基于广义分数次共形积分的Chebyshev型不等式

摘要

本文的目的是建立几个涉及T.U.Khan和M.A.Khan（J.Compute.Appl.Math.346:378–389，2019). 此外，作为主要结果的一个特殊结果，我们还提出了涉及Riemann–Liouville型分数次共形积分算子的Chebyshev型不等式。

1介绍

分数微积分是对实数或复数阶进行微分和积分的一种非常有用的工具。在过去的几十年里，这一课题受到了研究人员和数学家的高度重视。从经典的Riemann–Liouville分数积分和导数算子开始，已经提出了大量分数积分和微分算子及其推广（参见，例如[2,三,4]). 在大量发展起来的分数阶积分算子中，由于在许多科学领域的应用，黎曼–刘维尔分数阶积分算符得到了广泛的研究。带权函数的积分被用于许多数学问题，如近似理论、谱分析、统计分析和统计分布理论。最近，Khan等人[5]建立了Hermite–Hadamard型不等式及其应用。在[6]，作者建立了包含保形分数积分的Ostrowski型不等式。在[7,8,9,10]，作者通过预不变凸函数引入了共形分数次积分的Hermite–Hadamard–Fejer不等式，通过GG凸和GA凸引入了广义不等式，通过Montgomery恒等式引入了Hermite-Hadamard-Fejer型不等式，与共形分数积分有关的Hermite–Hadamard型不等式及其应用。Rahman等人[11]建立了某些涉及分数保形积分算子的Chebyshev型不等式。在[12]，作者通过广义比例分数积分算子引入了Minkowski不等式。在Nisar等人的工作中发现了一些涉及分数次共形积分的新不等式[13]. 此外，许多研究人员（参见，例如[14,15,16,17,18,19,20,21,22,23])通过使用Riemann–Liouville分数次积分和导数算子及其推广，建立了各种不等式。

回忆一下切比雪夫不等式[24]对于两个可积同步函数Φ和Ψ定义于\（[a，b]\）

$$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\varPhi（θ）\varPsi（θ）$$

(1)

这两个功能Φ和Ψ被称为同步开启\（[a，b]\）如果

$$\bigl（\varPhi（\zeta）-\varPhi（\varrho）\bigr）\bigl$$

(2)

在[25,26,27,28]，不同的研究人员研究并介绍了不等式的各种推广(1). 在[29]Belarbi和Dahmani通过Riemann–Liouville分数次积分算子建立了与Chebyshev不等式相关的以下结果。

定理1.1

假设 Φ 和 Ψ 上定义了两个同步函数吗 \（[0，\infty）\）.那么下面的不等式适用于所有人 \（θ>0）,\（\xi>0\）:

$$\mathcal{I}^{xi}（\varPhi\varPsi）（\θ）\geq\frac{\varGamma（\xi+1）}{\theta^{\xi}}\mathcal{I}^{\xi}\varPhi（\theta）\mathcali{I}{{\xi{\varPti（\theda）$$

(3)

定理1.2

假设 Φ 和 Ψ 是在上定义的两个同步函数 \（[0，\infty）\）.那么下面的不等式适用于所有人 \（θ>0\）,\（\xi>0\）,\（\lambda>0）:

$$\frac{\theta^{\xi}}{\varGamma（\xi+1）}\mathcal{I}^{\lambda}（\varPhi\varPsi）（\theta）+\frac{\theta ^{\lambda}}{\varGamma（\lambda+1）}\mathcal{I}（\ varPhi\farPsi）al{I}^{\lambda}\varPsi（\theta）+\mathcal{I{^{\lambda}\varPhi（\theda）\mathcal{I}^{\xi}\varPsi（θ）$$

(4)

定理1.3

假设 \（（\varPhi_{j}）_{j=1，\ldot，n}） 是 n个 正增长函数定义于 \（[0，\infty）\）.那么以下不等式适用于任何情况 \（θ>0）,\（\xi>0\）:

$$\mathcal{I}^{\xi}\Biggl（\prod_{j=1}^{n}\varPhi_{j}\bigr）$$

(5)

