两个高维非线性发展方程的对称约简与精确解

摘要

本文利用李群方法得到了两个高维非线性发展方程的对称性和对称约化。这些NLEE在非线性科学中发挥着重要作用。我们通过\（\exp（-\phi（z））\）-展开法和复合法。构造了五类显式函数解，即所考虑方程中变量的有理函数解、指数函数解、三角函数解、双曲函数解和椭圆函数解。

1介绍

1998年，于等。[1]Bogoyavlenskii-Schiff方程的推广

$$u_{t}+\varPhi（u）u_{s}=0，\quad\varPhi（u）=\部分^{2}_{x} +4u+2u_{x}\部分^{-1}_{x} $$

（1）

到$(3+1)$-多维NLEE

$$\bigl（-4u_{t}+\varPhi（u）u_{s}\bigr）_{x}+3u_{yy}=0，\quad\varPhi（u）=\部分^{2}_{x} +4u+2u_{x}\部分^{-1}_{x} ●●●●$$

(2)

设置\（u:=u{x}\），方程式(2)已更改为$(3+1)$-维势Yu-Toda-Sasa-Fukuyama（YTSF）方程

$$u美元_{xxxs}-4u_｛xt｝+4u_{x} u个_{xs}+2u_{xx}u_{s} +3u_{yy}=0$$

(3)

广义的$(3+1)$-维Zakharov-Kuznetsov（gZK）方程如下所示

每年$$_{1} u个^{2} u个_{x} +一个_{2} u个_{xxx}+a_{3} u个_{xyy}+a_{4} u个_{xss}+a_{5} 单位u{x}+a_{6} u个_{xxt}+u{t}=0$$

(4)

在这里\（a{i}\）(\（i=1,2，\ldot，6）)是任意常数。

我们注意到这个方程(4)包括许多著名的NLEE作为其特例。例如，如果\（{1}={3}={4}={6}=0\），然后是方程式(4)是Korteweg-de Vries方程[2，三]. 如果\（a{2}=a{4}=a}5}=0\），然后是方程式(4)是$(2+1)$维ZK-MEW方程[4]. 如果\（a{3}=a{4}=a}6}=0\），然后是方程式(4)是加德纳方程[5]. 如果\（a{4}=a{5}=a}6}=0\），则方程(4)是修正的Zakharov-Kuznetsov方程[6].

近年来，它引起了人们对NLEE研究的广泛兴趣[7——13]. 方程式(三)和(4)是非常有意义的高维NLEE，可以描述工程和物理中的许多动态过程和重要现象。YTSF方程是研究流体动力学、等离子体物理和弱色散介质中孤子和非线性波动力学的常用模型[13]. 扎哈罗夫和库兹涅佐夫[14]提出了ZK方程来描述均匀磁场下由冷离子和热等温电子组成的等离子体中的非线性离子声波。在纯色散极限下，许多物理现象都由这类方程控制，例如薄液膜上的长波[15]旋转大气中的Rossby波[16]以及三维等离子体中漂移波的孤立涡旋[17]. gZK方程是ZK方程的广义设置。寻求NLEE的精确解是一个有趣而重要的课题。在过去的几年中，人们使用了许多强大的方法来构造NLEE的解，例如Bäcklund变换方法[18]，直接代数法[19]，修改的简单方程法[20]，李群方法[21，22],\（\exp（-\phi（z））\）-膨胀法[8，9，23，24]等等。最近，袁等。[25——27]介绍了求数学物理中非线性方程组精确解的复形方法。本文研究了两个高维NLEE的对称性和对称约简，然后通过\（\exp（-\phi（z））\）-展开法和复合法。

2方法说明

2.1的描述\（\exp（-\phi（z））\）-膨胀法

假设非线性偏微分方程（PDE）由下式给出

$$P（u，u{x}，u{y}，u{t}$$

(5)

哪里P（P）是未知函数的多项式\（u（x，y，t）\）及其导数，其中涉及非线性项和最高阶导数。该方法的主要步骤如下所示。

步骤1。替代行波变换

$$u（x，y，t）=w（z），\quad z=kx+ly+rt$$

转化为等式(5)将其转换为以下常微分方程（ODE）：

$$F\bigl（w，w'，w''，w''，\ldots\bigr）=0$$

(6)

在哪儿F类是多项式\（w（z）\）及其衍生物，而\（'：=\压裂{d}{dz}\）。

第2步。假设该等式(6)具有以下行波解决方案：

$$w（z）=\sum_{j=0}^{n} C_{j} \比格尔（\exp\bigl（-\phi（z）\bigr）\biger）^{j}$$

（7）

哪里\（C_{j}\）(\（0\leq j\leq n\）)是待确定的常数，如下所示\（C_{j}\neq0\）和\（φ=φ（z））满足ODE如下：

$$\phi'（z）=\exp\bigl（-\phi（z）\bigr）+\mu\exp\bigl（\phi$$

(8)

方程式(8)有以下解决方案。

什么时候？\（\增量^{2} -4个\mu>0\），\（\mu\neq0\），

$$\begin{aligned}&\phi（z）=\ln\biggl（\frac{-\sqrt{（\delta^{2} -4个\mu）}\tanh（\frac{\sqrt{\delta^{2} -4个\mu}}{2}（z+c）-\delta）}{2\mu}\biggr），\end{aligned}$$

(9)

$$\begin{aligned}&\phi（z）=\ln\biggl（\frac{-\sqrt{（\delta^{2} -4个\μ）｝\coth（\frac｛\sqrt｛\delta^{2} -4个\mu}}{2}（z+c）-\delta）}{2\mu}\biggr）。\结束{对齐}$$

(10)

什么时候？\（\增量^{2} -4个\μ<0），\（\mu\neq0\），

$$\begin{aligned}&\phi（z）=\ln\biggl（\frac{\sqrt{（4\mu-\delta^{2}）}\tan（\frac{\sqrt{（4 \mu-\ delta^}））}}{2}（z+c）-\delta）}{2 \mu}\biggr），\end{aligned}$$

(11)

$$\begin{aligned}&\phi（z）=\ln\biggl（\frac{\sqrt{（4\mu-\delta^{2}）}\cot（\frac{\sqrt{（4 \mu-\ delta^}））}}{2}（z+c）-\delta）}{2\mu}\biggr）。\结束{对齐}$$

(12)

什么时候？\（\增量^{2} -4个\mu>0\），\（\mu=0\），\（\delta\neq0\），

$$\phi（z）=-\ln\biggl（\frac{\delta}{\exp（\delta（z+c））-1}\biggr）$$

(13)

什么时候？\（\增量^{2} -4个\mu=0\），\（\mu\neq0\），\（\delta\neq0\），

$$\phi（z）=\ln\biggl（-\frac{2（\delta（z+c）+2）}{\delta^{2}（z+c）}\biggr）$$

(14)

什么时候？\（\增量^{2} -4个\μ=0\），\（\mu=0\），\（增量=0），

$$\phi（z）=\ln（z+c）$$

(15)

在这里\（C_{n}\neq0\），δ，μ是稍后确定的常数c（c）是一个任意常数。我们在方程的非线性项和最高阶导数之间取得齐次平衡(6)确定正整数n个。

步骤3。代换方程(7)转化为等式(6)和核算功能\（\exp（-\phi（z））\），我们得到一个多项式\（\exp（-\phi（z））\）.等于\（\exp（-\phi（z））\）到零产生一组代数方程。通过求解代数方程，我们得到了\（C_｛n｝\neq0\），δ，μ，然后将其代入等式(7)连同方程式(9)-(15)完成方程解的确定(5).

