Jensen不等式和Lah–Ribarić不等式积分形式的改进及Csiszár散度的应用

摘要

本文对Jensen不等式和Lah–Ribarić不等式的积分形式进行了改进。利用这些结果，我们得到了Hölder不等式的一个精化，以及积分幂平均和拟算术平均的一些不等式的精化。我们也给出了在信息论中的应用，即我们给出了积分Csiszár散度及其重要特殊情况的一些有趣估计。

1介绍

让我是一个间隔\（\mathbb{R}\），并让\（f\colon I\ to \mathbb{R}\）凸函数。如果\（\boldsymbol{x}=（x{1}，\ldots，x{n}）\）有吗n个-中的元组\（我^{n}\）和\（\boldsymbol{p}=（p{1}，\ldots，p{n}）\）非负数n个-元组，以便\（P_{n}=\sum_{i=1}^{n} 第页_{i} >0），然后是众所周知的詹森不等式

$$f\Biggl（\frac{1}{P_{n}}\sum_{i=1}^{n} 第页_{i} x个_{i} \Biggr）\leq\frac{1}{P_{n}}\sum_{i=1}^{n} 第页_{i} 如果（x{i}）$$

(1.1)

保持（请参见[6]或者，例如[16第43页）。如果（f）是严格凸的，那么(1.1)是严格的，除非\（x{i}=c\）为所有人\（i\in\{j:p_{j}>0\}\）.

Jensen不等式可能是最重要的不等式：它在数学和统计学中有许多应用，其他一些著名的不等式是它的特例（如Cauchy不等式、Hölder不等式、A–G–H不等式等）。

Jensen不等式的许多推广之一是其积分形式（参见[1,7]，或者，例如[8]).

定理1.1

（Jensen不等式的积分形式）

让\（g\冒号[a，b]\to\mathbb{R}\）是可积函数,然后让\（p\colon[a，b]\to\mathbb{R}\）是非负函数.如果（f）是区间上给定的凸函数我包括以下图像克,然后

$$f\biggl（\frac{1}{P（b）}\int_{a}^{b}P（t）g（t）\，dt\biggr$$

(1.2)

哪里

$$P（t）=\int_{a}^{t}P（x）\，dx$$

我们的第一个主要结果是不等式的精化(1.2).

与Jensen不等式密切相关的是Lah–Ribarič不等式（参见[11]或者，例如[13，第9页]）。其积分形式在以下定理中给出。

定理1.2

（Lah–Ribarić不等式的积分形式）

让\（g\冒号[a，b]\to\mathbb{R}\）是一个可积函数，这样\（米\leq g（t）\leq m）对于\（t在[a，b]\中）,\（m<m）,然后让\（p\colon[a，b]\to\mathbb{R}\）是非负函数.如果（f）是区间上给定的凸函数我这样的话\（[m，m]\第I小节\）,然后

$$\frac{1}{P（b）}\int_{a}^{b}P（t）f\bigl（g（t）\biger）$$

(1.3)

哪里P（P）如前所述,和

$$\bar{g}=\frac{\int_{a}^{b}p（t）g（t）\，dt}{p（b）}$$

我们的第二个主要结果是对不平等的细化(1.3).

为凸函数类建立的另一个著名不等式是Hermite–Hadamard不等式。这一双重不等式由Hermite于1881年首次发现，其表述如下（参见例如[16第137页）。让（f）是上的凸函数\（[a，b]\子集\mathbb{R}\），其中\（a<b）.然后

$$f\biggl（\frac{a+b}{2}\biggr）\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x） {d}x\leq\frac{f（a）+f（b）}{2}$$

(1.4)

这一结果后来被错误地归因于哈达玛，他显然不知道赫米特的发现，而今天，当谈到(1.4)，我们使用这两个名称。

可以通过应用(1.4)在每个子区间上\（[a，\压裂{a+b}{2}]，[\压裂{a+b}{2}，b]\），得到以下结果（参见[14，第37页]）：

$$f\biggl（\frac{a+b}{2}\biggr）\leql\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} （f）（x） \，{d}x\leqL\leq\frac{f（a）+f（b）}{2}$$

(1.5)

哪里\（l=压裂{1}{2}（f（压裂{3b+a}{4}）+f（压裂}b+3a}{2{））和\（L=压裂{1}{2}（f（压裂{b+a}{2}）+压裂{f（a）+f（b）}{2））.

以下改进(1.5)在中给出[2].

定理1.3

让\（f\colon I\ to \mathbb{R}\）是上的凸函数我.那么，对所有人来说\（[0，1]\中的\lambda\）和\（I中的a、b）,我们有

$$f\biggl（\frac{a+b}{2}\biggr）\leq l（\lambda）\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f（x）\，{d}x\leq l（\lambeda）\leq\frac{f（a）+f（b）}{2{$$

(1.6)

哪里

$$l（\lambda）=\lambda-f\biggl$$

和

$$L（\lambda）=\frac{1}{2}\bigl$$

不平等(1.6)的\（\lambda=压裂{1}{2}\）给出不等式(1.5). 进一步改进于[三].

