）\operator name{Re{bigl\{q{1}（z）\ bigr\}-\biggl（\frac{m}{4}-\压裂{1}{2}\biggr）\bigl\vert{q{2}（z）}\bigr\vert$$
(2.9)
自\（q_｛1｝（z），q_｛2｝（z）\在｛\mathrm｛P｝｝｝中^｛\beta｝[A，B]\）和
$$\operatorname{Re}\bigl\{q_{i}（z）\bigr\}\geq\biggl（\frac{1-A\vert w\vert}{1-B\vert w\vert{\biggr）^{beta}>\biggal（\frac{1-Ar}{1-Br}\bigger）^{beta}\quad\text{for}i=1,2$$
(2.10)
使用(2.10)英寸(2.9)，我们有
$$\bigl\{\operatorname{回复}q（z） \bigr\}\geq\biggl{4}-\压裂{1}{2}\biggr）\biggl（压裂{1+Ar}{1+Br}\bigr）^{\beta}$$
(2.11)
这意味着
$$\开始{aligned}{\bigl\{\operatorname{回复}q（z） \bigr\}}&\geq\biggl（\frac{m}{4}+\frac}{1}{2}\biggr）\biggl（\frac{1-（A-B）r-ABr^{2}}{1-B^{2} 第页^{2} }\biggr）^{\beta}\\&\quad{}-\biggl（\frac{m}{4}-\frac{1}{2}\biggr）\biggl（\frac{1+（A-B）r-ABr^{2}}{1-B^{2} 第页^{2} }\biggr）^{\beta}。\结束{对齐}$$
(2.11*)
通过简单的计算，我们得到了(2.5). 因此证明。 □
引理2.6
如果函数\（q（z）\in\mathcal{A}\）属于\（{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\）,然后\（q（z）{P}（P）_{m} （伽玛射线）,哪里\（伽马=（压裂{1-A}{1-B}）^{\beta}\）对于\（E\中的z\）.
证明
让\（q（z）\）属于\（{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\）.来自(2.6)和(2.8)，我们有
$$\operatorname{Re}\bigl\{q_{i}（z）\bigr\}\geq\biggl（\frac{1-A\vert w\vert}{1-B\vert w\vert{\biggr）^{beta}>\biggal（\frac{1-Ar}{1-Br}\bigger）^{beta}，\quad i=1,2，\z\在E中$$
(2.12)
由此可知\（q_{i}（z）\in\mathrm{P}（\gamma）\）对于\（i=1,2），其中\（伽马=（压裂{1-A}{1-B}）^{\beta}\）和\（q（z）{P}（P）_{m} （伽玛射线）对于\（伽马=（压裂{1-A}{1-B}）^{\beta}\）。这意味着\（{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\substeq\mathrm{P}（P）_{m} （伽玛射线）因此证明。 □
在下面的定理中，我们讨论并研究了系数问题、解析性质、包含结果和半径问题。
定理2.7
如果\（f \ in \ tilde{\mathsf{V}}_{m}^{beta}[A，B]\）,那么就有了\（{\sigma}{1}，{\simma}{2}\ in \ overset{\ast}{S}（\gamma）\）具有\（伽马=（压裂{1-A}{1-B}）^{\beta}\）这样的话
$$f^{{\prime}}（z）=\frac{（\frac{{\sigma}{1}（z）}{z}）^{{4}-\E中的裂缝{1}{2}）}}，\quad z$$
(2.13)
证明
