色彩感知的几何学。第二部分：真实量子态的感知颜色和Hering的重拍

摘要

受H.L.Resnikoff先驱工作的启发，我们给出了该空间的量子描述，该工作在这篇由两部分组成的论文的第一部分中进行了详细描述\（\mathcal{P}\）感知到的颜色。我们证明了这一点\（\mathcal{P}\）是一个rebit的效应空间，一个真实的量子比特，其状态空间与Klein的双曲圆盘等距。这种感知颜色的色态空间可以表示为一个实维2的布洛赫圆盘，它与颜色对立机制给出的Hering圆盘相一致。感知颜色、色调和饱和度的属性是根据冯·诺依曼熵定义的。

1介绍

“我们对世界的科学认知结构是由这样一个事实决定的：这个世界本身并不存在，而只是我们作为一个对象在主客体的相关变异” [1]。

1.1论色彩感知的数学

人类颜色感知机制的数学描述是一个由来已久的问题，许多最具影响力的数学物理人物都在解决这个问题[1–4]. 读者将在开始时看到主要历史贡献的概述[5]其中H.L.Resnikoff指出，我们表示的空间\（{\mathcal{P}}\）感知颜色的，是B.Riemann在他的《驯化》中提到的抽象流形的第一个例子之一[6]，“一句意味深长的话”。如H.Weyl所建议[1]实际上，很容易将个体的颜色感知描述为抽象的感知颜色空间和物理颜色嵌入空间之间的特定关联交互。这就提出了一个问题，即从黎曼几何的意义上，从基本的普遍接受的公理中内在地定义感知颜色的空间。这些公理可以追溯到H.G.格拉斯曼和H.冯亥姆霍兹的著作[2，7]，说明\（{\mathcal{P}}\）是尺寸为3的正凸锥。值得注意的是，凸性反映了一个人必须能够混合感知到的颜色或换言之，混合颜色状态的特性[8]. H.L.Resnikoff的工作是什么[5]特别吸引人的是他通过添加唯一的公理得出的显著结论\（{\mathcal{P}}\）在背景光照变化线性组的作用下是均匀的[9]. 我们将在门派中讨论。 6这句话的相关性。据我们所知，这一涉及外部环境的公理从未被心理物理实验所证实。它赋予\（｛\mathcal｛P｝｝｝\）具有对称圆锥的丰富结构[10]. 有了这个额外的公理和假设\（{\mathcal{P}}\）由背景光照变化下的黎曼度量不变量给出，H.L.Resnikoff表明\（｛\mathcal｛P｝｝｝\）只能同构于以下两个黎曼空间之一：乘积\（\mathcal{P}（P）_{1} =\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}^{+{times\mathbb}R}^}+}\）配备了统一公制，即亥姆霍兹-斯蒂尔斯公制[11]、和\（\mathcal{P}（P）_{2} =\mathbb{R}^{+}\times\operatorname{SL}配备恒定负曲率的Rao–Siegel度量[12，13]. 让我们回忆一下商\（\operatorname{SL}（2，\mathbb{R}）/\operator name{SO}与庞加莱双曲圆盘同构\（\mathcal{D}\）第一个空间是色度学的常用度量空间，而第二个空间似乎与解释心理物理现象有关，如H.Yilmaz在[14]和[15]或生理机制，如R.和K.de Valois颜色的神经编码[16，17]. 在续集中，我们关注后者。

1.2色觉的量子一瞥

这部作品的出发点来源于[5]专门研究Jordan代数。与H.L.Resnikoff相反，我们首先假设感知的颜色空间\（{\mathcal{P}}\）可以从以Jordan代数为特征的量子系统的状态空间来描述\（{\mathcal{A}}\）实际尺寸3[18–21]. 这是我们唯一的公理，见教派。 2.1动机。Jordan代数是由P.Jordan、J.Von Neumann和E.Wigner分类的非结合交换代数[22]假设它们是有限维的并且形式上是真实的。它们被认为是量子力学几何化通常的结合非交换代数框架的合适替代品[23–25]. 从先例来看，这并不奇怪，\（\mathcal{A}\）必须与以下两个Jordan代数之一同构：该代数\（\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\ oplus\mathbb{R}\）或者代数\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）对称实2乘2矩阵。看来H.L.Resnikoff的两个几何模型可以通过简单地取\（\mathcal{A}\）.约旦代数\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）携带一个与自旋因子同构的非常特殊的结构\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\）它可以看作是由单位1线性跨越的非结合代数和Clifford代数的自旋系统\（\mathbb｛R｝^｛2｝\）[21，26]. 这项工作的主要主题是利用这些结构来突出空间的量子本质\（\mathcal{P}\）感知颜色。事实上，我们提出的量子描述为[27]第539页：“这种潜在的数学结构¹让人想起量子力学中的状态结构（即密度矩阵）。所有态的空间也是凸线性的，边界由纯态组成，任何混合态都可以通过纯态的统计系综得到。在本例中，光谱颜色是纯态的类似物”。

尽管第二个模型的几何结构\（\mathcal{P}（P）_{2}\)H.L.Resnikoff的几何图形比第一个模型的几何图形丰富得多\（\mathcal{P}（P）_{1}\)，很少有作品致力于色彩感知中夸张的可能含义。此贡献的主要目标之一是显示模型\（\mathcal{P}（P）_{2}\)很好地解释了三色理论和颜色对映理论之间的一致性。我们展示了空间\（\mathcal{P}\）是一个所谓的rebit的效应空间，一个真正的量子量子位，其状态空间\（\mathcal{S}\）与双曲线Klein圆盘等距\（\mathcal{K}\）事实上，\（\mathcal{K}\）与庞加莱圆盘等距\（\mathcal{D}\），但它的测地线在视觉上非常不同，是单位圆盘的直弦。考虑自旋因子时，Klein几何体自然出现\（\mathbb｛R｝\oplus\mathbb｛R｝^｛2｝\）和三维Minkowski未来光锥\（\mathcal{L}^{+}\）其闭包是rebit的状态锥。我们证明了色状态空间\（\mathcal{S}\）可以表示为真实维度2的布洛赫圆盘，它与颜色对映机制给出的Hering圆盘一致。在我们的真实环境中，这个布洛赫盘是布洛赫球的模拟物，它描述了自旋的两能级量子系统的状态空间-\（\压裂{1}{2}\）粒子。这个量子系统的动力学可以与颜色信息处理有关，颜色信息处理是由四种光谱对手细胞的活动速率产生的[17]，参见第节。 7.1灵长类的光谱对手相互作用通常被认为是由神经节和外侧膝状体核细胞进行的，它们在颜色处理方面非常相似[17，28]。

根据这种量子解释，我们根据冯·诺依曼熵给出了感知颜色的两种颜色属性——色调和饱和度的精确定义。

正如P.A.M.Dirac在[29]物理现象证明了在量子力学中考虑复杂希尔伯特空间的必要性。或者，我们在续集中处理的结构是真实的，我们可以考虑空间\（\mathcal{P}\）作为真实量子系统的效应空间的一个非平凡的具体例子。读者将在中找到有关实向量空间量子理论及其关于最佳信息传输的一致性的更多信息[30]。

最后，由于自旋因子和相应的Clifford代数共享相同的表示形式（和相同的正方形），人们可以设想适应当前环境中开发的工具[31]用于彩色图像的谐波分析。

1.3论文大纲

我们在门派中介绍。 2用于将感知到的颜色空间几何描述重新构建到量子框架中的数学概念。我们首先解释三色性公理的动机和意义，这是我们方法的基石。章节三致力于量子召回。它主要包含描述所谓rebit，即二能级实量子系统的状态空间所需的材料。章节4包含黎曼几何的结果。本节的目的是表明克莱因几何，或等效的希尔伯特几何，很好地适应了量子态，与H.L.Resnikoff使用的庞加莱几何相反。我们在门派求婚。 5将感知到的颜色解释为量子测量算子。这特别允许我们给出数学上合理的色度定义。章节6致力于与H.L.Resnikoff的补充公理有关的群作用和同质性的一些结果。最后，在门派。 7，我们讨论了我们的工作与R.和K.de Valois以及H.Yilmaz的神经颜色编码和相对论模型相关的一些结果。我们还指出了一些关于MacAdam椭圆和Hilbert度量之间联系的观点。

2数学入门

我们在本节中介绍了续集中需要的数学概念。它们主要涉及Jordan代数的性质。读者可以在[18，20，21，32]或者在P.Jordan的开创性工作中[33]。

2.1三色性公理

在详细讨论之前，我们给出了一些解释，以证明所采用的数学方法是正确的。遵循H.G.格拉斯曼和H.冯亥姆霍兹的公理[2，7]，感知颜色的空间是一个实维3的规则凸锥。这种几何结构没有携带足够的信息来进行相关开发。Resnikoff工作的主要思想是通过要求感知颜色的圆锥体是均匀的来丰富这种结构[9]. 如果我们再加上一个性质，即自对偶性，这个锥就变成了对称锥[10]. 基本的评论是，对称的感知颜色锥可以被视为形式上真实Jordan代数的正可观测集\（\mathcal{A}\）这正是著名的科赫-文伯格定理的表述[32]. 由于锥是实维3，因此代数也是实维3。使用P.Jordan、J.Von Neumann和E.Wigner的分类定理[22]，可以检查代数\（\mathcal{A}\）必然与Jordan代数同构\（\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\ oplus\mathbb{R}\）或者到Jordan代数\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）对称实2乘2矩阵。因此，加上自对偶性质，Resnikoff的分类源于P.Jordan、J.Von Neumann和E.Wigner的分类定理。

我们希望提出的观点是，感知到的颜色必须通过测量来描述，通过一些状态可观测的对应关系。这在第。 5.1用量子效应的概念。为了强调这一观点，我们将起始三色公理公式化如下：感知颜色的Grassmann–Von Helmholtz锥是实数维形式实数Jordan代数的正锥三.