定理1.4

让\（I\subseteq\mathbb{R}\）是一个间隔,然后让\（f\colon I\ to \mathbb{R}\）是凸函数.让\（\varPhi\冒号[a，b]\至I\）是这样的\（f\circ\varPhi\）也是凸的,哪里\（a<b）.然后针对\（n\in\mathbb{n}\）,\（\lambda_{0}=0\）,\（λ{n+1}=1\）,而且武断\（0\leq\lambda_{1}\leq\ cdots\leq\ lambda_{n}\leq 1\）,我们有

$$\begin{aligned}f\biggl（\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\varPhi（x）\，dx\biggr）&\leq l（\lambda_{1}，\dots，\lambda{n}）\leq\frac}{b-a}\int_{a}^{b{f\circ\varPhi（x）\，dx\ end{alinged}$$

(1.7)

$$开始{aligned}和\leq L（\lambda_{1}，\dots，\lambda _{n}）\leq\frac{f\circ\varPhi（a）+f\cic\varPhi（b）}{2}，\结束{aligned}$$

(1.8)

哪里

$$l（\lambda_{1}，\dots，\lambda_{n}）=\sum_{k=0}^{n}（\lambeda_{k+1}-\lambda _{k}）f\biggl（\frac{1}{（\lampda_{k+1}-\ lambda_{k}）（b-a）}\int_{\lambda_{k+1}b}\varPhi（x）\，dx\biggr）$$

和

$$L（\lambda_{1}，\dots，\lambda_{n}）=\sum_{k=0}^{n}（\lampda_{k+1}-\lambda _{k}）\frac{f\circ\varPhi（（1-\lambdata_{k{）a+\lambd_{k}b$$

将前面的定理应用于\（\varPhi（x）=x\）和\（n=1），我们得到了不平等(1.6).

我们还给出了Hermite–Hadamard不等式的一个精化。在最后一节中，我们对积分Csiszár散度及其重要的特殊情况给出了一些有趣的估计。

2新的改进

我们的第一个结果是对Jensen不等式积分形式的改进(1.2).

定理2.1

让克是定义在区间上的可积函数\（[a，b]\）,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.如果（f）是区间上给定的凸函数我包括以下图像克,然后

$$开始{对齐}f\biggl（\frac{1}{P（b）}\int_{a}^{b}P（t）g（t）\，dt\biggr）和\leq\frac}{P}^{a{i}}P（t）g（t）\，dt}{\int_{a{i-1}}^{a{i}P（t$$

(2.1)

哪里\（p\colon[a，b]\to\mathbb{R}\）是一个非负函数,和

$$P（t）=\int_{a}^{t}P（x）\，dx$$

证明

让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）然后我们有了（使用Jensen不等式）

$$开始{对齐}f\biggl（\frac{1}{P（b）}\int_{a}^{b}P（t）g（t）\，dt\biggr）&=f\biggl（\frac{1}}{P P（b）}\sum_{i=1}^{n}\biggl（int_{a{i-1}}^{a{i}}P（t）\，dt\biggr）\frac{\int_{a{i-1{}^{a{i}P（t，dt}\Biggr）\\&\leq\frac{1}{P（b）}\sum_{i=1}^{n}\biggl（int_{a{i-1}}^{a{i}}P（t）\，dt\Biggr）f\biggl（\frac}\int_{a-1}}^{a}i}}P（t P（t）\，dt}\Biggr），\结束{对齐}$$

哪个是的左手边(2.1).

现在我们将使用不等式(1.2)在每个子区间\（[a{i-1}，a{i}]\）:

$$开始{对齐}和\frac{1}{P（b）}\sum_{i=1}^{n}\biggl（int_{a{i-1}}^{a{i}}P（t）\，dt\biggr）f（\frac}1}{\int_{a-i}}P（t）g（t）\，dt\biggr）\\&\quad\leq\frac{1}{P（b）}\sum_{i=1}^{n}\biggl（int_{a{i-1}}^{a{i}}P（t），dt}\int{a{i-1}}^{a{i}}p（t）f（g（t）\，dt，\end{aligned}$$

哪个是的右手边(2.1). □

下一个结果是对Lah–Ribarić不等式积分形式的改进(1.3). 我们需要以下引理。

引理2.2

如果（f）是区间上的凸函数我,然后针对\（I中的a、b、u、c、d）这样的话\（a \leq b \leq u \leq c \leq d）,\（b<c）,我们有

$$\压裂{c-u}{c-b}f（b）+\压裂{u-b}{c-b}f（c）\leq\压裂{d-u}{d-a}f（a）+\钻井{u-a}{d-a}f（d）$$

证明

我们可以写作

$$\开始{aligned}&b=\frac{d-b}{d-a}a+\frac}b-a}{d-a}\，d，\\&c=\frac{d-c}{d-a-}a+\frac{c-a}{d-a}\，d，\end{aligned}$$

从那以后（f）是凸的，

$$\begin｛aligned｝&f（b）\leq\frac｛d-b｝｛d-a｝f（a）+\frac｛b-a｝｛d-a｝f（d），\\&f（c）\leq\frac｛d-c｝｛d-a｝f（a）+\frac｛c-a｝｛d-a｝f（d）。\结束{对齐}$$

现在我们有了

$$\开始{对齐}和\压裂{c-u}{c-b}f（b）+\压裂{u-b}{c-b}f（c）\\&\quad\leq\frac{c-u}{c-b2}\biggl[\frac}d-b}{d-a}f（a）+\裂缝{b-a}{d-a}f（d）\biggr]+\压裂\压裂{c-a}{d-a}f（d）\biggr]\\&\quad=\压裂{d-u}{d-a}f（a）+\压裂{u-a}{d-a-}f（d）。\结束{对齐}$$

