基于嵌入空间张量补全的稀疏线阵三维SAR成像

摘要

由于巨大的数据存储和传输压力，稀疏数据采集策略为三维SAR成像提供了机遇和挑战。然而，稀疏线性阵列带来的稀疏数据会产生高水平的旁瓣，以及混叠和虚警目标。同时，三维数据的矢量化或矩阵化带来了较高的计算复杂度和巨大的内存占用，这在实际应用中是不可行的。为了解决这些问题，张量补全（TC）作为一个凸优化问题被有效地用于解决三维稀疏成像问题。遗憾的是，传统的TC方法对稀疏线性阵列带来的不完全张量数据和缺失切片无效。本文提出了一种在嵌入式空间中使用TC的新型三维成像算法，以生成具有高效副瓣抑制功能的三维图像。利用三维雷达信号的稀疏性和低阶特性，将不完备张量数据作为输入，通过多路延迟嵌入变换（MDT）将其转换为高阶不完备Hankel张量。然后，应用具有增量秩的塔克分解进行了完善。随后，可以使用任何传统的三维成像方法来获得完整张量的出色成像性能。与传统的基于TC的方法相比，该方法实现了高分辨率和低副瓣。通过多次数值模拟和对实际数据的多次比较研究验证了这一点。结果表明，即使在稀疏采样率或信噪比较低的情况下，该方法也能以较小的重建误差生成三维图像，这证实了该方法的有效性和优越性。

1介绍

三维合成孔径雷达（3D SAR）系统是在传统二维SAR的基础上，获取目标或场景的高度信息，构建高分辨率的三维图像，对军事和民用实际应用具有重要意义。近年来，出现了一些三维SAR成像技术，如干涉SAR（InSAR）[1,2]、层析SAR[三]，环形SAR（CSAR）[4,5,6]和线阵SAR（LASAR）[7,8,9]. 前两种类型的SAR系统基于干涉技术，其中使用多个天线从不同角度观察目标并获取三维高程信息[1]. 然而，这些方法无法生成真实的3D图像[1,2,三]. CSAR通过控制飞行的圆形轨迹来实现3D成像能力，这需要精确控制飞行轨迹[10]. 鉴于上述问题，Gierull引入了下行线阵（DLLA）SAR的概念[11]. DLLA 3D SAR[12,13,14]通过真实孔径和合成孔径合成虚拟二维孔径，并通过脉冲压缩实现精确的高度定向成像。下视模式可以有效解决传统侧视造成的阴影和重叠问题。

此外，海量数据存储和传输负担的缺点使得LASAR系统在实际应用中遇到了许多困难，因为它需要三维密集采样数据。因此，稀疏数据采集策略可以大大减轻数据采集负担，这为研究三维SAR稀疏成像提供了强大的激励。不幸的是，当传统的成像算法遇到稀疏采集的数据时，3D图像的质量会急剧恶化，产生不可预测的旁瓣和虚假目标行为。由于信号采样不再满足奈奎斯特采样率，目标无法精确聚焦。

用于重构稀疏信号的方法可以分为两类。第一类是基于压缩感知（CS）理论，通过有限数量的测量直接以压倒性概率恢复稀疏信号[15,16,17]. 然而，为了确保3D图像的质量，需要高精度的测量矩阵。相比之下，属于第二类的方法仅使用其可用元素来完成稀疏信号的丢失样本。关键是建立现有条目和缺失条目之间的关系[18]. 作为一种代表性技术，张量补全利用低秩构造了现有元素和缺失元素之间的潜在联系[19]. 同时，高维数据的内在结构不会被张量破坏[18]因为没有降维。因此，当回波数据张量满足低秩时，可以通过求解凸优化问题来恢复稀疏信号中的丢失元素[20]. 一些启发式算法[18,21,22,23,24]提出了迭代估计损失值的方法，并已被证明在三维SAR稀疏成像应用中是有效的[12,25,26]. 然而，事实上，稀疏线性阵列获得的回波数据可以看作是一个随机缺失切片的三阶不完全张量。在这种情况下，上述张量补全方法通常无法恢复丢失的数据元素，从而导致成像性能不可接受。幸运的是，通过将多维汉克尔化应用于不完整数据，提出了一个数据补全的好主意[27,28].

