Toward uncertain finance theory

Liu, Baoding

doi:10.1186/2195-5468-1-1

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出版：2013年4月24日

走向不确定性金融理论

刘保定¹

不确定性分析与应用杂志 体积 1，物品编号：1(2013)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

本文首先介绍了随机金融理论的一个悖论，它表明实际股票价格不可能遵循任何伊藤的随机微分方程。本文在综述了不确定性理论、不确定性过程、不确定性微积分和不确定性微分方程的基础上，讨论了不确定微分方程在金融市场中的一些可能应用。最后，建议在不确定性理论和不确定性微分方程的基础上发展一种新的不确定性金融理论。

审查

当没有可用的样本来估计概率分布时，我们必须邀请一些领域专家来评估他们对每个事件将发生的信心程度。也许有些人认为个人信仰程度是主观概率或模糊概念。然而，刘[1]声明这是不合适的，因为概率论和模糊集理论在这种情况下都可能导致违反直觉的结果。为了合理地处理置信度，刘建立了不确定性理论[2]并随后被许多学者研究。如今，不确定性理论已成为公理化数学的一个分支，用于建模人类的不确定性。

基于不确定性理论，刘给出了不确定性过程的概念[三]作为按时间索引的不确定变量序列。此外，刘也提出了不确定积分的概念[三]为了将不确定过程与规范过程相结合。此外，刘[4]通过不确定微积分的基本定理重铸他的作品，从而产生了链式规则、变量变换和分部积分的技术。从那时起，不确定演算理论得到了很好的发展。

在刘提出不确定微分方程之后[三]作为一个涉及不确定过程的微分方程，Chen和Liu证明了一个不确定微分方程解的存在唯一性定理[5]在线性增长条件和Lipschitz连续条件下。高再次验证了该定理[6]在局部线性增长条件和局部Lipschitz连续条件下。为了解不确定微分方程，Chen和Liu[5]得到了线性不确定微分方程的解析解。此外，刘[7]提出了求解某些特殊类型非线性不确定微分方程的谱分析方法。更重要的是，姚明和陈[8]证明了一个不确定微分方程的解可以用一组常微分方程的解法来表示，从而将不确定性微分方程与常微分方程联系起来。在姚-陈公式的基础上，姚和陈还设计了一种数值方法[8]用于求解一般不确定微分方程。此外，姚明[9]给出了不确定微分方程解的极值、初值时间和积分的计算公式。

不确定微分方程是刘首先引入金融领域的[4]其中提出了不确定股票模型，并记录了欧洲期权价格公式。此外，陈[10]推导了这类不确定股票模型的美式期权价格公式。此外，彭和姚[11]提出了不同的不确定股票模型，并得到了相应的期权价格公式[12]提出了一个带有跳跃的不确定股票模型。刘和陈也使用不确定微分方程来模拟不确定的货币市场[13]其中提出了一个不确定的货币模型。Chen和Gao使用不确定微分方程模拟利率[14]提出了一个不确定利率模型。在此模型的基础上，还得出了零息债券的价格。朱将不确定微分方程应用于最优控制[15]其中，朱的最优性方程被证明是不确定最优控制模型极值的必要条件。

本文首先介绍了随机金融理论的一个悖论。在综述了不确定性理论、不确定性过程、不确定性微积分和不确定性微分方程之后，本文展示了不确定性微分方程式在金融市场中的一些可能应用。最后，本文建议利用不确定性理论和不确定性微分方程发展不确定性金融理论。

随机金融理论的悖论

随机金融理论的起源可以追溯到路易斯·巴切利尔的博士论文投机之道1900年。然而，半个多世纪以来，巴切利尔的作品几乎没有什么影响。伊藤清彦发明随机微积分之后[16]和随机微分方程[17]萨缪尔森等人很好地发展了随机金融理论[18]、布莱克和斯科尔斯[19]和默顿[20]在20世纪60年代和70年代。

传统上，随机金融理论假设股票价格（包括货币汇率和利率）遵循伊藤的随机微分方程。这真的合理吗？事实上，这一广为接受的假设一直受到许多学者的质疑。让我们假设股票价格X（X） _t吨遵循随机微分方程

d日 {X（X）}_{t吨} = e（电子） {X（X）}_{t吨} d日 t吨 + σ {X（X）}_{t吨} d日 {W公司}_{t吨}

(1)

哪里e（电子）是对数漂移，σ是对数扩散，以及W公司 _t吨是一个维纳过程。让我们看看这样的假设会发生什么。它来自随机微分方程(1)那个X（X） _t吨是一个几何维纳过程，即。，

{X（X）}_{t吨} = {X（X）}_{0} 经验 ((e（电子） - σ^{2} / 2) t吨 + σ {W公司}_{t吨})

(2)

我们从中得出

{W公司}_{t吨} = \frac{自然对数 {X（X）}_{t吨} - 自然对数 {X（X）}_{0} - (e（电子） - σ^{2} / 2) t吨}{σ}

(3)

其增量为

Δ {W公司}_{t吨} = \frac{自然对数 {X（X）}_{t吨 + Δt} - 自然对数 {X（X）}_{t吨} - (e（电子） - σ^{2} / 2) Δt}{σ} .

(4)

写入

A类 = - \frac{(e（电子） - σ^{2} / 2) Δt}{σ} .