 □

定理2.3

让克是定义在区间上的可积函数\（[a，b]\）,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）和\（m_{i}\leq g（t）\leq m_{i{）对于\（在[a{i-1}，a{i}]中，m{i}<m{i}，i=1，\点，n\）,\（m=min_{i\in\{1，\dots，n\}}m_{i}）,和\（M=max_{i\in\{1，点，n\}}M_{i}）.如果（f）是区间上给定的凸函数我包括的图像克,然后

$$开始{对齐}和\frac{1}{P（b）}\int_{a}^{b}P（t）f\bigl（g（t）\bigr+\frac{\bar{g{i}}-M{i}{M_{i}-M{i}}f（M_{i}）\biggr]\\&\quad\leq\frac{M-\bar{g}}{M-M}f（M）+\frac{bar{g}-M}{M-M}f（M），\end{aligned}$$

(2.2)

哪里\（p\colon[a，b]\to\mathbb{R}\）是非负函数,

$$P（t）=\int_{a}^{t}P（x）\，dx$$

和\（\bar{g}，\bar{c{i}}，p{i}\）定义为

$$\bar{g}=\frac{\int_{a}^{b}p（t）g（t）\，dt}{p（b）}，\qquad\bar{g{i}}=\fracc{\int _{a{i-1}}^{a{i}p（t a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt$$

证明

我们将使用(1.3)在每个子区间上\（[a{i-1}，a{i}]\）:

$$\begin｛aligned｝&&frac｛1｝｛P（b）｝\ int _｛a｝^｛b｝P（t）f\bigl（g（t）\bigr）\，dt\\\quad=\frac｛1｝｛P（b）｝\sum_｛i=1｝^｛n｝\ int _｛a_｛i-1｝｝^｛a_｛i｝｝P（t）f\bigl（g（t）\bigr）\，dt\\\quad\leq\frac｛1｝｛P（b）｝\sum_｛i=1｝^｛n｝\biggl（\int _｛a_｛i-1｝｝^｛a_｛i｝｝P（t）\，dt\biggr）\biggl[\frac｛M_｛i｝-\frac｛int _｛a_｛i-1｝｝^｛a_｛i｝P（t）g（t）\，dt｝}^{a{i}}p（t）\，dt}}{M_{i}-M{i}f（M{i}）+\frac{\frac{\int_{a{i-1}}^{a{i}p（t（M_{i}）\biggr]，\end{aligned}$$

哪个是不等式的左边(2.2).

使用\（m\leq m_{i}\leq\bar{g_{i{}}\leq m_{ineneneep \leq m，m<m，m_{i}<m_{i{）、和引理2.2，我们得到

$$\开始{对齐}和\frac{1}{P（b）}\sum_{i=1}^{n}P_{i}\biggl[\frac}M_{i{-\bar{g{i}}{M_{i}-M_{ineneneep}f（M_{i{）+\frac\bar{c{g{i}}-M_{i gr]\\&\quad\leq\frac{1}{P（b）}\sum_{i=1}^{n}\biggl[\frac}P_{i}M-\int_{a{i-1}}^{a{i}}P（t）g（t）\，dt}{M-M}f（M）+\frac{int_{i{i}{a{1}^{i}P（tm}{m-m}f（m）\biggr]\\&\quad=\frac{1}{P（b）}\biggl[\frac{\sum_{i=1}^{n}P_{i}m-\sum_{i=1}^{n}\int_{a_{i-1}}^{a{i}}P（t）g（t）\，dt}{m-}f（m）\\&\qquad{}+\frac{i=1}^{n}\nint_{a{i-1}}^{a{i}P（t）g（t）+\frac{\frac}\int_{a}^{b}p（t）g（t）\，dt}{p（b）}-m}{m-m}f（m），\end{aligned}$$

哪个是的右手边(2.2). □

备注2.4

如果我们设置\（p（t）=1）在定理中2.1，然后我们得到(1.7)在表单中

$$开始{对齐}f\biggl（\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}g（t）\，dt\biggr）和\leq\frac}1}{b-a}\sum_{i=1}^{n}（a{i}-a{i-1}）f\bigl{i-1}}\biggr）\\&\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\bigl（g（t）\bigr）\，dt。\结束{对齐}$$

特别是，对于\（g（t）=t），这给

$$开始{对齐}f\biggl（\frac{a+b}{2}\biggr）\leq\frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^{n}\结束{对齐}$$

这是对(1.6).

类似地，根据定理2.3我们有（用于\（p（t）=1）)

$$开始{对齐}和\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\bigl（g（t）\biger）\\&\quad\leq\frac{M-\frac{int_{a}^{b}g（t）\，dt}{b-a}}{M-M}f（M）+\frac{\frac{\int_{a}^{b}g（t）\，dt}{b-a}-M}{M-M}f（M），\end{aligned}$$

和用于\（g（t）=t，m{i}=a{i-1}，m{i}=a{i}\），我们得到

$$开始{对齐}&\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f（t）\，dt\\&\quad\leq\frac}{1}}{b-a}\sum_{i=1}^{n}（a{i}-a{i-1}}f（a{i-1}）+\压裂{a{i-1}+a{i}}{2}-a{i-1{}{a{i{-a{i-1{}f（a}i}）\biggr]\\&\quad=\压裂{1}{b-a}\sum{i=1}^{n}（a{ineneneep-a{i-1\}）分形{f（a{i-1}）+f（a}i}）}{2}\\&\quad\leq\frac{f（a）+f$$

这是对(1.6).