2.2Jordan代数与对称锥

乔丹代数\（\mathcal{A}\）是具有可交换双线性积的实向量空间\（\mathcal{A}\times\mathcal{A}\longrightarrow\mathcali{A}\），\（（a，b）\longmapstoa\circ b\），满足以下约旦身份：

$$\bigl（a^{2}\circ b\bigr）\circa=a^{2\circ（b\circe a）$$

(1)

乔丹的身份确保了任何元素的力量一属于\（\mathcal{A}\）定义明确(\（\mathcal{A}\）是幂关联的，即由其任何元素生成的子代数是关联的）。由于观测值的平方和永远不会消失，因此逻辑上要求如果\（a{1}、a{2}、ldot、a{n}）是的元素\（\mathcal{A}\）这样的话

$$a{1}^{2}+a{2}^{2]+\cdots+a{n}^{2}=0$$

(2)

然后\（a{1}=a{2}=\cdots=a{n}=0\）.代数\（\mathcal{A}\）然后被称为正式真实。这一财产赋予\（\mathcal{A}\）部分订购：\（a \leq b）当且仅当\（b-a\）是平方和，因此\（\mathcal{A}\）都是积极的。对有限维形式实Jordan代数进行了分类[22]：每个这样的代数都是所谓的简单Jordan代数的直和。简单Jordan代数有以下几种类型：代数\（\mathcal{H}（n，\mathbb{K}）\）关于除法代数中有项的hermitian矩阵\（\mathbb{K}\）具有\（\mathbb{K}=\mathbb{R}\），\（\mathbb{C}\），\（\mathbb{H}\）（四元数代数），代数\（\mathcal{H}（3，\mathbb{O}）\）关于除法代数中有项的hermitian矩阵\（\mathbb{O}\）（八元数代数）和自旋因子\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{n}\），使用\（n \geq 0）上的Jordan产品\（\mathcal{H}（n，\mathbb{K}）\）和\（\mathcal{H}（3，\mathbb{O}）\）由定义

$$a\circ b=\frac{1}{2}（ab+ba）$$

(3)

注意，与通常的矩阵乘积相反，这个乘积是有效的可交换的。自旋因子形成了“四个[简单]Jordan代数无穷级数中最神秘的”[34]. 他们是D.M.Topping首次以这个名字介绍的[35]和的定义如下。自旋因子\（J（V）\）给定的n个-维实内积空间V（V）是直接和\（\mathbb｛R｝\ oplus V\）被赋予约旦产品

$$（\alpha+\mathbf{v}）\circ（\beta+\mathbf{w}）=\bigl（\alba\beta+/\langle{\mathbf{v}}，{\mathbf{w}}\rangle+\alpha{\mathcf{w{}}+\beta{\mathdf{v{}}}\bigr）$$

(4)

哪里α和β是真实的，并且v（v）和w个是的矢量V（V）以下结果众所周知[34]。

提议1

让 \（\mathbb{K}\） 是除法代数 \（\mathbb{R}\），\（\mathbb｛C｝\），\（\mathbb{H}\），或 \（\mathbb{O}\）.自旋因子 \（J（\tathbb{K}\oplus\mathbb{R}）\） 与Jordan代数同构 \（\mathcal{H}（2，\mathbb{K}）\）.

证明

映射给出了显式同构

$$\开始{aligned}&\phi:\mathcal{H}（2，\mathbb{K}）\longrightarrowJ（\mathbb{K}\oplus\mathbb}R}），\end{aligned}$$

(5)

$$\开始{aligned}和\开始{pmatrix}\ alpha+\beta&x\\x^{*}和\alpha-\beta\end{pmatricx}\longmapsto（\alpha+x+\beta），\end{aligned}$$

(6)

具有x个在里面\（\mathbb{K}\）和\（x^{*}\）的共轭x个.□

现在，我们关注代数\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）和自旋因子\（J（\mathbb{R}\oplus\mathbb}）\），两者同构于\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\）后者配备Minkowski公制[36]

$$（\alpha+\mathbf｛v｝）\cdot（\beta+\mathbf｛w｝）=\alpha\beta-\langle｛\mathbf｛v｝｝，｛\mathbf｛w｝｝\rangle$$

（7）

哪里α和β是真实的，并且v（v）和w个是的向量\（\mathbb{R}^{2}\）事实证明1有一个有趣的改写：二维真实量子系统的观测代数与三维闵可夫斯基时空同构。让我们回忆一下光锥\（{\mathcal{L}}\）属于\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\）是一组元素\（a=（\alpha+\mathbf{v}）\）让人满意的

$$a\cdot a=0$$

(8)

并且光线是的一维子空间\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\）由元素跨越\（{\mathcal{L}}\）每一条这样的光线都由一个独特的形状元素跨越\（（1+\mathbf{v}）/2\）具有v（v）单位向量\（\mathbb{R}^{2}\）实际上，光线的空间与射影空间重合\（\mathbb{P}（P）_{1} （\mathbb{R}）\）换句话说，我们得到了以下结果。

提议2

有一个-到-自旋因子光线之间的一种对应关系 \（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\） 和约旦代数的一级投影 \（{\mathcal{H}}（2，\mathbb{R}）\）.

证明

信件由

$$（1+\mathbf{v}）/2\longmapsto\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+v{1}&v{2}\\v{2{&1-v{1{end{pmatricx}$$

(9)

哪里\（\mathbf{v}=v_{1} e（电子）_{1} +伏_{2} e（电子）_{2}\)是单位向量\（\mathbb｛R｝^｛2｝\）.□

我们将在下一节中看到，这个结果有一个有意义的解释：自旋因子的光线之间存在一对一的对应关系\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\）代数的纯态密度矩阵\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）.

正锥体\（\数学｛C｝\）约旦代数\（\mathcal{A}\）是其积极因素的集合，即

$$\mathcal{C}=\{a\in\mathcal{a}，a>0\}$$

(10)

可以看出\（\mathcal{C}\）是的正域的内部\（\mathcal{A}\）定义为\（\mathcal{A}\）.凸锥\（\mathcal{C}\）对称：它是规则的、同质的和自对偶的[10]. 正锥体\（\mathcal{H}^{+}（2，\mathbb{R}）\）代数的\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）是正定对称矩阵的集合。

三量子初步研究

本节致力于描述通常复量子位的实模拟的状态空间。所谓的重比特是一个二能级实量子系统，其希尔伯特空间为\（\mathbb{R}^{2}\）.

3.1状态空间上的回调

正锥体\（\mathcal{C}\）是正观测值的集合。一种状态\（\mathcal{A}\）是线性函数

$$\langle\cdot\rangle:\mathcal{A}\longrightarrow\mathbb{R}$$

(11)

这是非负的：\（语言范围0），\（对于所有a\geq 0\）和规范化：\（1级=1级）.给定一个元素一属于\（\mathcal{A}\），我们表示为\（L（a）\）的自同态\（\mathcal{A}\）由定义\（L（a）（b）=a \ circ b \）和\（\operatorname{Trace}（a）\）其轨迹，即。，\（\ operatorname｛Trace｝（a）：=\ operatorname｛Trace｝（L（a））\）.自\（\mathcal{A}\）形式上是真实的，配对

$$\langle a，b\rangle=\operatorname{Trace}\bigl（\mathrm{L}（a）（b）\bigr）=\operatorname{Trace}（a\circ b）$$

(12)

是一个真正有价值的内积，人们可以用一个独特的元素来识别任何状态ρ属于\（\mathcal{A}\）通过设置

$$\langle a\rangle=\operatorname{Trace}（\rho\circ a）$$

(13)

哪里\（\rho\geq 0\）和\（\operatorname｛Trace｝（\rho）=1\）.此类ρ，用于\（\mathcal{A}=\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\），是所谓的状态密度矩阵[8]. 公式(13)给出了可观测值的期望值一具有密度矩阵的状态ρ.