定理1.4

假设 Φ 和 Ψ 是在上定义的两个函数 \（[0，\infty）\） 这样的话 Φ 正在增加,Ψ 是可微的,存在一个实数 \（m:=\inf_{\theta\geq0}g^{\trime}（\theta）\）.那么以下不等式对所有人都有效 \（θ>0）,\（\xi>0\）:

$$\mathcal｛I｝^｛\xi｝（\varPhi\varPsi）（\theta）\geq\bigl（\mathcal｛I｝^｛\xi｝（1）\bigr）^｛-1｝\mathcal｛I｝^｛\xi｝\varPhi（\theta）\mathcal｛I｝^｛\xi｝\varPsi（\theta）-\frac｛m\theta｝｛\xi+1｝\mathcal｛I｝^｛\xi｝\bigl（\theta varPsi（θ）\bigr）$$

（6）

左、右广义分数阶共形积分算子分别在[1]如下：

$$\begin｛aligned｝_｛\xi｝^｛\eta｝\mathcal{我}_{a^{+}}^{\lambda}\varPhi（\theta）=\frac{1}{\varGamma（\lambda}}\，d\tau，\quad\theta>a，\end{aligned}$$

(7)

和

$$\开始{对齐}_{\xi}^{\eta}\mathcal{我}_{b^{-}}^{\lambda}\varPhi（\theta）=\frac{1}{\varGamma（\lambda}，d\tau，\quad\theta<b，\end{对齐}$$

(8)

哪里\（\lambda\in\mathbb{C}\）,\（Re（lambda）>0）,\（xi\ in（0,1]\）,\（\eta\in\mathbb{R}\）,\（\xi+\eta\neq 0\）、和Γ是众所周知的伽玛函数吗[30].

备注1

（i） 如果\（eta=0）英寸(7)以及(8)，则我们有以下Riemann–Liouville型分数次共形积分算子：

$$\开始{aligned}_{\xi}\mathcal{我}_{a^{+}}^{\lambda}\varPhi（\theta）=\frac{1}{\varGamma（\lambda>a，\结束{对齐}$$

(9)

和

$$\开始{aligned}_{\xi}\mathcal{我}_{b^{-}}^{\lambda}\varPhi（\theta）=\frac{1}{\varGamma（\lambda）}\int_{\theta}^{b}\biggl<b，\end{对齐}$$

(10)

哪里\（\lambda\in\mathbb{C}\）,\（Re（lambda）>0）,\（xi\ in（0,1]\）.

（ii）如果\（xi=1）英寸(9)以及(10)，然后我们得到以下Riemann–Liouville分数次积分算子：

$$\开始{aligned}\mathcal{我}_{a^{+}}^{\lambda}\varPhi（\tea）=\frac{1}{\varGamma（\lambda）}\int_{a}^{theta}（\tea-\tau）$$

(11)

和

$$\开始{aligned}\mathcal{我}_{b^{-}}^{\lambda}\varPhi（\theta）=\frac{1}{\varGamma（\lambda）}\int_{\theta}^{b}（\tau-\theta$$

(12)

哪里\（\lambda\in\mathbb{C}\）,\（Re（lambda）>0）.

在本文中，我们考虑了以下关于共形可积函数的单边分数次共形积分算子Φ:

$$\begin｛aligned｝_｛\xi｝^｛\eta｝\mathcal｛I｝^｛\lambda｝\varPhi（\theta）=\frac｛1｝｛\varGamma（\lambda）｝\int _｛0｝^｛\theta｝\biggl（\frac｛\theta ^｛\xi+\eta｝-\tau ^｛\xi+\eta｝｝｛\xi+\eta｝\biggr）^｛\lambda-1｝\frac｛\varPhi（\tau）｝$$

(13)

哪里\（\lambda\in\mathbb{C}\）,\（Re（lambda）>0）,\（xi\ in（0,1]\）,\（\eta\in\mathbb{R}\）、和\（\xi+\eta\neq 0\）.