(5)

请注意，实际股票价格X（X） _t吨实际上是时间的阶跃函数，跳跃次数有限，尽管它看起来像一条曲线。在一个固定的时期内，在不丧失普遍性的情况下，我们假设X（X） _t吨观察到有100次跳跃。现在我们把这段时间分成10000个相等的间隔。然后我们可以观察到10000个X（X） _t吨它由方程式得出4那个Δ W公司 _t吨有10000个样本，其中包括9900个A类的和100个其他数字：

\begin{matrix} \underset{⏟}{A类, A类, \dots, A类}, & \underset{⏟}{B类, C类, \dots, Z.公司。} \\ 9, 900 & 100 \end{matrix}

(6)

没有人相信这10000个样本遵循期望值为0和方差的正态概率分布Δ t吨。见图1这一事实与维纳过程的性质相矛盾，即增量Δ W公司 _t吨是一个正态随机变量，期望值为0，方差为Δ t吨因此，股票价格X（X） _t吨不遵循随机微分方程。

也许有些人认为股票价格在宏观上确实表现得像几何维纳过程（或奥恩斯坦-乌伦贝克过程），尽管他们认识到微观上的悖论。然而，作为随机金融理论的核心，伊藤的演算只是建立在微观结构（即微分dW公司 _t吨)维纳过程而非宏观结构。更准确地说，伊藤的演算依赖于以下假设：W公司 _t吨是期望值为0且方差为d的正态随机变量t吨这种不合理的假设导致了伊藤公式中的二阶项，

d日 {X（X）}_{t吨} = \frac{？h}{¼t} (t吨, {W公司}_{t吨}) d日 t吨 + \frac{？h}{？w（瓦特）} (t吨, {W公司}_{t吨}) d日 {W公司}_{t吨} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} 小时}{\partial {w个}^{2}} (t吨, {W公司}_{t吨}) d日 t。

(7)

事实上，股价的增长不可能遵循任何连续的概率分布。基于上述悖论，我个人认为伊藤的演算不能成为金融理论的基本工具，因为伊藤的随机微分方程不可能模拟真实的股票价格。

什么是不确定性理论？

让Γ是一个非空集合，并且 $L（左）$ 一σ‐代数Γ.每个元素∧在里面 $L（左）$ 称为事件。一个集合函数 $M（M）$ 从 $L（左）$ 到[0,1]称为不确定度量如果它满足以下公理[2]:公理1。（规范性公理） $M（M） {Γ} = 1$ 对于通用集Γ;公理2。（对偶公理） $M（M） {\land} + M（M） {\land^{c}} = 1$ 对于任何事件∧;公理3。（次可加性公理）对于每个可数事件序列∧ ₁,∧ ₂,⋯，我们有

M（M） \{⋃_{我 = 1}^{\infty} \land_{我}\} \leq \sum_{我 = 1}^{\infty} M（M） {\land_{我}} .

(8)

三胞胎 $(Γ, L（左）, M（M）)$ 被称为不确定性空间为了获得复合事件的不确定测度，Liu定义了产品不确定测度[4]从而产生了不确定性理论的第四个公理：公理4。（乘积公理）让 $(Γ_{k个}, {L（左）}_{k个}, {M（M）}_{k个})$ 是不确定性空间k个=1,2,⋯产品不确定性测度 $M（M）$ 不确定度量是否令人满意

M（M） \{\prod_{k个 = 1}^{\infty} \land_{k个}\} = \land_{k个 = 1}^{\infty} {M（M）}_{k个} {\land_{k个}}

(9)

哪里∧ _k个是从中任意选择的事件 ${L（左）}_{k个}$ 对于k个=1,2,⋯分别是。

安不确定变量由刘定义[2]作为一个可测量的函数ξ从不确定性空间 $(Γ, L（左）, M（M）)$ 实数集，即任何Borel集B类实数的集合

{ξ \in B类} = {γ \in Γ |ξ (γ) \in B类}

（10）

是一个事件。为了描述实际中的不确定变量不确定度分布由刘定义[2]作为

Φ (x个) = M（M） \{ξ \leq x个\}, \forall x个 \in ℜ .

(11)

彭和岩村[21]证明了一个函数 $Φ : ℜ \to [0, 1]$ 是不确定性分布当且仅当它是单调递增函数Φ(x个)≡0和Φ(x个)≡1.

不确定性分布Φ(x个)如果它是关于x个其中0<Φ(x个)<1，以及

\underset{x个 \to - \infty}{林} Φ (x个) = 0, \underset{x个 \to + \infty}{林} Φ (x个) = 1 .

(12)

让ξ是具有规则不确定性分布的不确定变量Φ(x个). 然后是逆函数Φ⁻¹(α)被称为ξ[22].

很容易验证Φ⁻¹(α)是关于α∈(0,1). 相反，假设Φ⁻¹(α)是（0,1）上的连续严格递增函数。定义

Φ (x个) = \{\begin{array}{l} 0, & 如果 x个 \leq \underset{α↓ 0}{林} Φ^{- 1} (α) \\ α, & 如果 x个 = Φ^{- 1} (α) \\ 1, & 如果 x个 \geq \underset{α↑ 1}{林} Φ^{- 1} (α) . \end{array}

由此可见Φ(x个)是某些不确定变量的不确定性分布ξ然后针对每个α∈（0,1），我们有

M（M） {ξ \leq Φ^{- 1} (α)} = Φ (Φ^{- 1} (α)) = α.

