关于Riesz对数平均强收敛的几个不等式

摘要

本文导出了一维维伦金-傅里叶（Walsh–Fourier）级数的Riesz对数平均的一个新的强收敛定理。指出了相应的不等式，并证明了不等式在某种意义上是尖锐的，至少对于Walsh–Fourier级数是如此。

1介绍

关于本简介中使用的定义，我们参考第。 2.威兹[47]证明了Fejér均值极大算子的有界性\（\sigma^{\psi，\ast}\）关于鞅Hardy空间中的有界Vilenkin系统\（H_{p}（G_{m}）\）到空间\（L_{p}（G_{m}）\），用于\（p>1/2）.西蒙[31]给出了一个反例，表明有界性不成立\（0<p<1/2）相应的反例\（p=1/2）是由于Goginava[14]. 此外，Weisz[50]证明了以下结果。

定理W

Fejér均值的最大算子\（\sigma^{\psi，\ast}\）从Hardy空间有界\（H_{1/2}（G_{m}）\）到弱小的空间-\（L_{1/2}（G_{m}）\）.

在[35]和[36]证明了极大算子\（\widetilde{\sigma}_{p}^{psi，\ast}\）由定义

$$\widetilde{\sigma}_{p}^{\psi，\ast}:=\sup_{n\in\mathbb{n}}\frac{\vert\sigma{n}^{\spi}\vert}{（n+1）^{1/p-2}\log^{2[1/2+p]}（n/1）}$$

哪里\（0<第1/2页）和\（[1/2+p]\）表示的整数部分\（1/2+p\）,从Hardy空间有界\（H_{p}（G_{m}）\）到空间\（L_{p}（G_{m}）\）.此外,对于任何非递减函数\（\varphi:\mathbb｛N｝_{+}\右箭头{}[1，\infty）\）满足条件

$$上划线{\lim_{n\rightarrow\infty}}\frac{（n+1）^{1/p-2}\log^{2[1/2+p]}（n/1）}{\varphi（n）}=+\infty$$

(1.1)

有一场马提尼大风\（f\在H_{p}（G_{m}）中\）,这样的话

$$\sup_{n\in\mathbb{n}}\biggl\Vert\frac{\sigma^{psi}_{n} （f）}{\varphi（n）}\biggr\Vert_{p}=\infty$$

对于Walsh–Kaczmarzi系统，在[16]和[37].

韦斯[47]考虑了Vilenkin–傅立叶级数的Fejér均值的范数收敛性，并证明了以下结果。

定理W1

（维兹）

让\（p>1/2）和\（f\在H_{p}（G_{m}）中\）.那么存在一个绝对常数\（c{p}\）,仅取决于第页,这样所有人\（k=1,2，\点\）和\（f\在H_{p}（G_{m}）中\）以下不等式成立:

$$\bigl\Vert\西格玛^｛\psi｝_{k} （f）\bigr\Vert_{p}\leqc_{p}\垂直f\垂直{H_{p{（G_{m}）}$$

此外，在[34]事实证明，这个假设\（p>1/2）在定理W1中是必要的。事实上，以下是正确的。

定理T1

存在鞅 \（f\在H_{1/2}（G_{m}）中\） 这样的话

$$\sup_{n\in\mathbb{n}}\bigl\Vert\sigma^{psi}_{n} （f）\bigr\Vert_{1/2}=+\infty$$

定理W1意味着

$$\frac｛1｝｛n^｛2p-1｝｝｝\sum_｛k=1｝^｛n｝\frac｛\Vert\ sigma^｛\psi｝_｛k｝f\Vert_｛p｝^｛p｝｝｛k^｛2-2p｝｝｝\leq c｛p｝\Vert f\Vert_｛H_｛p｝（G_｛m｝）｝^｛p｝，\ quad 1/2＜p＜infty，n=1,2，\点$$

如果定理W1适用于\（0<第1/2页），那么我们就会

$$\frac{1}{\log^{[1/2+p]}n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\Vert\sigma^{\psi}_{k} （f）\Vert_{p}^{p}}{k^{2-2p}}\leqc_{p}\Vertf\Vert_H2{p}（G_{m}）}^{p}，\四元0<p\leq1/2，n=2,3，\点$$

(1.2)

对于沃尔什系统[38]对于有界Vilenkin系统[37]被证明(1.2)虽然定理T1对于\（0<p<1/2）.

关于Vilenkin–Fourier级数的Fejér均值的可和性的一些结果可以在[10,12,16,25,28,30].

Simon研究了Walsh系统的Riesz对数平均值[31]，戈吉纳瓦[15]、加特、纳吉[13]以及Gát的Vilenkin系统[11]和布拉霍塔，加特[三]、佩尔松、拉古萨、桑科、沃尔[26]. 此外，在[27]证明了Vilenkin–Fourier级数的Riesz对数平均的最大算子是有界的鞅Hardy空间\（H_{p}（G_{m}）\）到空间\（L_{p}（G_{m}）\）什么时候\（p>1/2）并且不受鞅Hardy空间的限制\（H_{p}（G_{m}）\）到空间\（L_{p}（G_{m}）\）什么时候\（0<第1/2页）.

在[35]和[36]证明了Riesz对数平均比Fejér平均具有更好的性质。特别是，有人考虑了最大算子\（\widetilde{右}_{p} ^{\psi，\ast}\）Riesz对数平均值\（\widetilde{右}_{p} ^{\psi，\ast}\）由定义

$$\widetilde美元{右}_{p} ^｛\psi，\ast｝：=\sup_｛n\in\mathbb｛n｝｝\frac｛\vert R_｛n｝^｛\psi｝\vert\log（n+1）｝｛（n+1）^｛1/p-2｝\log ^｛2[1/2+p]｝（n+1）｝$$

哪里\（0<第1/2页）和\（[1/2+p]\）表示的整数部分\（1/2+p\）从哈代空间限定\（H_{p}（G_{m}）\）到空间\（L_{p}（G_{m}）\）.

此外，这个结果在以下意义上是尖锐的：对于任何非递减函数\（\varphi:\mathbb｛N｝_{+}\右箭头{}[1，\infty）\）满足条件

$$上划线{\lim_{n\rightarrow\infty}}\frac{（n+1）^{1/p-2}\log^{2[1/2+p]}（n/1）}{\varphi（n）\log（n＋1）}=\infty$$

(1.3)

有一场马提尼大风\（f\在H_{p}（G_{m}）中\），使得

$$\sup_{n\in\mathbb{n}}\biggl\Vert\frac{R^{\psi}_{n} （f）}{\varphi（n）}\biggr\Vert_{p}=\infty$$

本文的主要目的是导出一维维伦金-傅里叶（Walsh–Fourier）级数的Riesz对数平均值的一个新的强收敛定理（参见定理1)。指出了相应的不等式。锐度在定理中得到证明2，至少对于Walsh–Fourier级数的情况。

论文组织如下：。 2给出了一些定义和符号。主要结果在第节中给出并证明。 三.第节4保留给一些结束语和公开问题。

2定义和符号

让\（\mathbb｛N｝_{+}\)表示正整数集，\（\mathbb{N}:=\mathbb｛N｝_{+}\杯\{0\}\）.

