Computational Convergence of the Path Integral for Real Dendritic Morphologies

Caudron, Quentin; Donnelly, Simon R; Brand, Samuel PC; Timofeeva, Yulia

doi:10.1186/2190-8567-2-11

研究
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出版：2012年11月22日

实枝晶形态路径积分的计算收敛性

数学神经科学杂志 体积 2，物品编号：11(2012)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

神经元的特点是具有生物细胞特有的形态结构，其核心是树突树。大量的树突状几何形状，加上细胞膜的异质性，在预测神经元输入-输出关系方面继续向科学家提出挑战，即使是在阈下树突状电流的情况下也是如此。给定枝晶几何形状获得的格林函数为被动或准主动枝晶提供了这种函数关系，可以通过基于路径积分形式的求和方法来构造。在本文中，我们介绍了一些用于实现和溢框架的有效算法，并研究了这些算法在不同树状结构上的收敛性。我们证明，trip采样方法的收敛性在很大程度上取决于树突形态以及细胞膜的生物物理特性。对于实际形态，保证较小收敛误差的行程数可能会变得非常大，并严重影响计算效率。作为一种替代方案，我们引入了一种高效的矩阵方法，该方法可以应用于任意分支结构。

1引言

圣地亚哥·拉蒙·卡哈尔一个多世纪前发现[1]，树突构成了神经元的绝大多数表面积，一些运动神经元的树突树占神经元总表面积的97%和神经元总体积的75%[2]. 这些复杂的分支结构负责在突触和体细胞之间传递电活动。随着技术的发展，人们对树突的兴趣开始增强，20世纪50年代初，人们发明了锋利的微型移液电极，可以进行细胞内记录。这是威尔弗里德·拉尔的突破性工作[三]电缆理论在树突建模中的应用，为树突在处理突触输入中的作用提供了重要见解，Segev、Rinzel和Shepherd在一本书中总结了这方面的历史观点[4]. 最近的实验和理论研究证实了这样一个事实：树枝状结构和膜特性在树枝状结构的整合中起着重要作用[5,6]. 我们让读者参考这本书树突[7]专门研究这些构造并揭示其在不同尺度上的生物复杂性。

众所周知，非线性电压门控离子通道存在于各种类型神经元的树突中[8]最近许多树突模型是通过将树突的线性（被动）特性与膜通道的非线性（主动）动力学相结合来构建的。虽然离子通道的非线性特性对神经元的输入输出关系有很大贡献，但重要的是要认识到树突状膜的被动特性为信号过滤和集成提供了基本核心，因此仍然是理解树突中电信号的重要组成部分[9].

当分支树枝状纤维通过无源电缆方程建模时，只要找到给定树枝状树的格林函数，就可以通过卷积运算计算任何形式的外加电流在分支结构上的电压响应。该方法基于电势的离散空间近似，提供了隔间法的替代方法[10,11]. 对于真实的树枝状几何体，构造这样的格林函数并不总是那么容易。任意分支系统本质上很难求解，Rall早就认识到了这一事实，他提出了一种将分支结构映射到等效圆柱体上的方法，前提是满足了某些几何限制[12]. 科赫和波乔的作品[13]基于Butz和Cowan的图形演算[14]，着重于计算拉普拉斯（频率）域中完整树状树的响应函数。后来，通过释放对单个分支直径的约束，并通过构造格林函数，再次在拉普拉斯域中扩展了拉尔的等效圆柱体方法[15,16]. Evans和合著者提出了一种构造具有分流胞体的分支结构格林函数的替代方法[17–19]. 在这一系列的论文中，响应函数是以特征函数展开的形式发现的，它在很大程度上收敛得特别快。对于较小的时间，拉普拉斯域级数解提供了更好的精度，与Abbott等人提出的早期直接在时域中构造格林函数的“行程求和”方法非常一致[20]. 这个和-过-trips框架是建立在路径积分公式上的，可以将任意树枝状几何体上的格林函数作为收敛的无穷级数解进行计算。Cao和Abbott[21]提出了一种基于trips划分为四类的sum-over-trips方法的计算实现算法。他们将该算法应用于许多样本树状树，其中最大的树状树有22个分支，而实际的树状几何体可能只有400多个终端[22]，分支长度变化较大。跨不同类型神经元的神经元形态的复杂性预计会影响总和-三重框架计算实现的收敛性。

在这篇文章中，我们介绍并研究了一些使用和over-trips形式计算树状树上格林函数的有效算法。在教派。2，我们回顾了Cao和Abbott的理论框架和四类算法[21]，并在第节中介绍了求和-over-trips方法的替代算法。3.我们首先对四类算法进行了修改，目的是通过开发一种形式语法来推导trips，从而提高其时间复杂度。然后，使用Eppstein算法对行程进行长度-优先级排序[23]找到k个提出了图上的最短行程。我们还基于Monte-Carlo方法推导了一种随机方法，用于在树上采样行程。最后，描述了一种高效的离散树结构确定方法。我们评估了Sect.中引入的算法在不同树状几何体上的收敛性。其中，我们还比较了四种重构树枝状形貌上电压扩散的延迟和衰减。最后，在门派。我们对我们的结果进行了讨论，并对这项工作进行了可能的扩展。

2 Sum-over-trips框架

我们考虑具有有限分支上膜电压动力学的树枝状分支结构我由无源电缆方程描述。外部电流 $我_{j} (t吨)$ 在某个位置注入年在分支上j。树突树上的跨膜电压由以下方程组描述：

π 一_{我} C类 \frac{\partial {V（V）}_{我}}{\partial t吨} = \frac{π 一_{我}^{2}}{4 {R（右）}_{一}} \frac{\partial^{2} {V（V）}_{我}}{⏴=============================================================================== x^{2}} - \frac{π 一_{我}}{R（右）} {V（V）}_{我}, 0 \leq x \leq {L（左）}_{我}, 我 \neq j

(1)

π 一_{j} C类 \frac{\partial {V（V）}_{j}}{\partial t吨} = \frac{π 一_{j}^{2}}{4 {R（右）}_{一}} \frac{\partial^{2} {V（V）}_{j}}{\partial x^{2}} - \frac{π 一_{j}}{R（右）} {V（V）}_{j} + δ (x - 年) 我_{j} (t吨), 0 \leq x \leq {L（左）}_{j} 。

(2)

在这里， $一_{我}$ 是树枝的直径我（测量单位：μm）， ${R（右）}_{一}$ 是特定的细胞质电阻率（单位：Ω 厘米），C类是比膜电容（单位：μF 厘米⁻²)、和R（右）是钝化膜单位面积上的电阻（单位：Ω 厘米²). 引入电张空间常数 $λ_{我} = \sqrt{一_{我} R（右） / (4 {R（右）}_{一})}$ ，膜时间常数 $τ = R（右） C类$ 和扩散系数 ${D类}_{我} = λ_{我}^{2} / τ$ ，等式(1)和(2)可以重写为

\frac{\partial {V（V）}_{我}}{\partial t吨} = {D类}_{我} \frac{\partial^{2} {V（V）}_{我}}{\partial x^{2}} - \frac{{V（V）}_{我}}{τ}, 0 \leq x \leq {L（左）}_{我}, 我 \neq j,

(3)

\frac{\partial {V（V）}_{j}}{\partial t吨} = {D类}_{j} \frac{\partial^{2} {V（V）}_{j}}{\partial x^{2}} - \frac{{V（V）}_{j}}{τ} + \frac{1}{π 一_{j} C类} δ (x - 年) 我_{j} (t吨), 0 \leq x \leq {L（左）}_{j} 。

(4)

除这些方程外，必须在所有分支节点和终端指定适当的边界条件：节点上电势的连续性和基尔霍夫电流守恒定律。电势的连续性要求，对于所有分支对米和n个连接到节点，

{V（V）}_{米} ({L（左）}_{米}, t吨) = {V（V）}_{n个} (0, t吨),

其中分支的远端米连接到分支的近端n个.相同节点的电流守恒施加

\sum_{米} \frac{1}{{第页}_{米}} \frac{\partial {V（V）}_{米}}{\partial x} |_{x = {L（左）}_{米}} = \sum_{n个} \frac{1}{{第页}_{n个}} \frac{\partial {V（V）}_{n个}}{⏴=========================================================================================== x} |_{x = 0},