让\（f（z）\）属于\（波浪线{\mathsf{V}}_{m}^{beta}[A，B]\）。那么\（q（z）=\frac{（zf^{{prime}}（z））^{{prime}}{f^{prime{}（z）}\在{波浪线{\mathrm{P}}_{m}^{beta}[A，B]\中）.通过引理2.6,\（{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\substeqP{m}（\gamma）\）。这意味着\（P_{m}（\gamma）中的分形{（zf^{{prime}}（z））具有\（伽马=（压裂{1-A}{1-B}）^{\beta}\）。由此可见\（f\在V_{m}（\gamma）中\）.通过引理1.1，它有形式
$$f'（z）=\bigl（\mathtt{g}（z）\bigr）^{1-\lambda}，\quad\text{其中}\lambda=\biggl（\frac{1-A}{1-B}\biggr）^{beta}\text{和}\mathtt{g}（z）在\mathsf中{垂直}_{m} ●●●●$$
(2.14)
布兰南[2]表明每个\（\mathtt{g}（\mathsf{z}）\in\mathsf{垂直}_{m} \）具有表单的表示形式
$$g'（z）=\frac{（\frac{\mathsf{s}_{1} （z）｝｛z｝）^｛（\frac｛m｝｛4｝+\frac｛1｝｛2｝）｝｝｛（\frac｛\mathsf{s}_{2} （z）}{z}）^{（\压裂{m}{4}-\压裂{1}{2}）}}，\quad\mathsf{s}_{1} ，\mathsf{s}_{2} \ in \ overset{\ast}{S}$$
(2.15)
它已经在[12]每个\（{\sigma}_{i}\in\overset{\ast}{S}（\gamma）\）是
$${\sigma}_{i}（z）=z\biggl（\frac{\mathsf{s}_{{i}}（z）}{z}\biggr）^{1-\gamma}，\quad\mathsf{s}_{{i}}（z）\in\overset{ast}{S}，\i=1,2$$
（2.16）
使用(2.14), (2.15)、和(2.16)，我们得到了所需的结果(2.13). 这就完成了证明。 □
定理2.8
让\（f（z）\）属于\（波浪线{\mathsf{R}}_{m}^{beta}[A，B]\）具有\（f（z）=z+\sum_{n=2}^{infty}a_{n} z（z）^{n} \）对于\（E\中的z\）.然后
$$\verta{n}\vert\leq\frac{（\beta\frac{m}{2}\vertA-B\vert）{n-1}}{（n-1）！}\quad\textit{forall}n\geq2$$
(2.17)
证明
让\（f（z）\）属于\（波浪线{\mathsf{R}}_{m}^{beta}[A，B]\）。那么\（q（z）=\分数{zf^{{prime}}（z）}{f（z）{在{\波浪线{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\中）.假设\（q（z）=frac{zf^{{prime}}（z）}{f（z）{1+sum{n=1}^{infty}c_{n} z（z）^{n} \），其中\（q（z）\）在中定义E类并用\（q（\mathtt{0}）=1）。这意味着
$$zf^{{\prime}}（z）=f（z）q（z）$$
（2.18）
的级数表示(2.18)是
$$z+\sum_{n=2}^{infty}na_{n} z（z）^{n} =\Biggl（z+\sum_{n=2}^{\infty}一个_{n} z（z）^{n} \Biggr）\Biggl（1+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n} z（z）^{n} \Biggr）=z+\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{i}=\mathtt{0}}^｛n-1｝c_{{i}}a{n-{i}{z^{n}$$
比较\（z ^｛n｝\），我们获得\（（n-1）a_｛n｝=\sum_｛i｝=1｝^｛n-1｝c_{{i}}a{n-{i}{）,\（c_{mathtt{0}}=1\）因此
$$\verta{n}\vert=\frac{1}{n-1}\sum{{i}=1}^{n-1{vertc_{i}}\vert\verta{n-{i}{vert\quad\text{for}n\geq2$$
(2.19)
