基于幅度比法的分数傅里叶系数插值水下连续波频率估计

摘要

正弦信号的快速准确估计在通信、雷达、声纳等许多领域都起着重要作用。在水下信号处理应用中，正弦信号在大多数实际应用中通常以CW脉冲的形式出现，因此，零通和占空比对正弦信号的估计具有重要意义。本文提出了一种高精度正弦信号估计算法，该算法将幅度比算法和分数傅里叶系数插值算法相结合。该算法采用相邻谱线比值算法代替傅里叶系数最大幅度离散谱线搜索算法进行粗估计，并对传统的插值方法进行了改进。该算法对傅里叶系数插值算法进行了改进，通过组合零通信号实现了对零通正弦信号的精确频率估计。该算法的性能也符合零加信号的理论水平，这是对非加信号频率估计算法和零加信号算法的一大改进。通过大量的计算机仿真验证了理论结果，结果表明，该算法在零通情况下可以获得更好的结果，并且在非加信号情况下保持与竞争算法相当的性能。因此，该算法可以更好地应用于实际的水下探测或通信信号。

1介绍

在数字信号处理、声纳、通信和雷达等许多领域，在低信噪比下准确估计正弦频率信号一直是一个基本问题[1,2]。在水下信号处理中，声速的限制对相对运动更为敏感，导致比陆地上的频移和多普勒大得多。在水下信号处理领域，这种频率偏移的影响往往不容忽视[三]。准确的频率估计可以获得信号的准确参数估计，这对于信号处理中的同步、频率补偿和其他问题都很重要。频率估计的常用方法包括时域法、频域法、最大似然法和特征子空间法[4,5]。时域方法在低信噪比条件下计算量小且不太有利，但精度低，要求高信噪比。概率类方法，如最大似然法，对单个参数的估计计算量大，平均值小，而子空间类方法主要用于多正弦波信号的估计。因此，对单个正弦信号的研究主要采用频域方法，其中频率估计将分为两个步骤：首先进行基于FFT的粗略估计，然后使用插值迭代估计残差频率偏差。里夫算法[6,7]是一种基于傅里叶系数最大谱系数的经典幅度比插值算法。该算法由里夫于1970年提出，是一种经典的整数插值算法，下面将简要介绍其详细原理。虽然该方法简单易行，可以被视为各种后续插值类算法的发起者，但它限制了剩余频率偏差，并且容易受到噪声的影响。为了解决这个问题，提出了改进的Rife算法（MRife）[8,9]。MRife的改进旨在提高Rife算法的精确度\（\left|\delta\right|\mathrm{{=}}0.5\），然后过程如下：首先，设置参考区间[1/3,1/2]，然后估计得到\（{\hat{\delta}}\）.如果\（{\hat{\delta}}\）在区间内，估计被认为是正确的；如果不在这个间隔内，正弦信号将移位1/3个单位，然后\（{X_l}\）和\（{X_0}\）根据以下估算公式重新计算\（{\hat{\delta}}\）。这些步骤是迭代执行的，最终估计值减去补偿的频率偏移。该方法减少了Rife算法大误差的缺陷，但并不能从根本上解决Rife算法在低信噪比下性能差的问题。在改进的里夫算法的启发下，相继提出了一些分数插值算法和分数平方插值算法，提高了插值算法估计结果的准确性。这些算法包括FFCI算法、MOI算法[10]但只要我们采用插值算法，我们就需要面对其致命的缺陷，即它对粗估计结果非常敏感。传统的插值算法是以最基本的FFT搜索算法MBS算法为基础的，这意味着无论如何修复它，在一定范围内总是会有更好的效果。例如，使用经典的FFCI算法，只有当\（\增量\）接近0，MMSE接近CRLB的1.0147倍。

按照这种方式，Aboutanios和Mulgrow于2005年提出了著名的AM频率估计算法，该算法在分数插值类算法中增加了迭代步骤，从而很好地纠正了缺陷，这是指FFCI算法和MOI算法在初始估计偏差较大时的不良影响。这两种算法是AM算法的两次迭代[11]。近年来，人们提出了更先进的迭代频率估计算法[12,13]。2017年[14]Ye S和Aboutanios等人提出了一种基于AM算法的迭代频率估计算法，该算法不仅可以估计频率，还可以估计信号的初始相位和振幅。2018年，塞族人提出了一种用于插值信号q移位DFT系数的QSE算法和一种使用混合半移位和q移位DFT插值器的HAQSE算法，该算法本质上仍是一种迭代FFT系数插值算法[15]。本质上，这些类型的插值估计量是在寻找非线性方程的解。为了更好地理解这些估计量的估计偏差，并解释为什么一些插值估计量的性能优于其他估计量，廖J R[16]利用解析解引入了一组新的无偏估计量。坎丹在他的文章中求婚[17,18,19]提出了一系列频率估计方法，并通过查表提供了一种快速的估计方法，可以节省更多的计算工作量。但在仿真中可以发现，该方法的残差对迭代次数较少的估计结果仍有一定影响。综上所述，通过仿真比较，可以发现塞族人提出的QSE和HAQSE估计方法是迄今为止对单正弦信号估计精度最好的方法。在纸上[20]，对DFT插值进行了进一步的研究，以检验一些仍然悬而未决的问题。他们首先通过插值两条q移位的16条谱线来评估频率恢复的Cramér–Rao界（CRB），并评估其依赖性\（\ε\）然而，q并没有讨论零通情况下的理论误差。

前面提到的所有算法都是针对非填充信号的。然后，一些学者对零通信号进行了以下研究。RCTSL算法[21]2011年提出，这是一种即使在低信噪比下也能准确估计信号频率的方法，无需迭代计算。它的主要概念是计算功率谱的误差和信号DFT变换结果的平方，因为当二者的插值平方最小时，频率最接近真实频率值，所以频率估计被转化为一个基本的优化概念，通过求导可以得到封闭解。文章指出该方法具有以下优点：准确度高；计算简单；不需要迭代计算。该算法启发了传统FFT差分算法的思路，具有一定的参考价值。该算法也值得称赞，因为它可以有效地用于零通信号。但遗憾的是，这些算法[22,23]只有当信号长度是正弦信号的整数倍时才有效，但对于非整数倍插值则无效。2016年，一个准确的频率估计方案[24]提出了一种基于零通信号的估计方法，该方法以最大似然估计为粗估计，以FFT系数插值为精确估计。但遗憾的是，该方法的仿真性能并不优越，并且没有进一步指出该方法的理论误差。2021年，张义雄等人提出了ARD频率估计算法[25]对于基于最大谱线的相邻谱线，其使用最大谱线与相邻谱线的比率来估计值，从而执行精确的单频信号的估计。相对于RCTSL算法，ARD算法并不是为了寻找封闭解，而是基于牛顿梯度下降法，用单调函数来逼近一定范围内的比率函数。通过这种方式，该算法对不同零通和占空比的信号具有更好的适应性，但也具有较高的复杂度。相对而言，该方法与RCTSL算法相比具有更高的精度，并且经过对零加的改进，对于零加信号的估计也有更好的结果。然而，该算法是牛顿法近似的结果，因此，除非进行仿真，否则无法准确获得算法的性能。此外，该方法没有给出理论估计误差。然而，该算法仍然是对零通信号的估计结果所能找到的最佳估计方法。

