部分和的自归一化乘积的几乎处处中心极限定理\（\rho^{-}\）-混合序列

摘要

让\（在n}中为X，X_{n}）一动不动\（\rho^{-}\）-正随机变量的混合序列，在适当的条件下，得到了部分和乘积的几乎处处中心极限定理\（（{\frac{\prod_{i=1}^{k} S公司_{k，i}}{（k-1）^{n}\mu^{n{}}）^{frac{\mu}{betaV{k}}}}\），其中\（测试版>0）是一个常数，并且\（{\mathrm{E}}（X）=\mu\）,\（S_{k，i}=\sum_{j=1}^{k} X（X）_{j} -X_{i} \）,\（1\le i\le k\）,\（V_{k}^{2}=\sum_{i=1}^{k}（X_{我}-\mu）^{2}\）.

1简介和主要结果

1988年，布罗萨姆勒[1]和Schatte[2]提出了i.i.d.随机变量序列的几乎处处中心极限定理（ASCLT）。根据身份证，Khurelbaatar和Grzegorz[三]得到了随机变量部分和的乘积的ASCLT。2008年，苗[4]对部分和的乘积给出了一种新的ASCLT形式。

定理A

([4])

让 \（在n}中为X，X_{n}） 是i的序列.我.d日.正平方可积随机变量 \（{\mathrm{E}}（X_{1}）=\mu\）,\（\operatorname{Var}（X_{1}）=\sigma^{2}>0\） 和变异系数 \（\gamma=\frac{\sigma}{\mu}\）.表示 \（S_{k，i}=\sum_{j=1}^{k} X（X）_{j} -X_{i} \）,\（1）.然后,对于 \（R中的所有x）,

$$\lim_｛N\to\infty｝\frac｛1｝｛\log N｝\sum_｛N=1｝^｛N｝\frac｛1｝｛N｝\mathrm｛I｝\biggl[\biggl（\frac｛\prod_｛k=1｝^{n} S公司_{n，k}}{（n-1）^{n}\mu^{n{}}\biggr）^{\frac{1}{\gamma\sqrt{n}}\le{x}\bigbr]=F（x）\quad\textit{a.s.}$$

哪里 \（F（\cdot）\） 是随机变量的分布函数 \（e^{\mathscr{N}}\）,\（{\mathscr{N}}\） 是标准正态随机变量.

对于随机变量X（X）,Y（Y），定义

$$\rho^{-}（X，Y）=0\vee\sup\frac{\operatorname{Cov}（f（X），g（Y））}{（operatorname{变量}f（十） ）^{\frac{1}{2}}（\operatorname{变量}g（Y） ）^{\压裂{1}{2}}}$$

在那里，晚餐占了上风\（f，g\in\mathscr{C}\）这样的话\（\mathrm{E}（f（X））^{2}<\infty\）和\（\mathrm｛E｝（g（Y））^｛2｝<\infty\）、和\（\mathscr{C}\）是一类协调递增的函数。

定义

([5])

A序列\（在n}中为X，X_{n}）被称为\（\rho^{-}\）-混合，如果

$$\rho^{-}（s）=\sup\bigl\{\rho_{-}（s，T）；S、 T\子集{N}，\运算符名称{dist}（S，T）\geq{S}\bigr\}\rightarrow{0}，\quad S\rightarror\infty$$

哪里

$$\rho^{-}（S，T）=0\vee{\sup}\biggl\{\frac{\operatorname{Cov}\{f（X_{i}，i\in{S}），g（X_}j}，j\in{T}）\}}{\sqrt{\operatorname{Var}\{f在{\mathscr{C}}\biggr\}中$$

\（\mathscr{C}\）是一类协调递增的函数。

精确定义\（\rho^{-}\）-混合随机变量最初是由张和王介绍的[5]1999年。显然，\（\rho^｛-｝\）-混合随机变量包括NA和\（\rho^{*}\）-混合随机变量有着广泛的应用，其极限性质近年来引起了人们的广泛兴趣，许多作者已经获得了很多结果。2005年，周[6]证明了\（\rho^{-}\）-混合顺序。部分和乘积的几乎处处中心极限定理\（\rho^{-}\）-混合序列由Tan给出[7]2012年。由于自规范化部分和的分母包含随机变量，这给自规范化形式极限定理的研究带来了困难\（\rho^{-}\）-混合顺序。目前，这类结果很少。在本文中，我们扩展了定理一，并得到了一些部分和的自规范化积的几乎处处中心极限定理\（\rho^{-}\）-混合序列。

在本文中，\（a{n}\模拟b{n}\）方法\（lim{n\to\infty}\frac{a{n}}{b{n}=1）、和C类表示一个正常数，当它出现在不同的表达式中时，它可能采用不同的值，以及\（\log x=\ln（x\vee e）\）。我们假设\（在n}中为X，X_{n}）是一个严格稳定的序列\（\rho^{-}\）-混合随机变量，我们表示\（Y_{i}=X_{我}-\亩\）.

对于每个\（1\leq i \ leq k \ leq n \），定义

$$\开始{对齐}&\bar{Y}（Y）_{ni}=-\sqrt{n}\mathrm{I}{T}（T）_｛k，n｝=\sum_｛i＝1｝^｛k｝\bar{Y}（Y）_{ni}，\qquad V{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n} Y（Y）_{i} ^{2}，\qquad\bar｛V｝_{n} ^{2}=\sum_{i=1}^{n}\bar{Y}（Y）_{ni}^{2}，\\&\bar｛V｝_{n，1}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\bar{Y}（Y）_{ni}^{2}\mathrm{I}（Y_{I}\geq0），\qquad\bar｛V｝_{n，2}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\bar{Y}（Y）_{ni}^{2}\mathrm{I}（Y_{I}<0），\\&\sigma{n}^{2]=\operatorname{Var}({T}（T）_{n，n}），\qquad\delta_{n}^{2}=\mathrm{E}\bigl（\bar{Y}（Y）_{n1}^{2}\biger），\qquad\delta_{n，1}^}2}=\mathrm{E}\bar{Y}（Y）_{n1}^{2}\mathrm{I}（Y_{1}\geq0），\qquad\delta_{n，2}^{2]=\mathrm{E}\bar{Y}（Y）_{n1}^{2}\mathrm{I}（Y_{1}<0），\end{aligned}$$

显然地，\（\delta{n}^{2}=\delta_{n，1}^{2]+\delta}n，2}^{2\）,\（\mathrm{E}（\bar｛V｝_{n} ^{2}）=n\delta{n}^{2{=n\delta{n，1}^{2}+n\delta_{n，2}^{2\）.

