Lyapunov矩阵微分方程的特征值积界与一类时变非线性系统的稳定性

摘要

李亚普诺夫矩阵微分方程在许多科学和工程领域中发挥着重要作用。本文首先给出了函数矩阵导数的特征值与函数矩阵特征值导数之间的一类关系。利用这个关系，我们将Lyapunov矩阵微分方程转化为特征值微分方程。进一步，利用Schur定理，将Hölder积分不等式与算术-几何平均不等式相结合，给出了Lyapunov矩阵微分方程特征值乘积的几个上界和下界。作为控制和优化的一个应用，我们证明了我们的界可以用来讨论一类时变非线性系统的稳定性。最后，我们通过一个数值例子说明了所导出边界的优越性和有效性。

1介绍

考虑以下Lyapunov矩阵微分方程[1]:

$$\dot{P}（t）=A^{H}（t）P（t）+P（t”A（t）+Q（t），\qquad P（t_{0}）=P_{0}=P^{高}_{0}\geq 0$$

(1)

哪里\（A（t）\in\mathbb{C}^{n\timesn}\）,\（Q（t）=Q^{H}（t）\in\mathbb{C}^{n\timesn}\）、和\（Q（t）\geq 0）是的连续函数t吨、和\（P（t）\in\mathbb{C}^{n\timesn}\）是的厄米特半正定解(1).

众所周知，线性矩阵微分方程(1)它具有多种表达方式，通常可以在时变非线性和线性系统中找到。首先，考虑时变非线性系统

$$\textstyle\begin{cases}\dot{x}（t）=A（t）x（t）+\Delta f（x（t$$

(2)

哪里\（x（t），r（t）\in\mathbb{C}^{n}\）、和\（P（t）\）是Lyapunov矩阵微分方程的正定解(1)。在这里\（\Delta f（x（t），\varPhi（t））\）是一个不确定项。在Sect。 5，我们将证明Lyapunov矩阵微分方程的特征值界(1)可以用来讨论时变非线性系统的稳定性(2).

另一方面，有时我们需要考虑时变线性系统

$$\dot{x}（t）=A（t）x（t）+B（t）u（t）$$

(3)

哪里\（A，B:[t_{0}，\infty）\rightarrow\mathbb{C}^{n\timesn}\）给出了时变矩阵。基于(三)，我们还将考虑最优控制问题

$$J（u）=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\bigl[x^{H}（t）Q（t）x（t）+u^{H{（t$$

(4)

哪里\（Q（t）\in\mathbb{C}^{n\timesn}\）是Hermitian正半定的，并且\（R（t），S\in\mathbb{C}^{n\次n}\）都是厄米特正定的。

库塞拉[2]表明（3）的最佳值可以通过取\（u（t）\）你的形状

$$u（t）=-B^{H}（t）P（t）x（t），\quad t\in[t_{0}，t_{f}]$$

哪里\（P（t）\）是以下Riccati矩阵微分方程的唯一Hermite正定解：

$$\dot{P}（t）=A^{H}（t-）P（t）+P（t-$$

(5)

具有终端条件\（P（t_{0}）=S）.

请注意，当\（B（t）=0）和\（P（t_{0}）=P_{0}\）, (4)减少到(1).

此外(1)也表示为以下形式[三]:

$$\dot{P}（t）=A^{H} P（P）（t） +P（t）A+Q$$

(6)

哪里\（A，Q\in\mathbb{C}^{n\timesn}\）,\（Q \ geq 0\）显然(1)比(6).

考虑到它们的应用[1,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12]他们注意到了Lyapunov和Riccati矩阵微分方程解的界。这些包括特征值界限（Mori等人[三]，嗯[4]、傣族和白族[5]、张和刘[6]，Liu等人[7])，跟踪边界（刘和何[8]朱和帕吉拉[9])，标准界限（Patel和Toda[10])和矩阵边界（Jodar和Ponsoda[1]，李[11]，Chen等人[12]).

论文组织如下。在Sect。 2，我们展示了一些符号和引理。在Sect。 三，我们导出了特征值乘积的下界(1)。在Sect。 4，我们给出了特征值乘积的上界(1)。在Sect。 5，我们证明了我们的界可以用来讨论一类时变非线性系统的稳定性。在Sect。 6，我们给出了一个相应的数值例子来说明所导出边界的优越性和有效性。

2符号和引理

在本文中，让\（\mathbb{C}\）表示复数集\（\mathbb{C}^{m\次n}\）表示一组\（m\次n\）复数。对于\（a \in\mathbb｛C｝\）,\（\运算符名称{Re}（a）\）是的真实部分一.让\（x=（x{1}，x{2}，\ldots，x{n}）成为一个真正的n个-元素数组按非递增顺序重新排序，即，\（x{[1]}\geqx{[2]}\geq\cdots\geqx}[n]}\）。对于\（X\in\mathbb{C}^{n\timesn}\），我们表示为\（X^{H}\）,\（X^{-1}\）,\（\操作符名{tr}（X）\）、和\（\运算符名称{det}（X）\）共轭转置、逆、迹和行列式X分别是。进一步，假设X是\（d（X）=（d_{1}（X），d_{2}（X），\ldots，d_}n（X））和\（λ（X）=（λ{1}（X分别是。假设\（\operatorname{Re}（d_{[1]}（X））\geq\operator name{Re{,\（\operatorname{Re}（\lambda{[1]}（X））\geq\operator name{Re}.不平等\（X>（\geq）\0\）意味着X是厄米特正（非负）矩阵。表示适当维数的单位矩阵我.

让k个是一个整数\（1）。我们表示为\（Q_{k，n}\）所有递增序列的集合，即，

$$Q_{k，n}=\bigl\{\omega=\{\omega_{1}，\ldots，\omega_{k}\}:1\leq\omega_1}<\cdots$$

让\（A=（A_{ij}）在\mathbb{C}^{m\次n}中\），并让k个和第页是满足条件的整数\（1）和\（1 \leq r \leq n）分别是。对于\（Q_{k，m}中的α）和\（在Q_{r，n}中为β），我们表示为\（A[\alpha，\beta]\）这个\（k\次r\）矩阵，其\（（i，j）\）第个条目为\（a{\alpha{i}，\beta{j}}）.如果α等于β，然后我们将符号简化为\（A[\alpha]\）.

定义2.1

([13，第502页]）

让\（A\in\mathbb{C}^{n\timesn}\）和\（1 \leq r \leq n）. The第页第个复合矩阵\（C_{r}（A）\）属于一个是带有\（（（j{\alpha}，j{\beta}））第个条目\（\操作员姓名{检测}A[\alpha，\beta]\），其中\（在Q_{r，m}中为α）和\（在Q_{r，n}中为β）按词典顺序排列；\（C_{r}（A）\）是一个\（C）^{右}_{n} \）th矩阵(\（C）^{右}_{n} =\frac{n！}{r！（n-r）！}\）).

