设计二次样条合同函数的全局收敛方法

摘要

为了设计离散未知节点情况下的二次样条合同函数，构造了一种求解委托代理问题的改进约束移位同伦算法。然后在较弱的条件下证明了具有样条契约函数的委托代理问题KKT系统全局收敛解的存在性。该算法只要求任何初始点位于移位可行集内，而不一定位于原始可行集内。

1问题描述

在本文中，我们将考虑以下委托-代理双层规划问题，其中委托人既不能观察也不能验证代理的行为：

$$\begin{聚集}\max_{s（x），a}U\bigl（s（x$$

(1)

哪里\（U（s（x），a）\）和\（V（s（x），a）\）分别表示委托人和代理人的预期效用，\（s（x）\）当代理人的行为是一和实现的输出\（x\在x=[\underline{x}，\overline{x}]\subset{\mathbb{R}}_{++}\中）它表示一组可能的结果。代理选择操作\（[\下划线{a}中的\，上划线{a{]\）根据商定的付款时间表\（s（x）\）并具有可分离的冯·纽曼-摩根斯坦效用\（v（s（x），a）=v（s，它是凹面的。让\（F（x，a）\）和\（f（x，a）\）表示结果的连续分布和密度函数x个考虑到那次行动一由代理承担，假设代理对所有人都具有足够的连续可微性x个和一.

自从委托代理模型被提出以来，一种有效而传统的分析问题的方法(1)就是所谓的一阶方法。但米尔莱斯[1,2]是第一位指出分析方法普遍不正确的学者。在随后的论文中，米尔莱斯[三]给出了隐含一阶方法的有效性条件，称为单调似然比条件（MLRC）和分布函数条件的凸性（CDFC）。然后是罗杰森[4]提供了一个比米尔莱斯正确且简单得多的证明。杰维特[5]提供了在多统计情形下证明一阶方法合理性的一些条件。有关解决委托代理问题的一阶方法的更多文献，请参见，例如[6,7,8,9,10,11,12,13,14]以及其中的参考文献。

然而，由于问题(1)是一个无限维非凸双层规划问题，很多论文都集中在一阶方法有效性的理论分析上，很少有论文直接求解委托代理模型。普雷斯科特[15]在离散条件下使用Dantzig–Wolfe分解算法计算道德风险程序的解，但为了将其转化为线性程序（LP），它需要是块角度的，并且随着基础集基数的增加，LP的大小迅速增长，使计算变得不可行。苏和贾德[16]研究了将道德风险问题表述为具有平衡约束的数学程序（MPEC）的计算方面，并提出了一种将线性规划（LP）方法与彩票相结合的混合程序，但该算法仅获得局部收敛性。阿姆斯特朗等。[17]制定了两个互补的广义委托-代理模型，将在现实合同环境中观察到的特征合并为MPEC，并通过最先进的数值算法求解所得模型。切基尼等。[18]在假设性能指标为线性的情况下，通过使用椭球算法求解双层规划问题，对写为线性指数正态模型的委托代理问题进行了数值求解。为了解决这个问题，朱等。[19]首先通过在一些典型的风险规避效用函数和典型的分布函数下设计分段线性契约函数，提出了一种改进的约束移位同伦方法。雷纳和施米德尔斯[20]假设代理人的期望效用是行动的有理函数，将代理人的效用最大化问题重新表述为等式和不等式的等价系统，并使用多项式优化方法。对于一般分配函数，朱和余[21]提出了一种约束集膨胀同伦方法，用于计算其Karush–Kuhn–Tucker（KKT）系统在设计分段线性契约函数的情况下的解，利用复合Simpson法则近似计算积分，并且在较弱的条件下证明了同伦路径的全局收敛性。此外，朱和余[22]提出了另一种改进的同伦方法，用于计算其KKT系统的解，该方法只需要一个内点，而不需要对约束移位集进行可行的初始近似。然而，通常假设离散节点已知。

直接解决问题(1)通过设计契约函数，如文献中所述，本文还假设MLRC和CDFC条件成立：1\（f（x，a）\）满足MLRC，即。，\（压裂{f{a}}{f}\）不会减少x个对于每个一; 和2\（f（x，a）\）满足CDFC，即。，\（F_｛aa｝（x，a）\geq 0\）在这方面，激励相容约束可以用一阶条件代替，委托代理问题可以转化为等价的单层非凸规划：

$$\begin{collected}\max_{s（x），在a}U\bigl（s（x，a \bigr），\\begin{aligned}\text{s.t.}\quad&V\bigls（s（x），a \bigr）\geq V_{0}\\&V_{a}\bigle（s（x]，a \bigr）=0中。\结束{对齐}\结束{聚集}$$

(2)

然后可以通过求解等价问题来计算委托代理问题的解(2).

由于组合单纯形法具有全局收敛性，可以有效地求解非线性规划、不动点问题、变分不等式、二层规划等非线性问题，因此自20世纪90年代以来备受关注；参见，例如[23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33]. 由于对于现有的组合同伦方法求解等价问题(2)通常假设离散节点已知，合同设计为分段线性函数，在离散未知节点的情况下设计二次样条合同函数，本文将构造一种新的约束移位组合同伦来求解委托代理问题的KKT系统，并证明其全局收敛性。

本文考虑了设计二次样条合同函数的委托代理问题的标准模型。在Sect。 2构造了基本委托代理问题的约束移位组合同伦，并引入了微分拓扑的一些引理。在Sect。 三，将给出主要结果，并证明了从移位可行集的任意给定初始点到KKT系统解的光滑路径的存在性。在Sect。 4提出了一种详细的预测-校正算法。

2前期工作

我们假设工资合同是以下二次样条函数。设置中未知的离散节点\（X=[\underline{X}，\overline{X}]\）令人满意的\（\下划线{x}=x{1}\leq x{2}\leq\cdots\leq x}m}\leq x{m+1}=\上划线{x{），工资合同是

$$\开始{对齐}和s（x）=\textstyle\开始{cases}p{1}x^{2}+q{1}x+r_{1}，&x{1}\leqx\leqx{2}，\\p{2}x^}+q}2}x+r_}2}、&x{2}\leq x\leq x{3}、\\vdots\\p{m}x^2}+q{m}x+r{m}，&x{m}\leqx\leqx1}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

这满足了\（p_｛i｝x_｛i+1｝^｛2｝+q_｛i｝x_｛i+1｝+r_｛i｝=p_｛i+1｝x_｛i+1｝^｛2｝+q_｛i+1｝x_｛i+1｝+r_｛i+1｝\）,\（2便士_{i} x个_{i+1}+q{i}=2p{i+1}x{i+1{+q{i+1}）,\（i=1,2，\ldot，m-1），以及\（p_{i}\leq0\）,\（i=1,2，\ldot，m）.

