第页-广义Morrey空间中的adic奇异积分及其交换子

摘要

对于质数第页，让\（\mathbb{问}_{p} \）成为…的领域第页-adic数。在本文中，我们建立了一类第页-上的adic奇异积分算子第页-adic广义Morrey空间。我们还考虑了由第页-adic奇异积分算子和第页-adic Lipschitz函数或第页-adic广义Campanato函数。

1介绍

让第页是一个质数，让\（x\in\mathbb{Q}\）然后是非阿基米德第页-adic范数\（|x|{p}\）定义如下：如果\（x=0），然后\（|0|_{p}=0\）; 如果\（x\neq 0）是具有唯一表示的任意有理数\（x=p^{\gamma}\frac{m}{n}\），其中米,n个不能被除尽第页、和\（\gamma=\gamma（x）\in\mathbb{Z}\），然后\（|x|{p}=p^{-\gamma}\）。该规范具有以下属性：\（|xy|{p}=|x|{p{y|{pneneneep）,\（|x+y|{p}\leq\max\{x|{p{，y|{p}\}\）、和\（|x|{p}=0\）当且仅当\（x=0）此外，当\（|x|{p}\neq|y|{p{），我们有\（|x+y|{p}=最大值.让\（\mathbb{问}_{p} \）成为…的领域第页-adic数定义为有理数域的完成\（\mathbb{Q}\）关于非阿基米德第页-adic范数\（|\cdot|_{p}\）。对于\（\gamma\in\mathbb{Z}\），我们表示球\（B_{\gamma}（a）\）中心位于\（a \ in \ mathbb{问}_{p} \）和半径\（p^{\gamma}\）及其边界\（S_{\gamma}（a）\）通过

$$\begin｛aligned｝和B_｛\gamma｝（a）=\bigl\{x\in\mathbb{问}_{p} ：\vert x-a\vert _｛p｝\leq p^｛\gamma｝\bigr\｝，\qquad S_｛\gamma｝（a）=\bigl\｛x\in\mathbb{问}_{p} ：\vert x-a\vert_{p}=p^{\gamma}\bigr\}，\end{aligned}$$

分别是。很容易看出这一点

$$B_{gamma}（a）=\bigcup_{k\leq\gamma}S_{k}（B）$$

对于\（n\in\mathbb{n}\），空间\（\mathbb{问}_{p} ^{n}=\mathbb{问}_{p} \times\cdots\times\mathbb{问}_{p} \）由所有点组成\（{x}=（x{1}，\ldots，x{n}）哪里\（x{i}\in\mathbb{问}_{p} \）,\（i=1，\点，n\）,\（第1页）. The第页-的adic范数\（\mathbb{问}_{p} ^{n}\）由定义

$$\vert{x}\vert_{p}=\max_{1\leqi\leqn}{\vertx{i}\vert_{p}}，\quad\x}\in\mathbb{问}_{p} ^{n}$$

因此很容易看出\（|{x}|{p}\）是非阿基米德规范\（\mathbb{问}_{p} ^｛n｝\）.球\（B_{\gamma}（{a}）\）和球体\（S_{\gamma}（{a}）\）在里面\（\mathbb{问}_{p} ^{n}\）对于\（\gamma\in\mathbb{Z}\）定义与案例类似\（n=1）。

自\（\mathbb{问}_{p} ^{n}\）是加法下的局部紧交换群，通过标准分析，存在Haar测度dx公司关于加法群\（\mathbb{问}_{p} ^{n}\）标准化依据\（\nint_{B_{0}}dx=|B_{0}|_{H}=1\），其中\（|E|_{H}\）表示可测集合的Haar测度\（E\子集\mathbb{问}_{p} ^{n}\）然后通过简单的计算，可以得到任何球和球体的Haar测度。从积分理论很容易看出\（|B_{\gamma}（{a}）|_{H}=p^{n\gamma}\）和\（|S_{\gamma}（{a}）|_{H}=p^{n\gamma}（1-p^{-n}）\）对于任何\（{a}\in\mathbb{问}_{p} ^{n}\）。有关更完整的第页-adic分析，我们指的是[1,2,三,4,5,6,7,8]以及其中的参考文献。

这个第页-adic数已应用于弦理论、湍流理论、统计力学、量子力学等（参见[1,9,10]详细信息）。在过去的几年里，人们对以下方面的谐波分析的研究越来越感兴趣第页-adic字段（请参见[5,6,7,8]详细信息）。

让\（L^{infty}中的\varOmega\（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）是这样的\（\varOmega（p^{j} x个)=\varOmega（x）\）为所有人\（j\in\mathbb{Z}\）和\（\int_{|x|_{p}=1}\varOmega（x）\，dx=0\）.然后第页-Taibleson定义的adic奇异积分算子[5]具体如下：

$$T_{k}（f）（x）=\int_{verty\vert_{p}>p^{k}f（x-y）\frac{varOmega（y）}{vert y\vert_{p}{n}}\，dz\quad\text{表示}k\in\mathbb{Z}$$

这个第页-adic奇异积分算子T型定义为\（T_{k}\）作为k个转到-∞。

此外，让\（\overrightarrow{b}=（b{1}，b{2}，\ldots，b{m}）\），其中\L_{mathrm{loc}}{（mathbb）中的（b_{i}{问}_{p} ^{n}）}\）对于\（1\leq i \leq m \）。然后由b⃗和\（T_{k}\）可以定义为

$$T_{k}^{\vec{b}}f（x）=\int_{verty\vert_{p}>p^{k}}\prod_{i=1}^{m}\bigl（b_{i}（x）-b_{i{（x-y）\bigr）f（x-y$$

换向器由\（\overrightarrow{b}=（b{1}，b{2}，\ldots，b{m}）\）和第页-adic奇异积分算子T型定义为\（T_{k}^{\vec{b}}）作为k个转到-∞。