哪里 ${第页}_{n个} = 4 {R（右）}_{一} / (π 一_{n个}^{2})$ 是支管上的轴向阻力n个（单位：Ω 厘米⁻¹)，每个和都是与该节点相连的所有分支的远端或近端。在各个终端，我们可以施加封闭边界条件，

\frac{⏴=========================================================================================== {V（V）}_{k个}}{\partial x} |_{x = {L（左）}_{k个}} = 0,

或开口边界条件，

{V（V）}_{k个} ({L（左）}_{k个}, t吨) = 0,

哪里 $x = {L（左）}_{k个}$ 是分支上的终端k个。

当注入的电流具有增量脉冲形式时，即， $我_{j} (t吨) = δ (t吨)$ ，方程式的解(三)和(4)是格林函数 ${G公司}_{我 j} (x, 年, t吨)$ 它可以作为

{G公司}_{我 j} (x, 年, t吨) = \frac{1}{π 一_{j} C类} \sum_{旅行} {A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}, t吨),

(5)

其中总和是所有行程的总和（更正式地说，是图表理论步行），从x并于完成年，并描述了该位置处膜电压的时间历程x在分支上我响应位置处的注入电流年在分支上j，其中我可以认为是相等的j如果需要。功能 ${G公司}_{\infty}$ 采取形式

{G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}, t吨) = \frac{1}{\sqrt{4 π t吨 {D类}_{j}}} {e（电子）}^{- {({L（左）}_{旅行})}^{2} τ / (4 t吨)} {e（电子）}^{- t吨 / τ},

(6)

哪里 ${L（左）}_{旅行} = {L（左）}_{旅行} (x / λ_{我}, 年 / λ_{j})$ 是从某点开始沿树的行程长度 $x / λ_{我}$ 在分支上我并在点处结束 $年 / λ_{j}$ 在分支上j注意，每个分支的长度需要根据其自身的电子空间常数进行缩放 ${L（左）}_{旅行}$ 计算公式为(6). 构造的行程可以反射或通过树上的任何节点任意次数。系数 ${A类}_{旅行}$ 取决于构造的行程，并根据以下规则确定[20]:

从任何起点开始， ${A类}_{旅行} = 1$ 。
对于跳闸从分支经过的每个节点米到分支机构k个哪里 $米 \neq k个$ , ${A类}_{旅行}$ 乘以一个系数 $2 {第页}_{k个}$ 。
对于行程沿节点反射回同一分支的每个节点n个, ${A类}_{旅行}$ 乘以一个系数 $2 {第页}_{n个} - 1$ 。
对于每个终端， ${A类}_{旅行}$ 对于封闭边界条件乘以+1，对于开放边界条件乘以−1。

当所有分支的细胞膜电特性相同时 ${第页}_{k个}$ 定义为

{第页}_{k个} = \frac{一_{k个}^{三 / 2}}{\sum_{米} 一_{米}^{三 / 2}},

(7)

其中总和覆盖所有分支米连接到节点。当参数R（右）和 ${R（右）}_{一}$ 因分支而异，必须修改表达式（7）：

{第页}_{k个} = \frac{{(λ_{k个} {第页}_{k个})}^{- 1}}{\sum_{米} {(λ_{米} {第页}_{米})}^{- 1}} 。

(8)

然而，请注意，用于在时域中构造格林函数的和-over-trips方法仅适用于均匀特征时间常数τ跨越整个树状树。将这种框架推广为支持准活性膜，而不是被动膜，释放了这种限制，可以在每个分支上选择不同的细胞膜特性[24]. 然而，这意味着格林函数作为无穷级数解的构造只能在拉普拉斯域中进行。

了解给定树状结构的格林函数，可以找到整个树状结构上的电压响应。通过查找 ${G公司}_{我 j} (x, 年, t吨)$ 对于有序对 $(x, 年)$ ，格林函数 ${G公司}_{j 我} (年, x, t吨)$ 可以使用简单的互惠恒等式找到：

{G公司}_{j 我} (年, x, t吨) = \frac{{D类}_{j} {第页}_{j}}{{D类}_{我} {第页}_{我}} {G公司}_{我 j} (x, 年, t吨) 。

(9)

然后可以找到任意数量的不同离散输入的电压响应，作为卷积积分的总和：

{V（V）}_{我} (x, t吨) = \sum_{j} \int_{0}^{t吨} {G公司}_{我 j} (x, x_{j}, t吨 - 秒) 我_{j} (秒) d日 秒,

(10)

哪里 $x_{j}$ 是刺激物的位置 $我_{j} (t吨)$ 在分支上j。

格林函数由公式(5)对于任何具有有限长度分支的分支结构，分支包含无穷多个项。可以证明，这个无穷级数解的收敛速度比 ${e（电子）}^{- k个}$ ，足够高k个，行程访问的节点数。我们在附录中为具有度节点的任意树演示了这一点 $d日 = 三$ 或更少。这概括了雅培的收敛分析[25]，其中表明，对于无限二叉树，系数之和 ${A类}_{旅行}$ 是 $O（运行） (1)$ 访问任意数量节点的行程。

2.1四类算法

曹和雅培[21]介绍了一种使用行程求和方法构造格林函数的算法。他们的算法是基于找到任意两个测量点之间的最短行程x和电流注入年在树上。从最直接、最短的行程开始x到年，通过最小数量的节点，通过允许行程离开该点来定义四类行程x在任何方向和方法年沿着各自的分支从任意方向进行。因此，这些最初的旅行构成了各自班级中最早和最短的旅行；更长的行程是从中递增生成的。新的附加行程可以通过积分x和年任意次数，允许在任何节点更改方向。我们将此方法称为四类算法。

图1显示了具有两点的模型分支结构x和年以及他们之间最短的四班旅行。行程表示为节点标识符的序列，以开头和结尾x和年分别是。例如，我们表示从x到年通过节点A类,B类和C类根据其完整描述， $x A类 B类 C类年$ 。

从这些主要行程中，四类算法生成所有 $x \to 年$ 将所谓的“短途旅行”插入旅行中。如果A类和B类是树中相邻的节点，则可以将偏移添加到行程中 $x B类年$ 生成行程 $x B类 A类 B类年$ ，表示节点上的反射B类朝着A类，在终端反射A类返回到B类，通过此节点，最后到达点年这个过程可以无限期地迭代，每次生成两个以上节点的行程。如果此过程应用于每次行程中的每个节点n个和 $n个 + 1$ 节点，然后每次行程 $n个 + 2$ 和 $n个 + 三$ 将生成个节点。因此，从四个最短的 $x \to 年$ 树上的trips，可以显式地构造长度不超过某个阈值节点数的所有trips。然后，可以根据完整的行程描述计算这些行程的长度和系数，并允许公式给出格林函数(5)近似值。

3算法实现

在这里，我们建议对Cao和Abbott的四类算法进行可能的修改[21]并介绍了求和-over-trips形式的新的替代算法。

3.1形式语言理论方法

四类算法生成重复行程[21]，然后必须通过对每个生成的新行程的现有行程列表进行二进制搜索来删除，这需要 $O（运行） (k个日志 k个)$ 总时间，其中k个是构造的行程数。产生重复出行的机制有两种，通过对适用于出行的偏移选择进行简单限制，可以消除这两种机制。作为第一个示例，对于图1，可以生成跳闸 $x B类 A类 B类 C类 B类年$ 以两种不同的方式， $x B类年$ 以下为：

\begin{array}{rcl} x B类 年 & \overset{\begin{array}{c} 远足 \\ B类 \to B类 A类 B类 \end{array}}{\to} & x B类 A类 B类 年 \overset{\begin{array}{c} 远足 \\ B类 \to B类 C类 B类 \end{array}}{\to} x B类 A类 B类 C类 B类 年, \\ x B类 年 & \overset{\begin{array}{c} 远足 \\ B类 \to B类 C类 B类 \end{array}}{\to} & x B类 C类 B类 年 \overset{\begin{array}{c} 远足 \\ B类 \to B类 A类 B类 \end{array}}{\to} x B类 A类 B类 C类 B类 年 。 \end{array}