定义2.2

([13，第10页]）

让x个,年是两个真实的n个-元素数组。如果他们满意

$$\sum_{i=1}^{k}{x_{[i]}}\leq\sum_{i=1}^{k}{y_{[i]}}，\quad k=1，2，\ldot，n$$

然后我们说x个弱控制于年并用以下方式表示\（x \ prec _｛w｝y \）.

定义2.3

([13，第10页]）

如果他们满意

$$\sum_｛i=1｝^｛k｝｛x_｛[n-i+1]｝｝\geq\sum_｛i=1｝^｛k｝｛y_｛[n-i+1]｝｝｝，\ quad k=1，2，\ldots，n$$

然后我们说x个弱次主要化为年并用以下方式表示\（x\前^{w}y\）.

定义2.4

([13，第11页]）

如果\（x\prec_{w}y\）和

$$\sum_{i=1}^{n}{x_{[i]}}=\sum_{i=1}^{n}{y_{[i]}}$$

然后我们说x个主要是年并用以下方式表示\（x\上一页\）.

引理2.1

([14，第69页]）

如果 \（X=X^{H}\in\mathbb{C}^{n\timesn}\）,那么存在一个酉矩阵 \（U\in\mathbb{C}^{n\timesn}\） 这样的话

$$X=U^{H}\operatorname{diag}\bigl[\lambda_{1}（X），\ldots，\lambda _{n}（X）\bigr]U$$

引理2.2

([15，第490页]）

如果 \（X（t），Y（t）\in\mathbb{C}^{n\timesn}\）,然后

$$\压裂{d[X（t）Y（t）]}{dt}=\压裂{d[X（t）]}{dt}Y（t） +\压裂{d[Y（t）]}{dt}X（t） ●●●●$$

引理2.3

([16])

如果 \（（（x{1}，x{2}，\ldots，x{k}）>0\）,\（（y{1}，y{2}，\ldots，y{k}）>0\）,那么对于任何 \（k=1，\ldots，n\）,

$$\比格尔[\prod_｛j=1｝^｛k｝（x_｛j｝+y_｛j｝）\比格尔]^｛\frac｛1｝｛k｝｝\geq\比格尔（\prod_｛j=1｝^{k} x_{j} \Biggr）^{\frac{1}{k}}+\Biggl（\prod_{j=1}^{k} 年_{j} \Biggr）^{\frac{1}{k}}$$

引理2.4

([17])

如果 \（f{1}，f{2}，ldots，f{n}） 是上的实正连续函数吗 \（[a，b]\） 和 \（r{1}，r{2}，ldots，r{n}） 是带 \（\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{r{i}}=1\）,然后我们得到以下Hölder积分不等式:

$$\int_{a}^{b}\prod_{i=1}^{n} （f）_{i} （x）\，dx\leq\prod_{i=1}^{n}\biggl（\int_{a}^{b} （f）_{i} ^{r{i}}（x）\，dx\biggr）^{\frac{1}{r{i}}}$$

当且仅当 \（f{1}^{r{1}}，f{2}^{2}}、\ldot、f{n}^{n}}}） 有效地成比例.

引理2.5

([13第300页，B.1]）

让 \（X=X^{H}\in\mathbb{C}^{n\timesn}\）.然后

$$d{（X）}\prec\lambda{（X）}$$

那就是,

$$d{（X）}\prec_{w}\lambda{（X）}、\quad\textit{和}\quad d{$$

引理2.6

([13，第92页，C.1]）

如果 \（x\上一页\）,然后

$$\bigl（e^{x{1}}，e^{x2}}、\ldots、e^{x{n}}\bigr）\prec\bigle（e_{y_{1}{、e^}y_2}}和\ldot、e^_y_{n}\biger）$$

引理2.7

([13，第166页，A.1.d]）

如果 \（x{[1]}\geqx{[2]}\geq\cdots\geqx}[n]}>0\）,\（y_｛[1]｝\geq y_｛[2]｝\geq\cdots\geq y _｛[n]｝>0\）,和 \（x\上一页\）,然后

$$\prod_{i=1}^{k}{x{[i]}}\geq\prod\i=1}^{k{y{[i]}}，\quad k=1，2，\ldot，n$$

引理2.8

([13第208页，A.4]）

如果 \（x{[1]}\geqx{[2]}\geq\cdots\geqx}[n]}>0\） 和 \（y_{[1]}\geqy_{[2]}\geq\cdots\geqy_{[n]}>0\）,那么对于任何 \（k=1，\ldots，n\）,

$$\prod_{i=1}^{k}（x_{[i]}+y_{[i]}）\leq\prod\i=1}$$

引理2.9

([13，第655页]）

如果 \（a{i}>0\）(\（i=1，\ldots，n\）),然后针对 \（k=1，\ldots，n\）,

$$\prod_{i=1}^{k} 一个_{i} \leq\Biggl（\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} 一个_{i} \Biggr）^{k}$$

引理2.10

([13第136页，H.3.b]）

如果 \（x{[1]}\geq\cdots\geqx{[n]}\）,\（y_{[1]}\geq\cdots\geqy_{[n]}\）,和 \（x \ prec _｛w｝y \）,那么对于任何实际数组 \（u{[1]}\geq\cdots\gequ{[n]}\geq 0\）,

$$\sum_{i=1}^{n}{x_{[i]}u_{i]}}\leq\sum_{i=1}^{n}{y_{[i]}u{[i]}}$$

引理2.11

([13，第503页，F.2.c]）

如果 \（X\in\mathbb{C}^{n\timesn}\） 具有特征值 \（\lambda _｛1｝，\ldots，\lambda _｛n｝\）,然后是 \（C_{r}（X）\） 是 \（\lambda{i{1}}\cdots\lambda_{i{r}}\）,\（1\leqi{1}<\cdots<i{r}\leqn\）.

三特征值乘积的下限

在本节中，我们给出了Lyapunov矩阵微分方程解的特征值积的一些新的下界(1).