本文针对稀疏阵列三维SAR，提出了一种新的嵌入空间TC成像算法。首先，在张量空间中建立了三维稀疏阵列SAR的信号模型。通过使用张量，可以挖掘隐藏在三维数据中的内部属性。其次，用MDT将缺失切片的不充分数据表示为高阶Hankel张量。由于Hankel结构，这个高阶张量的秩相对较低。然后在嵌入空间中通过塔克分解完美地完成丢失的元素，然后可以通过各种3D成像方法聚焦3D图像。最后，通过模拟和测量数据的各种实验结果，对所提出算法的有效性和准确性进行了评估。

论文部分如下所示。章节2简要介绍了张量的符号和公式，作为前言和背景。在Sect。 三给出了张量空间中三维稀疏阵列SAR信号模型的构造。在Sect。 4本文首先讨论了稀疏阵列SAR的低秩和稀疏特性，然后提出了一种在嵌入空间中使用TC的三维稀疏阵SAR成像算法。章节5实验结果表明了该方法的有效性。最后，在第节中得出结论。 6.

2符号和序言

本节首先介绍与张量或张量运算相关的符号和公式，为下面的算法推导做准备，如表所示1.

表1符号和前言

三信号型号

图1说明了三维稀疏阵列SAR的成像几何关系。假设飞机在这个高度飞行\（H）以一定的速度\（V_{a}\）在飞机的机翼下，若干天线阵以不相等的间隔悬浮，组成一个长度为\（L_{y}\）在三维空间坐标系中，三个正交轴分别表示方位角、交叉航向和高度，分别对应飞机飞行方向、线阵方向和雷达照射方向。

图1

三维稀疏阵列SAR成像几何关系

从散射中心模型理论[29]，大体积目标由有限数量的散射点组成。激活天线发送步进频率信号。此调制信号由一组\（K\）具有参考频率的脉冲\（f_{0}\）.阶跃频率以恒定频率增量顺序增加\（\增量f\）.信号到达目标B类然后反射回来，由激活天线接收。经过双向传播距离后，接收天线可以获得回波信号\（E）作为

$$E=A\gamma\exp\left[{-2\pi j（f_{0}+k\Delta f）（\tau-{2R_{d}}\mathord{left/{\vphantom{2R{d}{c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}c}）}\right）]$$

(1)

哪里\（A\）是振幅。\（\伽玛\）表示目标的后向散射系数。\（\套\）是时间变量。信号传播的单向距离\（R_{d}\）表示为发射/接收天线之间的距离\（P_{t}=（V_{a}t_{m}，y_{n}，H）\）和目标\（P_{B}=（x_{B{，y_{Bneneneep，z_{B}）\）.

$$开始{对齐}R{d}&=\sqrt{（V{a}t_{m}-x{B}）^{2}+（y_{n}-y_{B}）^{2}+（H-z_{B{）{B}^{2}+y_{B}^{2{+z_{B{2}\\&\近似R_{0}\左[{1-\frac{{2（V_{a}t_{m}x_{Bneneneep+y_}n}y_{B}+Hz_{B）}{2R{0}^{2}+\frac}{x_{B{2}^{}+z_｛B｝^｛2｝｝｝｝｛2R_｛0｝^｛2｝｝｝｝｝\right]\\&&\approxy R_｛0｝-\left（｛\frac｛V_｛a｝t_｛m｝x_｛B｝｝｝｛R_｛0｝｝+\frac｛y_｛n｝y_｛B｝｝｝｝｛R_｛0｝｝｝\right）\\end｛aligned｝$$

(2)

哪里\（R_{0}=\sqrt{（V_{a}t_{m}）^{2}+y_{n}^{2{+H_{2}}）表示零多普勒距离。根据菲涅耳近似建立了第一个近似等号。可以看出，由于远场条件，第三部分可以忽略，即。，\（R_{0}\gg x_{B}，y_{Bneneneep，z_{B{）.