让\（m:=（m_{0}，m_{1}，\ldots）\）表示不小于2的正整数序列。

表示方式

$$Z_{m_{k}}:=\{0,1，\ldots米_{k} -1个\} $$

模整数的可加群\（m{k}\）.

定义组\（G{m}\）作为集团的完全直接产品\（Z_｛m_｛j｝｝\）离散拓扑的乘积\（Z_｛m_｛j｝｝\）.

直接产品μ措施的

$$\mu_{k}\bigl（\{j\}\bigr）：=1/m_{kneneneep \quad（j\ in Z_{m_{k}}）$$

Haar措施是否生效\（G{m}\）具有\（\mu（G_{m}）=1）.

如果\（\sup_{n\in\mathbb{n}}m_{n}<\infty\），然后我们打电话\（G{m}\）有界的维伦金群。如果生成序列米没有边界，那么\（G{m}\）据说是一个无界的维伦金集团。本文只讨论有界Vilenkin群。

的元素\（G{m}\）由序列表示

$$x:=（x{0}，x{1}，\ldots，x{j}，\ ldots）\四元（x{k}\在Z_{m_{k}}中）$$

很容易为附近的\（G{m}\），即

$$开始{对齐}&I{0}（x）：=G{m}，\\&I{n}（x）：={y\在G_{m}\mid-y_{0}=x{0}。\结束{对齐}$$

表示\（I_{n}：=I_{n}（0）\）对于\（n\in\mathbb{n}\）和\（\overline｛I_｛n｝｝：=G_｛m｝\反斜杠I_｛n｝\）.

让

$$e_{n}:=（0,0，\ldots，x_{n}=1,0，\ ldots）\in G_{m}\quad（n\in\mathbb{n}）$$

很明显

$$\上一行{I_{M}}=\Biggl（\bigcup^{M-2}_｛k=0｝\bigcup^｛m_{k} -1个}_{x{k}=1}\大杯^{M-1}_｛l＝k+1｝\ bigcup ^｛m_{l} -1个}_{x{l}=1}I{l+1}（x_{k} e（电子）_{k} +x_{l} e（电子）_{l} ）\比格尔）\杯\比格尔（\比格杯^{M-1}_{k=1}\大杯^{m_{k} -1个}_{x_{k}=1}I_{M}（x_{k} e（电子）_{k} ）\Biggr）$$

(2.1)

如果我们根据米按以下方式：

$$M_{0}：=1，\qquad M_{k+1}：=M_{k} M（M）_{k} quad（k\in\mathbb｛N｝）$$

然后每隔\（n\in\mathbb{n}\）可以唯一地表示为\（n=sum^{infty}_{k=0}n_{j} M（M）_{j} \），其中\（n_{j}\在Z_{m_{j{}}\中）(\（j\in\mathbb{N}\）)并且只有有限数量的\（n{j}\）与零不同。让\（\vert n\vert:=\max\{j\in\mathbb{n}；n_{j}\neq0\}\）.

范数（或准范数，当\（p<1）)空间的\（L_{p}（G_{m}）\）由定义

$$\Vertf\Vert_{p}:=\biggl（\int_{G_{m}}\vertf\Vert^{p}\，d\mu\biggr）^{1/p}\quad（0<p<infty）$$

空间薄弱-\（L_｛p｝（G_｛m｝）\）包括所有可测量的功能（f）对于其中

$$\垂直f\垂直{\text{弱-}L_{p} （G{m}）}:=\sup_{lambda>0}\lambda^{p}\mu（f>\lambda）<+\infty$$

接下来，我们介绍\（G{m}\）称为Vilenkin系统的正交系统。

让我们定义复值函数\（r_｛k｝（x）：G_｛m｝\rightarrow\mathbb｛C｝\），广义Rademacher函数，如

$$r_{k}（x）：=\exp（2\pi ix_{kneneneep/m_{k{）\quad\bigl（i^{2}=-1，x\in G_{m}，k\in mathbb{N}\bigr）$$

现在，定义Vilenkin系统\（psi:=（psi_{n}:n\in\mathbb{n}）在\（G{m}\）作为

$$\psi{n}（x）：=\prod^{infty}{k=0}r{k}^{n{k}}（x）\quad（n\in\mathbb{n}）$$

Vilenkin系统是正交的，在\（L_{2}（G_{m}）\）（有关详细信息，请参见例如[1])。

具体来说，如果\（m{k}=2\），对于所有人\（k\in\mathbb{N}\）在这种情况下，我们有并元群\（G{2}=\prod_{j=0}^{\infty}Z{2}），称为Walsh群，Vilenkin系统与定义的Walsh函数一致（有关详细信息，请参见例如[17]和[29])

$$w_{n}（x）：=\prod_{k=0}^{infty}r_{k}^{n_{k{}}（x）=r_{vertn\vert}（f）（x）（-1）^{sum_{k=0}^{vertn\ vert-1}n_{k} x_{k} }\quad（n\in\mathbb{n}）$$

哪里\（n_{k}=0\vee 1\）和\（x{k}=0\vee 1\）.