然后我们可以分别得到委托人和代理人的以下预期效用：

$$\begin{aligned}U\bigl（s（x），a\bigr）=&\int_{x\in x}U\bigl-（x-s（x x个^{2} -q个_{i} x射线_{i}\较大）f（x，a）\，dx\结束{对齐}$$

和

$$\begin{aligned}V\bigl（s（x），a\bigr）=&\int_{x\in x}V\bigl_{i} x+r{i}\bigr）f（x，a）\，dx-a.结束{aligned}$$

由于积分不会改变可微性，委托人和代理人的预期效用对所有人来说也足够平滑x个和一.

委托人和代理人的预期效用在行动上是凹的一根据CDFC。因此，将工资合同设计为二次样条函数的委托代理问题的松弛帕累托优化规划可以重新表述为：

$$开始{聚集}\min_{（p_{i}，q_{ineneneep，r_{i{）\in\mathbb{r}}\sum_{i=1}^{m}\int_{x{i}}^{x{1}}\bigl[p_{i}x^{2}+（q_{i} -1个)x+r{i}\bigr]f（x，a）\，dx\\开始{aligned}\text{s.t.}\quad&-\sum{i=1}^{m}\int_{x{i}}^{x{1}}\bigl（p{i}x^2}+q_{i} x+r_{i}\biger）f（x，a）\，dx+a+V_{0}\leq0，\\&a-\上划线{a}\leq 0，\\&-a+\下划线{a{a}\leq O，\\&p_{i{leq 0_{我}-p{i+1}x{i+1}^{2} -q个_{i+1}x_{i+1}-r{i+1{=0，四i=1,2，ldot，m-1，\\&2p_{i} x个_{i+1}+q_{i} -2便士_{i+1}x{i+1}-q{i+1{=0，\quad i=1,2，\ldots，m-1，\\&\sum_{i=1}^{m}\int_{x{i}}^{x{1}}\bigl（p_{i}x^2}+q_{i} x+r{i}\bigr）f{a}（x，a）\，dx-1=0。\结束{对齐}\结束{聚集}$$

(3)

为了方便起见，我们分别给出了以下符号：

$$\开始{对齐}&F（p，q，r，a，\zeta）=\sum_{i=1}^{m}\int_{x_{i}}^{x{i+1}}\bigl（p_{i{x^{2}+q_{i} x+对_{i} -x个\大r）f（x，a）\，dx，\\&g{1}int_{x{i}}^{x{1}}\bigl（p{i}x^2}+q_{i} x+r{i}\biger）f（x，a）\，dx+a+V{0}，\\&g{m+2}（p，q，r，a，zeta）=a-\上划线{a}，\&g{m+3}（p，q，r，a，zeta）=-a+\下划线{a{，\\h{1}_{1} x个_{2} +r（+r）_{1} -第页_{2} x个_{2} ^{2} -q个_{2} x个_{2} -r（右）_{2} ，\\&h{2}（p，q，r，a，zeta）=p{2}x{3}^{2}+q_{2} x个_{3} +r_{2} -第页_{3} x个_{3} ^{2} -q个_{3} x个_{3} -r（右）_{3} ，\\&\vdots\\&h{m-1}（p，q，r，a，zeta）=p{m-1{x{m}^{2}+q_{m-1}x_{m} +r（+r）_{m-1}-第页_{m} x个_{米}^{2} -q个_{m} x个_{m} -r（右）_{m} ，\\&h{m}（p，q，r，a，\ zeta）=2p_{1} x个_{2} +q个_{1} -2便士_{2} x个_{2} -q个_{2} ，\\&h{m+1}（p，q，r，a，\ zeta）=2p_{2} x个_{3} +q个_{2} -2便士_{3} x个_{3} -q个_{3} ，\\&\vdots\\&h{2m-2}（p，q，r，a，\zeta）=2p_{m-1}x_{m} +问_{m-1}-2p_{m} x个_{m} -q个_{m} ，\\&h{2m-1}（p，q，r，a，zeta）=\sum_{i=1}^{m}\int_{x{i}}^{x{1}}\bigl（p{i}x^{2}+q_{i} x+r_｛i｝\bigr）f_｛a｝（x，a）\，dx-1，\end｛aligned｝$$

哪里\（p=（p{1}，p{2}，\ldots，p{m}）^{T}\）,\（q=（q_{1}，q_{2}，\ldots，q_}m}）^{T}\）,\（r=（r{1}，r{2}，\ldots，r{m}）\）,\（a=a）,\（泽塔=（x{2}，x{3}，\ldots，x{m}）^{T}\）.

然后，当工资合同是二次样条曲线时，松弛帕累托优化规划(三)可以写为：

$$\begin{聚集}\min F（p，q，r，a，\zeta），\\开始{对齐}\text{s.t.}\quad&g{i}（p，q，r，a，\ze塔）\leq 0，\quad i\in \{1,2，\ldots，m+3\}，\\&h_{j}（p，q，r，a，\ zeta）=0，\quid j\in \}1,2，\ ldots、2m-1\}。\结束{对齐}\结束{聚集}$$

(4)

让\（{\mathbb{R}}^{n}\）,\（{\mathbb{R}}_{+}^{n}\）,\（{\mathbb{R}}_{++}^{n}\）表示n个-维欧几里德空间，非负正定和正正定\（{\mathbb{R}}^{n}\）分别为。众所周知，对于凸非线性规划问题，优化问题的解可以从KKT系统得到。但对于一个非凸非线性规划问题，我们只能得到其KKT系统的解。

因此，目的是解决以下KKT系统的松弛帕累托优化规划(4):

$$开始{聚集}\nabla F（p，q，r，a，\zeta）+\sum_{i=1}^{m+3}\nabla g_{i}（p，q，r，a，\ze塔）y_{i{+\sum_{j=1}^_2m-1}\nablah_{j}ldot，2米-1，\\y_{i} 克_{i} （p，q，r，a，\zeta）=0，\quad y_{i}\geq 0，\quid\quad g_{i{（p，q，r，a，\ zeta）\leq 0，\ quad i=1,2，\ldot，m+3，\end{collected}$$

(5)

哪里\（y\在{\mathbb{R}}{_{+}}^{m+3}\中）,\（z\在{\mathbb{R}}^{2m-1}\中）,\（\nabla=（\frac{\partial}{\partitial p}，\frac}\partial q}，\frac{\particl}{\ partial r}，\ frac{\ partic}{\偏a}，\srac{\protial}{\ partitial\ zeta}）^{T}\）.