利用我们的主要结果，我们对Hölder不等式进行了改进（有关Höelder不等式的更多信息，请参见[16]).

推论2.5

让\（p，q\in\mathbb{R}\）是这样的\（压裂{1}{p}+压裂{1{q}=1\）.让\（w，g{1}\）,和\（g_｛2｝\）是定义在上的非负函数\（[a，b]\）这样的话\（L^{1}（[a，b]）中的wg{1}^{p}，wg{2}^{q}，w g{1{2}.

• （i） 如果\（p>1）,然后

  $$开始{aligned}&\int_{a}^{b}w（t）g{1}（t）c{2}{a{i-1}}^{a{i}}w（t）g{2}^{q}（t）\，dt\biggr}\\&\quad\leq\biggl（int_{a}^{b}w（t）g_{1}^{p}（t）\，dt\biggr）^{frac{1}{p}}\biggal（intw（t。\结束{对齐}$$

• （ii） 如果\（p<1，p\neq 0）,然后

  $$开始{对齐}和\biggl（int_{a}^{b}w（t）g_{1}^{p}（t）\，dt\biggr）i-1}}^{a{i}}w（t）g{1}^{p}（t）\，dt\biggr}\\&\quad\leq\int_{a}^{b}w（t）g{1}（t）c{2}（t）\，dt。\结束{对齐}$$

证明

对于这个案例\（p>1），我们使用定理2.1具有\（p（t）=w（t）g{2}^{q}（t）\）,\（g（t）=g{1}（t）g{2}^{-\frac{q}{p}}\）、和函数\（f（x）=x^｛p｝\），对于\（x>0，p>1）.来自(2.1)我们得到

$$开始{对齐}和\biggl（\frac{1}{\int_{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t）\，dt}\int_}a}^}b}w（t{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t）\，dt}\sum{i=1}^{n}\biggl（int_{a{i-1}}^{a{i}}w（t t）g{1}（t）g{2}^{-\frac{q}{p}}（t）\，dt}{int{a{i-1}}^{a{i}}w（t）c{2}^{q}{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t）\bigl。\结束{对齐}$$

使用\（q-\压裂{q}{p}=1\），乘以\（int_{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t）\，dt\）和夺取权力\（\压裂{1}{p}\），我们有

$$\开始{aligned}&\biggl（\int_{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t）\，dt\biggr）^{frac{1}{p} -1个}\比格尔（\ int _｛a｝^｛b｝w（t）g_｛1｝（t）g_｛2｝（t）\，dt\biggr）\\&&quad\leq\比格尔（\ sum_｛i＝1｝^｛n｝\比格尔（\ int _｛a_｛i-1｝｝^｛a_｛i｝｝w（t）g_｛2｝^｛q｝（t）\，dt\biggr）^｛1-p｝\比格尔（\ int _｛a_｛i-1｝｝^｛a_｛i｝｝）w（t）g_ 1｝（t）g_｛2｝（t）\，dt\biggr）^｛p｝\biggr）^｛\frac｛1｝｛p｝｝\\&&quad\leq\biggl（\int _｛a｝^｛b｝w（t）g_｛1｝^｛p｝（t）\，dt\biggr）^｛\frac｛1｝｛p｝｝｝。\结束{对齐}$$

现在乘以\（（（int{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t），dt）^{frac{1}{q}}），我们得到

$$开始{aligned}&\int_{a}^{b}w（t）g_{1}（t）c_{2}^{a{i}}w（t）g{2}^{q}（t）\，dt\biggr}\\&\quad\leq\biggl（int_{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t）\，dt\biggr）^{frac{1}{q}}\biggal（int_}a}^}b}w。\结束{对齐}$$

对于\（0<p<1），我们使用定理2.1具有\（p（t）=w（t）g{2}^{q}（t）\）,\（g（t）=g{1}^{p}（t）g{2}^{-q}（t）\）、和函数\（f（x）=x^｛\frac｛1｝｛p｝｝），对于\（x>0，0<p<1）.来自(2.1)我们得到

$$开始{对齐}和\biggl（\frac{1}{\int_{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t）\，dt}\int_}a}^}b}w}{整数{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t）{q}（t） g{1}^{p}（t）g{2}^{-q}，dt}{int{a{i-1}}^{a{i}}w（t）c{2}^{q}（t），dt}\biggr）\nint_{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t）\bigl（g{1}^{p}（t）g{2]^{-q}\bigr）^{frac{1}{p}}\，dt。\结束{对齐}$$

现在使用\（q-\压裂{q}{p}=1\）并乘以\（int_{a}^{b}w（t）g{2}^{q}（t）\，dt\），我们有

$$开始{对齐}和\biggl（int_{a}^{b}w（t）g_{1}^{p}（t）\，dt\biggr）i-1}}^{a{i}}w（t）g{2}^{q}（t）\，dt\biggr}\\&\quad\leq\int_{a}^{b}w（t）g{1}（t）c{2}（t）\，dt。\结束{对齐}$$

如果\（p<0），然后\（0<q<1），通过对称性我们得到了相同的结果。□

让第页和克是定义在上的正可积函数\（[a，b]\）.然后是积分幂阶方法\（r\in\mathbb{r}\）定义如下：

$$M_{r}（g；p；a，b）=\textstyle\begin{cases}（\frac{1}{\int_{a}^{b}p（x）\，dx}\int_}a}^}p}（x）g^{r}（x）\，dx）^{frac{1'{r}}，&rneq 0，\\exp{\int_{a}^{b}p（x）\，dx}），&r=0。\结束{cases}$$