关于提案1代数的正态密度矩阵\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）与未来光锥的元素一一对应

$$\mathcal{L}^{+}=\bigl\{a=（\alpha+\mathbf{v}），\alpha>0，\cdot a>0\bigr\}$$

(14)

形式相同的\（a=（1+\mathbf{v}）/2\），使用\（\Vert{\mathbf{v}}\Vert\leq1\）.限定状态的一种方法是引入冯·诺依曼熵[8，37]. 它是由

$$S（\rho）=-\operatorname{Trace}（\rho\log\rho$$

(15)

看起来\（S（\rho）=0）当且仅当ρ满足\（\ rho \ circ\ rho=\ rho \）零熵状态密度矩阵表征了提供最大信息的纯状态。在其他状态密度矩阵中，有一个特别有趣。它是由\（\rho_{0}=\mathrm{Id}_{2} /2\）或\（\rho_{0}=（1+0）/2\）(\（\mathrm{Id}_{2}\)是单位矩阵），其特征是

$$\rho_{0}=\mathop{\operatorname{argmax}}_{\rho}S（\rho）$$

(16)

具有密度矩阵的混合态\（\rho_{0}\）称为最大熵状态，\（S（\rho_{0}）\）等于log2。它提供了最少的信息。使用(13)，我们有

$$\langlea\rangle_{0}=\frac{\operatorname{Trace}（a）}{2}$$

(17)

现在，给定一个可观察到的一，一对国家采取行动\（语言\cdot\rangle_{0}\）根据公式

$$a:\langle\cdot\rangle_{0}\longmapsto\langle a\circ\cdot\ rangle=\langle\ cdot\rangle_{0，a}$$

(18)

因为对于任何州ρ元素2ρ是可观察的，我们得到

$$\langle a\rangle_{0,2\rho}=\langle 2\rhe\circ a\range_{0}=\operatorname{Trace}（\rho\circ a）=\langler a\range$$

（19）

对于所有可观察到的一这意味着任何具有密度矩阵的状态ρ可以用密度矩阵从最大熵的状态得到\（\rho_{0}\）利用可观测2的作用ρ.

3.2二能级实量子系统

代数的纯态密度矩阵\（\mathcal{A}=\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）都是这样的

$$\frac{1}{2}\开始{pmatrix}1+v{1}&v{2}\\v{2{&1-v{1{7}\end{pmatricx}$$

（20）

哪里\（\mathbf{v}=v_{1} e（电子）_{1} +伏_{2} e（电子）_{2}\)是单位向量\（\mathbb{R}^{2}\）它们与三维闵可夫斯基时空的光线一一对应，参见命题2.

量子态的经典表示是布洛赫体[38]. 一个元素ρ属于\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）是一个状态密度矩阵，当且仅当它可以写为：

$$\rho（v{1}，v{2}）=\frac{1}{2]（\mathrm{Id}_{2} +\mathbf{v}\cdot\sigma）=\frac{1}{2}（\mathrm｛Id｝_{2} +v{1}\西格玛{1}+v{2}\西格玛{2}）$$

(21)

哪里\（σ=（σ{1}，σ{2}）具有

$$\sigma_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatricx}，\qquad\sigma_{2}=\begin{pmmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix{$$

(22)

和\（\mathbf{v}=v_{1} e（电子）_{1} +伏_{2} e（电子）_{2}\)是的向量\（\mathbb{R}^{2}\）具有\（\Vert{\mathbf{v}}\Vert\leq1\）.矩阵\（西格玛{1}）和\（西格玛{2}）是类泡利矩阵。在量子力学的通常框架中，即当可观测代数是代数时\（\mathcal{H}（2，\mathbb{C}）\）在具有复数项的2乘2 hermitian矩阵中，Bloch体是单位Bloch球\（\mathbb{R}^{3}\）它表示自旋的两能级量子系统的状态-\（\压裂{1}{2}\）粒子，也称为量子比特。在当前上下文中，布洛赫体是\（\mathbb{R}^{2}\）与rebit关联。我们现在使用经典的Dirac符号给出关于这个系统的更多细节[29]、胸罩、ket等。让我们用\（|u{1}\范围\），\（|d_{1}\范围\），\（|u{2}\范围\）、和\（|d_｛2｝\rangle\）定义的四个状态向量

$$|u_{1}\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatricx}，\qquad|d_{1}\ rangle=\ begin{pmatrix{0\\1\end{pmmatrix}}\开始{pmatrix}-1\\1\end{pmatricx}$$

(23)

我们有

$$\sigma{1}=\vert u{1}\rangle\langle u{1{1\vert-\vert d_{1}\rangle\ langle d_{1}\vert，\qquad\sigma_{2}=\verst u{2}\range\langle u{2}\ vert-\ vert d_{2{$$

(24)

状态向量\（|u{1}\范围\）和\（|d_{1}\范围\），分别。\（|u{2}\范围\）和\（|d_{2}\范围\），是的本征态\（西格玛{1}），分别。\（西格玛{2}），特征值为1和-1。

使用极坐标\（v{1}=r\cos\theta\），\（v{2}=r\sin\theta\），我们可以写\（\rho（v{1}，v{2}）\）如下：

$$\begin{aligned}\rho（r，\theta）=&\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+r\cos\theta&r\sin\theta&1-r\cos\theta\end{pmatricx}\end{aligned}$$

(25)

$$\begin{aligned}=&\frac{1}{2}\bigl\{（1+r\cos\theta）\vert u_{1}\rangle\langle u_{1}\vert+（1-r\cos\theta）\ vert d_{1}\ rangle\angle d_{1}\ vert+$$

(26)

$$\开始{aligned}&{}-（r\sin\theta）\vert d_{2}\rangle\langle d_{2]\vert\bigr\}。\结束{对齐}$$

(27)

例如，这就给出了，

$$\begin{aligned}&\rho（1,0）=\vert u_{1}\rangle\langle u_{1'\vert=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmmatrix}，\end已对齐}$$

(28)

$$\begin{aligned}&\rho（1，\pi）=\vert d_{1}\rangle\langle d_{1'\vert=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmmatrix}，\end{aligned}$$

(29)

$$\begin{aligned}&\rho（1，\pi/2）=\vertu_2}\rangle\langle_u_2}\vert=\frac{1}{2}\begin\pmatrix}1&1\\end{pmatrix.}，\end{aligned}$$

(30)

$$\begin{aligned}&\rho（1,3\pi/2）=\vert d_{2}\rangle\langle d_{2]\vert=\frac{1}{2}\ begin{pmatrix}1&-1\\end{pmatricx}。\结束{对齐}$$

(31)

更一般地说

$$\rho（1，\theta）=\bigl\vert（1，\t）\bigr\rangle\bigl\ langle（1，_theta）\biger\vert$$

(32)

具有

$$\bigl|（1，\theta）\bigr\rangle=\cos（\theta/2）\vert u_{1}\rangle+\sin（\theta/2）\verst d_{1}\rangle$$

(33)

这意味着我们可以识别纯态密度矩阵\（\rho（1，\theta）\）使用状态向量\（|（1，θ）范围）以及单位圆盘边界上的点与坐标θ.最大熵的状态，由状态密度矩阵给出

$$\rho_{0}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatricx}$$

(34)

是混合物

$$\beart｛aligned｝\rho｛0｝=&&frac｛1｝｛4｝\vert u｛1｝\rangle \langle u｛1｝\vert+\ frac｛1｝\vert d｛1｝\rangle \langle d｛1｝\vert+\ frac｛1｝｛4｝\vert u｛2｝\vert+\ frac｛1｝｛4｝\vert d｛2｝\vert \end｛aligned｝$$

(35)

$$\begin{aligned}=&\frac{1}{4}\rho（1,0）+\frac}{1}{4}\ rho（1，\pi）+\frac{1{4}\rho$$

(36)

概率相等。使用(25)，我们可以将每个状态密度矩阵写成如下：

$\rho（r，\theta）=\rho_{0}+\frac{r\cos\theta}{2}\bigl$$

（37）

这样的状态密度矩阵是由单位圆盘上的点用极坐标表示的\（（r，θ）注意四个状态密度矩阵是很重要的\（\rho（1,0）\），\（\rho（1，\pi）\），\（\rho（1，\pi/2）\）、和\（\rho（1,3\pi/2）\）对应于两对状态向量\（（（|u{1}范围，|d_{1{范围）），\（（（|u{2}范围，|d_{2{范围）），状态向量\（|u{i}\范围\）和\（|d_{i}\范围\），用于\（i=1,2）由“上下”类泡利矩阵连接\（西格玛{i}）.