我们的主要定理如下。

定理1

让 \（在n}中为X，X_{n}） 一动不动 \（\rho^{-}\）-正随机变量的混合序列 \（\mathrm{E} X（X）=\mu>0\）,还有一些 \（r>2\）,我们有 \（0<\mathrm{E}|X|^{r}<\infty\）.表示 \（S_{k，i}=\sum_{j=1}^{k} X（X）_{j} -X_{i} \）,\（1） 和 \（Y=X-\mu\）.假设

（a）₁):

\（\mathrm{E} v（v）（Y^{2}\mathrm{I}（Y\geq0））>0\）,\（\mathrm{E}（Y^{2}\mathrm{I}（Y<0））>0\）,

（a）₂):

\（\西格玛_｛1｝^｛2｝=\数学{E} X（X）_{1} ^{2}+2\sum_{k=2}^{\infty}\operatorname{Cov}（X_{1}，X_{k}）>0\）,\（\sum_｛k=2｝^｛\infty｝|\操作员名称｛Cov｝（X_｛1｝，X_｛k｝）|<\infty）,

（a）_三):

\（sigma{k}^{2}\sim\beta^{2} k个\增量{k}^{2}\）,对一些人来说 \（测试版>0）,

（a）₄):

\（\rho^{-}（n）=O（\log^{-\delta}n）\）,\（存在增量>1）.

假设 \（0\leq\alpha<\frac{1}{2}\）,然后让

$$d_{k}=\frac{\exp（\log^{\alpha}k）}{k}，\qquad d_{n}=\sum_{k=1}^{n} d日_{k} $$

(1)

然后,对于 \（R中的所有x）,我们有

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\biggl[\biggl（\frac{\prod_{I=1}^{k} 秒_{k，i}}{（k-1）^{k}\mu^{k{}}\biggr）^{\frac{\mu}{\betaV{k}}}\le{x}\bigbr]=F（x）\quad\textit{a.s.}$$

(2)

哪里 \（F（\cdot）\） 是随机变量的分布函数 \（e^{\mathscr{N}}\）,\（\mathscr{N}\） 是标准正态随机变量.

推论1

由[8], (2)如果我们替换重量序列，则仍然有效 \（{d_{k}，k\geq1\}） 由任何 \（{d_{k}^{*}，k\geq1\}\） 这样的话 \（0\leqd_{k}^{*}\leqd-{k}\）,\（\sum_{k=1}^{\infty}d_{k}^{*}=\infty）.

推论2

如果 \（{X_{n}，n\ge1\}） 是一个严格平稳的独立正随机变量序列（a）_三)和 \（β=1）.

2一些引理

我们需要以下引理。

引理2.1

([7])

让 \（在n}中为X，X_{n}） 是一个严格稳定的序列 \（\rho^{-}\）-将随机变量与 \（\mathrm{E} X（X）_{1}=0\),\（0<\mathrm{E} X（X）_{1} ^{2}<\infty\）,\（西格玛{1}^{2}=\mathrm{E} X（X）_{1} ^{2}+2\sum_{k=2}^{\infty}\operatorname{Cov}（X_{1}，X_{k}）>0\） 和 \（\sum_｛k=2｝^｛\infty｝|\操作员名称｛Cov｝（X_｛1｝，X_｛k｝）|<\infty）,然后,对于 \（0<p<2）,我们有

$$\frac{S_{n}}{n^{\frac{1}{p}}\rightarrow0，\quad\textit{a.S.}，n\rightarrow\infty$$

引理2.2

([9])

让 \（在n}中为X，X_{n}） 是一系列 \（\rho^{-}\）-混合随机变量,具有

$$\mathrm美元{E} X（X）_{n} =0，\qquad\mathrm{E}|X_{n}|^{q}<\infty，\quad\forall{n}\geq1，q\geq2$$

那么就有一个正常数 \（C=C（q，\rho^{-}（\cdot）） 仅取决于 q个 和 \（\rho^{-}（\cdot）\） 这样的话

$$\mathrm{E}\Bigl（最大{1\leq{j}\leq{n}}|S_{j}|^{q}\Bigr）{E} X（X）_{i} ^{2}\Biggr）^{\frac{q}{2}}\Bigr\}$$

引理2.3

([10])

假设 \（f_{1}（x）\） 和 \（f{2}（y）\） 都是真的,有界的,上的绝对连续函数 R（右） 具有 \（|f'{1}（x）|\leq C_{1}\） 和 \（|f'{2}（y）|\leq C_{2}\）,然后,对于任何随机变量 X（X） 和 Y（Y）,

$$\bigl\vert\operatorname{Cov}\bigl（f_{1}（X），f_{2}（Y）\biger）\bigr\vert\leq C_{1} C类_{2} \bigl\{-\operatorname{Cov}（X，Y）+8\rho^{-}（X，Y）\|X\|{2,1}\|Y\|{2,1}\bigr\}$$

哪里 \（\|X\|_{2,1}=\int_{0}^{\infty}（P（|X|>X））^{\frac{1}{2}}\，dx\）.

引理2.4

让 \（在n}中为{xi，\xi_{n}） 是一致有界随机变量序列.如果 \（存在增量>1）,\（\rho^{-}（n）=O（\log^{-\delta}n）\）,存在常量 \（C>0\） 和 \（\varepsilon>0\）,这样的话

$$\vert\mathrm{E}\xi_{k}\xi_{l}\vert\leq C\biggl（\rho^{-}（k）+\biggl（\frac{k}{l}\ biggr）^{varepsilon}\biggr，\quad 1\leq2k<l$$

(3)

然后

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \xi_{k}=0，\quad\textit{a.s.}$$

证明

参见中定理1的证明[7]. □

引理2.5

如果定理的假设1 持有,然后

$$开始{aligned}&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\biggl[\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}({T}（T）_{k，k}）}{\beta\delta_{k}\sqrt{k}}\le{x}\biggr]=\Phi（x）\quad\textit{a.s.}，对于R中的所有x\，\end{aligned}$$

(4)

$$开始{aligned}&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \biggl[f\biggl（\frac{\bar｛V｝_｛k，l｝^｛2｝｝｛k\delta_｛k，l｝^｛2｝｝\biggr）-\mathrm{E} （f）\biggl（\frac{\bar｛V｝_｛k，l｝^｛2｝｝｛k\delta_｛k，l｝^｛2｝｝\biggr）\biggr]=0\quad\textit｛a.s.｝，l=1，2，\end｛aligned｝$$

(5)

哪里 \（d_{k}\） 和 \（D_{k}\） 定义为(1)和 （f） 是真实的,有界的,R上的绝对连续函数.