本文提出了一种基于改进的DFT系数幅度比（ARD）算法和改进的分数傅里叶系数插值（FFCI）算法的精确频率估计算法。在所有FFT插值类算法的计算中存在的问题是，传统的频率插值算法对粗略估计结果敏感，因此并不有效。本文提出的算法与ARD算法相结合进行频率粗估计，使得剩余频率偏差接近0。这样，与AM算法相比，该算法无需迭代即可获得良好的估计结果，并且不亚于近年来提出的QSE等一些先进的频率估计算法。本文进一步改进了基于零填充信号的插值算法，并从理论上推导了改进插值算法的性能。与其他算法相比，本文提出的算法不仅可以实现非加信号条件下接近CRLB的频率估计，而且可以对零通信号进行精确估计。推导了零通信号的渐近CRLB，它与仿真结果吻合良好。由于多次迭代，本文提出的算法存在计算量大的缺点，但对于频率估计，实时性要求不是很高。此外，目前的DSP处理器具有比迭代译码更高的性能，并且由于快速高效的FFT计算，在实际应用中可以实现迭代频率估计。

本文的概要如下：首先介绍了插值类算法的一般理论基础，然后对基于幅度比法的粗估计进行了推导，并对零通信号的改进分数傅里叶系数插值方法进行了推导。第三，对该方法的理论性能进行了评估，最后给出了在大量数值模拟中的验证。

2基于频域插值的频率估计理论基础

频域方法的核心概念是插值FFT系数，以便连续逼近真实频率值。两种典型类型之一是基于FFT系数的迭代差分算法，由Rife表示[6]算法和AM[11]算法。另一种是基于相邻谱线之间的谱功率与最大谱线之间比值的内插比算法，该比值由ARD表示[25]算法。详细介绍如下。

首先，我们假设正弦信号表示如下：

$$开始{aligned}s\left（n\right）=&{}A{e^{j\ left（{2\pi{f_0}{T_s}\ left）（{n-\frac{n}{2}}\ right）+\theta}\ rift）}}，n=0，\cdots，n-1\end{aligned}$$

(1)

$$\begin{aligned}r\left（n\right）=&{}s\left（n\right）+w\left（n \ right）。\结束{对齐}$$

(2)

哪里A类,（f）和\（\θ\）分别是振幅、频率和初始相位，以及\（｛T_s｝\）是采样间隔，噪声是高斯白噪声，平均值为0，方差为\（{\西格玛^2}\）根据前面提到的定义，我们可以得到如下的信噪比\（信噪比={{A^2}}/{{\西格玛^2}{\），采样频率为\（{fs}={1/{T_s}}\）在正弦信号幅值、频率和初始相位未知的情况下，文献中提出了正弦信号大似然估计的全频带估计的Cramer下界[26],

$$\开始{aligned}\sigma_f^2=\frac{{6f_s^2}}{{{{（2\pi）}^2}\cdot SNR\cdot N（{N^2}-1）}}。\结束{对齐}$$

(3)

当N远大于1时，

$$开始{aligned}\sigma_f^2\approx\frac{{6f_s^2}}{{{{（2\pi）}^2}\cdot SNR\cdot{N^3}}。\结束{对齐}$$

(4)

通常，我们采用MSE作为估计误差来衡量频率估计方法的准确性。对于提出的CRLB，在进行频率估计时，使用MSE/CRLB的比率来评估估计方法的准确性。

图1

实际中存在偏差时DFT和FFT系数的比较

执行FFT时，最小可分辨频率间隔为\（增量f={{f_s}}/N}\），其中N是FFT点的数量，假设我们获得光谱峰值的谱线是\（{m^{\mathrm{{th}}}\），频率值的FFT粗略估计可获得为\（{{\hat{f}}_0}=\增量f\乘以m\）然而，如图1在大多数情况下，FFT估计都有频率偏差，除非峰值恰好位于采样点，而采样点的大小取决于FFT点的大小和采样率。原因是离散采样是在频域中，估计的FFT峰值与真实峰值之间必然存在偏差。假设频率偏差系数为\（\增量\），我们精确频率估计的目的是找到这个剩余偏差，以便找到准确的频率估计结果\（f=\增量f\次\左（{m+\增量}\右）\），其中\（\增量\在[\中）-0.5, 0.5]. 如果\（\增量\）大于+0.5，FFT粗略估计最大值应为m+1，类似地，当\（\增量\）小于$-$0.5.

因此，当我们估计频率时，DFT值\（{X_l}\）在远处有谱峰谱线我首先计算，

$$\begin{aligned}{X_l}=\sum\limits_{n=0}^{n-1}{r\left（n\right）\exp}\left（{{-j2\pin\left（}m+l}\right）}/n}}\rift）。\结束{对齐}$$

(5)

组合公式(1)和(2)以及前面提到的频率估计结果，我们可以得到：

$$\begin{aligned}{X_l}=A\exp\left（{j\theta}\right）\times\frac{{1-\exp\leaft（{j2\pi\left）（{\delta-l}\right）}\rift）}}{1-\exp\left。\结束{对齐}$$

(6)

通常，对于\（{{2\pi\左（{\delta-l}\右）}/N}\ll 1\），我们替换等式的分母部分(6)用等价的无穷小\（{{j2\pi\左（{\delta-l}\右）}/N}\），最终导致写作\（{X_l}\）作为

$$\begin{aligned}{X_l}=\frac{NA\exp\left（{j\theta}\right）}}{j2\pi}}\times\frac{{exp\lert（{j2\\pi\delta}\right）\cdot\exp\leaft（{-j2\πl}\rift）-1}}{{left（}\delta-l}\riight）}+{W_l}。\结束{对齐}$$

（7）

这是我们稍后讨论复杂正弦信号的基本模型。Rife算法的主要思想[6]就是让我为0或\（下午1点），所以我们可以写出公式(7)作为

$$\begin{aligned}{X_l}=\frac{\delta}{{\delta-l}}NA{\mathop{\textrm{sinc}}\nolimits}\left（{\pi\delta{\right）\exp\left。\结束{对齐}$$