由于3D信号网格上的样本是离散的，这些散射体接收的数据可以表示为

$$E=\sum\limits_{m}{\sum\limits_{n}{\sum \limits _{k}{\gamma（x_{B}，y_{Bneneneep，z_{B{）}}\exp\左（{-4\pi j\frac{R_{0}}}{\lambda}}}\right）$$

(3)

进一步简化，常数部分\（\exp（-4\pi j{{R{0}}\mathord{\left/{\vphantom{{R_{0}{\lambda}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\lambda}）\）在以下内容中是可以忽略的。让三个变量\（\增量{x}\）,\（\ delta_｛y｝\）,\（\增量{z}\）被介绍为

$$\delta_{x}=\frac{{2V_{a}t_{m}}{{lambdaR{0}}，\；\；\增量{y}=\压裂{{2y{n}}}{{lambda R{0}}，\；\；\增量{z}=\压裂{2H}{{lambda R{0}}$$

(4)

因此，回波信号可以表示为以下格式。它可以被视为三维SAR成像的通用信号模型。

$$E（delta{x}，delta{y}，delta{z}）=\sum\limits_{m}{\sum\limits_{n}{\sum \limits _{k}{gamma}）}\右]$$

(5)

为了获得张量空间中的三维图像，可以将上述信号模型表示为张量形式。成像场景可以等距划分为网格，网格大小为\（P\次Q\次L\）也就是说，如果网格中有散射点，\（伽玛射线）不等于0。因此，等式(5)可以重新描述为

$$E（m，n，k）=\sum\limits_{p}{\sum\limits_{q}{\sum \limits _{l}{\gamma（p，q，l）}}\exp\left[{2\pij（\delta_{x}x_{p{+\delta_{y}y{q}+\delta _{z}z_{l{）}\right]$$

(6)

信号模型的张量表示可以描述为

$${\boldsymbol{\mathcal{E}}={\bodsymbol{\mathcal{G}}\times_{1}{{\varvec{\Phi}}_{x}\times_{2}{\varvesc{\Phi}}}_y}\timers_{3}{\varvec{\Phi}}}}{_{z}$$

(7)

哪里\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}\）是回波的张量格式\（E）按照的顺序\（M次N次K次）,\（{\boldsymbol{\mathcal{G}}}\）是后向散射系数的张量格式\（伽玛射线）按照的顺序\（P\次Q\次L\）,\（时间{i}，i=1,2,3\）表示张量乘法。\（{{\varvec{\Phi}}}_{x}\）是方位角转向矢量矩阵，\（{{\varvec{\Phi}}}_{y}\）是横向转向矢量矩阵，\（{{\varvec{\Phi}}}_{z}\）是距离转向矢量矩阵。

$$开始{对齐}{{\varvec{\Phi}}}_{x}&=\exp varvec{\Phi}}}_{z}&=\exp（2\pij\delta{z}z{l}）在{\mathbb{C}}^{K\次l}\\end{aligned}中$$

(8)

4方法

在重建目标之前，我们首先考虑恢复丢失的数据元素。然后，利用传统的三维成像算法获得更优秀的三维图像。然而，稀疏线性阵列获得的回波数据可以看作是一个随机缺失切片的三阶不完全张量。在这种情况下，传统的TC方法很难恢复丢失的数据元素，从而导致无法接受的成像性能。

在本节中，我们提出了一种新的稀疏阵列SAR三维成像算法，该算法在嵌入式空间中使用TC来解决上述问题。图2描述了这种基于缺失切片回波张量的三维稀疏阵列SAR成像方法的流程图。该算法包括两部分：张量补全和三维成像，其中张量补足部分包含MDT、低阶张量近似和逆MDT步骤。

图2

所提方法的流程图

4.1信号张量的性质分析

首先，我们讨论了基于信号模型的稀疏性(6)，这有助于从稀疏信号张量执行3D图像重建。对于三维稀疏阵列SAR，三维场景中存在大量的非目标区域。这意味着少数显著散射体的后向散射响应之和构成了3D雷达图像\（{\boldsymbol{\mathcal{G}}}\），这意味着\（{\boldsymbol{\mathcal{G}}}\）预计会很稀疏。

那么，张量完备的前提是低阶性质。一个散射点的信号数据\（B\）构造为

$$E（m，n，k）=\gamma_{B}\exp\left[{2\pi j（\delta_{x}x_{B{+\delta_{y}y_{Bneneneep+\delta _{z}z_{B}）}\right]$$

(9)