证明

首先，我们证明(4)，根据的财产\（\rho^{-}\）-混合序列，我们知道\（\{\bar{Y}（Y）_{ni}{n\geq1，i\leqn}）是一个\（\rho^{-}\）-混合序列；使用引理2.1英寸[7]，条件（a₂)，（a）_三)、和\（测试版>0）,\（\delta_{k}^{2}\rightarrow\mathrm{E} Y（Y）^{2}>0\)，因此

$$\压裂{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}({T}（T）_{k，k}）}{\beta\delta_{k}\sqrt{{k}}\stackrel{\mathrm{d}}{\rightarrow}\mathscr{N}，\quad k\rightarrow\infty$$

因此，对于任何\（克（x）\）它是一个具有有界连续导数的有界函数，我们有

$$\mathrm美元{E} 克\bigl（\frac{{T}（T）_{k，k}-E({T}（T）_{k，k}）}{\beta\delta{k}\sqrt{{k}}\biggr）\rightarrow\mathrm{E} 克（\mathscr{N}），\quad k\rightarrow\infty$$

通过Toeplitz引理，我们得到

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{E}\biggl[g\biggl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}({T}（T）_{k，k}）}{\beta\delta_{k}\sqrt{k}}\biggr）\biggr]=\mathrm{E}\bigl（g（\mathscr{N}）\bigr）$$

另一方面，根据[11]和Sect。第2页，共2页[12]，我们知道(4)等于

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} 克\biggl（\压裂{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}({T}（T）_{k，k}）}{\beta\delta_{k}\sqrt{k}}\biggr）=\mathrm{E}\bigl（g（\mathscr{N}）\bigr）\quad\mbox{a.s.}$$

因此，为了证明(4)，这足以证明

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \biggl[g\biggl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}({T}（T）_{k，k}）}{\beta\delta_{k}\sqrt{k}}\biggr）-\mathrm{E}\bigl（g\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学｛E｝({T}（T）_{k，k}）}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}\biggr）\biggr]=0\quad\mbox{a.s.}$$

(6)

注意到了

$$\xi_｛k｝=g\bigl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}({T}（T）_{k，k}）}{\beta\delta_{k}\sqrt{k}}\biggr）-\mathrm{E}\bigl（g\biggl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}({T}（T）_{k，k}）}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}\biggr）$$

对于每个\（1\leq2k<l\），我们有

$$\begin{aligned}\vert\mathrm{E}\xi_{k}\xi_{l}\vert=&\biggl\vert\operatorname{Cov}\biggl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}\biggr），g\biggl（\frac{{T}（T）_{我，我}-\数学{E}{T}（T）_｛l，l｝｝｛\beta\delta_｛l｝\sqrt｛l｝｝\biggr）\biggr）\biggr\vert\\leq&\biggl\vert\operatorname｛Cov｝\biggl（g\biggl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}\biggr），g\biggl（\frac{{T}（T）_{我，我}-\数学{E}{T}（T）_{l，l}}{\beta\delta{l}\sqrt{l}}\biggr）-g\biggl（\frac{{T}（T）_{我，我}-\数学{E}{T}（T）_{我，我}-({T}（T）_{2k，l}-\数学{E}{T}（T）_{2k，l}）}{\beta\delta{l}\sqrt{l}}\biggr）\biggr\vert\\&{}+\biggl\vert\operatorname{Cov}\bigl（g\biggl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}\biggr），g\biggl（\frac{{T}（T）_{我，我}-\数学{E}{T}（T）_{我，我}-({T}（T）_{2k，l}-\数学{E}{T}（T）_｛2k，l｝）｝｛β\delta_｛l｝\sqrt｛l｝｝\biggr）\biggr）\biggr\vert\\=&I_｛1｝+I_｛2｝。\结束{对齐}$$

(7)

首先我们估计\（I_{1}\）; 我们知道这一点克是一个有界Lipschitz函数，即存在一个常数C类这样的话

$$\bigl\vert g（x）-g（y）\bigr\vert\leq C|x-y|$$

对于任何\（R中的x，y\），自\（\{\bar{Y}（Y）_{ni}{n\geq1，i\leqn}）也是一个\（\rho^{-}\）-混合序列；我们使用条件\（\delta_{l}^{2}\rightarrow\mathrm{E}（Y^{2{）<\infty\）,\（l\rightarrow\infty\）、和引理2.2，以获取

$$\开始{对齐}I_{1}\leq&C\frac{\mathrm{E}|{T}（T）_｛2k，l｝-\数学{E}{T}（T）_{2k，l}|}{\sqrt{l}}\leqC\frac{\sqrt{\mathrm{E}({T}（T）_{2k，l}-\数学{E}{T}（T）_{2k，l}）^{2}}{\sqrt{l}}\\leq&\frac{C}{\sqlt{l}{\sqrt{i=1}^{2k}\mathrm{E}\bar{Y}（Y）_{l，i}^{2}}\leq\frac{C}{\sqrt{l}}\sqrt{\sum_{i=1}^{2k}\mathrm{E} Y（Y）^{2} }\leq C\biggl（\frac{k}{l}\biggr）^{\frac{1}{2}}。\结束{对齐}$$

(8)

接下来我们估计\（I_{2}\）; 通过引理2.2，我们有

$$\开始{aligned}\operatorname{Var}\biggl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta_{k}\sqrt{k}}\biggr）和\leq\frac{C}{k}\operatorname{Var}({T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}）\\&\leq\frac{C}{k}\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}（\bar{Y}（Y）_{ki}-\数学{E}\bar{Y}（Y）_{ki}）^{2}\leq\frac{C}{k}\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}（\bar{Y}（Y）_｛ki｝）^｛2｝\leq\frac｛C｝｛k｝\cdot k\leq C\end｛aligned｝$$

和

$$\开始{aligned}\begin{aligned}\operatorname{Var}\biggl（\frac{{T}（T）_{我，我}-\数学｛E｝{T}（T）_{我，我}-({T}（T）_{2k，l}-\数学{E}{T}（T）_{2k，l}）}{\beta\delta_{l}\sqrt{l}}\biggr）&\leq\frac{C}{l}\operatorname{Var}\bigl({T}（T）_{我，我}-\数学{E}{T}（T）_{我，我}-({T}（T）_{2k，l}-\mathrm{E}{T}（T）_{2k，l}）\biger）\\&\leq\frac{C}{l}\sum_{i=2k+1}^{l}\mathrm{E}（\bar{Y}（Y）_{李}-\数学{E}\bar{Y}（Y）_{li}）^{2}\leq\frac{C}{l}\Biggl（\sum_{i=1}^{l}\mathrm{E}\bar{Y}（Y）_｛li｝^｛2｝\Biggr）\\&&\leq\frac｛C｝｛l｝\cdot l\leq C。\end{aligned}\end{alinged}$$