2.2复杂方法的描述

让\（在{\mathbb{N}}^{*}:=\{1，2，3，\ldots\}\中），\（r_{j}\在{\mathbb{N}}={\mathbb{N{}}^{*}\cup\{0\}\中），\（j=0，1，\ldot，m），\（r=（r{0}，r{1}，\ldots，r{m}）\）、和

$$K_{r}[w]（z）：=\prod_{j=0}^{m}\bigl[w^{（j）}（z）\bigr]^{r{j}}$$

然后\（d（r）：=\sum{j=0}^{m} 第页_{j} \）是的度数\（K_{r}[w]\）.让微分多项式定义为

$$F\bigl（w，w'，\ldots，w^{（m）}\bigr）：=\sum_{r\in J}a_{r} K（K）_{r} [w]$$

哪里J型是有限索引集，并且\（a{r}\）是常数，那么\（\deg F（w，w'，\ldots，w^{（m）}）：=\max_{r\在J}\{d（r）\}\中）是的度数\（F（w，w'，\ldot，w^{（m）}）\）。

考虑以下微分方程：

$$F\bigl（w，w'，\ldot，w^{（m）}\bigr）=cw^{n}+d$$

(16)

哪里\（在{\mathbb{n}}^{*}\中），\（c\neq0），d日是常量。

设置\（p，q\在｛\mathbb｛N｝｝^｛*｝\中），和亚纯解w个方程式的(16)至少有一个电极。If等式(16)正好有第页不同的亚纯解及其极点的重数\（z=0\）是q个，然后是方程式(16)据说是为了满足\（语言p，q语言）条件。要证明\（语言p，q语言）方程的条件(16)坚持，所以我们需要弱者\（语言p，q语言）条件如下。

插入Laurent系列

$$w（z）=\sum_{\lambda=-q}^{\infty}\beta_{\lambda}z^{\lampda}，\quad\beta_}-q}\neq0，q>0$$

(17)

转化为等式(16)，我们可以准确地确定第页不同的Laurent单数部分：

$$\sum_{\lambda=-q}^{-1}\beta_{\lambda}z^{\lampda}$$

然后方程(16)据说是为了满足弱者\（语言p，q语言）条件。

给定两个复数\（\nu｛1｝\），\（\nu_{2}\）这样的话\（\operatorname{Im}\frac{\nu_{1}}{\nu_2}}>0\），然后让L（左）是离散子集\（L[2\nu_{1}，2\nu_{2}]：=\{\nu\mid\nu=2a{1}\nu_1}+2a{2}\nu_2}，a_{1{，a_2}\in\mathbb{Z}\}\）、和L（左）与同构\（{\mathbb{Z}}\times{\mathbb{Z{}}\）.让判别词\（\varDelta=\varDelta（b_{1}，b_{2}）：=b_{1}^{3} -27亿_{2} ^｛2｝\）和

$$l_{n}=l_{n}（l）：=\sum_{nu\在l\setminus\{0\}}\frac{1}{nu^{n}}中$$

一个亚纯函数\（\wp（z）：=\ wp（z，g{2}，g{3}）\）带双句点\（2\nu_{1}\），\（2\nu_{2}\），满足以下方程：

$$\bigl（\wp'（z）\bigr）^{2}=4\wp（z）^{3} -克_{2} \wp（z）-g{3}$$

在哪儿\（g{2}=60l{4}），\（g{3}=140l{6}）、和\（\varDelta（g_{2}，g_{3}）\neq0\），称为Weierstrass椭圆函数，并满足加法公式[28]如下：

$$\wp（z_z_{0}）=\frac{1}{4}\biggl[\frac}\wp'（z）+\wp`（z_{0}）}{\wp^{2}-\wp（z）-\wp（z{0}）$$

如果是亚纯函数克是的有理函数z（z）或的有理函数\（e^{\alpha-z}\），\（{\mathbb{C}}中的\alpha\），或椭圆函数，那么我们说克属于该类W公司。

2009年，埃雷蒙科等。[29]研究了米四阶Briot-Bouquet方程（BBEq）

$$F\bigl（w，w^{（m）}\bigr）=\sum_{j=0}^{n} F类_{j} （w）\bigl（w^{（m）}\bigr）^{j}=0$$

哪里\（F_{j}（w）\）是常系数多项式，\（m\在{\mathbb{N}}^{*}\中）。对于米四阶BBEq，我们有以下引理。

引理2.1

([28，30，31])

让 \（{\mathbb{n}}^{*}\中的m，n，p，h\），\（度F（w，w^{（m）}），和a 月-订购BBEq

$$F\bigl（w，w^{（m）}\bigr）=cw^{n}+d$$

满足弱者 \（语言p，q语言） 条件，然后是亚纯解 \（w中的w）。假设一些参数值的解 w个 存在，那么任何其他亚纯解都是单参数族 \（w（z+z{0}）\），\（z_{0}\在{\mathbb{C}}\中）。此外，每个椭圆解 w个 在 \（z=0） 表示为

$$开始{对齐}w（z）=&\sum_{i=1}^{h-1}\sum_{j=2}^{q}\frac{（-1）^{j}\beta_{-ij}}{（j-1）！}\frac{d^{j-2}}{dz^{j-2-}}\biggl（\frac{1}{4}\bigl[\frac{\wp'（z）+d_{i}}{\wp（z）-B_{i}}\biggr]^{2}-\wp（z）\biggr）\\&{}+\sum_{i=1}^{h-1}\frac{\beta_{-i1}}{2}\frac{\wp'（z）+d_{i}{\wp j-1）！}\压裂{d^{j-2}}{dz^{j-2}}\wp（z）+\beta{0}，\end{aligned}$$

(18)

哪里 \（\beta{-ij}\） 由以下因素决定(17),\（\sum_{i=1}^{h}\beta_{-i1}=0\） 和 \（D_{i}^{2}=4B{i}^{3} -克_{2} B类_{i} -克_{3}\)。

每个有理函数解 \（宽：=R（z）\） 表示为

$$R（z）=\sum_{i=1}^{h}\sum_{j=1}^}q}\frac{\beta_{ij}}{（zz_{i}）^{j}}+\beta{0}$$

(19)

其中有 小时（≤第页)多重性的不同极点 q个。

每个简单周期解 \（w:=R（\vartheta）\） 是的有理函数 \（\vartheta=e^{\alpha z}\）(\（{\mathbb{C}}中的\alpha\）),并表示为

$$R（\vartheta）=\sum_{i=1}^{h}\sum_{j=1}^}q}\frac{\beta_{ij}}{（\vartheta-\vartheta_{i}）^{j}+\beta_{0}$$