3.3评论

在通常的框架中，即\（\mathcal{A}\）是\（\mathcal{H}（2，\mathbb{C}）\），三个泡利矩阵与\（\mathbb{R}^{3}\）在我们的例子中，只有两个类泡利矩阵。旋转方面的解释不再相关，因为没有维度为2的旋转组的空间。这让rebits有些奇怪。我们在门派里解释。 7.1这个真实的量子系统似乎很适合为E.Hering的对映色机制提供一个数学模型。

纯态和混合态在测量中起着至关重要的作用：“……也就是说，在与仪器相互作用后，系统plus-apparatus的行为就像一种混合物……正是在这个意义上，并且仅从这个意义上说，测量被称为将纯态变为混合物”[39]（另见引用的参考文献[40]). 实际上，量子力学中的测量问题似乎是P.Jordan引入新代数的主要动机之一：“观测不仅干扰了必须测量的东西，而且产生了它……我们自己产生了测量结果”[39]第161页[41，42]。

4的黎曼几何\（\mathcal{C}\）和\（{\mathcal{L}}^{+}\）

现在，我们给出关于Jordan代数基本几何的进一步信息\（\mathcal{A}\）从上述两个角度来看，即，\（\mathcal{A}\）作为代数\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）和\（\mathcal{A}\）作为自旋因子\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\）。我们首先回忆一下如何赋予正锥体\（\mathcal{C}\）代数的\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）用一个公制表示\（\mathcal{C}\）叶片与庞加莱花盘等长。这基本上就是H.L.Resnikoff在[5]获取几何模型\（\mathcal{P}（P）_{2}\)这种几何结构似乎不太适合我们的量子观点，因为它没有考虑密度矩阵的特定作用。相反，我们建议配备正锥体\（\mathcal{L}^{+}\）自旋因子的\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\）用一个公制表示\（\数学｛L｝^｛+｝\）叶与克莱因圆盘等长。这种几何结构更适合我们的方法，因为之前考虑的状态空间自然嵌入\（上划线{\mathcal{L}^{+}}\）作为一片叶子，看(76).

4.1庞加莱几何\（\mathcal{C}\）

我们考虑水平集

$$\马塔尔{C}（C）_{1} =\bigl\{X\in\mathcal{H}^{+}（2，\mathbb{R}），\operatorname{Det}（X）=1\bigr\}$$

(38)

每X（X）在里面\（\mathcal{C}（C）_{1}\)可以写为：

$$X=\begin{pmatrix}\alpha+v_1}&v_2}\\v_2}&\alpha-v_1}\end{pmatricx}$$

(39)

具有\（\mathbf{v}=v_{1} e（电子）_{1} +伏_{2} e（电子）_{2}\)向量\（\mathbb{R}^{2}\）令人满意的\（\阿尔法^{2}-\垂直{\mathbf{v}}\Vert^{2}=1\）和\（阿尔法>0）.使用一对一的对应关系

$$X=\begin{pmatrix}\alpha+v_{1}&v_{2}\\v_{2}&\alpha-v_{1}\end{pmatricx}\longmapsto（\alpha+/mathbf{v}）$$

(40)

水准仪\（\mathcal{C}（C）_{1}\)发送到级别集

$$\马塔尔{左}_{1} =\bigl\{a=（\alpha+\mathbf{v}）\in\mathcal{L}^{+}，a\cdot a=1\bigr\}$$

(41)

未来的光锥\（\mathcal{L}^{+}\）众所周知，投影

$$\pi_{1}:\mathcal{左}_{1} \longrightarrow\{\alpha=0\}$$

(42)

由定义

$$\pi_｛1｝（\alpha+\mathbf｛v｝）=（0+\mathbf｛w｝）$$

(43)

具有\（\mathbf｛w｝=w_{1} e（电子）_{1} +周_{2} e（电子）_{2}\)和

$$w_｛i｝=\frac｛v_｛i｝｝｛1+\alpha｝$$

(44)

对于\（i=1,2），是级别集之间的等距\（\mathcal{左}_{1}\)和庞加莱圆盘\（\mathcal{D}\）[43]. 简单的计算表明，矩阵X（X）可以写为：

$$X=\begin{pmatrix}\frac{1+2w{1}+（w_{1}^{2}+w_2}^{2]）}{1-（w_1}^{2%+w_2{2}^{2}）}&\ frac{2w_2}}{1-1}^{2}+w{2}^{2]$$

(45)

在中w个-参数化。

提案3

让 X（X） 是…的元素 \（\mathcal{C}（C）_{1}\) 在表格下书写(45),我们有

$$\frac{\operatorname{Trace}[（X^{-1}\，dX）^{2}]}{2}=4\biggl（\frac}（dw_{1}）^{2]+（dw_}2}）^{2}_{\mathcal{D}}$$

(46)

证明

凯利-汉密尔顿定理意味着以下等式，其中一个表示2乘2矩阵：

$$\bigl（\operatorname{Trace}（A）\bigr）^{2}=\operator name{Trace}\bigl$$

(47)

我们将这个等式应用于矩阵\（A=X^{-1}\，dX\）.矩阵X（X）可以写为：

$$X=\biggl（\frac{1+\vertz\vert^{2}}{1-\vertZ\vert_2}}\biggr）I_{2}+\frac{X_{1}}{1-\vertz \vert_^{2{}}$$

(48)

哪里

$$X{1}=\begin{pmatrix}2w{1}&2w{2}\\2w{2]&-2w{1{}\end{pmatricx}$$

(49)

和\（z=w{1}+iw{2}\）.我们有

$$X^{-1}=\biggl（\frac{1+\vertz\vert^{2}}{1-\vert z\vert ^{2{}}\biggr）I_{2}-\frac{X_{1}}{1-\vertz\vert^{2}}$$

(50)

和

$$dX=d\biggl（\frac{1+\vertz\vert^{2}}{1-\vertz \vertqu{2}{\biggr）I{2}+\frac}dX{1}{1-\ vertz \ vert^}}+\frac{d$$

(51)

因此，

$$X^{-1}\，dX=\frac{2\，d（\vertz\vert^{2}）}{（1-\vert z\vert ^{2{）^{2neneneep}I_{2}-\frac}d（\Vertz\vert^{2]）}}{\vert^{2}）^{2{}-\frac{X{1}\，dX{1{{（1-\vertz\vert|{2}）^{2]}$$

(52)

自\（\ operatorname｛Trace｝（X_｛1｝）=\ operatorname｛Trace｝（dX_｛1｝）=0\）和\（\operatorname{Trace}（X_{1}\，dX_{1'）=4d（|z|^{2}）\），然后

$$\bigl[\operatorname{Trace}\bigl（X^{-1}\，dX\bigr）\bigr]^{2}=0$$

（53）

和

$$\operatorname{Trace}\bigl[\bigl（X^{-1}\，dX\bigr）^{2}\bigr]=-2\operator名称{Det}\bigle$$

(54)

我们也有

$$\begin{aligned}dX=&\frac{d（\vert z\vert^{2}）}{（1-\vert z \vert ^{2{）^{2neneneep}\begin{pmatrix}1+\ vert z\ vert^}2}+2w_{1}&2w_2}\\2w_{2}&1+\vert z\vert^{2} -2周_{1} \end{pmatrix}\end{aligned}$$

(55)

$$开始{aligned}&{}+\frac{1}{（1-\vertz\vert^{2}）}\begin{pmatrix}d（\vertz \vert ^{2{）+2\，dw{1}&2\，dw{2}\\2，dw{2}&d（\Vertz \vert^{2}）-2，dw{1}\end{pmatricx}。\结束{对齐}$$

(56)

简单的计算导致

$$\operatorname{Det}（dX）=-4\biggl（\frac{（dw_{1}）^{2}+$$

(57)

并结束证明。□

这个命题意味着\（\mathcal{C}（C）_{1}\)配备了归一化的Rao–Siegel度量，即。，\（\operatorname{Trace}[（X^{-1}\，dX）^{2}]/2\），与庞加莱圆盘等距\（\mathcal{D}\）恒定负曲率等于-1。事实上，\（\mathcal{C}\）由行列式的水平集进行分层，这些水平集的叶子是等距的\（\mathcal{D}\）此描述类似于H.L.Resnikoff在[5]，未考虑代数状态密度矩阵的特定作用\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）.