定理3.1

让 \（P（t）\） 是的Hermite半正定解(1),那么对于任何 \（k=1，\ldots，n\） 和 \（t \ geq t _{0}\）,

$$\开始{对齐}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t）\bigr]\geq&\Biggl[\Biggl（e^{\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1{^{k{\lambda _{[n-i+1]}[A（\xi）+A^{H}（\xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\ lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\Biggr）^{\frac{1}{k}}\\&{}+\int_{t{0}}^{t}\Biggl（e^{int_{tau}^{t}\sum_{i=1}^{k}\lambda{[n-i+1]}[A（\xi）+{A} ^{H}（\xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[Q（\tau）\bigr]\Biggr）^{frac{1}{k}}，d\tau\Biggr]^{k{}。\结束{对齐}$$

(7)

证明

按引理2.1存在一个酉矩阵\（U（t）\in\mathbb{C}^{n\timesn}\）这样的话

$$\begin{aligned}P（t）=&U^{H}（t）\operatorname{diag}\bigl（\lambda_{[1]}\bigle[P（t）\bigr]，\ldots，\lambda _{[n]}\bigl[P。\结束{对齐}$$

(8)

使用引理2.2并替换(8)到(1)产量

$$\开始{对齐}&\dot{U}^{H}（t）D_{P（t）}U（t）+U^{H{（t{D}（D）_{P（t）}U（t）+U^{H}（t）D_{P（t）}\dot{U}（t）\\&\quad=A^{Hneneneep（t）U^{H}。\结束{对齐}$$

(9)

乘法\（U（t）\）和\（U^{H}（t）\）在的左侧和右侧(9)分别有

$$\开始{对齐}&U（t）\dot{U}^{H}（t）D_{P（t）}+\dot{D}（D）_{P（t）}+D_{P（t）}\点{U}（t）U^{H}+D_{P（t）}\widetilde{A}（t）+\widetelde{Q}（t），\end{aligned}$$

(10)

哪里

$$\widetilde{A}（t）=U（t）A（t）U^{H}$$

(11)

自\（U（t）U^{H}（t）=I），来自(10)很容易看出这一点

$$\开始{对齐}和\点{U}（t）U^{H}（t）D_{P（t）}+U（t）\点{U}^{H{（t{D}（D）_{P（t）}+D_{P（t）}\dot{U}（t）U^{H}（t）-\dot}U}。\结束{对齐}$$

(12)

自\（D_｛P（t）｝=U（t）U^｛H｝（t）D_｛P（t）｝\），我们有

$$\点{D}（D）_｛P（t）｝=\dot｛U｝（t）U^｛H｝（t）D_｛P（t）｝+U（t）\dot｛U｝^｛H｝（t）D_｛P（t）｝+U（t）U^｛H｝（t）\dot{D}（D）_{P（t）}$$

(13)

替换(13)到(12)暗示

$$\点{D}（D）_{P（t）}+D_{P（t）}\dot{U}（t）U^{H}（t）-\dot}U}$$

(14)

显然，

$$\bigl[\widetilde{A}^{H}（t）D_{P（t）}+D_{P[t）}\widetelde{A{（t{D}（D）_{P（t）}]^{H}=\dot{D}（D）_{P（t）}$$

因此(14)我们获得

$$\bigl[D_{P（t）}\dot{U}（t）U^{H}（t）-\dot}U}$$

通过计算我们很容易看出\（D_{P（t）}\点{U}（t）U^{H}都是0。因此，通过(14),

$$\frac{d\{\lambda_{[i]}[P（t）]\}}{dt}=2\operatorname{Re}\bigl[\widetilde{a}_{i}（t{q}_{ii}（t）$$

（15）

哪里\（\widetilde｛a｝_{ii}（t）\）,\（\widetilde{q}_{ii}（t）\）(\（i=1,2，\ldots，n\）)是的对角线元素\（\widetilde{A}（t）\）和\（\widetilde{Q}（t）\）分别是。

根据(15)，对于所有人\（t\geq t_{0}\），很明显

$$e^{-2\int_{t_{0}}^{t}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}\biggl（\frac{d（\lambda_{[i]}[P（t）]）}{dt}-2\运算符名称{Re}\bigl[\widetilde｛a｝_{ii}（t）\bigr]\lambda_{[i]}\bigl[P（t{q}_{ii}（t）$$

相当于

$$\frac{d（e^{-2\int_{t_{0}}^{t}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_｛ii｝（\xi）]\，d\xi｝\lambda _｛[i]｝[P（t）]）｝｛dt｝=e ^｛-2\ int _｛t_｛0｝｝^｛t｝\运算符名称｛Re｝[\wide tilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}\widetilde{q}_｛ii｝（t）$$

通过求解这个微分方程，我们得到

$$e^{-2\int_{t_{0}}^{t}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}\lambda_{[i]}\bigl[P^{t} e（电子）^{-2\int_{t_{0}}^{\tau}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}\widetilde{q}_{ii}（τ），d\tau$$

因此

$$\lambda_{[i]}\bigl[P（t）\bigr]=e^{2\int_{t_{0}}^{t}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}\lambda_{[i]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]+\int_{t_{0{}}^{t} e（电子）^{2\int_{\tau}^{t}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}\widetilde{q}_{ii}（τ），d\tau$$

这意味着

$$\开始{对齐}&\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t）\bigr]\\&\quad=\prod_{i=1}^{k}\biggl（e^{2\int_{t_0}}^{t}\operatorname{Re}\widetilde{a}_{n-i+1，n-i+1}（\xi）\，d\xi}\lampda_{[n-i+1]}\大[P（t_{0}）\bigr]\\&\qquad{}+\int_{t_0}}^{t} e（电子）^{2\int_{\tau}^{t}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{n-i+1，n-i+1}（\xi）\，d\xi}\ widetilde{q}_{n-i+1，n-i+1}（\tau）\，d\tau\biggr）\\&\quad=\Biggl[\prod_{i=1}^{k}\Biggl（e^{2\int_{t_0}}^{t}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{n-i+1，n-i+1}（\xi）\，d\xi}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\\&\qquad{}+\int_{t_0}}^{t} e（电子）^{2\int_{\tau}^{t}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{n-i+1，n-i+1}（\xi）\，d\xi}\ widetilde{q}_{n-i+1，n-i+1}（\tau）\，d\tau\biggr）^{\frac{1}{k}}\biggr]^{k}。\结束{对齐}$$

(16)

应用引理2.3至(16)收益率

$$\开始{对齐}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t）\bigr]\geq&\Biggl[\prod_{i=1{^{k{\bigl（e^{2\int_{t_0}}^{t}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{n-i+1，n-i+1}（\xi）\，d\xi}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\bigr）^{frac{1}{k}}\\&{}+\prod_{i=1}^{k}\biggl（int_{t_{0{}}^{t} e（电子）^{2\int_{\tau}^{t}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{n-i+1，n-i+1}（\xi）\，d\xi}\ widetilde{q}_{n-i+1，n-i+1}（\tau）\，d\tau\biggr）^{\frac{1}{k}}\biggr]^{k}。\结束{对齐}$$

