不等式约束优化的低阶精确罚函数的光滑化

摘要

本文针对不等式约束优化问题，提出了一种光滑化一般低阶精确罚函数的方法。我们证明了通过搜索光滑惩罚问题的全局解可以获得原问题的近似全局解。我们开发了一种基于平滑惩罚函数的算法。结果表明，该算法在一些温和的条件下是收敛的。通过数值算例验证了算法的有效性。

1介绍

我们考虑以下非线性约束优化问题：

$$[P]\quad\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}\minf（x）\\mathrm{s.t.}\g_{i}（x）\leq0，&i=1,2，\ldot，m，\end{arrays}$$

哪里\（f:R^{n}\右箭头R\）和\（g_{i}:R^{n}\右箭头R\）,\（i={1,2，\ldots，m\}中的i）是两次连续可微函数。让

$$G_{0}=R^{n}|G_{i}（x）\leq0中的\bigl\{x\，i=1,2，\ldots，m\bigr\}$$

在许多文献中已经提出了罚函数方法来解决问题[P]。在藏维尔[1]，经典\（l{1}\）精确的惩罚函数定义如下：

$$p_{1}（x，q）=f（x）+q\sum_{i=1}^{m}\max\bigl\{g_{i}（x），0\bigr\}$$

(1.1)

哪里\（q>0）是一个惩罚参数，但它不是平滑函数。在文献中的不同地方已经获得了精确罚函数的可微近似，例如[2–10].

最近，一些文献中提出了低阶罚函数。在[11]，Luo给出了形式的低阶罚函数的全局精确罚结果

$$f（x）+\alpha\Biggl（\sum_{i=1}^{m}\max\bigl\{g_{i}（x），0\bigr\}\Biggr）^{1/\gamma}$$

(1.2)

哪里\（\alpha>0，\gamma\geq1）是惩罚参数。显然，这是\（l{1}\）惩罚函数，当\（伽马=1）。

非线性惩罚函数在[12]和[13]如下：

$$L^{k}（x，d）=\Biggl[f（x）^{k{+\sum_{i=1}^{m} d日_{i} \bigl（\max\bigl\{g_{i}（x），0\bigr\}\bigr）^{k}\Biggr]^{1/k}$$

(1.3)

哪里\（f（x）\）假设为正，\（k>0）是给定的数字，并且\（d=R{+}^{m}中的（d_{1}，d_{2}，\ldots，d_}m}）是惩罚参数。它显示在[12]精确的惩罚参数对应于\（k\英寸（0,1]\）比经典的要小得多\（l{1}\）精确的惩罚函数。

在[14]，低阶惩罚函数

$$\varphi_{q，k}（x）=f（x）+q\sum_{i=1}^{m}\bigl（max\bigl\{g_{i}（x），0\bigr\}\bigr）^{k}，（0,1）中的四k$$

(1.4)

已经介绍并证明在某些条件下是精确的，但对于\（k\英寸（0,1）\）.何时\（k=\压裂{1}{2}\），我们有以下功能：

$$\varphi_{q}（x）=f（x）+q\sum_{i=1}^{m}\sqrt{max\bigl\{g_{i}（x），0\bigr\}}$$

(1.5)

其平滑性已在[14,15]和[16]. 低阶精确罚函数的光滑化(1.4)已在中进行调查[17]和[18].

在本文中，我们的目标是平滑低阶罚函数(1.4)。本文的其余部分组织如下。在节中2一种新的低阶罚函数平滑函数(1.4)介绍了。在光滑惩罚问题、非光滑惩罚问题和原问题的最优目标函数值之间进行了误差估计。在节中三，我们提出了一种基于光滑罚函数计算[P]近似解的算法，并证明了它是全局收敛的。在节中4文中给出了三个数值算例来验证算法的有效性。在节中5，我们总结了本文。

2精确低阶罚函数的平滑

我们考虑以下低阶惩罚问题：

R^{n}}\varphi_{q，k}（x）中的$$[LOP]_{k}\quad\min_{x\$$

为了确定准确的惩罚性质，我们需要以下假设，如[14].