因此，Φ⁻¹(α)就是不确定变量的逆不确定分布ξ因此，我们有一个逆不确定性分布的充要条件：函数 $Φ^{- 1} (α) : (0, 1) \to ℜ$ 是逆不确定性分布当且仅当它是关于α.

这个预期值不确定变量的ξ由刘定义[2]作为不确定度量意义上的不确定变量的平均值，即。，

E类 [ξ] = \int_{0}^{+ \infty} M（M） {ξ \geq 第页} d日 第页 - \int_{- \infty}^{0} M（M） {ξ \leq 第页} d日 第页

(13)

假设两个积分中至少有一个是有限的。如果ξ具有不确定性分布Φ，则可通过以下公式计算期望值

E类 [ξ] = \int_{0}^{+ \infty} (1 - Φ (x个)) d日 x个 - \int_{- \infty}^{0} Φ (x个) d日 x。

(14)

独立性是不确定性理论中一个极其重要的概念。不确定变量ξ ₁,ξ ₂,⋯,ξ _n个据说是独立的[4]如果

M（M） \{⋂_{我 = 1}^{n个} (ξ_{我} \in {B类}_{我})\} = \land_{我 = 1}^{n个} M（M） \{ξ_{我} \in {B类}_{我}\}

(15)

对于任何Borel集合B类 ₁,B类 ₂,⋯,B类 _n个实数。等价地，这些不确定变量是独立的当且仅当

M（M） \{⋃_{我 = 1}^{n个} (ξ_{我} \in {B类}_{我})\} = \lor_{我 = 1}^{n个} M（M） \{ξ_{我} \in {B类}_{我}\} .

(16)

让ξ ₁,ξ ₂,⋯,ξ _n个是具有不确定性分布的独立不确定变量Φ ₁,Φ ₂,⋯,Φ _n个分别是。如果函数（f）(x个 ₁,x个 ₂,⋯,x个 _n个)严格来说x个 ₁,x个 ₂,⋯,x个 _米并严格减少x个 _米+1,x个 _米+2,⋯,x个 _n个，然后ξ=（f）(ξ ₁,ξ ₂,⋯,ξ _n个)是具有逆不确定性分布的不确定变量

Ψ^{- 1} (α) = （f） (Φ_{1}^{- 1} (α), \dots, Φ_{米}^{- 1} (α), Φ_{米 + 1}^{- 1} (1 - α), \dots, Φ_{n个}^{- 1} (1 - α)) .

（17）

然后是刘和哈[23]证明了不确定变量ξ=（f）(ξ ₁,ξ ₂,⋯,ξ _n个)具有预期值

E类 [ξ] = \int_{0}^{1} （f） (Φ_{1}^{- 1} (α), \dots, Φ_{米}^{- 1} (α), Φ_{米 + 1}^{- 1} (1 - α), \dots, Φ_{n个}^{- 1} (1 - α)) d日 α.

(18)

为了探索不确定性理论的细节，读者可以咨询刘[24].

不确定过程

让T型是一个完全有序的集合（通常是“时间”），然后让 $(Γ, L（左）, M（M）)$ 成为一个不确定性空间。安不确定过程由刘定义[三]作为可测量的函数 $T型 \times (Γ, L（左）, M（M）)$ 到实数集，即每个t吨∈T型和任何Borel集合B类实数的集合

{{X（X）}_{t吨} \in B类} = {γ \in Γ |{X（X）}_{t吨} (γ) \in B类}

(19)

是一个事件。换句话说，不确定过程是一系列按时间索引的不确定变量。

注意，如果索引集T型成为部分有序集（例如，时间×空间或曲面），然后X（X） _t吨被称为不确定域前提是X（X） _t吨是每个点的不确定变量t吨也就是说，不确定域是不确定过程的推广。

不确定的过程X（X） _t吨被称为具有不确定性分布Φ _t吨(x个)如果每次t吨，不确定变量X（X） _t吨具有不确定性分布Φ _t吨(x个). 很容易证明Φ _t吨(x个)是关于的单调递增函数x个和Φ _t吨(x个)≢0,Φ _t吨(x个)≢1.相反，如果每次t吨,Φ _t吨(x个)是单调递增函数，除了Φ _t吨(x个)≠0和Φ _t吨(x个)≡1，则存在一个不确定变量ξ _t吨其不确定性分布是公正的Φ _t吨(x个). 定义

{X（X）}_{t吨} = ξ_{t吨}, \forall t吨 \in T。

然后X（X） _t吨是一个不确定过程，具有不确定性分布Φ _t吨(x个). 因此，一个函数 $Φ_{t吨} (x个) : T型 \times ℜ \to [0, 1]$ 是不确定过程的不确定性分布当且仅当每次t吨，它是一个单调递增函数，除了Φ _t吨(x个)≡0和Φ _t吨(x个)≡1.

不确定性分布Φ _t吨(x个)如果每次都是定期的t吨，它是一个关于x个其中0<Φ _t吨(x个)<1，以及

\underset{x个 \to - \infty}{林} Φ_{t吨} (x个) = 0, \underset{x个 \to + \infty}{林} Φ_{t吨} (x个) = 1 .