由于行程中的任何一步都可以增加偏移量（第一步或第二步B类)，同一跳闸可能会多次生成。如果我们坚持认为在最近添加到行程中的远足之前的任何步骤都不能添加远足，这是可以避免的。在无上下文语法理论中，这相当于需要最左边的推导。我们可以用一个符号来表示这一点，以分隔行程中可变和不可变的部分：

产生重复行程的第二种机制是从两端开始沿同一支路增加偏移量。在图中的结构中1，我们两者都有 $A类 \to A类 | B类 A类$ 和 $B类 \to B类 | A类 B类$ 因此，尽管有最左边的推导规则，我们仍然可以生成 $x A类 B类 A类 B类年$ 以两种不同的方式（为了清楚起见，添加了括号）：

\begin{array}{rcl} x | A类 B类 年 & \to & x (A类 | B类 A类) B类 年, \\ x | A类 B类 年 & \to & x A类 (B类 | A类 B类) 年 。 \end{array}

通过为每个分支指定方向，可以避免此问题。如果分支机构AB公司被赋予了方向 $\vec{B类 A类}$ 然后是远足 $A类 \to A类 | B类 A类$ 不允许。在非循环结构上，每个分支的方向选择是明确的：除了在其上的分支x则每个分支都必须远离x.其上的分支x居住者被引导远离年这样可以确保每个节点都有一系列偏移，使算法能够生成包括它在内的行程。可以在生成行程的过程之前向每个支路分配方向，并且可以与查找四种主要行程类别相一致。这些修改要求图是非循环的，因为“远离一点”通常在具有循环的图上是不可定义的。确实存在循环图，明确的语法可以为其生成语言 $x \to 年$ trips，但这些与单个树状树的研究无关。

四类算法的两个修改足以防止任何重复跳闸的产生，而不会错过任何跳闸。它们一起提供了一种明确的上下文无关语法，生成了 $x \to 年$ 旅行。

3.2长度优先法

由于系数 ${A类}_{旅行}$ 最多腐烂 ${e（电子）}^{- {L（左）}_{旅行}}$ （尽管出行次数随着 ${e（电子）}^{{L（左）}_{旅行}}$ )，格林函数（5）中的主导项是指数衰减 ${e（电子）}^{- {L（左）}_{旅行}^{2}}$ 在里面 ${G公司}_{\infty}$ 四类算法[21]不会按长度的单调顺序生成行程，因为行程是通过将相同的偏移添加到所有四类行程中来构建的。例如，如果由于以下原因，2级行程比1级行程长得多x沿着长边但靠近节点，则在可能较短的1级行程在较短支路上有额外偏移之前，将生成较长的2级行程。一般来说，如果支路上x或年reside实际上比树上的至少一个其他分支长，或者如果x或年与相邻节点中的一个节点相比，它们之间的距离要近得多。

在这里，我们建议通过长度-优先级方法实现总和-优势框架。在这个实现中，生成跳闸和相应的术语 ${A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}, t吨)$ 按长度单调顺序加到无穷级数解（5）中 ${L（左）}_{旅行}$ 。这是通过结合Eppstein算法实现的[23]找到k个图中的最短行程 $O（运行） (米 + n个日志 n个 + k个)$ 时间，使用n个是节点的数量，并且米分支结构上的边数。

四类算法和语言理论方法中描述的改进都依赖于将行程显式存储为节点序列。这会消耗 $O（运行） (k个 n个)$ 空间和时间k个旅行n个节点，但允许实时计算系数 ${A类}_{旅行}$ 这与Eppstein的算法相反[23]，它使用隐式表示存储行程，并允许我们找到k个仅隐式使用最短行程 $O（运行） (1)$ 每次旅行的空间和时间。基于Eppstein算法的当前实现需要 $O（运行） (k个 n个)$ 计算系数所需的时间，尽管由于隐式行程表示节省了空间。然而，Eppstein提供了一种方法来计算可由中的幺半群描述的任何属性 $O（运行） (1)$ 每次行程的时间。存在这样的系数计算描述，其使用将补充当前的 $O（运行） (k个 n个)$ 到 $O（运行） (k个)$ 空间需求减少，时间复杂性也相应减少。空间上的节省已经使得长度优先级方法比四类算法具有更好的伸缩性。

3.3蒙特卡罗方法

Abbott等人提出的拉索方程解的路径积分公式[20]通过考虑解决方案的Feynman–Kac表示，导出了树状几何体上的随机游走者。因此，考虑蒙特卡罗方法来计算路径积分是很自然的。可以使用随机算法构造格林函数（5），而不是长度优先法提供的长度顺序级数解。这种方法的目的是从出行中取样 $x \to 年$ 以这样一种方式，概率上更可能的样本与对级数解贡献最大的trips相吻合（5）。

为了激发这种蒙特卡罗方法，让我们考虑沿无限一维电缆的线性扩散方程，

\frac{\partial G公司}{\partial t吨} = D类 \frac{{⏴===========================================================================================}^{2} G公司}{\partial x^{2}}, t吨 \in [0, T型],

(11)

满足初始条件 $G公司 (x, 0) = δ (x - 年)$ 类似地，状态变量的扩散过程 ${X（X）}_{t吨}$ 可以由随机方程定义

d日 {X（X）}_{t吨} = \sqrt{2 D类} d日 {W公司}_{t吨},

(12)

使用维纳过程 ${W公司}_{t吨}$ 和初始条件 ${X（X）}_{0} = 年$ 众所周知，公式(11)是扩散过程（12）的Kolmogorov方程，即扩散状态（12）概率密度的时间演化方程。一方面，通过经典的数值或分析方法求解（11）可以得到 ${X（X）}_{t吨}$ ; 另一方面，（12）的重复采样收敛于解 $G公司 (x, t吨)$ 第页，共页（11）。通过在分支节点和终端设置适当的边界条件，这种随机行走采样方法也可以应用于任意几何体。知道 ${G公司}_{我 j} (x, 年, t吨)$ 在分支结构上，我们可以很容易地利用这个关系找到这个几何体上拉索方程的解

{G公司}_{我 j} (x, 年, t吨) = {G公司}_{我 j} (x, 年, t吨) {e（电子）}^{- t吨 / τ} 。

因为解的路径积分形式等价于在树状树的分支点上随机游动的函数的期望，将随机行走问题从神经元的完全连续空间几何简化为神经元的分支点的离散拓扑，为蒙特卡罗求解器提供了相当大的效率节约。我们引入一个参数 ${k个}_{最大值}$ ，我们希望计算其期望值的节点上的最大离散跳数。最大值基于间隔期间扩散的有效最大范围 $[0, t吨]$ 然后，我们生成节点上随机行走的实现，

ω = (ω_{1}, ω_{2}, \dots, ω_{{k个}_{最大值}}),

(13)

其中每个 $ω_{k个}$ 是标识特定节点的标签。用于旅行 $x \to 年$ 我们选择 $ω_{1}$ 它是与包含x，概率相等。通过索引两个节点之间的分支， $ω_{k个 - 1}$ 和 $ω_{k个}$ ，作为k个第个分支，以转移概率执行后续步骤

P（P） (ω_{k个} | ω_{k个 - 1}) = {第页}_{k个}, 2 \leq k个 \leq {k个}_{最大值},

(14)

哪里 ${第页}_{k个}$ 由（7）给出。这将Monte-Carlo方法与前面讨论的路径枚举方法联系起来。这里，我们介绍两个辅助功能，ϕ和 $\tilde{一}$ ，位于ω。第一个是一个函数，指示是否k个实现的步骤ω是有效行程，由

ϕ (年, k个, t吨, ω) = {\begin{cases} {G公司}_{\infty} (L（左） (年, k个, ω), t吨), & 如果 ω_{k个 - 1} 和 ω_{k个} 节点是否相邻 年, \\ 0, & 否则, \end{cases}