备注2

（i） 当我们让\（eta=0），然后(13)将导致以下Riemann–Liouville型分数阶共形积分算子：

$$开始{aligned}_{xi}\mathcal{I}^{\lambda}\varPhi（\theta）=\frac{1}{\varGamma（\lambda）}\int_{0}^{\theta}\biggl（\frac}\theta^{\xi}-\tau^{xi}}{\xi{\biggr）\，d\tau。\结束{对齐}$$

(14)

（ii）当我们\（eta=0）和\（\xi=1\），然后(13)将产生以下Riemann–Liouville分数积分算子：

$$开始{aligned}\mathcal{I}^{\lambda}\varPhi（\tea）=\frac{1}{\varGamma（\lambda）}\int_{0}^{\tea（\tea-\tau）^{\lambda-1}\varPhi（\tao）\，d\tau。\结束{对齐}$$

（15）

我们的目的是为一个新的广义积分建立具有两个同步函数的切比雪夫型不等式。

2主要成果

在本节中，我们给出了涉及广义分数次共形积分算子的切比雪夫型不等式(13).

定理2.1

让 Φ 和 Ψ 是两个同步的可积函数 \（[0，\infty）\）.然后

$$\bigl（{}_{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\varPsi\biger）\biger）（\theta）\bigl（{}_{xi}^{\ta}\mathcal{I}^{\lambda}\varPsi\bigr）（\tea）$$

(16)

哪里 \（\lambda\in\mathbb{C}\）,\（Re（lambda）>0）,\（xi\ in（0,1]\）,\（\eta\in\mathbb{R}\）,\（\xi+\eta\neq 0\）,和 Γ 是伽马函数.

证明

自Φ和Ψ同步开启\（[0，\infty）\），我们有

$$\bigl（\varPhi（\zeta）-\varPhi（\varrho）\bigr）$$

(17)

或同等

$$\varPhi（\zeta）\varPsi（\zeda）+\varPhi（\varrho）\varPsi$$

(18)

将的两边相乘(18)由\（\frac{1}{\varGamma（\lambda）\zeta^{1-\xi-\eta}}（\frac{\theta^{\xi+\eta{-\zeta_{\xi+/eta}{\xi++\etaneneneep）^{\lambda-1}）并将所得不等式与ζ结束\（（0，\θ）\），我们得到

$$\开始{对齐}和\frac{1}{\varGamma（\lambda）}\int_{0}^{\theta}\biggl（\frac}\theta^{\xi+\eta}-\zeta^{\si+\eta}}{\xi}\bigr）^{\lambda-1}\frac{\varPhi（\zeta）\varPsi（\ze塔）}{\zeta_^{1-\xi-\eta{}}\，d\zeta+\ frac{1}{\varGamma（\lambda）}\int_{0}^{\theta}\biggl（\frac{\theta ^{xi+\tata}-\zeta^{xi+/eta}}{\xi+\eta}\biggr）^{\lambda-1}\frac{\varPhi（\varrho）\varPsi（\varhro）}{\zeta^{1-\xi-\eta{}\，d\zeta\\&\quad\geq\frac}{\varGamma（\lambda）}\int_{0}^{\theta}\bigl}{\xi+\eta}\biggr）^{\lambda-1}\frac{\varPhi（\zeta）\varPsi（\varrho）}{\zeta^{1-\xi-\eta{，d\zeta\\&\qquad{}+\frac{1}{\varGamma（\lambda）}\int_{0}^{\theta}\biggl}\，d\zeta。\结束{对齐}$$

由此可见

$$\begin｛aligned｝&&bigl（｛｝_｛\xi｝^｛\eta｝\mathcal｛I｝^｛\lambda｝\varPhi\varPsi\bigr）（\theta）+\varPhi（\varrho）\varPsi（\varrho）\frac｛1｝｛\varGamma（\lambda）｝\int _｛0｝^｛\theta｝\biggl｛d\zeta｝｛zeta ^｛1-\xi-\eta｝}\\&\quad\geq\varPsi（\varrho）\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{\slambda}\varPhi\bigr）（\teta）+\varPhi（\varhro）\bigl（}_{\si}^{\ta}\mathcal{I}^{\ lambda{\varPsi\biger）（\theta）。\结束{对齐}$$