（8）

忽略噪声频谱，以便

$$\alpha=\frac{{\left|{X_{l}}\right|}}{{\leaft|{X_{0}}\reight|}}=\left|1{\frac}\delta}{{delta-l}}}\right|=\left \{{\begin{array}{*{20} 我}{\frac{\delta}{{1-\delta{}}，}\hfill&{l=1\；{\text{和}}{\mkern 1mu}\delta\\text{>}}0{\mgern 1mu{}\hfirl\\{\frac{{-\deltaneneneep}{1-\delta}}将结束{数组}}$$

(9)

因此，我们可以获得\（{\hat{\delta}}\）和最终频率估计\（{\hat{f}}\）如下

$$开始{对齐}{\hat{\delta}}=&{}\frac{\alpha}{{1\mathrm{{+}}\alpha{}}\mathrm}{=}}\frac{{\left|{X_l}}\right|}/{\left |{X_0}}\right|}}}}{{{1+\left |{X_l}}\right|}}右|}}}，\结束{对齐}$$

(10)

$$\begin{aligned}{\hat{f}}=&{}\Delta f\left（{m+l\cdot{\hat{\Delta}}\right）。\结束{对齐}$$

(11)

显然，这使我们能够获得\（\增量\）根据对\（\字母\），可以从方程(7).

AM算法[11]由Aboutanios和Mulgrow于2005年提出。主要概念是对信号进行频率偏移，不断接近频率偏差为零的点，并估计残差。只有两个傅里叶系数\（{X_{+0.5}}\）和\（｛X_｛-0.5｝｝）用于循环插值。观察等式(8)并且让\（l=每分钟0.5分），它可以组织为

$$\begin{aligned}{X_l}=&{}\frac{\delta}{{\delta-l}}NA\frac}{\cos\left（{\pi\delta{\right）}}{\pi\ delta}}\exp\ left（}j\ left）{\theta+\pi\delta+{\pi/2}}\right$$

(12)

$$\开始{aligned}2\delta=&{}\frac{{X{0.5}}+{X{-0.5}}}}{{X_{0.5}{}-{X{0.5m}}}。\结束{对齐}$$

(13)

根据理论，当残差接近时，该插值算法的性能较差\（\pm 0.5）对于一个操作，虽然当剩余频率接近零时，它可以非常接近CRLB。AM算法在这个过程中增加了一个迭代步骤，也就是说，它希望通过前面的迭代估计来减少剩余误差，以便可以认为后面的迭代过程的剩余误差接近于0。仿真结果表明，这种策略效果良好，只需两次迭代即可获得良好的结果。

三基于零加正弦信号的精确频率估计器

3.1水下零通正弦信号

图2

正弦脉冲在水下信号中的应用场景，一在水声通信信号中的应用，b条水声探测信号的应用

在上一节中，我们简要介绍了频域插值的理论基础，然而，在水下信号处理过程中，正弦信号通常以CW脉冲的形式出现。我们在图中给出了正弦信号在水声信号处理中的两个应用示例2.图2a显示了在通信中的应用，其中我们在数据和导频信号上叠加一个低功率CW脉冲，该信号和通信信号之间的关系在时域中叠加，在频域中不重叠，因为单个频率信号占用的带宽很小，因此，频率估计信号占用的带宽资源很少。图2然后，b显示了在检测信号中的应用。值得注意的是，在水声传播过程中，由于声速较慢，相对运动的影响比陆地上的影响更大，因此我们在信号前后添加Chirp信号作为同步，实际上可以使用具有多普勒不变性的双曲调频信号，因此，可以首先通过同步信号补偿多普勒较大导致的整个帧的压缩和扩展，然后执行频率估计算法。由于脉冲前后的多普勒可能不一致，我们一次捕获并处理一个脉冲周期的连续波脉冲信号。

3.2零通正弦信号模型

基于信号零通的假设，我们提出了以下信号模型，其中M是信号的总长度，N是非零部分的长度

$$\tilde{s}\left（n\right）=\left\{{begin{array}{*{20} 我}{s\left（n\right），}\hfill&{0\len\leN-1}\hfill\\{0，}\h fill&}n\len\le M-1}\h填充\\end{array}}\right$$

(14)

$$\tilde{r}\left（n\right）=\left\{{begin{array}{*{20} 我}{r\left（n\right），}\hfill&{0\len\leN-1}\hfirl\\{0，}\h fill&}n\len\le M-1}\h填充\\end{array}}\right$$

(15)

$$\开始{aligned}{f_0}=&{}\left（{p+x}\right）\cdot\Delta f=\left$$

(16)

哪里\（\left|x\right|\le 0.5\），从而可以如下获得接收信号的形式，

$$\begin｛aligned｝｛\tilde｛R｝｝\left（k\right）=&｛｝\sum\limits_｛n=0｝^｛n-1｝｛\tilde｛R｝｝\left（n\right）｛e^｛-j2 \pi k\frac｛n｝｛M｝｝｝｝=｛\tilde｛S｝｝\ left（k\right）+｛\tilde｛W｝｝\left（k\right）｝，\ quad k=0，\ cdots，M-1，\ end｛aligned｝$$

(17)

$$开始{对齐}{\波浪线{S}}\左（k\右）=&{}A\总和\限制_{n=0}^{n-1}{e^{j\左（{2\pi\左（}p+x}\右）\frac{{F_S}}{M}\左c{n}{M}}\n非数字\\=&{}A{e^{j\theta}}{e^}-j\ti\左（{p+x}\右）}}\sum\极限_{n=0}^{n-1}{{e^{j2\pi\左（{p+x-k}\右）\ frac{n}{M}}}}。\结束{对齐}$$

(18)

3.3基于振幅比方法的频率粗估计

首先对信号进行分析，忽略了噪声的影响。带零通的单频信号的FFT估计结果可以写为

$$开始{对齐}开始{校准}{波浪线{S}}\左（p\right）&=A{e^{j\theta}}{e^}-j\pi\left（p+x}\right}\right）}}{{sin\left（{frac{{pix}}{M}\rift）}}}{e^{j\pix\frac{n-1}}{M}}{e ^{j\theta}}{e^{-j\pi\left\右）}}。\end{aligned}\end{alinged}$$

(19)

整理独立于第页，让\（φ=\theta+\pix{{左（{N-1}\右）}/{左，这是FFT系数效应中的一个常量，然后将上述方程进一步简化为

$$开始{aligned}{\tilde{S}}\left（p\right）=\frac{{A\sin\left。\结束{对齐}$$

(20)