在某些情况下，作者[5,11]表明了这一点\（T_{k}\）属于类型\（（q，q）\）对于\（1<q<infty）和弱类型$(1,1)$在本地字段上。Wu等人[12]确立了\（T_{k}\）在第页-adic中心Morrey空间。此外λ-奇异积分算子交换子的中心BMO估计第页-在中获得了adic中心Morrey空间[12]. 此外，在第页-adic线性空间\（\mathbb{问}_{p} ^{n}\）、火山灰[13]给出了最大函数和Riesz势有界的充分条件第页-adic广义Morrey空间。Mo等人[14]确定了由第页-adic Riesz势和第页-中的adic广义Campanato函数第页-adic广义Morrey空间。

受到[12,13,14]，我们考虑\（T_{k}\）上第页-adic广义Morrey型空间，以及由\（T_{k}\）和第页-adic广义Campanato函数。

在本文中C类将用于表示各行变化的常数。关系\（最小B）意味着\（A \leq CB）有一些正常数C类独立于适当的数量。

2一些符号和引理

定义2.1

([13])

让\（1），然后让\（\omega（x）\）是中的非负可测函数\（\mathbb{问}_{p} ^{n}\）.A函数\（f \in L^{q}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）据说属于广义Morrey空间\（GM_{q，\omega}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）如果

$$\Vertf\Vert_{GM_{q，\omega}}=\sup_{a\in\mathbb{q}^｛n｝_{p} ，\gamma\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\omega（B_{gamma}（a））}\biggl（\frac{1}{\vertB_{gamma}$$

哪里\（ω（B_{\gamma}（a））=\int_{B_{\γ}（a）}\omega（x）\，dx\）。

让\（\lambda\in\mathbb{R}\）.如果\（ω（B_{\gamma}（a））=，然后\（GM_{q，\omega}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）是经典的莫里空间\（M_｛q，\lambda｝（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）.关于广义Morrey空间，请参见[15]，有关经典的Morrey空间，请参见[16]等等。

此外，让\（\lambda\in\mathbb{R}\）和\（1）. The第页-adic中心Morrey空间\（CM_{q，\lambda}（\mathbb{q}^｛n｝_{p} ）\）（请参见[8])由定义

$$\Vert f\Vert _｛CM_｛q，\lambda｝｝＝\sup_｛\gamma \in\mathbb｛Z｝｝\biggl（\frac｛1｝｛\Vert B_｛\gamma｝（0）｝\Vert _｛H｝^｛1+\lambda q｝｝｝\int _｛B_｛\gamma｝（0）｝\bigl \Vert f（y）\bigr \Vert ^｛q｝\，dy\biggr）^｛1/q｝$$

定义2.2

([17])

对于\（0<β<1），该第页-adic Lipschitz空间\（\varLambda_{\beta}（\mathbb{Q}^｛n｝_{p} ）\）定义为所有函数的集合\（f:\mathbb{问}_{p} ^{n}\mapsto\mathbb{C}\）使得

$$\垂直f\垂直{\varLambda_{\beta}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）}=\sup_{x，h\in\mathbb{问}_{p} ^{n}，h\neq0}\frac{vertf（x+h）-f（x）\vert}{verth\vert^{beta}_{p}}<\infty$$

定义2.3

([13])

让B类成为一个球\（\mathbb{Q}_{p}^{n}\）,\（1），并让\（\ω（x）\）是中的非负可测函数\（\mathbb{问}_{p} ^{n}\）.A函数\（f\在L^{q}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）据说属于广义坎帕纳托空间\（GC_{q，\omega}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）如果

$$\Vertf\Vert_{GC_{q，\omega}}=\sup_{a\in\mathbb{q}^｛n｝_{p} ，\gamma\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\omega（B_{gamma}（a））}\biggl（\frac{1}{\vertB_{\gamma}（a）\vert_{H}}\int_{B_{gamma}$$

哪里\（f_{B_{\gamma}（a）}=\frac{1}{|B_{\ gamma}（a）|_{H}}\int_{B{\gama}（a）}f（x）\，dx\）和\（\omega（B_｛\gamma｝（a））=\int _｛B_｛\gamma｝（a）｝\omega（x）\，dx\）。

经典的Campanato空间可以在[18,19]等等\（GC_{q，\omega}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）是\（BMO_{q，\lambda}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\），其中\（1<q<infty）和\（0<\lambda<1/n\）.中央BMO空间\（CBMO_{q，\lambda}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）由定义

$$\垂直f\垂直_{CBMO^{q，\lambda}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）}=\sup_{gamma\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\vertB_{gama}，dy\biggr）^{1/q}<\infty$$

(2.1)

引理2.1

([14])

让 \（1）,然后让 ω 是一个非负的可测量函数。让 \（b\在GC_{q，\omega}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）。然后

$$\vert b_{b_{k}（a）}-b_{b_{j}（a）}\vert\leq\vert b\vert_{GC_{q，\omega}}\vert j-k\vert\max\bigl\{\omega\bigl$$

对于 \（j，k\in\mathbb{Z}\） 以及任何固定的 \（a \ in \ mathbb{问}_{p} ^{n}\）。

因此，对于\（j>k），来自引理2.1我们推断

$$\biggl（\int_{B_{j}（a）}\bigl\vert B（y}$$

（2.2）

引理2.2

([5])

让 \（L^{infty}中的\varOmega\（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\） 是这样的 \（\varOmega（p^{j} x个)=\varOmega（x）\） 为所有人 \（j\in\mathbb{Z}\） 和 \（\int_{|x|_{p}=1}\varOmega（x）\，dx=0\）。如果

$$\sup_{\vert y\vert_{p}=1}\sum_{j=1}^{\infty}\int_{vert x\vert_}=1}\bigl\vert\varOmega\bigl（x+p^{j} 年\bigr）-\varOmega（x）\bigr\vert\，dx<\infty$$

