无奇异核分数阶导数中的Hardy型不等式

摘要

在这份手稿中，我们在Caputo–Fabrizio分数导数中发展了Hardy型不等式。我们提供了一些示例来证实我们的工作。

1介绍

1920年，哈代[1]表明，对于\（p{1}>1\）,\（g\在L^{p_{1}}（0，\infty）中\）作为一个非负函数，以下不等式成立：

$$\int^{\infty}_{0}\biggl（\frac{1}{x}\int^{x}_{0}克（t）\，dt\biggr）^{p{1}}\，dx\leq\biggl（\frac{p{1\}}{p_{1} -1个}\biggr）^{p_{1}}\int^{\infty}_{0}\bigl（g（x）\bigr）^{p _{1}}\，dx，\quad p _{1}>1$$

(1.1)

众所周知，不平等(1.1)在文献中被称为经典的哈代积分不等式。它在分析和微分方程理论中有许多应用（参见，例如[2,三]和[4])。这个不等式已经被许多数学家推广和发展了。不同的数学家研究了不同分数导数和积分的新型Hardy不等式；参见[4,5,6,7,8,9]以及其中的参考文献。

1964年，莱文森[10]表明了不平等(1.1)参数保留\（{1}\）和\（b{1}\）也就是说，对于\（0<a_｛1｝<b_｛1｝<\infty\）以下不等式有效：

$$\int^{b_{1}}_{a{1}}\biggl（\frac{1}{x}\int^{x}_{0}克（t）\，dt\biggr）^｛p_｛1｝｝\，dx\leq\biggl（\frac｛p_｛1｝｝）｛p_{1}-1}\biggr）^{p_{1}}\int^{\infty}_{0}\bigl（g（x）\bigr）^{p _{1}}\，dx，\quad p _{1}>1$$

(1.2)

2010年，Iqbal等人[7]在Riemann–Liouville型分数导数和积分中获得了新的分数不等式。2011年、2013年和2014年，他们证明了一些新的不等式，涉及Riemann–Liouville分数积分、Caputo分数导数和其他分数导数；参见[11,12,13,14].

2017年，Iqbal等人[15]给出了Hilfer分数阶导数的Hardy型不等式。此外，他们利用凸函数和增函数在Mittag–Leffler函数的核内得到了广义分数阶积分的Hardy型不等式。同年，Iqbal等人[16]在Mittag–Leffler函数的核内，得到了广义分数次积分算子的Hardy型不等式。此外，他们利用凸函数和单调凸函数建立了Hilfer分数导数。2017年，纳西布林[17]用分数积分和Riemann-Liouville的导数证明了新的Hardy型不等式。

最近，Caputo和Fabrizio于[18]. 引入这种新型导数的原因是为了寻找具有非奇异核且没有伽玛函数的分数导数。自那时以来，许多研究人员对此进行了讨论，并将这种新的分数导数应用于一些现实现象，并报告了出色的结果[19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35]. 另一方面，分数阶导数的离散形式是当今有趣的话题之一[19,36,37,38,39,40]. 离散分数阶Caputo导数的一些应用可以在[41,42].

本文的结构如下。在Sect。 1，我们做了介绍。在Sect。 2，介绍了基本定义和定理。动机[12,26,36]在Sect中建立了新的左黎曼分数阶导数的几个Hardy型不等式。 三。在第。 4.

2基本定义和定理

在本节中，我们给出了以下定义和定理，它们在证明我们的结果时很有用。

定义2.1

([43])

让\（I_{1}\）作为间隔，让ψ是一个函数\（I_{1}\rightarrow\mathbb{R}\）.ψ称为凸，如果

$$\psi\bigl（\beta x+（1-\beta）t\bigr）\leq\beta\psi（x）+（1-\ beta）\psi（t）$$

(2.1)

对于所有点x个和t吨在里面\（I_{1}\）以及所有\（0\leq\beta\leq1）.ψ是严格凸的，如果(2.1)无论何时都严格持有x个和t吨是不同的点和\（0<β<1）.