考虑移位约束函数为\（\widetilde{g{i}}（\theta，\mu）=g{i{（\ttheta）-\mu^{sigma}\tau），使用\（{\mathbb{R}}_{++}^{m+3}中的\tau\）和\（\widetilde{h{j}}（\theta，\mu）=h{j{（\ttheta）-\muh{jneneneep（\theta^{0}）\），这使得\（\widetilde{g{i}}（\theta，0）=g{i{（\ttheta）\），以及\（\widetilde{h{j}}（\theta，0）=h{j{（\tea）\）因此，\（nabla\widetilde{g{i}}（\theta，\mu）=nablag{i{（\ttheta））和\（nabla\widetilde{h{j}}（\theta，\mu）=nablah{j{（\tea））。由于\（g{i}（θ）和\（h{j}（θ）,\（nabla\widetilde{g{i}}（θ，μ））和\（nabla\widetilde{h{j}}（θ，μ））也足够光滑。

为了方便起见，本文将使用以下符号：

$$\begin{aligned}&\theta=（p，q，r，a，zeta）^{T}，\\&\varOmega=\bigl\{\theta\vert g_{i}（\theta）\leq 0，h_{j}（\theta）=0，i\in\{1,2，\ldots，m+3\}，j\in\}1,2，\tdots，2m-1\}\bigr\}\widetilde{g{i}}（θ，\mu）\leq0，\widetelde{h{j}}\大\}，\\&\varOmega_{\mu}^{0}=\bigl\{\theta\vert\widetilde{g_{i}}（\theta，\mu）<0，\widetilde{h_{j}}_{\mu}\反斜杠\varOmega_{\mu}^{0}，\quad\text{和}\\&i_{mu}（\theta）=\bigl\{i\vert\widetilde{g_{i}}（\t，\mu）=0，i=1,2，\ldots，m+3\bigr\}。\结束{对齐}$$

本文将使用以下假设。向量\（{\mathbb{R}}_{++}^{m+3}中的\tau\）和一个开放子集V（V）不等式约束集的\（θ：宽波浪号{克}_{i} （θ，1）<0\}）满足以下条件：

• （A1） \（[0,1]\中的所有\mu\）,\（\varOmega_{\mu}\）有界且\（\varOmega_{\mu}^{0}\neq\phi\）.

• （A2） \（V中的所有θ）,\（纳布拉h（θ））是完整的列秩矩阵。对于任何参数\（[0,1]\中的\mu\）和\（\theta\in\varOmega_{\mu}\）,\（（[nabla\widetilde{g{i}}（theta，\mu）{i\ in i{mu}（theta）}，nablah（theta）））是正线性无关的θ即。，\（i（θ）}中的sum{i},\（\alpha_{i}\geq0\）,\（在{mathbb{R}}\Rightarrow\alpha_{i}=\beta_{j}=0\）.

• （A3） （正常圆锥状态） \（对于所有θ，在部分ω{1}中），的法线圆锥体\（\varOmega_{1}\）仅满足\（\partial\varOmega_{1}\）在θ即。，\（对于所有\theta，在\varOmega_{1}中）,

  $$\biggl\｛\theta+\sum_｛i\ in i_｛1｝（\theta）｝\nabla\widetilde｛g_｛i｝｝（\theta，1）y _｛i｝+\nabla h（\theta）z\Big\vert i\ in i_｛1｝（\theta），y_｛i｝\geq 0，z\ in｛\mathbb｛R｝｝^｛m｝\biggr\｝\cap\varOmega _｛1｝=\｛\theta｝$$

为了计算松弛帕累托优化规划的KKT系统的解(4)，对于任意随机选择的向量\（（θ{0}，xi）在V次中{mathbb{R}}^{4m}）和任何给定向量\（在{\mathbb{R}}_{++}^{m+3}\中的\eta\），我们构造了约束移位的组合同伦论，如下所示：

$$H\bigl（w，w^{0}，\mu\bigr）=\begin{pmatrix}（1-\mu）（\nabla F（\theta）+\nabla\widetilde{g}（\theta，\muθ^{0}）\end{pmatrix}$$

(6)

哪里\（w=（θ，y，z）^{T}\在{\mathbb{R}}^{4m}\次{\mathbb{R{}}_{+}^{m+3}\次}中,\（w^{0}=（θ^{0{，y^{0neneneep，z^{0neneneei）^{T}\），以及\（Y=\运算符名称｛diag｝（Y_｛1｝，Y_｛2｝，\ldots，Y_｛m+3｝）\）.

什么时候？\（\mu=0\）同伦方程\（H（w，w^{0}，0）=0\）转向KKT系统(5)放松的帕累托优化编程(4).

引理2.1

假设 \（H（w，w^{0}，\mu）\）定义为(6)和假设（A1）、（A2）和（A3）持有,然后是同伦方程 \（H（w，w^{0}，1）=0\）有独特的解决方案

$$（\theta，y，z）=\bigl（\theta^{0}，y^{0{}，z^{0neneneep \bigr）=\bigl（\theta^{0:}，-\bigl[\operatorname{diag}\bigle（\widetilde{g}\bingl（\sheta^}，1\bigr$$

证明

让\（\bar{w}=（\bar}\theta}，\bar{y}，\ bar{z}）是…的解决方案\（H（w，w^{0}，1）\）.来自\（H（\bar{w}，w^{0}，1）=0\）和\（\bar{y}\geq0\），我们得到\（\bar{theta}\in\varOmega_{1}\）。在下面，我们将证明\（\bar{\theta}=\theta^{0}\）矛盾。我们假设\（\bar{\theta}\neq\theta^{0}\），这意味着\（\bar{z}\neq 0\），以及\（H（w，w^{0}，1）=0\），我们有\（θ^{0}=\bar{theta}+\nablah（\bar{θ}）\bar{z}\），这与假设（A2）相矛盾。因此，\（\bar{\theta}=\theta^{0}\）根据假设（A2）和\（\nabla h（\bar{\theta}）\bar{z}=0\），我们得到\（\bar{z}=0\）从第二个方程式\（H（\bar{w}，w^{0}，1）=0\）和\（\theta^｛0｝\in\varOmega _｛1｝^｛0｝\），我们有\（\bar{y}=-[\operatorname{diag}（\widetilde{g}，（\theta^{0}，1））]^{-1}\eta\）。因此，我们得到了结果。□

以下引理来自微分拓扑，可以在参考文献中找到。[34,35,36]将在下一节中使用。首先，让\（U\子集{\mathbb{R}}^{n}\）做一个开放的群体，让\（\phi\colon U\rightarrow{\mathbb{R}}^{p}\）成为\（C^{\alpha}\）(\（\alpha>\max\{0，n-p\}\）)制图；我们这么说\（y\在{\mathbb{R}}^{p}\中）是的常规值ϕ如果

$$\operatorname{Range}\bigl[\partial\phi（x）/\partial x\bigr]={\mathbb{R}}^{p}，\quad\forall x\in\phi^{-1}（y）$$

引理2.2

让 \（V\子集{\mathbb{R}}^{n}\）,\（U\子集{\mathbb{R}}^{m}\）成为开放集,然后让 \（\phi\colon V\times U\rightarrow{\mathbb{R}}^{k}\）成为 \（C^{\alpha}\）映射,哪里 \（\alpha>\max\{0，m-k\}\）.如果 \（0\在{\mathbb{R}}^{k}\中）是的常规值ϕ,然后,几乎所有人 \（a\在V\中）, 0是的常规值 \（φ{a}=F（a，\cdot））.