假设1

\（f（x）\）满足以下强制条件：

$$\lim_{\|x\|\rightarrow+\infty}f（x）=+\inft$$

假设中1，存在一个框X（X）这样的话\（G（[P]）\子集\运算符名称{int}（X）\），其中\（G（[P]）\）是问题的全局极小集\（[P]\）,\（\operatorname{int}（X）\）表示集合的内部X（X）。考虑以下问题：

$$\bigl[P^{\prime}\bigr]\quad\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}\minf（x）\\mathrm{s.t.}\g_{i}（x）\leq0，&i=1,2，\ldot，m，\\hphantom{\mathrm}s.t.}}\x\in x$$

让\（G（[P^{\prime}]）\）表示问题的全局极小集\（[P^{\prime}]\）.然后\（G（[P^{\prime}]）=G（[P]）\）。

假设2

这套\（G（[P]）\）是一个有限集。

那么对于任何\（k\in（0,1）\），我们考虑形式的惩罚问题

$$\bigl[LOP^{prime}\bigr]_{k}\quad\min_{x\in x}\varphi_{q，k}（x）$$

我们知道低阶惩罚函数\（\varphi_{q，k}（x）（k\in（0,1））是中的精确惩罚函数[14]根据假设1和假设2.但低阶精确惩罚函数\（瓦尔菲{q，k}（x））(\（k\英寸（0,1）\）)是一个不可微分函数。现在我们考虑它的平滑。

让\（p_{k}（u）=（最大值\{u，0\}）^{k}\）也就是说，

$$p_{k}（u）=\left\{textstyle\begin{array}{@{}l@{quad}l}u^{k}&\mbox{if}u>0，\\0&\mbax{otheric}，\end{arrays}\displaystyle\right$$

(2.1)

然后

$$\varphi_{q，k}（x）=f（x）+q\sum_{i=1}^{m} 第页_{k} \bigl（g_{i}（x）\bigr）$$

(2.2)

对于任何\（epsilon>0\），让

$$p_{\epsilon，k}（u）=\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{quad}l}0&\mbox{if}u\leq0，\\frac{1}{2}\epsilen^{-k}u^{2k}&\mbox{if}0<u\leq\epsilon，\\u^{k}-\压裂{\epsilon^{k}}{2}&\mbox{if}u>\epsilen。\结束{array}\displaystyle\right$$

(2.3)

很容易看出这一点\（p_{\ε，k}（u）\）在上连续可微R（右）此外，我们看到\（p_{\epsilon，k}（u）\右箭头p_{k}作为ϵ→0

图1显示的行为\（p{2/3}（u）\）（用实线表示），\（p{0.1,2/3}（u）\）（用点线表示），\（p{0.01,2/3}（u）\）（用虚线表示）和\（p_｛0.001,2/3｝（u）\）（用虚线和点线表示）。

图1

的行为 \（\pmb{p{\epsilon，2/3}（u）}\） 和 \（\pmb{p{2/3}（u）}\） 。

让

$$\varphi_{q，\epsilon，k}（x）=f（x）+q\sum_{i=1}^{m} 第页_{\epsilon，k}\bigl（g{i}（x）\bigr）$$

(2.4)

然后\（\varphi_{q，\epsilon，k}（x）\）在上连续可微\（R^{n}\）考虑以下平滑优化问题：

$$[SP]\quad\min_｛x\in x｝\varphi_｛q，\epsilon，k｝（x）$$

引理2.1

对于任何 \（x在x中，epsilon>0）,我们看到了

$$0\leq\varphi{q，k}（x）-\varphi_{q，\epsilon，k}（x）\leq\frac{1}{2} mq（平方米）\ε^{k}$$

证明

请注意

$$p_{k}\bigl（g_{i}（x）\bigr）-p_{\epsilon，k}\bigl（c_{ineneneep（x）\ bigr^{k}-\压裂{1}{2}\epsilon^{-k}（g{i}（x））^{2k}&\mbox{if}0<g{i{（x。\结束{array}\displaystyle\right$$