因此，信号的张量表示\（｛\boldsymbol｛\mathcal｛E｝｝｝｝\）表示为

$${\boldsymbol{\mathcal{E}}=\gamma{{\varvec{\Phi}}}_{x}（：，x）\circ{{\valvec{\ Phi}{}_{y}（:，y）\cic{\varvesc{\Phi}}{{z}（，z）$$

(10)

外部产品的操作员指示为\（\circ\）.自\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}\）表示为向量的外积，它满足秩一张量。它还表明\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}\）是低阶张量。

由于来自几个散射体的信号的叠加，最终的信号\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}\）可以描述为相应的3模秩一张量的线性组合。

$${\boldsymbol{\mathcal{E}}}=\sum\limits_{b=1}^{b}{\gamma_{b}{\varvec{\Phi}}_{x}（：，x_{b{）\circ{\varvesc{\Phi}}}_}y}（:，y_{bneneneep）\cic{\varve c{\Phi}}{z}（）}$$

(11)

构成一级张量的最小数量\（｛\boldsymbol｛\mathcal｛E｝｝｝｝\）（见第2)表示的等级\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}\）这意味着张量的秩\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}\）不能超过B类此外，图像场景中还存在少量强散射点，因此\（所有PQL），并进一步推导出\（{\text{rank}}（{\boldsymbol{\mathcal{E}}）\leB\llPQL\）因此，如果目标是稀疏的，那么张量\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}\）具有低CP-rank的特性。

4.2MDT和逆MDT

假定三阶回波张量\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}\）通过带参数的延迟嵌入进行变换\（{{\varvec{\upxi}}}={\xi_{1}，{\mathbb{N}}^{3}）和\（{{\varvec{\Psi}}}=\{M，N，K\}\）此处理包括两个步骤：复制步骤和折叠步骤[28]，如图所示三.

图3

张量的MDT处理

首先，MDT产生低阶张量\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}\）变成一个重复的高阶张量，称为“汉克尔化”[30]. 考虑复制矩阵满足以下条件

$$开始{对齐}{\mathbf{D}}_{1}&\在\{0,1\}^{{\xi{1}（M-\xi_1}+1）\times M}}\\{\mathbf{D{}}_2}&\in \{0,1\}^{\xi_2}（N-\xi{2}+1）\ times N}}\\在\{3}&\in\{0_1\}^{{{{3}（K-\xi{3}+1）乘以K}}\\end{aligned}$$

(12)

然后可以通过以下方式获得MDT

$${\mathcal{H}}_{{\varvec{\upxi}}}2}{\mathbf{D}}_2}\times_{3}{\mathbf{D}}_3}）$$

(13)

哪里\（{\text{fold}}{{{（{{\varvec{\uppsi}}}，{{\varvec{\upxi}}）}}={\text}展开}}{（}，}）表示从低阶张量到高阶张量的折叠算子。这里是一个6阶张量\（次数（M-\xi{1}+1）次数（N-\xi{2}+1）次（X-\xi{3}+1）由输入的3阶张量构造\（\xi{1}（M-\xi{1}+1）\times\xi{2}（N-\xi{2}+1）\times\xi{3}（K-\xi{3}+1）\）.

相反，逆MDT变换可以分解为两个步骤：矩阵化操作（也称为展开）和Moore–Penrose伪逆\（{\mathbf{D}}^{\dag}=（{\mathbf{D}}^}{T}{\mathbf{D{}}）^{-1}{\mathbf{D{}^{T}）因此，Hankel张量\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}_{H}\）逆MDT处理表示为

$${\mathcal{H}}_{{\varvec{\upxi}}}^{-1}hbf{D}}_{1}^{\dag}\times_{2}{\mathbf{D}}_2}^{\tag}\times{3}{\mathbf{D}}_3}^{\ dag}$$

(14)

4.3低秩张量近似

根据(13)，不完全张量\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}\在{\mathbb{C}}^{M\次N\次K}\中）及其掩模张量\（{\boldsymbol{\mathcal{M}}}\ in \{0,1\}^{M\ times N\ times K}\）可以通过MDT进行转换，由

$$\boot｛aligned｝｛I｝｝\\结束｛对齐｝$$

(15)

哪里我=6，因为Hankel张量\（{\boldsymbol{\mathcal{E}}}_{H}\）这里是一个六阶张量。中的零元素\（{\boldsymbol{\mathcal{M}}}_{H}\）对应丢失的条目；否则，一个元素对应于可用条目。