4.2克莱因几何\（{\mathcal{L}}^{+}\）

双曲几何的另一个经典结果表明，投影

$$\varpi_{1}:\mathcal{左}_{1} \longrightarrow\{\alpha=1\}$$

(58)

由定义

$$\varpi_{1}（\alpha+\mathbf{v}）=（1+x）$$

(59)

具有\（x=x_{1} e（电子）_{1} +x个_{2} e（电子）_{2}\)和

$$x{i}=\frac{v{i}}{\alpha}$$

(60)

对于\（i=1,2），是水平集之间的等距\（\mathcal{左}_{1}\)和Klein盘\（\mathcal{K}\），其黎曼度量由

$$ds美元^{2}_{\mathcal{K}}=\frac{（dx{1}）^{2}+（dx}2}）#{2}{1-（x{1{^}2}+x{2}^{2{）}+\frac}（x{1\，dx{1'+x{2]，dx{2}）^{2}}$$

(61)

参见[43]. 之间的等距\（\mathcal{K}\）和\（\mathcal{D}\）由定义

$$开始{aligned}&x{i}=\frac{2w{i}}{1+（w{1}^{2}+w{2}^{2]）}，结束{aligned}$$

(62)

$$开始{aligned}&w{i}=\frac{x{i}}{1+\sqrt{1-（x{1}^{2}+x{2}^{2]）}}\end{aligned}$$

(63)

对于\（i=1,2）换句话说，我们有以下等距的交换图：

(64)

让我们回顾一下，我们考虑的量子系统的状态密度矩阵可以用元素来标识

$$a=（1+\mathbf{v}）/2$$

(65)

自旋因子的\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\）具有\（\Vert{\mathbf{v}}\Vert\leq1\）。让我们用表示

$$\varpi_{1/2}:\mathcal{左}_{1/2}=\bigl\{a=（\alpha+\mathbf{v}）/2，\alpha>0，a\cdot a=1/4\bigr\}\longrightarrow\{\alpha=1/2\}$$

(66)

投影由

$$\varpi_{1/2}\bigl（（\alpha+\mathbf{v}）/2\bigr）=（1+\mat血红蛋白{v}/\alpha）/2$$

(67)

我们有

$$\varpi_{1/2}\bigl（（\alpha+\mathbf{v}）/2\bigr）=\varpi_1}（\alfa+\mathbf{v{）/2$$

(68)

这意味着地图

$$\varphi:\mathcal{K}\longmapsto\mathcal{克}_{1/2} , $$

(69)

由定义

$$\varphi（x{1}，x{2}）=（x{1'，x{2]）/2$$

(70)

是一个等距\（\mathcal{K}\）和

$$\马塔尔{克}_{1/2}=\bigl\{x/2\in\mathbb{R}^{2}，\Vert x\Vert^{2{<1\bigr\}$$

(71)

后者的黎曼度量由下式给出

$$ds美元^{2}_{\马塔尔{克}_｛1/2｝｝＝\bigl（\varphi^｛-1｝\bigr）^｛*｝\，ds^{2}_{\mathcal{K}}=\frac{（dx{1}）^{2}+（dx}2}）#{2}{1/4-（x{1{1}^{2{2}^{2}）}+\frac}（x{1}，dx{1{1}+x{2}，，dx}2}^{2}））^{2{}$$

(72)

可以验证一下\（\mathcal{L}^{+}\）被水平集叶片化\（\alpha=\mathrm{常量}\）叶片与克莱因圆盘等距\（\mathcal{K}\）这种描述比上述描述更适合于描述从真实量子态中感知到的颜色，因为状态空间\（\mathcal{S}\）自然嵌入\（上划线{\mathcal{L}^{+}}\），请参阅(76)下面。

4.3Klein和Hilbert度量

作为部门讨论的介绍。 7.2和7.3，让我们回顾一下有关克莱因盘几何形状的一些基本事实。与庞加莱圆盘相反\（\mathcal{K}\）是直线，更准确地说是单位圆盘的和弦。克莱因度量的一个重要特征是，它与希尔伯特度量一致，定义如下。让第页和q个是磁盘的两个内部点，让第页和秒是磁盘边界的两点，因此该段\（[r，s]\）包含段\（[p，q]\）.之间的希尔伯特距离第页和q个由定义

$$d_{H}（p，q）=\frac{1}{2}\log[r，p，q，s]$$

(73)

哪里

$$[r，p，q，s]=\frac{\Vertq-r\Vert}{\Vert-p-r\Vert}\times\frac{\Vert p-s\Vert}}{\Vert q-s\Vert{$$

(74)

是四个点的交比第页，第页，q个、和秒[44]（英寸(74),\（\Vert\cdot\Vert\）是欧几里德规范）。

5感知颜色和色彩状态

我们描述了空间\（\数学｛P｝\）根据唯一的假设\（\mathcal{P}\）可以从以Jordan代数为特征的量子系统的状态空间来描述\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）如前所述，我们利用了以下事实\（\mathcal｛H｝（2，\mathbb｛R｝）\）与自旋因子同构\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\）让我们回顾一下，这一描述并不涉及任何物理颜色或观察者。

5.1感知颜色作为量子测量

状态空间\（\mathcal{S}\）是嵌入状态密度矩阵空间的单位圆盘

$$s=（v{1}，v{2}）\longmapsto\rho$$

(75)

在Klein磁盘中\（\mathcal{克}_｛1/2｝\）关闭的时间\（上划线{\mathcal{L}^{+}}\）未来的光锥\（\mathcal{L}^{+}\）通过

$$s=（v{1}，v{2}）\longmapsto\frac{1}{2}（1+\mathbf{v}）=1/2+（v{1'，v{2/2）$$

（76）

为了描述感知的颜色，即测量的颜色，有必要描述可以在状态上执行的所有可能的测量。这里我们采用广义概率论的观点[45]. 例如，读者可以参考[46，47]、和[48]有关相关主题的更多信息。

我们用表示\（\mathcal{C}（\mathcal{S}）\）由定义的状态锥

$$\mathcal{C}（\mathcal{S}）=\left\{\alpha\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\1\end{pmatricx}，\alpha\ geq 0，S=（v_{1'，v_{2]）\in\mathcali{S}\right\}$$

(77)

这个锥是自对偶的，也就是说，

$$\mathcal{C}（\mathca{S}）=\mathcal{C}^{*}（\ mathcal}S}$$

(78)

哪里\（\langle\cdot，\cdot\langle\）表示的内积\（\mathcal{A}\）由提供(12). 根据定义，效果是一个元素e（电子）属于\（\mathcal{C}^{*}（\mathcal{S}）\）这样的话\（e（s）\leq 1）为所有人秒在里面\（\mathcal{S}\）.这样的效果e（电子）可以看作一个仿射函数\（e:\mathcal{S}\longrightarrow[0,1]\）具有\（0\leq e（s）\leq 1）为所有人秒它是为所有状态分配概率的最通用方法。效应对应于积极的经营者价值测量。它们也对应于非负对称矩阵。事实上，圆锥体\（\mathcal{C}（\mathcal{S}）\）是代数的正域\（\mathcal{A}\）.考虑\（\mathcal{A}\）作为代数\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\），这意味着e（电子）是一个对称矩阵，因此\（\langle e，f\rangle=\operatorname{Trace}（ef）\geq 0\）对于所有非负对称矩阵（f）为了验证e（电子）是非负的，让我们假设情况并非如此，因此e（电子）为负，对应的特征向量表示为w个然后可以检查产品的痕迹\（e \mathbf{w}{\mathbf{w}}^{t}\）为负值。这与矩阵矛盾\（f=\mathbf{w}{\mathbf{w}}^{t}\）对称且非负。

在当前设置中，每个效果都由一个向量给出\（e=（a_｛1｝，a_｛2｝，a_｛3｝）\）这样的话

$$0\leqe\cdot\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\1\end{pmatricx}\leq1$$

(79)

为所有人\（s=（v{1}，v{2}）\）在里面\（\mathcal{S}\）.与之相关的测量效果e（电子）是操作员

$$E=a_｛3｝\，\mathrm{Id}_{2} +a{1}\西格玛{1}+a{2}\西格玛{2}$$

(80)

必须满足\（0\leq E\leq\mathrm{Id}_{2}\)最后一个条件意味着\（0\leqa{3}\leq1\），使用\（a{1}^{2}+a{2}^{2\leqa{3}^{2]）和\（a{1}^{2}+a{2}^{2}\leq（1-a{3}）^{2）。我们表示为\（\mathcal{E}（\mathcal{S}）\）的效果空间\（\mathcal{S}\），即上的所有效果集\（\mathcal{S}\）如第节所述。 7.1，该空间似乎与图4.11所示的“双锥”一致[17]第123页。注意，所谓的单位效应，\（e_{1}=（0,0,1）\），满足\（e_{1}=1\）为所有人秒在里面\（\mathcal{S}\）.

5.2比色定义

感知到的颜色\（c=（a{1}，a{2}，a{3}）\）根据定义是对\（\mathcal{S}\），即效果空间的元素\（\mathcal{E}（\mathcal{S}）\）.自\（\mathcal｛C｝（\mathcal｛S｝）=\mathcal｛C｝^｛*｝（\mathcal｛S｝）\），可感知的颜色c（c）是状态锥的元素\（\mathcal{S}\），这一个是结束\（上划线{\mathcal{L}^{+}}\）未来的光锥\（\数学｛L｝^｛+｝\）.元素\（c/（2a{3}）=（a{1}/2a{3{，a{2}/2a}3}，1/2）\），\（a{3}\neq 0），属于克莱因圆盘\（\mathcal{克}_{1/2}\)属于\（上划线{\mathcal{L}^{+}}\）。这建议定义c（c）如下：

• 真实的\（a{3}\），使用\（0\leqa{3}\leq1\），是感知颜色的大小c（c）.

• 元素\（s{c}=（a{1}/a{3}，a{2}/a{3}）是的彩色状态c（c）.