让

$$F（u）=u^{k}-\裂缝{1}{2}\epsilon^{-k}u^{2k}$$

我们得到了

$$F^{prime}（u）=ku^{k-1}-k\ε^{-k}u^{2k-1}=k\ε^{-k}u^{k-1}\bigl（\epsilon^{k} -u个^{k} \更大）$$

什么时候？\（u \ in（0，\ε）\）,\（F^{\prime}（u）\geq0\）很容易看出\（F（u）\）是单调递增的\（[0，\epsilon]\）.何时\（g{i}（x）在[0，\epsilon]\中），我们可以

$$0\leq p_{k}\bigl（g_{i}（x）\bigr）-p_{\epsilon，k}\bigl$$

因此我们看到

$$0\leq\varphi{q，k}（x）-\varphi_{q，\epsilon，k}（x）\leq\frac{1}{2} mq（平方米）\epsilon^{k}$$

这就完成了证明。 □

定理2.1

让 \（\{\epsilon_{j}\}\rightarrow0^{+}\） 是一个正数序列，并假设 \（x_｛j｝\） 是解决 \（x}中的\min_{x\varphi_{q，\epsilon_{j}，k}（x）\） 对一些人来说 \（q>0）,\（k\英寸（0,1）\）。让 x̄ 是序列的累加点 \（{x{j}）。然后 x̄ 是解决以下问题的最佳方案 \（x中的x）。

证明

因为\（x{j}\）是解决\（x}中的\min_{x\varphi_{q，\epsilon_{j}，k}（x）\），我们看到了

对于x中的所有x，$\varphi_{q，\epsilon_{j}，k}$$

按引理2.1，我们看到了

$$\varphi{q，\epsilon_{j}，k}（x）\leq\varphi_{q，k}（x）$$

和

$$\varphi{q，k}（x）\leq\varphi_{q，\epsilon_{j}，k}（x）+\frac{1}{2} mq（平方米）\epsilon_{j}^{k}$$

由此可见

$$开始{aligned}\varphi{q，k}（x{j}）\leq\varphi_{q，\epsilon_{j},k}{2} mq（平方米）\epsilon{j}^{k}\leq\varphi{q，\epsilon_{j}，k}（x）+\frac{1}{2} mq（平方米）\ε_｛j｝^｛k｝\leq\varphi_｛q，k｝（x）+\frac｛1｝{2} mq（百万立方米）\ε{j}^{k}。\结束{对齐}$$

让\（j\rightarrow\infty\），我们看到了

$$\varphi{q，k}（\bar{x}）\leq\varphi_{q，k}（x）$$

这就完成了证明。 □

定理2.2

让 \（x中的x_{q，k}^{*}） 是问题的最佳解决方案 \（[LOP^{\prime}]_{k}\） 和 \（\bar{x}_X中的{q，\epsilon，k}） 是问题的最佳解决方案 \（[SP]\） 对一些人来说 \（q>0，k\in（0,1）\） 和 \（epsilon>0\）。然后我们看到了

$$0\leq\varphi_{q，k}\bigl（x_{q、k}^{*}\bigr）-\varphi_{q，\epsilon，k}（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）\leq\frac{1}{2} mq（平方米）\ε^{k}$$

证明

按引理2.1，我们看到了

$$开始{对齐}0\leq&\varphi_{q，k}\bigl（x_{q、k}^{*}\bigr）-\varphi_{q，\epsilon，k}\ bigl{x}_{q，\epsilon，k}）\\leq&\varphi{q，k}（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）-\varphi{x}_{q，\epsilon，k}）\\leq&\压裂{1}{2} mq（平方米）\epsilon^{k}。\结束{对齐}$$

这就完成了证明。 □

定理2.1和定理2.2意味着[SP]的近似最优解也是\（[LOP^{\prime}]_{k}\）当出现错误时ϵ足够小。

定义2.1

对于\（epsilon>0\），一分\（x中的x）是一个ϵ-可行的解决方案或ϵ-问题的解决，如果

$$g_｛i｝（x）\leq\epsilon，\quad i=1,2，\ldots，m$$

我们说这对\（（x^{*}，\lambda^{*{）\）满足中的二阶充分条件[19]如果

$$\开始{aligned}&\nabla_{x} L（左）\bigl（x^{*}，\lambda^{*{\bigr ots，m，\\&y^{T}\nabla^{2} L（左）\bigl（x^{*}，\lambda^{**}\bigr）y>0，\quad\mbox{表示V中的任何}y\ bigl$$