（20）

其中有 小时(≤第页)多重性的不同极点 q个。

根据上述定义和引理，我们现在给出了复数方法。

步骤1。插入转换\（T:u（x，y，T）\右箭头w（z）\）由定义\（（x，y，t）向右箭头z）转换为给定的PDE以生成非线性ODE。

第2步。插入(17)进入ODE以确定是否弱\（语言p，q语言）条件成立。

步骤3。插入引理中引入的不定解2.1然后得到极点为的ODE的亚纯解\（z=0）。

步骤4。获得亚纯解\（w（z-z_｛0｝）\）通过引理2.1和加法公式。

步骤5。插入逆变换\（T^{-1}\）在亚纯解中，我们得到了原PDE的精确解。

三对称性和对称性缩减

3.1对称性

为了找到对称性\（σ=σ（x，y，s，t，u））方程式的(4)，我们设置

$$\sigma=au{x}+bu{y}+cu{s}+du{t}+eu+f$$

(21)

哪里u个是方程的解(4),一，b条，c（c），d日，e（电子），如果是实变量的未知函数x个，年，秒，t吨.根据李群分析[21，22],σ满足

$$\sigma{t}+a{1}\sigma^{2} u个_{x} +a个_{1} u个^{2} σ{x}+a{2}_{5} u个\σ{x}+a{6}\σ{xxt}=0$$

(22)

代换方程(21)转化为等式(22)，我们有一个新的微分方程，其中

每年$$_{2} u个_{xxx}=-a_{1} u个^{2} u个_{x} -a个_{3} u个_{xyy}-a_{4} 单位_{xss}-a_{5} 单位u个_{x} -a个_{6} 单位_{xxt}-u_{t} ●●●●$$

（23）

通过方程式(21)，方程式(22)和方程式(23)，我们有

$$\开始{aligned}&a=c_{5}，\qquad b=（c_{2} 秒+c{3}），\qquad c=\biggl（c_{4}-\裂缝{a{4}}{a{3}}c_{2} 年\大gr），\\&d=c_{1}，\qquad e=0，\qquad f=0，\ end{aligned}$$

(24)

哪里\（c｛i｝\）(\（i=2,3,4,5）)是实际常数。替换方程式(24)转化为等式(21)，我们实现了gZK方程的对称性，

$$\西格玛=c_{5} u个_{x} +（c_{2} 秒+c{3}）u{y}+\biggl（c_{4}-\裂缝{a{4}}{a{3}}c_{2} 年\大gr）u{s}+c_{1} u个_{t} ●●●●$$

(25)

为了找到对称性\（σ=σ（x，y，s，t，u））方程式的(三)，我们设置

$$\sigma=au{x}+bu{y}+cu{s}+du{t}+eu+f$$

（26）

在这里u个是方程的解(三),一，b条，c（c），d日，e（电子），如果是实变量的未知函数x个，年，秒，t吨.根据李群分析，σ满足

$$\西格玛_{xxxs}-4\西格玛{xt}+4u{x}\sigma{xs}+4u}xs}\sigma{x}+2u{xx}\sigama{s}+2u}s}\sigma{xx}+3\sigma}yy}=0$$

(27)

代换方程(26)转化为等式(27)，我们有一个新的微分方程，其中

$$u_{xxxs}=4u_{xt}-4u_{x} u个_{xs}-2u_｛xx｝u_{s} -3件_{yy}$$

（28）

通过方程式(26)，方程式(27)和方程式(28)，我们有

$$\开始｛对齐｝&a=c_{1} x个+c{2}，\qquad b=c_{3} 年+c{4}，c=（2c_{3} -3c个_{1} ）s+\rho（t），\\&d=（2c_{3} -c_{1} ）t+c{5}，e=c{1}，f=rho'（t）x+frac{2}{3}\rho'’（t）y^{2}+tau（t）y+psi（t），end{aligned}$$

(29)

哪里\（c{i}\）(\（i=1,2，\ldots，5\）)是实际常数，\（\rho（t）\），\（套（t）），\（磅/平方英寸（吨））是任意的实函数t吨.替换方程(29)转化为等式(26)，我们实现了YTSF方程的对称性

$$\begin{aligned}\sigma=&（c_{1} x个+c｛2｝）u｛x｝+（c_{3} 年+c{4}）u{y}+bigl（（2c_{3} -3c个_{1} ）s+\rho（t）\bigr）u{s}\\&{}+\bigl（（2c_{3} -c_{1} ）t+c{5}\biger）u{t}+c_{1} u个+\ρ'（t）x+\frac{2}{3}\rho'（t）y^{2}+\tau（t）y+\psi（t）。\结束{对齐}$$

（30）

3.2对称性降低

通过求解特征方程(25)第页，共页σ

$$\压裂{dx}{c{5}}=\压裂{dy}{c_{2} 秒+c{3}}=\压裂{ds}{c_{4}-\裂缝{a{4}}{a{3}}c_{2} 年}=\frac{dt}{c{1}}=\frac{du}{0}$$

(31)

我们发现了不同的对称归约方程。在不失一般性的情况下，我们有两个简化方程，如下所示。

设置\（c{1}=c{3}=c}4}=c_{5}=0\），\（c{2}=1\），我们有方程的第一个相似解(4)

$$u=\varphi（\xi，\eta）$$

(32)

哪里\（\xi=x+t\），\（eta=\压裂{y^{2}}{2a{3}}+\压裂{s^{2{}}{2a{4}}\）.代换方程(32)转化为等式(4)，我们得到了方程的第一个对称约化方程(4)

$$\varphi{xi}+a{1}\varphi^{2}\varfi{xi}+（a{2}+a}3}）\varphi_{xi\xi\xi}+2\varphi_2{xi\eta\eta}+a_{5}\ varphi\varphi}\xi}=0$$

（33）

设置\（c{1}=c{2}=0\），\（c{3}=c{4}=c}5}=1\），正在解决\（σ=0），我们得到了方程的第二个相似解(4)

$$u=\varphi（\xi，\eta）$$

(34)

哪里\（xi=x+y），\（\t=s）.代换方程(34)转化为等式(4)，我们得到了方程的第二个对称约化方程(4)

$$a_｛1｝\varphi^｛2｝\varphi_｛\xi｝+（a_｛2｝+a_｛3｝）\varphi_｛\xi｝+a_｛4｝\varphi_｛\xi \eta｝+a_｛5｝\varphi\varphi_｛\xi｝=0$$

通过求解特征方程(30)第页，共页σ

$$\开始{aligned}\开始{arigned}[b]\frac{dx}{c_{1} x个+c{2}}&=\压裂{dy}{c_{3} 年+c{4}}=\压裂{ds}{（2c_{3} -3c个_{1} ）s+\rho（t）}\\&=\frac{dt}{（2c_{3} -c_{1} ）t+c{5}}=\压裂{du}{c_{1} 单位+\ρ'（t）x+\frac{2}{3}\rho'（t）y^{2}+\tau（t）y+\psi（t）}，\end{aligned}\end{arigned}$$

(35)

我们得到了方程的对称约简(三). 在不失一般性的情况下，我们有两个简化方程，如下所示。

设置\（c{1}=c{3}=c}4}=0\），\（c{2}=c{5}=1\），\（ρ（t）=1），正在解决\（\西格玛=0\），我们有方程的第一个相似解(三)

$$u=\varphi（\xi，\eta，y）-\int\bigl（\tau（t）y+\psi（t）\bigr）\，dt$$

(36)