这里，我们可以通过塔克分解求解低阶张量近似。因此，优化问题的解可以转换为以下形式。

$$\mathop｛\mamin｝\limits_{｛\boldsymbol｛\mathcal｛C｝｝｝，\left\｛｛\mathbf｛F｝｝^｛（i）｝｝\right\｝_｛i=1｝^｛i｝｝｝｝\left\ |｛\boldsymbol｛\mathcal｛M｝｝｝_｛H｝\ circledast\ left _｛F｝^｛2｝，\；\；\；{\text{s.t.}}\；\；\，{\boldsymbol{\mathcal{C}}}\在{\mathbb{R}}^{R{1}\times\cdots\timesR{I}}}中，\；\；{\mathbf{F}}^{（i）}\在{\mathbb{R}}^}{{J{i}\次R{i}}}中（对于所有i）$$

(16)

哪里\（\circledast\）表示元素Hadamard乘积。

上述方程不是凸问题，且解也不是唯一的[20]. 对于具有完整元素的张量，可以通过交替最小二乘法（ALS）有效地求出其驻点[20]对于塔克分解，而对于有损失元素的张量，我们可以用梯度下降法有效地解决这个优化问题[31]和流形优化[32]. 显然，步长参数会影响两种算法的效率。因此，辅助功能[28]被介绍为

$$f（\left.\alpha\right|\alpha^{\prime}）：=\left\|{{\boldsymbol{\mathcal{M}}_{H}\circledast\left（{{\baldsymbol{\mathcal{E}}}__{H{-{\bold symbol}\mathcal{T}}_}_{\alpha}}\right）}\right\|{f}^{2}+\left\ |{\overline{\boltsymbol\\mathcal}}}}}}{H}\圆圈最左\左（{{\boldsymbol{\mathcal{T}}}{{\alpha^{\prime}}}-{\bold symbol}\mathcal{T}}}_{\alpha}}\right）}\right\|_{F}^{2}$$

(17)

其中参数集\（\alpha=\{{\boldsymbol{\mathcal{C}}}，{\mathbf{F}}^{（1）}，}\mathbf{F}{^{,\（\boldsymbol{\mathcal{T}}_{\alpha}=\boldsymbol{\thcal{C}}\times\{{mathbf{F}}\}\）表示塔克分解，以及\（上划线{{\boldsymbol{\mathcal{M}}}}_{H}\）作为的补集\（\boldsymbol{\mathcal{M}}_{H}\）等于\（1-\boldsymbol{\mathcal{M}}_{H}\）.

根据[28]，我们可以将辅助函数转换为

$$开始{对齐}f（\left.\alpha\right|\alpha^{\prime}）&=\left\|{{\boldsymbol{\mathcal{M}}{{H}\circledast\left（{{\baldsymbol{\mathcal{E}}_{H}-{\bold symbol}\mathcal{T}}}{\alpha}\right）}\right\|_{f}{2}+\left\{M}}}}_{H}\圆圈最后\左（{{\boldsymbol{\mathcal{T}}}{{\alpha^{\prime}}}-{\boldsymbol{\mathcal{T}}}_{\alpha}}\right）}\right\|_{F}^{2}\\&=\left\|{{{（}{\bolsymbol{\matchcal{M}}}}_{H}\circledast{\bodsymbol}{\mathcal{E}}}}_{H}+\overline{\boltsymbol}{\mathcal{M}{}}}{H}T}}}{{\alpha^{\prime}}）-（{\boldsymbol{\mathcal{M}}}_{H}+\上划线{{\bold symbol}\mathcal{M}{}}}{{H}）\圆圈显示{\boldsymbol{\mathcal{T}}{{\alpha}}\right\|_{F}^{2}\\&=\left\|{{\bodsymbol{\matchcal{X}}}-{\bolsymbol}\mathcal{T}{{\ alpha}{\right\ |_{F}^{2}\\end{aligned}$$

(18)