哪里k个是子通道中节点上的跃点数，以及 $L（左） (年, k个, ω)$ 是子人行道的长度。其他辅助功能 $\tilde{一}$ 定义为

\tilde{一} (k个, ω) = {\begin{cases} 1, & 如果 k个 = 1, 2, \\ 2, & 如果 ω_{k个 - 2} \neq ω_{k个}, \\ (2 {第页}_{k个} - 1) / {第页}_{k个}, & 如果 ω_{k个 - 2} = ω_{k个}, \\ 1, & 如果在封闭终端（这优先） 。 \end{cases}

路径上的相关函数可以定义为上述辅助函数的组合：

\tilde{A类} (年, ω, t吨) = \sum_{k个 = 1}^{{k个}_{最大值}} 2 ϕ (年, k个, t吨, ω) (\prod_{我 = 1}^{k个} \tilde{一} (我, ω)) 。

对 $\tilde{A类}$ 关于随机行走（14），相当于求解路径积分，直到 ${k个}_{最大值}$ 时间t吨以下为：

\begin{aligned} {E类}_{P（P）} [\tilde{A类} (年, ω, t吨)] & = \sum_{ω} P（P） (ω) \tilde{A类} (年, ω, t吨) \\ = \sum_{ω} \sum_{k个 = 1}^{{k个}_{最大值}} 2 P（P） (ω) ϕ (年, k个, ω) (\prod_{我 = 1}^{k个} \tilde{一} (我, ω)) \\ = \sum_{\begin{array}{c} ω 以下为： \\ x \to 年 \\ 在 k个 \end{array}} \sum_{k个 = 1}^{{k个}_{最大值}} 2 P（P） (ω) {G公司}_{\infty} (L（左） (年, k个, ω), t吨) (\prod_{我 = 1}^{k个} \tilde{一} (我, ω)) \\ = \sum_{\begin{array}{c} 旅行 \\ x \to 年 \end{array}} {A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}, t吨), \end{aligned}

哪里 $P（P） (ω)$ 是实现的概率ω、和 $E类$ 表示期望运算符。因此，Monte-Carlo策略是顺序或并行地对随机函数进行采样 $\tilde{A类}$ 为了构建这个期望。

3.4矩阵法

另一种构造和-过-行程系列解决方案的方法是按行程长度对行程进行分组：

\sum_{旅行} {A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}, t吨) = \sum_{我} {G公司}_{\infty} (我, t吨) \sum_{\begin{array}{c} t吨 第页 我 第页 秒 w个 我 t吨 小时 \\ {L（左）}_{旅行} = 我 \end{array}} {A类}_{旅行},

其中总和超过我超过所有可能的行程长度 ${L（左）}_{旅行}$ 。在树状树上，按分段模型离散[10]或以类似于将树离散化为部分位于NEURON[26]，根据行程长度对行程进行分组，可以计算给定长度的行程数量我无需显式构造它们。

该方法使用离散树的修正有向边邻接矩阵来计算给定长度的行程系数之和。它要求所有隔室具有相同的固定长度Δx尽管在本节末尾的概括中可以放宽这一限制。隔室的末端决定了节点的位置；相邻节点之间在两个方向上都存在有向边。

我们首先定义 $V（V）$ 作为节点集和ℰ作为离散化树中的有向边集。边是有序的节点对： $e（电子） = (u个, v（v）) \in E类$ 是来自的定向边u个到v（v），带有 $u个, v（v） \in V（V）$ .对于任何边缘 $e（电子） = (u个, v（v）)$ ，我们将反向边缘表示为 ${e（电子）}^{'} = (v（v）, u个)$ .旅行是从一个点开始的x沿着起始边缘 $秒 = (秒_{1}, 秒_{2})$ 并在某一点结束年沿着球门边缘 $克 = (克_{1}, 克_{2})$ 对于 $秒, 克 \in E类$ 我们这么说 $x \in 秒$ 或 $x \in (秒_{1}, 秒_{2})$ 如果x沿边缘驻留 $秒 = (秒_{1}, 秒_{2})$ .根据的位置 $x \in 秒$ 和 $年 \in 克$ ，的方向秒和克定义为最短的 $x \to 年$ 跳闸满足 $x \to 秒_{2} \to \dots \to 克_{1} \to 年$ 因此，最短的 $x \to 年$ 跳闸总是从边缘开始秒，也就是说，在 $秒_{1} \to 秒_{2}$ 方向和方法年沿着边缘克，在中 $克_{1} \to 克_{2}$ 方向。这相当于一级行程；二班旅行休假x沿着 $秒^{'} = (秒_{2}, 秒_{1})$ 边缘，到达 $年 \in 克$ ; 三级旅行 $x \in 秒$ 到 $年 \in 克^{'}$ ; 四班旅行，最后，从 $x \in 秒^{'}$ 到 $年 \in 克^{'}$ .点的位置 $x \in 秒$ 和 $年 \in 克$ 沿着其各自的边缘给出支路长度的分数，以便 $x Δ x$ 表示距离x到 $秒_{2}$ 和 $年 Δ x$ 是节点之间的距离 $克_{1}$ 和点年。我们区分k个，从行程长度来看，在特定行程中移动的边缘数量 ${L（左）}_{旅行}$ .因为x和年沿着各自的边缘驻留，即旅行的总长度k个如果沿k个边缘已被移动。那就是， ${L（左）}_{旅行} < k个 Δ x$ 对于以下任何组合x,年以及所有人k个。

矩阵法的目的是根据长度将从给定边缘开始到目标边缘结束的所有行程分组， ${L（左）}_{旅行}$ ，并计算系数之和 ${A类}_{旅行}$ 而不是单独计算每个行程的系数。从一点开始，同时计算在所有边缘结束的行程的系数总和 $x \in (秒_{1}, 秒_{2})$ ，允许我们计算 ${G公司}_{我 j}$ 为所有人j，对于所有人x在边缘我以及所有人年在任何边上，在一次计算中。我们定义了系数函数 ${c（c）}_{k个}^{秒} 以下为： E类 \to R（右）$ , $秒 \in E类$ ，作为所有系数的总和 ${A类}_{旅行}$ 从点开始 $x \in 秒$ 和旅行k个边，在给定边上完成克以下为：

{c（c）}_{k个}^{秒} (克) = \sum_{\begin{array}{c} 旅行 \\ x \to \dots \to 年 \\ 我 n个 k个 跳跃 \end{array}} {A类}_{旅行}, x \in 秒, 年 \in 克 。

因为边缘集ℰ既是有序的又是有限的，那么 ${c（c）}_{k个}^{秒} = ({c（c）}_{k个}^{秒} ({e（电子）}_{1}), \dots, {c（c）}_{k个}^{秒} ({e（电子）}_{| E类 |})) \in {R（右）}^{| E类 |}$ 可以认为是一个向量，其中 ${e（电子）}_{我} \in E类$ 对于 $我 = 1, \dots, | E类 |$ . The我向量的第个元素 ${c（c）}_{k个}^{秒}$ 对应于系数之和 ${A类}_{旅行}$ 对于所有始发于x在秒并沿我第条边 ${e（电子）}_{我}$ ，旅行过k个边缘。向量 ${c（c）}_{1}^{秒}$ 主要由零组成，只有一个在对应边缘的条目中秒，因为在此方向上移动的系数保持为1，而所有其他移动仅在一条边上移动无效，因此系数为0。

我们现在可以定义一个矩阵 $问 \in {R（右）}^{E类 \times E类}$ 使得

问^{k个} {c（c）}_{1} = {c（c）}_{k个 + 1} 。

(15)

问是边邻接矩阵的修改形式，其中不包含表示边邻接的1，否则为零，而是包含从一条边移动到另一条边时所取的系数。的条目问可以根据图形的形态学进行计算。如果j第个条目对应于边 $(u个, v（v）)$ 和我第个入口到边缘 $(v（v）, w个)$ ，然后输入 $问_{j 我}$ 是从分支移动时的系数 $(u个, v（v）)$ 到 $(v（v）, w个)$ 在一般情况下，必须为每个条目确定这些数值。然而，在简化的情况下，所有分支上的半径相等，所有节点都有度 $d日 = 1$ 或 $d日 = 三$ ，矩阵问可以根据