然后针对 \（1<p<infty）,有一个常数 \（C>0\） 使得

$$\bigl\Vert T_{k}（f）\bigr\Vert _{L^{p}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）}\leq C\Vertf\Vert_{L^{p}（\mathbb{Q}_{p}^{n{）}$$

对于 \（k\in\mathbb{Z}\）,哪里 C类 独立于 如果 和 \（k\在{\mathbb{Z}}\中）。

此外，\（T（f）=\lim_{k\rightarrow-\infty}T_{k}（f）\）存在于\（L^{p}\）规范，以及

$$\bigl\Vert T（f）\bigr\Vert_{L^{p}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）}\leq C\Vert f\Vert_{L^{p}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）}$$

此外，在第页-自由场，Riesz势\（I_{\alpha}^{p}\）由定义

$$I^{\alpha}_{p} （f）（x） =\frac{1}{\varGamma_{n}（\alpha）}\int_{\mathbb{问}_{p} ^{n}}\frac{f（y）}{\vert x-y\vert_{p}^{n-\alpha}}\，dy$$

哪里\（\varGamma_｛n｝（\alpha）=（1-p^｛\alpha-n｝）/（1-p^｛-\alpha｝）\）对于\（\alpha\in\mathbb｛C｝\）,\（\alpha\neq 0\）。

引理2.3

([14])

让 α 是一个复数 \（0<\operatorname{Re}\alpha<n\）,然后让 \（1<r<infty）,\（1<q<n/\operatorname{Re}\alpha\）,和 \（0<1/r=1/q-\运算符名称{Re}\alpha/n\）。假设两者都是 ω 和 ν 是非负的可测函数

$$\sum_{j={\gamma}}^{\infty}p^{j\operatorname{Re}\alpha}\frac{nu（B_{j}（a））}{omega（B_[gamma}（a]））}=C<\infty$$

对于任何 \（a\in\mathbb{Q}^｛n｝_{p} \） 和 \（\gamma\in\mathbb{Z}\）。然后是Riesz势 \（I^{\alpha}_{p}\） 以为界 \（GM_{q，\nu}\） 到 \（GM_{r，\omega}\）。

三主要成果

在这一节中，我们陈述了本文的主要结果。

定理3.1

让 \（1<q<infty）,然后让 \（\varOmega（p^{j} x)=\varOmega（x）\） 为所有人 \（j\in\mathbb{Z}\）,\（\int_{|x|_{p}=1}\varOmega（x）\，dx=0\）,和

$$\sup_{\vert y\vert_{p}=1}\sum_{j=1}^{\infty}\int_{vert x\vert_}=1}\bigl\vert\varOmega\bigl（x+p^{j} 年\bigr）-\varOmega（x）\bigr\vert\，dx<\infty$$

假设两者都是 ω 和 ν 是非负的可测函数

$$\sum_{j={\gamma}}^{\infty}\nu\bigl（B_{j}（a）\bigr）/\omega\bigl（B_{\gamat}（a）\biger）=C<\infty$$

(3.1)

对于任何 \（\gamma\in\mathbb{Z}\） 和 \（a\in\mathbb{Q}^｛n｝_{p} \）。那么奇异积分算子 \（T_{k}\） 以为界 \（GM_{q，\nu}\） 到 \（GM_{q，\omega}\） 为所有人 \（k\in\mathbb{Z}\）。此外,\（T（f）=\lim_{k\rightarrow-\infty}T_{k}（f）\） 存在于 \（GM_{q，\omega}\）,和操作员 T型 以为界 \（GM_{q，\nu}\） 到 \（GM_{q，\omega}\）。

推论3.1

让 \（1<q<infty）,\（\lambda<0）,然后让 \（L^{infty}中的\varOmega\（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\） 是这样的 \（\varOmega（p^{j} x个)=\varOmega（x）\） 为所有人 \（j\in\mathbb{Z}\）,\（\int_{|x|_{p}=1}\varOmega（x）\，dx=0\）,和

$$\sup_{\vert y\vert_{p}=1}\sum_{j=1}^{\infty}\int_{vert x\vert_}=1}\bigl\vert\varOmega\bigl（x+p^{j} 年\bigr）-\varOmega（x）\bigr\vert\，dx<\infty$$

然后是操作员 \（T_{k}\） 和 T型 在空间上有界 \（M_{q，\lambda}\） 为所有人 \（k\in\mathbb{Z}\）。

事实上，对于\（\lambda<0），采取\（欧米茄（B）=（B）=|B|_{H}^{lambda}\）在定理中3.1，我们得到推论3.1。如果Morrey空间\（M_｛q，\lambda｝（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）被莫里中心空间取代\（CM_{q，\lambda}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）在推论中3.1，则结论为中定理4.1的结论[12].

定理3.2

让 \（L^{infty}中的\varOmega\（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\） 是这样的 \（\varOmega（p^{j} x个)=\varOmega（x）\） 为所有人 \（j\in\mathbb{Z}\）,\（\int_{|x|_{p}=1}\varOmega（x）\，dx=0\）,和

$$\sup_{\vert y\vert_{p}=1}\sum_{j=1}^{\infty}\int_{vert x\vert_}=1}\bigl\vert\varOmega\bigl（x+p^{j} 年\bigr）-\varOmega（x）\bigr\vert\，dx<\infty$$