(17)

按引理2.4（出租\（r_｛i｝=k\）)和(17)我们有

$$\开始{对齐}&\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t）\bigr]\\&\quad\geq\Biggl[\prod_{i=1{^{k{\bigl（e^{2\int_{t_0}}^{t}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_｛n-i+1，n-i+1｝（\xi）\，d\xi｝\lambda _｛[n-i+1]｝\bigl[P（t_｛0｝）\bigr]\bigr）^｛\frac｛1｝｛k｝｝\&&\qquad｛｝+\int _｛t_｛0｝｝^｛t｝\prod_｛i=1｝^{k} e（电子）^{\frac{2}{k}\int_{\tau}^{t}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{n-i+1，n-i+1}（\xi）\，d\xi}\bigl（\widetilde{q}_{n-i+1,n-i+1}（\tau）\bigr）widetilde公司｛a｝_{n-i+1，n-i+1}（\xi）\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]^{t} e（电子）^{\frac{2}{k}\int_{\tau}^{t}\sum_{i=1}^{k}\操作符名{Re}\widetilde｛a｝_{n-i+1，n-i+1}（\xi）\，d\xi}\Biggl（\prod_{i=1}^{k}\widetilde{q}_{n-i+1，n-i+1}（\tau）\Biggr）^{frac{1}{k}}\，d\tau\Biggr]^{k}\\&\quad\geq\Biggl[\Biggl（e^{2\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1}^{k{\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{[n-i+1，n-i+1]}（\xi）\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\Biggr）^{frac{1}{k}}\\&\qquad{}+\int_{t_{0{}}^{t} e（电子）^{\frac{2}{k}\int_{\tau}^{t}\sum_{i=1}^{k}\操作符名{Re}\widetilde｛a｝_{[n-i+1，n-i+1]}（\xi）\，d\xi}\Biggl（\prod_{i=1}^{k}\widetilde{q}_{[n-i+1，n-i+1]}（\tau）\Biggr）^{\frac{1}{k}}\，d\tau\Biggr]^{k}。\结束{对齐}$$

(18)

从引理2.5我们有

$$\开始{aligned}&\bigl（2\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{[nn]}（\xi），\ldots，2\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{[n-k+1，n-k+1]}（\xi）\bigr）\\&\quad\prec^{w}\bigl（\lambda_{[n]}\bigle[\widetilde{A}（\si）+\widetelde{A{A}^{H}r）。\结束{对齐}$$

然后通过引理2.6

$$\开始{aligned}&\bigl（e^{2\int_{t_{0}}^{t}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{[nn]}（\xi）\，d\xi}，\ldots，e^{2\int_{t_{0}}^{t}\操作符名{Re}\widetilde｛a｝_{[n-k+1，n-k+1]}（\xi）\，d\xi}\biger）\\&\quad\prec^{w}\bigl k+1]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\biger），\end{aligned}$$

也就是说，

$$e^{2\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1}^{k}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{[n-i+1，n-i+1]}（\xi）\，d\xi}\geqe^{int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}[\widetilde{A}（\ xi）+\widetilde{A}^{H}（\\xi）]\，d\\xi}$$

(19)

按引理2.5我们有

$$\bigl（\widetilde{q}_{[nn]}（\tau），\tots，\widetilde{q}_{[n-k+1，n-k+1]}（\tau）\bigr）\prec^{w}\bigl$$

使用引理2.7，我们获得

$$\prod_{i=1}^{k}\widetilde{q}_{[n-i+1，n-i+1]}（\tau）\geq\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[\widetilde{Q}（\t au）\ bigr]$$

(20)

由(11)，替换(19)和(20)到(18)，我们有

$$\开始{对齐}&\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t）\bigr]\\&\quad\geq\Biggl[\Biggl（e^{\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1}^{k}\lambeda_{[n-i+1]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetldetilde}A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\Biggr）^{\frac{1}{k}}\\&\qquad{}+\int_{t_0}}^{t} e（电子）^｛\frac｛1｝｛k｝\int _｛\tau｝^｛t｝\sum _｛i＝1｝^｛k｝\lambda _｛[n-i+1]｝[\widetilde｛A｝（\xi）+\widetilde｛A｝^｛H｝（\xi）]\，d\xi｝\Biggl（\prod _｛i＝1｝^｛k｝\lambda _｛[n-i+1]｝\bigl[\widetilde｛Q｝（\tau）\bigr]\Biggr）^｛\frac｛1｝｛k｝｝｝\，d\tau\Biggr]^｛k｝\\&&quad=\Biggl[\Biggl（e^｛\int _｛t_｛0｝｝^｛t｝\sum _｛i=1｝^｛k｝\lambda _｛[n-i+1]｝[A（\xi）+A^｛H｝（\xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\Biggr）^{\frac{1}{k}}\\&\qquad{}+\int_{0}}^{t}\Biggl xi）+{A}^{H}（\xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[Q（\tau）\bigr]\Biggr）$$

这就完成了证明。 □

根据定理3.1我们很容易得到以下结果。

定理3.2

让 \（P（t）\） 是的Hermite半正定解(1).那么对于任何 \（k=1，\ldots，n\） 和 \（t \ geq t _{0}\）,

$$\开始{对齐}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t）\bigr]\geq&e^{\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1}^{k}\lampda_{[n-i+1]}[A（\xi）+A^{H}（\ xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda{[n-i+1]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\\&{}+\Biggl[\int_{t_0}}^{t}\Biggl（e^{int_{tau}^{t}\sum_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}[A（\xi）+{A}^{H}（\si）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[Q（\tau）\bigr]\Biggr）^{\frac{1}{k}}\，d\tau\Biggr]^{k{}。\结束{对齐}$$

(21)

通过定理3.1和3.2我们立即得到以下推论。

推论3.1

让 \（P（t）\） 是的Hermite半正定解(1).那么对于任何 \（k=1，\ldots，n\） 和 \（t \ geq t _{0}\）,

$$开始{对齐}\operatorname{det}\bigl[P（t）\bigr]\geq&\biggl[\bigl（e^{\int_{t_{0}}^{t}\operatorname{tr}[A（xi）+A^{H}（\xi）]\，d\xi}\ operatorname{det{}\bigr[P（t_{0{）\biger）^{\frac{1}{n}}\\&{}+\int _{t_{0}}^{t}\bigl（e^{int_{tau}^{t}\operatorname{tr}[A（\xi）+A^{H}（\xi）]\，d\xi}\operatorname{det}\bigl[Q（\tau）\bigr]\biger）^{\frac{1}{n}}\，d\tau\biggr]^{n}。\结束{对齐}$$

(22)

推论3.2

让 \（P（t）\） 是的Hermite半正定解(1).那么对于任何 \（k=1，\ldots，n\） 和 \（t \ geq t _{0}\）,

$$\开始{aligned}\operatorname{det}\bigl[P（t）\bigr]\geq&e^{\int_{t_{0}}^{t}\operatorname{tr}[A（\xi）+A^{H}（\si）]\，d\xi}\opperatorname{det}\bigl[P（t_{0{）\biger]\\&{}+\biggl（\int__{0}）}^{t} e（电子）^{\frac{1}{n}\int_{\tau}^{t}\operatorname{tr}[A（\xi）+A^{H}（\xi）]\，d\xi}\bigl（\operator name{det}\bigle[Q（\tau）\bigr]\bigr）^{\frac{1}{n}}\，d\\tau\biggr）^{n}。\结束{对齐}$$

(23)

4特征值乘积的上界

在本节中，我们给出了Lyapunov矩阵微分方程解的特征值积的一些新上界(1).

