广义三角函数和双曲函数的Wilker和Cusa型不等式

摘要

作者得到了广义三角函数和双曲函数的一些Wilker型和Cusa型不等式，推广了一些已知不等式。

1介绍

从基本微积分中可以看出

$$\arcsin x=\int_{0}^{x}\frac{1}{（1-t^{2}）^{1/2}}\，dt$$

(1.1)

对于\（0\leq x \leq1）和

$$\frac{\pi}{2}=\arcsin1=\int_{0}^{1}\frac{1}{（1-t^{2}）^{1/2}}，dt$$

(1.2)

对于\（1<p<infty）和\（0\leq x \leq1），反正弦可以推广为

$$\arcsin_{p}x=\int_{0}^{x}{\frac{1}{（1-t^{p}）^{1/p}}\，dt$$

(1.3)

和

$$\frac{\pi{p}}{2}=\arcsin{p}1=\int_{0}^{1}{\frac}1}{（1-t^{p}）^{1/p}}，dt$$

(1.4)

的倒数\（\arcsin_{p}\）在\（[0，\frac{\pi{p}}{2}]\）称为广义正弦函数，表示为\（在{p}中），并且可以扩展到\（（-\输入，\输入）\）同样，我们可以定义广义余弦函数、广义切线函数及其逆函数，以及相应的双曲函数。关于它们的定义和公式，可以参阅最近的参考文献[1–三].

在[2]推广了广义三角函数和双曲函数的一些经典不等式，如Mitrinović–Adamović不等式、Huygens不等式和Wilker不等式。在[三]建立了广义三角函数和双曲函数的一些新的第二类Wilker型不等式。在[4]给出了广义三角函数和双曲函数的Turán型不等式。最近，在[5]已在中验证[1]. 有关Wilker型不等式和Huygens型不等式的更多信息，读者可以看到[6–13].

本文对广义三角函数和双曲函数建立了一些新的Wilker型和Cusa型不等式。中的一些已知不等式[三]是我们结果的特殊情况。

2引理

引理2.1

([三，引理2.7]）

对于 \（p\ in（1，\ infty）\）,我们有

$$\cos{p}^{\alpha}x<\frac{\sin{p}x}{x}<1，\quad x\in \biggl（0，\frac}\pi{p}}{2}\biggr）$$

(2.1)

和

$$\cosh_{p}^{\alpha}x<\frac{\sinh_{p{x}{x}<\cosh{p}^{beta}x，\quad x>0$$

(2.2)

其中常量 \（阿尔法=frac{1}{p+1}\） 和 \（β=1） 是最好的吗.

引理2.2

([三，定理3.5]）

对于 \（p\ in（1,2]\）,然后

$$\biggl（\frac{x}{\sin_{p}x}\biggr）^{p}+\frac}x}{\tan_{p{x}>2，\biggl（0，\frac[\pi_{pneneneep}{2}\bigr）中的四个x$$

(2.3)

引理2.3

([14])

让 \（a>0，b>0） 和 \（第1页）,然后

$$（a+b）^{r}\leq2^{r-1}\bigl（a^{r{+b^{rneneneep \bigr）$$

(2.4)

引理2.4

([15])

让 \（a{k}>0，k=1,2，\ldot，n\）,然后

$$\frac{a{1}+a{2}+\cdots+a{n}}{n}\geq\sqrt[n]{（1+a{1{）（1+a{2}）\cdots（1+a{n}）}-1\geq\sqrt[n]{a{1}a{2}\cdotsa{n}{}$$

(2.5)

引理2.5

([2，定理3.4]）

对于 \（第[2]页，第i页） 和 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}）中）,然后

$$\压裂{\sin_{p}x}{x}<\压裂{x}{\sinh_{p{x}$$

(2.6)

引理2.6

对于 \（p\in[2]，\infty）\） 和 \（x\in（0，\frac｛\pi_｛p｝｝｛2｝）\）,我们有

$$\biggl（\frac{\sin_{p}x}{x}\biggr）^{p}<\frac{x}{\sinh_{p{x}$$

(2.7)

证明

使用引理2.5和\（｛\frac｛\sin_｛p｝x｝｝｛x｝<1\），我们有

$$\压裂{x}{{\sinh_{p}x}}>\压裂{{\sin_{p{x}}{x}>\biggl（{\frac{{\sin _{pneneneep x}}}{x}}\biggr）^{p}$$

(2.8)

这意味着不平等(2.7). □

引理2.7

([2，推论3.10]）

对于 \（第[2]页，第i页） 和 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}）中）,然后

$$\biggl（\frac{x}{{\sinh_{p}x}}\biggr）^{p+1}<{\frac}{\sin_{p{x}}{x}$$

（2.9）

引理2.8

([2，定理3.22]）

对于 \（p\ in（1,2]\）,双重不等式

$$\压裂{\sin{p}x}{x}<\压裂{\cos{p}x+p}{1+p}\le\frac{\cos2}x+2}{3}$$

(2.10)

为所有人保留 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}]\）.