让\（\mathbf｛x｝=（x_｛1｝，\ldots，x_｛n｝）\）和\（\mathbf{w}=（w{1}，\ldots，w{n}）积极n个-元组。加权功率平均值n个-元组x个带重量w个)订单的\（r\in\mathbb{r}\）定义为

$$M_｛r｝（\mathbf｛x｝；\mathbf｛w｝）=\textstyle\beart｛cases｝（\frac｛1｝｛\sum_｛i＝1｝^{n} 周_{i} }\sum{i=1}^{n} w个_{i} x个_{i} ^{r}）^{\frac{1}{r}}，&r\neq 0，\\e^{\frac{1{\sum_{i=1}^{n} w个_{i} }\总和{i=1}^{n} w个_{i} \log x_{i}}=（\prod_{i=1}^{n} x_{i} ^｛w_｛i｝｝）^｛\frac｛1｝｛\sum_｛i＝1｝^{n} w个_{i} }}，&r=0。\结束{cases}$$

在本文中，使用符号更合适\（M_{r}（x_{i}；w_{i{；上一行{1，n}）.

利用我们的主要结果，我们得到了积分幂平均的以下不等式。

推论2.6

让第页和克是定义在上的正可积函数\（[a，b]\）,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.让\（s，t\in\mathbb{R}\）是这样的\（\leq t\）.然后

$$\begin{aligned}M_{s}（g；p；a，b）&\leq M_{t}\biggl（M_{s}（g；p；a_{i-1}，a_{i}）；\int _｛a_｛i-1｝｝^｛a_｛i｝｝p（x）\，dx；\上划线{1，n}\biggr）\\&\leq M_{t}（g；p；a.b），\end{aligned}$$

(2.3)

$$\begin{aligned}M_{t}（g；p；a，b）&\geq M_{s}\biggl（M_{t}（g；p；a_{i-1}，a_{i}）；\整数{a{i-1}}^{a{i}}p（x）\，dx；\上划线{1，n}\biggr）\\&\geq M_{s}（g；p；a.b）。\结束{对齐}$$

(2.4)

证明

我们使用定理2.1具有\（f（x）=x^{\压裂{t}{s}}\）对于\（x>0，s，t\in\mathbb{R}，s，t_neq 0，s\leq t\）（凸起\（语言0，+\infty\rangle\）). 发件人(2.1)我们得到

$$开始{对齐}\biggl（\frac{1}{P（b）}\int_{a}^{b}P（x）g（x）\，dx\biggr）\frac{1}{\int_{a{i-1}}^{a{i}}P（x）\，dx}\int_}a{i-1}}^}a{i{}P（x）g（x）\\，dx\biggr）^{frac{t}{s}}\\&\leq\frac}1}{P（b）}\int_a}^{b}P（×）g^{frac{t}{s} }（x）\，dx。\结束{对齐}$$

替换克具有\（g^{s}\）并取得权力\（\压裂{1}{t}\），我们得到了结果。

类似地，我们使用定理2.1具有\（f（x）=x^{\压裂{s}{t}}\）对于\（x>0，s，t\in\mathbb{R}，s，t_neq 0，s\leq t\）（凹面打开\（语言0，+\infty\rangle\）). 发件人(2.1)我们得到

$$开始{对齐}\biggl（\frac{1}{P（b）}\int_{a}^{b}P（x）g（x）\，dx\biggr）\frac{1}{\int_{a{i-1}}^{a{i}}P（x）\，dx}\int_}a{i-1}}^}a{i{}P（x）g（x）/，dx\biggr）{t} }（x）\，dx。\结束{对齐}$$

替换克具有\（g ^｛t｝\）并夺取权力\（\压裂{1}{s}\），我们得到了结果。

案例\（t=0）和\（s=0）从不等式开始(2.3)和(2.4)通过简单的限制过程。□

类型的方法

$$M_{t}\biggl（M_{s}（g；p；a_{i-1}，a_{i}）；\整数{a{i-1}}^{a{i}}p（x）\，dx；\上划线{1，n}\biggr）$$

可以被视为混合手段。

让第页定义为正可积函数\（[a，b]\），并让克是定义在上的任何可积函数\（[a，b]\）然后对于严格单调的连续函数小时具有属于图像的域克，准算术平均值定义如下：

$$M_{h}（g；p；a，b）=h^{-1}\biggl（\frac{1}{\int_{a}^{b}p$$

利用我们的主要结果，我们得到了以下关于拟算术平均数的不等式。

推论2.7

让第页定义为正可积函数\（[a，b]\）,让克是定义在上的可积函数\（[a，b]\）,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.阿尔索,假设小时是一个严格单调的连续函数，其域属于克.如果\（圆圈h^{-1}）是凸函数,然后

$$开始{对齐}f\bigl（M_{h}（g；p；a，b）\bigr）&\leq\frac{1}{p（b）}\sum_{i=1}^{n}\biggl（int_{a{i-1}}^{a{i}}p（x）\，dx\biggr）f b）}\int_{a}^{b}p（x）f\bigl（g（x）\bigr）\，dx。\结束{对齐}$$

证明

我们使用定理2.1具有\（f\右箭头f\圆圈h^{-1}\）和\（g\右箭头h\圆圈g\）. □

三信息论应用

在本节中，我们对积分Csiszár散度及其重要的特殊情况给出了一些有趣的估计（例如[4,5,9,10,12,15]).