根据定义\（\rho^{-}\）-混合顺序，\（\mathrm{E} Y（Y）^{2} <\infty\）、和引理2.3，我们有

$$\开始{aligned}I_{2}\leq&\biggl（-\operatorname{Cov}\biggl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}，\frac{{T}（T）_{我，我}-\数学{E}{T}（T）_{我，我}-({T}（T）_{2k，l}-\数学{E}{T}（T）_{2k，l}）}{\beta\delta{l}\sqrt{l}}\biggr）\\&{}+8\rho^{-}\bigl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}，\frac{{T}（T）_{我，我}-\数学｛E｝{T}（T）_{我，我}-({T}（T）_{2k，l}-\数学｛E｝{T}（T）_{2k，l}）}{\beta\delta_{l}\sqrt{l}}\biggr）\\&{}\cdot\biggl\Vert\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta_{k}\sqrt{k}}\biggr\Vert_{2,1}\cdot\biggl\Vert\frac{{T}（T）_{我，我}-\数学{E}{T}（T）_{我，我}-({T}（T）_{2k，l}-\数学{E}{T}（T）_{2k，l}）}{\beta\delta_{l}\sqrt{l}}\biggr\Vert_{2,1}\bigr）\\leq&C\rho^{-}（k）\biggl（\operatorname{Var}\bigl（\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta_{k}\sqrt{k}}\biggr）^{frac{1}{2}}\cdot\biggl（\operatorname{Var}\bigl（\frac{{T}（T）_｛l，l｝-\数学{E}{T}（T）_{我，我}-({T}（T）_{2k，l}-\数学{E}{T}（T）_{2k，l}）}{\beta\delta_{l}\sqrt{l}}\biggr）\bigger）^{\frac{1}{2}}\\&{}+8\rho^{-}（k）\cdot\biggl\Vert\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta_{k}\sqrt{k}}\biggr\Vert_{2,1}\cdot\biggl\Vert\frac{{T}（T）_{我，我}-\数学{E}{T}（T）_{我，我}-({T}（T）_{2k，l}-\数学{E}{T}（T）_{2k，l}）}{\beta\delta{l}\sqrt{l}}\biggr\Vert_{2,1}。\结束{对齐}$$

由\（\|X\|_{2,1}\leqr/（r-2）\|X\ |_{r}\）,\（r>2\）（见第254页[10]或第251页[13])，Minkowski不等式，引理2.2，和Hölder不等式，我们得到

$$\开始{aligned}\biggl\Vert\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta_{k}\sqrt{k}}\biggr\Vert_{2,1}\leq&\frac{r}{r-2}\bigl\Vert\frac{{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}\biggr\Vert_{r}\\=&\frac{r}{r-2}\frac}{1\beta\delta{k{}\sqrt{k}{bigl（\mathrm{E}\Vert{T}（T）_{k，k}-\数学{E}{T}（T）_{k，k}\vert^{r}\biger）^{\frac{1}{r}}\\leq&\frac{C}{\sqrt{k}}\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}|\bar{Y}（Y）_{ki}|^{r}+\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\Biggr）^{r/2}\bigr）^{1/r}\\leq&\frac{C}{\sqrt{k}}\bigl（k+k^{r/2}\biger）^{1/r}\leqC，\end{aligned}$$

同样地

$$\biggl\垂直\压裂{{T}（T）_｛l，l｝-\数学{E}{T}（T）_{我，我}-({T}（T）_{2k，l}-\数学{E}{T}（T）_{2k，l}）}{\beta\delta_{l}\sqrt{l}}\biggr\Vert_{2,1}\leqC$$

因此

$$I_{2}\leq C\rho^{-}（k）$$

(9)

与结合(7)–(9), (三)持有，并通过（a）₄)，引理2.4, (6)保持，然后(4)是真的。

其次，我们证明(5); 对于\（对于所有k\geq1）,\（eta_{k}=f（{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}/（{k\delta_{k，1}^{2}}））-\mathrm{E}（f（{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}/（{k\delta_{k，1}^{2}}）），我们有

$$\开始{aligned}\vert\mathrm{E}\eta_{k}\eta_{l}\vert=&\biggl\vert\operatorname{Cov}\biggl（f\biggal（\frac{bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta{k，1}^{2}\biggr），f\biggl（\frac{\bar｛V｝_{l，1}^{2}}{l\delta_{l，1}^{2}\biggr）\biggr\vert\\\leq&\biggl\vert\operatorname{Cov}\bigl（f\biggl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}\biggr），f\biggl（\frac{\bar｛V｝_{l，1}^{2}}{l\delta{l，1}^{2}\biggr）-f\biggl（\frac{\sum{i=2k+1}^{l}\bar{Y}（Y）_｛l，i｝^{2} 我({Y}（Y）_{i} \geq 0）}{l\delta_{l，1}^{2}}\biggr）\biggr\vert\\&{}+\biggl\vert\operatorname{Cov}\bigl（f\biggl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta{k，1}^{2}\biggr），f\biggl（\frac{\sum{i=2k+1}^{l}\bar{Y}（Y）_｛l，i｝^{2} 我({Y}（Y）_{i} \geq0）}{l\delta_{l，1}^{2}}\biggr）\biggr\vert\\=&J_{1}+J_{2}，\end{aligned}$$

(10)

根据…的财产（f），我们知道

$$J_{1}\leq C\Biggl（\mathrm{E}\Biggl（\sum_{i=1}^{2k}\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq 0）\Biggr）\Big/l\Bigger）\leq C\biggl（\frac{k}{l}\Biggr）$$

(11)

现在我们估计\（J_{2}\）,

$$\开始{aligned}\operatorname{Var}\biggl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}\biggr）=&\operatorname{Var}\bigl（\frac{\sum_{i=1}^{k}\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）}{k\delta_{k，1}^{2}}\biggr）\\leq&\frac{C}{k^{2{}\mathrm{E}\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）\Biggr）^｛2｝\\=&&frac｛C｝｛k^｛2｝｝\mathrm｛E｝\Biggl（\sum_｛i=1｝^｛k｝\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）-\mathrm{E}\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）\Biggr）+\mathrm{E}\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）\Biggr）\Biggr）^{2}\\leq&\frac{C}{k^{2{}}\mathrm{E}\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\bigl（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）-\mathrm{E}\bigl（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）\bigr）\Biggr）\Biggr）^{2}\\&{}+\frac{C}{k^{2{}}\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}\bigl（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）\bigr）\Biggr）^{2}\\leq&\frac{C}{k^{2{}}\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}\bar{Y}（Y）_{ki}^{4}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）+\frac{C}{k^{2}}\bigl（k\mathrm{E}\bigle（\bar{Y}（Y）_{k1}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{1} \geq0）\bigr）\biger）^{2}\\leq&\frac{C}{k^{2{}}\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E} k个（Y_{i}）^{2}\leq C，\end{aligned}$$