（20）

让X（X） _t吨是具有规则不确定性分布的不确定过程Φ _t吨(x个). 然后是逆函数 $Φ_{t吨}^{- 1} (α)$ 称为逆不确定性分布X（X） _t吨.很容易证明 $Φ_{t吨}^{- 1} (α)$ 是关于α∈(0,1). 相反，如果 $Φ_{t吨}^{- 1} (α)$ 是关于α∈（0,1），因此存在不确定变量ξ _t吨其逆不确定性分布正好 $Φ_{t吨}^{- 1} (α)$ .定义

{X（X）}_{t吨} = ξ_{t吨}, \forall t吨 \in T。

然后X（X） _t吨是一个不确定过程，具有逆不确定性分布 $Φ_{t吨}^{- 1} (α)$ 。因此，函数 $Φ_{t吨}^{- 1} (α) : T型 \times (0, 1) \to ℜ$ 是不确定过程的逆不确定性分布当且仅当每次t吨，它是一个关于α.

不确定的过程X（X） _t吨据说有獨立增量如果

{X（X）}_{{t吨}_{0}}, {X（X）}_{{t吨}_{1}} - {X（X）}_{{t吨}_{0}}, {X（X）}_{{t吨}_{2}} - {X（X）}_{{t吨}_{1}}, \dots, {X（X）}_{{t吨}_{k个}} - {X（X）}_{{t吨}_{k个 - 1}}

(21)

是独立的不确定变量，其中t吨 ₀是初始时间t吨 ₁,t吨 ₂,⋯,t吨 _k个随时都有t吨 ₀<t吨 ₁<⋯<t吨 _k个也就是说，当时间间隔不重叠时，独立增量过程意味着其增量是独立的不确定变量。让X（X） _t吨是具有不确定性分布的样本连续独立增量过程Φ _t吨(x个)每次t吨.何时（f）是一个严格递增的函数，刘[25]证明了至高无上

\underset{0 \leq t吨 \leq 秒}{啜饮} （f） ({X（X）}_{t吨})

(22)

具有不确定性分布

Ψ (x个) = \underset{0 \leq t吨 \leq 秒}{inf公司} Φ_{t吨} ({（f）}^{- 1} (x个)) .

(23)

这个结果被称为极值定理不确定过程。

不确定的过程X（X） _t吨据说有固定增量如果其增量是相同分布的不确定变量，只要时间间隔具有相同的长度，即对于任何给定的时间间隔t吨>0，增量X（X） _秒+t吨−X（X） _秒都是相同分布的不确定变量秒>0.

让X（X） _t吨是一个具有清晰初值的平稳独立增量过程X（X） ₀.刘[22]表明存在两个实数一和b条使预期值

E类 [{X（X）}_{t吨}] = 一 + 英国电信公司

(24)

任何时候t吨≥0.此外，陈[26]验证存在实数c这样的差异

V（V） [{X（X）}_{t吨}] = c {t吨}^{2}

(25)

任何时候t吨≥0.

规范过程作为一种重要的不确定过程，是一个平稳的独立增量过程，其增量为正态不确定变量。更准确地说，是一个不确定的过程C类 _t吨称为规范过程作者：刘[4]如果（1）C类 ₀=0且几乎所有样本路径都是Lipschitz连续的，（2）C类 _t吨具有稳定和独立的增量，以及（3）每个增量C类 _秒+t吨−C类 _秒是一个正常的不确定变量，期望值为0，方差为t吨².

很容易验证规范化过程C类 _t吨是一个正态不确定变量，期望值为0，方差为t吨²并具有不确定性分布

Φ (x个) = {(1 + 经验 (- \frac{∏x}{\sqrt{三} t吨}))}^{- 1}

(26)

每次t吨>0.此外，每次t吨>0，比率C类 _t吨/t吨是一个正态不确定变量，期望值为0，方差为1。那就是，

\frac{{C类}_{t吨}}{t吨} 至 N个 (0, 1)

(27)

对于任何t吨>0.

规范过程和维纳过程之间的区别是什么？首先，规范过程是不确定过程，而维纳过程是随机过程。其次，规范过程的几乎所有样本路径都是Lipschitz连续函数，而Wiener过程的几乎全部样本路径是连续但非Lipschit函数。第三，规范过程有方差t吨²而维纳过程有一个方差t吨每次t吨.

不确定演算

不确定微积分是数学的一个分支，它处理不确定过程的微分和积分。不确定微积分中的关键概念是不确定积分，它允许我们将不确定过程（被积函数）与规范过程（积分器）进行积分。不确定积分的结果是另一个不确定过程。

让X（X） _t吨成为一个不确定的过程，让C类 _t吨成为一个规范的过程。对于闭合区间的任何分区[一,b条]带有一=t吨 ₁<t吨 ₂<⋯<t吨 _k个+1=b条，网格写为

Δ = \underset{1 \leq 我 \leq k个}{最大值} | {t吨}_{我 + 1} - {t吨}_{我} | .

(28)

然后不确定积分属于X（X） _t吨关于C类 _t吨由刘定义[4]作为

\int_{一}^{b条} {X（X）}_{t吨} d日 {C类}_{t吨} = \underset{Δ \to 0}{林} \sum_{我 = 1}^{k个} {X（X）}_{{t吨}_{我}} \cdot ({C类}_{{t吨}_{我 + 1}} - {C类}_{{t吨}_{我}})

(29)

条件是该极限几乎肯定存在并且是有限的。自X（X） _t吨和C类 _t吨每次都是不确定的变量t吨，方程式中的极限29也是一个不确定变量。

让Z轴 _t吨是一个不确定的过程。如果存在两个不确定过程μ _t吨和σ _t吨这样的话

{Z轴}_{t吨} = {Z轴}_{0} + \int_{0}^{t吨} μ_{秒} d日 秒 + \int_{0}^{t吨} σ_{秒} d日 {C类}_{秒}

(30)

对于任何t吨≥0，那么我们说Z轴 _t吨有一个不确定微分

d日 {Z轴}_{t吨} = μ_{t吨} d日 t吨 + σ_{t吨} d日 {C类}_{t吨} .