引理2.3

让 \（\phi\冒号U\子集{\mathbb{R}}^{n}\rightarrow{\mathbb{R{}^{p}\）成为 \（C^{\alpha}\）(\（\alpha>\max\{0，n-p\}\）).如果0是的常规值ϕ,然后 \（\phi^{-1}（0）\）由一些 \（（n-p）\）维度的 \（C^{\alpha}\）歧管.

引理2.4

一个-维光滑流形微分为单位圆或单位区间.

三主要结果

为了方便，为了任何给定的\（w^{0}\在V\次{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\次{\ mathbb}R}}^{2m-1}\中）,\（H（w，w^{0}，\mu）\）英寸(6)被重写为\（H_{w^{0}}（w，\mu）=H（w，w^{0}，\mu）\），以及的零点集\（H_{w^{0}}（w，\mu）\）内容如下：

$$H_{w^{0}}^{-1}（0）=\bigl\{（w，\mu）\in\varOmega_{\mu}\times{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\times{\mathbb{Rneneneep}^{2m-1}\ times（0,1]：H_{w，\mo）=0\bigr\}$$

定理3.1

假设假设（A1）和（A2）保留任何选定的矢量 \（V中的w^{0}\）同伦定义为(6),然后,几乎所有人 \（（w^{0}，\xi）\在V次{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\次{\mathbb{R}}^{2m-1}\次}\mathbb{R}{4m}\）,零点-点集 \（H_{w^{0}}^{-1}（0）\）必须包含平滑曲线 \（\varGamma_{w^{0}}\）从开始 \（（\theta^{0}，y^{0{，z^{0neneneep，1）\）.除此之外,if假设（A3）持有,然后是平滑的曲线 \（\varGamma_{w^{0}}\）终止或接近超平面 \（\mu=0\）.如果 \（（（\bar{\theta}，\bar{y}，\ bar{z}，0）\）是平滑曲线的终点 \（\varGamma_{w^{0}}\）,然后 \（\bar{w}=（\bar}\theta}，\bar{y}，\ bar{z}）是解决KKT公司系统(5)放松的帕累托-优化程序设计(4).

证明

假设\（颚化符{H}（w，theta^{0}，\xi，\mu）\colon\varOmega_{\mu}\times{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\ times{\ mathbb}R}}^{2m-1}\ times V\ times}\mathbb{R}{4m}\ times.\次{\mathbb{R}}^{2m-1}\）地图与\（H（w，w^{0}，\mu）\）但采取\（（\theta^{0}，\xi）\）作为变量。考虑雅可比矩阵的以下子矩阵\（颚化符{H}（w，θ^{0}，xi，mu）:

$$\begin{aligned}和\frac{partial\tilde{H}（w，\theta^{0}，\xi，\mu）}{\partial mu\nabla H（θ^{0}）^{T}&0&0\end{pmatrix}。\结束{对齐}$$

对于所有人\（\mu\英寸（0,1）\）事实上\（\ta>0\）和\（Y\widetilde{g}（\theta，\mu）+\mu\eta=0\），我们看到了\（\operatorname{diag}（\widetilde{g}）（\theta，\mu））是非奇异的。通过假设（A2），我们可以看到矩阵\（\nabla h（θ^{0}）^{T}\）是全行秩，这意味着\（分数{\partial\tilde{H}（w，theta^{0}，\xi，\mu）}{\ partial（theta^}，y，\ xi）}\）是任何\（\mu\英寸（0,1）\）因此，矩阵\（D\tilde｛H｝（w，\theta^｛0｝，\xi，\mu）\）是方程任何解的满行秩\（\波浪线{H}（w，\theta^{0}，\xi，\mu）=0\）在里面\（{\mathbb{R}}^{4m}\次{\mathbb{R{}}_{+}^{m+3}\次}次{\mathbb{R1}^{2m-1}\次V\次{mathbb}R}}^{4mneneneep \次（0,1）\）.

从矩阵中

$$\begin{aligned}和\frac{\partial H（w，w^{0}，\mu）}{\partical w}=\begin{pmatrix}\varPi&（1-\mu nabla H（θ）^{T}&0&0\end{pmatrix}，\end{aligned}$$

哪里\（\varPi=（1-\mu）（\nabla^｛2｝F（θ）+\sum_｛i=1｝^｛m+3｝y _｛i｝\nabla^｛2｝\widetilde）{克}_{i} （θ，μ）+sum{j=1}^{2m-1}赫兹{j}\nabla^{2}h{j}（θ）+\mu I），对于任何\（\mu\in（0,1]\）和选定的初始点\（w^{0}=（θ，y^{0{，z^{0neneneep），使用\（z^{0}=0\），我们可以得到以下矩阵：

$$\begin{aligned}和\frac{\partial H（w^{0}，w^{0}，1）}{\partical w}=\begin{pmatrix}I&0&\nabla H（\theta^{0{）\\Y^{0｝\nabla\widetilde{g}（\theta ^{0neneneep，1）^{T}&\operatorname{diag}a^{0}）^{T}&0&0\end{pmatrix}，\end{aligned}$$

这也是非奇异的。所以，我们可以看到矩阵\（颚化符{H}（w，θ^{0}，xi，mu）对于任何情况都是非奇异的\（\mu\in（0,1]\）。因此，0是的正则值\（\波浪线{H}（w，\theta^{0}，\xi，\mu）\）.通过引理2.2我们看到了，几乎所有人\（（θ{0}，xi）在V次中{mathbb{R}}^{4m}），0是的正则值\（H（w，w^{0}，\mu）\）.来自Lemma2.3，如果0是的正则值\（H（w，w^{0}，\mu）\）,\（\分数{\部分H（w^{0}，w^{0}，1）}{\部分w}\）是非奇异的，并且由于\（H（w^{0}，w^{0}，1）=0\）,\（H_{w^{0}}^{-1}（0）\）必须包含平滑曲线\（\varGamma_{w^{0}}\subset\varOmega_{\mu}^{0{0}\times{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\times{mathbb}R}}^{2m-1}\timies（0,1]\）从开始\（（\theta^{0}，y^{0{，z^{0neneneep，1）\）并进入\（\varOmega_{1}^{0}\次{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\次}\mathbb{R}{2m-1}\次（0,1）\）并终止于\（\varOmega_{\mu}\times{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\times{\mathbb{R{}^{2m-1}\times[0,1]\）.然后从引理2.4,\（\varGamma_{w^{0}}\subset\varOmega_{\mu}^{0{0}\times{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\times{mathbb}R}}^{2m-1}\timies（0,1]\）必须与单位圆或单位区间不同$[0,1)$。由于矩阵\（\分数{\部分H（w^{0}，w^{0}，1）}{\部分w}\）是非奇异的平滑曲线\（\varGamma_{w^{0}}\）不能与单位圆相异。因此，\（\varGamma_{w^{0}}\）必须不同于$[0,1)$.