（2.5）

哪里\（L（x，λ）=f（x）+sum_{i=1}^{m}\lambda_{i} 克_{i} （x）\）、和

$$\开始{aligned}&V\bigl（x^{*}\bigr）=\bigl\{y\在R^{n}|{nabla中^{T} 克_{i} bigl（x^{*}\bigr）y=0，在A\bigl（x^{*{\biger）中为i\；\纳布拉^{T} 克_{i} \bigl（x^{*}\bigr）y\leq0，i\in B\bigl-（x^}\biger）}\biger\}，\\&A\bigl-x^{**}\bicr）=\bigl\{i\in{1,2，\ldots，m\}|g_{i}\bigl_（x^{*}\ bigr l\{i\in\{1,2，\ldots，m\}|g_{i}\bigl（x^{*}\bigr）=0，\lambda^{*{=0\bigr\}。\结束{对齐}$$

定理2.3

假设假设 1 和 2 持有,对于任何人来说 \（x^{*}\在G（[P]）中\）,存在一个 \（R_{+}^{m}中的\lambda^{*}\） 这样，这对 \（（x^{*}，\lambda^{*{）\） 满足第二个-订单充分条件(2.5).然后针对 \（对于所有k\ in（0,1）\）,让 \（x中的x^{*}\） 成为问题的全球解决方案 \（[P]\） 和 \（\bar{x}_X中的{q，\epsilon，k}） 成为问题的全球解决方案 \（[SP]\） 对于 \（k\in（0,1），\epsilon>0\）。然后就有了 \（q ^｛*｝>0\） 这样，对于任何 \（q>q^｛*｝\）,

$$0\leqf\bigl（x^{*}\bigr）-\varphi_{q，\epsilon，k}（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）\leq\frac{1}{2} mq（平方米）\epsilon^{k}$$

(2.6)

此外,如果 \（\bar{x}_{q，\epsilon，k}\） 成为 ϵ-问题的可行解决方案[P（P）],然后我们看到了

$$0\leqf\bigl（x_{q，k}^{*}\bigr）-f（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）\leq-mq\epsilen^{k}$$

哪里 \（q^{*}>0\） 在推论中定义2.3在里面[14].

证明

按推论2.3英寸[14]，我们看到了\（x中的x^{*}\）是问题的全球解决方案\（[LOP^{\prime}]_{k}\）.然后根据定理2.2，我们看到了

$$0\leq\varphi_{q，k}\bigl（x^{*}\bigr）-\varphi_{q，\epsilon，k}（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）\leq\frac{1}{2} mq（平方米）\epsilon^{k}$$

(2.7)

自\（\sum_{i=1}^{m} 第页_{k} （g{i}（x^{*}））=0\），我们有

$$\varphi_{q，k}\bigl（x^{*}\bigr）=f\bigl（x^}\biger）+q\sum_{i=1}^{m} 第页_{k} \bigl（g_{i}\bigle（x^{*}\biger）\bigr）=f\bigl$$

(2.8)

由(2.7)和(2.8)，我们看到了(2.6)持有。

此外，它是由(2.4)和(2.6)那个

$$0\leq f\bigl（x^｛*｝\bigr）-\Biggl（f（\bar{x}_｛q，ε，k｝）+q\sum_｛i=1｝^{m} 第页_{\epsilon，k}\bigl（g{i}（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）\biger）\Biggr）\leq\frac{1}{2} mq（平方米）\ε^{k}$$

由此可见

$$q\sum_{i=1}^{m} 第页_{\epsilon，k}\bigl（g{i}（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）\biger）\leq f\bigl（x^{*}\bigr）-f（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）\leq\frac{1}{2} mq（平方米）\ε^｛k｝+q\sum_｛i＝1｝^{m} 第页_{\epsilon，k}\bigl（g{i}（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）\bigr）$$

(2.9)