现在，我们介绍傅里叶分析中常用定义的类似物。

如果\（f\在L_{1}（G_{m}）中\），则我们可以建立傅立叶系数、傅立叶级数的部分和、Fejér均值、关于Vilenkin系统的Dirichlet核和Fejér核ψ（沃尔什系统w个)以通常的方式：

$$开始{aligned}&\widehat{f}^{alpha}（k）：=\int_{G{m}}f\overline{alpha{k}\，d\mu\quad（\alpha_{k}=w_{k{text{或}\psi{k}）\（k\in\mathbb{N}\alpha_{k}\quad（\alpha_{k}=w_{kneneneep \text{或}\psi_{k{）\\bigl（N\in\mathbb｛N｝_{+}，S^{\alpha}_{0}f:=0\bigr），\\&\sigma^{\alpha}_}n}f:=压裂{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}S^{\alpha}_{k}f\quad（\alpha=w\text{或}\psi）\（n\in\mathbb｛N｝_{+}），\\&D^{alpha}_{n}:=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_{k}\quad（\alpha=w\text{或}\psi）\（n\in\mathbb｛N｝_{+}），\\&K^{\alpha}_{n}:=\frac{1}{n}\sum^{n-1}_｛k=0｝D^｛\alpha｝_｛k｝\fquad（\alpha=w\text｛or｝\psi）\（n\in\mathbb｛N｝_{+} ) . \结束{对齐}$$

众所周知（参见示例[1])

$$\sup_{n\in\mathbb{n}}\int_{G_{m}}\bigl\vert K^{alpha}_{n}\bigr\vert\，d\mu\leq c<\infty，\quad\text{其中}\alpha=w\text{或}\psi$$

(2.2)

这个σ-区间生成的代数\（在G_{m}中为I_{n}（x）：x\）将用表示\（\ digamma _｛n｝\）(\（n\in\mathbb{n}\）)。表示方式\（f=（f^{（n）}，n在mathbb{n}中）关于…的鞅\（\digamma_{n}\）(\（n\in\mathbb{n}\）)（有关详细信息，请参见例如[5,23,46])。鞅的极大函数（f）被……防守

$$f^{\ast}=\sup_{n\in\mathbb{n}}\bigl\vert f^{（n）}\bigr\vert$$

在这种情况下\（f\在L_{1}（G_{m}）中\），最大函数也由下式给出

$$f^｛\ast｝（x）=\sup_｛n\in\mathbb｛n｝｝\frac｛1｝｛\vert I_｛n｝（x）\vert｝\biggl\vert\int_｛I_｛n｝（x）｝f（u）\mu（u）\biggr\vert$$

对于\（0<p<infty）Hardy鞅空间\（H_{p}（G_{m}）\）由所有鞅组成，其中

$$\Vertf\Vert_{H_{p}（G_{m}）}:=\bigl\Vertf^{ast}\bigr\Vert_}p}<\infty$$

如果\（f\在L_{1}（G_{m}）中\），那么很容易证明\（S_{M_{n}}f\）是\（\ digamma _｛n｝\）可测量和序列\（（S_{M_{n}}f:n\in\mathbb{n}）是鞅。如果\（f=（f^{（n）}，n在mathbb{n}中）是一个鞅，那么维伦金–傅里叶（Walsh–Fourier）系数必须以稍微不同的方式定义，即

$$\widehat{f}（i）：=\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{G{m}f^{（k）}（x）\overline{alpha}{i}（x）\，d\mu（x，\quad\text{其中}\alpha=w\text{或}\psi$$

Vilenkin–傅里叶系数\（f\在L_{1}（G_{m}）中\）与鞅的相同\（（S_{M_{n}}f:n\in\mathbb{n}）从获得（f）.

在文献中，有傅里叶级数的Riesz对数平均值的概念。这个n个可积函数傅里叶级数的第个Riesz对数平均（f）由定义

$$R^{\alpha}_{n} （f）：=\frac{1}{l_{n}}\sum_{k=1}^{n}\frac{S^{alpha}_{k}f}{k}，\quad\text{其中}\alpha=w\text{或}\psi$$

具有

$$l_{n}:=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$

Riesz对数平均值的核定义为

$$L^{\alpha}_{n}:=\frac{1}{L_{n{}\sum_{k=1}^{n}\frac}D^{\alpha}__{k}}{k}，\quad\text{where}（\alpha=w\text{或}\psi）$$

对于鞅（f）我们考虑以下最大算子：

$$\开始{aligned}&\sigma^{alpha，\ast}f:\sup_{n\in\mathbb{n}}\bigl\vert\sigma|{alpha}_{n} （f）\bigr\vert\quad（\alpha=w\text{或}\psi_{n} （f）\vert}{\log（n+1）}\quad（\alpha=w\text{或}\psi），\\&\widetilde{右}_{p} ^{\alpha，\ast}f:=\sup_{n\in\mathbb{n}}\frac{\log（n+1）\vert R^{\alpha}_{n} （f）｛vert｝｛（n+1）^｛1/p-2｝｝\ quad（\alpha=w\text｛or｝\psi）。\结束{对齐}$$

有界可测函数一是一个第页-原子，如果存在间隔我，使得

$$\int美元_{一} 一个\，d\mu=0，\qquad\Vert a\Vert _{\infty}\leq\mu（I）^{-1/p}，\qquad\operatorname{supp}（a）\子集I$$

为了证明我们的主要结果，我们需要以下Weisz引理（有关详细信息，请参见例如Weisz[49])。

提案1

鞅\（f=（f^{（n）}，n在mathbb{n}中）在中\（H_{p}（G_{m}）\）(\（0<p\leq 1）)当且仅当存在序列\（（（a_{k}，k\in\mathbb{N}））第页，共页-原子和序列\（（\mu_{k}，k\in\mathbb{N}）对于每个\（n\in\mathbb{n}\）

$$\sum_｛k=0｝^｛\infty｝\mu_{k} S公司_{M_{n}}a{k}=f^{（n）}$$

（2.3）

和

$$\sum_{k=0}^{\infty}\vert\mu_{k}\vert^{p}<\infty$$

此外,\（\Vertf\Vert_{H_{p}（G_{m}）}\backsim\inf（\sum_{k=0}^{infty}\Vert\mu_{k}\Vert^{p}）^{1/p}\）,下确界接管了所有的分解（f）表单的(2.3).

通过使用原子特征（参见命题1)可以很容易地证明以下陈述成立（参见例如Weisz[50])。

提议2

假设操作员T型是sub-线性和某些\（0<p_{0}\leq 1）

$$\int_{\bar{I}}\vert Ta\vert^{p_{0}}\，d\mu\leqc_{p}<\infty$$

对于每个\（p_{0}\）-原子一,哪里我表示原子的支持.如果T型以为界\（L_{p_{1}}\）到\（L_{p_{1}}\）(\（1<p_{1}\leq\infty\）),然后

$$\Vert Tf\Vert_{p_{0}}\leq c_{p_}}\Vert f\Vert_{H_{p_0}}（G_{m}）}$$

(2.4)

让我们定义经典Hardy空间（参见示例[44])。让\({{高}_{p} }（D）\）,\（p>0）是解析函数的一维复拟巴拿赫空间（f）在装置盘上\（D:=（z:\vert z\vert<1））对于其中

$${{\Vert f\Vert}_{{{高}_{p} }（D）}}=\sup_{r<1}\frac{1}{2\pi}{\biggl（\int_{[-\pi，\pi]}{{\bigl\vertf\bigl（r{{e}^{it}}\bigr）\bigr\vert}^{p}}\，dt}\biggr）}^{1/p}}}$$