什么时候？\（\mu\rightarrow 0\），的极限点\（\varGamma_{w^{0}}\）属于\（\部分（\varOmega_{\mu}\次{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\次}\mathbb{R}{^{2m-1}\次（0,1]）\）.让\（（\bar{\theta}，\bar{y}，\ bar{z}，\tar{\mu}）是的一个极限点\（\varGamma_{w^{0}}\）什么时候\（\mu\rightarrow 0\）。只有以下五种情况是可能的：

• （i） \（（（\bar{theta}，\bar{y}，\ bar{z}）\in\varOmega_{1}\times{mathbb{R}}_{+}^{m+3}\times{mathbb{R}{2m-1}\）,\（\bar{\mu}=1\）,\（\垂直（\bar{y}，\bar{z}）\垂直;

• （ii） \（（（\bar{\theta}，\bar{y}，\ bar{z}）\in\varOmega_{\bar{\mu}}\times{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\times{\mathbb{R{}}^{2m-1}\）,\（[0,1]\中的\bar{\mu}\）,\（\Vert（\bar{y}，\bar{z}）\Vert=\infty\）;

• （iii） \（（\bar{theta}，\bar{y}，\ bar{z}）\in\varOmega_{\bar{\mu}}\times\ partial{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\times{\mathbb{R{}}^{2m-1}\）,\（在（0,1）中为{\mu}\）,\（\垂直（\bar{y}，\bar{z}）\垂直;

• （iv） \（（（\bar{\theta}，\bar{y}，\ bar{z}）\in\partial\varOmega_{\bar{\mu}}\ times{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\ times{\mathbb{R{}}^{2m-1}\）,\（在（0,1）中为{\mu}\）,\（\垂直（\bar{y}，\bar{z}）\垂直;

• （v） \（（\bar｛theta｝，\bar｛y｝，\bar｛z｝）\in\varOmega\times｛\mathbb｛R｝｝_｛+｝^｛m+3｝\times｛\mathbb｛R｝｝^｛2m-1｝\）,\（\bar{\mu}=0\）,\（\垂直（\bar{y}，\bar{z}）\垂直.

从引理2.1同伦方程\（H（w，w^{0}，1）=0\）只有一个简单的解决方案\（w^{0}=（θ，y^{0{，z^{0neneneep）在里面\（\varOmega_{1}^{0}\次{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\次R^{2m-1}\），因为矩阵\（\分数{\部分H（w^{0}，w^{0}，1）}{\部分w}\）是非奇异的，情况（i）是不可能的。

如果情况（ii）发生，根据假设（A1），必须有一个子序列\（（theta^{k}，y^{kneneneep，z^{k{，mu_{k}）子集\varGamma_{w^{0}}）这样的话\（\Vert（y^{k}，z^{k{）\Vert\rightarrow\infty\）和\（\mu_{k}\rightarrow\bar{\mu}\）,\（\theta^{k}\rightarrow\bar{\theta}\）作为\（k\rightarrow\infty\）。只有以下三个子场景是可能的：（1）\（\bar{\mu}=1\）; (2)\（在（0,1）中为{\mu}\）; (3)\（\bar{\mu}=0\）.

从第一个方程式(6)，我们有

$$\开始{对齐}[b]&（1-\mu_{k}）\Biggl（\nabla F\bigl（\theta^{k}\bigr）+\sum_{i=1}^{m+3}y_{i}^{kneneneep \nabla\widetilde{克}_{i} \bigl（\theta^{k}，\mu_{k}\bigr）+\bigtriangledownh\bigle（\ttheta^{k}\biger）z^{k{\\&\quadra{}+\mu_}k}\bigl（\t theta^{k}-\θ^{0}\biger）+\mu{k}（1-\mu{k}）\xi=0。\结束{对齐}$$

(7)

（1） 何时\（\bar{\mu}=1\），如果\（\Vert（1-\mu^{k}）y^{k{，z^{kneneneep \Vert<\infty\）在不失一般性的情况下，我们可以假设\（（（1-\mu{k}）y{k}，z^{k}）\右箭头（\bar{y}，\bar{z}）\）.然后\（\bar｛y_｛i｝｝=0\）对于\（在i_{1}（\bar{theta}）中没有）从第二个方程(6). 接受限制(7)作为\（k\rightarrow+\infty\），我们有

$$\begin｛aligned｝\theta^｛0｝&=\bar｛\theta｝+\lim_｛k\rightarrow\infty｝\bigl[（1-\mu_｛k｝）\bigl（\nabla F\bigl（\theta^｛k｝\bigr）+\nabla \widetilde｛g｝\bigl（\theta^｛k｝，\mu_｛k｝\bigr）y^｛k｝\bigr）+\nabla h\bigl（\theta^｛k｝\bigr）z^｛k｝\bigr]\&=\bar｛\theta｝+h（\bar｛\theta｝）\bar｛z｝+\lim_｛k\rightarrow\infty｝\sum_｛i\ in i_｛1｝（\bar｛\theta｝）}（1-\mu{k}）y{i}^{k}\nabla\widetilde{克}_{i} \bigl（theta^{k}，\mu_{k}\biger）\\&=\bar{theta}+h（\bar{theta}）\bar{z}+\sum{i\在i{1}（\bar}\theta}$$

(8)

这与假设（A3）相矛盾。

如果\（\Vert（1-\mu^{k}）y^{k{，z^{kneneneep \Vert\rightarrow\infty\），讨论与案例（2）相同。

（2） 何时\（在（0,1）中为{\mu}\）在不失一般性的情况下，我们可以假设\（（（1-\mu^｛k｝）y^｛k｝，z^｛k｝）/\Vert（1-\mu^｛k｝）y^｛k｝，z^｛k｝\Vert\rightarrow（\bar｛\alpha｝，\bar｛\beta｝）\）具有\（\Vert（\bar{\alpha}，\bar{\ beta}）\Vert=1\）和\（\bar{\alpha_{i}}=0\）对于\（我不在i_{\bar{\mu}}（\bar{\theta}）中）.等式的两边分开(7)由\（\垂直（（1-\mu^{k}）y^{kneneneep，z^{k{）\垂直我们已经达到了极限

$$\开始{aligned}&\sum_{i\在i_{bar{\mu}}（\bar{\theta}）}\bar{\alpha_{i}}\nabla\widetilde中{克}_{i} （\bar{\theta}，\bar{\mu}）=0，\end{aligned}$$