让\（（\sum_{1}，\varOmega_{1{，\mu_{1neneneep）\）和\（（\sum_{2}，\varOmega_{2{，\mu_{2neneneep）\）用正数度量空间σ-有限测度。此外，让\（U_{1}（g）\）是函数类\（h:\varOmega_{1}\rightarrow\mathbb{R}\）定义为

$$h（x）：=\int_{\varOmega_{2}}k_{1}（x，t）g（t）\，d\mu_{2{（t）$$

然后让\（A_{k_{1}}\）是一个积分运算符，定义为

$$A{k{1}g（x）：=压裂{h（x）}{k{1}（x）$$

这样的话\（k{1}:\varOmega{1}\times\varOmega{2}\rightarrow\mathbb{R}\）表示非负可测函数，\（g:\varOmega_{2}\rightarrow\mathbb{R}\）代表一个可测量的函数

$$K_｛1｝（x）：=\int_｛\varOmega_｛2｝｝K_｛1｝（x，t）\，d\mu_｛2｝（t）>0，\quad x\in\varOmega_｛1｝$$

(2.2)

定理2.1

([7])

让 v（v） 是上的权重函数 \（\varOmega_｛1｝\）,和 \（k{1}:\varOmega{1}\times\varOmega{2}\rightarrow\mathbb{R}\） 成为非-负可测函数.阿尔索,让 \（K_{1}\） 定义于 \（\varOmega_{1}\） 通过(2.2).假设 \（x\mapstov（x）\frac{k{1}（x，t）}{k{1}（x）}\） 是上的可积函数 \（\varOmega_{1}\） 对于每个固定 \（t \ in \ varOmega_{2}\）.定义 u个 在 \（\varOmega_{2}\） 作为

$$u（t）：=\int_{\varOmega_{1}}v（x）\frac{k{1}（x，t）}{k{1}（x）}\，d\mu{1}-（x）<\infty$$

如果函数 \（\psi:（0，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\） 表示凸函数和递增函数,然后是不等式

$$\int_{\varOmega_{1}}v（x）\psi\biggl（\biggl\vert\frac{h（x）}{K_{1{（x）{\biggr\vert\biggr）\，d\mu_{1neneneep（x）\ leq\int_}\varOmega_{2}}u（t）\psi.bigl$$

(2.3)

保持所有可测量功能 \（g:\varOmega_{2}\rightarrow\mathbb{R}\）.

在定理中2.1，通过更换\（k{1}（x，t）\）通过\（k{1}（x，t）g{2}（t）\）和克通过\（压裂{g{1}}{g{2}}\），其中函数\（g_{j}:\varOmega_{2}\rightarrow\mathbb{R}\）可测量的\（j=1,2），得到以下结果（参见[11])。

定理2.2

让 \（g_{j}:\varOmega_{2}\rightarrow\mathbb{R}\） 是可测量的函数,\（在U{1}（g{j}）中为h{j}\） \（j=1,2）,具有 \（h{2}（x）>0\） 为所有人 \（x\in\varOmega_｛1｝\）.阿尔索,让 v（v） 是上的权重函数 \（\varOmega_{1}\） 和 \（k{1}:\varOmega{1}\times\varOmega{2}\rightarrow\mathbb{R}\） 成为非-负可测函数.假设 \（x\mapstov（x）\frac{g{2}（t）k{1}（x，t）}{h{2}（x）}） 是上的可积函数 \（\varOmega_{1}\） 对于每个固定 \（t \ in \ varOmega_{2}\）.定义 u个 在 \（\varOmega_{2}\） 通过

$$u（t）：=g{2}（t）\int{\varOmega{1}}\frac{v（x）k{1}（x，t）}{h{2}（x）}\，d\mu{1}（x$$

如果函数 \（\psi:（0，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\） 表示凸函数和递增函数,那么下面的不等式成立:

$$\int_{\varOmega_{1}}v（x）\psi\biggl（\biggl\vert\frac{h{1}（x）}{h{2}（x）}\biggr\vert\biggr）\，d\mu_{1{（x gr\vert\biggr）\，d\mu{2}（t）$$

(2.4)

定理2.3

([7])

让 \（（\sum_{1}，\varOmega_{1{，\mu_{1neneneep）\） 和 \（（\sum_{2}，\varOmega_{2{，\mu_{2neneneep）\） 用正数度量空间 σ-有限测度.还让 v（v） 是上的权重函数 \（\varOmega_{1}\）,让 \（k{1}:\varOmega{1}\times\varOmega{2}\rightarrow\mathbb{R}\） 成为非-负可测函数(2.2),让 \（K_{1}\） 定义于 \（\varOmega_{1}\） 和 \（0<p_{1}\leq_{1{<infty\）.如果 \（x\mapsto v（x）\frac｛k_{1}（x，t）｝｛k_{1}（x）｝\） 是上的可积函数 \（\varOmega_{1}\） 对于每个固定 \（t\in\varOmega_｛2｝\）,然后 u个 写为

$$u（t）：=\biggl[\int_{\varOmega_{1}}v（x）\biggl$$

如果函数 ψ 表示非-区间上的负凸 \（I_{1}\subseteq\mathbb{R}\）,然后是不等式

$$\biggl[\int_{\varOmega_{1}}v（x）\bigl \psi\bigl（g（t）\bigr）\，d\mu_{2}（t）\ biggr]^{\frac{1}{p_{1}}}$$

(2.5)

保持所有可测量功能 \（g:\varOmega_{2}\rightarrow\mathbb{R}\） 这样的话 \（\operatorname{Im}g\subseteq I_{1}\）.