三主要成果

定理3.1

对于 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}）中）,\（p\ in（1，\ infty）\）,和 \（\alpha-p\beta\leq0\）,\（测试版>0）,我们有

$$\biggl（\frac{\sin_{p}x}{x}\biggr）^{\alpha}+\biggl（\frac{\tan_{p{x}{x}\bigr）^{beta}>2$$

(3.1)

证明

从算术几何平均不等式和引理2.1，因此

$$开始{aligned}\biggl（\frac{\sin_{p}x}{x}\bigr）^{\alpha}+\biggal（\frac{\tan_{p{x}{x}\ biggr）^{beta}&\geq2\biggl \biggr）^{\frac{\beta}{2}}\\&=2\biggl}\\&>2\biggl（\frac{\sin{p}x}{x}\biggr）{2}}\\&\geq2。\结束{对齐}$$

 □

备注3.1

如果\（p=α=2，β=1），不平等(3.1)变成

$$\biggl（\frac{\sinx}{x}\biggr）^{2}+\frac{\tanx}{x}>2$$

(3.2)

不平等(3.2)被称为第一个Wilker不等式[16].

备注3.2

如果\（α=2p，β=p\）、和\（第二页），然后\（\alpha-p\beta=2p-p^{2}\leq0\）因此，不平等(3.1)减少到

$$\biggl（\frac{\sin_{p}x}{x}\biggr）^{2p}+\biggl（\frac{\tan_{p{x}{x}\bigr）^{p}>2$$

(3.3)

定理3.2

对于 \（p\in（1,2]，x\in（0，frac{\pi{p}}{2}））,和 \（\alpha-p\beta\leq0，\beta\ leq-1\）,我们有

$$\biggl（\frac{\sin_{p}x}{x}\biggr）^{\alpha}+\biggl（\frac{\tan_{p{x}{x}\bigr）^{beta}>2$$

（3.4）

证明

使用\（压裂{x}{\sin{p}x}\geq1）和\（\alpha-p\beta\leq0\），我们有

$$开始{aligned}\biggl（\frac{\sin_{p}x}{x}\bigr）^{\alpha}+\biggl（\frac{\tan_{p{x}{x}\bighr \\&=\biggl（\frac{x}{\sin{p}x}\biggr）^{-\beta}\\&\geq\biggl[\biggl（\frac{x}{\sin{p}x}\biggr）^{p}\bigr]^{-\beta}+\biggal（\frac{x}{\tan_{p}x}\biggr）。\结束{对齐}$$

应用引理2.2和2.3，我们获得

$$开始{aligned}\biggl（\frac{\sin_{p}x}{x}\bigr）^{\alpha}+\biggl（\frac{\tan_{p{x}{x}\bigcr）^{beta}\geq2^{1+\beta}\ biggl[\biggl[（\frac-{x}{\sin_p}x}\biggr）^}+\frac}x}^{-\beta}>2。\结束{对齐}$$

这就完成了证明。 □

使用与定理中相同的方法3.1，我们可以很容易地得到以下定理3.3通过引理2.1算术和几何平均不等式。为了简单起见，我们省略了证明。

定理3.3

对于 \（p\in（1，\infty），x\in（0，\infcy））,和 \（\alpha-p\beta\leq0，\beta>0\）,然后

$$\biggl（\frac{\sinh_{p}x}{x}\biggr）^{\alpha}+\biggl$$

(3.5)

备注3.3

拿\（α=2，β=1）和\（p=2\）不平等(3.5)，我们有

$$\biggl（\frac{\sinhx}{x}\biggr）^{2}+\frac}\tanhx}{x}>2$$

(3.6)

它是的定理1中的（4）[7]. 不平等(3.6)称为第一双曲Wilker不等式。

备注3.4

拿\（α=2p，β=p\）、和\（第[2]页，第i页），我们有

$$\biggl（\frac{\sinh_{p}x}{x}\biggr）^{2p}+\biggl$$

(3.7)