这与假设（A2）相矛盾。

（3） 何时\（\bar{\mu}=0\）在不失一般性的前提下，假设\（（（y^{k}，z^{k{）/\垂直y^{k}，z ^{k}\垂直向右箭头（\bar{alpha}，\bar{beta}）\）具有\（\Vert（\bar{\alpha}，\bar{\ beta}）\Vert=1\）和\（\bar{\alpha_{i}}=0\）对于\（我不在i_{\bar{\mu}}（\bar{\theta}）中）.等式的两边分开(7)由\（\垂直（y^{k}，z^{k{）\垂直\）我们已经达到了极限

$$\开始{aligned}&\sum_{i\在i_{bar{\mu}}（\bar{\theta}）}\bar{\alpha_{i}}\nabla\widetilde中{克}_{i} （\bar｛\theta｝，\bar｛\mu｝）+\sum_｛j=1｝^｛2m-1｝\bar｛β_｛j｝｝\bala h｛j｝（\bar｛\theta｝）=0，\end｛aligned｝$$

这与假设（A2）相矛盾。

因此，从（1）、（2）和（3）的讨论中，我们看到情况（ii）也是不可能的。

现在，我们讨论案例（iii）和（iv）也是不可能的。对于任何给定的\（在{\mathbb{R}}_{++}^{m+3}\中的\eta\），根据第二个方程\（\operatorname{diag}（\widetilde{g}）（\bar{theta}，\bar{mu}））\bar{y}+\bar{mu}\eta=0\）属于\（H（\bar{w}，w^{0}，\bar{\mu}）=0\）作为\（k\rightarrow\infty\），我们看到了\（\bar{\mu}>0\）和\（\bar{y}\in\部分{\mathbb{R}}_{+}^{m+3}\）即。，\（\bar{y}（y）_{i} =0\）对一些人来说\（1 \leq i \leq m+3）不能同时发生。因此，情况（iii）也是不可能的。如果\（\bar{y}>0\）和\（\bar{\mu}>0\），来自\（\operatorname{diag}（\widetilde{g}）（\bar{theta}，\bar{mu}））\bar{y}+\bar{mu}\eta=0\），我们可以\（\operatorname{diag}（\widetilde{g}）（\bar{theta}，\bar{mu}））<0\），这意味着情况（iv）是不可能的。

总之，情况（v）是唯一可能的情况。那就是\（\varGamma_{w^{0}}\）必须在超平面中终止或接近超平面\（\bar{\mu}=0\）和\（\bar{w}=（\bar}\theta}，\bar{y}，\ bar{z}）是KKT系统的解决方案(5)委托代理问题。□

4数值算法

根据定理3.1同伦方程(6)生成平滑曲线\（\varGamma_{w^{0}}\）几乎所有人\（（w^{0}，\mu）\in\varOmega_{1}^{0{times{mathbb{R}}_{+}^{m+3}\times{mathbb{R}{2m-1}\times（0,1]\）作为\（\mu\rightarrow 0\），可以找到解决方案(5). 出租秒是的弧长\（\varGamma_{w^{0}}\），我们可以参数化平滑曲线\（\varGamma_{w^{0}}\）关于秒，即。

$$\begin{aligned}\begin{collected}H\bigl（w（s），w^{0}，\mu（s）\bigr）=0，\\w（0）=w^{0}，\ quad\quad\mu（0）=1。\结束{聚集}\结束{对齐}$$

(9)

通过微分方程式(9)，我们可以得到以下定理。

定理4.1

光滑同伦路径 \（\varGamma_{w^{0}}\）由以下常微分方程的初值问题确定:

$$\begin{aligned}\begin{collected}\mathit{DH}\bigl（w（s），w^{0}，\mu（s）\bigr）\begin\pmatrix}\dot{w}\\dot{\mu}\end{pmatrix}=0，\\bigl$$

(10)

哪里DH（决断高度）是的导数H（H）,秒是曲线的弧长 \（\varGamma_{w^{0}}\）,和w个-解决方案点的组件 \（（w（s^{*}），\mu（s^}））的. (10)是解决KKT公司系统(5)作为 \（\mu（s^{*}）=0\）.

关于如何数值追踪同伦路径\（\varGamma_{w^{0}}\）我们可以使用标准的预测-校正程序，它包括三个步骤：第一个预测步骤、中间预测步骤和校正步骤。第一步预测通常通过计算切线方向进行，中间预测步骤通常使用割线方向进行，修正步骤通常通过牛顿迭代来求解增广系统。

对于第一个预测器步骤，同伦路径上一点的切线向量\（\varGamma_{w^{0}}\）有两个方向：一个正方向使弧长秒逐渐增加，一个负方向使弧长秒逐渐减少。因为负方向会导致同伦路径\（\varGamma_{w^{0}}\）回到初始点\（（w（0），\mu（0））=（w^{0}，1）\），我们必须沿着正方向追踪同伦路径。根据同伦方法的基本理论ν在任何时候\（（w，\mu）\）属于\（\varGamma_{w^{0}}\）必须保持以下行列式的符号不变：

$$\begin{aligned}&\begin{vmatrix}\mathit{DH}（w（s），w^{0}，\mu（s））\\nu^{T}\end{vmmatrix}。\结束{对齐}$$

提议4.1

如果同伦路径 \（\varGamma_{w^{0}}\）是平滑的,然后是正方向 \（\nu^{0}\）在初始点 \（w^{0}\）满足

$$\begin{aligned}&\operatorname{sign}\begin{vmatrix}\mathit{DH}（w^{0}，w^{0:}，1）\\nu{0}}^{T}\end{vmmatrix}=（-1）^{（m+3）+（2m-1）+1}。\结束{对齐}$$

证明

我们有移位的约束函数\（\widetilde{g{i}}（\theta，\mu）=g{i{（\ttheta）-\mu^{sigma}\tau）,\（{\mathbb{R}}_{++}\中的tau\）和\（\widetilde{h{j}}（\theta，\mu）=h{j{（\ttheta）-\muh{jneneneep（\theta^{0}）\）,\（nabla\widetilde{g{i}}（\theta，\mu）=nablag{i{（\ttheta））和\（\nabla\widetilde｛h｛j｝｝（\theta，\mu）=\nablah｛j｝（\theta）\）.从矩阵

$$\begin{aligned}和\mathit{DH}\bigl（w，w^{0}，\mu\bigr）=\frac{\partial H（w，w^{0{，\mo）}{\parial（w，\mu）}=\begin{pmatrix}\varPi&（1-\mu T}&\运算符名称{diag}（\widetilde{g}，\theta，\mu）&0&\varXi\\nabla H（\theta）^{T}&0&0&-h（\theta^{0}）\end{pmatrix}，\end{aligned}$$