这里是第页我们正在寻找的是FFT系数的指数，因此它是一个整数，然后可以得到以下方程

$$\begin{aligned}{e^{-j\pi p}}=\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{1\quad p\；是\；偶数}\\{-1，\，\，p\；奇数}\end{array}}\right。\结束{对齐}$$

(21)

然后，根据上述等式，相邻的FFT系数分别为：

$$\开始{aligned}{\波浪线{S}}\左（{p+1}\right）=&{}\frac{{A\sin\left（{pi\frac}{x-1}}{M} N个}\右）}}{{\sin\左（{\pi\frac{{x-1}}{M}}\右）$$

(22)

$$\开始{aligned}{\波浪线{S}}\左（{p-1}\right）=&{}\frac{{A\sin\left（{pi\frac}{x+1}}{M} N个}}{{sin\left（{\pi\frac{{x+1}}{M}}\right）}}{e^{j\phi}}{e ^{-j\pi\left。\结束{对齐}$$

(23)

可以注意到，与信号峰值系数相邻的FFT系数很容易获得。根据公式(22)和(23)，我们可以获得

$$g\left（x\right）=\left\{{begin{array}{*{20} 我}{\frac{{\left|{\tilde{S}\left（{p-1}\right）}\right|}}{\left |{\tilde{S}\ left（p\right de{S}\左（p\右）}\右|}}=g{r}\左}\正确$$

(24)

然后，可以分别获得这两个区间的两个不同的比率函数。

$$\begin｛aligned｝｛g_l｝\left（x\right）=&｛｝\frac｛\sin\left（｛\pi\frac｛x｝｛M｝｝\right）｝｝｛\sin\left（｛\pi\frac｛xN｝｝｛M｝｝\right）｝｝\cdot\frac｛\sin\left（｛\pi\frac｛1+x｝）{M} N个}\右）}}{{\sin\左（{\pi\frac{{1+x}}{M}}\右）{}，-0.5<x<0。\结束{对齐}$$

(25)

$$\开始{aligned}{g_r}\left（x\right）=&{}\frac{{\sin\left{M} N个}\右）}}{{\sin\左（{\pi\frac{{1-x}}{M}}\右）{}，0<x<0.5。\结束{对齐}$$

(26)

我们可以很容易地从接收信号中获得信号的FFT系数。

$$\开始{aligned}{\波浪线{R}}\左（p\right）=&{}{\波形线{S}}\右（p\right）+{\波浪线{W}}\left（p\ right），\结束{aligned}$$

(27)

$$\begin｛aligned｝｛\ tilde｛R｝｝\left（｛p-1｝\right）=&｛｝｛\ tilde｛S｝｝\left（｛p-1｝\right）+｛\ tilde｛W｝｝\left（｛p-1｝\right），\ end｛aligned｝$$

(28)

$$\开始{aligned}{\tilde{R}}\left（{p+1}\right）=&{}{\ tilde{S}}\leaft。\结束{对齐}$$

(29)

由于高斯白噪声在所有频率点的功率几乎相同，我们假设在所有频率点值都相同。另一个假设是信号的信噪比是已知的，所以我们假设它是一个与信噪比相关的常数作为校正项，因此我们的问题转化为找到以下两个方程的解：

$$\开始{aligned}\frac{{{\tilde{R}}\left（{p-1}\right）-W}}{{{\tilde{R{}\left[p\right]-W}}=&{}\frac{{\sin\left左（{\pi\frac{{1+x}}{M} N个}\右）}{{\sin\左（{\pi\frac{{1+x}}{M}\right）}}，-0.5<x<0，\end{aligned}$$

(30)

$$开始{aligned}\frac{{\tilde{R}}\left（{p+1}\right）-W}}{{{\utilde{R}{\left左（{\pi\frac{{1-x}}{M} N个}\右）}}{{\sin\左（{\pi\frac{{1-x}}{M}}\右）{}，0<x<0.5。\结束{对齐}$$

(31)

图3

的示意图\（{g_l}\左（x\右）{g_r}\左（x\右）\）有几个不同的参数

然而，由于上述方程不是线性方程，很难获得其封闭解。但从图中可以看出三那个\（g \左（x \右）\）是单调递减的，当\（-0.5<x<0）。同时，当\（0<x<0.5 \）在相应的区间内，根据函数具有单调递增或单调递减的性质，可以用牛顿梯度下降法求出相应值的解。然而，上述方程不是一个线性方程，要获得上述方程的闭式解比较困难，但根据图三我们可以注意到，根据图三，我们可以看到\（-0.5<x<0）,\（g \左（x \右）\）是单调递减的，并且当\（0<x<0.5）在相应的区间内，考虑到函数单调递增或单调递减的性质，可以用牛顿梯度下降法求出相应值的解。

然后，我们的重点转移到如何获得相应的函数值和相应的函数，即如何确定真值是在峰值的左侧还是右侧。

图4

显示峰值附近DTFT和DFT系数之间关系的图表

从图中可以看出4无论真值在峰值的左侧还是右侧，我们都可以假设真频点在最大FFT系数点和第二个点之间。假设可以分别从这两个区间获得两个不同的x值，然后将其转换为等式(30)和(31)以获得相应的\（{x_r}\）或\（{x_l}\）。我们需要做的就是从\（g\左（x\右）\）通过比率获得的值。显然，a\（g\左（x\右）\）对应于x解不是唯一的，那么我们可以相应地获得两个x值：一个在($-$0.5,0）和一个（0,0.5）。获得两个不同的频率值也是很自然的\（{fr}\）和\（{fl}\）.

然后我们根据DTFT进行定义，

$$\begin{aligned}D\left（f\right）=\sum\limits_{n=0}^{n-1}{{\tilde{r}}\ left（n\right）{e^{-j2\pi-fn}}，\quad 0\le-f\le{f_s}}。\结束{对齐}$$

(32)

计算并获得频率值，然后我们可以计算出与接收信号相对应的DTFT值。从图中可以看出4真实频率值应接近DTFT最大值。因此，通过两个DTFT值之间的大小比较，我们可以确定真实频率值更适合哪个方向。考虑到比较后计算出的DTFT值，可以得出结论，频率的粗略估计是在其更大的方向上。

此时，我们已经使用幅度比方法完成了对接收信号的粗略估计。

3.4基于分数傅里叶系数插值的频率精确估计

在文学作品中[11]，在信号粗略估计的两侧距离A处通过迭代插值进行精确估计。从仿真中可以看出，对于零通信号，这种估计方法对粗估计的增强较小。然后，我们通过组合零通信号来改进此方法。

采用改进的比值法对频率进行粗估计后，采用改进的迭代FFT系数插值算法对信号的精确频率估计误差进行补偿。

$$\begin{aligned}f=\frac{{\hat{m}}+\delta}}{m}{f_s}。\结束{对齐}$$

(33)

哪里\（{\hat{m}}\）是粗略估计的DFT系数，即\（p+x_r）或\（p+x_l\）在上一节中，\（\增量\）是剩余的残差。如前所述，一般来说，\（\增量\）取值范围为[$-$0.5 0.5].