定理4.1

让 \（P（t）\） 是的埃尔米特正定解(1).那么对于任何 \（k=1，\ldots，n\） 和 \（t \ geq t _{0}\）,

$$\boot｛aligned｝\prod_｛i=1｝^｛k｝\lambda _｛[i]｝\bigl[P（t）\bigr]\leq&e^｛\int _｛t_｛0｝｝^｛t｝\sum _｛i=1｝^｛k｝\lambda _｛[i]｝[A（\xi）+A ^｛H｝（\xi）]\，d\xi｝\prod_｛i=1｝^｛k｝\lambda _｛[i]｝\bigl[P（t_｛0｝）\bigr]\&｛｝\cdot\bigr gl（1+\frac｛\sum_｛i=1｝^｛k｝\lambda _｛[k-i+1]｝^｛-1｝[P（t_｛0｝）]\int _｛t_｛0｝｝^{t} e（电子）^｛-\int _｛t_｛0｝｝^｛\tau｝\lambda _｛[n]｝[A（\xi）+A ^｛H｝（\xi）]\，d\xi｝\lambda _｛[i]｝[Q（\tau）]\，d\tau｝｛k｝\biggr）^｛k｝\\=&l｛k｝（t）。\结束{对齐}$$

(24)

证明

由(16)我们得到了

$$\开始{对齐}&\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}\bigl[P（t）\bigr]\\&\quad=\prod_{i=1{^{k{\biggl[e^{2\int_{t_{0}}^{t}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}\lambda_{[i]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]+\int_{t_{0{}}^{t} e（电子）^{2\int_{\tau}^{t}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}\widetilde{q}_{i}（\tau）\，d\tau\biggr]\\&\quad=\prod_{i=1}^{k}\bigl 1}^{k}\biggl（1+\lambda_{[i]}^{-1}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\int_{t_0}^{t} e（电子）^{-2\int_{t_{0}}^{\tau}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}\widetilde{q}_{i}｛a｝_{i}（\xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\\&\qquad{}\cdot\prod\i=1}^{k{\biggl（1+\lambda _{[i]}^{-1}\biggl[P（t_{0}）\ bigr]\int_{t_{0}}^{t} e（电子）^{-2\int_{t_{0}}^{\tau}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}\widetilde{q}_{ii}（\tau），d\tau\biggr）。\结束{对齐}$$

(25)

按引理2.5我们得到

$$\lambda_{[n]}\bigl[\widetilde{A}｛a｝_{[nn]}（\xi）\biger）\leq 2\运算符名称{Re}\bigl[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）\bigr]$$

然后

$$e^{-\int_{t_{0}}^{\tau}\lambda_{[n]}[\widetilde{A}｛a｝_{[nn]}（\xi））\，d\xi}\geq e^{-\int_{t_{0}}^{\tau}2\运算符名称{Re}[\widetilde｛a｝_{ii}（\xi）]\，d\xi}$$

(26)

替换(26)到(25)给予

$$\开始{对齐}&\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}\bigl[P（t）\bigr]\\&\quad\leqe^{2\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1{^{k{\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{i}（\xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\\&\qquad{}\cdot\prod\i=1}^{k{\biggl（1+\lambda _{[i]}^{-1}\biggl[P（t_{0}）\ bigr]\int_{t_{0}}^{t} e（电子）^{-\int_{t_{0}}^{\tau}\lambda_{[n]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\widetilde{q}_{ii}（\tau）\，d\tau\biggr）\\&\quad\leqe^{2\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1}^{k}\operatorname{Re}[\widetilde｛a｝_{[ii]}（\xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\\&\qquad{}\cdot\prod\i=1}^{t} e（电子）^{-\int_{t_{0}}^{\tau}\lambda_{[n]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\widetilde{q}_{[ii]}（\tau）\，d\tau\biggr）。\结束{对齐}$$

(27)

从引理2.5我们有

$$\开始{aligned}&\bigl（2\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{[11]}（\xi），\ldot，2\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_｛[kk]｝（\xi）\bigr）\\&&quad\prec _｛w｝\bigl（\lambda _｛[1]｝\bigl[\widetilde｛A｝（\xi）+\ widetilde｛A｝^｛H｝（\xi）\bigr]，\ldots，\lambda _｛[k]｝\bigl[\widetilde｛A｝（\xi）+\ widetilde｛A｝^｛H｝（\xi）\bigr]\r\n）。\结束{对齐}$$

然后通过引理2.6我们有

$$\开始{aligned}&\bigl（e^{2\int_{t_{0}}^{t}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_｛[11]｝（\xi）\，d\xi｝，\ldots，e^｛2\int _｛t_｛0｝｝^｛t｝\运算符名称｛Re｝\宽颚化符｛a｝_{[kk]}（\xi）\，d\xi}\biger）\\&\quad\prec_{w}\bigl lde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\biger），\end{aligned}$$

也就是说，

$$e^{2\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1}^{k}\operatorname{Re}\widetilde｛a｝_{[ii]}（\xi）\，d\xi}\leqe^{int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}[\widetilde{A}（\ xi）+\widetilde{A}^{H}（\\xi）]\，d_xi}$$

(28)

按引理2.5我们有

$$\bigl（\widetilde{q}_{[11]}（\tau），\tots，\widetilde{q}_{[kk]}（\tau）\bigr）\prec_{w}\bigl（\lambda_{[1]}\bigle[\widetilde{Q}（\tau）\biger]，\ldots，\lambda _{[k]}\bigl[\wide tilde{Q}（\ tau）\ bigr]\biger）$$

使用引理2.7，我们获得

$$\prod_{i=1}^{k}\widetilde{q}_{[ii]}（\tau）\leq\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}\bigl[\widetilde{Q}（\tau）\bigr]$$