哪里\（\varPi=（1-\mu）（\nabla^｛2｝F（θ）+\sum_｛i=1｝^｛m+3｝y _｛i｝\nabla^｛2｝\widetilde）{克}_{i} （θ，μ）+sum{j=1}^{2m-1}赫兹{j}\nabla^{2}h{j}（θ）+\mu I）,\（\varLambda=-\nabla F（θ）-\nablag（θ）y+\theta-\theta^{0}+（1-2\mu）\xi\）和\（\varXi=-\sigma\mu^{\sigma-1}Y\tau+\eta\），对于初始点\（w^{0}=（θ，y^{0{，z^{0neneneep）、和通过使用\（z^{0}=0\），我们可以获得

$$\begin{aligned}和\mathit{DH}\bigl（w^{0}，w^{0}，1\bigr）=\begin{pmatrix}I&0&\nabla h \varXi^{0}\\nabla h（\theta^{0{）^{T}&0&-h（\theta ^{0neneneep）\end{pmatrix}=（\varUpsilon_{1}，\varUpsilon_{2}），\结束{对齐}$$

哪里\（在{mathbb{R}}^{[4m+（m+3）+（2m-1）]\次[4m+,\（在{mathbb{R}}^{[4m+（m+3）+（2m-1）]\乘以1}\）.切线向量\（\nu{^{0}}^{T}=（\nu_{1}{^{0}^{T}，\nu_2}^{0）\）属于\（\varGamma_{w^{0}}\）在这一点上\（（w ^｛0｝，1）\）满足

$$开始{aligned}&（\varUpsilon_{1}，\varUpsilon_{2}）开始{pmatrix}$$

哪里\（[4m+（m+3）+（2m-1）]\乘以1}\）和\（R中的\nu_{2}^{0}\）通过简单的计算，我们可以得到\（\nu_{1}^{0}=-\varUpsilon_{1{^{-1}\varUpsilon_{2}\nu_}2}^{0}\）.然后我们可以得到以下行列式：

$$\begin{aligned}&\begin{vmatrix}\mathit{DH}（w^{0}，w^{01}，1）\\nu{0}^{T}\end{vmmatrix}\\&\quad=\begin\vmatrix}\varUpsilon{1}&\varUpsilon{2}\\nu}{0{T}&\nu{2{0}\end{vmatricx}=\being{vmattrix}atrix}\varUpsilon_{1}&\varUpsilon_{2}\\-\varUpsilon_{2]^{T}\varUpsilon_}1}^{T{&1\end{vmatrix{nu_2}^{0}\\&\quad=\begin{vmatrix}\varUpsilon_{1}&\varUpsilon_{2}\\0&\varUpsilon_}2}^{T}\varUpsilon_}1}^{-T}\varUpsilon__1}^{-1}\varSupsilon_2}+1\end{vmatricx}\nu_2}^{0}=\vert\varUpsilon_{1{vert\nu_2}^{0{（\varUpsilon_{2}^{T}\varUpsilon_{1}^{-T}\var Upsilon_{1}^{-1}\varUpsilon_}2}+1\biger）\\&\quad=\begin{vmatrix}I&0&\nabla h（\theta^{0}）\\Y^{0{nabla\widetilde{g}（\theta ^{0neneneep，1）^{T}&\operatorname{diag}^{T}\varUpsilon_{1}^{-T}\valUpsilon_{1}^{-1}\varUpsilon_{2}+1\biger）\\&\quad=\begin{vmatrix}I&0&&nabla h（θ^｛0｝）\\Y^｛0｝\nabla\widetilde｛g｝（θ^｛0｝，1）^｛T｝&&operatorname｛diag｝（\ widetilde｛g｝（θ^｛0｝，1））&0\\0&0&&nabla h（θ^｛0｝）^｛T｝\nabla h（θ^｛0｝）\ end｛vmatrix｝\nu _｛2｝^｛0｝\bigl（\varUpsilon _｛2｝^｛T｝\varUpsilon _｛1｝^｛-T｝\varUpsilon _｛1｝^｛-1｝\varUpsilon _｛2｝+1\bigr）\\&\quad=\bigl\vert-\nabla h\bigl}\nu_{2}^{0}\bigl\\&\quad=（-1）^{2m-1}\bigl\vert\nabla h\bigl}^{T}\varUpsilon_{1}^{-T}\varUpsilon_}1}^}-1}\varUpsilon_[2}+1\biger）。\结束{对齐}$$

自\（\widetilde{g}（\theta^{0}，1）<0\）,\（\varUpsilon_{2}^{T}\varUpsilon_{1}^{-T}\var Upsilon_{1}^{-1}\varUpsilon_}2}+1>0\），以及最后一个元素\（\nu_{2}^{0}\）正向的\（\nu^{0}\）应该是负数，行列式的符号

$$\begin{aligned}&\begin{vmatrix}\mathit{DH}（w^{0}，w^{0}，1）\\nu{0}^{T}\end{vmmatrix}\text{is}（-1）^{（m+3）+（2m-1）+1}。\结束{对齐}$$

证据完整。□

为了完成这项研究，这里提出了一个详细的预测-校正算法。

算法4.1

• 步骤1。初始化。

  考虑到风险规避效用\（v（\cdot）\），分布密度函数\（f（x，a）\），最小预期效用\（V_{0}\），数字米节点和向量的\（{\mathbb{R}}_{++}^{m+3}中的\tau\），制定\（F（θ））,\（g（θ））,\（h（θ）），偏移的约束函数\（\波浪线{g}（\θ，\μ）\），同伦映射H（H）及其雅可比矩阵。给定一个随机选择的向量\（在｛\mathbb｛R｝｝^｛4m｝中）和一个正向量\（在{\mathbb{R}}_{++}^{m+3}\中的\eta\），设置精度参数\（瓦雷普西隆{1}\geq\varepsi隆{2}>0\），初始点\（\θ^｛0｝\在V\subet \ varOmega ^｛0｝（1）\中），初始步长\（\lambda_{0}>0\），最小步长\（\lambda_{\min}\），最大步长\（\lambda_{\max}\），最大数量N̄校正步骤的阈值\（\epsilon_{\alpha}\）对于两个相邻预测方向之间的角度，阶跃收缩因子\（\ε{1}\）,\（\ε{2}\）和\（\ε{3}\），阶跃膨胀系数\（\epsilon_{4}\）和\（ε{5}），和阈值\（0<\epsilon_{\mu}<1\）开始最后的比赛。设置\（k=0）.