定理3.4

对于所有人 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}）中） 和 \（\alpha-p\beta\leq0，\beta>0\）,我们有

$$\biggl[1+\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\alpha}\biggr]\biggl[1+\biggl（\frac{\tan_{p} x个}{x} \biggr）^{\beta}\biggr]>4$$

(3.8)

和

$$\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\alpha}+\biggl（\frac{\tan_{p} x个}{x} \biggr）^{\beta}>2\sqrt{\biggl[1+\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\alpha}\biggr]\biggl[1+\biggl（\frac{\tan_{p} x个}{x} \biggr）^{\beta}\biggr]}-2>2$$

（3.9）

证明

设置\（n=2，a{1}=（frac{sin_{p} x个}{x} ）^{\alpha}\）和\（a{2}=（压裂_{p} x个}{x} ）^{\beta}\）在引理中2.4，我们有

$$\开始{aligned}&\biggl[1+\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\alpha}\biggr]\biggl[1+\biggl（\frac{\tan_{p} x个}{x} \biggr）^{\beta}\biggr]\\&\quad\geq\biggl[\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\frac{\alpha}{2}}\biggl（\frac{\tan_{p} x个}{x} \biggr）^{\frac{\beta}{2}}+1\biggr]^{2}\\&\quad>\biggl[\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\frac{\alpha-p\beta}{2}}+1\biggr]^{2}\\&\quad>4。\结束{对齐}$$

然后由引理得出2.1那个

$$\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\alpha}+\biggl（\frac{\tan_{p} x个}{x} \biggr）^{\beta}>2\sqrt{\biggl[1+\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\alpha}\biggr]\biggl[1+\biggl（\frac{\tan_{p} x个}{x} \biggr）^{\beta}\biggr]}-2>2$$

 □

备注3.5

如果\（n=3）和\（a_｛1｝=a_｛2｝=（\frac｛\sin_{p} x个}{x} ）^｛\alpha｝，a_｛3｝=（frac｛\tan_{p} x个}{x} ）^{\beta}\）在引理中2.4，可以很容易地得到

$$\biggl[1+\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\alpha}\biggr]^{2}\bigl[1+\biggl（\frac{\tan_{p} x个}{x} \biggr）^{\beta}\biggr]>8$$

(3.10)

和

$$2\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\alpha}+\biggl（\frac{\tan_{p} x个}{x} \biggr）^{\beta}>3\sqrt[3]{\biggl[1+\biggl（\frac{\sin_{p} x个}{x} \biggr）^{\alpha}\biggr]^{2}\bigl[1+\biggl（\frac{\tan_{p} x个}{x} \biggr）^{\beta}\biggr]}-3>3$$

（3.11）

用与定理中类似的方法3.4改变条件时\（\alpha-p\beta\leq0\）到\（2\alpha-p\beta\leq0\）.

定理3.5

对于 \（在[2中，输入），t>0\）,和 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}]\）,然后

$$\biggl（{\frac{x}{{\sin_{p}x}}\biggr）^{pt}+\biggal（{\frac{x}}{\sinh{p}x}}）^{t}>2$$

(3.12)

证明

应用AGM不等式\（a+b\geq2\sqrt{ab}\）和引理2.6对于\（a=（{\frac{x}{{\sin{p}x}}}）^{pt}\）和\（b=（{\frac{x}{{\sinh_{p}x}}}）^{t}\），我们获得

$$a+b\ge2\sqrt{\biggl（{\frac{x}{{\sin_{p}x}}}\biggr）^{pt}\bigl$$

证明已完成。 □

定理3.6

对于 \（在[2中，输入），t>0\） 和 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}]\）,然后

$$（p+1）\biggl（{\frac{x}{{\sin_{p}x}}}\biggr）^{t}+\bigg1$$

(3.13)

证明

从AGM不等式\（（n+1）a+b\geq（n+1^{n} b条} \)和引理2.6，用于\（a=（{\frac{x}{{\sin{p}x}}}）^{t}\）和\（b=（{\frac{x}{{\sinh_{p}x}}}）^{t}\），不平等(3.13)很容易跟随。 □

应用AGM不等式和引理2.7，定理3.7和3.8可以通过与以前类似的方法容易地获得。

定理3.7

对于 \（在[2中，输入），t>0\）,和 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}]\）,然后

$$\biggl（{\frac{\sinh_{p}x}{x}}\biggr）^{$$

(3.14)