(29)

替换(28)和(29)到(27)，通过引理2.8我们得到

$$\开始{对齐}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}\bigl[P（t）\bigr]\leq&e^{\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1{^{k{\lambda _{i]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lamp da{[i]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\\&{}\cdot\prod_{i=1}^{k}\biggl（1+\lambda_{[k-i+1]}^{-1}\bigr[P（t_{0}）\ bigr]\int_{t_0}}^{t} e（电子）^{-\int_{t_{0}}^{\tau}\lambda_{[n]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\widetilde{q}_{[ii]}（\tau）\，d\tau\biggr）。\结束{对齐}$$

(30)

应用引理2.9至(30)，我们得到

$$\开始{对齐}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}\bigl[P（t）\bigr]\leq&e^{\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1{^{k{\lambda _{i]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lamp da{[i]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\\&{}\cdot\biggl（1+\frac{\sum_{i=1}^{k}\lambda{[k-i+1]}^{-1}[P（t_{0}）]\int_{t_0}}^{t} e（电子）^{-\int_{t_{0}}^{\tau}\lambda_{[n]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\widetilde{q}_{[ii]}（\tau）\，d\tau}{k}\biggr）^{k}。\结束{对齐}$$

(31)

由(31)出租

$$u_{[i]}=\lambda_{[k-i+1]}^{-1}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\cdot e^{-\int_{t_{0}}^{\tau}\lambda{[n]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}，\qquad x_{[i]}=\ widetilde{q}_{[ii]}（\tau），\qquad y_{[i]}=\lambda_{[i]}\bigl[\widetilde{Q}（\t au）\bigr]$$

在引理中2.10.然后

$$\开始{对齐}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}\bigl[P（t）\bigr]\leq&e^{\int_{t_{0}}^{t}\sum_{i=1{^{k{\lambda _{i]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\prod_{i=1}^{k}\lamp da{[i]}\bigl[P（t_{0}）\bigr]\\&{}\cdot\biggl（1+\frac{\sum_{i=1}^{k}\lambda{[k-i+1]}^{-1}[P（t_{0}）]\int_{t_0}}^{t} e（电子）^{-\int_{t_{0}}^{\tau}\lambda_{[n]}[\widetilde{A}（\xi）+\widetilde{A}^{H}（\ xi）]\，d\xi}\lampda_{i]}[\ widetilde{Q}（\tau）]\，d\tau}{k}\biggr）^{k}。\结束{对齐}$$

(32)

就以下方面而言(11)和(32)，我们得到

$$\boot｛aligned｝\prod_｛i=1｝^｛k｝\lambda _｛[i]｝\bigl[P（t）\bigr]\leq&e^｛\int _｛t_｛0｝｝^｛t｝\sum _｛i=1｝^｛k｝\lambda _｛[i]｝[A（\xi）+A ^｛H｝（\xi）]\，d\xi｝\prod_｛i=1｝^｛k｝\lambda _｛[i]｝\bigl[P（t_｛0｝）\bigr]\&｛｝\cdot\bigr gl（1+\frac｛\sum_｛i=1｝^｛k｝\lambda _｛[k-i+1]｝^｛-1｝[P（t_｛0｝）]\int _｛t_｛0｝｝^{t} e（电子）^｛-\int _｛t_｛0｝｝^｛\tau｝\lambda _｛[n]｝[A（\xi）+A ^｛H｝（\xi）]\，d\xi｝\lambda _｛[i]｝[Q（\tau）]\，d\tau｝｛k｝\biggr）^｛k｝，\end｛aligned｝$$

这就完成了证明。 □

根据定理4.1我们立即得出以下推论。

推论4.1

让 \（P（t）\） 是的埃尔米特正定解(1).那么对于任何 \（k=1，\ldots，n\） 和 \（t \ geq t _{0}\）,

$$开始{aligned}\det\bigl[P（t）\bigr]\leq&e^{\int_{t_{0}}^{t}\operatorname{tr}[A（\xi）+A^{H}（\xi）]\，d\xi}\cdot\det\bigl[P ^{-1}[P（t_{0}）]\int_{t_{0}}^{t} e（电子）^{-\int_{t_{0}}^{tau}\lambda_{[n]}（A（\xi）+A^{H}（\xi）），d\xi}\lampda_{i]}[Q（\tau）]\，d\tau}{n}\biggr）^{n}。\结束{对齐}$$

(33)

5一类时变非线性系统的稳定性分析

在本节中，我们给出了我们的特征值界在一类时变非线性系统中的应用。时变非线性系统在量子力学、固体力学、参数辨识、电气系统和自动控制系统等控制和优化领域有着广泛的应用，可以用来讨论时变非线性的稳定性(2)。接下来，我们证明了我们的特征值界可以用来讨论一类时变非线性系统的稳定性。

对于系统(2)，采取

$$\Delta f\bigl（x（t），\varPhi（t）\bigr）=\bigl\Vert x（t，\bigr\Vert^{2} P（P）（t） EC_{k}\bigl（P（t）\bigr）E^{T} x个（t） +B（t）\varPhi（t）r（t）$$

哪里\（C_{k}（P（t））\）表示k个的第个复合矩阵\（P（t）\）,\（P（t）\）是Lyapunov矩阵微分方程的正定解(1)

$$\dot{P}（t）=A^{H}（t）P（t）+P（t”A（t）+Q（t）$$

和\（E=（I_{n}\0）\）是一个\（n次C^{k}_{n} \）第个矩阵。对于E类，我们有以下三个特殊条件：

• （i） 什么时候？\（k=1\）,\（C_{1}（P（t））=P（t、和E类是单位矩阵。

• （ii） 什么时候？\（k=n-1）,E类是单位矩阵。

• （iii） 什么时候？\（k=n\）,\（C_{n}（P（t））=\det（P（t））、和\（E=1）.

在下面的定理中，我们给出了时变非线性系统(2)一致渐近稳定。

定理5.1

目前为止-变非线性系统(2),如果

$$\压裂{-1}{l^{2}_{1} （t）}+2\bigl\垂直x（t）\bigr\垂直^{2} 我_{k} （t）<0$$

(34)

那么系统的大范围(2)一致渐近稳定,哪里 \（l{k}（t）\）(\（k=1，\ldots，n\）)由定理定义4.1.