我们首先计算DFT系数\（\增量p\）在粗略估计的两边\（{\hat{m}}\）

$$开始{对齐}{X_{\Delta p}}=\sum\limits_{k=0}^{M-1}{s\left（k\right）{e^{-j2\pi k\frac{{\hat{M}}+\Delta p}}{M}}}}+{W_{\Delta p}}，\quad\Delta p=\pm 0.5\frac{M}{N}。\结束{对齐}$$

(34)

根据上一节，\（s \左（k \右）=0 \）什么时候k大于N个。我们将部分调整后的值作为零对加法，如下所示

$$开始{aligned}{X_{Delta p}}=\sum\limits_{k=0}^{N-1}{s\left（k\right）{e^{-j2\pi k\frac{{\hat{m}}+\Delta p{}{m}}}+{W_{Deltap}}，\quad\Delta p=\pm 0.5\frac{m}{N}。\结束{对齐}$$

(35)

带来秒(k)在上述方程中，利用等距级数的求和公式，我们得到：

$$\begin{aligned}\begin{aligned}{X_{Delta p}}&={e^{j\theta}}\frac{{A_0}\left（{1-{e^}-j2\pi\left）（{\frac}{Delta p-\Delta}}{M}\right）N}}\right）}{{1-{e ^{-j2\\pi\lefth}}}+{W_{\Delta p}}，\\&\quad={e^{j\theta}}\frac{{A_0}\left（{1-{e^}-j2\pi\left-\frac{N}{M}}\right）}}}\right）}{{1-{e^{j2\pi\left（{frac{{delta-\delta p}}{M{}\rift）}}+{W{delta p{}}，\；\增量p=\pm 0.5\压裂{M}{N}。\end{aligned}\end{alinged}$$

(36)

自\（\delta-\delta p\ll M\），根据等价无穷小原理，我们可以将公式(35)收件人：

$$\begin{aligned}\begin{aligned}{X_{Delta p}}&={A_0}{e^{j\theta}}\frac{{left（{1-{e^}-j2\pi\Delta p\frac}N}{M}}{e ^{j2\ pi\Delta p\frac{N}{M}}}}}\right）}}{-j2\\pi\frac[{Delta-\ Delta p{N}}}+{W_{\Delta p}}\\&\quad=-M{A_0}{e^{j\theta}}\frac{{left（{1-{e^}-j2\pi\ Delta p\frac}{N}{M}}{e_{j2\πDelta\frac{N}}{M{}}}}\right）}｝｛j2\pi\delta｝｝\frac｛\delta｝｛\delta-\delta p｝｝+｛W_｛\delta p｝｝。\end{aligned}\end{alinged}$$

(37)

制造\（-M{A_0}{e^{j\theta}}\frac{{left（{1-{e^}-j2\pi\Delta p\frac}N}{M}}{e_{j2\py\Delta\frac{N}{M}}}\right）}}{j2\\pi\Delta}}独立于\（\增量p\），我们采取\（增量p=\pm 0.5\压裂{M}{N}\），我们可以获得：

$$\begin{aligned}\begin{aligned}{X_{Delta p}}&=-M{A_0}{e^{j\theta}}\frac{{left（{1-{e^}-j2\pi\Delta p\frac}N}{M}}{e*{j2\py\Delta\frac{N}{M}}}}\right）}{j2\\pi\Delta}}}+{W_{\Delta-p}}\\&\quad=M{A_0}{e^{j\theta}}\frac{{left（{1+{e^}j2\pi\Delta\frac{N}{M}}}\right）}}{j2\π\Delta}}}\裂缝{\δ}{{\δ-\δp}}+{W{\δp{}}，δp=\pm0.5\裂缝{M}{N}。\结束｛对齐｝\结束｛对齐｝$$

(38)

让\（-M{A_0}{e^{j\theta}}\frac{{left（{1+{e^2\pi\delta\frac}N}{M}}}\right）}}{j2\pi\ delta}}\右）是b条，然后获取：

$$\begin{aligned}{X_{\Delta p}}=b\frac{\Delta}{{Delta-\Delta p2}}\mathrm{{+}}{W_{\德尔塔p}}\end{aligned}$$

(39)

自\（△p=\pm p=\p.0.5\压裂{M}{N}\），忽略噪声的影响，我们得到

$$\begin{aligned}\beta=\frac{{X_p}+{X_{-p}}}{{X_p}-{X{-p}{}}}\buildrel\textstyle。\上=\frac{{2N\delta}}{M}。\结束{对齐}$$

(40)

3.5总体算法流程

然后可以得到剩余频率偏差的准确估计。将粗略估计与精确估计相结合，完整的频率估计方法如下所示：

\（｛\textbf｛步骤1：对M个点进行FFT计算｝）

首先，在M点对接收信号进行FFT计算，以获得最大谱电平位置，表示为\（左（右），并记录其相邻的光谱系数\（右\左（{p-1}\右）\）,\（右\左（{p-1}\右）\），并截取噪声信号的一段以估计噪声功率\（W_p\）.

\（{\textbf{步骤2：通过改进的ARD算法获得频率粗估计}}）

找到解决方案\（{g_l}\left（x\right）=\frac{{\left|{R\left通过牛顿梯度下降法，得出\（{x_l}\）、和\（{fl}=\左（{p+{x_l}}\右）\增量f\）,

找到解决方案\（{g_r}\左（x\右）=\frac{{\left|{r\左（{p+1}\右）}\right|-{\mathrm{{W}}_p}}}{\left |{r\left（p\右）{\right|-{\mathrm{W}{_p}}\）通过牛顿梯度下降法，得出\（{x_r}\）、和\（{f_r}=\左（{p+{x_r}}\右）\增量f\）,

计算\（D\左（{{f_l}}\右）\）,\（D\左（{{f_r}}\右）\）并比较震级，

如果\（\left|{D\left（{{f_l}}\right）}\right|>\left|1{D\leaft（{f_r}}\right）}\ right|\），那么\（{x_c}={x_l}\）,

其他的\（{x_c}={x_r}\）.

粗略估计结果如下\（{fc}=\左（{p+{x_c}}\右）\增量f\），并且粗略索引值为\（{\hat{m}}=p+{x_c}\）.