• 具有单位色度状态的感知颜色是纯感知颜色。

• 感知颜色的饱和度c（c）由其色态的Von Neumann熵给出。

• 颜色状态为最大熵状态的感知颜色是非彩色的。

给定一个状态\（（（v_{1}，v_{2}）\in\mathcal{S}\），将此状态作为彩色状态的感知颜色形成交集

$$c_{s}=\mathcal{E}（\mathcal{s}）\cap\left\{\begin{pmatrix}_{3} v（v）_{1} \\a个_{3} 五_{2} \\a_{3}\end{pmatrix}，0\leq a_{3}\leq 1\right\}$$

(81)

感知颜色的最大值\（c=（a{1}，a{2}，a{3}）\）是

$$开始{pmatrix}a{1}\\a{2}\\a{3}\end{pmatriax}\cdot\begin{pmatricx}a}/a{3}\\a}2}/a{3+\\1\end{pmmatrix}=\frac{a{1{1}^{2}+a{2{2}}{a{3{}+a}{3}r^{2}\biger）$$

(82)

具有\（r^{2}=（a{1}^{2{+a{2}^{2]）/a{3}^{2\）。我们一定有

$$0\leqr^{2}\leq\frac{1-a{3}}{a{3{}\leq 1$$

(83)

如果\（0<a{3}<1/2）感知颜色的度量\（c=（a{1}，a{2}，a{3}）\）关于它的色态\（（a_｛1｝/au｛3｝，a_｛2｝/au｛3｝）\）给出了概率\（a{3}（1+r^{2}）\），这是一个很好的定义\（0<r \leq 1）特别是，以最大概率测量纯感知颜色\（2a{3}\）在这种情况下，幅度不够高，无法进行概率为1的测量，并且感知到的颜色被低估了。

如果\（a{3}=1/2\）感知颜色的度量\（c=（a{1}，a{2}，1/2）\）关于它的色态\（（2a{1}，2a{2}）给出了概率\（（1+r^{2}）/2\）.这个概率对所有人都有明确的定义\（0<r \leq 1）.它是最大的，等于1，当且仅当c（c）是一种纯粹的感知颜色。在这种情况下，感知到的颜色是理想的估计值。

如果\（1/2<a{3}<1）感知颜色的度量\（c=（a{1}，a{2}，a{3}）\）关于它的色态\（（（a{1}/a{3}，a{2}/a{3}）\）给出了概率\（a_｛3｝（1+r ^｛2｝）\）.此概率定义明确，当且仅当方程式(83)感到满意。特别是，纯粹的感知颜色无法根据其色度状态进行测量。例如，如果\（a{3}=2/3），然后第页应小于或等于\（\sqrt{2}/2\）和色度状态为范数的感知颜色\（\sqrt{2}/2\）概率为1。在这种情况下，感知到的颜色被高估了。

非彩色感知颜色\（c=（0,0，a_｛3｝）\）在色态上测量给出概率\（a{3}\）这与所考虑的色态无关。这种感知颜色不考虑色度。单位感知颜色\（c=e_{1}\）是饱和的非彩色感知颜色。

6群体行动和同质性

如前所述，Resnikoff的工作基于这样一个事实，即应该存在一个线性组在感知颜色的空间上起传递作用[5，9]. 这组元素应该是背景光的变化。到目前为止，我们还没有考虑到这种行为来获得我们所建议的感知颜色空间的描述。本节主要致力于说明从上述量子动力学出发，可以通过洛伦兹增强映射来表征照明变化。我们将在门派中看到。 7.2如何将我们的结果与H.Yilmaz的结果联系起来[14，15]。

6.1关于特殊洛伦兹群的回忆

让我们首先回顾一下特殊的洛伦兹小组\（\operatorname{SO}^{+}（1,2）\）是组的标识组件\（O（1,2）\）后者是保持二次型的矩阵李群

$$\bigl\Vert（\alpha+\mathbf{v}）\bigr\Vert_{\mathcal{M}}=\alpha^{2}-\Vert{\mathbf{v}}\Vert^{2}$$

(84)

哪里\（（\alpha+\mathbf{v}）\）属于自旋因子\（\mathbb{R}\oplus\mathbb}R}^{2}\）事实上\（\operatorname{SO}^{+}（1,2）\）线性作用于\（\mathcal{L}^{+}\）意味着它在\（\mathcal{L}^{+}\）从而在克莱因圆盘的点上\（\mathcal{克}_{1/2}\)[49]. 此外，这个投射作用给出了\（\mathcal{克}_{1/2}\).

的子组\（\operatorname{SO}^{+}（1,2）\）可以修复$(1+0)$可以用旋转组来识别\（\operatorname{SO}（2）\），实际上每个元素克属于\（\operatorname{SO}^{+}（1,2）\）可以按照以下独特的方式进行分解[50]:

$$g＝b_｛\zeta｝r_｛\xi｝$$

(85)

哪里\（b_{\zeta}\）是增强图\（r{\xi}\）是正确的旋转。更准确地说，如果我们考虑坐标\（（\alpha，v_{1}，v_{2}）\）在里面\（\mathcal{L}^{+}\），与关联的矩阵\（b_{\zeta}\）由给定

$$M（b_{\zeta}）=\begin{pmatrix}\cosh（\zeta_{0}）&\zeta_{x}\sinh（\zeta _{0{）&\ zeta _{y}\sinh（\ zeta _}）y}（\cosh（\zeta{0}）-1）\\zeta{y}\sinh（\zeta{0}）&\ zeta{x}\zeta}y}-1） \结束{pmatrix}$$

(86)

哪里\（（泽塔{x}，泽塔{y}）是的单位向量\（\mathbb{R}^{2}\）和\（\泽塔{0}\）就是提升的速度。需要注意的是，提升集不是特殊洛伦兹群的一个子群。与关联的矩阵\（r{\xi}\）由给定

$$M（r_{\xi}）=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\xi&-\sin\xi\\0&\sin\xi&\cos\xi\end{pmatricx}$$

(87)

为了说明助推器的投射作用\（b_{\zeta}\）在Klein磁盘上\（\mathcal{克}_{1/2}\)，让我们考虑一个简单的例子（更复杂的计算在一般情况下会给出类似的结果）。我们选择\（泽塔{x}=1\），\（泽塔{y}=0\），并表示\（\overline{\zeta}=\tanh（\zeta_{0}）\）.图像\（（α，w{1}，w{2}）向量的\（（1/2，\cos\theta/2，\sin\ theta/2））由给定

$$\textstyle\begin{cases}2\alpha=\cosh（\zeta_{0}）+\sinh（\ze塔_{0{）\cos\theta，\\2w_{1}=\sinh。\结束{cases}$$

（88）

这意味着边界点的图像\（（\cos\theta/2，\sin\ theta/2））是边界点\（（v{1}，v{2}）\）具有

$$\textstyle\begin{cases}2v{1}=\frac{\overline{\zeta}+\cos\theta}{1+\overline{\zeta}\cos\ theta}，\\2v{2}=\ frac{（1-\ overline}\zeta{^{2}）^{1/2}\sin\theta}{1+\overrine{\zeta}\cos\theta{。\结束{cases}$$

(89)

人们可能会注意到发送点的地图\（（\ cos \ theta/2，\ sin \ theta/2）\）切中要害\（（v{1}，v{2}）\）是组中的一个元素\（\operatorname{PSL}（2，\mathbb{R}）\）.转型(89)将在Section中使用。 7.2将伊尔马兹第三次实验解释为相对论像差效应的比色模拟。

6.2洛伦兹boosts的纯态和单参数子群

升压映射作用于纯态的事实\（\运算符名称｛PSL｝（2，\mathbb｛R｝）\）从以下结果来看，转换并不奇怪。²

提案4

每一个纯态都会产生一个-boost的参数子群.

证明

如前所述，纯态的状态密度矩阵由下式给出

$$\rho（v{1}，v{2}）=\frac{1}{2]（\mathrm{Id}_{2} +\mathbf{v}\cdot\sigma）$$

(90)

哪里\（\mathbf{v}=（v{1}，v{2}）\）是单位向量\（σ=（σ{1}，σ{2}）.矩阵\（西格玛{1}）和\（西格玛{2}）是对称的无迹矩阵，通常被选为李代数的前两个生成元\（\operatorname{sl}（2，\mathbb{R}）\）组的\（\operatorname{SL}（2，\mathbb{R}）\）注意，它们不会生成\（\operatorname{sl}（2，\mathbb{R}）\）.矩阵

$$A（\rho，\zeta_{0}）=\exp\biggl（\zeta_{0}\frac{\mathbf{v}\cdot\sigma}{2}\biggr）$$

(91)

是的对称元素\（\operatorname{PSL}（2，\mathbb{R}）\），\（\泽塔{0}\）成为一个真实的参数。让我们回顾一下\（\operatorname{PSL}（2，\mathbb{R}）\）上的操作\（\mathcal｛H｝（2，\mathbb｛R｝）\）由定义

$$X\longmapsto-AXA^{t}$$

(92)

我们很清楚\（\operatorname{Det}（AXA^{t}）=\operator name{Det}（X）\）.自\（西格玛{1}）和\（西格玛{2}）是的元素\（\mathcal｛H｝（2，\mathbb｛R｝）\），我们可以考虑下面给出的矩阵

$$\sigma_{i}\longmapsto A（\rho，\zeta_{0}）\sigma_{i} A类（\rho，\zeta{0}）$$

(93)