现在，我们定义实Hardy空间。A实值分布\（f（t）在{{D}^{prime}}（t）中属于\({{高}_{p} }（T）\）哪里\（T=（-\pi，\pi]\）当且仅当存在函数时\（F（z）\英寸{{高}_{p} }（D）\）具有属性\（\操作符名{Im}（F（0））=0\）和\（f（t）={{\lim}_{r\to1}}\operatorname{关于}F（r{{e}^{it}}）\）在分布的意义上。配备准形式\（{{\垂直f（z）\垂直}_{{{高}_{p} }（T）}}={{\VertF（z）\Vert}_{{{高}_{p} }（D）}}\）该类显然成为了一个实拟巴拿赫空间，其性质与\({{高}_{p} }（D）\）经典Hardy空间和实Hardy空间的原子分解可以在Fefferman和Stein中找到[6]（另请参见下文[19]托钦斯基[44]、威尔逊[51])。

三主要成果

我们的第一个主要结果如下。

定理1

让\（0<p<1/2）和\（f\在H_{p}（G_{m}）中\）.那么存在一个绝对常数\（c{p}\）,仅取决于第页,这样的不平等

$$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\log^{p}n\VertR^{\psi}_{n} （f）\Vert_｛H_｛p｝（G_｛m｝）｝^｛p｝｝｛n ^｛2-2p｝｝\leq c｛p｝\Vert f\Vert_｛H_｛p｝（G_｛m｝）｝^｛p｝$$

(3.1)

持有,哪里\（磅/平方英寸）_{n} （f）\)表示关于Vilenkin–Fourier级数的第n个Riesz对数平均值（f）.

为了证明定理1我们将使用以下引理。

引理1

（请参见[38])

让\（x\在I_｛N｝（x_{k} e（电子）_{k} +x_{l} e（电子）_{l} ）\）,\（1\leqx{k}\leqm_{k} -1个\),\（1\leqx{l}\leqm_{l} -1个\),\（k=0，\ldots，N-2\）,\（l=k+1，\ldots，N-1）.然后

$$\int_{I_{N}}\bigl\vert K^{psi}_{N}（x-t）\bigr\vert\，d\mu（t）\leq\frac{cM_{l} M（M）_{k} }{nM_{N}}，当}N \geq M_{N}时，\quad\textit{$$

让\（x\在I_{N}（x_{k} e（电子）_{k} ）\）,\（1\leqx{k}\leqm_{k} -1个\),\（k=0，\ldots，N-1）.然后

$$\int_{I_{N}}\bigl\vert K^{psi}_{N}（x-t）\bigr\vert\，d\mu（t）\leq\frac{cM_{K}}{M_{N{}}，\quad\textit{when}N\geqM_{N}$$

引理2

（请参见[39])

让\（x\在I_{N}（x_{k} e（电子）_{k} +x_{l} e（电子）_{l} ）\）,\（1\leqx{k}\leqm_{k} -1个\),\（1\leqx{l}\leqm_{l} -1个\),\（k=0，\ldots，N-2\）,\（l=k+1，\ldots，N-1）.然后

$$\int_{I{N}}\sum_{j=M_{N}+1}^{N}\frac{vertK^{psi}_{j}（x-t）\vert}{j+1}\，d\mu（t）\leq\frac}cM_{k} M（M）_{l} {M_{N}^{2}}$$

让\（x\在I_{N}（x_{k} e（电子）_{k} ）\）,\（1\leqx{k}\leqm_{k} -1个\),\（k=0，\ldots，N-1）.然后

$$\int_{I{N}}\sum_{j=M_{N}+1}^{N}\frac{vertK^{psi}_{j}（x-t）\vert}{j+1}\，d\mu（t）\leq\frac}{cM_{K}}{M_{N}}l_{N}$$

证明

通过使用Abel变换，Riesz对数均值的核可以重写为（另请参见[39])

$$L^{\psi}_{n}=\frac{1}{L{n}}\sum^{n-1}_{j=1}\压裂{K^{psi}_{j}}{j+1}+\压裂{K^{psis}_{n}}{l_{n{}}$$

(3.2)

因此，根据(2.2)我们得到了

$$\sup_{n\in\mathbb{n}}\int_{G_{m}}\bigl\vert L^{alpha}_{n}\bigr\vert\，d\mu\leq c<\infty，\quad\text{其中}\alpha=w\text{或}\psi$$

因此\（R^{psi}_{n}\）以为界\（L_｛\infty｝\）到\（L_｛\infty｝\）.按命题2定理的证明1将完成，如果我们显示

$$\sum^｛\infty｝_｛n=1｝\frac｛\log^{p} n个\int_{\bar{I}}\vert R^{\psi}_{n} 一个\vert^{p}\，d\mu}{n^{2-2p}}\leqc{p}<\infty，\quad\text{for}0<p<1/2$$

(3.3)

对于每个第页-原子一，其中我表示原子的支持。

让一是具有支撑的任意p原子我和\（\mu（I）=M_{N}^{-1}\）。我们可以假设\（I=I_{N}\）很容易看出\（R^{\psi}_{n}a=\sigma^{\psi}_{n}（a）=0\），何时\（n\leq M_{n}）因此，我们认为\（n>M_{n}\）.

自\（\垂直a\垂直{\infty}\leq cM_{N}^{2}\）如果我们申请(3.2)，那么我们可以得出结论

$$\开始｛对齐｝&\bigl\vert R^｛\psi｝_{n} 一个（x）\bigr\vert\\&\quad=\int_{I_{N}}\bigl\vert a（t）\biger\vert\bigl\vert L^{psi}_{N}（x-t）\bigr\vert，d\mu（t q\frac{cM_{N}^{1/p}}{L_{N}}\int_{I{N}}\sum_{j=M_{N}+1}^{N-1}\frac}\vertK^{psi}_{j}（x-t）\vert}{j+1}\，d\mu（t）\\&\qquad{}+\frac{cM_{N}^{1/p}}{l_{N}}\int_{I{N}}\bigl\vert K^{psi}{N}（x-t）\bigr\vert，d\ mu（t）。\结束{对齐}$$

(3.4)

让\（x\在I_{N}（x_{k} e（电子）_{k} +x_{l} e（电子）_{l} ）\）,\（1\leqx{k}\leqm_{k} -1个\),\（1\leqx{l}\leqm_{l} -1个\),\（k=0，\ldots，N-2\）,\（l=k+1，\ldots，N-1）.来自引理1和2因此

$$\bigl\vert R^{\psi}_{n} 一个（x）\bigr\vert\leq\frac{cM_{l} M（M）_{k} M（M）_{N} ^{1/p-2}}{\log（N+1）}$$