问_{j 我} = {\begin{cases} - \frac{1}{三}, & 如果 j = (u个, v（v）) 和 我 = (v（v）, u个) ，其中 v（v） 是学位节点 d日 = 三, \\ 1, & 如果 j = (u个, v（v）) 和 我 = (v（v）, u个) ，其中 v（v） 是封闭终端(d日 = 1), \\ \frac{2}{三}, & 如果 j = (u个, v（v）) 以及 我 = (v（v）, w个) ，其中 u个 \neq w个, \\ 0, & 否则 。 \end{cases}

(16)

请注意，上述规则适用于 $问_{我 j}$ 。

因此，了解矩阵问从树枝状几何和向量 ${c（c）}_{1}^{秒}$ 从起始边缘秒，可以构造 ${c（c）}_{k个}^{秒} (克)$ 所有条款 $k个 < {k个}_{最大值}$ ，等于以下所有行程的系数之和 ${k个}_{最大值}$ 边，来自 $x \in 秒$ 到 $年 \in 克$ 然而，考虑到出行从x只朝一个方向到达年我们仅从一个方向计算了1级行程的系数。为了找到其余三类的系数，我们还必须计算 ${c（c）}_{k个}^{秒^{'}} (克)$ , ${c（c）}_{k个}^{秒} (克^{'})$ 和 ${c（c）}_{k个}^{秒^{'}} (克^{'})$ 。这些可以用与上述相同的方式找到。使用（15），（5）中的格林函数可以写成

\begin{aligned} {G公司}_{我 j} (x, 年, t吨) = & \sum_{\begin{array}{c} 旅行 \\ x 到 年 \end{array}} {A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}, t吨) \\ = & \sum_{k个 = 1}^{{k个}_{最大值}} [{(问^{k个 - 1} {c（c）}_{1}^{秒})}_{克} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{1} (k个), t吨) \\ + {(问^{k个 - 1} {c（c）}_{1}^{秒^{'}})}_{克} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{2} (k个), t吨) \\ + {(问^{k个 - 1} {c（c）}_{1}^{秒})}_{克^{'}} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{三} (k个), t吨) \\ + {(问^{k个 - 1} {c（c）}_{1}^{秒^{'}})}_{克^{'}} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{4} (k个), t吨)], \end{aligned}

(17)

哪里 ${(问 {c（c）}_{1}^{秒})}_{克}$ 是克的矩阵向量乘积的第个元素问和 ${c（c）}_{1}^{秒}$ .长度 ${L（左）}_{1}, \dots, {L（左）}_{4}$ 分别为1级至4级行程的长度，定义为

\begin{aligned} {L（左）}_{1} (k个) & = Δ x (2 (k个 - 1) + x + 年), \\ {L（左）}_{2} (k个) & = Δ x (2 k个 - x + 年), \\ {L（左）}_{三} (k个) & = Δ x (2 k个 + x - 年), \\ {L（左）}_{4} (k个) & = Δ x (2 (k个 + 1) - x - 年) 。 \end{aligned}

通过选择较小的Δx，可以使用长度Δ的整数个边通过离散化来近似分支x与室模型一样，这允许近似树状树的完整形态，在高速（大Δx)和精度（小Δx). 作为 $Δ x \to 0$ 然而，这种方法倾向于使用数值方法天真地积分拉索方程的计算复杂性。在数值模拟中，减小Δx为了提高精度，Δ发生了必要的相关变化t吨，矩阵法也是如此：选择一个较小的Δx从而增加 $| E类 |$ ，意味着 ${k个}_{最大值}$ 必须增加。

该算法可以推广到接受几个离散的边长 $Δ x_{1}, \dots, Δ x_{n个}$ ，在不同长度的数量上以指数代价n个允许从少量不同长度的边缘构建“漫画”神经元。我们对这种方法的描述主要集中在以下情况x和年位于不同的分支。对于计算，其中x和年要求存在于同一条边上，可以对这些边进行离散化，以便x和年出现在不同的段上。在具有有界节点度的所有情况下，问是一个稀疏矩阵，每行只有几个条目，并且 $O（运行） (| E类 |)$ 所有条目使所有系数的计算变得复杂 $O（运行） (| E类 | {k个}_{最大值})$ 通过使用高效的稀疏线性代数算法。

3.4.1计算示例

在这里，我们展示了三个等长Δ分支的树枝状结构的矩阵方法的示例实现x，如图所示2在这种对称情况下，矩阵问非常小，可以手工建造。我们放置测量点x沿边缘 $秒 = (A类, B类)$ 和电流注入点年沿着 $克 = (B类, D类)$ 。

我们首先按如下方式对边对进行排序： $(A类, B类)$ , $(B类, A类)$ , $(B类, C类)$ , $(C类, B类)$ , $(B类, D类)$ , $(D类, B类)$ 基于这个有序集，我们可以得到两个系数向量 ${c（c）}_{1}$ ，一个用于从开始的旅行x并朝着B类，表示 ${c（c）}_{1}^{秒} = {(1 0 0 0 0 0)}^{T型}$ 和另一个用于从x朝向节点A类，表示 ${c（c）}_{1}^{秒^{'}} = {(0 1 0 0 0 0)}^{T型}$ 使用（16）中描述的规则，我们可以构造矩阵问我们的树枝状结构如下：

问 = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{三} & 0 & 0 & \frac{2}{三} & 0 & \frac{2}{三} \\ \frac{2}{三} & 0 & 0 & - \frac{1}{三} & 0 & \frac{2}{三} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{2}{三} & 0 & 0 & \frac{2}{三} & 0 & - \frac{1}{三} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}) 。

请注意，所有行和列的总和为1。了解此矩阵问将行程分为四个主要类别，很容易找到完整的格林函数：

\begin{aligned} {G公司}_{秒 克} (x, 年, t吨) = & \sum_{k个 = 1}^{{k个}_{最大值}} {(问^{k个 - 1} {c（c）}_{1}^{秒})}_{克} {G公司}_{\infty} (Δ x (2 n个 + x + 年), t吨) \\ + \sum_{k个 = 1}^{{k个}_{最大值}} {(问^{k个 - 1} {c（c）}_{1}^{秒^{'}})}_{克} {G公司}_{\infty} (Δ x (2 n个 + 2 - x + 年), t吨) \\ + \sum_{k个 = 1}^{{k个}_{最大值}} {(问^{k个 - 1} {c（c）}_{1}^{秒})}_{克^{'}} {G公司}_{\infty} (Δ x (2 n个 + 2 + x - 年), t吨) \\ + \sum_{k个 = 1}^{{k个}_{最大值}} {(问^{k个 - 1} {c（c）}_{1}^{秒^{'}})}_{克^{'}} {G公司}_{\infty} (Δ x (2 n个 + 4 - x - 年), t吨) 。 \end{aligned}

(18)

4方法的收敛性

我们首先通过构造格林函数来验证我们算法的计算实现 ${G公司}_{我 j} (x, 年, t吨)$ 在一个小的二叉树上。图中显示了通过长度-优势度、蒙特卡罗和矩阵方法获得的响应函数的两个剖面三并与软件包NEURON计算的数值模拟进行比较[26]. 这些曲线图显示了许多获得格林函数和数值解的方法之间的良好一致性，而蒙特卡罗方法在较大时间内的性能稍差。

任何算法的计算收敛性都会影响其结果的准确性和获得这些结果的速度。虽然格林函数（5）的级数解已被证明收敛于足够高的项数（见附录），但这假定解中的项数是最优的。因为系数 ${A类}_{旅行}$ 在构造trip之前不可能进行计算，因此很难按数量级降序生成级数解的项。四类、长度优势和矩阵方法按增加的顺序生成行程 ${L（左）}_{旅行}$ ，目的是通过他们的 ${G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}, t吨)$ 术语，在行程中单调减少。蒙特卡罗方法使用随机方法根据出行概率对出行进行排序，更可能的出行对（5）的贡献更大。然而，这些方法都没有对行程进行最优排序，因此它们的准确性不取决于数学方法的理论收敛性，而取决于实现该方法的算法的计算收敛性。