定义3.1

（Csiszár散度）

让\（f\colon I\ to \mathbb{R}\）是定义在某个正区间上的函数我，并让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）是两个概率密度函数，如下所示\（I中的分数{p（t）}{q（t）{）对于\（t在[a，b]\中）Csiszár散度定义为

$$C_{d}（p，q）=\int_{a}^{b}q（t）f\biggl（\frac{p（t）}{q（t）}\biggr）\，dt$$

定理3.2

让\（f\colon I\ to \mathbb{R}\）是定义在正区间上的凸函数我,让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）是概率密度函数，如下所示\（I中的分数{p（t）}{q（t）{）对于\（t在[a，b]\中）,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.然后

$$\开始{对齐}f（1）\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl（\int_{a{i-1}}^{a{i}}q（t）\，dt\biggr）f\biggl（\frac{\int_a{i-1\}}^}a{i{}}p（t）\leq C_{d}（p，q）。\结束{对齐}$$

证明

使用定理2.1具有\（p至q）和\（g \ to \ frac{p}{q}\），我们得到了结果。

条件\（I中的分数{p（t）}{q（t）{）对于\（t在[a，b]\中）显然意味着\（I中的1）和\（i中的）对于\（i=1，\点，n\）. □

定理3.3

让\（f\colon I\ to \mathbb{R}\）是定义在正区间I上的凸函数,让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）是概率密度函数，如下所示\（I中的分数{p（t）}{q（t）{）对于\（t在[a，b]\中）,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.让\（m_{i}\leq\frac{p（t）}{q（t）{leqM_{i{）对于\（在[a{i-1}，a{i}]中，m{i}<m{i}，i=1，\点，n\）,\（m=\min_{i=1，\点，n}m{i}\）,和\（M=max_{i=1，点，n}M_{i}）.然后

$$开始{对齐}和C_{d}（p，q）\\&\quad\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl（int_{a_{i-1}}^{a_}}q（t）\，dt\biggr）\biggl[\frac{M_{i}-\frac}\int_{i_1}}^{a{i}}p（t）{a{i}}q（t）\，dt}}{M_{i}-M_{i{}f（M_{ineneneep）+\frac{\frac{\int_{a{i-1}}^{a{i}p（t）我})\biggr]\\&&quad\leq\frac｛M-1｝｛M-M｝f（M）+\frac｛1-M｝｛M-M｝f（M）。\结束{对齐}$$

证明

使用定理2.3具有\（p至q）和\（g \ to \ frac{p}{q}\），我们得到结果。□

定义3.4

（香农熵）

让\（p\colon[a，b]\to\mathbb{R}^{+}\）是概率密度函数。香农熵定义为

$$\mathrm｛SE｝（p）=-\int _｛a｝^｛b｝p（t）\log p（t）\，dt$$

推论3.5

让\（q\冒号[a，b]\to\mathbb{R}^{+}\）是概率密度函数,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.然后

$$开始{对齐}-\log（b-a）\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl（int_{a{i-1}}^{a{i}}q（t）\，dt\biggr）\log\biggl（\frac{\int_{i}{i}}q（t（q）。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.2具有\（f（t）=-\log t）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中）、和\（p（t）=压裂{1}{b-a}\）,\（t在[a，b]\中），我们得到结果。□

推论3.6

让\（q\冒号[a，b]\to\mathbb{R}^{+}\）是概率密度函数,让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）,然后让\（m_{i}\leq\frac{1}{q（t）}\leq m_{i{）对于\（在[a{i-1}，a{i}]\中）,\（m_{i}<m_{i{，i=1，\点，n\）,\（m=\min_{i=1，\点，n}m{i}\）和\（M=max_{i=1，点，n}M_{i}）.然后

$$开始{对齐}和{-}\mathrm{SE}（q）+\log（b-a）\\&\quad\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl（int_{a{i-1}}^{a{i}}q（t）\，dt\biggr）\biggl[\frac{a{i}-a{i-1{}{（b-a）\int_a{i-1}}^a{i{i}}q（t）\，dt}-M_{i}}{M_{ineneneep-M_{i{}}\log M{i}+\frac{M{i{-\frac{a{i}-a{i-1}}{（b-a）\int_{a{i-1{}}^{a{i}}q（t}\log M_{i}\biggr]\\&\quad\leq\frac{1-M}{M-M}\log M+\frac{M-1}{M-M}\ log M.\end{aligned}$$

证明

使用定理3.3具有\（f（t）=-\log t）,\（t\in\mathbb｛R｝^｛+｝\）、和\（p（t）=\压裂{1}{b-a}\）,\（t在[a，b]\中），我们得到结果。□

定义3.7

（Kullback–Leibler散度）

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）是两个概率密度函数。Kullback–Leibler散度定义为

$$\mathrm美元｛KL｝_{d} （p，q）=\int_{a}^{b}p（t）\log\biggl（\frac{p（t）}{q（t）}\biggr）\，dt$$