显然，辅助函数最小化解决方案是由两步处理组成的。首先，辅助张量\（{\boldsymbol{\mathcal{X}}}\）可以通过以下公式计算

$$\boldsymbol{\mathcal{X}}={\boldsymbol{\fathcal{M}}_{H}\circledast{\bolssymbol}\mathcal{E}}_}+\overline{\bodsymbol{\mathcal{M{}}}__H}\circledast{\bold symbol{\matchcal{T}}}{{\alpha^{\prime}}}$$

(19)

然后，因子矩阵\（{{\mathbf{F}}\}\）和核心张量\（\boldsymbol{\mathcal{C}}\）通过使用ALS进行更新以优化

$$\mathop{\min}\limits_{{\boldsymbol{\mathcal{C}}，\{{\mathbf{F}}^{（i）}\}_{i=1}^{i}}\left\；{\text{s.t.}}\；\；{\mathbf{F}}^{（i）T}{\mathpf{F{}^{（i）}={\mathbf{i}}_{R{i}}}（对于所有i）$$

(20)

为了张量的非唯一性\（\boldsymbol{\mathcal{T}}\）解决方案中，秩增量策略被集成到基于塔克的补全中，这在[28]. 具体来说，首先建立一个非常低秩的塔克分解，并将其用作初始化，以获得更高秩的分解。然后迭代更新秩，直到噪声条件小于阈值。简而言之，低阶张量近似的算法可以逐步总结如下。

1：设置低秩序列\（R{i}=1\）哪里\（i=1，\点，6\）作为初始值。

2：根据公式(19)和(20)，计算\（\boldsymbol{\mathcal{C}}\）和\（｛\mathbf｛F｝｝^｛（i）｝\｝_｛i=1｝^｛i｝\）具有初始秩序列\（R_{i}\）.\（\boldsymbol{\mathcal{T}}=\boldsymbol{\thcal{C}}\times\{{mathbf{F}}\}\）进行相应计算。

3：判断是否\（\left\|{{\boldsymbol{\mathcal{M}}}_{H}\circledast\left（{\bold symbol}\mathcal{E}}__{H{-{\bolsymbol{\mathcal{T}}}\right）}\right\|{F}^{2}\）因为噪声条件不大于噪声阈值参数\（\t）.如果满足，则终止算法；否则，算法继续执行。

4：更新参数\（i^{prime}=\mathop{{text{argmax}}}\nolimits_{i}\left\|{left（{{boldsymbol{\mathcal{M}}_{H}\circledast（{\boldsympol{\mathcal{E}}{H}-{boldsymbol{\thcal{T}}）}\right）\times_{-i}\{{mathbf{F}}^{T}\right\ |_{F}^{2}\）和增量\（R_{{i^{prime}}\），然后返回步骤2。

4.4三维图像重建

在完全采样的三维数据通过上述TC恢复后，利用基于傅里叶变换的技术可以精确聚焦三维图像。此外，一些超分辨率成像算法，如频谱估计策略[33]也可以被雇佣。

总之，算法1显示了在嵌入式空间中使用TC进行三维稀疏阵列SAR成像的建议方法。很明显，首先通过MDT将稀疏张量转化为不完备的高阶Hankel张量。接下来，利用低秩张量近似完成高阶张量，并在下一步中通过逆MDT转换为全采样数据张量。最后，应用三维距离多普勒（RD）算法对三维图像进行聚焦。有关3D RD算法的更多详细信息，请参阅[34].

算法1基于嵌入空间张量补全的三维SAR稀疏成像

5结果和讨论

在本节中，通过模拟和实际数据集评估了所提出的三维成像算法的有效性和准确性。表中列出了我们实验中进行的运行环境2.

表2我们的实验运行环境

5.1使用模拟数据集验证所提算法

首先，通过对三维稀疏阵列SAR分布式成像场景的仿真，验证了该算法的有效性。使用X波段SAR和位于（3 m，0 m，−1 m）的单个散射体。表三列出了仿真中使用的参数。该模拟中的全采样三维数据由均匀虚拟线阵采集。利用MIMO技术，利用4个发射元件和30个接收元件建立了120个元件的虚拟阵列。信噪比=10 dB。图中的第一行4显示了使用全采样数据的3D RD方法的3D成像结果。