和类似的\（\operatorname{Var}（\sum_{i=2k+1}^{l}\bar）{Y}（Y）_{li}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）/（l\delta_｛l，1｝^｛2｝））\leq C\）另一方面，我们有

$$\开始{aligned}\biggl\Vert\frac{\bar｛V｝_｛k，1｝^｛2｝｝｛k \delta _｛k，1｝^｛2｝｝\biggr\Vert _｛2，1｝\leq&&\frac｛r｝｛r-2｝\cdot\frac｛C｝｛k｝\bigl（\mathrm｛E｝\bigl\Vert\bar｛V｝_{k，1}^{2}\bigr\vert^{r}\biger）^{1/r}\\leq&\frac{C}{k}\Biggl（\mathrm{E}\bigl\vert\sum_{i=1}^{k}\bigl（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）-\mathrm{E}\bigl（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）\bigr）\biger）\Biggr\vert^{r}+\Biggl\vert\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}\bigl（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq 0）\bigr）\Biggr\vert^{r}\Biggr）^{1/r}\\leq&\frac{C}{k}\bigl（\sum_{i=1}^{k}\ mathrm{E}\bigl\vert\bigl（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）-\mathrm｛E｝\bigl（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）\biger）\bigr）\biger\vert^{r}\\&{}+\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}\bigl（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）-\mathrm{E}\bigl（\bar{Y}（Y）_｛ki｝^｛2｝\mathrm｛I｝({Y}（Y）_{i} \geq0）\bigr）\biger）^{2}\Biggr）^{r/2}\Biggr）p{1/r}\\&{}+\frac{C}{k}\bigl\vert\sum_{i=1}^{k}\ mathrm{E}\bigl（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）\bigr）\Biggr\vert\\\leq&\frac{C}{k}\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}\bigl\vert\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）\bigr\vert^{r}+\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}\bigl\vert\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）\bigr\vert^{2}\Biggr）^{r/2}\Biggr）p{1/r}\\&{}+\frac{C}{k}\bigl\vert k\mathrm{E}\bigl（\bar{Y}（Y）_{k1}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{1} \geq0）\bigr）\biger\vert\\\leq&\frac{C}{k}\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\ mathrm{E}\vert\sqrt{k}{Y}（Y）_{i} \vert^{r}+\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}\vert\sqrt{k}{Y}（Y）_{i} \vert^{2}\Biggr）^{r/2}\Biggr）（^{1/r}+C_{1}\\leq&\frac{C}{k}\bigl（k^{1+{r/2{}+k^{r}\bigr）^{1/r}+C_1}\leqC，\end{aligned}$$

同样地

$$\Biggl\Vert\sum_{i=2k+1}^{l}\bar{Y}（Y）_{li}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）/\bigl（l\delta_{l，1}^{2}\bigr）\Biggr\Vert_{2,1}\leq C$$

因此，通过引理2.3，我们有

$$\开始{aligned}J_{2}\leq&C\biggl\{-\operatorname{Cov}\biggl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}}，\frac{\sum_{i=2k+1}^{l}\bar{Y}（Y）_{li}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq 0）}{l\delta_{l，1}^{2}\biggr）\\&{}+8\rho^{-}\bigl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta{k，1}^{2}}，\frac{\sum{i=2k+1}^{l}\bar{Y}（Y）_｛li｝^｛2｝\数学｛I｝({Y}（Y）_{i} \geq0）}{l\delta_{l，1}^{2}}\biggr）\cdot\biggl\Vert\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}}\biggr\Vert_{2,1}\cdot\biggl\Vert\frac{\sum_{i=2k+1}^{l}\bar{Y}（Y）_｛li｝^｛2｝\数学｛I｝({Y}（Y）_{i} \geq0）}{l\delta_{l，1}^{2}}\biggr\Vert_{2,1}\bigbr\}\\leq&C\biggl\{\rho^{-}（k）\biggl（\operatorname{Var}\bigl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}）\biggr）^{1/2}\cdot\operatorname{Var}\biggl（\frac{\sum_{i=2k+1}^{l}\bar{Y}（Y）_{li}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）}{l\delta_{l，1}^{2}}\biggr）^{1/2}\\&{}+\rho^{-}（k）\cdot\biggl\Vert\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}}\biggr\Vert_{2,1}\cdot\biggl\Vert\frac{\sum_{i=2k+1}^{l}\bar{Y}（Y）_{li}^{2}\mathrm{I}({Y}（Y）_{i} \geq0）}{l\delta_{l，1}^{2}}\biggr\Vert_{2,1}\bigr\}\\leq&C\rho^{-}（k），\end{aligned}$$

(12)

因此，结合(11)和(12), (三)保持不变，通过引理2.4, (5)持有。□

三定理的证明1

让\（C_{k，i}=\压裂{S_{k，i}}{（k-1）\mu}\）因此(2)等于

$$\lim_｛n\rightarrow\infty｝\frac｛1｝｛D_｛n｝｝\sum_｛k=1｝^｛n｝D_｛k｝\mathrm｛I｝\Biggl（\frac｛\mu｝｛\beta V_｛k｝｝｝\sum_｛I=1｝^｛k｝\log C_｛k，I｝\leq｛x｝\Biggr）=\Phi（x）\quad\mbox｛a.s.｝$$

(13)

所以我们只需要证明(13)，对于固定k,\（1）和\（所有\varepsilon>0\）; 我们有

$$\lim_{k\rightarrow\infty}P\Biggl\{\bigcup_{m=k}^{\infty}\Biggl \biggr\}=\lim_{k\rightarrow\infty}P\bigl\{|X_{1}|\geq\varepsilon k\bigr\}=0$$

因此，根据中的定理1.5.2[14]，我们有

$$\frac{X_{i}}{k}\rightarrow0\quad\mbox{a.s.}k\rightarrow\infty$$

关于一致成立我.