\（{\textbf{Stap3:通过迭代FFT插值获得准确的频率估计}}）

\（{\textbf{用于零填充}}\）

基于FFT插值算法的精确频率估计。

设置\（{{\hat{\delta}}_0}=0\）

回路：每个我从1到Q do

$$\开始{对齐}{X_{\Delta p}}=&{}\sum\limits_{k=0}^{N-1}{s\left（k\right）{e^{-j2\pi k\frac{{\hat{m}}+{{\\hat{\Delta}}{{i-1}}+\Delta p}}{m}}}}，\quad\Delta p=\pmp=\p.m0.5\frac{m}{N}，\\{\\hat{\Delta}}_i}=&{}{{\hat{\Delta}}_{i-1}}+\frac{{2N}}{m}{\mathop{\textrm{Re}}\nolimits}\left\{{\frac}{{X_p}+{X_{-p}}}{{X_p}-{X_}-p}}{}\right\}。\结束{对齐}$$

\（{\textbf{Stap4：最终获得频率估计结果}}）

$$\begin｛aligned｝｛hat｛f｝｝＝\left（｛｛hat｛m｝｝+｛｛｛hat｛\delta｝｝_Q｝｝｝\right）\Δf \ end｛aligned｝$$

4算法性能分析

从上一节可以看出，我们基于ARD的粗估计进行校正的方法的本质实际上只是对粗估计结果的校正，因此该MARD-FFCI算法的最终性能仍然由基于零对的MFFCI算法决定，参考文献[11]显然，AM算法的性能极限是1.0147 CRLB，这已经非常接近CRLB了，但这种理论性能仍然基于非添加信号。

然后，本节的重点将是本文提出的改进AM算法可以实现多大的性能，以及它是否与零通添加有关。文学方面[27]，基于FFT估计的高斯白噪声谱线的计算如下

$$\开始{aligned}\mathop{\lim\sup}\limits_{N\rightarrow\infty}\matshop{\sup}\ limitse\lambda\frac{{{\left|{W\left（\lambda\ right）}\right|}^2}}{N\ln N}}\le 1。\结束{对齐}$$

(41)

由于我们使用长度为N的信号和M点FFT，我们可以假设\（左边（右边））按以下顺序\（O\左（{\sqrt{M\ln M}}\右）\）.

根据公式(38)和(39)，我们可以获得

$$开始{aligned}\beta=\frac{{X_p}+{X_{-p}}}{{X_p}-{X_}-p}}}=\frac{{left（{b\frac}\delta}{{delta-p}}\mathrm{{+}}{W_p}}\right）+\left{{+}}{W{-p}}\右）}}{\左（{b\frac{\delta}{\delta-p}}\mathrm{+}{W_p}}\左）{{\delta-\left（{-p}\right）}}\mathrm{{+}}{W{-p}}}\rift）}}。\结束{对齐}$$

（42）

经过简化，可以得到以下方程

$$开始{aligned}\beta=\frac{{2\delta+\frac}{{\delta^2}-{p^2}}{{b\delta}}\left（{{W_p}+{W_{-p}}\right）}}{2p+\frac{{d\delta^2}-{p2}}{b\delta}}\ left●●●●。\结束{对齐}$$

(43)

\（左边（右边））按以下顺序\（O\左（{\sqrt{M\ln M}}\右）\）根据的定义b条，我们可以知道b条按以下顺序\（O\左（M\右）\），然后\（测试版）按照…的顺序\（O\左（{{M^{-1/2}}\sqrt{lnM}}\右）\）因此，当N较大时，根据McLaughlin公式，我们可以近似公式(43)作为

$$\开始{aligned}\beta=\left[{2\delta+\frac{{\delta^2}-{p^2}}{{b\delta}}\left（{{W_p}+{W_{-p}}}\right）}\right]\times\left[{2p-\frac}{{2\delta^2{-{p2}}}{b\delta}}\ left（}-{W_p{-p}}}}\ right）+O\左（{{M^{-1}}\ln M}\right）}\right]。\结束{对齐}$$

(44)

展开公式(44)以获得

$$开始{对齐}开始{校准}测试&=4\delta p+2p\frac{{\delta^2}-{p^2}}{{b\delta}}\left（{{W_p}+{W_{-p}}}\right）-2\delta\frac}{{\delta^2{-{p_2}}{b\delta}}\ left（}-{W_p{-p}}}}\ right）\\&\四\分形{{{\delta^2}-{p^2}}{{b\delta}}\左（{{W_p}+{W_{-p}}}\右）\frac{{delta^2}-{p2}}{b\delta}}\左（{{W_p}-{W_{-p}}\右）\\&\quad+2\delta O\左。\结束｛对齐｝\结束｛对齐｝$$

(45)

忽略后面的高阶项，我们得到

$$开始{aligned}\beta\mathrm{{=}}4\delta p+\frac{{\delta^2}-{p^2}}{{b\delta}}\left[{2p\left（{{W_p}+{W_{-p}}\right）-2\delta\left●●●●。\结束{对齐}$$

(46)

通过这种方式，我们可以发现：

$$\begin{aligned}\begin{aligned}{\hat{\delta}}&=\delta-\frac{\beta}{{4p}}\\&\quad=-\frac{1}{4p{}}\frac}{{\delta ^2}-{p^2}}{b\delta{}\times\left[{\left（{2p-2\delta}\right）{mathop{\textrm{Re}\nolimits}\left}\right）+\ left（{2p+2\delta}\rift）{\mathop{\textrm{Re}}\nolimits}\left（}{W_{-p}}\riight）}\right]-O\left（｛｛M^｛-1｝｝\ln M｝\right）。\end{aligned}\end{alinged}$$

(47)

因此，我们可以得到估计结果的理论方差为

$$开始{aligned}{\mathop{\textrm{var}}}\left[{{\hat{\delta}}\right]=\frac{1}{{16{p^2}}{\left（{\frac}{\delta ^2}-{p^2}}{\ left|b\right|\delta{}}\right）{\textrm{var}}\左（{{W_p}}\右）+{{左（{2p+2\delta}\right）}^2}{\mathop{\textrm{var}}}\左（{{W_{-p}}\右）}\右]。\结束{对齐}$$

(48)

如前一节所述，噪声服从高斯分布，因此\（{\mathop{\textrm{var}}}\左（{{W_p}}\右）={\matshop{\ttextrm{var{}}}\left（{{W_{-p}}\right）=\frac{{M{\sigma^2}}}{2}\）.根据b条，等式(47)可以写为：

$$开始{对齐}{\mathop{\textrm{var}}\left[{{\hat{\delta}}\right]=\frac{1}{{16{p^2}}{\left}\right）}}{{j2\pi\delta}}}\right|\delta{}}\right）^2}\times\left[{{{\left（{2p-2\delta}\rift）}^2}\frac{{M{\sigma^2}}}{2}+{\left（{2p+2\delta}\right）}^2{\frac}{M{\sigma^2}{{2}}\right]。\结束{对齐}$$