哪里\（xi=x-t），\（eta=s-t）.代换方程(36)转化为等式(三)，我们得到了方程的第一个对称约化方程(三)

$$\varphi_{\xi\xi\xi\eta}+4\varphi_{\xi\si}+4\valphi_{\si\eta}+4\varphi_{\xi}\varphi_2{\xi\ eta}+2\varphi_3{\xi}\varfi_{\eta{+3\varphi{yy}=0$$

(37)

设置\（c{1}=c{2}=c}3}=c_{5}=0\），\（c{4}=1\），\（ρ（t）=tau（t）=0），正在解决\（σ=0），我们得到了方程的第二个相似解(三)

$$u=\varphi（x，s，t）-\psi（t）y$$

(38)

代换方程(38)转化为等式(三)，我们得到了方程的第二个对称约化方程(三)

$$\varphi{xxxs}+4\varphi_{x}\varphi_{xs}+2\varphi{xx}\varfi_{s} -4个\varphi{xt}=0$$

4精确的解决方案

4.1gZK方程的精确解\（\exp（-\phi（z））\）-膨胀法

替代行波变换

$$\varphi（\xi，\eta）=w（z），\quad z=k\xi+l\eta$$

转化为等式(33)，然后将其与z（z），我们获得

$$\bigl（（a{2}+a{3}）{k}^{2}+2l^{2neneneep \bigr）w''+w+\frac{a{5}}{2} w个^{2} +\压裂{a{1}}{3} w个^｛3｝-\伽马=0$$

(39)

哪里γ是积分常数，可以稍后确定。

取两者之间的均匀平衡\（w''\）和\（w^{3}\）在方程式中(39)收益率

$$w（z）=C_｛0｝+C_｛1｝\exp\bigl（-\phi（z）\bigr）$$

(40)

哪里\（C_{1}\neq0\），\（C_{0}\）是待确定的常数，而δ和μ是任意常数。

替代w个，\（w^{2}\），\（w^{3}\），\（w''\）转化为等式(39)并将\（\exp（-\phi（z））\）到零，然后

$$开始{对齐}和\frac{1}{3}a{1}}{C_{0}}^{3}+\frac}1}{2}a{5}{C_0}}^}2}+C_0}+2C_{1}{l}^{2}\delta\mu+C_{1}{k}^{2} 一个_{2} \delta\mu+C_{1}{k}^{2} 一个_{3} δ\mu-\gamma=0，\\&C_{1}a{2}{k}^{2}}{\delta}^}2}+C_{1\a{3}{k{^{2{\delta}^2}+2C_{1}{l}^{2}{\delta}^2}}\mu\\&\四{}+{C_{0}}^{2} C类_{1} a{1}+4C_{1}{l}^{2}\mu+C_{0}C_1}a{5}+C_}1}=0，\\&\frac{1}}{2}a_{5}{C_1}}^{2}+a_{1{0}{C_{1}}^}2}+6C_1}{1}^{2} 一个_{2} δ+3 C_｛1｝｛k｝^{2} 一个_{3} δ=0，\\&4 C_{1}{l}^{2}+\压裂{1}}{3}a{1}{C_{1'}^{3}+2C_{1}{k}^{2} 一个_{2} +2 C_{1}{k}^{2} 一个_{3}=0. \结束{对齐}$$

通过求解上述代数方程，我们得到

$$\begin{aligned}&\gamma=-\frac{\sqrt{-2a{1}（（\delta^{2} -4个\mu）（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）-2）}（（δ^{2} -4个\μ）（a_｛2｝｛k｝^｛2｝+a_｛3｝｛k｝^｛2｝+2｛l｝^｛2｝）+1）｝｛6a_｛1｝｝，\\&C_｛1｝=\sqrt｛\frac｛-6（a_｛2｝｛k｝^｛2｝+a_｛3｝｛k｝^｛2｝+2｛l｝^｛2｝）｝｛2｝+a_｛3｝｛k｝^｛2｝+2｛l｝^｛2｝）｝\δ-\sqrt｛2 a_｛1｝（2-（\δ^{2} -4个\mu）（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{2a{1}}，\end{aligned}$$

(41)

哪里μ和δ是任意常数。

替换方程式(41)转化为等式(40)收益率

$$\开始{对齐}w（z）=&\frac{\sqrt{-6a{1}（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}\delta-\sqrt{2a{1{（2-（\delta^{2} -4个\mu）（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2}）}}{2a{1}}\\&{}+\sqrt{\frac{-6（a{2]{k}^{2{+a{3}{kneneneep ^{2neneneep+2{l{2}}}}）{a{1{}}\exp\bigl（-\phi（z）\ bigl r）。\结束{对齐}$$

(42)

我们应用等式(9)到方程式(15)转化为等式(42)分别得到gZK方程的行波解，如下所示。

什么时候？\（\增量^{2} -4个\mu>0\），\（\mu\neq0\），

$$开始{对齐}和开始{校准}w{11}（z）=&{}\frac{\sqrt{-6a{1}（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}\delta-\sqrt}2a{1{（2-（\delta^{2} -4个\mu）（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2}）}}{2a{1}}\\&{}-\sqrt{\frac{-6（a{2]{k}^{2{+a{3}{kneneneep \增量^{2} -4个\mu）}\tanh（\frac{\sqrt{\delta^{2} -4个\mu}}{2}（z+c）+\delta）}，\end{aligned}\\&\begin{aligned}w{12}（z）={}&\frac{\sqrt{-6a{1}（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^2}）}\delta-\sqrt{2a{1{（2-（\delta^{2} -4个\mu）（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2}）}}{2a{1}}\\&{}-\sqrt{\frac{-6（a{2]{k}^{2{+a{3}{kneneneep \增量^{2} -4个\mu）}\coth（\frac{\sqrt{\delta^{2} -4个\μ}}{2}（z+c）+\δ）}。\end{aligned}\end{alinged}$$

什么时候？\（\增量^{2} -4个\μ<0），\（\mu\neq0\），

$$开始{对齐}和开始{已对齐}w{13}（z）={}&\frac{\sqrt{-6a{1}（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}\delta-\sqrt{2a{1{（2-（\delta^{2} -4个\mu）（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}}{2a{1}}\\&{}+\sqrt{\frac{-6（a{2]{k}^{2{+a{3+{k}{2}）}{a{1{}}4\mu-\delta^{2}）}\tan（\frac{\sqrt{4\mu-delta^{2]}{2}（z+c）-\delta）}，\end{aligned}\\&\begin{aligned}w{14}（z）={}&\frac}\sqrt{-6a{1}（a{2}{k}^{2{+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}\δ-\sqrt{2a{1}（2-（\delta^{2} -4个\mu）（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}}{2a{1}}\\&{}+\sqrt{\frac{-6（a{2]{k}^{2{+a{3+{k}{2}）}{a{1{}}4\mu-\delta^{2}）}\cot（\frac{\sqrt{4\mu-delta^{2]}}{2}（z+c）-\delta）}。\结束｛对齐｝\结束｛对齐｝$$