• 第2步。第一个预测步骤。

  • 如果\（k=0），套\（\hat{\lambda}=\lambda{0}\）,\（瓦雷普西隆=瓦雷普西隆{1}）;

    • 让\（\nu^{-1}=（0，\ldots，0，-1）^{T}\在{\mathbb{R}}^{4m+（m+3）+（2m-1）+1}\中并计算预测步长ν通过

      $$\begin{aligned}&\begin{pmatrix}\mathit{DH}$$

    • 设置\（\Vert\nu^{0}\Vert=\frac{nu}{\Vert\nu\Vert}\）.确定最小非负整数我这样的话

      $$\开始{对齐}和w^{1,0}，\mu_{1,0{）=\bigl（w^{0}、\mu_}0}\bigr）+\epsilon_{3}^{i}\hat{\lambda}\nu^{0{在\varOmega（\mu_[1,0}）\times{\mathbb{R}_{+}^{m+3}\times{mathbb}{R}}^{2m-1}\times（0,1），\end{对齐}$$

      设置\（\hat{\lambda}=\epsilon_{3}^{i}\hat}\lambda}\）;

    • 转至步骤3；

  • 否则，执行中间预测器步骤。

    • 让\（nu^{k}=（（w^{k{，\mu_{k}）-，确定最小非负整数我这样的话

      $$开始{对齐}和\bigl 2m-1}\倍（0,1）；\结束{对齐}$$

    • 设置\（\hat{\lambda}=\epsilon_{3}^{i}\hat}\lambda}\）;

  • 转至步骤3。

• 步骤3。校正步骤。

  • 设置\（j=0）.重复；计算牛顿步长ν̂通过求解以下扩充系统：

    $$\begin{aligned}&\begin{pmatrix}\mathit{DH}（w^{k+1，j}，w^{0}，\mu_{k+1、j}）\\$$

  • 确定最小非负整数我这样的话

    $$开始{对齐}和\bigl（w^{k+1，j+1}，\mu_{k+1、j+1}\biger{\mathbb{R}}^{2m-1}\倍（0,1）。\结束{对齐}$$

  • 如果\（\Vert H（w^{k+1，j+1}，w^{0}，\mu_{k+1、j+1}）

    • 设置\（j=j+1）.

  • 其他

    • 设置\（j=\bar{N}\）,\（（w^{k+1，j}，\mu{k+1，直到

      $$\begin{aligned}和\bigl\Vert H\bigl（w^{k+1，j}，w^{0}，\mu_{k+1、j}\bigr）\bigr\Vert_{\infty}\leq\varepsilon\quad\text{或}\quad j=\bar{N}；\结束{对齐}$$

    • 转至步骤4。

• 步骤4。步长策略。

  • 如果\（j=\bar{N}\）,\（\垂直H（w^{k+1，j}，w^{0}，\mu_{k+1、j}）\Vert_{infty}>\varepsilon\）,

    • 设置\（\hat{\lambda}=\max\{\lampda{\min}，\epsilon{2}\hat}\lambda}\}\）和\（（w^{k+1,0}，\mu{k+1.0}）=（w^}k}，\ mu{k}）+\hat{lambda}\nu^{k}\）;

    • 转至步骤3；

  • 其他

    • 设置\（（w^{k+1}，\mu{k+1}）=（w^}k+1，j}，\ mu{k+1,j}），调整步长λ̂如下：

      • 如果\（（（^{k}）^{T}，套\（\hat{\lambda}=\max\{\lampda{\min}，\epsilon{1}\hat}\lambda}\}\）;

      • 如果\（j>3），套\（\hat{\lambda}=\max\{\lampda{\min}，\epsilon{2}\hat}\lambda}\}\）;

      • 如果\（j=2 \），套\（\hat{\lambda}=\min\{\lampda{\max}，\epsilon_{4}\hat}\lambda}\}\）;

      • 如果\（j<2），套\（\hat{\lambda}=\min\{\lampda{\max}，\epsilon_{5}\hat}\lambda}\}\）;

  • 如果\（\mu_{k+1}<\epsilon_{\mu}），转至步骤5。

  • 如果\（\垂直H（w^{k+1}，w^{0}，0）\Vert_{infty}\leq\varepsilon_{2}\）和\（w^{k+1}\）是可行的，然后停止。\（\bar{w}=w^{k+1}\）是KKT系统的计算解(5). 因此，\（\bar{a}=a^{k}\）是最佳操作\（s{i}^{k+1}（x）=p_{i}^{k+1}x^{2}+q{i}^{k+1}x+r{i}|{k+1{）,\（i=1,2，\ldot，m）是二次样条合同函数。

  • 设置\（\varepsilon=\min\{\mu_{k+1}，\varepsilon_{1}\}）,\（k=k+1）.

• 步骤5。游戏结束了。

  • 设置\（j=0）,\（w^{k+1,0}=w^{k+1}\）;

  • 重复；

    • 计算牛顿步长\（\nu_{\mathrm{end}}\）通过求解方程

      • \（分数{\部分H}{\部分w}（w^{k+1,0}，w^{0}、0）\nu_{\mathrm{end}}=-H（w^{k+1，j}，w^{0{，0）\）,

      • 设置\（w^{k+1，j+1}=w^{k+1，j}+nu{mathrm{end}}）,

      • \（j=j+1）;

    • 直到，\（\垂直H（w^{k+1，j}，w^{0}，0）\Vert_{infty}\leq\varepsilon_{2}\）或\（j=\bar{N}\）;

  • 如果\（\垂直H（w^{k+1，j}，w^{0}，0）\Vert_{infty}\leq\varepsilon_{2}\）和\（w ^｛k+1，j｝\）是可行的，然后停止。\（\bar{w}=w^{k+1，j}\）是KKT系统的计算解(5). 因此，\（\bar{a}=a^{k+1，j}\）是最佳操作\（s{i}^{k+1，j}（x）=p_{i}^{k+1,j}x^{2}+q{i}_^{k+1，j}x+r{i}_（k+1，j）,\（i=1,2，\ldot，m）是二次样条合同函数。

  • 否则，设置\（ε{t}=0.1\ε{mu}）.

5结论

为了设计离散未知节点情况下的二次样条合同函数，本文构造了一种改进的约束移位同伦算法来求解委托代理问题。然后在温和的条件下证明了具有样条契约函数的委托代理问题KKT系统全局收敛解的存在性。该算法只要求任何初始点位于移位可行集内，而不一定位于原始可行集内。我们在本文中的贡献是理论上的，CSCH性能的数值模拟可以像参考文献中那样实现。[21,22]. 有关解决优化问题的算法的更多讨论，请参见，例如[36,37,38].