按引理2.1，对于一些\（压裂{4}{3}<p<2），足够大k，我们有

$$\开始{aligned}\sup_{1\leqi\leqk}\vert C_{k，i}-1\vert\leq&\biggl\vert\frac{\sum_{j=1}^{k}（X_{j}-\mu）}{（k-1）\mu}\biggr\vert+\sup_{1\leqi\leqk}\bigl\vert\frac{X{i}}{_{k} -k\mu}{k^{\frac{1}{p}}\cdot\frac}k^{\frac{1}}{p{}}{（k-1）\mu}\biggr\vert\leq-Ck^{压裂{1}{p} -1个}，\结束{对齐}$$

通过\（\log（1+x）=x+O（x^｛2｝）\）,\（x\右箭头0\），我们得到

$$\begin{aligned}&\Biggl\vert\frac{\mu}{\beta\delta_{k}\sqrt{（1\pm\varepsilon）k}}\sum_{i=1}^{k}\ln{C}（C）_{k，i}-\裂缝{\mu}{\beta\delta{k}\sqrt{（1\pm\varepsilon）k}}\sum{i=1}^{k}（C_{k，i}-1)\Biggr\vert\\&\quad\leq\frac{{C}\mu}{\beta\delta_{k}\sqrt{（1\pm\varepsilon）k}}\sum_{i=1}^{k}（C_{k，i}-1)^{2} \\&\quad\leq\frac{C}{\sqrt{k}}k^{frac{2}{p} -1个}\右箭头0\quad\mbox{a.s.}，k\rightarrow\infty，\end{aligned}$$

然后，为了\（增量>0）以及每个ω，存在\（k_{0}=k_{0}（\omega，\delta，x）\）; 什么时候\（k>k{0}\），我们有

$$\begin{aligned}&\mathrm{I}\Biggl\{\frac{\mu}{\beta\delta_{k}\sqrt{（1\pm\varepsilon）k}}\sum_{I=1}^{k}（C_{k，i}-1)\列克{x}-\δ\Biggr\}\&\quad\leq\mathrm{I}\Biggl\{\frac{\mu}{\beta\delta_{k}\sqrt{（1\pm\varepsilon）k}}\sum_{I=1}^{k}\log{C}（C）_{k，i}\leq{x}\Biggr\}\\&\quad\leq\mathrm{i}\Bigl\{\frac{\mu}{\beta\delta_{k}\sqrt{（1\pm\varepsilon）k}}\sum_{i=1}^{k}（C_{k，i}-1)\leq{x}+\delta\Biggr\}，\end{aligned}$$

(14)

在这种情况下\（|X_{我}-\mu |\leq\sqrt{k}\）,\（1），我们有

$$\mu\sum_{i=1}^{k}（C_{k，i}-1)=\sum_{i=1}^{k}\frac{S_{k，i}-（k-1）\mu}{k-1}=\sum{i=1}^{k} Y（Y）_{i} =\sum_{i=1}^{k}\bar{Y}（Y）_{ki}={T}（T）_{k$$

(15)

此外，通过(14)和(15)，对于任何给定\（0<\varepsilon<1\）,\（增量>0），何时\（k>k{0}\），我们获得

$$开始{对齐}和\mathrm{I}\Biggl（\frac{\mu}{\betaV{k}}\sum_{I=1}^{k}\logC_{k，I}\leqx\Biggr）{{T}（T）_{k，i}}{\delta_{k}\beta\sqrt{k（1+\varepsilon）}}\leqx+\delta\biggr）+\mathrm{i}\bigl（\bar｛V｝_{k} ^{2}>（1+\varepsilon）k\delta_{k}^{2{bigr）\\&\qquad{}+\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\vertX_{我}-\mu\vert>\sqrt{k}\bigr）、\quad x\geq0、\\&\mathrm{I}\Biggl（\frac{\mu}{\betaV_{k}}\sum_{I=1}^{k}\ log C_{k，I}\leqx\Biggr）、\\&\ quad\leq\mathrm{I}\Biggl（\frac{{T}（T）_{k，i}}{\delta_{k}\beta\sqrt{k（1-\varepsilon）}}\leqx+\delta\biggr）+\mathrm{i}\bigl（\bar｛V｝_{k} ^{2}<（1-\varepsilon）k\delta_{k}^{2{biger）\\&\qquad{}+\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\vertX_{我}-\mu\vert>\sqrt{k}\bigr），\quad x<0，\\&\mathrm{I}\Biggl（\frac{\mu}{\betaV_{k}}\sum_{I=1}^{k}\ log C_{k，I}\leqx\Biggr）\\&\quad\geq\mathrm{I}\ Biggl（\frac{{T}（T）_{k，i}}{\delta_{k}\beta\sqrt{k（1-\varepsilon）}}\leqx-\delta\biggr）-\mathrm{i}\bigl（\bar｛V｝_{k} ^{2}<（1-\varepsilon）k\delta_{k}^{2{\biger）\\&\qquad{}-\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\vert X_{我}-\mu\vert>\sqrt{k}\bigr）、\quad x\geq0、\\&\mathrm{I}\Biggl（\frac{\mu}{\betaV_{k}}\sum_{I=1}^{k}\ log C_{k，I}\leqx\Biggr）、\\&\ quad\geq\mathrm{I}\Biggl（\frac{{T}（T）_｛k，i｝｝｛\delta_｛k｝\beta\sqrt｛k（1+\varepsilon）｝｝\leq x-\delta\biggr）-\mathrm｛i｝\bigl（\bar｛V｝_{k} ^{2}>（1+\varepsilon）k\delta_{k}^{2{bigr）\\&\qquad{}-\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\vertX_{我}-\mu\vert>\sqrt{k}\biger）\Biggr），\quad x<0。\结束{对齐}$$

因此，为了证明(13)，对于任何\（0<\varepsilon<1）,\（\delta_{1}>0\），这足以证明

$$开始{对齐}&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\biggl（\frac{{T}（T）_{k，i}}{beta\delta{k}\sqrt{k}}\leq\sqrt}1\pm\varepsilon}x\pm\delta_{1}\biggr）=\Phi（\sqrt{1\pm\ varepsilen}x\pm\delta_{1}）\quad\mbox{a.s.}，\end{aligned}$$

(16)

$$开始{对齐}&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\vert X_{我}-\mu\vert>\sqrt{k}\bigr）\Biggr）=0\quad\mbox{a.s.}，\end{aligned}$$

(17)

$$开始{对齐}&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\bigl（\bar｛V｝_{k} ^{2}>（1+\varepsilon）k\delta_{k}^{2{bigr）=0\quad\mbox{a.s.}，\end{aligned}$$

(18)

$$开始{对齐}&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} 天_{k} \mathrm{I}\bigl（\bar｛V｝_{k} ^{2}<（1-\varepsilon）k\delta_{k}^{2{bigr）=0\quad\mbox{a.s.}\end{aligned}$$