定理2.4

([7])

让 \（在U{1}（g{j}）中为h{j}\） 对于 \（j=1,2,3）,具有 \（h{2}（x）>0\） 为所有人 \（x\in\varOmega_{1}\）.让 v（v） 是上的权重函数 \（\varOmega_{1}\）,和 \（k{1}:\varOmega{1}\times\varOmega{2}\rightarrow\mathbb{R}\） 成为非-负可测函数,然后 u个 写为

$$u（t）：=g{2}（t）\int{\varOmega{1}}\frac{v（x）k{1}（x，t）}{h{2}（x）}\，d\mu{1}（x$$

如果函数 \（\psi:（0，\infty）\次（0，\ infty，\rightarrow\mathbb{R}\） 表示一个凸的递增函数,那么下面的不等式成立:

$$开始{对齐}[b]&\int_{\varOmega_{1}}v（x）\psi\biggl（\biggl\vert\frac{h{1}（x）}{h{2}（x）}\biggr\vert，\bigglovert\frac{h{3}}u（t）\psi\biggl（\biggl\vert\frac{g{1}（t）}{g{2}（t）。\结束{对齐}$$

(2.6)

三主要成果

下面，我们给出了新的左黎曼分数阶导数的定义，然后讨论了新的右黎曼分数导数的Hardy-型不等式。

根据[19]，如果\（g\在H^{1}（a_{1}，b_{1{）中）,\（0<a{1}<b{1}\leq\infty\）,\（（0,1）中的α），然后是左新的黎曼分数导数\（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}\）由定义

$$\bigl（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}g\bigr）$$

(3.1)

具有\（\lambda=\frac{-\alpha}{1-\alpha{）和\（x\geqa{1}）.在这里\（M（α））是归一化常数，取决于α.

定理3.1

让 \（0<\alpha<1\）,\（p{1}>1\） 和 \（q{1}>1\）.阿尔索,让 \（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}\） 由定义(3.1).如果 \（g'\在L^{q{1}}（a{1}，b{1}）中,那么下面的不等式成立:

$$开始{对齐}\int_{a{1}}^{b_{1}{\bigl\vert\bigl 1}}\，dt，\结束{对齐}$$

(3.2)

哪里 \（压裂{1}{p{1}}+压裂{1{q{1}=1\）,\（\lambda=\frac{-\alpha}{1-\alpha{） 和 \（C_{1}=（\压裂{M（\α）}{1-\α}）^{q{1}}（-\压裂{1}{p{1}\lambda}）_{1} -a个_{1})\).

证明

我们有

$$\begin{aligned}\bigl\vert\bigl（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}g\bigr）（x）\bigr\vert=&\biggl\vert\frac{M（\alpha）}{1-\alpha{\，\frac{D}{dx}\int_{a}}}^{x}g（t）\exp\bigl vert\\=&\biggl\vert\frac{M（\alpha）}{1-\alpha}\，\frac{D}{dx}\bigl（g（x）*\exp（\lambda x）\bigr）\biggr\vert\\=&\biggl\vert\frac{M（\alpha）}{1-\alpha}\biggl（\frac{dg}{dx}（x）*\exp（\lambda x）\bigcr）\bigr\vert\\leq&\frac}M（\alpha）{1-\alpha}\int_{a{1}}^{x}\bigl\vert g'（t）\biger\vert\exp\bigl（\lambda（x-t）\较大）\，日期。\结束{对齐}$$

通过使用Hölder不等式\（p{1}，q{1}\），我们可以写

$$开始{aligned}\bigl\vert\bigl（{}^{mathrm{CFR}}{a{1}}D^{alpha}g\bigr）（x）\bigr\vert\leq&\frac{M（\alpha）}{1-\alpha}\biggl（\int_{a{1\}}^x}\bigl\vert g'（t）\biger\vert^{q{1}，dt\biggr）^{\frac}{1}{q{1}}\biggl（int{a{1}{^{x}\exp\bigl（p{1}\lambda（x-t）\bigr），dt\biggr）\biggl（-\frac{1}{p{1}\lambda}+\frac}\exp（p{1{\lambda（x-a{1}））}{p_1}\lampda}\biggr）^{\frac[1}{p_{1}}}\ biggl \压裂{1}{q{1}}}。\结束{对齐}$$