让 \（0<β{i}<1） 对于 \（i=1,2，\点，m\） 是这样的 \（0<\beta=\sum_｛i=1｝^｛m｝\beta_｛i｝<n\）,然后让 \（1<r<infty） 和 \（1<q<n/β） 是这样的 \（1/r=1/q-\β/n\）。假设 \（b_{i}\在{varLambda{beta{i}}}\中）,\（i=1,2，\点，m\）,以及两者 ω 和 ν 是非负的可测函数

$$\sum_{j={\gamma}}^{\infty}p^{j\beta}\nu\bigl（B_{j}（a）\bigr）/\omega\bigle（B_{\gamat}（a）\biger）=C<\infty$$

(3.2)

对于任何 \（\gamma\in\mathbb{Z}\） 和 \（a[in \mathbb｛Q｝）^｛n｝_{p} \）。然后是换向器 \（T_{k}^{\vec{b}}） 以为界 \（GM_{q，\nu}\） 到 \（GM_{r，\omega}\） 为所有人 \（k\in\mathbb{Z}\）。此外,换向器 \（T^{\vec{b}}（f）=\lim_{k\rightarrow-\infty} 存在于 \（GM_{q，\omega}\）,和 \（T^{\vec{b}}\） 以为界 \（GM_{q，\nu}\） 到 \（GM_{q，\omega}\）。

定理3.3

让 \（L^{infty}中的\varOmega\（\mathbb{Q}_{p}^{n}）\） 是这样的 \（\varOmega（p^{j} x个)=\varOmega（x）\） 为所有人 \（j\in\mathbb{Z}\）,\（\int_{|x|_{p}=1}\varOmega（x）\，dx=0\）,和

$$\sup_{\vert y\vert_{p}=1}\sum_{j=1}^{\infty}\int_{vert x\vert_}=1}\bigl\vert\varOmega\bigl（x+p^{j} 年\bigr）-\varOmega（x）\bigr\vert\，dx<\infty$$

让 \（1<q，r，q_｛1｝，\dots，q_｛m｝<\infty\） 是这样的 \（1/r=1/q+1/q_｛1｝+1/q_｛2｝+\cdots+1/q_｛m｝\）。假设 ω,ν,和 \（\nu_{i}\）(\（i=1,2，\点，m\）)是非负可测函数。假设 \（b_{i}在GC_{q_{i{中，nu_{ineneneep}（mathbb{问}_{p} ^{n}）\）,\（i=1,2，\点，m\）,以及功能 ω,ν,和 \（\nu_{i}\）(\（i=1,2，\点，m\）)满足以下条件以下为：

• （i） \（\prod_｛i=1｝^｛m｝\nu _｛i｝（B_｛\gamma｝（a））\nu（B_｛\gamma｝（a））/\omega（B_｛\gamma｝（a））=C｛\infty\）,

• （ii） \（sum_｛j=\gamma+1｝^｛\infty｝\prod_｛i=1｝^｛m｝\nu｛i｝（B_｛j｝（a））（j+1-\gamma）^｛m｝\nu（B_｛j｝（a））/\omega（B_｛\gamma｝（a））=C｛\infty｝）

对于任何 \（\gamma\in\mathbb{Z}\） 和 \（a\in\mathbb{Q}^｛n｝_{p} \）。然后是换向器 \（T_{k}^{\vec{b}}） 以为界 \（GM_{q，\nu}\） 到 \（GM_{r，\omega}\） 为所有人 \（k\in\mathbb{Z}\）。换向器 \（T^{\vec{b}}=\lim_{k\rightarrow-\infty}T_{k}^{\vec{b{}}\） 存在于 \（GM_{q，\omega}\）,和 \（T^{\vec{b}}\） 以为界 \（GM_{q，\nu}\） 到 \（GM_{q，\omega}\）。

推论3.2

让 \（L^{infty}中的\varOmega\（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\） 是这样的 \（\varOmega（p^{j} x个)=\varOmega（x）\） 为所有人 \（j\in\mathbb｛Z｝\）,\（\int_{|x|_{p}=1}\varOmega（x）\，dx=0\）,和

$$\sup_{\vert y\vert_{p}=1}\sum_{j=1}^{\infty}\int_{vert x\vert_}=1}\bigl\vert\varOmega\bigl（x+p^{j} 年\bigr）-\varOmega（x）\bigr\vert\，dx<\infty$$

让 \（1<q，r，q{1}，\dots，q{m}<\infty） 是这样的 \（1/r=1/q+1/q{1}+1/q{2}+\cdots+1/q}m}\）。让 \（0\leq\lambda_{1}，\dots，\lambda _{m}<1/n\）,\（\lambda<-\sum{i=1}^{m}\lambda{i}\）,和 \（\tilde{\lambda}=\sum{i=1}^{m}\lambda{i}+\lambda\）。如果 \在BMO_{q_{i}，\lambda_{i{}（\mathbb{问}_{p} ^｛n｝）\）,然后换流器 \（T_{k}^{\vec{b}}） 和 \（T^{\vec{b}}\） 以为界 \（M_{q，\lambda}\） 到 \（M_{r，\颚化符{\lambda}}\） 为所有人 \（k\in\mathbb{Z}\）。

此外，让\（1<r，q，q{1}<infty）是这样的\（1/r=1/q+1/q{1}\）.让\（0\leq\lambda_{1}<1/n\）,\（\lambda<-\lambda{1}\）、和\（\波浪线{\lambda}=\lambda{1}+\lambda\）.如果\（在CBMO_{q_{1}，\lambda_{1{}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）然后从推论3.1由此可见，换向器\（T_{k}^{b}=[T_{k{，b]\）和\（T^{b}=[T，b]\）以为界\（CM_{q，\lambda}\）到\（CM_{r，\波浪线{\lambda}}\）为所有人\（k\in\mathbb{Z}\）。这些结果是中定理4.2的结果[12].