因此，我们得到

$$\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{\slambda}\varPhi\varPsi\bigr）（\theta）+\frac{\theta^{（\xi+\eta）\lambda{}{\varGamma（\lambda+1）（\xi+/eta）^{\lambda}}\varPsi（\varrho）\varPsi（\varhro）\geq\varPti（\varrro）\bigl_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\bigr）（\theta）+\varPhi（\varrho）\bigl（{}_{\xi}^{\ta}\mathcal{I}^{\lambda}\varPsi\bigr）（\theta）$$

(19)

哪里

$$\int_{0}^{\theta}\biggl（\frac{\theta ^{\xi+\eta}-\zeta^{\xi+\eta}}{\xi+\eta{\biggr）^{\lambda-1}\frac}d\zeta}{\zeta{1-\xi-\etaneneneep}=\ frac{\theta ^{（\xi+\ta）\lambda}{\lampda（\xi+\ eta）^{\ lambda}}$$

将的两边相乘(19)由\（\frac{1}{\varGamma（\lambda）\varrho^{1-\xi-\eta}}（\frac{\theta^{\xi+\eta{-\varrho ^{\xi+\eta}}{\xi+/eta}）^{\lambda-1}）并将所得恒等式与ϱ结束\（（0，θ），我们得到

$$开始{对齐}和\bigl（{}_{xi}^{eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\varPsi\bigr）\lambda-1}\frac{d\varrho}{\varrho^{1-\xi-\eta}}\\&\qquad{}+\frac}\theta^{（\xi+\eta）\lambda}}{\varGamma（\lambda+1）（\xi+\eta）^{\lambda}}\frac{1}{\varGamma（\ lambda）}\int_{0}^{\theta}\biggl{\varrho^{1-\xi-\eta}}\，d\varrho\\&\quad\geq\bigl（{}_{\xi}^{\eta{\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\bigr）（θ）\frac{1}{\varGamma（\lambda）}\int_{0}^{\theta}\biggl（\frac{\theta ^{\xi+\eta}-\varrho^{\xi+\eta}}{\xi+/eta}\bigr）}+\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPsi\bigr）（\theta）\frac{1}{\varGamma（\lambda）}\int_{0}^{\theta}\biggl（\frac{\theta ^{\xi+\eta}-\varrho^{\xi+\eta}}{\xi+/eta}\bigr）^{\lambda-1}\frac}\varPhi（\varrho）}{\varrhoS{1-\xi-\eta{}\，d\varrho。\结束{对齐}$$

由此可见

$$开始{对齐}和\frac{\theta^{（\xi+\eta）\lambda}}{\varGamma（\lambda+1）1）（\xi+\eta）^{\lambda}}\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{\lambda}\varPhi\varPsi\bigr）（θ）\&\quad\geq\bigl（{}_{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\bigr）\biger）（\theta）\bigl（{}_{xi}^{\ta}\mathcal{I}^{\lambda}\varPsi\bigr）（\tea），\end{aligned}$$

这就完成了所需的证明。□

推论1

让 Φ 和 Ψ 是两个同步的可积函数 \（[0，\infty）\）.然后

$$\bigl（{}_{\xi}\mathcal{I}^{\lambda}\varPhi\varPsi\biger）^{\lambda}\varPsi\bigr）（\theta）$$

(20)

哪里 \（xi\ in（0,1]\）,\（\lambda\in\mathbb{C}\）,和 \（Re（lambda）>0）.

证明

如果我们采取\（eta=0）在定理中2.1，然后我们得到了涉及Riemann–Liouville型共形分数次积分的期望不等式。□

备注3

应用定理2.1对于\（eta=0）和\（xi=1）将给出定理1.1.