发件人(2.3)事实上\（\bar{x}_{q，\epsilon，k}\）是一个ϵ-问题的可行解决方案[P]，我们可以看到

$$0\leq\sum_{i=1}^{m} 第页_{\epsilon，k}\bigl（g{i}（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）\biger）\leq\frac{1}{2} 米\ε^{k}$$

(2.10)

然后它从(2.9)和(2.10)那个

$$0\leq f\bigl（x^{*}\bigr）-f（\bar{x}_{q，\epsilon，k}）\leq-mq\epsilen^{k}$$

这就完成了证明。 □

定理2.3表示[SP]的近似最优解是[P]的近似最佳解，如果[SP]是ϵ-可行。

三一种平滑方法

我们提出以下算法来求解[P]。

算法3.1

步骤1选择初始点\（x{0}\）和止动公差\（ε>0\）.给定\（\epsilon_{0}>0，q_{0}>0，0<\eta<1\）、和\（σ>1），让\（j=0）并转至步骤2。

步骤2使用\（x{j}\）作为解决问题的起点\（R^{n}}\varphi{q{j}，\epsilon{j}，k}（x）中的\min_{x\）.让\（x{j}^{*}\）是获得的最优解(\（x{j}^{*}\）通过准牛顿方法和有限差分梯度获得）。

步骤3如果\（x{j}^{*}\）是ϵ-对[P]可行，然后停止，我们得到了一个近似最优解\（x{j}^{*}\）原始问题的[P]。否则，让\（q{j+1}=\σq{j}，\ε、和\（j=j+1），然后转至步骤2。

发件人\（0<eta<1）和\（σ>1），我们可以很容易地看到序列\（{\epsilon_{j}\}\）减少到0，并且序列\（{q{j}）增加到+∞\（j\longrightarrow+\infty\）。

现在我们在一些温和的条件下证明了算法的收敛性。

定理3.1

假设假设 1 持有和任何 \（q\ in[q_{0}，+\infty），\epsilon\ in（0，\epsilon_{0{]\）,成套设备

$$\arg\min_{x\在R^{n}}\varphi_{q，\epsilon，k}（x）\neq\emptyset中$$

让 \（{x{j}^{*}） 是由算法生成的序列 3.1。如果序列 \（\｛\varphi_｛q_｛j｝，\ epsilon_｛j｝，k｝（x_｛j｝^｛*｝）\｝\） 是有界的,然后 \（{x{j}^{*}） 有界且任意极限点为 \（{x{j}^{*}） 是的解决方案[P（P）].

证明

首先我们展示一下\（{x{j}^{*}）是有界的。请注意

$$\varphi_{q_{j}，\epsilon_{jneneneep，k}\bigl（x_{j{{*}\bigr）=f\bigle（x_{j}^{*}\biger）+q_{j}\sum_{i=1}^{m} 第页_{\epsilon_{j}，k}\bigl（g{i}\bigle（x{j}^{*}\bigr）\biger），\quad j=0,1,2，\ldots$$

根据假设，有一些数字L（左）这样的话

$$L>\varphi_｛q_｛j｝，\epsilon\｛j｝，k｝\bigl（x_｛j｝^｛*｝\bigr），\quad j=0,1,2，\ldots$$

假设相反\（{x{j}^{*}）是无限的。在不失一般性的情况下，我们假设\（\|x_{j}^{*}\|\rightarrow\infty\）作为\（j\rightarrow\infty\）.然后我们得到

$$L>f\bigl（x_{j}^{*}\bigr），\quad j=0,1,2，\ldot$$

这导致了自相矛盾如果是强制性的。

接下来，我们显示\（{x{j}^{*}）是[P]的最优解。让x̄是的任何极限点\（{x{j}^{*}）.则存在一个自然数集\（J \ substeq N \），因此\（x_{j}^{*}\rightarrow\bar{x}，j\中的j\）如果我们能证明（i）\（G_{0}中的\bar{x}\）和（ii）\（f（\bar{x}）\leq\inf_{x\在G_{0}}f（x）中等等，那么x̄是[P]的最优解。