(19)

首先，我们证明(16)，由\（\mathrm{E}（Y^{2}）<\infty\），我们知道\（\lim_{x\rightarrow\infty}x^{2} P（P）（|Y|>x）=0\），和依据\（\mathrm{E}（Y）=0\），因此

$$\开始{aligned}\bigl\vert\mathrm{E}({T}（T）_{k，i}）\bigr\vert=&\Biggl\vert\mathrm{E}\Biggl（\sum_{i=1}^{k}\bar{Y}（Y）_{ki}\Biggr）\Biggr\vert=\vert k\mathrm{E}\bar{Y}（Y）_{k1}\vert\\\leq&k\vert\mathrm{E}\bigl{E}\bigl（Y^{2}\mathrm{I}\bigr（\vert Y\vert>\sqrt{k}\biger=o（\sqrt{k}），\end{aligned}$$

所以，结合\（\delta_{k}^{2}\rightarrow\mathrm{E}（Y^{2{）<\infty\），对于任何\（阿尔法>0），何时\（k\rightarrow\infty\），我们有

$$\开始{aligned}&\mathrm{I}\biggl（\frac{{T}（T）_{k，i}-E{T}（T）_{k，i}}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}\leq\sqrt}1\pm\varepsilon}x\pm\delta_{1}-\alpha\biggr）\\&\quad\leq\mathrm{I}\biggl（\frac{{T}（T）_{k，i}}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}\leq\sqrt}1\pm\varepsilon}x\pm\delta_{1}\biggr）\\&\quad\leq\mathrm{i}\bigl（\frac{{T}（T）_{k，i}-E{T}（T）_{k，i}}{\beta\delta{k}\sqrt{k}}\leq\sqrt}1\pm\varepsilon}x\pm\delta}1}+\alpha\biggr），\end{aligned}$$

因此，通过(4)，我们得到

$$\开始{aligned}和\开始{arigned}[b]&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\biggl（\frac{{T}（T）_{k，i}}{beta\delta{k}\sqrt{k}}\leq\sqrt}1\pm\varepsilon}x\pm\delta_{1}\biggr）\\&\quad\geq\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\biggl（\frac{{T}（T）_{k，i}-E{T}（T）_｛k，i｝｝｛\beta\delta_｛k｝\sqrt｛k｝｝\leq\sqrt｛1\pm\varepsilon｝x\pm\delta_{1}-\alpha\biggr）\\&\quad\rightarrow\Phi（\sqrt{1\pm\varepsilon}x\pm\delta_{1}-\alpha），\结束{aligned}\结束{arigned}$$

(20)

$$\开始{aligned}和\开始{arigned}[b]&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\biggl（\frac{{T}（T）_{k，i}}{beta\delta{k}\sqrt{k}}\leq\sqrt}1\pm\varepsilon}x\pm\delta_{1}\biggr）\\&\quad\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\biggl（\frac{{T}（T）_{k，i}-E{T}（T）_{k，i}}{beta\delta{k}\sqrt{k}}\leq\sqrt}1\pm\varepsilon}x\pm\delta_{1}+\alpha\biggr）\\&\quad\rightarrow\Phi（\sqrt{1\pm\ varepsilen}x\pm\ delta{1}+\alpha）\ quad\mbox{a.s.}，\end{aligned}\end{arigned}$$

(21)

出租\（\alpha\rightarrow0\）在(20)和(21), (16)持有。

现在，我们证明(17); 通过\（\mathrm{E}（Y^{2}）<\infty\），我们知道\（\lim_{x\rightarrow\infty}x^{2} P（P）（|Y|>x）=0\），因此

$$\mathrm{E}\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\vert Y_{I}\vert>\sqrt{k}\figr）\Biggr）\leq\sum_{I=1}^{k} P（P）\bigl（\vert Y_{i}\vert>\sqrt{k}\bigr）\leq kP\bigl$$

通过Toeplitz引理，我们得到

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{E}\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\vert Y_{I}\vert>\sqrt{k}\ bigr）\rightarrow0\quad\mbox{a.s.}$$

(22)

因此，为了证明(17)，这足以证明

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \Biggl（\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\vert Y_{I}\vert>\sqrt{k}\ bigr）\mathrm{E}\bigl[\mathrm{I}\ Biggl箭头0\quad\mbox{a.s.}$$

(23)

写作

$$\mathscr美元{Z}（Z）_{k} =\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl$$

对于每个\（0\leq2k<l\），所以根据定义\（\rho^｛-｝\）-混合序列，我们有

$$\开始{aligned}\mathrm{E}\vert\mathscr｛Z｝_{k} \mathscr公司{Z}（Z）_{l} \vert=&\Biggl\vert\operatorname{Cov}\Biggl Biggr\vert\\\leq&\Biggl\vert\operatorname{Cov}\Biggl（\mathrm{I}\bigl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\ vert Y_{I}\vert>\sqrt{k}\bigr）\Biggr），\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=1}^{l}\bigl（\vert Y_{I}\vert>\sqrt{l}\ bigr gr\vert\\&{}+\Biggl\vert\operatorname{Cov}\Biggl（\mathrm{I}\Bigbl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\vert Y_{I}\vert>\sqrt{k}\ bigr）\Biggr），\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=2k+1}^{l}\bigl（\vert Y_{I}\vert>\sqrt{l}\ bigr）\Biggr大）\Biggr）-\mathrm{I}\Biggl（\bigcup_{I=2k+1}^{l}\bigl（\vert Y_{I}\vert>\sqrt{l}\bigr）\bigr）\大\vert\\&{}+\rho^{-}（k）\sqrt{\operatorname{Var}\Biggl（\mathrm{I}\Bigbl（\bigcup_{I=1}^{k}\bigl（\vert Y_{I}\vert>\sqrt{k}\bigr）\Biggr）\operator name{Var}\bigl（\tathrm{I}\Biggl（\ bigcup_{I=2k+1}^{l}\Biggr（\vertY_{I}\vert>\sqrt{l}\ bigr）\Biggr）}\\leq&\mathrm{E}\Biggl[\mathrm{I}\Bigbl（\bigcup_{I=1}^{2k}\bigl（\vert Y_{I}\vert>\sqrt{l}\biger）\大gr）\大gr]+C\rho^{-}（k）\\leq&\sum_{i=1}^{k} P（P）\bigl（\vert Y_{i}\vert>\sqrt{l}\bigr）+C\rho^{-}（k）\\leq&kP\bigl$$