(3.5)

让\（x\在I_{N}（x_{k} e（电子）_{k} ）\）,\（1\leqx{k}\leqm_{k} -1个\),\（k=0，\ldots，N-1）.应用引理1和2我们可以得出这样的结论

$$\bigl\vert R^{\psi}_{n} 一个（x）\bigr\vert\leq{M_{N}^{1/p-1}M_{k}}$$

(3.6)

通过组合(2.1)和(3.4)–(3.6)我们获得

$$\开始{对齐}&\int_{上划线{I_{N}}}\bigl\vert R^{\psi}_{n} 一个（x）\bigr\vert^{p}\，d\mu（x）\\&\quad=\sum^{N-2}_{k=0}\sum^{N-1}_{l=k+1}\sum_{x_{j}=0，j\in\{l+1，\ldots，N-1}^{m_{j-1}}\int_{I_{N}^{k，l}}\bigl\vertR^{psi}_{n} 一个\bigr\vert^{p}\，d\mu+\sum^{N-1}_{k=0}\int_{I_{N}^{k，N}}\bigl\vertR^{psi}_{n} 一个\bigr\vert^{p}\，d\mu\\&\quad\leq c\sum^{N-2}_{k=0}\sum^{N-1}_{l=k+1}\分形{m_{l+1}\点m_{N-1}}{m_{N}}\分形_{l} M（M）_{k} ）^{p} M（M）_{N} ^{1-2p}}{{\log}^{p}（N+1）}+\sum^{N-1}_{k=0}\压裂{1}{M_{N}}M_{k}^{p} M（M）_{N} ^{1-p}\\&\quad\leq\frac{cM_{N}^{1-2p}}{{log^{p}（N+1）}}\sum^{N-2}_｛k=0｝\sum^{N-1}_{l=k+1}\压裂{（M_{l} M（M）_{k} ）^{p}}{M_{l}}+\sum^{N-1}_{k=0}\压裂{M_{k}^{p}}{M_}N}^{p2}}\\&\quad\leq\frac{cM_{N}^{1-2p}}}{log^{p{（N+1）}+c_{p}。\结束{对齐}$$

(3.7)

很容易看出这一点

$$\sum^{\infty}_{n=M_{n}+1}\frac{1}{n^{2-2p}}\leq\frac}c}{M_{n}^{1-2p}}，\quad\text{for}0<p<1/2$$

(3.8)

通过组合(3.7)和(3.8)我们得到了

$$开始{aligned}&\sum^{infty}_{n=M_{n}+1}\frac{log^{p}n\int_{overline{I{n}}\vert R_{n} 一个\vert^{p}\，d\mu}{n^{2-2p}}\\&\quad\leq\sum^{infty}_{n=M_{n}+1}\biggl（\frac{c_{p} M（M）_{N} ^{1-2p}}{N^{2-p}}+\压裂{c{p}}}{N ^{2-p}}\biggr）+c{p{}\\&\四\leq c_{p} M（M）_{N} ^{1-2p}\sum^{\infty}_{N=M_{N}+1}\frac{1}{N^{2-2p}}+\sum^{\infoty}_{N=M_{N}+1}\ frac{1\N^{2-p}}+c{p}\leq c_{p}<\infty。\结束{对齐}$$

这意味着(3.3)成立，证明完整。 □

我们的下一个主要结果特别表明了定理中的不等式1至少在沃尔什-傅里叶级数（参见问题2（在下一节中）。

定理2

让\（0<p<1/2）和\（\varPhi:\mathbb{N}\rightarrow{}[1，\infty）\）是任何非递减函数,满足条件

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\varPhi（n）=+\infty$$

（3.9）

那么存在一个鞅\（f\在H_{p}（G_{2}）中\）这样的话

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log^{p}n\Vert R^{w}_{n} （f）\Vert_{p}^{p}\varPhi（n）}{n^{2-2p}}=\infty$$

(3.10)

哪里\（右^{w}_{n} （f）\)表示关于f的Walsh–Fourier级数的第n个Riesz对数平均值.

证明

很明显，如果我们假设\（\varPhi（n）\geq cn\），其中c（c）那么是某个正常数

$$\frac{\log^{p}n\varPhi（n）}{n^{2-2p}}\geqn^{1-2p}\log^}n\rightarrow\infty，\quad\text{as}n\rightarrow\infty$$

还有(3.10)持有。因此，在不损失一般性的情况下，我们可以假设存在正整数的递增序列\（{\alpha^{\prime}_{k}:k\in\mathbb{N}\}\）这样的话

$$\varPhi\bigl（\alpha^｛\prime｝_｛k｝\bigr）=o\bigl（\alpha^｛\prime｝_｛k｝\bigr），\quad\text｛as｝k\rightarrow\infty$$

（3.11）

让\（{\alpha_{k}:k\in\mathbb{N}\}\subseteq\{\alfa^{prime}_{k{:k\in \mathbb{N}\}\）是正整数的递增序列，这样\（\alpha_{0}\geq2\）和

$$\开始{对齐}&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\varPhi^{1/2}（2^{2\alpha_{k}）}<\infty，\end{aligned}$$

(3.12)

$$开始{对齐}和\sum_{\ta=0}^{k-1}\frac{2^{2\alpha_{eta}/p}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_}\eta}}）}\leq\frac}2^{1\alpha_1}/p+1}{\valPhi^}{1/2p/}$$

（3.13）

$$开始{aligned}&\frac{2^{2\alpha_{k-1}/p+1}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_}k-1}）}\leq\frac}1}{128\alpha_{k}}\ frac{2\alpha_{k}。\结束{对齐}$$

(3.14)

我们注意到，在条件(3.11)我们可以得出这样的结论

$$\frac{2^{2\alpha_{\eta}/p}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_}\ta}}）}\geq{\biggl（\frac}2^{1\alpha_2\eta{}}{\ varPhi（2^}2\alfa_{\ta}{}）第y天$$

紧接着就是这样一个递增的序列\（{\alpha_{k}:k\in\mathbb{N}\}\），满足条件(3.12)–(3.14)，可以被构造。

让

$$f^{（A）}（x）：=\sum_{{k；2\alpha_{k}<A\}}\lambda_{k} 一个_{k} $$

哪里

$$\lambda{k}=\frac{1}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_{k}）}$$

和

$$a{k}={2^{2\alpha{k}（1/p-1）}}$$

发件人(3.12)和引理1我们可以得出这样的结论\（f=（f^{（n）}，n在mathbb{n}中）在H_{p}（G_{2}）中.