因此，我们得到

$$\beign｛aligned｝\bigl\vert\bigl（｛｝^｛\mathrm｛CFR｝｝_｛a_｛1｝｝D^｛\alpha｝g\bigr）（x）\bigr\vert^｛q_｛1｝｝\leq&\biggl（\frac｛M（\alpha）｝｛1-\alpha｝\biggr）^｛q_｛1｝｝\biggl（-\frac｛1｝｛\lambda｝\biggr）^｛\frac｛q_｛1｝｝｛p_｛1｝｝｝\int_｛a_｛1｝｝^｛x｝\bigl\vert g'（t）\bigr\vert ^｛q_｛1｝｝\，dt\\leq&\biggl（\frac{M（\alpha）}{1-\alpha}\biggr）日期。\结束{对齐}$$

从以下方面整合双方\（{1}\）到\（b{1}\），我们得到以下不等式：

$$\int_｛a_｛1｝｝^｛b_｛1｝｝｝\bigl\vert\bigl（｛｝^｛\mathrm｛CFR｝｝_｛a_｛1｝｝D^｛\alpha｝g\bigr）（x）\bigr\vert^｛q_｛1｝｝\，dx\leq\biggl（\frac｛M（\alpha）｝｛p_｛1｝｝｝（b_{1} -a个_{1} ）\int_{a{1}}^{b{1}{\bigl\vert g'（t）\bigr\vert^{q{1}}\，dt$$

让\（C_{1}=（\压裂{M（\α）}{1-\α}）^{q{1}（-\压裂{1}{p_{1{\lambda}）.然后我们获得(3.2). □

推论3.1

让 v（v） 是上的权重函数 \（（a{1}，b{1}）\）,\（0<α<1） 和 \（\lambda=\frac{-\alpha}{1-\alpha{）.阿尔索,让 \（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}\） 由定义(3.1),让 \（g\在H^{1}（a_{1}，b_{1{）中） 并定义 u个 在 \（（a{1}，b{1}）\） 通过

$$u（t）=-\lambda\int_｛t｝^｛b_｛1｝｝\frac｛v（x）\exp（\lambda（x-t））｝｛1-\exp（\lambda（x-a_｛1｝））｝\，dx<\infty$$

如果函数 \（\psi:（0，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\） 表示一个凸的递增函数,然后是不等式

$$\begin{aligned}和\int_{a{1}}^{b_{1}v（x）\psi\biggl（\frac{\lambda^{2}}{1-\exp（\lambda（x-a{1{））}\bigl\vert\bigl（{}^{mathrm{CFR}}{a{1\}D^{\alpha}g\biger）（x）\ bigr）\，dx\leq\int_}_{1}}^{b{1}{u（t）\psi\bigl（\bigl\vert g'（t）\ bigr\vert\bigr）\，dt\end{aligned}$$

(3.3)

保持正确.

证明

通过应用定理2.1具有\（\varOmega_{1}=\varOmega_{2}=（a{1}，b_{1{）\）,\（d\mu{1}（x）=dx\）,\（d\mu{2}（t）=dt\）,

$$k{1}（x，t）=\textstyle\begin{cases}-\frac{\exp（\lambda（x-t））}{\lambda}，&a{1}\leqt\leqx，\\0，&x<t\leqb{1}，\end{casesneneneep$$

然后我们发现\（K{1}（x）=\frac{1-\exp（\lambda（x-a{1}））}{\lambda^{2}}\）此外，如果克被替换为\（g’\）和小时被视为\（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}g\），我们获得(3.3). □

备注3.1

综上所述3.1，让\（v（x）=1-\exp（λ（x-a{1}））是上的特定权重函数\（（a{1}，b{1}）\）.然后我们得到以下不等式：

$$开始{对齐}和\int_{a{1}}^{b{1}\bigl r）（x）\bigr\vert\，dx\biggr}\bigl（1-\exp\bigl（\lambda（b_{1} -吨）\bigr）\biger）\psi\bigl（\bigl\vert g'（t）\biger\vert\biger）\，dt。\结束{对齐}$$

（3.4）

如果函数\（\psi:（0，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）由定义\（psi（x）=x^{q{1}}）对于\（q{1}>1\），然后(3.4)减少为以下不等式：

$$\开始{对齐}和\int_{a{1}}^{b{1}\ bigl（1-\exp\bigl r）（x）\bigr\vert\biggr）^{q{1}}\，dx\\&\qquad\qquad_qquad\\qquad\qquad:qquad\e\leq\int_{a{1}{^{b{1}}bigl（1-\exp\bigl）（\lambda（b_{1} -吨)\ bigr）\ bigr）\ bigl\ vert g'（t）\ bigr \ vert ^｛q_｛1｝｝，dt。\结束{对齐}$$

