机械建模
在本文中，我们支持这样一种假设，即在通过同二聚体蛋白进行信号转导的过程中，受体的二聚体性质在生物系统的快速反应中起着至关重要的作用。许多质膜受体的表面密度往往很低[19]. 对于质膜上的低密度受体，需要细胞溶质相互作用蛋白的同质二聚体活性机制来增强系统对外部刺激的细胞内反应。为此，我们提出受体的二聚体结构不仅允许每个受体的单体结合蛋白的简单激活，还允许结合蛋白的两个单体同时协同激活，受体的每个亚基一个。在这种情况下，我们考虑受体的一个亚单位和蛋白质换能器的一个单体之间的单一相互作用，就受体-蛋白质相互作用的数量而言，我们称之为“单一蛋白质激活过程”。相反，同一受体的两个亚单位同时与两个不同单体相互作用被称为“双蛋白激活过程”。在下文中，我们将假设允许在同一受体单体上同时激活两个或多个蛋白质单体的高阶过程并不重要。对PDGF受体的几项研究表明，所有酪氨酸磷酸化位点都单独或联合发生突变，当多余位点被敲除时，信号没有改变，这表明这一假设在原则上是有意义的[20].
所考虑的数学框架用耦合常微分方程描述了蛋白质浓度的时间演变。分子物种X的变化率
我
（激活或失活的蛋白质传感器和受体的数量）表示为：
(1)
哪里γ
j个
是速率系数，克
jk公司
动力学级数和σ
ij公司
化学计量系数。化学计量系数σ
ij公司
产物为正，反应物为负，并描述X的分子数
我
在考虑的反应中转化。速率系数包含有关反应物理性质的信息，如活化能和内部状态[21]. 如果我们假设环境条件，如温度、压力和pH值不会随时间变化，γ
j个
是速率常数。动力学顺序的解释克
jk公司
取决于所选的生化网络描述水平。当（1）是在统计物理的框架内推导出来的，并且已知并考虑了完整的反应机制时，系数克
jk公司
具有明确的机械意义，并定义了物种分子的数量X（X）
我
与考虑的反应有关。在这种情况下，动力学顺序具有正整数值。相反，如果我们将基本反应步骤聚合成一个组合幂律表达式，其形式与（1）相同，则系数的解释克
jk公司
更改，它们可以采用非整数值[22–25]. 下一节将对后一种情况进行调查。
为了我们的研究目的，我们考虑了扩散信号蛋白的一般情况（为了简单起见，命名为蛋白质,P（P）在我们的讨论中），在与同二聚体激活受体（命名为受体,R（右）*). 为了将研究重点放在同二聚体受体-修饰体传感器-蛋白质类相互作用的一般设计原则上，我们简化了系统的数学模型，故意忽略了导致类差异的细节。该程序与中使用的程序类似[26].
我们提出了一个单一蛋白质激活蛋白质二聚体的模型，如图所示1在这个过程中，两个蛋白质单体，P（P）与两个独立的激活受体结合，R（右）*因此，单体被激活，P（P）*，并将释放回细胞质。最后单体形成活化的同源二聚体(P*P公司*)，它将信号传给下游。二聚体的活化可通过以下化学计量方程式表示：
（2a）
（2b）
（2c）
方程式（2a）和（2b）描述了独立单体的活化，而（2c）描述了细胞溶质中二聚体的形成。除了浓度外，每个反应都由速率常数决定k
我
，封装关于潜在的生物化学反应的物理信息。为了简化，我们采用了额外的假设。首先，因为在我们的简化模型中没有生产或额外招募蛋白质传感器P（P），对于P（P）和P（P）*在模型中。此外，我们假设由于恒定的外部信号，受体活性保持不变[27]. 受体活性/浓度的动态控制和蛋白质传感器的补充/回收[28]是信令系统中的重要特征，在建模特定信令路径时必须考虑这些特征，但为了便于推广，这里可以忽略。最后，我们进一步假设在所研究的一类相互作用中，中间态R*P无法进入单体激活路径[28].