什么时候？\（\增量^{2} -4个\mu>0\），\（\mu=0\），\（\delta\neq0\），

$$开始{对齐}w{15}（z）=&\frac{\sqrt{-6a{1}）}}{2a{1}}\\&{}}+\sqrt{\frac{-6（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^2}）}{a{1{}}\ frac{\delta}{\exp（\delta（z+c））-1}。\结束{对齐}$$

什么时候？\（\增量^{2} -4个\mu=0\），\（\mu\neq0\），\（\delta\neq0\），

$$w_｛16｝（z）=\sqrt｛\frac｛-3（a_｛2｝｛k｝^｛2｝+a_｛3｝｛k｝^｛2｝+2｛l｝^｛2｝）｝｛2a_｛1｝｝｝\ delta-\frac｛1｝^｛2｝（z+c）｝｛2（\delta（z+c）+2）｝$$

什么时候？\（\增量^{2} -4个\mu=0\），\（\mu=0\），\（增量=0），

$$w{17}（z）=-\frac{1}{\sqrt{a{1}}+\sqrt{\frac}-6（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2}）}{a{1\}}\frac[1}{z+c}$$

4.2用复形法求gZK方程的精确解

插入(17)转化为等式(39)我们有\（p=2\），\（q=1），\（\beta{{-1}}=\pm\sqrt{\frac{-6（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{a{1}}），\（\beta{{0}}=-\frac{a{5}}{2a{1}}\），\（\beta{{1}}=-\frac{a{5}^{2}}{24a{1}^{2%}\sqrt{\frac}-6a{1{}}{a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]}\），\（β{{2}}=-\frac{12a{1}^{2}\gamma-a{5}^{3}+6a_{1} 一个_{5} }{48a{1}^{2}（a{2}{k}^{2]+a{3}{k{2}+2{l}^{2}）}\）和\（\beta{3}\）是一个任意常数。

因此，方程式(39)是二阶BBEq，满足弱\（\langle2,1\rangle\）条件。因此，通过引理2.1，我们看到方程的亚纯解(39)属于W公司.我们将展示方程的亚纯解(39)如下所示。

由(19)，我们推导出方程的不定有理解(39)是

$$R_｛1｝（z）=\frac｛\beta_｛11｝｝｛z｝+\frac｛\beta_｛12｝｝｛z-z_｛1｝｝+\beta_｛10｝$$

在\（z=0）。

替换\（R_{1}（z）\）转化为等式(39)，我们有

$$R{1,1}（z）=\pm\sqrt{\frac{-6（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{a{1}}{z}（z）-\压裂{a{5}}{2a{1}}$$

哪里\（a{5}^{2}=4a{1}\）和\（9a{1}\伽马^{2}=1\）;

$$R{1,2}（z）=\pm\sqrt{\frac{-6（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{a{1}}\biggl（\frac}1}{z}（z）-\压裂{1}{zz{1}}-\压裂{1}{z{1{}}\biggr）-\压裂}a{5}}{2a{1}$$

哪里\（k=\sqrt{\frac{4a_{1} z（z）_{1}^{2} -a个_｛5｝^{2} z（z）_{1}^{2} -48升^{2} 一个_{1} }{24a{1}（a{2}+a{3}）}\）和\（伽马=（a{5}^{3} -6a个_{1} 一个_{5} +（a_{5}^{2} -4a类_{1} ）^{\压裂{3}{3}）z{1}^{3}\）。

所以方程的有理解(39)是

$$w{r，1}（z）=\pm\sqrt{\frac{-6（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^2}）}{a{1}}\frac}1}{z{0}}-\frac宇宙{a{5}}{2a{1{}}$$

和

$$w{r，2}（z）=\pm\sqrt{\frac{-6（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{a{1}}\biggl_{0}-z_{1} }-\压裂{1}{z{1}}\biggr）-\压裂}a{5}}{2a{1}$$

哪里\（z_{0}\在{\mathbb{C}}\中），\（z{1}\neq0）。\（a{5}^{2}=4a{1}\），\（9a\｛1｝\gamma ^｛2｝=1\）在前一种情况下，或\（k=\sqrt{\frac{4a_{1} z（z）_{1}^{2} -a个_{5}^{2} z（z）_{1}^{2} -48升^{2} 一个_{1} ｛24a_｛1｝（a_｛2｝+a_｛3｝）｝｝\），\（伽马=（a{5}^{3} -6a个_{1} 一个_{5} +（a_{5}^{2} -4a类_{1} ）^{\压裂{3}{3}）z{1}^{3}\）在后一种情况下。

为了获得简单的周期解，让\（\vartheta=e^{\alpha z}\），并替换\（w=R（\vartheta）\）转化为等式(39)，然后

$$\bigl（（a_{2}+a_{3}）{k}^{2}+2l^{2neneneep \bigr）\alpha^{2{\bigle（\vartheta R'+\vartheta^{2} R（右）“”\biger）+R+\frac{a_{5}}{2} R（右）^{2} +\压裂{a{1}}{3} R（右）^{3}-\gamma=0$$

(43)

替换

$$R{2}（z）=\frac{\beta{21}}{\vartheta-1}+\frac{\beta{22}}{（\vartheta-\varthetab{1}）}+\beta}20}$$

转化为等式(43)，我们获得

$$R{2,1}（z）=\pm\sqrt{\frac{-6（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{a{1}}\alpha\biggl（\frac}1}{\vartheta-1}+\frac#1}{2}\biggr）$$

(44)

和

$$R{2,2}（z）=\pm\sqrt{\frac{-6}+1}{2（\vartheta_{1}-1)}\大gr）-\裂缝{a{5}}{2a{1}}$$

(45)

哪里\（γ=\frac｛a_｛5｝（a_｛5｝^{2} -6a个_{1} ）}{12a{1}^{2}}\），\（l=\frac{1}{2\alpha}\sqrt{\frac{4a_{1} -a个_{5}^{2} -2a个_{1} k个^{2} \阿尔法^{2}（a{2}+a{3}）}{a{1}}\）在前一种情况下，或\（伽马=frac{\sqrt{3} z（z）_{1} （z{1}+1）（4a_{1} -a个_{5} ^{2}）^{压裂{3}{2}}}{（z{1}^{2{+10z{1{+1）^{2} -6a个_{1} ）}{12a{1}^{2}}\），\（k=-\sqrt{压裂{（4a_{1} -一个_{5}^{2} -4a类_{1} 我^{2} 阿尔法^{2}）（z{1}^{2{+1）+2（a{5}^{2} -4a类_{1} -20安_{1} 我^{2} \alpha^｛2｝）z_｛1｝｝｛2a_｛1｝（z_｛1｝^｛2｝+10z_｛1｝+1）（a_｛2｝+Au｛3｝）\alpha^｛2｝｝｝\）在后一种情况下。

插入\（\vartheta=e^{\alpha z}\）转化为等式(44)和方程式(45)，我们可以得到方程的简单周期解(39)在\（z=0），

$$\开始{对齐}&w{s0,1}（z）=\pm\sqrt{\frac{-3（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{2a{1}}}\alpha\coth{\frac{\alpha}{2}}z-\frac}{a{5}{2a{1}，\\&w{s0,2}（z）=\pm\sqrt{\frac{-3（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{2a{1}}\alpha\biggl（\coth{\frac{\alpha}{2}}z-\coth}\大gr）-\frac{a{5}}{2a{1}}，\end{aligned}$$