定理2.2

让 Φ 和 Ψ 是两个同步的可积函数 \（[0，\infty）\）.然后

$$开始{对齐}和\frac{\theta^{（\xi+\eta）\tau}}{\varGamma（\tau+1）（\xi+/\eta 1）（\xi+\eta）^{\lambda}}\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{\tau}\varPhi\varPsi\bigr）（\theta）\\&\quad\geq\bigl（{}_{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\biger）\theta）\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPsi\bigr）（\theta，\end{aligned}$$

(21)

哪里 \（\lambda，\tau\in\mathbb{C}\）,\（Re（lambda）>0）,\（Re（\tau）>0）,\（xi\ in（0,1]\）,\（\eta\in\mathbb{R}\）,和 \（\xi+\eta\neq 0\）.

证明

将的两边相乘(19)由\（frac{1}{\varGamma（\tau）\varrho^{1-\xi-\eta}}并将所得不等式与ϱ结束\（（0，θ），我们得到

$$开始{对齐}和\frac{（{}_{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\varPsi）（\theta）}{\varGamma（\tau）}\int_{0}^{\theta}\biggl（\frac{\theta \frac{d\varrho}{1\varrho ^{1-\xi-\eta}}\\&\quad{}+\frac}\theta^{（\xi+\eta）\lambda}}{\varGamma（\lambda+1）（\xi+\eta）^{\lambda}}\frac{1}{\varGamma（\tau）}\int_{0}^{\theta}\biggl（\frac}\theta^{\xi+\teta}-\varrho^{\xi+\eta}}{\xi+/eta}\bigr）-\eta}}\，d\varrho\\&\geq\frac{（{}_{xi}^{\ta}\mathcal{I}^{\lambda}\varPhi）（\theta）}{\varGamma（\tau）}\int_{0}^{\theta}\biggl（\frac{\theta ^{\xi+\eta}-\varrho^{\xi+\eta}}{\xi+/eta}\bigr）数学{I}^{\lambda}\varPsi）（\theta）}{\varGamma（\tau）}\int_{0}^{\theta}\biggl（\trac{\theta ^{\xi+\teta}-\varrho^{\xi+\eta}}{\xi+/\eta{\biggr）^{\tau-1}\frac{\varPhi（\varrho）}{\varrho2{1-\xi-\etaneneneep}\，d\varrho。\结束{对齐}$$

因此，我们有

$$开始{对齐}和\frac{\theta^{（\xi+\eta）\tau}}{\varGamma（\tau+1）（\xi+/\eta 1）（\xi+\eta）^{\lambda}}\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{\tau}\varPhi\varPsi\bigr）（\theta）\\&\quad\geq\bigl（{}_{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\biger）\theta）\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPsi\bigr）（\theta，\end{aligned}$$

从而完成了所需的定理证明2.2. □

备注4

如果我们考虑\（τ=λ）在定理中2.2，然后我们得到定理2.1.

推论2

假设 Φ 和 Ψ 是两个同步的可积函数 \（[0，\infty）\）.然后

$$开始{对齐}和\frac{\theta^{\xi\tau}}{\varGamma（\tau+1）\xi^{\tau}{\bigl（{}_{xi}\mathcal{I}^{\lambda}\varPhi\varPsi\bigr）\mathcal{I}^{tau}\varPhi\varPsi\bigr）（\theta）\\&\quad\geq\bigl（{}_{xi}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\bigr）（θ）\bigl$$

(22)

哪里 \（\lambda，\tau\in\mathbb{C}\）,\（\Re（\lambda）>0\）,\（Re（\tau）>0）,\（xi\ in（0,1]\）.

证明

如果我们采取\（eta=0）在定理中2.2，则我们得到了所需的涉及黎曼-刘维尔型分数保形积分算子的不等式。□

备注5

如果我们考虑\（eta=0）和\（xi=1） 2.2，然后我们得到定理1.2.

备注6

定理中的不等式2.1和2.2如果函数在上异步，则将反转\（[0，\infty）\）.