很容易证明

$$\widehat｛f｝^｛w｝（j）=\textstyle\begin｛cases｝\frac｛2^｛2\alpha_{k｝（1/p-1）｝｝｛\varPhi^｛1/2p｝（2^｛2\alpha_{k｝）｝，&&text｛if｝j\in\｛2^｛2\alpha_{k｝｝，\ldots，2^｛2\alpha_{k｝+1｝-1\｝，k\in\mathbb｛N｝，\\0，&&text｛if｝j\notin\bigcup_｛k=1｝^｛infty｝\｛2^｛2\alpha_｛k｝｝｝，ldots，2^｛2\alpha_｛k｝+1｝-1\｝。\结束{cases}$$

(3.15)

对于\（n=\sum_{i=1}^{s}2^{n_{i}}\）,\（n{1}<n{2}<\cdots<n{s}\）我们表示

$$\mathbb美元{答}_{0,2}：=\Biggl\{n\in\mathbb{n}：n=2^{0}+2^{2}+\sum_{i=3}^{s_{n}}2^{n_{i}}\Biggr\}$$

让\（2^{2\α{k}}\leqj\leq2^{2\alpha{k}+1}-1）和\（j\in\mathbb{答}_{0,2}\).然后

$$\开始{对齐}R^{w}_{j} （f）=&\压裂{1}{l_{j}}\sum_{n=1}^{2^{2\alpha_{k}}-1}\frac{S_{n} （f）}{n} +\压裂{1}{l_{j}}\sum_{n=2^{2\alpha_{k}}}^{j}\压裂{S_{n} （f）}{n} ：=I+\mathit{II}。\结束{对齐}$$

(3.16)

让\（n<2^{2\alpha_{k}}）。然后从(3.13), (3.14)和(3.15)我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert S^{w}_{n} （f）（x）\bigr\vert\leq&\sum_{\eta=0}^{k-1}\sum_{v=2^{2\alpha_{\eta}}}^{2^{2\\alpha_}\eta}+1}-1}\bigl\vert\widehat{f}^{w}2\α{\eta}+1}-1}\frac{2^{2\β{（1/p-1）}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha{\eta}）}\\leq&\sum{\eta=0}^{k-1}\压裂{2^{2\alpha_{\eta}/p}}{\varPhi^{1/2p}（1/p-2）}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_{k}）}。\结束{对齐}$$

因此，

$$开始{对齐}\vert I\vert\leq&\frac{1}{l_{j}}\sum_{n=1}^{2^{2\alpha_{k}}-1}\frac}\vertS^{w}_{n} f（x）\vert}{n}\\leq&\frac{1}{l{2^{2\alpha{k}}}\frac}1}{128\alpha_k}}\frac{2^2\alfa_k}（1/p-2）}}{varPhi^{1/2p}c{1}{n}\leq\frac{1}}{128\alpha_{k}}\frac{2^{2\alpha_}k}（1/p-2）}}{varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha{k}）}。\结束{对齐}$$

（3.17）

让\（2^{2\α_{k}}\leqn\leq2^{2\alpha_{k{+1}-1）。然后我们有以下内容：

$$\开始{对齐}S^{w}_{n} （f）=&\sum_{\eta=0}^{k-1}\sum_{v=2^{2\alpha_{\eta}}^{2^{2\\alpha_}+1}-1}\widehat{f}^{w}（v）w{v}+\sum_}v=2^}2\alfa_{k}}^}{n-1}\wide hat{f}^{w}（v）w_{v}0}^{k-1}\frac{2^{{2\alpha_{eta}}（1/p-1）}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\ alpha_}}）}\bigl（D^{w}_{2^{2\alpha_{\eta}+1}}-D^{w}_{2^{2\alpha_{\eta}}}\bigr）+\frac{2^}{2\alpha_{k}}（1/p-1）}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_}}）}\bigl（D^{w}_{n} -D^{w}_{2^{2\alpha_{k}}\biger）。\结束{对齐}$$

这给了

$$开始{对齐}\mathit{II}&=\frac{1}{l_{j}}\sum_{n=2^{2\alpha_{k}}}^{2^{2\\alpha_}k}+1}}\frac}{1}}{n}\Biggl（\sum_{eta=0}^{k-1}\frac:2^{2\alpha_{eta}（1/p-1）}{varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_{\eta}}）}\bigl（D^{w}_{2^{2\alpha_{\eta}+1}}-D^{w}_｛2^｛2\alpha_｛\eta｝｝｝｝\bigr）\Biggr）\\&&\quad｛｝+\frac｛1｝｛l_｛j｝｝\frac｛2^｛2\alpha_｛k｝（1/p-1）｝｝｛\varPhi ^｛1/2p｝（2^｛2\alpha_｛k｝｝）｝\sum_｛n=2^｛2\alpha_｛k｝｝｝｝^｛j｝\frac｛（D^{w}_{n} -D^{w}_{2^{2\alpha_{k}}）}{n}\\&：=\mathit{二}_{1} +\mathit{二}_{2}. \结束{对齐}$$

(3.18)

让\（x\在I{2}（e_{0}+e_{1}）\在I_{0}\反斜杠I{1}\）我们对Dirichlet核使用了众所周知的等式（有关详细信息，请参见例如[17]和[29])：回想一下

$$D美元^{w}_{2^{n}}（x）=\textstyle\begin{cases}2^{n}，&\text{if}x\在I_{n}中，\\0，&\text{if}x\ notin I_{n}，\end{cases{$$

(3.19)

和

$$D美元^{w}_{n} =w_{n}\sum^{infty}_{k=0}n_{k} 第页_{k} D类^{w}_｛2^｛k｝｝=w_｛n｝\sum^｛infty｝_｛k=0｝n_｛k｝\bigl（D^{w}_{2^{k+1}}-D^{w}_{2^{k}}\biger），\quad\text{表示}n=\sum^{\infty}_{i=0}n_{i} 2个^{i} $$

(3.20)

所以我们可以得出结论

$$D美元^{w}_{n} （x）=\textstyle\begin｛cases｝w_｛n｝，&&\text｛if｝n\text｛是奇数，｝\\0，&&\text｛if｝n\text｛是偶数。｝\end｛cases｝$$

自\（\alpha_{0}\geq2\）,\（k\in\mathbb{N}\）我们获得\（2α{k}geq 4），对于所有人\（k\in\mathbb{N}\）如果我们申请(3.19)我们得到了

$$\mathit美元{二}_{1}=0 $$

(3.21)