哪里\（伽马=frac{a{5}（a{5{^{2} -第6a页_{1} ）}{12a{1}^{2}}\），\（l=\frac{1}{2\alpha}\sqrt{\frac{4a_{1} -a个_{5}^{2} -2a个_{1} k个^{2} \阿尔法^{2}（a{2}+a{3}）}{a{1}}\）在前一种情况下，或\（伽马=frac{\sqrt{3} z（z）_{1} （z_{1}+1）（4a_{1} -a个_{5} ^{2}）^{压裂{3}{2}}}{（z{1}^{2{+10z{1{+1）^{2} -6a个_{1} ）}{12a{1}^{2}}\），\（k=-\sqrt{压裂{（4a_{1} -a个_｛5｝^{2} -4a类_{1} 我^{2} 阿尔法^{2}）（z{1}^{2{+1）+2（a{5}^{2} -4a类_{1} -20安_{1} 我^{2} 阿尔法^{2}）z{1}}{2a{1}（z{1{2}+10z{1｝+1）（a{2}+a{3}）在后一种情况下。

所以简单来说，方程的周期解(39)是

$$w{s，1}（z）=\pm\sqrt{\frac{-3（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{2a{1}}\alpha\coth{\frac{\alpha}{2}}（zz{0}）-\frac}a{5}}{2a{1}$$

和

$$开始{对齐}w{s，2}（z）=&\pm\sqrt{\frac{-3（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^}}）}{2a{1}}}\\&{}\cdot\alpha\biggl（\coth{\frac{\alpha}{2}}（z-z_{0}-z_{1} ）-\coth{\frac{\alpha}{2}}z{1}\biggr）-\frac}a{5}}{2a{1}}，\end{aligned}$$

哪里\（z_{0}\在{\mathbb{C}}\中），\（z{1}\neq0）。\（l=\frac{1}{2\alpha}\sqrt{\frac{4a_{1} -a个_{5}^{2} -2a个_{1} k^{2} \阿尔法^{2}（a{2}+a{3}）}{a{1}}\），\（伽马=frac{a{5}（a{5{^{2} -6a个_{1} ）}{12a{1}^{2}}\）在前一种情况下，或\（k=-\sqrt{压裂{（4a_{1} -a个_{5}^{2} -4a类_{1} 我^{2} 阿尔法^{2}）（z{1}^{2{+1）+2（a{5}^{2} -4a类_{1} -20安_{1} 我^{2} 阿尔法^{2}）z{1}}{2a{1}（z{1{2}+10z{1｝+1）（a{2}+a{3}），\（伽马=frac{\sqrt{3} z（z）_{1} （z_{1}+1）（4a_{1} -a个_{5} ^{2}）^{压裂{3}{2}}}{（z{1}^{2{+10z{1{+1）^{2} -6a个_{1} ）}{12a{1}^{2}}\）在后一种情况下。

发件人(18)，我们有方程椭圆解的不定关系(39)在\（z=0），

$$w_{d1}（z）=\压裂{\beta_{-1}}{2}\frac{\wp'（z）+D_{1}}{\wp（z）-B_{1{}}+\贝塔{0}$$

哪里\（D_{1}^{2}=4B{1}^{3} -克_{2} B类_{1} -克_{3}\)。考虑到上述结果，我们推断\（\beta{0}=-\frac{a{5}}{2a{1}}\），\（g{3}=0\），\（D_{1}=B_{1{=0\）。因此我们获得

$$w{d1}（z）=\pm\sqrt{\frac{-3（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{2a{1}}\frac}\wp'（z）}{\wp（z）$$

哪里\（g{3}=0\）。

因此，方程的椭圆函数解(39)是

$$w{d}（z）=\pm\sqrt{\frac{-3（a{2}{k}^{2}+a{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{2a{1}}\frac}\wp'（zz{0}，g{2}，0）}{\wp{1}}$$

哪里\（z_{0}\在{\mathbb{C}}\中），\（g{3}=0\），\（g{2}\）是任意的。应用加法公式，我们可以将其重写为

$$开始{对齐}w_{d}（z）=&\pm\sqrt{\frac{-3（a_{2}{k}^{2}+a_{3}{k{2}+2{l}^{2]）}{2a{1}}\\&{}\cdot{\frac（-\wp+E）（4E\wp^{2{+（4E^{2} -克_{{2}}）\wp+2F\wp'-Eg_{2}）}{（（12{E}^{2} -克_{{2}}）\wp+4{E}^{3} -3例如_{{2}}）\wp'+（4\wp^{3}+12E\wp^{2}-3g_｛｛2｝｝\wp-Eg_｛｛2｝｝）F｝｝-\frac｛a_｛5｝｝｛2a_｛1｝｝，\end｛aligned｝$$

哪里\（g{3}=0\），\（F^{2}=4E^{3} -克_{2} E类\)，E类和\（g{2}\）都是武断的。

4.3YTSF方程的精确解\（\exp（-\phi（z））\）-膨胀法

替代行波变换

$$\varphi（\xi，\eta，y）=v（z），\quad z=k\xi+l\eta+ry$$

转化为等式(37)，然后将其与z（z），我们获得

$$k美元^{3} lv（低压）“”+\bigl（4k^{2}+4kl+3r^{2{\bigr）v'+3k^{2} 我\bigl（v'\bigr）^{2}+\gamma=0$$

(46)

哪里γ是积分常数，稍后可以确定。

设置\（w=v'\），方程式(46)成为

$$k美元^{3} lw（长度）“”+\bigl（4k^{2}+4kl+3r^{2neneneep \bigr）w+3k^{2} lw（长度）^{2} +\伽马=0$$

(47)

取两者之间的均匀平衡\（w''\）和\（w^{2}\）在方程式中(47)收益率

$$w（z）=C_{0}+C_{1}\exp\bigl（-\phi（z）\bigr$$

(48)

哪里\（C_{2}\neq0\），\（C_{i}\）(\（i=0,1,2）)是待确定的常数，而δ和μ是任意常数。

替代w个，\（w ^｛2｝\），\（w''\）转化为等式(47)并将\（\exp（-\phi（z））\）到零，然后

$$\开始{aligned}&{k}^{3} 信用证_{1} \delta\mu+2{k}^{3} 信用证_{2} {\mu}^{2}+3{k}^{2} 我{C_{0}}^{2}+4C_{0}{k}^{2}+4C_0}kl+3C_0}{r}^{2]+\gamma=0，\\&C_{1}l{k}^{3}{\delta}^{1}+6C_2}l{k}^{3{3}\delta\mu+2C_1}l{k}^3}\mu+6C_0}C_1}l{k}^{2}+4C_{1}{k}^{2{+4C_1}lk+3C_1}{r}^{2]=0，\\&4C_{2}l{k{3}{delta}^{2}+3C_1{k}l{k}^{3}\delta+8C_{2}l{k}^3}\mu+6C_0}C_2}l{k}^{}+3{C_{1}}^{2} 我{k} ^{2}+4C_{2}{k}^{2{+4C_2}lk+3C_2}{r}^{2]=0，\\&10C_2}l{k}^{3}\δ+6C_{1}C_2}l{k}|{2}+2C_1}l{k{3}=0，\&3{C_2}}^{2} 我{k} ^{2}+6C_{2}l{k}^{3}=0。\结束{对齐}$$