为了评估算法的计算收敛性，在图中所示的多个分支几何结构上构建了格林函数解4除了图中拓扑结构的二叉树外4A、这些算法还应用于从NeuroMorpho数据库中获得的四个真实神经元重建[27]英寸.swc软件格式，如图所示。4B–E类。这些文件使用一系列具有精确半径和三维位置的节点来描述躯体的位置以及轴突和每个树突所走的路径。可以使用尽可能多的节点来描述树枝晶的路径，以准确反映其路径的空间抖动和半径变化。因为半径是在节点处描述的，所以两个节点之间的边具有不同的锥度。总和-三重形式要求沿边缘的直径恒定，但允许节点处直径的不连续跳跃。因此，边缘直径被定义为相邻节点直径的平均值。这允许将完整的树枝状分支表示为任意长度的均匀圆柱体序列，并且节点处的直径发生突变。

我们使用了以下标准化 ${L（左）}^{1}$ 误差作为收敛的度量：

ε = \frac{1}{{V（V）}_{N个}} \int_{0}^{T型} | {G公司}_{我 j} (x, 年, t吨) - {V（V）}^{*} (x, 年, t吨) | d日 t吨,

哪里T型是最后的模拟时间， ${V（V）}^{*} (x, 年, t吨)$ 是NEURON的高精度数值解 ${V（V）}_{N个} = \int_{0}^{T型} {V（V）}^{*} (x, 年, t吨) d日 t吨$ 是精确NEURON解的积分。因此，这种收敛度量与“真实”解的振幅有关，因此存在误差ε在不同的神经元类型之间是可比较的。

图5图中显示了四类和长度-优度方法的收敛性，它们是图中五种几何体上行程次数的函数4表中给出了三组参数1考虑了二叉树和相对误差ε对于每种情况，如图所示。5A–C。这些图显示了相当一致的收敛性，其中两种方法提供了相似的精度和收敛速度。在具有生物物理真实参数的两棵树中，分支较长的二叉树（参数集C）收敛速度更快，正如每个类中行程较长的结构所预期的那样。这反映在表中2，它显示了在不同参数集的给定错误阈值下，二叉树上需要保持的行程数。此外，与具有生物物理真实参数的同一棵树相比，具有无量纲化参数（参数集a）的二叉树需要明显多的行程才能获得所需的精度。

表1图中二叉树的参数集4A类

全尺寸桌子

表2二叉树上的长度优先级方法：给定精度所需的跳闸次数

全尺寸桌子

数字5D–G秀ε图4分别为B-E。他们证明了在复杂的分支结构上收敛是非平凡的。图5D表明，与浦肯野细胞的收敛相比，长度优先方法在无长突细胞几何结构上的误差始终较小，如图所示5E、其中四类方法对所有出行次数产生的误差较小。这两种方法都显示出强烈的不规则收敛性和误差的高振幅振荡ε在无长突细胞中。对于这两种方法，Purkinje单元显示了格林函数的误差平台，很少跳闸，这表明这些跳闸幅度较小，或者它们的电压轨迹在后续跳闸之间的欠冲或过冲之间交替出现正确的解决方案。这表明，无论是长度优先还是四类方法都不能很好地启发式地对格林函数中的项进行排序。误差的振荡特性进一步暗示了这一点，这意味着在某些地区，增加误差的行程比减少误差的行程更频繁。

金字塔细胞的收敛表现出非常不连续的行为（图5F）尤其是在长度-优势法中。当格林函数中包含大约350次行程时，发现错误的大幅跳变是由迄今为止包含的第一次和最短的2级行程引起的，之前的所有行程都属于1级。如果沿着最短和最直接的支路存在非常短的支路，则可能出现这种行为 $x \to 年$ 跳闸，因此许多第一类跳闸首先产生，比第一个第二类跳闸更短。虽然考虑长度优先法的动机之一是完全按长度顺序生成行程，但这种启发式方法并不试图包括系数 ${A类}_{旅行}$ 这是一个2级跳闸的系数值在病理学上发生巨大变化的例子，这对格林函数的作用非常显著。四班制的方法，在每次增加的短途旅行中强制生成所有四班的旅行，并没有显示出如此大的误差下降。然而，误差图仍然非常不连续，这可能是我们刚才描述的情况的一个特征，其中点x和年放在与最直接的树枝长度不同的树枝上 $x \to 年$ 跳闸，或当这些点非常靠近节点时。注入点和测量点是否位于明显长于或短于最短支管的支管上 $x \to 年$ trip，四类和长度-优度方法都将以“不自然”的顺序生成trip，在电流传播最快的地方对trip进行二次采样，但在树枝很短的树区域进行过采样。这种病理特征可能并不存在于真实的神经元形态中，但如果沿着分支发现半径变化，则可能是在切片图像数据的数字重建过程中创建的。所以，这种病理学可能并不代表神经元的几何形状，而是一种重建功能。

切线单元的收敛，如图所示5G、显示了四类和长度-优度方法几乎相同的错误，表明无论采用何种方法，trips都是以相似的顺序生成的。与金字塔细胞的例子相反，当x和年被放置在明显短于最短枝条的枝条上 $x \to 年$ 路径，例如长度优先级方法按顺序返回1、2、3和4类行程，因为这些长度的增加比直接增加偏移要短 $x \to 年$ 跳闸。

我们的结果清楚地表明，无论是四类还是长度优先法实现的和-over-trips框架的收敛性都强烈依赖于树状几何。对于实际形态，所需的行程数很快就会变得非常大，以至于保证收敛到某个较小的错误阈值内可能会导致计算成本高昂。

蒙特卡罗方法的收敛性如图所示6对于图中的二叉树4参数集为A的A，对于深度为16的较大二叉树，参数相同。边界效应可以在较小的树上看到，其中收敛速度略快于此处观察到的较大树的典型蒙特卡罗积分的收敛速度。值得注意的是x-此图上的轴显示生成的随机漫步数；然而，由于从每个随机行走中提取的子行程数，导致格林函数的术语数可能会有显著差异。图表表明，蒙特卡罗方法的收敛速度非常慢，尽管该方法的收敛性更具可预测性，尽管存在噪声。因此，正如预期的那样，蒙特卡罗方法生成的行程更为“自然”有序，因此收敛性更为单调。尽管系列解决方案中的术语排序得到了改进，但蒙特卡罗方法仍然需要大量计算，并且收敛速度很慢，以适应不断增加的行程。

最后，二叉树上矩阵方法的收敛性如图所示7该算法收敛速度极快，误差容限非常小 ${k个}_{最大值}$ ，生成的trips覆盖的最大边数。产品的价值 ${A类}_{旅行}$ 通过该方法获得的系数保持不变 $O（运行） (1)$ 为所有人 ${k个}_{最大值}$ 与中的证明一致[25]. 因为该算法基于简单的矩阵-向量乘法，其中矩阵是 $| E类 | \times | E类 |$ 在大小上，计算小树的格林函数，如此处用于内部的二叉树 $ε = 10^{- 15}$ 只需要几秒钟。在更复杂的树上，例如Purkinje细胞，这会变得更昂贵，尽管计算 ${G公司}_{我 j} (x, 年, t吨)$ 因为在计算上，整棵树仍然优于使用brute-force模拟器。使用互易规则（9），这在 $| E类 |$ 算法的应用。这与长度优先性和四类方法相比是有利的，后者需要 $| E类 | (| E类 | + 1) / 2$ 算法的应用，以及使用NEURON，这需要 ${| E类 |}^{2}$ 模拟，这将只为单点提供解决方案年在每个边缘。此外，矩阵的稀疏性问意味着系数计算最高可达 ${k个}_{最大值}$ 只接受 $O（运行） (| E类 | {k个}_{最大值})$ 时间，因此该方法与树上的分支数成线性关系。