化学计量表示（2）可以转换为一组耦合微分方程。活性单体的变化率为
(3)
其中右侧的第一项对应于单体的活化，第二项对应于二聚。单体蛋白质的活化与蛋白质和活化受体的浓度呈线性关系。的下标P（P）左侧表示这一事实。除了上述单一活化过程外，我们还考虑了双蛋白活化。这里，两个单体与同一激活受体结合，如图所示2.双蛋白活化的化学计量公式为
（4a）
（4b）
其中第一个术语描述双蛋白活化过程，第二个术语描述二聚体形成。与（2a）和（2b）相比，蛋白质的分子量P（P）在磷酸化过程中现在是两个而不是一个。二聚过程与单蛋白活化过程具有相同的结构。
因为我们关注单蛋白激活和双蛋白激活机制结合的结果，所以我们忽略了双机制的一些内部细节，并将其合并到单个表达中（有关更多详细信息，请参阅附加文件1]). 活化蛋白浓度的时间变化如下所示
(5)
与化学计量方程类似(4)，相对于其非活性形式，蛋白质的磷酸化是一个二阶过程P（P）（5）中的下标2表示蛋白质活化过程中涉及的双蛋白活化过程。我们注意到，为了简单起见，我们对过程使用了简化的表示法，以关注本工作中建议的组合激活机制的影响。特定细胞系统的建模可能需要对生物化学相互作用进行更详细的描述。在下文中，为了简单起见，我们为速率常数指定了相同的值k2和k4并将我们的注意力集中在不同的激活机制上。如果我们假设这两种激活机制同时发生，并且磷酸化单体对于细胞和所进行的实验是无法区分的，那么活性单体蛋白质的总浓度就是这两种“物种”的总和
(6)
因此，活性形式的浓度变化P（P）*两个起作用的激活过程的总和的结果
（7a）
（7b）
经过一些代数变换后，出现了简化：
(8)
其中，我们将所考虑的活化过程和二聚化的贡献安排为单独的项。正如我们在上述讨论中所预期的那样，速率定律（8）包含了单蛋白和双蛋白激活过程的组合。然而，从上述速率定律我们可以很容易地导出极限情况，其中所考虑的过程之一占主导地位。为此，我们分析了等式括号中的表达式(8). 一方面，如果我们有
与单蛋白活化相比，双蛋白活化可以忽略不计。表观动力学顺序P（P）在速率方程中倾向于克1= 1. 如果我们有
则以双蛋白激活为主。表观动力学阶趋向于克2= 2. 在上面讨论的极限情况中，两种激活机制都有助于动力学，并且系统不是简单的单蛋白或双蛋白激活。一个基本的、正的和整数的动力学顺序不能被指定给整个反应，并且出现了一个明显的正的非整数动力学顺序。下一节讨论了表观动力学顺序的起源及其对动力学常数的依赖性。
幂律建模
测量蛋白质、活性和非活性受体和/或蛋白质活化的二聚体的浓度的实验不能区分在单一或双重蛋白质活化过程中产生的活性单体。为了区分不同的激活机制，需要一种间接方法，另一种可能性是研究蛋白质的结构。然而，检测同一受体上的两个结合位点并不能保证同时使用这两个位点，也不能保证这是一个有效的激活过程。
为了进一步研究两种不同且同时作用的磷酸化机制的可能性，我们将上述部分介绍的两种过程聚合为一个贡献。受体的顺序R（右）在激活过程中是一个，如机械模型（8）。然而，蛋白质的贡献P（P）是所考虑的单一和双重激活过程的组合。由于两种激活机制都由k1和k三这些动力学参数的估计产生了可识别性问题。如果我们考虑一种两个过程都无法区分的情况，重现这种复杂性的可行方法是使用幂律表示法，考虑到非整数动力学阶。如中所述[25]当确切的反应机制未知或实验数据不足时，幂律模型可用于模拟细胞信号。关于细胞信号的示例，我们参考[29]：在这项工作中，定量时间进程数据被用于识别幂律模型。如果我们使用幂律术语，生产术语（磷酸化P（P）)新速率方程的结构如下：
V（V）(R（右）*,P（P）) ≈γ1·R（右）·P（P）克.