(3.5)

发件人\（x\ in（a{1}，b{1}）\）和\（\lambda<0），然后用于的左侧(3.5)持有以下不等式：

$$开始{对齐}和\int_{a{1}}^{b_{1}}\frac{\lambda^{2q_{1{}}{（1-\exp（\lambda（x-a{1{）））^{q_1}}-1}}\bigl\vert\bigl（{}^{mathrm{CFR}}_{a_1}}D^{\alpha}g\bigr）（x）\bigr\vert^{q_{1}\，dx\\&\qquad\qquad\\qqua2\qquae\geq\frac{\lambda^{2q{1}}{（1-\exp（\lambda（b_{1} -a个_{1} ）^{{q{1}}-1}}\int_{a{1}{^{b{1}\bigl\vert\bigl（{}^{mathrm{CFR}}_{a}1}}D^{alpha}g\bigr）（x）\bigr\vert^{q{1\}}\，dx。\结束{对齐}$$

(3.6)

此外(3.5)满足以下不等式：

$$\开始{aligned}\int_{a{1}}^{b{1}{\bigl（1-\exp\bigle（\lambda（b_{1} -吨)\biger）\bigr）\bigl\vert g'（t）\biger\vert^{q_{1}}\，dt\leq\bigl（1-\bigle（\lambda（b_{1} -a个_{1} ）\bigr）\biger）\int_{a{1}}^{b{1}{\bigl\vert g'（t）\biger\vert^{q{1}，dt。\结束{对齐}$$

(3.7)

因此，通过使用(3.6)和(3.7)英寸(3.5)我们获得

$$\开始{对齐}&\frac{\lambda^{2q_{1}}{（1-\exp（\lambda（b_{1} -a个_{1} ））^{q_{1}-1}}\int_{a_{1}}^{b_{1{}}\bigl\vert\bigl（{}^{\mathrm{CFR}}_{a_1}}D^{\alpha}g\bigr）（x）\bigr\vert^{q_1}}\，dx\\_{1} -一个_{1} ）\bigr）\biger）\int_{a{1}}^{b{1}{\bigl\vert g'（t）\biger\vert^{q{1}，dt。\结束{对齐}$$

也就是说，我们可以写

$$\int_{a{1}}^{b_{1}{\bigl\vert\bigl（{}^{\mathrm{CFR}}_{a}}D^{\alpha}g\bigr）（x）\bigr\vert^{q{1}}\，dx\leq\biggl（\frac{1-\exp（\lambda（b_{1} -一个_{1} ）}{\lambda^{2}}\biggr）^{q{1}}\int_{a{1}{^{b{1}}\bigl\vert g'（t）\bigr\vert^{q}}\，dt$$

夺取权力\（\压裂{1}{q{1}}\）在双方，我们得到

$$\bigl\Vert{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}g\bigr\Vert_{q{1}{\leq\frac{1-\exp（\lambda（b_{1} -a个_{1} ）}{\lambda^{2}}\bigl\Vertg'\bigr\Vert_{q_{1}}$$

接下来，我们得到了定理的一个特例2.2对于左新的黎曼分数导数。

推论3.2

让 v（v） 是上的权重函数 \（（a{1}，b{1}）\）,\（0<α<1） 和 \（λ=\frac｛-\alpha｝｛1-\alpha｝\）.让 \（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}\） 由定义(3.1)并定义 u个 在 \（（a{1}，b{1}）\） 通过

$$u（t）=-\frac{g{2}^{prime}（t）}{\lambda}\int_{t}^{b_{1}}\frac}v（x）\exp（\lambda（x-t））}{（{}^{mathrm{CFR}{a{1}D^{\alpha}g{2{）（x）}\，dx<infty$$

如果函数 \（\psi:（0，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\） 表示凸函数和递增函数,然后是不等式

$$开始{aligned}\int_{a{1}}^{b{1}v（x）\psi\biggl（\biggl\vert\frac{（{}^{mathrm{CFR}{{a{1'}D^{alpha}g{1}）biggr）\，dx\leq\int_{a{1}}^{b{1}{u（t）\psi\biggl（\biggl\vert\frac{g{1}^{prime}（t）}{g{2}^{prime}$$

(3.8)

适用于所有人 \（H^{1}中的g{j}） \（j=1,2）.