(31)

在这种情况下，Z轴 _t吨被称为具有漂移的不确定过程μ _t吨和扩散σ _t吨显然，不确定积分和微分是互逆运算。请注意，不确定过程的不确定微分有两部分，即“dt吨“部分和”dC类 _t吨”部分。

让小时(t吨,c)是一个连续可微函数。刘[4]表明了不确定的过程Z轴 _t吨=小时(t吨,C类 _t吨)有一个不确定的微分

d日 {Z轴}_{t吨} = \frac{？h}{¼t} (t吨, {C类}_{t吨}) d日 t吨 + \frac{？h}{？c} (t吨, {C类}_{t吨}) d日 {C类}_{t吨} .

(32)

此结果称为不确定微积分基本定理.

示例1

让我们计算一下t吨 C类 _t吨在这种情况下，我们有小时(t吨,c)=t吨 c其偏导数为

\frac{？h}{¼t} (t吨, c) = c, \frac{？h}{？c} (t吨, c) = t。

根据不确定微积分的基本定理

d日 (t吨 {C类}_{t吨}) = {C类}_{t吨} d日 t吨 + t吨 d日 {C类}_{t吨} .

(33)

示例2

让我们计算一下 ${C类}_{t吨}^{2}$ 在这种情况下，我们有小时(t吨,c)=c²其偏导数为

\frac{？h}{⏴吨} (t吨, c) = 0, \frac{？h}{？c} (t吨, c) = 2 c。

根据不确定微积分的基本定理

d日 {C类}_{t吨}^{2} = 2 {C类}_{t吨} d日 {C类}_{t吨} .

(34)

示例3

让（f）(c)是一个连续可微函数。那么我们有

\frac{¼f}{¼t} (c) = 0, \frac{¼f}{？c} (c) = {（f）}^{'} (c) .

根据不确定微积分的基本定理，不确定过程（f）(C类 _t吨)有一个不确定的微分

d日 （f） ({C类}_{t吨}) = {（f）}^{'} ({C类}_{t吨}) d日 {C类}_{t吨} .

（35）

此公式也称为链式法则不确定性微积分。

作为不确定积分的补充，刘和姚[27]提出了一个关于多正则过程的不确定积分。一般来说，陈和雷莱斯库[28]给出了关于一般Liu过程的不确定积分。

不确定微分方程

不确定微分方程的研究是由刘开创的[三]. 目前，不确定微分方程在理论和实践上都取得了丰硕的成果。让（f）和克是两个函数。然后

d日 {X（X）}_{t吨} = （f） (t吨, {X（X）}_{t吨}) d日 t吨 + 克 (t吨, {X（X）}_{t吨}) d日 {C类}_{t吨}

(36)

被称为不确定微分方程解决方案是一个不确定的过程X（X） _t吨满足等式的36在中相同t吨.

提出了求解不确定微分方程的一些分析方法。例如，陈和刘[5]表明了线性不确定微分方程

d日 {X（X）}_{t吨} = ({u个}_{1 t吨} {X（X）}_{t吨} + {u个}_{2 t吨}) d日 t吨 + ({v（v）}_{1 t吨} {X（X）}_{t吨} + {v（v）}_{2 t吨}) d日 {C类}_{t吨}

(37)

有解决方案

{X（X）}_{t吨} = {U型}_{t吨} ({X（X）}_{0} + \int_{0}^{t吨} \frac{{u个}_{2 秒}}{{U型}_{秒}} d日 秒 + \int_{0}^{t吨} \frac{{v（v）}_{2 秒}}{{U型}_{秒}} d日 {C类}_{秒})

(38)

哪里

{U型}_{t吨} = 经验 (\int_{0}^{t吨} {u个}_{1 秒} d日 秒 + \int_{0}^{t吨} {v（v）}_{1 秒} d日 {C类}_{秒}) .

（39）

此外，刘[7]验证了非线性不确定微分方程

d日 {X（X）}_{t吨} = （f） (t吨, {X（X）}_{t吨}) d日 t吨 + σ_{t吨} {X（X）}_{t吨} d日 {C类}_{t吨}

(40)

有解决方案

{X（X）}_{t吨} = {Y（Y）}_{t吨}^{- 1} {Z轴}_{t吨}

(41)

哪里

{Y（Y）}_{t吨} = 经验 (- \int_{0}^{t吨} σ_{秒} d日 {C类}_{秒})

(42)

和Z轴 _t吨是不确定微分方程的解

d日 {Z轴}_{t吨} = {Y（Y）}_{t吨} （f） (t吨, {Y（Y）}_{t吨}^{- 1} {Z轴}_{t吨}) d日 t吨

(43)

具有初始值Z轴 ₀=X（X） ₀.