通过求解上述代数方程，我们得到

$$\开始{aligned}&\gamma=-\frac{（\delta^{2} -4个\μ）^{2} 我^{2} k个^{6}-（4lk+4k^{2}+3r^{2neneneep）^{2{12k^{2} 我}，\qquad C_{2}=-2k，\&C_{1}=-2k\delta，\quad C_0}=-\frac{lk^{3}\delta^{2}+8lk^}\mu+4lk+4k^{2{+3r^{2neneneep}{6k^{2} 我}，\结束{对齐}$$

（49）

哪里μ和δ是任意常数。

替换方程式(49)转化为等式(48)，收益率

$$w（z）=-\frac｛lk ^｛3｝\ delta ^｛2｝+8lk ^｛3｝\mu+4lk ^｛2｝+3r ^｛2｝｝｝｛6k^{2} 我}-2k\delta\exp\bigl（-\phi（z）\bigr）-2k\bigle（\exp\bigl（\phi$$

(50)

我们应用等式(9)到等式(15)转化为等式(50)分别得到YTSF方程的行波解，如下所示。

什么时候？\（\增量^{2} -4个\μ>0\），\（\mu\neq0\），

$$开始{对齐}和开始{校准}w{21}（z）={}&{-}\frac{lk^{3}\delta^{2}+8lk^}3}\mu+4lk+4k^{2{2}+3r^{2neneneep}{6k^{2} 我}+\frac{4k\delta\mu}{\sqrt{（\delta^{2} -4个\mu）}\tanh（\frac{\sqrt{\delta^{2} -4个\mu}}{2}（z+c）+\delta）}\\&{}-\frac{8k\mu^{2}}{（\sqrt{（\delta^{2} -4个\mu）}\tanh（\frac{\sqrt{\delta^{2} -4个\mu}}{2}（z+c）+\delta）^{2}}，\end{aligned}\\&\begin{aligned}w{22}（z）={}&{-}\frac{lk^{3}\delta^{2{2}+8lk^}3}\mu+4lk+4k^{2｝+3r^{2neneneep{6k^{2} 我}+\frac{4k\delta\mu}{\sqrt{（\delta^{2} -4个\mu）}\coth（\frac{\sqrt{\delta^{2} -4个\mu}}{2}（z+c）+\delta）}\\&{}-\frac{8k\mu^{2}}{（\sqrt{（\delta^{2} -4个\mu）}\coth（\frac{\sqrt{\delta^{2} -4个\μ}}{2}（z+c）+\δ）^{2}}。\end{aligned}\end{alinged}$$

什么时候？\（\增量^{2} -4个\μ<0），\（\mu\neq0\），

$$开始{对齐}和开始{校准}w{23}（z）={}&{-}\frac{lk^{3}\delta^{2}+8lk^}3}\mu+4lk+4k^{2{2}+3r^{2neneneep}{6k^{2} 我}-｛\frac｛4k\delta\mu｝｛\sqrt｛（\delta^{2} -4个\mu）}\tan（压裂{\sqrt{delta^{2} -4个\mu}}{2}（z+c）-\delta）}\\&{}-\frac{8k\mu^{2}}{（\sqrt{（\delta^{2} -4个\mu）}\tan（压裂{\sqrt{delta^{2} -4个\mu}}{2}（z+c）-\delta）^{2}}，\end{aligned}\\&\begin{aligned}w{24}^{2} 我}-\frac{4k\delta\mu}{\sqrt{（\delta^{2} -4个\mu）}\cot（\frac{\sqrt{\delta^{2} -4个\mu}}{2}（z+c）-\delta）}\\&{}-\frac{8k\mu^{2}}{（\sqrt{（\delta^{2} -4个\mu）}\cot（\frac{\sqrt{\delta^{2} -4个\μ}}{2}（z+c）-\δ）^{2}}。\end{aligned}\end{alinged}$$

什么时候？\（\增量^{2} -4个\mu>0\），\（\mu=0\），\（\delta\neq0\），

$$w_{25}（z）=-\frac{lk^{3}\delta^{2}+4lk+4k^{2neneneep+3r^{2{6k^{2} 我}-\frac{2k\delta^{2}}{\exp（\delta（z+c））-1}-\frac}2k\delta^{2%}{（\exp$$

什么时候？\（\增量^{2} -4个\mu=0\），\（\mu\neq0\），\（\delta\neq0\），

$$w_{26}（z）=-\压裂{12lk^{3}\mu+4lk+4k^{2}+3r^{2{6k^{2} 我}+\压裂{k\三角洲^{3}（z+c）}{（\三角洲（z+c）+2）}-\压裂{k三角洲^}4}（z+c）^{2}}{2（\三角州（z+c+2））^{2]}$$

什么时候？\（\增量^{2} -4个\mu=0\），\（\mu=0\），\（增量=0），

$$w_{27}（z）=-\压裂{4lk+4k^{2}+3r^{2{6k^{2} 我}-\裂缝{2k}{（z+c）^{2}}$$

4.4YTSF方程的复形精确解

插入(17)转化为等式(47)我们有\（p=1\），\（q=2），\（β｛｛-2｝｝＝-2k\），\（\beta{{-1}}=0\），\（\beta{{0}}=-\frac{4lk+4k^{2}+3r^{2{}}{6k^{2} 我}\)，\（\beta_{1}}=0\），\（\beta{{2}}=-\frac{16k^{4}+32lk^{3}+（16l^{2} -12升\伽玛+24r^{2}）k^{2{+24lkr^{2]+9r^{4}{120k^{5} 我^{2}}\)、和\（\beta{3}\）是一个任意常数。

因此，方程式(47)是二阶BBEq，满足弱\（\langle1,2\rangle\）条件。因此，通过引理2.1，我们看到方程的亚纯解(47)属于W公司.我们将展示方程的亚纯解(47)如下所示。

由(19)，我们推导出方程的不确定性有理解(47)是

$$R{1}（z）=\frac{\beta{32}}{z^{2}}+\frac}\beta}{31}}{z}+\beta_{30}$$

在\（z=0）。

替换\（R_{1}（z）\）转化为等式(47)，我们得到以下形式：

$$R{1}（z）=-\frac{2k}{z^{2}}-\frac{4lk+4k^{2{+3r^{2neneneep}{6k^{2} 我}, $$

哪里\（伽玛=\压裂{16k^{4}+32lk^{3}+（16l^{2}+24r^{2{）k^{2neneneep+24lkr^{2]+9r^{4{}{12k^{2} 我}\)。

所以方程的有理解(47)是

$$w{r}（z）=-\frac{2k}{（zz{0}）^{2}}-\frac{4lk+4k^{2{2}+3r^{2neneneep}{6k^{2} 我}, $$

哪里\（伽玛=\压裂{16k^{4}+32lk^{3}+（16l^{2}+24r^{2{）k^{2neneneep+24lkr^{2]+9r^{4{}{12k^{2} 我}\)，\（z_{0}\在{\mathbb{C}}\中）。