证明

使用定理2.2具有\（\varOmega_{1}=\varOmega_{2}=（a{1}，b_{1{））,\（d\mu{1}（x）=dx\）,\（d\mu{2}（t）=dt\）然后我们得到

$$k{1}（x，t）=\textstyle\begin{cases}-\frac{\exp（\lambda（x-t））}{\lambda}，&a{1}\leqt\leqx，\\0，&x<t\leqb{1}。\结束{cases}$$

此外，如果\（g{j}\）被替换为\（g_｛j｝^｛\prime｝\）和\（h{j}\）被视为\（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}g{j}）对于\（j=1,2\），然后我们得到不等式(3.8). □

推论3.3

让 v（v） 是上的权重函数 \（（a{1}，b{1}）\）,\（0<p_{1}\leq_{1{<infty\）,\（0<α<1） 和 \（\lambda=\frac{-\alpha}{1-\alpha{）.让 \（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}\） 由定义(3.1)并定义 u个 在 \（（a{1}，b{1}）\） 通过

$$u（t）=\biggl[\int_{t}^{b_{1}}v（x）\biggl \英寸$$

如果函数 ψ 表示凸和非-区间负增长 \（I_{1}\subseteq\mathbb{R}\）,那么下面的不等式成立:

$$开始{对齐}和\biggl[\int_{a{1}}^{b_{1}v（x）\biggl（\psi\biggal（\frac{\lambda^{2}}{1-\exp（\lambda（x-a{1{）））}\bigl{1}}{p_1}}\，dx\biggr]^{\frac{1}{q_{1}}\\&\qquad\qquad\\qquad\qquad \qquad:qquad_leq\biggl[\int_{a{1}2]^{b{1}neneneep u（t）\psi\bigl（g^{\prime}（t）\bigr）\，dt\biggr]^{\frac{1}{p{1}}}，\end{aligned}$$

（3.9）

对于所有可测量功能 \（g'：（a_{1}，b_{1{）\rightarrow\mathbb{R}\） 这样的话 \（\operatorname{Im}g'\subseteq I_{1}\）.

证明

通过使用定理2.3具有\（\varOmega_{1}=\varOmega_{2}=（a{1}，b_{1{））,\（d\mu{1}（x）=dx\）,\（d\mu{2}（t）=dt\）,

$$k{1}（x，t）=\textstyle\begin{cases}-\frac{\exp（\lambda（x-t））}{\lambda}，&a{1}\leqt\leqx\\0，&x<t\leqb{1}，\end{casesneneneep$$

然后我们发现\（K{1}（x）=\frac{1-\exp（\lambda（x-a{1}））}{\lambda^{2}}\）此外，如果克被替换为\（g’\）和小时被视为\（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}g\），我们获得(3.9). □

推论3.4

让 v（v） 是上的权重函数 \（（a{1}，b{1}）\）,\（0<α<1） 和 \（λ=\frac｛-\alpha｝｛1-\alpha｝\）.让 \（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}\） 由定义(3.1),和 \（H^{1}中的g{j}） 对于 \（j=1,2,3）,哪里 \（g{2}（x）>0\） 为所有人 \（x\ in（a{1}，b{1}）\）.如果 \（0<a{1}<b{1}<\infty\） 和 \（x\mapsto-\frac{v（x）g{2}^{prime}（t）\exp（\lambda（x-t））}{\lambda（{}^{\mathrm{CFR}}{a{1}}D^{\alpha}g{2{）（x）}\） 是可积函数 \（（a{1}，b{1}）\）,然后 \（u（t）\） 定义为

$$u（t）=-\frac{g{2}^{prime}（t）}{\lambda}\int_{t}^{b_{1}}\frac}v（x）\exp（\lambda（x-t））}{（{}^{mathrm{CFR}{a{1}D^{\alpha}g{2{）（x）}\，dx$$

如果函数 \（\psi:（0，\infty）\times（0，\infty）\rightarrow\mathbb｛R｝\） 表示凸函数和递增函数,那么下面的不等式成立:

$$开始{对齐}和\int_{a{1}}^{b{1}v（x）\psi\biggl（\biggl\vert\frac{，\biggl\vert\frac{（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}g{3}）（x）}{（}^{\mathrm{CFR}{{a{1\}}D，dx\&\qquad\qquad\\qqua2\qquae\qqua1\qqua2_qquad_leq\int_{a{1}}^{b{1}{u（t）\psi\biggl（\biggl\vert\frac{g{1}^{prime}（t）}{g{2}^{prime}{\prime}（t）}\biggr\vert\biggr）\，dt。\结束{对齐}$$

(3.10)