4.1结构-电学性质

格林函数 ${G公司}_{我 j} (x, 年, t吨)$ 为给定的树状结构构造提供了输入位置之间传输阻抗的测量年在分支上j和测量点x在分支上我评估神经元几何形状是否显著影响这种输入-输出关系是回答有关树突形态巨大自然变化背后的结构-功能关系问题的一个步骤。使用Zador等人提出的措施[32]传播延迟和对数衰减，我们分析了图中四个重构单元中响应信号的传输4.对于一对点 $(x, 年)$ 沿着树，我们重新引入传播延迟 ${P（P）}_{x 年}$ 作为树的电子结构对信号计时影响的度量，定义为

{P（P）}_{x 年} = {\hat{t吨}}_{x} - {\hat{t吨}}_{年} 。

在这里， ${\hat{t吨}}_{x}$ 和 ${\hat{t吨}}_{年}$ 是两个相应电压瞬变的质心 ${G公司}_{x} (t吨) = {G公司}_{我 j} (x, 年, t吨)$ 和 ${G公司}_{年} (t吨) = {G公司}_{j j} (年, 年, t吨)$ 分别为：

{\hat{t吨}}_{x} = \frac{\int_{0}^{\infty} t吨 {G公司}_{x} (t吨) d日 t吨}{\int_{0}^{\infty} {G公司}_{x} (t吨) d日 t吨} 和 {\hat{t吨}}_{年} = \frac{\int_{0}^{\infty} t吨 {G公司}_{年} (t吨) d日 t吨}{\int_{0}^{\infty} {G公司}_{年} (t吨) d日 t吨} 。

此延迟度量允许一个附加属性，即 ${P（P）}_{x 年} = {P（P）}_{x z（z）} + {P（P）}_{z（z）年}$ 就这点而言z（z）之间x和年.一对点之间响应信号的对数衰减 $(x, 年)$ 计算为 ${L（左）}_{x 年} = 日志 {A类}_{x 年} > 0$ ，其中

{A类}_{x 年} = \frac{\int_{0}^{\infty} {G公司}_{年} (t吨) d日 t吨}{\int_{0}^{\infty} {G公司}_{x} (t吨) d日 t吨} \geq 1 。

(19)

它用于测量瞬态信号在两点之间传播时振幅减小的量。 ${L（左）}_{x 年}$ 也是一个点的累加z（z）之间x和年也就是说， ${L（左）}_{x 年} = {L（左）}_{x z（z）} + {L（左）}_{z（z）年}$ 。

图8证明了传播延迟和对数衰减是距离的函数年远离x图中重建的树枝状形貌4B–E类。重点x被放置在躯体附近，如图所示4以及年被移出x沿着一条路径到达远端树突。正如附加特性所预期的那样，延迟和对数衰减在年和x图中的曲线8显示有噪声的线性趋势，可以对其进行平滑处理，以便通过从位于不同分支的多个点（但距离相同的固定距离）采样数据来更好地证明这种线性x以半径扩大球体的方式年，原点位于x为了比较响应信号如何在四种神经元类型中传递，我们在图中绘制了单个细胞的延迟和对数衰减的变化率9，通过线性回归计算，并强制该线穿过原点。它简明扼要地说明了输入信号将在这四个细胞中以不同的方式传播，其中切向细胞与金字塔细胞具有相似的延迟率，与无长突细胞具有类似的对数衰减率。Purkinje细胞中的信号衰减最为明显，而锥体细胞传递信号非常有效。Vetter等人得出了类似的结论，但关于树突状动作电位的传播[30]. 电压门控通道的激活预计在电压被动扩散强烈衰减的情况下不太稳健，这可能解释[30].

5讨论

在本文中，我们介绍了一些有效的算法来计算实现和over-trips框架，并评估了它们的收敛性。我们首先对Cao和Abbott的四类算法进行了一些修改[21]避免重复出行。导出了一种明确的无上下文文法，该文法能够以单调的长度顺序唯一地生成所有行程。然后，我们发展了长度优先法，在该方法中，旅行完全按照长度顺序而不是在课堂上进行。两种方法都显示出非常不均匀的收敛，这与树突形态以及细胞膜的生物物理特性密切相关。收敛误差的振荡使得很难预测在特定几何体上构造格林函数所需的行程数。具有均匀直径的较长分支的树枝状结构将更快收敛，也就是说，对于串联解决方案中较少的跳闸次数。我们还推导了一种基于蒙特卡罗方法的随机出行抽样方法，而不是按照明确的顺序对出行进行抽样。最后，我们提出了一种非常有效的矩阵方法来计算出行系数， ${A类}_{旅行}$ ，对于所有枝条长度为某个基长整数倍的树，Δx。

虽然我们在本研究中认为树枝晶是被动的，但通过计算拉普拉斯域中的格林函数，可以很容易地将所提出的算法推广到支持准主动（共振）树枝晶[24]. 此外，在拉普拉斯域级数解中包含一个等势体是很简单的。体细胞可以被视为具有以下因素的特殊节点 ${第页}_{k个} (ω)$ 与定义为 ${第页}_{k个} (ω) = {第页}_{k个}^{- 1} \sqrt{(ω + τ^{- 1}) {D类}_{k个}^{- 1}} / (\hat{C类} ω + {\hat{R（右）}}^{- 1} + \sum_{米} {第页}_{米}^{- 1} \sqrt{(ω + τ^{- 1}) {D类}_{米}^{- 1}})$ ，其中 $\hat{C类}$ 和 $\hat{R（右）}$ 是体细胞膜的电容和电阻ω是拉普拉斯变换的频率变量。当泄漏端边界条件（称为自然终止塔克韦尔[33]，施加在端子上。已知给定树状结构的格林函数，可以通过分析或卷积积分计算，有效地沿整个树状结构找到任意数量的各种输入的亚阈值电压响应。这样就不需要对一组带下划线的PDE进行强制数值模拟。这样的模拟可能计算成本很高，尤其是因为每次引入新刺激时都必须重新启动。在超阈值输入的情况下，可以激活存在于许多神经元树突中的电压门控通道，即尖峰扩散尖峰（SDS）型模型[34,35]可用于分析树突状动作电位的传播。虽然SDS框架中的电压门控通道是用分段线性动力学而不是非线性动力学建模的，但已经表明SDS模型中的波传播速度与更符合生物物理实际的非线性模型非常吻合[36]. 然而，一个易于分析的SDS模型与在实际几何体上构造格林函数的快速算法相结合，为研究树枝晶中的波散射提供了一个计算高效的框架。

虽然可以对空间扩展的神经细胞网络进行数值模拟，但目前对此类网络的数学研究很少。一个自然的延伸可能是考虑由间隙连接耦合的分支神经元网络。然后，可以将求和形式化，以支持新边界条件的存在。Harris和Timofeeva的最新结果[37]可以应用于树枝状分支的尖端耦合情况。然后，可以通过包含附加的和-over-trips规则来修改所提出的算法。值得一提的是，本文提出的计算方案能够处理循环图，循环图可能是由跨多个神经元的间隙连接耦合形成的。虽然矩阵方法预计对对称或规则结构的网络最有效，但离散树的实际重建仍在计算范围内。例如，给定一个密度和大小正确的稀疏随机矩阵 $20, 000$ ，相当于具有 $10, 000$ 边，计算 ${G公司}_{我 j} (x, 年, t吨)$ 为所有人j高达 ${k个}_{最大值} = 10^{5}$ 在台式计算机上只需15秒钟。为了进行比较，图中的Purkinje细胞重建4D刚好低于 $5, 000$ 分支。对于非常大、复杂的不规则结构，可以采用最近开发的降低大型枝晶复杂性的技术[38]在应用sum-over-trips方法之前。

附录：和over-trips级数解的数学收敛性

这里，我们考虑一个相同的扩散系数D类对于所有分支，尽管可以将此证明推广到支持不同的扩散系数。正在修复t吨自始至终，我们让

{G公司}_{我 j} (x, 年) = \sum_{旅行} {A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \sum_{\begin{array}{c} 第页 一 t吨 小时 秒 w个 我 t吨 小时 \\ k个 节点 \end{array}} {A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}),