为了获得简单的周期解，让\（\vartheta=e^{\alpha z}\），并替换\（w=R（\vartheta）\）转化为等式(47)，然后我们得到

$$k美元^{3} 我\alpha^{2}\bigl（\vartheta R'+\vartheta^{2} R（右）“”\biger）+\bigl（4k^{2}+4kl+3r^{2{\bigr）R+3k^{2} 里尔^{2} +\伽马=0$$

(51)

替换

$$R{2}（z）=\frac{\beta{42}}{（\vartheta-1）^{2}}+\frac{\beta{41}}{（\vartheta-1）}+\beta_{40}$$

转化为等式(51)，我们获得

$$R_｛2｝（z）=-\frac｛2k\alpha^｛2｝｝｝｛（\vartheta-1）^｛2｝｝-\frac｛2k\alpha^｛2｝｝｝｛（\vartheta-1）｝-\frac｛k\alpha^｛2｝｝｝{6}-\裂缝{4lk+4k^{2}+3r^{2{6k^{2} 我}, $$

(52)

哪里\（伽马=frac{（4lk+4k^{2}+3r^{2{）^{2}-（l \alpha^{2} k个^{3} ）^{2}}{12k^{2} 我}\).替换\（\vartheta=e^{\alpha z}\）转化为等式(52)，我们可以得到方程的简单周期解(47),

$$开始{对齐}w_{s0}（z）=&-\frac{2k\alpha^{2}}{（e^{\alphaz}-1）^{2{}}-\frac{2k\ alpha^}{2}{{（e ^{\Alphaz}-1）}-\frac{k\alfa^{2neneneep}{6}-\裂缝{4lk+4k^{2}+3r^{2{6k^{2} 我}\\=&-\压裂{2k\alpha^{2} e（电子）^｛\alphaz｝｝｛（e^｛\alphaz｝-1）^｛2｝｝-｛frac｛k\alpha^｛2｝｝{6}-\裂缝{4lk+4k^{2}+3r^{2{6k^{2} 我}\\=&-\压裂{k\alpha^{2}}{2}\coth^{2{压裂{\alphaz}{2{+\压裂{k \ alpha^}}{3}-\裂缝{4lk+4k^{2}+3r^{2{6k^{2} 我}，\结束{对齐}$$

在\（z=0）。

因此方程的简单周期解(47)是

$$w_{s}（z）=-\frac{k\alpha^{2}}{2}\coth^{2{frac{\alpha（zz_{0}）}{2{+\frac{k\alpha^{2}}{3}-\裂缝{4lk+4k^{2}+3r^{2{6k^{2} 我}, $$

哪里\（伽马=frac{（4lk+4k^{2}+3r^{2{）^｛2｝-（l \alpha^{2} k个^{3} ）^{2}}{12k^{2} 我}\)，\（z_{0}\在{\mathbb{C}}\中）。

发件人(18)，我们可以表示方程的椭圆解(47)作为

$$w_{d0}（z）=\beta_{-2}\wp（z）+\beta_{0}$$

在\（z=0）。

替换\（w{d0}（z）\）转化为等式(47)，我们获得

$$w_{d0}（z）=-2k\wp（z）-\frac{4lk+4k^{2}+3r^{2{6k^{2} 我}, $$

哪里\（g{2}=\压裂{16k^{4}+32lk^{3}+（16l^{2} -12升\伽玛+24r^{2}）k^{2{+24lkr^{2]+9r^{4}{12k^{6} 我^{2}}\)，\（g{3}\）是任意的。

因此，方程的椭圆解(47)是

$$w{d}（z）=-2k\wp（zz{0}）-\frac{4lk+4k^{2}+3r^{2{6k^{2} 我}, $$

在哪儿\（z_{0}\在{\mathbb{C}}\中）应用加法公式，我们可以将其重写为

$$w_{d}（z）=-2k\biggl（-\wp（z）+\frac{1}{4}\biggal^{2} 我}, $$

哪里\（g{2}=\压裂{16k^{4}+32lk^{3}+（16l^{2} -12升\伽玛+24r^{2}）k^{2{+24lkr^{2]+9r^{4}{12k^{6} 我^{2}}\)，\（C^｛2｝=4天^{3} -克_{2} D-克_{3}\)，\（g{3}\）是任意的。

4.5比较

实施\（\exp（-\phi（z））\）-展开法，我们分别找到了gZK和YSFT方程的七个解。使用复数方法，我们找到了gZK方程的五个解和YSFT方程的三个解。合理的解决方案\（w{17}（z）\）和\（w{27}（z）\）通过\（\exp（-\phi（z））\）-膨胀法，以及\（W_{r，1}（z）\）和\（W_{r}（z）\）通过复数方法得到。如果我们让\（c=-z{0}\），然后\（w_｛17｝（z）\）相当于\（W_｛r，1｝（z）\）、和\（w{27}（z）\）等于\（W_{r}（z）\）为了得到合理的解，这两种方法非常一致。合理的解决方案\（W_{r，2}（z）\）和简单的周期解\（W_{s，2}（z）\）和\（W_{s}（z）\）是新的，不能通过椭圆函数解连续退化。从结果中，我们可以通过\（\exp（-\phi（z））\）-展开法，而仅用复形法就可以得到椭圆函数的解。这两种方法在寻找NLEE的精确解方面是非常有用的工具。

5计算机模拟

在本节中，我们将通过计算机模拟来说明一些结果。我们对简单周期解的性质进行了进一步的分析\（W_{s，2}（z）\）和\（W_{s}（z）\）如图所示1和2。

• （1） 通过使用复数方法，我们能够获得简单的周期解\（W_{s，1}（z）\）和\（W_{s，2}（z）\）gZK方程。解决方案\（W_{s，1}（z）\）和\（W_{s，2}（z）\）来自双曲线函数。图1显示解决方案的形状\（W_{s，2}（z）\）对于\（k=1），\（l=1），\（\alpha=1\），\（a{1}=-6\），\（a{2}=1\），\（a_｛3｝=1\），\（a{5}=-24\）、和\（z{1}=1\）间隔内\（-2\pi\leq\xi，\eta\leq2\pi\）注意，它们有两个不同的发电极，如图所示1。

  图1

  

  gZK方程的解对应于 \（\pmb{W_{s，2}（z）}\） 。 （a） \（z{0}=-8\），（b） \（z{0}=0\），（c） \（z{0}=8\）。

• (2) 通过使用复数方法，我们获得了简单的周期解\（W_{s}（z）\）YSTF方程。解决方案\（W_{s}（z）\）都是双曲函数解。解决方案\（W_{s}（z）\）在图中2YSTF方程的参数表示为奇异孤子解\（k=1），\（l=1），\（r=1），\（阿尔法=1）和\（y=0）间隔内\（-2\pi\leq\xi，\eta\leq2\pi\）。

  图2

  

  对应于的YSTF方程的解 \（\pmb{W_{s}（z）}\） 。 （a） \（z{0}=-8\），（b） \（z{0}=0\），（c） \（z{0}=8\）。

6结论

在本文中，我们利用李群分析获得了两个高维NLEE的对称性和对称约简。通过这种方法，我们可以降低NLEE的维数，这与数学物理和工程领域有关\（\exp（-\phi（z））\）-展开法和复杂法。它证明了这些方法对于求解非线性方程组的精确解是非常有效和强大的。我们可以将本研究的想法应用于其他NLEE。