对于\（i=0,1,2），使用\（\sigma_{0}=\mathrm{Id}_{2}\)可以看出\（3乘以3）系数矩阵

$$M（\rho，\zeta_{0}）_{ij}=\frac{1}{2}{\operatorname{Trace}}\bigl（\sigma_{i} A类（\rho，\zeta{0}）\sigma_{j} A类（\rho，\zeta_{0}）\biger）$$

(94)

是一种促进\（b_{\zeta}\）具有\（泽塔=\tanh（泽塔{0}）（v{1}，v{2}）。让我们用一个简单的例子进行验证，其中\（v{1}=1\）和\（v{2}=0\）在这种情况下，

$$A（\rho，\zeta_{0}）=\exp\biggl（\zeta_{0}\frac{v_{1}\sigma_{1}}{2}\biggr）=\exp\biggl（\zeta _{0{\frac}\simma_{1{2}\ biggr \结束{pmatrix}$$

(95)

我们只需要计算系数\（B（\西格玛，\ζ_｛0｝）_｛i，j｝\）对于\（i \leq j）.我们有

$$\textstyle\begin{cases}M（\sigma，\zeta_{0}）_{00}=\frac{1}{2}\operatorname{Trace}（A^{2}（\rho，\zeta _{0{））=\cosh（\zeta _{0}），\\M（\sigma，\ zeta _}）_{01}=\frac{1}{2}\ operatorname_{1} A类（\rho，\zeta_{0}））=\sinh（\zeta_0}），\\M_{2} A类（\ rho，\ zeta _｛0｝））=0，\\M（\ sigma，\ zeta _｛0｝）_｛11｝=\ frac｛1｝｛2｝\ operatorname｛Trace｝（\ sigma _｛1｝A（\ rho，\ zeta _｛0｝）\ sigma_{1} A类（\rho，\zeta_{0}））=\cosh（\zeta_0}），\\M（\sigma，\zeta _{0{）_{12}=\frac{1}{2}\operatorname{Trace}（\simma_{1} A类（\rho，\zeta{0}）\sigma_{2} A类（\rho，\zeta_{0}））=0，\\M（\sigma，\zeta _{0{）_{22}=\frac{1}{2}\operatorname{Trace}（\simma_{2} 一个（\rho，\zeta{0}）\sigma_{2} A类（\rho，\zeta{0}））=1。\结束{cases}$$

（96）

这意味着\（M（\rho，\zeta_{0}）=M（b_{\zeta}）具有\（泽塔=坦（泽塔{0}）（1,0），参见方程式(86).□

可以很容易地验证矢量的图像$(1/2,0,0)$属于\（\mathcal{L}^{+}\）通过助推\（b{\zeta}=tanh（\zeta{0}）（1,0）是矢量\（（\cosh（\zeta_{0}）/2，\sinh（\ze塔_{0{）/2,0）\）因此，最大熵的状态\（\rho_{0}=（0,0）\）发送到州\（（\塔纳（\泽塔{0}）/2,0）\）这延伸到了一般的提升。

我们可以用以下方式总结这些计算。如前所述，我们考虑状态空间\（\mathcal{S}\）作为Klein磁盘\（\mathcal{克}_{1/2}\)关闭的时间\（\overline｛\mathcal｛L｝^｛+｝｝\）未来的光锥\（\mathcal{L}^{+}\）通过使用地图

$$s=（v{1}，v{2}）\longmapsto\frac{1}{2}（1+\mathbf{v}）=1/2+（v{1'，v{2/2）$$

（97）

每一个纯态ρ生成一个boost的单参数子群，参数\（\泽塔{0}\）就是速度。事实上，每一次提升都可以通过这种方式获得。Boost映射作用于Klein磁盘\（\mathcal{克}_{1/2}\)通过等距。如果我们考虑\（\mathcal{S}\）作为嵌入状态密度矩阵空间的

$$s=（v{1}，v{2}）\longmapsto\rho（v{1'，v{2]）=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+v{1{2}&v{2{3}&1-v{1neneneep \end{pmatricx}$$

(98)

通过考虑\（\operatorname{PSL}（2，\mathbb{R}）\）在\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）。重要的是要注意，我们只使用矩阵\（\西格玛{0}\），\（西格玛{1}）、和\（西格玛{2}），即仅来自\（\mathcal{S}\）由于每个状态都可以从最大熵、boosts或等效纯态的状态中获得，因此传递作用于S公司然而，必须注意的是，boost映射并没有形成特殊Lorentz群的一个子群，这反映在以下事实上\（西格玛{1}）和\（西格玛{2}）不构成李代数的子李代数\（\operatorname{sl}（2，\mathbb{R}）\）.

6.3关于同质性

这种观点与[5]. 如引言中所述，并在[9]，H.L.Resnikoff的关键论点之一是所指群的传递作用的存在\（\operatorname{GL}（\mathcal{P}）\）在空间上\（\mathcal{P}\）感知颜色。这个组应该由背景照明的所有线性变化组成。在前面的内容中，我们利用了\（\operatorname{PSL}（2，\mathbb{R}）\）在\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\），请参阅(92). 但是矩阵\（A（\rho，\zeta _｛0｝）\）属于\（\operatorname{PSL}（2，\mathbb{R}）\）使用的也是对称的，因为\（西格玛{1}）和\（西格玛{2}）是对称的。实际上，动作(92)也可以视为动作

$$X\longmapsto-AXA$$

(99)

约旦代数\（\mathcal{H}（2，\mathbb{R}）\）自身。这正是行动

$$Q（A）:X\longmapsto\bigl（2L（A）^{2} -左\bigl（A^{2}\biger）\bigr）X$$

（100）

的二次表示一个在X（X）[10]. 但再一次，矩阵X（X）我们认为是\（\西格玛{0}\），\（西格玛{1}）、和\（西格玛{2}）.矩阵\（西格玛{1}）和\（\西格玛_｛2｝\）不是正锥体的元素\（\mathcal｛H｝^｛+｝（2，\mathbb｛R｝）\）因此\（\mathcal{H}^{+}（2，\mathbb{R}）\）在我们的方法中并不那么重要。我们没有假设背景照明存在一组线性变化，而是表明我们提出的量子描述自然会导致将增强图视为照明变化。这些照明变化是克莱因圆盘的等距图\（\mathcal{克}_{1/2}\).

7后果和观点

我们现在讨论一些关于颜色感知结果的结果和观点。

7.1颜色的神经编码与Hering重唱

D.H.克兰茨在[51]Hering的颜色对抗机制[52]如下：“E.Hering指出，颜色可以分为红色或绿色，也可以两者都不分，但红色和绿色并不是一种颜色的同时属性。如果我们在红光中加入越来越多的绿光，混合物的红色就会减少、消失，并让位给绿色。在红色消失而绿色消失的时候颜色可能是黄色、蓝色或无色的。我们所说的是关于红/绿的部分色彩平衡……同样，黄色和蓝色被认为是对立色调……”

让我们重命名\（|g\rangle=|u{1}\rangle\），\（|r\rangle=|d_{1}\rangle\），\（|b\rangle=|u{2}\rangle\）、和\（|y\rangle=|d_{2}\rangle\）作为描述重新比特的四个状态向量。对抗机制由两个矩阵给出\（西格玛{1}）和\（西格玛{2}）更准确地说，状态向量

$$\bigl|（1，\theta）\bigr\rangle=\cos（\theta/2）\vert g\rangle+\sin（\theta/2）\verst r\rangle$$

(101)

满足

$$\bigl\langle（1，\ theta）\bigr\vert\sigma_{1}\bigl\ vert（1，\theta）\ bigr\rangle=\cos\theta，\qquad\bigl\langle（1，\theta）\ bigr\vert_sigma_2}\bigr\ vert$$

(102)

这意味着如果\（\cos\theta>0\）然后是纯色态\（s（θ））带坐标的Bloch圆盘θ是绿色的，如果\（\cos\theta<0），然后\（s（θ）\）是红色的。对于\（θ=\pi/2\），或\（θ=3\pi/2\），\（s（θ））在对边的绿色/红色中是无色的。同样，如果sinθ是肯定的，那么\（s（θ）\）是蓝色的，如果罪恶θ是负数，那么\（s（θ））呈黄色。对于\（θ=0），或\（θ=π），\（s（θ））在蓝色/黄色对立面中是消色差的。例如，“红色和绿色不同时是一种颜色的属性”这一现象是以下事实的一个微不足道的结果：\（langle（1，theta）|\sigma_{1}|（1，\theta）\rangle）不能同时为正数和负数。

我们提出的对立性的数学描述似乎与颜色神经编码的生理机制有关[16]和[17]. 这些机制涉及三种不同的受体类型（L、M和S锥）以及光谱上的对手和非对手相互作用。后者发生在加工管道的更高水平上，主要是由于神经节和外侧膝状体核细胞的活动率[53，54]. 大致来说，颜色信息是通过检测和放大不同受体类型输出之间的差异而获得的。