表观动力学顺序克描述了蛋白质的作用，现在有一个介于1和2之间的非整数值。的特定值克取决于速率常数k1,k三以及非活性蛋白质的浓度P（P）如“机械建模”小节所示。我们注意到，这个表观动力学顺序只是与基本反应的动力学顺序的数学模拟。它没有提供关于潜在机制的详细信息，因此，它不能以与基本反应方案的动力学顺序相同的方式进行解释。除了表观动力学顺序克，我们还引入了表观动力学常数γ1在幂律表示（9）中。由于（9）中生产项的聚合，此表观动力学常数与机械速率定律（8）中的动力学常数不一致。然而，它取决于动力学常数k1和k三同时也影响了单蛋白和双蛋白活化过程的效率比。
在所考虑的情况下，所考虑机制的效率差异由单（3）和双蛋白活化过程（5）的生产条件决定。在我们的分析中，我们忽略了活化受体浓度的共同贡献，R（右）*以及两个术语中的常量前置词。因此，效率的比率主要由比率决定(k三) =k1.此比率的改变将改变表观动力学顺序克（见图三). 我们使用了[30]. 正如预期的那样，表观动力学顺序克在等式中(9)如果磷酸化机制的比率被修改，它的值就会改变。如果与单激活过程相比，双激活过程的贡献增加，则会增加。如“机械建模”小节所述，动力学顺序受值的限制克=2，当P（P）通过双蛋白活化过程实现。下限是克=1，当单一激活过程占主导地位时。
在一般情况下，假设我们不知道基础（不可区分）过程（由比率编码）之间的确切关系k三/k1)幂律表示法允许我们再现系统的基本动力学特性，无论比率是低、中还是高[参见附加文件1]. 因此，可以使用幂律模型来阐明潜在机制的性质。动力学阶的估计值克接近1的值表明单蛋白激活机制是激活过程的主要或唯一贡献者，而接近2的值表明双蛋白激活过程的相关性。中间值表示该机制具有上一节所述的双重性质。
双重机制的动力学后果
在前面的章节中，我们假设蛋白质P（P）可以通过两种不同顺序的机制激活。在本节中，我们讨论了在不同实验条件下系统的动力学是如何变化的：a）当同二聚体受体激活同二聚物蛋白时，是通过如上所述的双重机制进行的，或者b）是通过单一或双重激活的简单机制进行的。为此，我们将野生型细胞的行为与两个突变体的反应进行了比较，如图所示4在第一种情况（Mut1）中，受体募集的动力学发生改变，使质膜上可用于激活的受体数量减少到一半。在第二种情况下（Mut2），受体中的一个单体被组成性阻断，因此无法激活蛋白质P（P）贝尔曼及其合作者证明了此类实验的可行性[31]在一个类似的系统中，研究了白细胞介素5受体（IL-5R）激活和二聚STAT1。与野生型细胞相比，细胞的其他方面保持不变，包括蛋白质的总可用浓度P（P）在模拟中，激活的同二聚体蛋白的时间依赖性部分(P（P）*)在三种类型的细胞（WT、Mut1和Mut2）中，在等效刺激后进行测量。这些修改改变了单激活和双激活过程的贡献。在第一种情况下（Mut1），单激活机制和双激活机制仍然可行，但受体中结合位点的数量是野生型细胞中存在数量的一半。受体和非活性蛋白比率的降低P（P）增加了双蛋白活化过程的可能性。因此，这种双蛋白活化对净活化率的贡献增加。在第二种情况下（Mut2），受体中的结合位点的数量也是野生型细胞中存在数量的一半，但只有单一蛋白激活过程是可能的。以数字表示5【a–c】我们比较了Mut1、Mut2和WT在三种不同情况下对相同刺激实验的反应。图5【a】显示了仅可能激活单个蛋白质的受体-蛋白质系统的结果。当双重机制可行时，系统对刺激的响应如图所示5[b]最后，在图中5【c】在双蛋白活化过程可行的情况下，给出了系统的动力学。
这三种情况的比较显示了不同情景之间的明显差异。如果系统只允许单一蛋白质激活过程P（P），两个突变体的系统反应将无法区分（图5【a】). 相反，如果系统允许双机制、单蛋白和双蛋白激活，则Mut1和Mut2的响应不同（图5【b】). 此外，假设比率为中间值k三 P（P）/k1在这种情况下，野生型和突变型细胞之间的反应差异更为显著（图5【b】). 最后，如果激活机制是双蛋白激活过程，则只有Mut1在刺激后会产生显著信号（图5【c】).