(49)

经过简化，我们得到

$$\begin{aligned}\begin{aligned}{\mathop{\textrm{var}}\left[{{\hat{\delta}}\right]&=\frac{1}{{16{p^2}}}\frac}{{\left（{{\delta ^2}-{p^2]}\right）}^2}{{M^2}A_0^2\frac{{4{\cos}^2}\left裂缝{N}{M}}\右）}}{{{左（{2\pi\delta}\右，}^2}}{delta^2}{times\left（{8{p^2}+8{delta|2}}\左）\压裂{{M{\sigma^2}}}{2}\\&\quad=\frac{1}{{4{p^2}{{\frac}{{左边（{{delta^2}-{p^2]}\右边）}^2}}{MA_0^2{{\cos}^2{左边2}+{\delta^2}}\right）{\sigma^2}。\end{aligned}\end{alinged}$$

(50)

根据前面的算法定义，我们可以得到\（{\hat{f}}=\左（{{\hat{m}}+{{\ha{delta}}}_Q}}\右）\增量f\）SNR定义为\（\rho\mathrm{{=}}\frac{{A_0^2}}{{{\sigma^2}{}\）。如果我们暂时忽略迭代的影响，那么频率估计的方差为

$$\begin{aligned}\begin{aligned}{\hat{\sigma}}_f^2&={\mathop{\textrm{var}}\left[{\hat{\delta}}\frac{{f_s}}{M}}\right]\\&\quad=\frac}{f_s^2}}{4{M^3}\rho}\frac{{\pi^2}{\left（{\delta}-{p^2}}\右）}^2}}{{{{\cos}^2{\左（{\pi\delta\frac{N}{M}}\right）}}\times\left（{1+\frac{{\delta^2}{{p^2}}}}右）。\end{aligned}\end{alinged}$$

(51)

尽管零通信号的CRLB的确切值尚未得到任何文献的验证，并且保持未知，但我们仍然使用\（{\hat{\sigma}}_f^2/\sigma _f^2）为了分析用于统一参考形式的估计误差：

$$开始{对齐}开始{校准}\frac{{\hat{\sigma}}_f^2}}{{\simma_f^2}}&=\frac}{\frac_2}{f_s^2}{4{M^3}\rho}}\frac{{\pi^2}{{\left（{\delta^2}-{p^2}\right）}}{2}}}{{\pi\delta\frac{N}{M}}\right）}}\times\left（{1+\frac{{\delta^2}}}{{p^2}{}\rift）}}{\frac}{6f_s^2}}{{{\left}^2}\rho{M^3}}}\\&\quad=\frac{{\pi^4}}}{6}\frac}{{\left（{{\delta^2}-{p^2}}\right）}^2{times\left（}1+\frac｛{\delta ^2}{}}{{p^2}}\right）}{{{{{{{\cos}^2}\left \delta}}{{2p}}\右）}}。\end{aligned}\end{alinged}$$

(52)

通过模拟和简单证明，可以发现上述方程的单调性与\（\增量p\）当\（增量=0）。我们将其定义为

$$\开始{aligned}{R_0}=\frac{{\pi^4}}}{6}{p^4}。\结束{对齐}$$

(53)

理论性能分析表明，改进的AM算法与N个,M（M），尽管可以对零填充进行估计。自\（增量p=\pm 0.5\压裂{M}{N}\）在上一节中定义，并且N个小于或等于M（M）可以看出，尽管改进的插值算法考虑了零对加法，但对于较小的占空比而言，估计方差也将比对于较大的占空比来大得多。

5算法性能仿真

该算法旨在通过组合和修改两种主要的基于DFT系数的算法，对零通正弦信号进行精确的频率估计。研究的目的是克服传统插值算法仅在剩余频率误差较小时性能更好的缺点，并改进基于相邻DFT系数的比值法的性能。该算法将这两种低信噪比的算法相结合，实现更高的估计精度。

在这一部分中，首先对算法流程实现的每个部分进行了数据仿真实验。我们分析了各个部分对所提算法的影响以及不同参数下算法的仿真结果。然后，分别讨论了无加和零加信号与其他精确估计的比较。在每次蒙特卡罗模拟中，我们得到的模拟误差为：

$$\开始{aligned}MSE=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^M{{left（{{{\hat{f}}_i}-f}\right）}^2}}。\结束{对齐}$$

(54)

值得注意的是，学者们还没有给出零通情况下理论CRLB的闭式解，因此本文给出了非附加信号的CRLB值的比较结果。从本文的第三部分可以看出，理论上改进的插值算法的性能应该与零通百分比有关。计算结果为\（\压裂{{{\pi^4}}}{6}{p^4}\）.替换M（M）,N个，我们可以获得

$$\开始{aligned}{R_0}=\frac{{\pi^4}{{0.5}^4}}}{6}{left（{\frac}M}{N}}\right）^4}。\结束{对齐}$$

(55)

由于我们假设正是零对加法导致了该校正项的影响，因此对数渐近CRLB（ACRLB）可以通过下式获得

$$\begin{aligned}ACRLB=&{}10\lg{R_0}\nonumber\\=&{{}10\lg CRLB+10\lg}\left（{\frac{M}{N}}\right）^4}\nonumber\\=&{}10\fg CRLB+40\lg \frac}{M}{N}\end{alinged}$$

(56)

5.1改进插值算法的性能分析

如前一节所示，在参考文献后，结合改进的FFCI算法，得到了所提出的基于ARD的迭代插值频率估计算法[25]。ARD算法计算简单，实现简单，但也存在误差，因为DTFT系数是用牛顿法计算的，而不是通过推导封闭解。因此，我们借鉴ARD算法，通过最大谱线附近的谱线，基于幅度比法进行粗估计，然后将结果作为迭代算法的初始值。精细估计不采用比值算法，而是采用改进的分数FFT系数插值迭代算法。这样，不仅解决了ARD算法不精确且没有理论误差值的缺陷，而且还补偿了插值迭代法对粗估计敏感的问题。

本节包括所提算法的可行性分析以及通过ARD粗估计和MBS粗估计对FFCI插值迭代算法进行的仿真。仿真还针对ARD粗估计和未修改插值算法的组合进行。最后，提出了MARD-FFCI算法。

图5

分析MARD-FFCI算法及其组件的性能结果，（a）估计误差与信噪比之间的关系。当残差系数为0.45时，估计误差是针对不同的粗估计方法与精细估计方法相结合以及针对所提出的改进算法。（b）当信噪比为10dB时，不同粗估计方法与精细估计相结合以及所提出的改进算法的估计误差与残差之间的关系