自\（q（z）在{\波浪线{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\中并使用引理2.4，我们得到\（\vert c_{{i}}\vert\leq\frac{beta m}{2}（A-B）\）对于所有n≥1。发件人(2.19)，我们有\（verta{n}\vert\leq\frac{beta{m}（a-B）}{2（n-1）}\sum{i}=1}^{n-1}\verta{i}}\vert）特别是，
$$开始{对齐}和\verta{2}\vert\leq\frac{\betam}{2}（a-B），\\&\verta}{3}\vert\leq\frac{\贝ta\frac}{m}{2}（a-B）}{2{\biggl（\frac\\betam{2}（a-B。\结束{对齐}$$
对于\（n=\mathsf{j}\）,
$$\开始{aligned}\verta{mathsf{j}}\vert&\leq\frac{beta\frac{m}{2}（a-B）}{mathsf{j} -1个}\和{{i}=1}^{j-1}\verta{i}\vert=frac{beta\frac{m}{2}（a-B）}{mathsf{j} -1个}\prod_{i=1}^{\mathsf{j} -2个}biggl（\frac｛\beta\frac｛m｝｛2｝（A-B）｝｛i｝+1\biggr）\\&=\frac｛（\beta\frac｛m｝｛2｝（A-B））_｛\mathsf{j} -1个}}{（\mathsf{j} -1个)!}\quad\text{for}\mathsf{j}\geq3，\end{aligned}$$
(2.20)
我们使用Pochhammer符号\（（β）{\mathsf{m}}）引入于[11]:
$$（\beta）_{m}=\textstyle\begin{cases}1，&m=0，\beta\in\mathbb{C}\setminus\{0\}，\\beta（\beta+1）\cdot（\bet+m-1），&m\in\mathbb{N}，\beta \in\mathbb{C:。\结束{cases}$$
考虑
$$\verta{m+1}\vert\leq\frac{\beta\frac}{m}{2}（a-B）}{m{sum{i}=1}^{m-1}\verta}{i}}\vert+\frac{beta\frac{m}}{2{（a-a）}{m}\vert a{m}\vert$$
使用(2.20)，我们得到以下结果：
$$开始{对齐}\verta{mathsf{j}+1}\vert&\leq\frac{beta\frac}{m}{2}（a-B）}{mathsf2{j}}\prod_{i=1}^{mathsf{j} -2个}\biggl（\frac{\beta\frac{m}{2}（A-B）}{i}+1\biggr）+\frac{\frac}m}{2]（\beta（A-B，））^{2}}{\mathsf{j}（\mathsf{j} -1个)}\prod_{i=1}^{\mathsf{j} -2个}biggl（\frac｛\beta（A-B）｝｛i｝+1\biggr）\\&=\frac｛\beta\frac｛m｝｛2｝（A-B）｝｛\mathsf｛j｝｝\prod_｛i=1｝^｛\mathsf{j} -1个}\biggl（\frac{\beta\frac{m}{2}（A-B）}{i}+1\biggr）=\frac{（\beta\frac{m}}（A-B））_{m}neneneep{（\tathsf{j}）！}。\结束{对齐}$$
通过归纳，我们得到(2.17). 因此证明。 □
定理2.9
让\（f（z）\）属于\（波浪线{\mathsf{V}}_{m}^{beta}[A，B]\）具有\（f（z）=z+\sum_{n=2}^{infty}a_{n} z（z）^{n} \）,\（E\中的z\）.然后
$$\verta{n}\vert\leq\frac{（beta\frac{m}{2}（a-B））{n-1}{（n）！}\quad\textit{表示}n\geq2$$
证明
让\（f（z）\）属于\（波浪线{\mathsf{V}}_{m}^{beta}[A，B]\）具有\（f（z）=z+\sum_{n=2}^{infty}a_{n} z（z）^{n} \）。那么\（zf^｛\prime｝｝（z）\in\mathsf｛R｝｝_｛m｝^｛\beta｝[A，B]\）.利用定理2.8，我们得到