证明

使用定理2.4具有\（\varOmega_{1}=\varOmega_{2}=（a{1}，b_{1{））,\（d\mu{1}（x）=dx\）,\（d\mu{2}（t）=dt\），我们得到

$$k{1}（x，t）=\textstyle\begin{cases}-\frac{\exp（\lambda（x-t））}{\lambda}，&a{1}\leqt\leqx，\\0，&x<t\leqb{1}，\end{casesneneneep$$

也，\（K{1}（x）=\frac{1-\exp（\lambda（x-a{1}））}{\lambda^{2}}\）此外，如果\（g{j}\）被替换为\（g{j}^{\素数}\）和\（h{j}\）被视为\（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}g{j}）对于\（j=1,2），然后我们得到不等式(3.10). □

4示例

下面，我们将通过三个示例展示我们的一些主要结果的应用。

示例4.1

在定理中3.1，让\（g（x）=\ sin x\）和\（（a{1}，b{1}）=（0，\frac{\pi}{2}）.然后我们获得

$$开始{aligned}\bigl\vert\bigl（{}^{mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{alpha}\sin\bigr）（x）\bigr\vert=&\biggl\vert\frac{M（\alpha）}{1-\alpha}\，\frac{D}{dx}\int^｛x｝_{0}\sin t\exp\bigl bigr）\biggr\vert\\\leq&\frac{M（\alpha）}{1-\alpha}\int^{x}_{0}\vert\cos t\vert\exp\bigl（\lambda（x-t）\bigr）\，dt。\结束{对齐}$$

通过使用Hölder不等式\（p{1}，q{1}\），我们可以写

$$开始{aligned}\bigl\vert\bigl（{}^{mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{alpha}\sin\bigr）（x）\bigr\vert\leq&\frac{M（\alpha）}{1-\alpha}\biggl（\int^{x}_{0}\vert\cost\vert^{q{1}}\，dt\biggr）^{\frac{1}{q{1'}}\biggl（\int^{x}_{0}\exp\bigl（p_1}\lambda（x-t）\bigr）\，dt\biggr）^{\frac{1}{p_1}}\\leq&\frac{M（\alpha）}{1-\alpha}\biggl（-\frac{1}p_1}\ lambda}\ biggr^{x}_｛0｝\vert\cos t\vert^｛q_｛1｝｝｝\，dt\biggr）^｛。\结束{对齐}$$

因此，我们有

$$\bigl\vert\bigl（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}\sin\biger）{q_{1}}\int^{x}_{0}\vert\cost\vert^{q{1}}\，dt$$

将两侧从0整合到\（\压裂{\pi}{2}\），我们发现

$$\int^{\frac{\pi}{2}}{0}\bigl\vert\bigl（{}^{\mathrm{CFR}{{a{1}}D^{\alpha}\sin\bigr）1}\lambda}\biggr）^{\frac{1}{p_{1}}\bigr）^{q_{1{}}\int^{x}_{0}\vert\cost\vert^{q{1}}\，dt$$

所以，\（g（x）=\sin x）满足Hardy-type不等式。

示例4.2

综上所述3.2，让\（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}\）是新的黎曼分数导数\（v（x）=\exp（\lambda（x-a{1}））是一个特殊的权重函数。此外，让\（psi（x）=x^{s}\）是的凸函数\（s\geq1\）,\（x>0）、和\（g{j}（x）=\exp（\lambda（x-a{1}））是的函数\（j=1,2\）.然后我们发现

$$\开始{aligned}\bigl（{}^{mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{alpha}g{2}\bigr）（x）&=\frac{M（\alpha）}{1-\alpha}\，\ frac{D}{dx}\int^{x}_{a{1}}\exp\bigl（\lambda（t-a{1{）\bigr）\exp\bigl（\lambda（x-t）\bigr）\，dt\\&=\frac{M（\alpha）}{1-\alpha}\bigl[\lambda\exp\bigl（\ lambda{M（\alpha）}{1-\alpha}\exp\bigl（\lambda（x-a{1}）\bigr）\bigl[\lambda+1\bigr]。\结束{对齐}$$

因此，我们获得

$$\开始{对齐}u（t）&=-\frac{g^{prime}{2}（t）}{\lambda}\int^{b_{1}}{t}\frac}v（x）\exp（\lambda（x-t））}{{1}）\大）\int^{b_{1}}_{t}\frac{\exp，dx\\&=-\frac{1-\alpha}{\lambdaM（\alpha）}\bigl[\exp\bigl（\lambda（b_{1} -a个_{1} ）\bigr）-\exp\bigl（\lambda（t-a{1}）\biger）\biger]<\infty。\结束{对齐}$$