本文提出的算法是针对零填充信号的，这是本节的重点。非添加信号的算法比较将在下一节中讨论，本节将不再详细说明。图中的模拟条件5是：\（｛f_s｝\）=2048，信号总长度M（M）=2048，正弦信号长度N个=1024，每个模拟的初始相位随机，信号频率\（f=\左（{16+\增量}\右）\增量f\）蒙特卡洛计数为50000。在图中5a、，\（\增量\）=0.45，信噪比=-20:2:30；在图中5b、 信噪比=10dB，\（\增量\）=$-$0.5:0.05:0.5. 这里AM算法的迭代次数是2，MARD-FFCI算法的迭代数也是2。图中的数据5表明传统的迭代内插迭代并没有消除不接近零点的剩余频率偏差的影响，而ARD粗估计与MBS粗估计相比，可以看出对校正零通信号的偏差具有积极的效果。但是，如果仅采用ARD粗估计和插值算法，精确估计并不能大大提高性能。如图所示5b、 这两种算法几乎处于同一水平，误差约为0.2dB，而本文提出的算法可以在ARD粗估计的基础上更显著地提高估计性能。

5.2改进插值算法和常用算法在非附加信号中的仿真

本节重点介绍一些常见算法与我们提出的算法的性能比较。本节中比较的算法包括FFCI、MOI（该算法的基本算法）和经典迭代插值算法AM；比较的算法还包括近年来研究的性能更好的估计算法，以及QSE、HAQSE和ARD算法，这些算法是目前零对加法效果最好的算法。

图中的模拟参数6是：信噪比=−20:30dB，\（{fs}\）=2048，FFT点和信号长度为N个=1024，初始相位为随机，\（f=\left（｛16+\delta｝\right）\delta f\）蒙特卡洛计数为50000。

图6

用CRLB比较不同算法对非附加信号的估计性能结果，一频率估计与信噪比的仿真结果\（\增量\）= 0.25,b条频率估计与信噪比的仿真结果\（\增量\）= 0.45

图6对不同信噪比的固定频率偏差进行了仿真。可以看出，许多现有算法对非相加和较小的频率残差具有良好的估计性能，并且大多数算法可以在信噪比高于−10dB时对正弦信号提供准确的频率估计。局部放大图6a表明，传统的非迭代分数插值算法与后来的传统非迭代分数插补算法有性能差异，但差异在可接受的范围内。然而，与后面的算法相比，传统的分数傅里叶系数插值算法对剩余频率偏差更为敏感，即对于不同的\（\增量\）.当频率剩余偏差为0.45时，可以看到明显的差异。本文提出的算法的信噪比性能可以达到与已知频率估计算法类似的效果。

图7

不同算法对非附加信号的估计误差与剩余频率偏差的仿真结果，（a）SNR=10dB时的仿真误差与剩余频偏，（b）SNR=−10dB时的模拟误差与剩余频偏

验证不同值的算法性能模拟\（\增量\），进行以下参数模拟：\（fs\）=2048，FFT点和信号长度为N个=1024，初始相位为随机，\（f=\左（{16+\增量}\右）\增量f\）蒙特卡洛计数为50000。从图7可以看出，除了传统的非迭代频域内插算法外，现有的大多数频率估计算法都可以在高信噪比条件下实现相对平滑和准确的频率估计。但是，在低信噪比条件下，很少有算法能够达到与本文提出的算法相同的平滑度，这表明，即使在非相加信号条件下，该算法也具有很好的估计性能。

5.3改进插值算法和常用算法在零通信号中的仿真

为了验证本文提出的算法和其他一些零通信号算法的性能，我们对零通信号的算法进行了仿真和性能分析，其中参数与前面的章节相同，除此之外，本仿真是针对具有不同占空比的零通信号。仿真结果如图所示8.

从图8可以看出，目前的大多数频率估计算法对零通信号都是无效的，而MARD-FFCI算法可以对零通的信号进行有效的估计。此外，ARD算法在一定程度上可以进行零通信号估计，但在较高占空比的情况下估计性能更好。当信号占空比减小时，与本文提出的算法的差距将明显显现。

图8

不同算法对零通信号与SNR的估计性能结果，一频率估计与SNR的仿真结果\（\增量\）=0.25，N/M为1500/2048，b条频率估计与信噪比的仿真结果\（\增量\）=1500/2048的0.45 N/M，c（c）频率估计与信噪比的仿真结果\（\增量\）=1024/2048的0.25牛顿/米，d日频率估计与信噪比的仿真结果\（\增量\）=1024/2048的0.45牛顿/米

图9

不同算法对零通信号与残差的估计性能结果，一SNR=10 dB时频率估计与剩余频率误差的仿真结果，b条信噪比=−10 dB时频率估计与剩余频率误差的仿真结果

图中分别显示了高信噪比和低信噪比下零通信号的精确频率估计结果9基本仿真参数与前面章节中的相同。从图9可以看出，MARD-FFCI算法可以在低信噪比和高信噪比条件下非常有效地估计频率值。还可以看出，估计的MSE与非零通信号之间的误差与理论计算一致。相比之下，其他高精度估计算法由于对残差敏感的缺陷，对零通信号基本无效。而另一种零通信号ARD算法与本文提出的算法相比表现出明显的性能劣势。此外，ARD算法在低信噪比条件下的性能不是很稳定，这与本文提出的算法更为不同。

综上所述，本文提出的MARD-FFCI算法在仿真中显示出明显的优势，不仅在零通情况下，而且在非零通情况中也获得了与比较算法相同的性能，更重要的是该算法也与本文获得的理论结果相一致，因此具有良好的应用前景。

6结论

单频信号的精确频率估计是信号处理中的一个经典问题。关于零通信号频率估计的研究报道很少。传统的内插频率估计通常采用DFT或DTFT采样值来逼近真实频率，但这种模式对粗估计的要求更高，必须采用迭代计算。缺点是需要大量的计算，并且没有有效的迭代精确的零通信号频率估计算法。针对这一问题，本文提出了一种基于频率比粗估计和修正分数傅里叶系数插值的估计算法。为了得到准确的粗估计，针对零通信号，提出了一种基于傅里叶系数比的改进的频率粗估计算法。在精细估计过程中，还提出了零通信号的分数傅里叶系数插值算法，该算法无需迭代即可获得良好的结果。该算法还允许在迭代中提高性能。另一个优点是，该算法不仅适用于零通信号，也适用于非加信号。最后一个优点是，对于不同的频率残差，它具有低波动的特点。据我们所知，该算法是单频零通信号的最佳准确频率估计器，并通过大量的计算机仿真进行了验证。