推论3.8

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）be概率密度函数,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.然后

$$\开始{对齐}0\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl（\int_{a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt\biggr）\log\biggl（\frac{\int_a{i-1\}}^}a{i{}p（t）\，dt}{\int_a{i}{i}}^{i}q（t）q\mathrm（质量）｛KL｝_{d} （p，q）。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.2具有\（f（t）=t \ log t \）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中），我们得到结果。□

推论3.9

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）be概率密度函数,让\（a{0}，a{1}，\点\）,\（a{n-1}，a{n}）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）,然后让\（m_{i}\leq\frac{1}{q（t）}\leq m_{i{）对于\（在[a{i-1}，a{i}]\中）,\（m_{i}<m_{i{，i=1，\点，n\）,\（m=\min_{i=1，\点，n}m{i}\）和\（M=max_{i=1，点，n}M_{i}）.然后

$$\开始{对齐}&\mathrm｛KL｝_{d} （p，q）\\&\quad\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl（int_{a{i-1}}^{a{i}}q（t）\，dt\biggr）\biggl[\frac{M_{i}-\frac}}^}{a{i}}p（t）dt}}{M_{i}-M_{i{}}M_{ineneneep \log M_{i}+\frac{\frac{\int_{a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt}{\int_ a{i-1}}^}{a{i}}q（t）\biggr]\\&\quad\leq\frac{M-1}{M-M}M\log M+\frac{1-M}{M-M}M\log M.\end{aligned}$$

证明

使用定理3.3具有\（f（t）=t \ log t \）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中），我们得到结果。□

定义3.10

（可变距离）

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）是两个概率密度函数。变化距离定义为

$$V{d}（p，q）=\int_{a}^{b}\bigl\vert p（t）-q（t）\bigr\vert，dt$$

下面的推论也可以用积分的三角不等式得到初步证明。

推论3.11

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）be概率密度函数,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.然后

$$开始{对齐}0\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl\vert\int_{a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt-\int_{a-1}}^{a}i}}q（t），dt\biggr\vert\leqV{d}（p，q）。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.2具有\（f（t）=|t-1|\）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中），我们得到结果。□

推论3.12

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb｛R｝^｛+｝\）be概率密度函数,让\（a{0}，a{1}，\点\）,\（a{n-1}，a{n}）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）,然后让\（m_{i}\leq\frac{p（t）}{q（t）{leqM_{i{）对于\（在[a{i-1}，a{i}]\中）,\（m_{i}<m_{i{，i=1，\点，n\）,\（m=\min_{i=1，\点，n}m{i}\）和\（M=max_{i=1，点，n}M_{i}）.然后

$$开始{aligned}&\int_{a}^{b}\bigl\vert p（t）-q（t）\bigr\vert，dt\\&\quad\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl[\frac{M_{i}\int_a{i-1}}^{a{i}}q（t M{i}}\vertm_{i}-1\vert\\&\qquad{}+\frac{\int_{a{i-1}}^{a{i}p（t）\，dt-M{i}\int_a{i-1}}^}a{i{}q（t）}\vert M_{i}-1\vert\biggr]\\&\quad\leq\frac{2（M-1）（1-M）}{M-M}。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.3具有\（f（t）=|t-1|\）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中）、和\（m\leq 1\leq m\），我们得到了结果。□

定义3.13

（杰弗里距离）

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）是两个概率密度函数。杰弗里距离定义为

$$J_｛d｝（p，q）=\int _｛a｝^｛b｝\bigl（p（t）-q（t）\bigr）\log\bigl（\frac｛p（t）｝｛q（t）｝\biggr）\，dt$$

推论3.14

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）be概率密度函数,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.然后

$$开始{对齐}0&\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl（int_{a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt-\int_{i}{a{i.1}}，dt\biggr）\log\biggl（\frac{\int_a{i-1\}}a{i{p（t i-1}}^{a{i}}q（t）\，dt}\biggr）\\&\leqJ{d}（p，q）。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.2具有\（f（t）=（t-1）\log t\）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中），我们得到结果。□

推论3.15

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）be概率密度函数,让\（a_｛0｝，a_｛1｝，\dots\）,\（a{n-1}，a{n}）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）,然后让\（m_{i}\leq\frac{p（t）}{q（t）{leqM_{i{）对于\（在[a{i-1}，a{i}]\中）,\（m_{i}<m_{i{，i=1，\点，n\）,\（m=\min_{i=1，\点，n}m{i}\）,和\（M=max_{i=1，点，n}M_{i}）.然后

$$开始{对齐}和J{d}（p，q）\\&\四元\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl[\frac{M_{i}\int_{a{i-1}}^{a{i}}q（t）\，dt-\int_a{i-1}}^}{a{i}p（t）{i}\\&\qquad{}+\frac{\int_{a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt-M_{i}\int_a{i-1}}^}a{i{}q（t）\\&\quad\leq\压裂{（M-1）（1-M）}{M-M}\log\压裂{M}{M}。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.3具有\（f（t）=（t-1）\log t\）,\（t\in\mathbb｛R｝^｛+｝\），我们得到结果。□

定义3.16

（巴塔查里亚系数）

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）是两个概率密度函数。Bhattacharyya距离定义为

$$B_{d}（p，q）=\int_{a}^{B}\sqrt{p（t）q（t）}\，dt$$

推论3.17

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）是概率密度函数,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.然后

$$开始{对齐}1\geq\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\int_{a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt\int_a{i}{q（t），dt}\geqB_{d}（p，q）。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.2具有\（f（t）=-\sqrt{t}\）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中），我们得到结果。□