所以根据引理2.4, (23)持有。并结合(22)，我们知道(17)持有。

接下来，我们证明(18); 通过\（\mathrm{E}（\bar｛V｝_{k} ^{2}）=k\增量,\（\bar｛V｝_{k} ^{2}=\bar｛V｝_{k，1}^{2}+\bar｛V｝_{k，2}^{2}\）,\（\mathrm{E}（\bar｛V｝_{k，l}^{2}）=k\增量{k，l}^{2}\）、和\（\增量{k，1}^{2}\leq\增量{k}^{2]\）,\（l=1,2），我们有

$$\开始{aligned}\mathrm{I}\bigl（\bar｛V｝_{k} ^{2}>（1+\varepsilon）k\delta_{k}^{2{bigr）=&\mathrm{I}\bigl（\bar｛V｝_{k}^{2}-\mathrm{E}\bigl（\bar｛V｝_{k} ^{2}\bigr）>\varepsilon k\delta_{k}^{2{\biger）\\leq&\mathrm{I}\bigl（\bar｛V｝_{k，1}^{2}-\mathrm{E}\bigl（\bar｛V｝_{k，1}^{2}\bigr）>\varepsilon k\delta_{k}^{2\biger）+\mathrm{I}\bigl（\bar｛V｝_{k，2}^{2}-\mathrm｛E｝\bigl（\bar｛V｝_{k，2}^{2}\bigr）>\varepsilon k\delta_{k}^{2\bigr（\bar）\\leq&\mathrm{I}\biggl｛V｝_{k，1}^{2}>\biggl（1+\frac{\varepsilon}{2}\biggr）k\delta_{k，1}^{2}\bigr）+\mathrm{I}\bigl（\bar｛V｝_｛k，2｝^｛2｝>\biggl（1+\frac｛\varepsilon｝｛2｝\biggr）k\delta_｛k，2｝^｛2｝\biggr），\end｛aligned｝$$

因此，由于\（\varepsilon>0\），以证明(18)，这足以证明

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\biggl（\bar｛V｝_{k，l}^{2}>\biggl（1+\frac{\varepsilon}{2}\biggr）k\delta{k，l}^2}\biggr）=0\quad\mbox{a.s.}l=1,2$$

(24)

什么时候\（l=1），对于给定\（\varepsilon>0\），让（f）是一个具有有界连续导数的有界函数

$$\mathrm{I}（x>1+\varepsilon）\leq f（x）\leq\mathrm{I}\biggl（x>1+\frac{\varepsilon}{2}\bigr）$$

(25)

在条件下

$$\mathrm{E}\bigl（\bar｛V｝_{k，1}^{2}\bigr）=k\delta_{k，1}^{2}，\qquad\mathrm{E}\bigl（Y^{2{bigr$$

通过马尔可夫不等式和引理2.2，我们得到

$$\开始{aligned}&P\biggl（\bar｛V｝_{k，1}^{2}>\biggl（1+\frac{\varepsilon}{2}\biggr）k\delta_{k，1}^{2}\bigr）\\&\quad=P\biggl（\bar｛V｝_{k，1}^{2}-\mathrm{E}\bigl（\bar｛V｝_{k，1}^{2}\bigr）>\frac{\varepsilon}{2}k\delta_{k，1}^{2}\biggr）\\&\quad\leq C\frac{\mathrm{E}（\bar｛V｝_{k，1}^{2}-\数学{E}（\bar｛V｝_{k，1}^{2}））^{2{}{k^{2neneneep}\leq C\frac{\sum_{i=1}^{k}\mathrm{E}（\bar{Y}（Y）_{ki}^{2}\mathrm{I}（\bar{Y}（Y）_{ki}\geq0））^{2}}{k^{2{}\\&\quad\leq C\frac{\mathrm{E}\bar{Y}（Y）_{k1}^{4}\mathrm{I}（\bar{Y}（Y）_{k1}\geq0）}{k}\leqC\frac{\mathrm{E} Y（Y）^{4} \mathrm{I}（0\leqY\leq\sqrt{k}）+k^{2} P（P）（Y>\sqrt{k}）}{k}，\end{aligned}$$

(26)

因为\（\mathrm{E}（Y^{2}）<\infty\）暗示\（\lim_｛x\rightarrow\infty｝x^{2} P（P）（|Y|>x）=0\），我们有

$$\开始｛对齐｝\mathrm{E} Y（Y）^{4} \mathrm{I}（0\leqY\leq\sqrt{k}）=&\int_{0}^{\infty}P\bigl&\int_{0}^{\sqrt{k}}o（1）t\，dt=o（1”k，\end{aligned}$$

因此，结合(26),

$$P\biggl（\bar｛V｝_{k，1}^{2}>\biggl（1+\frac{\varepsilon}{2}\biggr）k\delta_{k，1}^{2}\bigr）\rightarrow0，\quad k\right箭头\infty$$

因此，从(5), (25)和Toeplitz引理

$$\开始{aligned}0\leq&\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{I}\biggl（\bar｛V｝_{k，1}^{2}>\biggl（1+\frac{\varepsilon}{2}\biggr）k\delta{k，1}^{2}\bigr）\\leq&\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} （f）\biggl（\frac｛\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}\biggr）\\=&\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{E}\biggl（f\biggl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}）\biggr）+\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \biggl（f\biggl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}\biggr）-\mathrm{E}\bigl（f\biggl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}\biggr）\bigger）\\leq&\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \mathrm{E}\biggl（\mathrm{I}\bigl（\bar｛V｝_{k，1}^{2}>\biggl（1+\frac{\varepsilon}{2}\biggr）k\delta{k，1}^{2}\bigbr）+\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \biggl（f\biggl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}\biggr）-\mathrm{E}\bigl（f\biggl（\frac{\bar｛V｝_｛k，1｝^｛2｝｝｛k\delta_｛k，1｝^｛2｝｝\biggr）\biggr）\\=&&frac｛1｝｛D_｛n｝｝\sum_｛k=1｝^{n} d日_{k} P（P）\biggl（\bar｛V｝_{k，1}^{2}>\biggl（1+\frac{\varepsilon}{2}\biggr）k\delta{k，1}^{2}\bigr）+\frac{1}{D_{n}}\sum_{k=1}^{n} d日_{k} \biggl（f\biggl（\frac｛\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}\biggr）-\mathrm{E}\bigl（f\biggl（\frac{\bar｛V｝_{k，1}^{2}}{k\delta_{k，1}^{2}\biggr）\bigger）\\rightarrow&0\quad\mbox{a.s.}，k\rightarror\infty，\end{aligned}$$

因此(24)等待\（l=1）同样，我们可以证明(24)的\（l=2），所以(18)是真的。用类似的方法证明(18)，我们可以证明(19)，这就完成了定理的证明1.