4定理的证明3.1–3.3

让我们先证明定理3.1。

对于任何固定\（\gamma\in\mathbb{Z}\）和\（a\in\mathbb{Q}^｛n｝_{p} \），很容易看出

$$开始{对齐}和\frac{1}{ω{\gamma}（a））}\biggl（a） }）（x）\bigr\vert^{q}\，dx\biggr^｛c｝_｛\gamma｝（a）｝）（x）\bigr\vert^｛q｝\，dx\biggr）^｛1/q｝\\&&\ quad:=I+II，\end｛aligned｝$$

（4.1）

哪里\（B）^｛c｝_{\伽马}（a）\）是对的补充\（B_{\gamma}（a）\）在里面\（\mathbb{Q}^｛n｝_{p} \）。

使用引理2.2和(3.1)，因此

$$开始{对齐}I\lesssim&\frac{1}{\omega（B_{\gamma}（a）（a）}{ω}\int_{B_{\gamma}（a）}\bigl\vertf（x）\bigr\vert^{q}\，dx\biggr）^{1/q}\\lesssim&\Vertf\vert_{GM_{q，\nu}}。\结束{对齐}$$

(4.2)

对于二，让我们先估计一下\（|T_{k}（f\chi_{B^｛c｝_{\gamma}（a）}）（x）|\）。

自\（x\在B_{\gamma}（a）中\）和\（L^{infty}中的\varOmega\（\mathbb{Q}_{p}^{n}）\），我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert T_{k}（f\chi_{B^｛c｝_{\gamma}（a）}）（x）\bigr\vert=&\biggl\vert\int_{\vert y\vert_{p}>p^{k}}（f\chi_{B^｛c｝_{\gamma}（a）}）（x-y）\frac{\varOmega（y）}{\vert y\vert_{p}^{n}}\，dy\biggr\vert\=&\biggl\vert_int_{\vert-x-z\vert_}p}>p^{k}}（f\chi_{B^｛c｝_{\gamma}（a）}）（z）\frac{\varOmega（x-z）}{\vert x-z\vert_{p}^{n}}\，dz\biggr\vert\\\lesssim&\int_{B^｛c｝_{\gamma}（a）}\frac{\vertf（z）\vert}{\vert x-z\vert_{p}^{n}}\，dz\\lesssim&\sum_{j=\gamma+1}^{\infty}\int_{S_{j}（a）}p^{-jn}\bigl\vert f（y）\bigr\vert\，dy\\leq&\sum_{j=\ gamma+1{{\inffy}p^{jn}\ biggl（int_{B_{j}（a）}\bigl\vertf（y）\bigr\vert^{q}\，dy\biggr）^{1/q}\bigle\vertB_{j}（a）\biger\vert_{H}^{1-1/q}\\=&\Vertf\Vert_{GM_{q，\nu}}\sum_{j=\gamma+1}^{infty}\nu\bigl（B_{j}（a）\bigr）。\结束{对齐}$$

(4.3)

因此，从(3.1)和(4.3)由此可见

$$\beart｛aligned｝II=&\frac｛1｝｛\omega（B_｛\gamma｝（a））｝\biggl（\frac｛1｝｛\vert B_｛\gamma｝（a）\vert _｛H｝｝\int _｛B_｛\gamma｝（a）｝\bigl\vert T_｛k｝（f\chi _｛B^｛c｝_{\gamma}（a）}）（x）\bigr\vert^{q}\，dx\biggr）^{1/q}\\lesssim&\Vertf\vert_{GM_{q，nu}}\sum_{j=\gamma+1}^{infty}\nu\bigl数字}}。\结束{对齐}$$

(4.4)

结合以下估算(4.1), (4.2)，以及(4.4)，我们有

$$\frac{1}{\omega（B_{\gamma}（a））}\biggl（\frac{1}}{\vertB_{\ gamma}（a）\vert_{H}}\int_{B_{gamma}-（a）}\bigl\vertT_{k}（f）（x）\bigr\vert^{q}\，dx\biggr）^{1/q}\lesssim\vert f\vert_{GM_{q，\nu}}$$

也就是说\（T_{k}\）以为界\（GM_{q，\nu}\）到\（GM_{q，\omega}\）为所有人\（k\in\mathbb{Z}\）。

此外，从引理2.2以及\（GM_｛q，\omega｝（\mathbb{问}_{p} ^｛n｝）\）很明显\（T（f）=\lim_{k\rightarrow-\infty}T_{k}（f）\）存在于\（GM_{q，\omega}\）和操作员T型以为界\（GM_{q，\nu}\）到\（GM_{q，\omega}\）。

定理的证明3.2

对于任何\（x\in\mathbb{Q}^｛n｝_{p} \），自\（L^{infty}中的\varOmega\（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）和\（b_{i}\在{varLambda{beta{i}}}\中）,\（i=1,2，\点，m\），很容易看出

$$\begin{aligned}和\bigl\vert T_{k}^{\vec{b}}f（x）\bigr\vert\和\quad\leq\int_{vert y\vert_{p}>p^{k}}\prod_{i=1}^{m}\bigl\ vert b{i}\vert y\vert_{p}^{n}}\，dy\\&\quad\lesssim\int_{mathbb{问}_{p} ^{n}}\frac{\vertf（z）\vert}{\vertx-z\vert_{p}^{n-\beta}}\，dz\\&\quad\lesssim I^{beta}_{p}\bigl（\vertf\vert\bigr）（x）。\结束{对齐}$$

因此从引理2.3很明显，换向器\（T_{k}^{\vec{b}}）以为界\（GM_{q，\nu}\）到\（GM_{r，\omega}\）为所有人\（k\in\mathbb{Z}\）。

此外，从\（GM_{q，\omega}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）很明显\（T^{\vec{b}}（f）=\lim_{k\rightarrow-\infty}存在于\（GM_{q，\omega}\）和换向器\（T^{\vec{b}}\）以为界\（GM_{q，\nu}\）到\（GM_{q，\omega}\）。 □