神经节细胞从双极和无长突细胞获得输入，并通过神经节轴突将信息传递到外侧膝状体核。大多数神经节细胞是在中心和外围的，这意味着如果光落在其感受野的中心，它们就会被激活，如果光落到其感受野周围，它们就会受到抑制。也存在离中心和周围神经节细胞。其中一种区分了两种频谱上的对手交互。第一个是由位于中央凹的侏儒神经节细胞的活动率给出的。当L锥体和M锥体的光谱灵敏度差异最大时，这些细胞激发。这种机制产生L-M和M-L光谱对立[53]. 第二种类型是由双层神经节细胞的活动速率决定的[54]. 当S锥的光谱灵敏度与L锥和M锥的光谱敏感性之间的差异最大时，这些细胞就会激发。第二种机制产生S-（L+M）和（L+M-）-S光谱对立。除了光谱上的对手相互作用外，还存在一种光谱上的非对手相互作用，这是由阳伞神经节细胞的活动速率给出的。这些单元格基本上携带L+M和-（L+M）信息。

总结如下[17]因此，皮层前视觉系统中的两种主要神经交互作用是由于四种光谱上的对手细胞，^三R-G、G-R、B-Y和Y-B，以及两个光谱非对手细胞Bl和Wh。感知颜色的色调由四种光谱对手细胞类型之间的活动速率、光谱非对手细胞的两种活动速率决定的亮度以及对手细胞和非对手细胞相对速率决定的饱和度决定。这一描述与我们的结果明显一致。如前所述[17]，图4.11，第123页，正是Sect。 3.2。这证明了术语的合理性Hering的rebit这也表明，只有两个相反方向的重唱，可能与与感知有关的非物理现象模型有关。

由此看来，我们提出的量子模型允许从唯一的三色性公理开始公理化地恢复，即色纯态，即色调，是由一对类似于rebit的两个自旋上下反转的分裂所给出的，牛顿的颜色理论分析了介质中的光线，但对真理更为敏感的歌德和叔本华认为颜色是人眼的两极分裂[55]（另请参见[56]和[57]).

7.2从三色公理看伊尔马兹颜色知觉的相对性

Yilmaz捐款[14]和[15]致力于从三个基本实验推导相对论洛伦兹变换的比色类似物。第一个实验应该表明颜色感知是一种相对论现象；第二个证明了在光照变化下存在极限饱和不变量；第三个是显示相对论像差效应存在色度模拟[58]. 这些实验涉及两个不同房间的观察者，他们根据光源的变化进行颜色匹配。特别是，对第三个实验的解释对于变换的推导至关重要，因为它避免了引入一个感知不变的二次型，而这种二次型的存在很难从实验上证明。⁴

我们的目的是解释如何只用三色性公理来恢复结果和解释第三个实验。读者将在即将发表的论文中找到更完整和详细的阐述[59]. 我们已经在门派中展示了。 6如何从三色性公理得到洛伦兹增强映射时光源变化的表达式。我们还描述了这些变换在克莱因盘上的投影作用\（\mathcal{克}_{1/2}\)在我们感兴趣的特定案例中，请参阅(89).

转型中(89)，点的图像\（\overline{R}=（1/2,0）\）就是重点\（\overline{R}'=\overline{R}=（1/2,0）\）（我们使用[15]). 因此，这一点保持不变。点的图像\（\上一行{Y}=（0,1/2）\）就是重点\（\overline{Y}'=（\overrine{zeta}/2，（1-\overline{zeta}^{2}）^{1/2}/2）\）以及要点Y̅在边界上移动，角度ϕ，在中报告的[15]，第12页，由给出\（\ sin \ phi=\ overline｛\ zeta｝\）.当快速\（\泽塔{0}\）增加，ζ̅方法1和要点\（（\overline｛\zeta｝，（1-\overline｛\zeta｝^｛2｝）^｛1/2｝）/2\）接近要点$(1,0)/2$.达到极限\（\overline{\zeta}=1\），每个点\（（（cos\theta，\sin\ theta）/2\）被发送到点$(1,0)/2$，除了点$(-1,0)/2$这意味着，在洛伦兹增强下，除了绿色纯色态外，如果快速性\（\泽塔{0}\）非常棒。为了解释Yilmaz第三次实验的结果，请注意\（v{1}\）英寸(89)是光线从非彩色状态到彩色状态图像的角度的余弦\（（（cos\theta，\sin\ theta）/2\）在初始光源下观察我，而

$$\上一行{v}（v）_{1} =\frac{-\overline{\zeta}+\cos\theta}{1-\overline{\zeta}\cos\theta}$$

(103)

是光线从非彩色状态到彩色状态图像的角度的余弦\（（（cos\theta，\sin\ theta）/2\）在光源下观察\（I’\）.因此，在光源下\（I’\），预期的黄色色状态由\（θ=\pi/2\）实际上是由\（\cos\theta=-\tanh（\ζ_｛0｝）\）.

我们已经在门派中说过了。 4.3双曲线Klein度量\（\mathcal{克}_{1/2}\)由希尔伯特度量给出。相对论观点可以更好地理解后者的相关性。首先可以证明色向量满足爱因斯坦-庞加莱加法定律的色度模拟。更准确地说，考虑到感知到的颜色c（c）和d日带彩色向量\（\mathbf）{v}（v）_{c} =（v_{c}，0）\）和\（\mathbf）{v}（v）_{d} =（v_{d}，0）\），色向量\（\mathbf{v}^{c}_{d} =（v）^{c}_{d} ，0）\）描述感知到的颜色c（c）关于d日满足[59]

$${\mathbf{v}}_{c}=\frac{\mat血红蛋白{v}^{c}_{d} +\mathbf{v}（v）_{d} {1+4{\mathbf{v}}^{c}_{d} {\mathbf{v}}{d}}$$

(104)

然后，这个加法律可以和希尔伯特度量的不变性联系起来。它已在中得到证明[59]那个

$$d_{H}\bigl（\mathbf{0}，\mathbf{v}^{c}_{d} \bigr）=d_{H}（\mathbf{v}（v）_{d} ，\mathbf{v}（v）_{c} ）\quad\iff\quad_{mathbf{v}}{c}=\frac{mathbf{v}^{c}_{d} +\mathbf{v}（v）_{d} {1+4{\mathbf{v}}^{c}_{d} ｛\mathbf｛v｝｝_｛d｝｝$$

(105)

最后一个等价表示了希尔伯特度量关于照明变化的恒常性。

7.3关于MacAdam椭圆和Hilbert度量

希尔伯特度量实际上定义在每个凸集上Ω并且总是芬斯勒度量⁵[60，61]，其非对称范数由下式给出

$$\Vert{\mathbf{v}}\Vert_{p}=\frac{1}{2}\biggl（\frac}1}{\Vert-p-p^{-}\Vert}+\fracc{1{\Vert p-p^}{+}\Vert}\bigr）\ Vert{\ mathbf}v}}\ Vert$$

(106)

哪里\（p\in\varOmega\）和\（p^{\pm}\）是与边界的交点∂Ω中定向线的Ω由向量定义v（v）欧几里德范数\（\Vert｛\mathbf｛v｝｝\Vert\）基于点第页众所周知，这个芬斯勒度量是黎曼的当且仅当边界∂Ω是一个椭圆。

我们所描述的感知色彩空间是一个理想的空间，它不涉及人类观察者的特定特征。通过凸子集来描述每个人类观察者的颜色感知能力是很自然的Ω状态空间的\（\mathcal{S}\），或等效于Klein圆盘\（\mathcal{克}_{1/2}\)，具有希尔伯特距离给出的芬斯勒度量。这个凸子集Ω在某种意义上是由于观测者感知的限制而对理想色状态空间的限制。正在进行的工作致力于为每个观测者识别凸子集Ω通过比较芬斯勒公制的球体和观察者绘制的麦克亚当椭圆[62]，看起来很相似。

让我们也提一下，感知颜色的可辨性问题让人想起量子态的可辨问题[63，64]。

7.4上下文和开放量子系统

值得注意的是，我们的研究没有考虑到诸如亥姆霍兹-科尔拉什现象等各种众所周知的颜色感知现象中所涉及的所谓语境效应，例如空间语境效应[7，65]. 这对应于这样一个事实，即rebit的量子系统是封闭的，即与环境没有相互作用。相反，开放量子系统可能作为更大系统的一部分与其他量子系统相互作用[66]. 初始状态空间（即密度矩阵空间）的最终修改可以用线性、跟踪保护、完全正映射来描述[67]. 人们可以设想用这种机制解释上述现象。

E.Provenzi在《》中提出了一种基于纤维束和连接的非局部理论的处理上下文效应的替代方法[68]。

最后，我们的工作可以在更广泛的新兴研究领域中重铸，其目标是从量子理论中模拟一般的感知和认知现象，例如[69]或[70]。