Chen和Liu的存在唯一性定理是对不确定微分方程的一个重要贡献[5]. 如果系数（f）(t吨,x个)以及克(t吨,x个)满足线性增长条件

| （f） (t吨, x个) | + | 克 (t吨, x个) | \leq L（左） (1 + | x个 |), \forall x个 \in ℜ, t吨 \geq 0

(44)

和Lipschitz条件

| （f） (t吨, x个) - （f） (t吨, 年) | + | 克 (t吨, x个) - 克 (t吨, 年) | \leq L（左） | x个 - 年 |, \forall x个, 年 \in ℜ, t吨 \geq 0

(45)

对于一些常量L（左）此外，溶液是样品连续的。

稳定性的概念是由刘提出的[4]. 一个不确定微分方程被称为稳定的如果有两种解决方案X（X） _t吨和Y（Y） _t吨，我们有

\underset{| {X（X）}_{0} - {Y（Y）}_{0} | \to 0}{林} M（M） {| {X（X）}_{t吨} - {Y（Y）}_{t吨} | > ϵ} = 0, \forall t吨 > 0

（46）

对于任何给定的数字ϵ>0.Yao等人[29]证明了当系数为（f）(t吨,x个)以及克(t吨,x个)满足线性增长条件

| （f） (t吨, x个) | + | 克 (t吨, x个) | \leq K（K） (1 + | x个 |), \forall x个 \in ℜ, t吨 \geq 0

(47)

对于一些常量K（K）和强Lipschitz条件

| （f） (t吨, x个) - （f） (t吨, 年) | + | 克 (t吨, x个) - 克 (t吨, 年) | \leq L（左） (t吨) | x个 - 年 |, \forall x个, 年 \in ℜ, t吨 \geq 0

(48)

关于一类有界可积函数L（左）(t吨)于[0+∞).

不确定微分方程已被许多学者推广。例如，Barbacioru等人研究了不确定时滞微分方程[30]、葛和朱[31]、刘和飞[32]. 此外，Yao还提出了带有跳跃的不确定微分方程[33]，并由Ge和Zhu讨论了后向不确定微分方程[34].

数值方法

让α是带0的数字<α<1.不确定微分方程

d日 {X（X）}_{t吨} = （f） (t吨, {X（X）}_{t吨}) d日 t吨 + 克 (t吨, {X（X）}_{t吨}) d日 {C类}_{t吨}

(49)

据说有一个α‐路径 ${X（X）}_{t吨}^{α}$ 如果它求解相应的常微分方程

d日 {X（X）}_{t吨}^{α} = （f） (t吨, {X（X）}_{t吨}^{α}) d日 t吨 + | 克 (t吨, {X（X）}_{t吨}^{α}) | Φ^{- 1} (α) d日 t吨

(50)

哪里Φ⁻¹(α)是标准正态不确定性变量的逆不确定性分布，即。，

Φ^{- 1} (α) = \frac{\sqrt{三}}{Π} 自然对数 \frac{α}{1 - α} .

(51)

然后

M（M） {{X（X）}_{t吨} \leq {X（X）}_{t吨}^{α}, \forall t吨} = α,

(52)

M（M） {{X（X）}_{t吨} > {X（X）}_{t吨}^{α}, \forall t吨} = 1 - α.

(53)

此结果称为姚晨配方[8]. 此外，每次t吨，解决方案X（X） _t吨具有逆不确定性分布

Ψ_{t吨}^{- 1} (α) = {X（X）}_{t吨}^{α} .

（54）

此外，对于任何单调（递增或递减）函数J型，我们有

E类 [J型 ({X（X）}_{t吨})] = \int_{0}^{1} J型 ({X（X）}_{t吨}^{α}) d日 α.

(55)

姚-陈公式将不确定微分方程和常微分方程联系起来，就像费曼-卡公式将随机微分方程和偏微分方程联系在一起一样。

一般不确定微分方程的解析解几乎是不可能的。这一事实为设计求解一般不确定微分方程的数值方法提供了动机

d日 {X（X）}_{t吨} = （f） (t吨, {X（X）}_{t吨}) d日 t吨 + 克 (t吨, {X（X）}_{t吨}) d日 {C类}_{t吨} .

（56）

为了做到这一点，一个关键点是获得逆不确定性分布 $Ψ_{t吨}^{- 1} (α)$ 它的解决方案X（X） _t吨在任何给定的时间t吨为此，姚和陈[8]设计了以下算法：步骤1。修复α在（0,1）上。第2步。解决 $d日 {X（X）}_{t吨}^{α} = （f） (t吨, {X（X）}_{t吨}^{α}) d日 t吨 + | 克 (t吨, {X（X）}_{t吨}^{α}) | Φ^{- 1} (α) d日 t吨$ 通过常微分方程的任何方法，得到α‐路径 ${X（X）}_{t吨}^{α}$ 例如，通过使用递归公式

{X（X）}_{我 + 1}^{α} = {X（X）}_{我}^{α} + （f） ({t吨}_{我}, {X（X）}_{我}^{α}) 小时 + | 克 ({t吨}_{我}, {X（X）}_{我}^{α}) | Φ^{- 1} (α) 小时

(57)

哪里Φ是标准正态不确定度分布小时是步长。步骤3。解的逆不确定性分布X（X） _t吨取决于

Ψ_{t吨}^{- 1} (α) = {X（X）}_{t吨}^{α} .