证明

选择Lyapunov函数

$$V\bigl[x（t），t\bigr]=x^{t}（t）P^{-1}$$

然后

$$开始{对齐}\dot{V}\bigl[x（t），t\bigr]=&\dot}x}^{t}（t）R^{-1}\varPhi（t）\bigr）+\operatorname{tr}\bigl（\varPhi^{t}（t）R ^{-1{\dot{\varPhi.}（t）\biger）。\结束{对齐}$$

(35)

作为\（P（t）\）是正定的，我们有\（P（t）P^{-1}（t）=I）因此

$$\点{P}（t）P^{-1}$$

也就是说

$$\dot{P}^{-1}（t）=-P^{-1{（t$$

(36)

替换(1)(2)、和(36)到(35)收益率

$$开始{对齐}\dot{V}\bigl[x（t），t\bigr]=&\dot}x}^{t}（t）R^{-1}\varPhi（t）\bigr）+\operatorname{tr}\bigl（\varPhi^{t}（t^{T} P（P）^{-1}（t）x（t）-x^{t}\bigl[RB^{t}（t）P（t）x（t）r（t）^{t{\bigr]^{T} R（右）^{-1}\varPhi（t）\bigr\}\\&{}-\operatorname{tr}\bigl\{\varPhi^{t}（t）R^{-1}\ bigl[RB^{t{（t^{2} P（P）（t） EC_{k}\bigl（P（t）\bigr）E^{T} x个（t） +B（t）\varPhi（t）r（t）\bigr]^{T} P（P）^{-1}（t）x（t）\\&{}-x^{t}垂直^{2} P（P）（t） EC_{k}\bigl（P（t）\bigr）E^{T} x个（t） +B（t）\varPhi（t）r（t）\ bigr]\\&{}-\操作符名{tr}\bigl\{bigl[RB^{t}（t）P（t）x（t）r（t）^{t{\bigr]^{T} R（右）^{-1}\varPhi（t）\bigr\}\\&{}-\operatorname{tr}\bigl\{\varPhi^{t}（t）R^{-1}\ bigl[RB^{t{（t t）EC_{k}\bigl（P（t）\bigr）E^{T} x个（t） \cdot\bigl\Vert x（t）\bigr\Vert^{2}。\结束{对齐}$$

(37)

应用Lyapunov稳定性理论，系统在大范围内一致渐近稳定的一个充分条件(2)是这样吗\（x（t）\neq 0）,

$$\dot{V}\bigl[x（t），t\bigr]<0$$

使用定理4.1，我们得到

$$\lambda_{[1]}\bigl[P（t）\bigr]\leql_{1}（t）$$

(38)

和

$$\prod_{i=1}^{k}\lambda_{[i]}\bigl[P（t）\bigr]\leql_{k}（t）$$

(39)

就以下方面而言(37)(38)、和(39)，自\（Q（t）=I），使用引理2.11，我们获得

$$开始{对齐}\dot{V}\bigl[x（t），t\bigr]=&-x^{t}（t）P^{-1}^{T} x个（t） \cdot\bigl\Vert x（t）\bigr\Vert^{2}\\leq&-\lambda_{n}\bigl[\bigl（P（t）\ biger）^{-1}我\bigl（P（t）\bigr）^{-1}\bigr]\cdot\bigl\Vert x（t）\ bigr\Vert^{2}+2\lambda_{1}\bigl[C_{k}\bigle（P）\biger）\biger]\cdot \bigl\ Vert x^{2}_{1} （P（t））}+2\bigl\Vert x（t）\bigr\Vert^{2}\prod_{i=1}^{k}\lambda_{i}\bigl（P（t）\biger）\\leq&\frac{-1}{l^{2}_{1} （t）}+2\bigl\垂直x（t）\bigr\垂直^{2} 我_{k} （t）。\结束{对齐}$$

(40)

如果条件(34)满足，则替换(34)到(40)收益率

$$\dot{V}\bigl[x（t），t\bigr]<0$$

因此，利用李亚普诺夫稳定性理论，系统的大范围(2)一致渐近稳定。 □

备注5.1

对于定理5.1，我们有以下三个特殊条件：

• （i） 什么时候？\（k=1\）,\（C_{1}（P（t））=P（t、和E类是单位矩阵。对于系统(2)，采取

  $$\Delta f\bigl（x（t），\varPhi（t）\bigr）=\bigl\Vert x（t，\bigr\Vert^{2} P（P）^{2} （t）x（t）+B（t）\varPhi（t）r（t）$$

  如果

  $$\压裂{-1}{l^{2}_{1} （t）}+2\bigl\垂直x（t）\bigr\垂直^{2} 我_{1} （t）<0$$

  (41)

  然后是系统(2)是一致渐近稳定的，其中\（l{1}（t）\）在定理中定义4.1.

• （ii） 什么时候？\（k=n-1）,E类是单位矩阵。对于系统(2)，采取

  $$\Delta f\bigl（x（t），\varPhi（t）\bigr）=\bigl\Vert x（t，\bigr\Vert^{2} P（P）（t） C_{n-1}\bigl（P（t）\bigr）x（t）+B（t）\ varPhi（t）r（t）$$

  如果

  $$\压裂{-1}{l^{2}_{1} （t）}+2\bigl\垂直x（t）\bigr\垂直^{2} 我_{n-1}（t）<0$$

  (42)

  然后是系统(2)是一致渐近稳定的，其中\（l{1}（t）\）和\（l{n-1}（t）\）在定理中定义4.1.

• （iii） 什么时候？\（k=n\）,\（C_{n}（P（t））=\det（P（t））和\（E=1）.对于系统(2)，采取

  $$\Delta f\bigl（x（t），\varPhi（t）\bigr）=\bigl\Vert x（t）\bigr\Vert^｛2｝\det\bigl（P（t）\bigr）P（t）x（t）+B（t）\varPhi（t）r（t）$$

  如果

  $$\压裂{-1}{l^{2}_{1} （t）}+2\bigl\垂直x（t）\bigr\垂直^{2} 我_{n} （t）＜0$$

  (43)

  然后是系统(2)是一致渐近稳定的，其中\（l{1}（t）\）和\（l{n}（t）\）在定理中定义4.1.