因此，从(3.8)在推论中3.2，我们可以写

$$\begon｛aligned｝&\ int ^｛b_｛1｝｝_｛a_｛1｝｝\exp\bigl（\lambda（x-a_｛1｝）\bigr）\bigl（\lambda（x-a_｛1｝）+1\bigr）\psi（1_{1} -a个_{1} ）\biger）-\exp\bigl（\lambda（t-a{1}）\bigr]\psi（1）\，dt。\结束{对齐}$$

经过一些计算，我们得出

$$\lambda（b_{1} -a个_{1} ）^{2}\exp\bigl（\lambda（b_{1} -a个_{1} ）\bigr）\leq-\frac{1-\alpha}{\lambda M（\alpha）}\biggl[\exp\bigl（\lambda（b_{1} -a个_{1} ）\更大）（b_{1} -a个_{1} ）-\frac{\exp（\lambda（b_{1} -a个_{1} ）-1}{\lambda}\biggr]$$

示例4.3

综上所述3.3，让\（{}^{\mathrm{CFR}}_{a{1}}D^{\alpha}\）是新的黎曼分数导数\（v（x）=（1-\exp（\lambda（x-a{1}）））^{\frac{q{1}}{p{1}{）是一个特殊的权重函数。此外，让\（psi（x）=x^{s}\）是的凸函数\（第1页）,\（x>0\）.然后我们发现

$$开始{对齐}u（t）=&\biggl[\int^{b_{1}}_{t}v（x）\biggl（-\frac{\lambda\exp（\lambda（x-t））}{1-\exp}\\=&\lambda\biggl（\frac{p_{1}}{\lambda q_1}}\biggr）_{1} -吨)\biggr）-1\biggr]^{\frac{p_{1}}{q{1}{<\infty，\end{aligned}$$

和来自(3.9)我们可以写

$$开始{对齐}和\biggl[\int^{b_{1}}_{a_{1{}}\bigl大）（x）\大）^{\frac{sq{1}}{p{1}{}\，dx\biggr]^{\frac{1}{q{1{}}\\&\qquad\qquad\\leq\biggl[\int^{b{1}neneneep{a{1}｝（-\lambda）\biggl}{\lambda q{1}}\biggr）^{\frac{p{1}{q{1{}}\biggl（\exp\biggl（\frac{q{1\}}{p{1\}{lambda（b_{1} -吨)\biggr）-1\bigger）^{\frac{p_{1}}{q_{1{}}\bigl\vert g'（t）\bigr\vert^{s}\，dt\biggr]^{\frac{1}{p_1}}}。\结束{对齐}$$

(4.1)

的左侧(4.1)满足以下不等式：

$$\beign｛aligned｝&&biggl[\int ^｛b_｛1｝｝_｛a_｛1｝_ p_｛1｝｝｝\，dx\biggr]^｛\frac｛1｝｛q_｛1｝｝_{1} -a个_{1} ）\biger）\bigr 1}{q{1}}。\结束{对齐}$$

(4.2)

此外(4.1)满足以下不等式：

$$开始{对齐}和\biggl[\int^{b_{1}}{{a{1}（-\lambda）\biggl（\frac{p_{1{}{\lambdaq{1}{\biggr）_{1} -吨)\biggr）-1\biggr]^{\frac{p_1}}{q_{1}}}\bigl\vert g'（t）\bigr\vert^{s}\，dt\biggr]^{\frac{1}{p_1{}}\\&\qquad\qquad\\leq（-\lambda）^{\frac{1}}\biggl}\biggr）^{\frac{1}{q{1}}\bigl（\exp\biggl（\frac{q{1'}{p{1}}\lambda（b_{1} -a个_{1} ）\biggr）-1\bigger）^{\frac{1}{p_{1}}\biggl（\int^{b_{1{}}_{a{1}}\bigl\vert g'（t）\bigr\vert^{s}\，dt\biggre）^{\ frac{1}{p_1}}}}。\结束{对齐}$$

(4.3)

因此，通过使用(4.2)和(4.3)英寸(4.1)，我们获得

$$开始{对齐}\biggl[\int^{b_{1}}_{a{1}{\bigl ^{\frac{s}{p_{1}}}\lambda^{\frac{1}{p_1}}-2s}\biggl（\frac}p_1}{\lambda q_1}}\bigr）_{1} -a个_{1} ）\biggr）\bigr]^{\frac{s}{p_{1}}}\\&{}\qquad\qquad_qquad\\qqua2\times\biggl（\int^{b_{1{}}_{a{1}{\bigl\vert g'（t）\biger\vert^{s}\，dt\biggr）^{\frac{1}{p_1}}}}。\结束{对齐}$$