定理2.3

让 \（（\varPhi _｛j｝）_｛j=1,2，\ldots，n｝\） 是 n个 正递增函数 \（[0，\infty）\）.然后,对于 \（θ>0）,\（xi\ in（0,1]\）,\（\eta\in\mathbb{R}\）,\（\lambda\in\mathbb{C}\）,我们有

$${}{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\Biggl（\prod_{j=1}^{n}\varPhi{j}\bigr）^{\eta}\mathcal{I}^{\lambda}\varPhi_{j}\bigr）（\theta）$$

(23)

证明

为了证明这个定理，我们对n个显然，对于\（n=1），我们有

$${}{\xi}^{\ta}\mathcal{I}^{\lambda}（\varPhi{1}）$$

持有。对于\（n=2），自\（\varPhi_{1}\）和\（\varPhi_{2}\）是积极的和增加的功能，因此我们有

$$\开始{aligned}\bigl（\varPhi_{1}（\theta）-\varPhi _{1{（y）\bigr）\bigle。\结束{对齐}$$

因此，通过应用定理2.1，我们获得

$${}{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}（\varPhi_{1}\varPhi{2}）（θ）{}{xi}^{eta}\mathcal{I}^{lambda}（\varPhi{2}）（θ$$

现在，假设通过归纳假设

$$开始{对齐}{}{{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\Biggl（\prod_{j=1}^{n-1}\varPhi{j}\bigr）}_{xi}^{eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi{j}\biger）（\theta），\tquad\theta>0。\结束｛对齐｝$$

(24)

自\（\varPhi_{j}\）；\（j=1,2，\ldot，n），是正的递增函数\（\mathbb{R^{+}}\），因此\（g:=\prod_{j=1}^{n-1}\varPhi_{j}\）正在上增加\（\mathbb{R^{+}}\）.让\（h:=\varPhi _｛n｝\）.应用定理2.1到功能Φ和Ψ，我们有

$$开始{对齐}&{}_{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\Biggl（\prod_{j=1}^{n}\varPhi{j}\bigr）\mathcal{I}^{\lambda}（1）\bigr）^{-1}{}{{xi}^{\ta}\mathcal{I}^{\lambda}\Biggl（\prod_{j=1}^{n-1}\varPhi_{j}\bigr）（\tea）\bigl（{}_{xi}^{eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi_{n}\biger）（\theta）。\结束{对齐}$$

通过使用(24)，我们获得

$$开始{对齐}和{}{{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\Biggl（\prod_{j=1}^{n}\varPhi{j}\bigr）（\theta）\geq\bigl \mathcal{I}^{\lambda}（1）\bigr）^{2-n}\Biggl（{}_{xi}^{\ta}\mathcal{I}^{\lambda}\prod_{j=1}^{n-1}\varPhi_{j}\bigr）（\theta）\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi_{n}\bigr）（\theta），\end{aligned}$$

从而完成所需的证明。□

推论3

假设 \（（\varPhi_{j}）_{j=1,2，\ldot，n}） 是 n个 正递增函数 \（[0，\infty）\）.然后,对于 \（θ>0）,\（xi\ in（0,1]\）,\（\lambda\in\mathbb{C}\）,和 \（Re（lambda）>0）,我们有

$${}{\xi}\mathcal{I}^{\lambda}\Biggl（\prod_{j=1}^{n}\varPhi{j}\bigr）}\varPhi_{j}\biger）（\theta）$$

(25)

证明

如果我们允许\（eta=0）在定理中2.3，然后我们得到了涉及Riemann–Liouville型分数次共形积分算子的期望推论。□

备注7

如果我们允许\（eta=0）和\（xi=1）在定理中2.3，我们得到定理1.3.