6一个数值示例

在本节中，我们将通过一个实际应用示例演示我们的结果的有效性，并将我们的特征值边界与前面的结果进行比较。

例6.1

考虑时变非线性系统(2)带有

$$A（t）=\begin{pmatrix}0&\frac{2}{3t}&0\-\frac}1}{3t}&\frac{1}{4t}&0 \\0&0&\ frac{3}{8t}\end{pmatricx}，\qquad R=\being{pmatriax}1&0\\0&1&0\0&1\end{pmartrix}0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

哪里\（x（t），r（t）\in\mathbb{C}^{3}\）和

$$Q（t）=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatricx}$$

选择\（t{0}=\压裂{1}{16}\），我们有

$$P（t_{0}）=\begin{pmatrix}\frac{1}{16}&0&0\\frac{1'{8}&0\\0&0&\frac}{4}\end{pmatricx}$$

解决方案(1)可以表示为

$$P（t）=e^{A^{t}（t-t_{0}^{t} e（电子）^{A^{T}（T-\T）}Q（\T）e^{A（T-\tau）}，d\tau$$

(44)

使用数学工具和(44)，我们明白了

$$P（t）=\开始{pmatrix}P_{11}&0&0\\0&P_{22}&0\\0&0&P_{33}\结束{pmatricx}$$

哪里

$$开始{对齐}&P_{11}=\frac{-4879+4096 e^{\frac}t^{2}}{4}}+64 e^{\ frac{t^{2}}{4}}t+e^{\frac{t^}}{4]}（783+55 t）\operatorname{Cos}（\frac{\sqrt{119}t^}{2}{12}）-3\sqrt}e^{{t^{2}}{4}}（-23+t）\operatorname{Sin}（\frac{\sqrt{119}t^{2]}{12}）}{1904t}，\\&P_{22}=\frac{16（-119+4e^{t^2}}{4}（32+t）)+e^{\frac{t^{2}}{4}}（-144+55t）\operatorname{Cos}=\压裂{-16+e^{\压裂{3t^{2}}{4}}（16+3t）}{12t}。\结束{对齐}$$

显然，当\（t>0）,\（P（t）\）是正定的。

（i） 首先，我们证明了\（P（t）\）在时变非线性系统中有着广泛的应用。使用定理4.1，我们得到

$$\开始{aligned}&\lambda_{[1]}\bigl[P（t）\bigr]\leq\frac{1+4t}{4} t吨^｛\frac｛3｝｛4｝｝＝l_｛1｝（t），\\&&\prod_｛i=1｝^｛2｝\lambda _｛[i]｝\bigl[P（t）\bigr]\leq 2^｛\frac｛2｝｛3｝｝t^｛\frac｛17｝｛12｝｝\cdot\biggl=l_｛2｝（t），\\&&\prod_｛i=1｝^｛3｝\lambda _｛[i]｝\bigl[P（t）\bigr]\leq\frac｛1｝{16} t吨^{\frac{5}{4}}\biggl（2^{\frac{11}{3}}t^{\frac{7}{6}}+\frac}{1}{2}\bigr）^{3}=l{3}（t）。\结束{对齐}$$

• (1) 什么时候？\（k=1\），采取

  $$\Delta f\bigl（x（t），\varPhi（t）\bigr）=\bigl\Vert x（t，\bigr\Vert^{2} P（P）^{2} （t）x（t）+B（t）\varPhi（t）r（t）$$

  如果

  $$\压裂{-1}{l^{2}_{1} （t）}+2\bigl\垂直x（t）\bigr\垂直^{2} 我_{1} （t）=-\压裂{16}{（1+4t）^{2} t吨^{\frac{3}{2}}+\bigl\Vert x（t）\bigr\Vert^{2}\frac}1+4t}{2} t吨^{\压裂{3}{4}}<0$$

  然后使用定理5.1，我们得到了那个系统(2)一致渐近稳定。

• (2) 什么时候？\（k=2），采取

  $$\Delta f\bigl（x（t），\varPhi（t）\bigr）=\bigl\Vert x（t，\bigr\Vert^{2} P（P）（t） C_{2}\bigl（P（t）\bigr）x（t）+B（t）\ varPhi（t）r（t）$$

  如果

  $$\压裂{-1}{l^{2}_{1} （t）}+2\bigl\垂直x（t）\bigr\垂直^{2} 我_{2} （t）=-\压裂{16}{（1+4t）^{2} t吨^{\frac{3}{2}}+2\bigl\Vert x（t）\bigr\Vert^{2} 2个^{\压裂{2}{3}}t^{\压裂{17}{12}}\cdot\biggl（\frac{9}{7}\cdot 2^{-\压裂{8}{3{t^{7}{6}}+\压裂{19}{28}\biggr）^{2}<0$$

  然后使用定理5.1，我们得到了那个系统(2)一致渐近稳定。

• (3) 什么时候？\（k=3），采取

  $$\Delta f\bigl（x（t），\varPhi（t）\bigr）=\bigl\Vert x（t）\bigr\Vert^｛2｝\det\bigl（P（t）\bigr）P（t）x（t）+B（t）\varPhi（t）r（t）$$

  如果

  $$\压裂{-1}{l^{2}_{1} （t）}+2\bigl\垂直x（t）\bigr\垂直^{2} 我_{3} （t）=-\frac｛16｝｛（1+4t）^{2} t吨^｛\frac｛3｝｛2｝｝｝+\bigl\Vert x（t）\bigr\Vert ^｛2｝\frac｛1｝{8} t吨^｛\frac｛5｝｛4｝｝\biggl（2^｛\frac｛11｝｛3｝｝t^｛\frac｛7｝｛6｝｝+\frac｛1｝｛2｝\biggr）^｛3｝＜0$$

  然后使用定理5.1，我们得到了那个系统(2)一致渐近稳定。

（ii）接下来，我们给出了特征值的上下界。

如果\（k=2）然后根据定理3.2和4.1我们获得

$$\开始{对齐}&\prod_{i=1}^{2}\lambda_{[n-i+1]}\bigl[P（t）\bigr]\geq\frac{1}{32}吨^{\frac{1}{2}+\biggl（\frac{4}{3} t吨-\压裂{1}{6} t吨^{\frac{1}{4}}\biggr）^{2}，\\&\prod_{i=1}^{2{\lambda_{[i]}\bigl[P（t）\bigr]\leq2^{\frac{2}{3}t^{\frac{17}{12}}\cdot\biggl 6}}+\压裂{19}{28}\biggr）^{2}。\结束{对齐}$$

如果\（k=3）然后根据定理3.2和4.1我们有

$$\det\bigl[P（t）\bigr]\geq 32t^{\frac{5}{4}}+\biggl（\frac{12}{7} t吨-\压裂{3}{7}\cdot 2^{-\压裂{1}{3}}t^{\压裂{5}{12}}\biggr）^{3}$$

（45）

和

$$\det\bigl[P（t）\bigr]\leq\frac{1}{16} t吨^{\frac{5}{4}}\biggl（2^{\frac{11}{3}}t^{\frac{7}{6}}+\frac}{1}{2}\bigr）^{3}$$

(46)

此外，通过求解方程(1)我们获得

$$\det\bigl[P（t）\bigr]=8t^{3}$$

(47)

我们描绘了该图（见图1)基于所有这些结果。在图中，虚线表示(45)。点线表示(46)。实线显示的是(47)。从图中我们可以得到(1).

图1

示例中的特征值边界6.1