（i） 假设与此相反\（在G_{0}中为\bar{x}），那么就存在\（i中的\delta_{0}>0，i_{0{）和子集\（J_{1}\子集J\）这样的话

$$g{i{0}}\bigl（x{j}^{*}\bigr）\geq\delta{0}>\epsilon_{j}$$

对于任何\（j{1}中的j）。

通过算法中的步骤23.1和(2.3)，我们看到了

$$f\bigl（x_{j}^{*}\bigr）+\frac{1}{2} q个_{j} \delta_｛0｝^｛k｝\leq f\bigl（x_｛j｝^｛*｝\bigr）+q_｛j｝\bigl（g_｛i_｛0｝｝\bigl（x_｛j｝^｛*｝\bigr）\bigr）^{k}-\裂缝{1}{2}\epsilon_{j}^{k}\biggr）\leq\varphi_{q{j}，\epsilen_{j{，k}\bigl（x{j}_^{*}\biger$$

对于任何\（x\在G_{0}\中），这与\（q_{j}\rightarrow+\infty\）.然后我们看到了\（在G_{0}中为\bar{x}\）。

（ii）对于任何\（x\在G_{0}\中），我们有

$$f\bigl（x_{j}^{*}\bigr）\leq\varphi_{q_{j{}，\epsilon_{jneneneep，k}\bigle（x_{j}^{*{\biger）\leq \varphi_{q_}，\ epsilon_{j{，k}（x）=f（x）$$

然后\（f（\bar{x}）\leq\inf_{x\在G_{0}}f（x）中持有。

这就完成了证明。 □

4数值示例

在本节中，我们通过三个数值示例来说明算法的适用性3.1。

示例4.1

（示例4.2英寸[17]，示例3.3英寸[18]和示例4.1英寸[20])

$$\开始{对齐}&\分钟f（x）=x{1}^{2}+x{2}^{2}-\ cos（17x_｛1｝）-\ cos（17x_｛2｝）+3，\&&\ mathrm｛s.t.｝\ g_｛1｝（x）=（x_{1} -2个)^{2} +x_{2}^{2}-1.6^{2} \leq0，\\&g{2}（x）=x{1}^{2}+（x）_{2}-3)^{2}-2.7^{2} \leq0，\\&0\leqx{1}\leq2，\\&0 \leqx{2}\leq 2。\结束{对齐}$$

让\（k=1/3，x{0}=（0.5，1.5），q{0}=1.0，ε{0}=0.1，β=0.1，σ=2，ε=10^{-15}），我们通过算法获得结果3.1如表所示1。

表1示例的数值结果 4.1 具有 \（pmb｛k=1/3｝\）

让\（k=2/3，x{0}=（0.5，1.5），q{0}=10，ε{0}=0.1，β=0.1，σ=2，ε=10^{-15}），我们通过算法获得结果3.1如表所示2。

表2示例的数值结果 4.1 具有 \（\pmb{k=2/3}\）

什么时候？\（k=1/3\）和\（k=2/3），数值结果见表1和表2分别是。从表中可以清楚地看出1和表2得到的近似解是相似的。在[17]，示例4.2的给定解决方案为$(0.7254,0.3993)$目标函数值为1.8375，当\（k=1/3）.英寸[18]，示例3.3的给定解决方案为$(0.7239410,0.3988712)$当目标函数值为1.837919时\（k=1/3\）例3.3的给定解决方案为$(0.7276356,0.3998984)$目标函数值为1.838380，当\（k=2/3）.英寸[20]，示例4.1的给定解决方案为$(0.7255,0.3993)$目标函数值为1.8376。数值结果与[17]和[20]，它们比[20]在本例中。

示例4.2

（第4.6节中的测试问题6[21])

$$\开始{对齐}&\分钟f（x）=-x-y，\\&\mathrm{s.t.}\g_{1}（x，y）=y-2x^{4}+8x^{3} -8倍^{2}-2\leq0，\\&g_{2}（x，y）=y-4x^{4}+32x^{3} -88倍^{2} +96x-36\leq0，\\&0\leq x\leq3，\\&0 \leq y\leq4。\结束{对齐}$$