哪里

{G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}) = \frac{1}{\sqrt{4 π t吨 D类}} {e（电子）}^{- {L（左）}_{旅行}^{2} / (4 D类 t吨)} {e（电子）}^{- t吨 / τ} 。

(20)

{A类}_{旅行}

是的产品k个因素 $2 第页 \in (0, 2)$ 和 $2 第页 - 1 \in (- 1, 1)$ ，其中k个对于任何分支直径，是行程访问的节点数。然后，为了一次触摸的旅行k个节点，

| {A类}_{旅行} | \leq 2^{k个} 。

(21)

存在一个常量 $B类 > 0$ 这样每次旅行都会碰到k个节点满足

{L（左）}_{旅行} \geq B类 k个 。

(22)

这使得B类行程长度下限的系数，以行程中的节点数表示。直觉上，贝克等于任意两个节点之间的最小距离，为此，我们计算x和年作为节点。

让 ${F类}_{k个}$ 是旅行次数k个节点。因为每个节点都有度 $d日 \leq 三$ ，然后

{F类}_{k个} \leq 三^{k个} 。

(23)

我们介绍

Γ_{k个} = \sum_{\begin{array}{c} t吨 第页 我 第页 秒 w个 我 t吨 小时 \\ k个 节点 \end{array}} {A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}) 。

然后

\begin{aligned} | Γ_{k个} | & = | \sum_{\begin{array}{c} t吨 第页 我 第页 秒 w个 我 t吨 小时 \\ k个 节点 \end{array}} {A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}) | \\ \leq \sum_{\begin{array}{c} t吨 第页 我 第页 秒 w个 我 t吨 小时 \\ k个 节点 \end{array}} | {A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}) | \\ = \sum_{\begin{array}{c} t吨 第页 我 第页 秒 w个 我 t吨 小时 \\ k个 节点 \end{array}} | {A类}_{旅行} | | {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}) | 。 \end{aligned}

(24)

为了简单起见，我们将格林函数（20）重写为 ${G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}) = C类 {e（电子）}^{- E类 {L（左）}_{旅行}^{2}}$ ，其中

C类 = \frac{{e（电子）}^{- t吨 / τ}}{\sqrt{4 π D类 t吨}} 和 E类 = \frac{1}{4 D类 t吨} 。

然后使用（21）–（24），我们得到

\begin{aligned} | Γ_{k个} | & \leq \sum_{\begin{array}{c} t吨 第页 我 第页 秒 w个 我 t吨 小时 \\ k个 节点 \end{array}} 2^{k个} C类 {e（电子）}^{- E类 {L（左）}_{旅行}^{2}} \\ \leq \sum_{\begin{array}{c} t吨 第页 我 第页 秒 w个 我 t吨 小时 \\ k个 节点 \end{array}} 2^{k个} C类 {e（电子）}^{- E类 {B类}^{2} {k个}^{2}} \\ \leq {F类}_{k个} 2^{k个} C类 {e（电子）}^{- E类 {B类}^{2} {k个}^{2}} \\ \leq 三^{k个} 2^{k个} C类 {e（电子）}^{- E类 {B类}^{2} {k个}^{2}} \\ = 6^{k个} C类 {e（电子）}^{- E类 {B类}^{2} {k个}^{2}} \\ = C类 {e（电子）}^{- k个 (E类 {B类}^{2} k个 - 自然对数 (6))} 。 \end{aligned}

(25)

我们定义 $N个 = ⌊ 自然对数 (6) / (E类 {B类}^{2}) ⌋$ 使得 $E类 {B类}^{2} k个 - 自然对数 (6) > 0$ 对于 $\forall k个 > N个$ .然后

\begin{aligned} | \sum_{k个 = 0}^{\infty} Γ_{k个} | & \leq \sum_{k个 = 0}^{\infty} | Γ_{k个} | \\ \leq \sum_{k个 = 0}^{\infty} C类 {e（电子）}^{- k个 (E类 {B类}^{2} k个 - 自然对数 (6))} \\ = \sum_{k个 = 0}^{N个} C类 {e（电子）}^{- k个 (E类 {B类}^{2} k个 - 自然对数 (6))} + \sum_{k个 = N个 + 1}^{\infty} C类 {e（电子）}^{- k个 (E类 {B类}^{2} k个 - 自然对数 (6))} 。 \end{aligned}

(26)

（26）中的第一个和是有限项的有限和，因此是有限的。现在，我们将使用收敛级数的d'Alembert比率准则证明第二和也是有限的。比例 $ρ_{k个}$ 系列中的连续术语，k个和 $k个 + 1$ ，是

\begin{aligned} ρ_{k个} & = | \frac{C类 {e（电子）}^{- (k个 + 1) (E类 {B类}^{2} (k个 + 1) - 自然对数 (6))}}{C类 {e（电子）}^{- k个 (E类 {B类}^{2} k个 - 自然对数 (6))}} | \\ = {e（电子）}^{- (E类 {B类}^{2} (2 k个 + 1) - 自然对数 (6))} 。 \end{aligned}

出租 $k个 \to \infty$ ，我们获得

\begin{aligned} ρ_{\infty} & = \underset{k个 \to \infty}{林} ρ_{k个} \\ = \underset{k个 \to \infty}{林} {e（电子）}^{- (E类 {B类}^{2} (2 k个 + 1) - 自然对数 (6))} \\ = 0 。 \end{aligned}

使用 $ρ_{\infty} < 1$ ，（26）中的第二个和对所有常数绝对收敛 $B类, C类, E类 > 0$ 因此，（26）中的级数绝对收敛k个。

如果我们定义

{G公司}_{我 j}^{M（M）} (x, 年, t吨) = \sum_{k个 = 0}^{M（M）} \sum_{\begin{array}{c} t吨 第页 我 第页 秒 w个 我 t吨 小时 \\ k个 节点 \end{array}} {A类}_{旅行} {G公司}_{\infty} ({L（左）}_{旅行}, t吨),

然后

| {G公司}_{我 j} - {G公司}_{我 j}^{M（M）} | \leq \sum_{k个 = M（M） + 1}^{\infty} C类 {e（电子）}^{- k个 (E类 {B类}^{2} k个 - 自然对数 (6))}

路径积分的收敛速度比 ${e（电子）}^{- k个}$ 在最坏的情况下，节点数k个旅行团到访。

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下载参考资料

致谢

QC和SPCB谨感谢华威大学复杂性科学博士培训中心以及EPSRC提供的资金（EP/E501311）。SRD感谢EPSRC和MRC通过爱丁堡大学神经信息学博士培训中心提供的资金。YT感谢BBSRC（BB/H011900）和RCUK提供的支持。

作者信息

作者和附属机构

英国考文垂沃里克大学复杂性科学中心，CV4 7AL
昆廷·考德伦、塞缪尔·PC品牌和尤利娅·蒂莫菲耶娃
英国考文垂华威大学计算机科学系，CV4 7AL
昆廷·高德隆和尤利娅·蒂莫菲耶娃
英国爱丁堡大学神经信息学和计算神经科学博士培训中心
西蒙·唐纳利
英国考文垂华威大学数学学院，CV4 7AL
Samuel PC品牌

作者

昆廷大锅
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西蒙·唐纳利
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Samuel PC品牌
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尤利娅·蒂莫菲耶娃
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通讯作者

与的通信昆廷大锅。

其他信息

竞争性利益

提交人声明他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

QC直接参与了算法的开发和实施，进行了所有分析，并起草了手稿。SRD参与了算法的开发和实现。SPBC开发了蒙特卡罗算法。YT构思并指导了这项研究。所有作者都对最终手稿进行了改进，他们已经阅读并批准了最终手稿。

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关于本文

引用这篇文章

Q.Caudron、S.R.Donnelly、S.P.Brand。等。真实树状形态路径积分的计算收敛性。数学杂志。神经科学。 2, 11 (2012). https://doi.org/10.1186/2190-8567-2-11

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收到以下为：2012年6月19日
认可的以下为：2012年9月11日
出版以下为：2012年11月22日
内政部以下为：https://doi.org/10.1186/2190-8567-2-11