定理3.8

对于 \（在[2中，输入），t>0\）,和 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}]\）,然后

$$（p+2）\biggl（{\frac{\sinh_{p}x}{x}}\biggr）^{t}+\biggl$$

(3.15)

最后，我们给出了一个Cusa型不等式。

定理3.9

对于 \（p\ in（1,2]\） 和 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}]\）,函数 \（f（x）=压裂{{ln{frac{{sin{p}x}}{x}}}{ln{frac{{p+cos{p}x}}{p+1}}}}） 正在严格增加.因此,我们有以下不等式:

$$\biggl（{\frac{{p+\cos{p}x}}{p+1}}\biggr）$$

(3.16)

具有最佳常数 \（\alpha=\frac{{\ln{\frac}{2\sin{p}\压裂{{\pi{p}}}{2}}{{\p{p}{}}}} 和 \（β=1）.

证明

简单的计算得出

$$开始{对齐}&f'（x）\ln^{2}{\frac{{p+\cos{p}x}}{p+1}}\\&\quad=\frac}{x\cos}p}x-\sin{p}x}}}{x\sin{p}x}}}\ln{\frac{p+\socs{p{x}}}{p+1}}+\ frac{cos{p}x}{p-1}x}}{p+\cos{p}x}{ln{frac{{\sin{p}x}}{x}}\\&\quad>{frac}{x\cos}x-\sin{p}x}}{x\sin{p}x}}{p+cos{p}x}}}\ln{frac{{sin{p}x}}{x}}\\&\quad={frac}{{（x\cos{p}x-\sin{p}x）（p+cos{p}x）+x\sin{p}x\cos{p}x}x）}}}\ln{\frac{{\sin{p}x}}{x}}\\&\quad=\frac{{ln{\frac{{\sin{p}x}}{x\sin{p}x（p+\cos{p}x）}g（x），\end{aligned}$$

哪里

$$g（x）=x\cos{p}^{2}x\sec{p}^{p}x+px\cos2}p}x-p\sin{p}x-\sin{p}x\cos\p}x$$

自

$$g'（x）=\cos{p}x\tan{p}^{p-1}xh（x）$$

哪里

$$h（x）=2\sin{p}x-px-（2-p）x\sec{p}^{p-1}x$$

具有

$$h'（x）=2\cos{p}x-p-（2-p）\sec{p}^{p-1}x-（2-p）$$

和

$$开始{对齐}h''（x）={}&{-}2\cos{p}x\tan_{p}^{p-1}x-2（2-p）（p-1）\sec_{p{p}^{p-1}x\tan{p}|{p-1{x\\&{}-（2-p{p}^{p-1}x+\csc{p}x\sec{p}^{p-1}x\bigr）<0。\结束{对齐}$$

因此\（h’（x）\）正在上减少\（（0，\分形{\pi{p}}{2}）\）。接下来是\（h’（x）<h’（0）=0），这也意味着\（h（x）<h（0）=0\）因此，\（g'（x）<0\），这表明该函数\（克（x）\）也在减少\（（0，\分形{\pi{p}}{2}）\）.不平等\（g（x）<g（0）=0）表示\（f’（x）>0）因此，\（f（x）\）正在严格增加\（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}）中）。因此，我们\（f（0）<f（x）\leqf（\frac{\pi{p}}{2}）\）.

使用L'Hóspital规则，我们得到

$$开始{对齐}f\bigl（0^{+}\bigr）&=\mathop{\lim}_{x\to0^{+/}}\frac{{ln{\frac}{\sin{p}x}}{x}}}{ln{\ frac{p+\cos{p}x}}{p+1}}}}{x\cos{p}x-\sin{p}x}}{x\sin{p2}x}{p+cos{p2}x}}x-\sin{p}x}}{x^{p+1}}}\\&=1\结束{对齐}$$

和

$$f\biggl（\frac{\pi{p}}{2}\biggr）=\frac{{ln{\frac{2\sin{p}\frac}{\\pi{p{}}{2}}{{\pi}}}}{$$

证明已完成。 □

4一个猜想

推测4.1

对于所有人 \（x\在（0，\frac{\pi{p}}{2}]\） 和 \（p\ in（1,2]\）,是函数 \（压裂{{ln\frac{x}{{sin{p}x}}}{ln\cosh{p}x}}） 严格增加?