表3仿真中使用的系统参数

图4

三维RD的三维成像结果以及使用100%数据或50%稀疏数据的建议方法。信噪比设置为10 dB。限制振幅为−25 dB

稀疏采样率（SSR）由观测样本与所有样本的数量比表示。这里，我们通过随机选择60个元素来使用稀疏线性阵列来生成稀疏数据，即SSR=50%。该稀疏数据可以被视为具有缺失切片的3D张量数据。我们用零填充丢失的样本，然后应用不同的成像算法获取3D图像。图4显示了不同方法的三维成像结果。图像分别在第二行和第三行由传统的3D RD方法和所提出的方法获得。该方法可以准确地恢复丢失的切片。我们设置了\（{{\varvec{\upxi}}=（32,1,1）\）将（120200120）回波数据转换为（328912001120）张量。该Hankel张量被重新表示为四阶张量，并带有（32，89，120，200）。因此，我们将秩序列设置为\（{\mathbf{L}}_{1}\） = [1 2 4 8 16 32],\（{\mathbf{L}}_{2}\） = [1 2 4 8 16 32 64 84],\（{\mathbf{L}}_{3}\） = [1 2 4 8 16 32 64 96 118]，以及\（{\mathbf{L}}_{4}\） = [1 2 4 8 16 32 64 96 128 160 192].

从图4采用三维RD算法，沿交叉航迹方向用高副瓣恢复散射体。相比之下，由于使用MDT进行TC处理，该方法可以精确聚焦散射体。注意，方位角和高度方向没有显著变化，因为缺失的切片仅出现在交叉航迹方向上。利用峰值旁瓣比（PSLR）和综合旁瓣比作为评价指标，如表所示4对于点目标。此处以粗体强调最佳值。从交叉方向可以看出，稀疏数据3D RD的PSLR和ISLR值显著恶化，而所提出的方法获得了最佳性能，与100%数据对应的指标更接近。此外，其他两个方向上的PSLR和ISLR值在这些算法中得到了类似的结果。

表4不同方法的评价指标

5.2不同算法的性能比较

此外，将该方法与其他不同算法（包括传统TC算法：高精度低秩张量补全（HaLRTC）和塔克分解（TDC））的性能进行了比较。考虑一个由10个具有相同振幅的散射点组成的目标。选择3D RD方法作为基线方法进行比较，成像结果如图所示5使用全采样数据。

图5

100%数据的3D RD 3D成像结果。信噪比设置为10 dB。限制振幅为−25 dB

图6说明了通过各种方法获得的结果。从上到下，分别通过3D RD方法、基于HaLRTC的方法、基于TDC的方法和所提出的方法获取图像。具有80%随机缺失切片的三维张量数据，即SSR=80%。从左到右，分别显示了横轨-方位切片、横轨-高度切片和方位-高度切片的三维结果及其三维视图。比较图6参考图5可以明显地观察到，尽管使用稀疏数据的传统三维RD方法可以解析散射点，但由于采样不足，沿交叉航迹方向的旁瓣明显较高。如第二行和第三行所示，HaLRTC和TDC无法重建丢失的元素，导致3D成像结果中的副瓣抑制无效。相比之下，该方法可以有效地抑制副瓣，并且可以在图中100%的数据下获得类似的三维成像性能5类似于图4由于方位高切片上的剩余样本为全样本，不同方法之间沿方位角和高度方向的成像性能变化不明显。

图6

80%稀疏数据的各种方法的3D成像结果。信噪比设置为10 dB。限制振幅为−25 dB

5.3不同SSR和SNR的性能

不同的SSR和SNR会带来成像性能的变化。为了定量评估这些变化，我们计算了用稀疏数据重建的3D图像之间的均方误差\（{\boldsymbol{\mathcal{T}}}_{{\text{sparse}}}}\）和全采样数据\（{\boldsymbol{\mathcal{T}}}_{{\text{full}}}\）.

$${\text{MSE}}=\frac{{\left\|{{\boldsymbol{\mathcal{T}}}_{{\text{sparse}}}}-{\bolssymbol}\mathcal{T}{}}}{{\text}full}}}}\right\|_{F}}{\left \|_{F}}}$$

(21)