让\（k=2/3，x{0}=（2.5,0），q{0}=5，ε{0}=0.1，β=0.1，σ=2，ε=10^{-15}）、算法结果3.1如表所示三。

表3示例的数值结果 4.2 具有 \（\pmb{x{0}=（2.5,0）}\）

让\（k=2/3，x{0}=（0,4），q{0}=5，ε{0}=0.1，β=0.1，σ=2，ε=10^{-15}）、算法结果3.1如表所示4。

表4示例的数值结果 4.2 具有 \（pmb｛x_｛0｝=（0.4）｝\）

让\（k=2/3，x{0}=（1.0,1.5），q{0}=5，ε{0}=0.1，β=0.1，σ=2，ε=10^{-15}）、算法结果3.1如表所示5。

表5示例的数值结果 4.2 具有 \（\pmb{x{0}=（1.0,1.5）}\）

有不同的起点\（x{0}=（2.5,0），x{0{=（0,4）\）、和\（x{0}=（1.0,1.5）\），数值结果见表三，表4和表5分别是。可以看到表中的数值结果三-5都是类似的。这意味着算法3.1并不完全取决于如何在本例中选择起点。在[21]，示例4.2的给定解决方案为$(2.3295, 3.1783)$目标函数值−5.5079。数值结果与[21]在本例中。

对于j在算法的第四次迭代中，我们定义了一个约束误差\（e_{j}\）通过

$$e_{j}=\sum_{i=1}^{m}\max\bigl\{g{i}\bigl（x_{j}^{*}\bigr），0\bigr\}$$

很明显\（x{j}^{*}\）是ϵ-当（P）可行时\（e_{j}<\epsilon\）。

示例4.3

（示例4.5英寸[15]和示例3.4英寸[18])

$$\begin｛aligned｝&&min f（x）=10x_｛2｝+2x_｛3｝+x_｛4｝+3x_｛5｝+4x_｛6｝，\\&&\mathrm｛s.t.｝\g_｛1｝（x）=x_｛1｝+x_{2} -10个=0，\\&g{2}（x）=-x{1}+x{3}+x}4}+x_{5}=0，\&g{3}（x）=-x_{2} -x个_{3} +x{5}+x{6}=0，\\&g{4}（x）=10x_{1} -2倍_{3} +3倍_{4} -2倍_{5}-16\leq0，\\&g{5}（x）=x{1}+4x{3}+x_{5}-10\leq0，\\&0\leqx{1}\leq12，\\&0 \leqx{2}\leq 18，\\&0\leq x{3}\lequ5，\\&0 \leq x{4}\leque12，\\&0\leq x{5}\lequa1，\\&0\leq x{6}\leq16。\结束{对齐}$$

让\（k=2/3，x{0}=（2,2,1,2,1,2），q{0}=100，ε{0}=0.5，β=0.01，σ=2，ε=10^{-15}），按算法计算的结果3.1如表所示6。

表6示例的数值结果 4.3

从表中可以清楚地看出6得到的近似最优解是\（x^{*}=（1.620468，8.379530，0.013229，0.607246，0.999994，7.392764）相应的目标函数值为117.000044。在[15]，得到的近似最优解为\（x^{*}=（1.805996,8.194004,0.497669,0.308327,1.00000,7.691673）\）相应的目标函数值为117.010399。在[18]，示例3.4的给定解决方案为$(1.635022, 8.364978, 0.060010, 0.5812775, 0.9937346, 7.431253 )$目标函数值为117.0573，当\（k=2/3）.数值结果优于[15]和[18]在这个例子中。

5结束语

本文针对不等式约束优化问题，提出了一种光滑化非光滑低阶精确罚函数的方法。我们证明了基于平滑惩罚函数的算法在温和的条件下是收敛的。

根据第节中给出的数值结果4，我们可以通过算法获得原始问题[P]的近似最优解3.1。

最后，对算法中参数的选择提出了一些建议。通常\（q{0}\）可以是1、5、10、100、1000或10000，以及\（σ=2,5,10\mbox{或}100\）。的初始值\（\epsilon_{0}\）可以是1、0.5、0.1或0.01，以及\（eta=0.5,0.1,0.05\mbox{或}0.01\）。