(58)

不确定库存模型

不确定微分方程是刘首先引入金融领域的[4]其中不确定库存模型被提议，

\{\begin{array}{l} d日 {X（X）}_{t吨} = 第页 {X（X）}_{t吨} d日 t吨 \\ d日 {Y（Y）}_{t吨} = e（电子） {Y（Y）}_{t吨} d日 t吨 + σ {Y（Y）}_{t吨} d日 {C类}_{t吨} \end{array}

(59)

哪里X（X） _t吨是债券价格，Y（Y） _t吨是股价，第页是无风险利率，e（电子）是对数漂移，σ是对数扩散，以及C类 _t吨是一个规范的过程。

A类欧洲看涨期权是指赋予持有人在到期时购买股票的权利的合同秒执行价格K（K）。欧洲看涨期权的回报是(Y（Y） _秒−K（K）)⁺因为只有当且仅当Y（Y） _秒>K（K）考虑到债券产生的货币的时间价值，该收益的现值为exp（−第页秒)(Y（Y） _秒−K（K）)⁺因此，欧洲看涨期权价格应为预期收益现值，即。，

{（f）}_{c} = 经验 (- 秒) E类 [{({Y（Y）}_{秒} - K（K）)}^{+}] .

（60）

刘[4]证明了

{（f）}_{c} = 经验 (- 秒) {Y（Y）}_{0} \int_{K（K） / {Y（Y）}_{0}}^{+ \infty} {(1 + 经验 (\frac{Π (自然对数 年 - 锿)}{\sqrt{三} σs}))}^{- 1} d日 年。

(61)

A类欧洲看跌期权是指赋予持有人在到期时出售股票的权利的合同秒执行价格K（K）。欧洲看跌期权的收益为(K（K）−Y（Y） _秒)⁺因为只有当且仅当Y（Y） _秒<K（K）考虑到债券产生的货币的时间价值，该收益的现值为exp（−第页秒)(K（K）−Y（Y） _秒)⁺因此，欧洲看跌期权价格应该是收益的预期现值，即。，

{（f）}_{第页} = 经验 (- 秒) E类 [{(K（K） - {Y（Y）}_{秒})}^{+}] .

(62)

刘[4]证明了

{（f）}_{第页} = 经验 (- 秒) {Y（Y）}_{0} \int_{0}^{K（K） / {Y（Y）}_{0}} {(1 + 经验 (\frac{Π (锿 - 自然对数 年)}{\sqrt{三} σs}))}^{- 1} d日 年。

(63)

安美式看涨期权是指赋予持有人在到期前任何时间购买股票的权利的合同秒执行价格K（K）很明显，美式看涨期权的回报是(Y（Y） _t吨−K（K）)⁺时间间隔[0，秒]. 考虑到债券产生的资金的时间价值，该回报的现值为

\underset{0 \leq t吨 \leq 秒}{啜饮} 经验 (- rt（右）) {({Y（Y）}_{t吨} - K（K）)}^{+} .

(64)

因此，美式看涨期权价格应为预期收益现值，即。，

{（f）}_{c} = E类 [\underset{0 \leq t吨 \leq 秒}{啜饮} 经验 (- rt（右）) {({Y（Y）}_{t吨} - K（K）)}^{+}] .

(65)

陈[10]证明了

{（f）}_{c} = 经验 (- 秒) {Y（Y）}_{0} \int_{K（K） / {Y（Y）}_{0}}^{+ \infty} {(1 + 经验 (\frac{Π (自然对数 年 - 锿)}{\sqrt{三} σs}))}^{- 1} d日 年。

(66)

安美式看跌期权是指赋予持有人在到期前任何时间出售股票的权利的合同秒执行价格K（K）很明显，美式看跌期权的回报是(K（K）−Y（Y） _t吨)⁺时间间隔[0，秒]. 考虑到债券产生的资金的时间价值，该回报的现值为

\underset{0 \leq t吨 \leq 秒}{啜饮} 经验 (- rt（右）) {(K（K） - {Y（Y）}_{t吨})}^{+} .

(67)

因此，美式看跌期权价格应为预期收益现值，即。，

{（f）}_{第页} = E类 [\underset{0 \leq t吨 \leq 秒}{啜饮} 经验 (- rt（右）) {(K（K） - {Y（Y）}_{t吨})}^{+}] .

(68)

陈[10]证明了

{（f）}_{第页} = \int_{0}^{K（K） 经验 (- 秒)} \underset{0 \leq t吨 \leq 秒}{啜饮} {(1 + 经验 (\frac{e（电子）}{\sqrt{三} σ} + \frac{Π}{\sqrt{三} σt} 自然对数 \frac{{Y（Y）}_{0}}{K（K） - 年 经验 (rt（右）)}))}^{- 1} d日 年。

值得强调的是，彭和姚也积极调查了其他股票模型[11]，于[12]，和Chen等人[35]等等。

不确定货币模型

刘和陈[13]假设汇率遵循不确定微分方程，然后提出不确定货币模型,

\{\begin{array}{l} d日 {X（X）}_{t吨} = u个 {X（X）}_{t吨} d日 t吨 （本国货币） \\ d日 {Y（Y）}_{t吨} = v（v） {Y（Y）}_{t吨} d日 t吨 （外币） \\ d日 {Z轴}_{t吨} = e（电子） {Z轴}_{t吨} d日 t吨 + σ {Z轴}_{t吨} d日 {C类}_{t吨} （汇率） \end{array}

(69)

哪里X（X） _t吨表示具有国内利率的国内货币u个,Y（Y） _t吨表示具有外币利率的外币v（v），以及Z轴 _t吨表示汇率，即一次一单位外币的本币价格t吨.