和

$$\begin｛aligned｝&&mathit开始{二}_{2} =\压裂{1}{l_{j}}\压裂{2^{2\alpha_{k}（1/p-1）}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_}}）}\总和{n=2^{2\\alpha_{k} -1个}}^{（j-1）/2}\压裂{w{2n+1}}{2n+1}=\压裂{1}{l{j}}\压裂}2^{2\alpha{k}（1/p-1）}r{1}}{varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_k}}）}\sum{n=2^{2\_{k} -1个}}^｛（j-1）/2｝\frac｛w_｛2n｝｝｛2n+1｝。\结束{对齐}$$

让\（x\在I_{2}（e_{0}+e_{1}）中\）然后，根据沃尔什函数的定义，我们得到

$$w_{4n+2}=r_{1} 周_{4n}=-w{4n{$$

和

$$\开始{aligned}\vert\mathit{二}_{2} \vert=&\frac{1}{l_{j}}\frac}2^{2\alpha_{k}（1/p-1）}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_}}）}\Biggl\vert\sum{n=2^{2\\alpha_{k} -1个}}^{（j-1）/2}\frac{w_2n}}{2n+1}\Biggr\vert\\=&\frac}1}{l_{j}}\frac{2^{2\alpha_{k}（1/p-1）}}{varPhi^{1/2p}_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}\biggl（\frac{w_{4n-4}}{4n-3}+\frac}w_{4-2}}{4-1}\biggr）\biggr\vert\\=&\frac[1}{l_{j}}\frac[2\alpha_{k}（1/p-1）}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_k}}）}\biggl\vert\vert裂缝{w{j-1}}{j}+sum{n=2^{2\alpha_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}\biggl（压裂{w_{4n-4}}{4n-3}-\压裂{w_{4n-2}}{4n-1}\biggr）\biggr\vert\\\geq&\frac{c}{log（{2^{2\alpha_{k}+1}}）}\frac}2^{2\alpha_}k}（1/p-1）}}{varPhi^{1/2p}}\biggr\vert-\sum_{n=2^{2\alpha_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}\vert{w_{4n-4}}\vert\biggl（\frac{1}{4n-3}-\frac｛1｝｛4n-1｝\biggr）\biggr）\\geq&\frac｛1｝｛4\alpha_{k｝｝\frac｛2^｛2\alpha_{k｝（1/p-1）｝｝｛\varPhi^｛1/2p｝（2^｛2\alpha_{k｝）｝\Biggl（\frac｛1｝{j}-\和{n=2^{2\alpha_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}\biggl（\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n-1}\biggr）\biggr）。\结束{对齐}$$

(3.22)

通过简单的计算，我们可以得出以下结论

$$\开始{aligned}&\sum_{n=2^{2\alpha_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}\biggl（\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n-1}\biggr）\\&\quad=\sum_{n=2^{2\alpha_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}\压裂{2}{（4n-3）（4n-1）}\\&\quad\leq\sum_{n=2^{2\alpha_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}\压裂{2}{（4n-4）（4n-2）}=\压裂{1}{2}\sum_{n=2^{2\alpha_{k} -2个}+1} ^｛（j-1）/4｝\frac｛1｝｛（2n-2）（2n-1）｝\\&&quad\leq\frac｛1｝｛2｝\sum_｛n=2^｛2\alpha_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}分形{1}{（2n-2）（2n-2）}=frac{1}}{8}\sum_{n=2^{2\alpha_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}分形{1}{（n-1）（n-1_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}压裂{1}{（n-1）（n-2）}=\压裂{1{8}\sum_{l=2^{2\alpha_{k} -2个}+1} ^{（j-1）/4}\biggl（\frac{1}｛n-2｝-\压裂{1}{n-1}\biggr）\\&\quad\leq\frac{1}}{8}\bigl（压裂{1{2^{2\alpha_{k} -2个}-1} -\压裂{4}{j-5}\biggr）\leq\frac{1}{8}\bigl（\压裂{1}{2^{2\alpha_{k} -2个}-1} -\压裂{4}{j}\biggr）。\结束{对齐}$$

自\（2^{2\α{k}}\leqj\leq2^{2\alpha{k}+1}-1），其中\（α{k}\geq 2），我们获得

$$\压裂{2}{2^{2\alpha_{k}}-4}\leq\压裂{2]{2^{4}-4}=\压裂{1}{6}$$

和

$$\开始{aligned}\vert\mathit{二}_{2} \vert\geq&\frac{1}{4\alpha_{k}}\ frac{2^{2\alpha_}k}（1/p-1）}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_c}}）}\biggl（\frac}1}{j}-\frac{1}{8}\biggl（\frac{1'{2^{2\alpha_{k} -2个}-1} -\压裂{4}{j}\biggr）\大gr）\\geq&\压裂{1}{4\alpha_{k}}\压裂{2^{2\alpha_}k}（1/p-1）}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_{k}）}\大gl（\frac{3}{2j}-\压裂{1}{2^{2\alpha_{k}+1}-8}\biggr）\\geq&\压裂{1}{4\alpha_}k}\frac{2^}2\alfa_{k{（1/p-1）}}{\varPhi^{1/2p}-\压裂{1}{2}\压裂{1}{2^{2\α{k}}-4}\biggr）\\geq&\压裂{1'{4\α{k{}\压裂}2^{1\α_k}（1/p-1）}}{varPhi^{1/2p}（2^{2\α_k{}）}\bigl（\frac{1}{4} \压裂{1}{2^{2\alpha_{k}}}+\压裂{1\{2}\frac{1}}{2\压裂{k}{}-\压裂{1}{2{2\alpha_k}}-4}\biggr）varPhi^{1/2p}}\压裂{2^{2\α_{k}（1/p-1）}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_{k{}）}\biggl（\压裂{1}{4}\frac{1}}{2^}2\ alpha_}k}}}-\压裂{1}{6}\frac{1}{2^α_}k{}}}}\bigr）\\geq&\压裂{1'{48α{k}}\压裂{2^{2\alpha{k}（1/p-2）}}{varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_k}}）}\geq\frac{1}{64\alpha_ k}}\frac}2^{1\alpha_ k}（1/2）}}}{（2^{2\alpha{k}）}。\结束{对齐}$$

(3.23)