定理的证明3.3

在不失一般性的情况下，我们只需要证明这个结论适用于\（m=2\）。

对于任何固定\（\gamma\in\mathbb{Z}\）和\（a\in\mathbb{Q}^｛n｝_{p} \），我们写\（f^{0}=f\chi_{B_{gamma}（a）}\）和\（f^{infty}=f\chi_{B^｛c｝_{\伽马}（a）}\）.然后

$$开始{对齐}和\frac{1}{\omega（B_{\gamma}（a）\quad\leq\frac{1}{\omega（B_{\gamma}（a）-（b{1}）{b{\gamma}（a）}\biger）\bigl（b{2}（x）-biggl（\frac{1}{\vertB_{\gamma}（a）\vert_{H}}\int_{b_{gamma}（a）}\bigl\vert\bigl（b_1}（x）-（b_1{}）_{b{\garma}_{2}-（b_{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{0}\biger）bigl\vert\bigl（b_{2}（x）-（b_2}）_{b_{gamma}（a）}\bigr）T_{k}\bigl_{1}-（b_{1}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{0}\biger）转换T_{k}\bigl（_{1}-（b{1}）{b{\gamma}（a）}\bigr）\bigl（b_{2}-（b_{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{0}\biger）b_{\gamma}（a）}\bigl\vert\bigl\bigr）（x）\bigr\vert^{r}\，dx\biggr）^{1/r}\\&\qquad{}+\frac{1}{\omega（B_{gamma}（a））}\\&\ qquad}}\times\biggl（\frac}{\vertB_{gamma}{1}）{B_{gamma}（a）}_{2}-（b_{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{\infty}\biger）（x）\bigr\vert^{r}\，dx\biggr{b_{γ}（a）}_{1}-（b_{1}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{\infty}\biger））}\bigl\vert T_{k}\bigle（\bigl（b）_{1}-（b{1}）{b{\gamma}（a）}\bigr）\bigl（b_{2}-（b_{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{\infty}\biger）（x）\bigr\vert^{r}\，dx\biggr）^{1/r}\\&\quad=：E_{1}+E_{2}+E_}3}+E_5}+E_6}+E_7}+E_8}。\结束{对齐}$$

(4.5)

我们进一步估计了每一部分。

自\（1/r=1/q+1/q{1}+1/q{2}\），来自Hölder不等式，引理2.2（i）由此得出

$$\begin{aligned}E_{1}=&\frac{1}{\omega（B_{\gamma}（a））}\\&{}\times\biggl（\frac{1}{\vertB_{\ gamma}（a）\vert_{H}}\int_{B_{（a{2}（x）-（B_2}）{B_{\gamma}（a）}\bigr）T_{k}\bigl（f^{0}\biger）（x）\bigr\vert^{r}\，dx\biggr）^{1/r}\\leq&\frac{1}｛\omega（B_｛\gamma｝（a））\vert B_｛\gamma｝｛\gamma｝（a）｝\bigl\vert T _｛k｝\bigl（f^｛0｝\bigr）（x）\bigr\vert ^｛q｝\，dx\biggr）^｛1/｛q｝｝\\lesssim&\frac｛\nu _｛1｝（B_{\gamma}（a））{{2}l \vertf（x）\bigr\vert^{q}，dx\biggr）^{1/q}\\leq&\frac{nu（a） ）}\prod_{i=1}^{2}\Vertb_{i}\Vert_{GC_{q{i}，\nu_{i{}}\Vertf\Vert_{GM_{q，\nu}}\\lesssim&\prod_{i=1{2}\ Vertb_a{i}\ Vert_GC_{q{i}，\ nu_{i}}\ Vertf\Vert_GM_{q，\ nu}}。\结束{对齐}$$

让\（1/\bar{q}=1/q+1/q{2}）.然后\（1/r=1/q{1}+1/\bar{q}\）因此，从Hölder不等式出发，引理2.2和（i）我们获得

$$\begin{aligned}E_{2}=&\frac{1}{\omega（B_{\gamma}（a））}\biggl（B）_{2}-（b_{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{0}\biger）{1}（x）-（b_1}）{b_{\gamma}（a）}\bigr\vert^{q_1}\，dx\biggr）^{1/q_{1}}\\&{}\ times\biggl（int_{b_}\gamma（a\bigl（\bigl_{2}-（b _｛2｝）_｛b_｛\gamma｝（a）｝\bigr）f^｛0｝\bigr）（x）\bigr \vert^｛\bar｛q｝｝\，dx\biggr）^｛1/｛\bar｛q｝｝｝｝\\lesssim&&frac｛1｝｛\omega（b_｛\gamma｝（a））\vert b_｛\gamma｝（a）\vert _｛H｝^｛1/r｝-（b_｛1｝）_｛b_｛\gamma｝（a）｝\bigr\vert^｛q_｛1｝｝\，dx\biggr）^｛1/q_｛1｝｝｝\&｛｝\times\biggl（\ int _｛b_｛\gamma｝（a）}\bigl\vert\bigl（b_{2}（x）-（b_}2}）_{b_{gamma}（a）}\biger）f（x）\bigr\vert^{bar{q}}\，dx\biggr）^{1/{bar{q}}}\\leq&\frac{1}{omega（b_{gamma}i=1}^{2}\biggl（int_{b_{gamma}（a）}\bigl\vertb_{i}}\biggl（\int _｛B_｛\gamma｝（a）｝\bigl\vert f（x）\bigr\vert ^｛q｝\，dx\biggr）^｛1/｛q｝｝\\leq&&frac｛\nu（B_｛\gamma｝（a））\nu _｛1｝（B_｛\gamma｝（a））\nu _｛2｝（B_｛\gamma｝（a））｝｛GC_｛q_｛i｝，\nu _｛i｝｝｝｝\vert f\vert _｛GM_｛q，\nu｝｝\\lesssim&\prod_｛i=1｝^｛2｝\vert B_｛i｝\vert _｛GC_｛q_｛i｝，\nu _｛i｝}}\垂直f\垂直_｛GM_｛q，\nu｝｝。\结束{对齐}$$