A类货币期权是一份合同，赋予持有者在到期时兑换一单位外币的权利秒对于K（K）本国货币单位。假设这个合同的价格是（f）以本国货币计价。然后投资者支付（f）在时间0购买合同并收到(Z轴 _秒−K（K）)⁺到期时以本国货币支付秒因此，投资者的预期回报为

- （f） + 经验 (- 我们) E类 [{({Z轴}_{秒} - K（K）)}^{+}] .

（70）

另一方面，银行收到（f）在时间0销售合同并支付（1−K（K）/Z轴 _秒)⁺到期时为外币秒因此，银行的预期回报为

（f） - {Z轴}_{0} 经验 (- 与) E类 [{(1 - K（K） / {Z轴}_{秒})}^{+}] .

(71)

本合同的公平价格应使投资者和银行具有相同的预期回报，即：。，

- （f） + 经验 (- 我们) E类 [{({Z轴}_{秒} - K（K）)}^{+}] = （f） - {Z轴}_{0} 经验 (- 与) E类 [{(1 - K（K） / {Z轴}_{秒})}^{+}] .

(72)

因此，货币期权价格为

（f） = \frac{1}{2} 经验 (- 我们) E类 [{({Z轴}_{秒} - K（K）)}^{+}] + \frac{1}{2} 经验 (- 与) {Z轴}_{0} E类 [{(1 - K（K） / {Z轴}_{秒})}^{+}] .

(73)

刘和陈[13]证明了

\begin{array}{l} （f） = \frac{1}{2} 经验 (- 我们) {Z轴}_{0} \int_{K（K） / {Z轴}_{0}}^{+ \infty} {(1 + 经验 (\frac{Π (自然对数 年 - 锿)}{\sqrt{三} σs}))}^{- 1} d日 年 \\ + \frac{1}{2} 经验 (- 与) {Z轴}_{0} \int_{0}^{1} {(1 + 经验 (\frac{Π (自然对数 (K（K） / {Z轴}_{0}) - 自然对数 年 - 锿)}{\sqrt{三} σs}))}^{- 1} d日 年。 \end{array}

不确定利率模型

实际利率不会保持不变。Chen和Gao[14]假设利率X（X） _t吨遵循一个不确定的微分方程，

d日 {X（X）}_{t吨} = (米 - 一 {X（X）}_{t吨}) d日 t吨 + σ d日 {C类}_{t吨}

(74)

哪里米,一，以及σ是正数，并且C类 _t吨是一个规范的过程。

A类零息债券购买债券的价格低于它的价格吗面值也就是它承诺在到期日支付的金额。为了简单起见，我们假设面值总是1美元。然后是有到期日的零息债券的价格秒是

（f） = E类 [经验 (- \int_{0}^{秒} {X（X）}_{t吨} d日 t吨)] .

(75)

陈和高[14]证明了

（f） = \frac{\sqrt{三} σ}{一} (秒 - 克) 经验 (- \frac{毫秒}{2 一} - ({第页}_{0} - \frac{米}{一}) 克) csc公司 (\frac{\sqrt{三} σ}{一} (秒 - 克))

(76)

哪里

克 = \frac{1}{一} (1 - 经验 (- 作为)) .

(77)

不确定性金融理论

本文开始时，提出了一个悖论，表明实际股价不可能遵循伊藤的随机微分方程。如下图所示1增量表现为不确定变量而不是随机变量。这一事实促使我们用不确定微分方程来模拟股票价格。就我个人而言，我认为不确定微积分可能是金融理论的潜在数学基础。

如果说经典金融理论是利用概率论处理金融市场的方法论，那么不确定性金融理论就是利用不确定性理论处理金融市场问题的方法论。除上述不确定股票模型外，我们还可以接受其他不确定微分方程，例如：，

d日 {X（X）}_{t吨} = (米 - 一 {X（X）}_{t吨}) d日 t吨 + σ {X（X）}_{t吨} d日 {C类}_{t吨},

(78)

d日 {X（X）}_{t吨} = (米 - 一 {X（X）}_{t吨}) d日 t吨 + σ \sqrt{{X（X）}_{t吨}} d日 {C类}_{t吨},

(79)

d日 {X（X）}_{t吨} = (米 - 一 {X（X）}_{t吨}) d日 t吨 + σ \sqrt{b条 + {X（X）}_{t吨}} d日 {C类}_{t吨} .

(80)

结论

本文首先介绍了随机金融理论的一个悖论。本文在综述了不确定性理论、不确定性过程、不确定性演算和不确定性微分方程的基础上，利用不确定性微分方程式的工具，总结了不确定性股票模型、不确定性货币模型和不确定性利率模型。最后，建议在不确定性理论的基础上发展不确定性金融理论。

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致谢

这项工作得到了国家自然科学基金（批准号：61273044）的支持。

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刘宝鼎，清华大学数学科学系不确定性理论实验室，北京，100084
刘保定

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刘，B.走向不确定性金融理论。J.不确定性。分析。申请。 1, 1 (2013). https://doi.org/10.1186/195-5468-1-1

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收到:2013年2月12日
认可的:2013年2月18日
出版:2013年4月24日
内政部:https://doi.org/10.1186/2195-5468-1-1