通过组合(3.14), (3.16)–(3.23)的\（\在I_{2}（e_{0}+e_{1}）中\）和\（0<p<1/2）我们发现了

$$\开始{aligned}\bigl\vert R^{w}_{j} f（x）\bigr\vert\geq&&\ vert\mathit{二}_{2} \vert-\vert\mathit{二}_{1} \vert-\vert I\vert\\geq&\frac{1}{64\alpha_{k}}\frac{2^{2\alpha_}k}（1/p-2）}}{varPhi^{1/2p}\alpha_{k}）}=\frac{1}{128\alpha_a{k}}\frac}2^{2\alpha_k}（1/p-2）}}{\varPhi^{1/2p}（2^{2\alpha_c}}）{。\结束{对齐}$$

因此，

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert R^{w}_{j} （f）\bigr\Vert_{\text{弱-}L_{p} （G{2}）}^{p}\\&\quad\geq\frac{1}{128\alpha_{k}^{p{}\\frac{2^{2\alpha_}k}（1-2p）}}{varPhi^{1/2}（2^{2\alpha_c}）^{w}_{j} （f）\bigr\vert\geq\frac{1}{128\alpha_{k}}\frac}2^{2\alpha_}k}（1/p-2）}}{\varPhi^{1/2p}{\varPhi^{1/2}（2^{2\alpha_{k}}）}\mu\biggl\{x\在I_{2}中（e_{0}+e_{1}）：\bigl\vert R^{w}_{j} （f）\bigr\vert\geq\frac{1}{128\alpha_{k}}\frac{2^{2\alpha_}k}（1/p-2）}}{\varPhi^{1/2p}1/2}（2^{2\alpha_{k}）}\bigl}}{\varPhi^{1/2}（2^{2\alpha_{k}）}。\结束{对齐}$$

(3.24)

此外，

$$\开始{对齐}&\sum_{j=1}^{\infty}\frac{\VertR^{w}_{j} （f）\垂直_{\text{弱-}L_{p} （G{2}）}^{p}\log^{p{{{（j）}\varPhi（j）{j^{2-2p}}\\&\quad\geq\sum_{{j\in\mathbb{答}_{0,2}：2^{2\alpha_{k}}_{j} （f）\垂直_{\text{弱-}L_{p} }^{p}\log^{p{{p}{（j）}\varPhi（j）{j^{2-2p}}\\&\quad\geq\frac{c}{\alpha_{k}^{p}}\frac}{2^{2\alpha_}k}（1-2p）}}{\varPhi^{p/2}（2^{2\alpha_{k}）}}\sum_{j\in\mathbb{答}_{0,2}：2^{2\alpha_{k}}<j\leq2^{2\alpha_}k}+1}-1}}\frac{\log^{p}{（j）}\varPhi（j）{j^{2-2p}}\\&\quad\geq\frac}c\varPhi（2^{1\alpha_c}}）^{p}}\frac{2^{2\alpha_{k}（1-2p）}}{varPhi^{1/2}（2^{2\alpha_}}）}\sum_{j\in\mathbb{答}_{0,2}：2^{2\alpha_{k}}<j\leq2^{2\alpha_}k}+1}-1}}\frac{1}{j^{2-2p}}\\&\quad\geq\varPhi^{1/2}\bigl（2^{1\alpha_c}}\bigr）\rightarrow\infty，\quad\\text{as}k\rightarrow\infty。\结束{对齐}$$

证据是完整的。 □

4最后备注和未决问题

在这一节中，我们提出了一些最后的评论和开放的问题，这可能是值得进一步研究的。第一个问题如下。

问题1

对于任何\（在{H_{1/2}}中为f\），有可能找到Riesz平均的强收敛定理吗\（右^{w}_{m} \），其中\（α=w）或\（\alpha=\psi\）?

备注1

有关沃尔什和维伦金系统的费耶尔平均数的类似问题可以在[2,4,40]（另请参见[45]和[48])。我们的方法和Riesz和Fejér核的估计（参见引理1和2)甚至没有机会证明与Fejer均值的情况类似的强收敛结果。特别是，对于任何\（f在H_｛1/2｝中）是否可以证明以下不等式：

$$\frac{1}{\log n}\sum_{k=1}^{n}\frac}\VertR^{\alpha}_{k}f\Vert_{1/2}^{1/2{}{k}\leq c\Vertf\Vert_{H_1/2}}^{1/2}，\quad\text{其中}\alpha=w\text{或}\alfa=\psi$$

推广定理很有趣2用于Vilenkin系统。

问题2

对于\（0<p<1/2）和任何非递减函数\（\varPhi:\mathbb{N}\rightarrow{}[1，\infty）\）满足条件\（\lim_{n\rightarrow\infty}\varPhi（n）=+\infty），有可能找到一个马提尼大风吗\（f\在H_{p}（G_{m}）中\）这样的话

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log^{p}n\VertR^{\psi}_{n} （f）\Vert_{p}^{p}\varPhi（n）}{n^{2-2p}}=\infty$$

哪里\（磅/平方英寸）_{n} （f）\)表示n个关于Vilenkin–Fourier级数的th Riesz对数平均值（f）?

问题3

有可能找到鞅吗\（在{H_{1/2}}中为f\），使得

$$\sup_{n\in\mathbb{n}}\bigl\VertR^{\alpha}_{n}f\bigr\Vert_{1/2}=\infty$$

哪里\（α=w）或\（\alpha=\psi\）?

备注2

对于\（0<p<1/2），空间中的散度\（L_{p}\）关于鞅的Walsh和Vilenkin系统的Riesz对数平均\（f\在H_{p}\中）已在中被证明[27].

问题4

对于任何\（f\在｛H_｛p｝｝中）(\（0<p \ le 1/2 \）)，是否可能找到指数的必要和充分条件\（k{j}\）对于其中

$${\bigl\Vert R^{\alpha}_{k_{j}}f-f\bigr\Vert}_{{H_{p}}}\到0，\quad\text{as}j\到infty$$

哪里\（α=w）或\（\alpha=\psi\）?

备注3

关于Walsh和Vilenkin系统的部分和和Fejer平均值的类似问题可以在Tephnadze中找到[41,42]和[43].

问题5

能否根据鞅的一维连续模找到充要条件\（f\在｛H_｛p｝｝中）(\（0<p \ le 1/2 \）)，其中

$${\bigl\Vert R^{\alpha}_{j}f-f\bigr\Vert}_{{H_{p}}到0，\quad\text{作为}j\to\infty$$

哪里\（α=w）或ψ?

备注4

Oswald考虑了经典Hardy空间和实Hardy空间中一些可和方法的逼近性质[24]Kryakin和Trebels[18]、Storoienko[32,33]以及Fridli、Manchanda和Siddiqi中的鞅Hardy空间[9]（另请参见[7,8])，纳吉[20–22]，特普纳泽[41–43].