$$\verta{n}\vert\leq\frac{（\beta\frac{m}{2}（a-B））{n-1}{（n）！}\quad\text{表示}n\geq2$$
□
推论2.10
对于\（A=1）,\（B=-1\）,\（f \ in \ tilde{\mathsf{V}}_{m}^{beta}[1，-1]\equiv\ tilde}\mathsf{V}{{m}（\beta）\）并使用定理2.9,我们获得
$$\vert a_｛n｝\vert\leq\frac｛（2m\beta）_｛n-1｝｝｛（n）！｝\quad\textit｛用于｝n\geq 2$$
定理2.11
如果\（f \ in \ tilde{\mathsf{V}}_{m}^{beta}[A，B]\）,然后\（f \ in \ tilde{\mathsf{R}}_{m}^{beta}（\rho）\）,哪里
$$\rho=\frac{（2\gamma-1）+\sqrt{（1-2\gama）^{2}+8}}{4}，\qquad\gamma=\biggl（\frac{1-A}{1-B}\biggr）^{beta}$$
(2.21)
证明
假设
$$开始{aligned}\frac{zf^{{prime}}（z）}{f（z）{&=（1-\rho）q（z）+\rho\\&=（1-\rho{4}-\压裂{1}{2}\biggr）q{2}（z）\biggr\}+\rho，\end{aligned}$$
(2.22)
哪里\（q（z）\）在中进行分析E类具有\（q（\mathtt{0}）=1）.来自(2.21)，我们有
$$\frac{（zf^{{prime}}（z））^{{prime}}{f^{prime{}（z）}=（1-\rho）\biggl[q（z）+\frac{zq^{primer}$$
(2.23)
\（f \ in \ tilde{\mathsf{V}}_{m}^{beta}[A，B]\）意味着\（分数{（zf^{{prime}}（z））^{{prime}}{f^{prime{}（z）}\在{\波浪线{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\中）和\（{\tilde{\mathrm{P}}}_{m}^{beta}[A，B]\substeq\mathrm{P}（P）_{m} （伽玛射线），其中\（伽马=（压裂{1-A}{1-B}）^{\beta}\）从这里可以看出
P_{m}中的$$\frac{1}{1-\gamma}\biggl（\frac}（zf^{prime}}（z））^{primer}}{f^{prime}}（z）}-\gamma\biggr）$$
(2.24)
使用(2.23)和(2.24)，我们得到
$$\压裂{（1-\rho）}{1-\gamma}\biggl[q（z）+\压裂{\frac{1}{1-\ rho}z\mathsf{q}'（z）}{q（z）+\裂缝{\rho}{1-\thro}.}\bigr]+\压裂}（\rho-\gamma）}{1-\伽马}在P_{m}中$$
(2.25)
现在我们定义
$$\varPhi_{\eta_{1}，\eta_2}}$$
具有\（\eta{1}=\frac{1}{1-\rho}\）,\（\eta{2}=\frac{\rho}{1-\rho{）.使用(2.22)使用Noor给出的卷积技术[7]，我们有
$$\开始{对齐}q（z）+\frac{\eta_{1} z（z）\矩阵{q}（z）}{q（z）+\eta{2}}=&（1-\rho）\biggl[\biggl（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}\biggr）\bigl\{q{1}（z）+\frac}\eta_{1} z（z）\矩阵{q}'{1}（z）}{q{1}（z）+\eta{2}.}\biggr\｝\\&｛｝-\biggl（\frac｛m｝{4}-\压裂{1}{2}\biggr）\biggl\{q{2}（z）+\压裂{\eta_{1} z（z）\矩阵{q}'{2}（z）}{q{2}（z）+\eta{2}.}\biggr\｝\biggr]+\rho。\结束{对齐}$$
(2.26)
因此，使用(2.25)和(2.26)，我们有