显然，我们更喜欢较小的MSE值，这说明重构信号更接近原始信号。

在蒙特卡罗模拟下，我们设置了多组不同SSR（从10%到90%）的实验。信噪比选择为10 dB。Monte-Carlo试验设定为50，以评估平均MSE。图7比较了基于稀疏数据和不同SSR的四种不同方法的平均MSE。可以清楚地看到，3D RD方法、基于HaLRTC的方法和基于TDC的方法的平均MSE完全重叠，因为基于HaLRTC-based和基于TDC-based的方法完全无效。当SSR提高时，所有方法的平均MSE的总体趋势是下降的，这意味着重建精度变得更高。在这些曲线中，当SSR大于近30%时，所提出的方法的误差非常小（几乎小于0.1），而当SSR小于30%时，平均MSE急剧增加。结果表明，如果SSR不太低（例如30%），该方法可以获得可靠的成像性能。

图7

基于具有不同SSR的稀疏数据的不同方法之间的平均MSE趋势。SNR设置为10 dB

在蒙特卡罗模拟下，SNR的检测范围为−20至20 dB。蒙特卡洛试验的次数是50次。图8绘制了每个SNR水平的平均MSE趋势。虽然我们发现3D RD方法、基于HaLRTC的方法和基于TDC的方法的曲线的波动并不显著，但平均MSE随着信噪比的增加略有减少，如图的右上角所示8此外，随着信噪比的增加，MSE显著下降。当信噪比达到−20 dB时，所提出方法的平均MSE值仍然小于0.1，这意味着在相对较低的信噪比下可以满足成像性能。即使如此，我们可以从右下角的详细视图中观察到，在−15 dB的曲线上出现了一个过渡点，这表明当信噪比非常低（小于−15分贝）时，误差增量会变得更大。

图8

具有不同SNR的不同方法之间的平均MSE趋势。SSR设置为50%

5.4使用实际数据集验证所提算法

在实际数据集上对该算法的成像性能进行了验证和评估。实际数据采集的实验原理如图所示9一对沿二维轨道移动的天线可以发射或接收信号，从而合成虚拟二维阵列。图10显示信号发射器、天线轨迹、泡沫板和八个覆盖锡箔的目标。实际数据的实验参数如表所示5.

图9

真实数据采集的实验原理

图10

三维稀疏阵列SAR系统

表5实际数据的实验参数

在实验中，张量的大小为（501611601）。建议的方法应用于\（{{\varvec{\upxi}}=（32,1,1）\）。列组参数配置为\（{\mathbf{L}}_{1}\） = [1 2 4 8 16 32],\（{\mathbf{L}}_{2}\） = [1 2 4 8 16],\（{\mathbf{L}}_{3}\） = [1 2 4 8 16 32 64 96 128 160]，以及\（{\mathbf{L}}_{4}\） = [1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024]. 图11演示了基于缺少切片的稀疏数据的各种方法重建的三维图像。与上述结论类似，普通的低秩模型无法令人满意地重建目标。然而，该方法虽然精度不高，但得到了非常清晰的结果。同时，图中还显示了四种不同SSR方法的比较结果11随着样本数的减少，所有方法都能获得更多的模糊图像。当SSR达到20%时，三维RD和基于HaLRTC的方法根本无法区分目标，基于TDC的方法产生了类似的结果。与其他方法相比，该方法取得了显著的改进。表6显示了三种不同SSR的平均MSE结果。结果表明，该方法的性能优于其他方法，并且在SSR方面也非常稳健。

图11

用不同方法完成的稀疏数据比较三维成像结果

表6三种不同SSR的平均MSE结果

6结论

在本文中，我们为在嵌入式空间中实现三维稀疏阵列SAR目标的三维成像提供了一种新的思路。在稀疏低秩的基础上，利用塔克分解在多路延迟嵌入空间中重构未采样元素。张量互补后，任何常规算法都可以很容易地获得满意的三维图像。与其他基于匹配滤波器的方法相比，该算法具有获取高分辨率、低副瓣目标图像的优势。通过对实际数据集的大量仿真和实验，结果清楚地表明，该算法能够显著抑制稀疏数据带来的不利影响。与3D RD和最先进的张量补全算法相比，该算法可以在完整数据下达到类似的成像性能。在不同SSR和SNR值下的实验结果也表明了该方法在SSR和信噪比领域的鲁棒性。注意，本文中信号模型的理论推导基于一阶泰勒展开近似。它仅适用于三维场景中的点目标研究。未来，对具有分布特征的区域目标的三维成像将进一步深入研究。