同样，

$$E_{3}\lesssim\prod_{i=1}^{2}\Vertb_{i}\Vert_{GC{q{i}，\nu{i}}\Vertf\Vert_{GM{q，\nu}}$$

对于\（E_{4}\），来自引理2.2，Hölder不等式，（i）我们得到

$$\begin{aligned}E_{4}=&\frac{1}{\omega（B_{\gamma}（a））}\biggl（\frac{1}}{\vertB_{\ gamma}（a）\vert_{H}}\int_{B_{gamma}[a）}\bigl\vertT_{k}\bigl（B）_{1}-（b_{1}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）\bigl（b_{2}-（b_{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{0}）（x）\bigr\vert^{r}\，dx\biggr）^{1/r}\\lesssim&\frac{1}{omega（b_{γ}（a））\vertB_{\ gamma}（a）\vert_{H}^{1/r}\biggl（b_1}（x）-（b_1{1}）{b_{\gamma}（a）}\bigr）\bigl（b_2}（x）-}\\leq&\frac{1}{omega（B_{gamma}（a））\vertB_{gamma}biggr）^{1/q_{i}}\biggl（int_{B_{\gamma}（a）}\bigl\vertf（x）\bigr\vert^{q}\，dx\biggr（B_{\gamma}（a））{{2}\Vert_{GC_{q_{i}，\nu_{i{}}\Vertf\Vert_{GM_{q，\nu}}。\结束{对齐}$$

估计\（E_{5}\），我们首先需要考虑\（|T_{k}（f^{\infty}）（x）|\）事实上(4.3)很容易看出这一点

$$\bigl\vert T_{k}\bigl（f^{infty}\bigr）（x）\bigr\vert\lesssim\vert f\vert_{GM_{q，\nu}}\sum_{j=\gamma+1}^{inffy}\nu\bigle（B_{j}（a）\biger）$$

（4.6）

因此，从霍尔德不等式来看(4.6)和（ii）我们得到

$$\begin{aligned}E_{5}=&\frac{1}{\omega（B_{\gamma}（a））}\\&{}\times\biggl（\frac{1}{\vertB_{\ gamma}（a）\vert_{H}}\int_{B_{（a{2}（x）-（B_2}）{B_{\gamma}（a）}\bigr）T_{k}\bigl（f^{\infty}\biger）（x）\bigr\vert^{r}\，dx\biggr）^{1/r}\\leq&\frac{1}{ω（B_{\gamma}（a））\vertB_{\γ}（a）\vert_{H}^{1/r}}\prod_{i=1}^{2}\biggl}\\&{}\times\biggl（int_{B_{gamma}（a）}\bigl\vert T_{k}\bigle（f^{infty}\biger）（x）f（x）\bigr\vert^{q}\，dx\biggr）^{1/{q}}\\lesssim&\sum_{j=\gamma+1}^{\infty}\frac{\nu（B_{j}（a））\nu_{1}垂直f\Vert_{GM_{q，nu}}\\lesssim&\prod_{i=1}^{2}\Vertb_{i}\Vert_{GC_{q_{i{，nu{i}}\垂直f\Vert_{GM_{q、nu}}。\结束{对齐}$$

与估计值类似(4.3)的\（x \在B_｛\gamma｝（a）\中）.签署人\（L^{infty}中的\varOmega\（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）和(2.2)我们可以推断出

$$\开始{aligned}&\big|T_{k}\bigl（b_{2}-（b_{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{\infty}）（x）\big|\\&\quad=\biggl\vert\int_{verty\vert_p}>p^{k}}\bigl（b_2}（x-y）-^｛c｝_{\gamma}（a）}（x-y）\frac{\varOmega（y）}{\vert y\vert_{p}^{n}}\，dy\biggr\vert\\&\quad\leq\int_{B^｛c｝_{\gamma}}\bigl\vert b_{2}（z）-（b_2}）_{b_{\gama}（a）}\bigr\vert\bigl\overt f（z）\bigr\ vert\frac{\vert\varOmega（x-z）\vert}{\vert x-z\vert_{p}^{n}}\，dz\\&\quad\lesssim\int_{b^｛c｝_{\gamma}}（z）-（b{2}）{b_{gamma}（a）}\vert\vert f（z）\vert}{\vert x-z\vert_p}^n}}{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr\vert\bigl\vertf（y）\bigr\ vert\，dy\\&\quad=\sum_{j=\gamma+1}^{\infty}p^{-jn}\bigl\ vertB_{j}（a）\bigr\vert_{H}^{1-1/q-1/q_2}}\biggl（\int_{S_j}（a）}\bigl\vert f（y）\bigr\ vert^{q}\，dy\biggr）^{1/{q}}\biggl 2}，dy\biggr）^{1/q_{2}}\\&\quad\leq\Vertf\vert_{GM_{q，\nu}}\sum_{j=\gamma+1}^{infty}p^{-jn}\bigl\vertB_{j}（a）\bigr\vert_{H}^{1-1/q_{2]}\nu\bigl（B_{j}（a）\bigr）\biggl（int _{B_{j}（a）}\bigl\vert B_{2}（y）-（B_{2}）_{B _{gamma}（B）}\bigr\vert ^ q_{2}}\，dy\biggr}}\Vertf\vert_{GM_{q，\nu}}\sum_{j=\gamma+1}^{\infty}（j+1-\gamma）\nu\bigl（B_{j}（a）\bigr）\nu_{2}\bigl。\结束{对齐}$$

(4.7)