$$\压裂{（1-\rho）}{1-\gamma}\biggl\{q{i}（z）+\压裂{\eta_{1} z（z）\矩阵{q}'{i}（z）}{q{i}（z）+\eta{2}.}\biggr\+\frac｛（\rho-\gamma）｝｛1-\gamma｝\in\mathrm｛P｝\quad\text｛for｝i=1,2\text｛and｝z\ in E$$
（2.27）
由于引理的前两个条件1.2显然满足，我们满足条件（iii）如下：
$$开始{aligned}\operatorname{Re}\varPhi（i\xi_{2}，\zeta_{1}）=&\frac{\rho-\gamma}{1-\gamma{+\frac}{1-\ rho}\operatorname{Re}\biggl\{i\xi_2}+\frac{\rho\zeta_1}}{（1-\rho）i\xi_2}+\rho}\&\leq\frac{\rho-\gamma}{1-\gamma{1-\rho}{2（1-\gama）}\biggl\{\frac}\rho（1+\zeta{2}^{2}}{（1-\rho）^{2{\xi{2}^{2}+\rho^{2{}\biggr\}，\quad\text{代表}\xi{1}\leq-\frac{1+\xi{2{2}\&=\ frac{A+B\xi{2}^{2}}{D}，\ end{aligned}$$
(2.28)
哪里
$$\开始{aligned}&A=2（\rho-\gamma）\rho^｛2｝-\ρ（1-\rho），\\&B=2（\rho-\gamma）（1-\ρ）^｛2｝-\rho（1-\rho），\\&D=2（1-\gamma）\bigl（1-\ rho）^{2}{u}_{2} ^{2}+\rho^{2{\biger）。\结束{对齐}$$
据观察(2.28)给出负值\（{A}\leq\mathtt{0}\）和\（B\leq{0}\）。因此，使用\（A\leq{0}\），我们有
$$\rho=\frac{（2\gamma-1）+\sqrt{（1-2\gama）^{2}+8}}{4}，\qquad\gamma=\biggl（\frac{1-A}{1-B}\biggr）^{beta}$$
(2.29)
和来自\（B\leq\mathtt{0}\），我们获得\（\mathtt{0}\leq\rho<1\）因此，引理的所有三个条件1.2都很满意。由此可知\（q_{i}（z）\in\mathrm{P}\）对于\（i=1,2）和\（E\中的z\）.因此\（q（z）{P}（P）_{m} \）和\（f在R{m}（\rho）中），其中ρ在中给出(2.29). 这就完成了证明。 □
推论2.12
如果\（β=frac{1}{2}\）,\（B=0）,\（A=A）,\（在（0,1]\）和\（f \ in \ tilde{\mathsf{V}}_{m}^{\ frac{1}{2}}[a，0]\）.然后,使用定理2.11,我们有\（f \ in \ tilde{\mathsf{R}}_{m}^{\frac{1}{2}}（\rho）\）,哪里
$$\rho=\frac{（2\gamma-1）+\sqrt{（1-2\garma）^{2}+8}}{4}，\qquad\gamma=\sqrt}1-a}$$
（2.30）
定理2.13
如果\（f（z）\）属于\（波浪线{\mathsf{R}}_{m}^{beta}[A，B]\）,然后\（f（z）\in\mathsf{右}_{m} （伽玛射线）,\（伽马=（压裂{1-A}{1-B}）^{\beta}\）对于\（E\中的z\）.
证明
\（f（z）\）属于\（波浪线{\mathsf{R}}_{m}^{beta}[A，B]\）暗示\（q（z）=\frac{zf^{{prime}}（z）}{f（z）{\）对一些人来说\（q \ in \ tilde{\mathrm{P}}_{m}^{beta}[A，B]\）.使用引理2.6，我们得到\（分数{zf^{{prime}}（z）}{f（z）{in\mathrm{P}（P）_{m} （伽玛射线），其中\（伽马=（压裂{1-A}{1-B}）^{\beta}\）.因此\（f（z）\in\mathsf{右}_{m} （伽玛射线）对于\（E\中的z\）这就完成了证明。 □
推论2.14
如果\（β=1）,\（m=2）和\（f\在S^｛\ast｝[A，B]\中）.然后,使用定理2.13,我们有\（f（z）\在S^{\ast}（\gamma）中\）,哪里\（伽马=（压裂{1-A}{1-B}）.