推论3.18

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）be概率密度函数,让\（a{0}，a{1}，\点\）,\（a{n-1}，a{n}）是这样的\（a＝a_｛0｝＜a_｛1｝＜\cdots＜a_｛n-1｝＜a_｛n｝＝b\）,然后让\（m_{i}\leq\frac{p（t）}{q（t）{leqM_{i{）对于\（在[a{i-1}，a{i}]\中）,\（m_{i}<m_{i{，i=1，\点，n\）,\（m=\min_{i=1，\点，n}m{i}\）,和\（M=max_{i=1，点，n}M_{i}）.然后

$$开始{对齐}和B_{d}（p，q）\\&\quad\geq\sum_{i=1}^{n}\biggl[\frac{M_{i}\int_{a{i-1}}^{a{i}}q（t）\，dt-\int_a{i-1\}}^}{a{i}}p（t）\frac{\int_{a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt-M_{i}\int_}a{i-1}}^{a{i}q（t）\\，dt}{M_{i}-M_{i{}}\sqrt{M{i}}\biggr]\\&\quad\geq\frac}1+\sqrt}mM}{M}{M{M}}+\sqrt{M}}。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.3具有\（f（t）=-\sqrt{t}\）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中），我们得到结果。□

定义3.19

（海林格距离）

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）是两个概率密度函数。Hellinger距离定义为

$$H_{d}（p，q）=\int_{a}^{b}\bigl（\sqrt{p（t）}-\sqrt{q（t）{\bigr）^{2}，dt$$

推论3.20

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb｛R｝^｛+｝\）be概率密度函数,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a＝a_｛0｝＜a_｛1｝＜\cdots＜a_｛n-1｝＜a_｛n｝＝b\）.然后

$$开始{对齐}0\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl（\sqrt{\int_{a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt}-\sqrt{\nint_{a-1}}，dt}\bigbl）^{2}\leqH{d}（p，q）。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.2具有\（f（t）=（\sqrt{t}-1）^{2}\）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中），我们得到结果。□

推论3.21

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）be概率密度函数,让\（a{0}，a{1}，\点\）,\（a_｛n-1｝，a_｛n｝\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）,然后让\（m_{i}\leq\frac{p（t）}{q（t）{leqM_{i{）对于\（在[a{i-1}，a{i}]\中）,\（m_｛i｝<m_｛i｝，i=1，\dots，n\）,\（m=\min_{i=1，\点，n}m{i}\）,和\（M=max_{i=1，点，n}M_{i}）.然后

$$\开始{对齐}和H_{d}（p，q）\ \&\四元\leq\sum_{i=1}^{n}\biggl[\frac{M_{i}\int_{a{i-1}}^{a{i}}q（t）\，dt-\int_a{i{1}}^{a}i}p（t）-1）^{2}\\&\qquad{}+\frac{\int_{a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt-M_{i}\int_a{i-1}}^}a{i{}q（t）\\&\quad\leq2\frac{（\sqrt{M}-1）（1-\sqrt{M}）}{\sqrt}M}+\sqrt{M}}。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.3具有\（f（t）=（\sqrt{t}-1）^{2}\）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中），我们得到结果。□

定义3.22

（三角形判别）

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）是两个概率密度函数。之间的三角歧视第页和q个定义为

$$T_{d}（p，q）=\int_{a}^{b}\frac{（p（T）-q（T））^{2}}{p（T$$

推论3.23

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）be概率密度函数,然后让\（a{0}、a{1}、\点、a{n-1}和a{n}\）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）.然后

$$开始{对齐}0\leq\sum_{i=1}^{n}\frac{（int_{a{i-1}}^{a{i}}p（t）\，dt-\int_{i}{q（t）\，dt{i}}q（t）\，dt}\leqT_{d}（p，q）。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.2具有\（f（t）=\frac｛（t-1）^｛2｝｝｛t+1｝\）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中），我们得到结果。□

推论3.24

让\（p，q\冒号[a，b]\到\mathbb{R}^{+}\）be概率密度函数,让\（a{0}，a{1}，\点\）,\（a{n-1}，a{n}）是这样的\（a=a{0}<a{1}<cdots<a{n-1}<a}n}=b\）,然后让\（m_{i}\leq\frac{p（t）}{q（t）{leqM_{i{）对于\（在[a{i-1}，a{i}]\中）,\（m_{i}<m_{i{，i=1，\点，n\）,\（m=\min_{i=1，\点，n}m{i}\）,和\（M=max_{i=1，点，n}M_{i}）.然后

$$\boot｛aligned｝&T_｛d｝（p，q）\\&&\quad\leq\sum_｛i＝1｝^｛n｝\bigl[\frac｛M_｛i｝\int _｛a_｛i-1｝｝^｛a_｛i｝｝q（T）\，dt-\int _｛a_｛i-1｝｝^｛a_｛i｝｝p（T）\，dt｝qquad｛｝+\frac｛\int _｛a_｛i-1｝｝^｛a_｛i｝｝p（T）\，dt-M｛i｝\int _｛a_｛i-1｝｝^｛a_｛i｝q（T）\，dt｝+1} \biggr]\\&\quad\leq\frac{2（M-1）（1-M）}{（M+1）（M+1）}。\结束{对齐}$$

证明

使用定理3.3具有\（f（t）=\压裂{（t-1）^{2}}{t+1}\）,\（位于\mathbb{R}^{+}\中），我们得到结果。□