定理2.4

让 \（xi\ in（0,1]\）,\（\eta\in\mathbb{R}\）,\（\lambda\in\mathbb{C}\）,\（\Re（\lambda）>0\）,和 \（\xi+\eta\neq 0\）.阿尔索,让两个函数 \（\varPhi，\varPsi:\mathbb{右}_{0}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\） 这样的话 Φ 正在增加并且 Ψ 可与微分 \（\varPsi^{\prime}\） 在下面有界,然后让 \（m=inf_{theta\inmathbb{右}_{0}^{+}}\varPsi^{\prime}（\theta）\）.然后

$$开始{aligned}\bigl（{}_{xi}^{eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\varPsi\bigr）（\theta）和\geq\frac{\varGamma（\lambda+1）（\xi+\eta）da}\varPhi\bigr）（\theta）\bigl（{}_{xi}^{\ta}\mathcal{I}^{\lambda}\varPsi\biger）（\tea）\end{aligned}$$

(26)

$$\begin{aligned}和\quad{}-\frac{mx}{（\lambda+1）}\bigl（{}_{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\bigr）（\theta）+m\bigl$$

(27)

哪里 \（i（θ）\） 是标识函数.

证明

让\（\varPsi（\theta）=\varPsi（\theda）-m\theta^{\xi+\ta}\）。我们发现Ψ是可微分的，并且在上递增\（\mathbb{右}_{0}^{+}\).在定理过程中2.3为了清楚起见，让\（p（θ）：=m\theta^{xi+eta}\），我们获得

$$开始{对齐}\bigl（{}_{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}g（h-p）\bigr）（\theta）和\geq\frac{\varGamma（\lambda+1）（\xi+\eta）\varPhi\bigr）（\theta）\bigl（{}_{xi}^{\ta}\mathcal{I}^{\lambda}（h-p）\biger）（\tea）\\&=\frac{\varGamma（\lambda+1）（\xi+\eta）^{\lambda}}{\theta^{\theta）\\&\四{}-\frac{\varGamma（\lambda+1）（\xi+\eta）^{\lambda}}{\theta^{（\xi+/eta）\lambada}}\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\bigr）（\theta）\bigl。\结束{对齐}$$

(28)

我们有

$$\bigl（{}_{\xi}^{\eta}\mathcal{I}^{\slambda}g（h-p）\biger）（\tea）=\bigl（{}_{\xi{^{\eta}\mathcal{I}^{lambda{\varPhi\varPsi\bigr））（θ）$$

(29)

和

$$\bigl（{}_{xi}^{\eta}\mathcal{I}^{lambda}p\biger）$$

(30)

最后使用(29)以及(30)英寸(28)，我们得到了预期的结果。□

推论4

让 \（xi\ in（0,1]\）,\（\lambda\in\mathbb{C}\）,和 \（Re（lambda）>0）.阿尔索,让两个函数 \（\varPhi，\varPsi:\mathbb）{右}_{0}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\） 这样的话 Φ 正在增加并且 Ψ 可与区分 \（\varPsi^{\prime}\） 在下面有界,然后让 \（m=inf_{theta\inmathbb{右}_{0}^{+}}\varPsi^{\prime}（\theta）\）.然后

$$开始{对齐}\bigl（{}_{\xi}\mathcal{I}^{\lambda}\varPhi\varPsi\bigr）xi}\mathcal{I}^{\lambda}\varPsi\bigr）（\theta）\end{aligned}$$

(31)

$$开始{对齐}和\quad{}-\frac{mx}{（\lambda+1）}\bigl（{}_{xi}\mathcal{I}^{lambda}\varPhi\bigr）$$

（32）

哪里 \（i（θ）） 是标识函数.

证明

如果我们采取\（eta=0）在定理中2.4然后我们得到想要的推论4，其中涉及Riemann–Liouville型分数次共形积分算子。□

备注8

如果我们允许\（xi=1）和\（eta=0）在定理中2.4，然后我们得到定理1.4.

三结束语

本文介绍了几个涉及广义共形分数阶积分算子的切比雪夫型不等式。同时，我们给出了一些涉及Riemann–Liouville型共形分数次积分算子的特殊结果。我们观察到，如果我们让\（xi=1）和\（eta=0），则本文中获得的不等式将简化为Belarbi和Dahmani早先获得的不等式[29].