让\（1/\bar{q}=1/q+1/q{2}）.然后\（1/r=1/q_｛1｝+1/\bar｛q｝\）因此，根据Hölder不等式(4.7)以及（ii）因此

$$\begin{aligned}E_{6}=&\frac{1}{\omega（B_{\gamma}（a））}\biggl（\frac{1}}{\vertB_{\ gamma}（a）\vert_H}}\int_{B_{gamma}[a）}\bigl\vert\bigl（B_{1}（x）-（B）_{2}-（b_{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{\infty}\biger）（x）\bigr\vert^{r}\，dx\biggr vertb_{1}（x）-（b_1}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr\vert^{q_1}}\，dx\biggr）^{1/q_{1{}}\\&{}\ times\biggl（int_{b{\garma}（a）}\bigl\vertT_{k}\bigl（\bigl_{2}-（b_{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{\infty}\biger）（x）\bigr\vert^{\bar{q}}\，dx\biggr）^{1/{\bar}q}}\\leq&\prod_{i=1}^{2}\Vertb_{i}\vert_GC_{q{i}，nu_{i{}}\vert f\vert_{GM_{q，\nu}}\frac{1}{\omega（b_{\gamma}（a））}\sum_{j=\gamma+1}^{\infty}（j+1-\gamma）\nu\bigl\bigl（B_{\gamma}（a）\biger）\\lesssim&\prod_{i=1}^{2}\Vertb_{i}\Vert_{GC_{q_{i{，nu_{ineneneep}\Vertf\Vert_{GM_{q，nu}}。\结束{对齐}$$

类似估算\（E_{6}\），我们获得

$$E_{7}\lesssim\prod_{i=1}^{2}\Vertb_{i}\Vert_{GC{q{i}，\nu{i}}\Vertf\Vert_{GM{q，\nu}}$$

此外，由于\（L^{infty}中的\varOmega\（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\），由(2.2)很容易看出这一点

$$\开始{对齐}&\bigl\vert T_{k}\bigl（_{1}-（b_{1}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）\bigl（b_{2}-（b_2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{\infty}\biger）（x）\bigr\vert\\&\quad=\biggl\vert\int_{\vert x-z\vert_p}>p^{k}}\bigl（b_1}（z）-（b_1{}）\gamma}（a）}\biger）f\chi_{b^｛c｝_{\gamma}（a）}（z）\frac{\varOmega（x-z）}{\vert x-z\vert_{p}^{n}}\，dz\biggr\vert\&\quad\leq\int_{B^｛c｝_{\gamma}}\bigl\vert b_{1}（z）-（b_1}）_{b_{\gama}（a）}\bigr\vert\bigl\overtb_{2}&\quad\lesssim\sum_{j=\gamma+1}^{\infty}\int_{S_{j}（a）}p^{-jn}\bigl\vertb_{1}（z）-（b_1}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr\vert\bigl\vert b_{2}（z）-（b_2}）_{b_{gamma}_{1}-1/q_{2}}\biggl（int_{S_j}（a）}\bigl\vertf（y）\bigr\vert^{q}\，dy\biggr）^{1/{q}}\\&\qquad}\times\biggl（int_[S_{j}，dy\biggr）^{1/q_{1}}\\&\qquad{}\times\biggl，dy\biggr）^{1/q_{2}}\\&\quad\lesssim\prod_{i=1}^{2}\Vertb_{i}\Vert_{GC_{q_{i{，\nu_{ineneneep}\Vertf\Vert_{GM_{q，\nu}}\sum_{j=\gamma+1}^{\infty}（j+1-\gamma）^{2{nu\bigl（b_{j}（a）\biger）\nu{1}\bigl（b_{j}（a）\bigr）。\结束{对齐}$$

(4.8)

因此，从(4.8)（ii）我们明白了

$$\begin｛aligned｝E_｛8｝=&&frac｛1｝｛\omega（B_｛\gamma｝（a））｝\bigl（\frac｛1｝｛B_｛\gamma｝（a）| _｛H｝｝\ int _｛B｝\bigl \ vert T_｛k｝\bigl（\bigl（B_{1}-（b_{1}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）\bigl（b_{2}-（b_{2}）_{b_{\gamma}（a）}\bigr）f^{\infty}\biger）（x）\bigr\vert^{r}\，dx\biggr{ω（b_{\gamma}（a））}\sum_{j=\gamma+1}^{\infty}（j+1-\gamma）^{2}\nu\bigl\较大）\\较小&\prod_{i=1}^{2}\Vert b_{i}\Vert_{GC_{q{i}，\nu_{i{}}\ Vert f\Vert{GM_{q，\nu}}。\结束{对齐}$$

组合(4.5)以及对\（E_{1}，E_{2}，\点，E_{8}\），我们有

$$\frac{1}{\omega（B_{\gamma}（a 1}^{2}\Vertb_{i}\vert_{GC_{q_{i{}，\nu_{ineneneep}\Vertf\vert_{GM_{q，\nu}}$$

这意味着换向器\（T_{k}^{（b{1}，b{2}）}\）以为界\（GM_{q，\nu}\）到\（GM_｛r，\omega｝\）。

此外，通过引理2.2以及\（GM_{q，\omega}（\mathbb{问}_{p} ^{n}）\）很明显，换向器\（T^{\vec{b}}（f）=\lim_{k\rightarrow-\infty}存在于\（GM_{q，\omega}\）、和\（T^{\vec{b}}\）以为界\（GM_{q，\nu}\）到\（GM_{q，\omega}\）。

因此，定理的证明3.3已完成。 □

5结论

在本文中，我们建立了一类第页-上的adic奇异积分算子第页-adic广义Morrey空间。我们还考虑了由第页-adic奇异积分算子和第页-adic Lipschitz函数或第页-adic广义Campanato函数。