一个系统，如果用相同的输入信号刺激两个突变体产生相同的反应，则不会呈现双重激活机制，而只呈现单一激活机制。如果两个突变体对相同输入信号的响应不同，则系统将呈现双重激活机制。最后，系统的刺激为Mut1而非Mut2产生信号（任何双蛋白激活过程都被有意阻断）的系统是一个只可能进行双蛋白激活的系统。
我们现在讨论在什么动力学条件下出现对偶机制。在下面的分析中，我们假设变量的标准化单位；其中等于1的值表示蛋白质的总量P（P）在野生型细胞中。当表征双蛋白活化过程的动力学常数高于单蛋白活化过程时，最有趣的行为出现了(k三>k1)（图6【a】). 在这种情况下，与双蛋白激活相关的信号率(第页达)主要是高浓度的非活性蛋白质P（P）而单次激活对低P（P）值。否则(k三≤k1)，单次激活率(第页沙特阿拉伯)在蛋白质的整个可行浓度区间内占主导地位（0.0-1.0）。此外，双蛋白激活机制的重要性随着k三从高到低浓度的非活性蛋白质。
万一k三>k1，失活蛋白质的浓度，两种信号速率都有相同的信号量(k1P（P）等式=k三(P（P）等式)2)由速率和常数之间的比率定义k1/k三（图6[乙]). 该比值越高，系统动力学中双重激活的影响越小。另一方面，比值的降低意味着即使在非活性蛋白质浓度大大降低的情况下，双重激活仍占主导地位。当k三增加的位置P（P）等式被转移到的较小值P（P）.
为了建立机制有效对偶的速率常数的值域，我们为参数确定了可行值的区间k三关于k1。的最小值k三双蛋白激活率为最大非活性蛋白量提供10%的单一激活信号：第页达(P（P）= 1) = 0.1·第页沙特阿拉伯(P（P）= 1.0). 低于此值k三，双重激活的贡献(第页达)对于任何浓度的P（P）。的最大值k三双蛋白激活对P（P）高于总金额的10%：P（P）等式=k1/k三= 0.1. 的较低值P（P）等式意味着单个蛋白激活过程在任何显著浓度的P（P）因此，我们定义了k三其中机制是双重的k1/10 ≤k三≤ 10k1在该值区间内，系统呈现出双重机制，低浓度非活性蛋白质以单蛋白激活为主，高浓度非活性蛋白以双蛋白激活为主P（P）.
这种双重机制的动力学后果之一与系统在瞬态激励期间的行为有关。在某些情况下，这两种机制可能会发生转换，在较短的初始时间内（当非活性蛋白的数量较高时），双蛋白激活占主导地位，而在中长期内（当不活性蛋白的量较小时），单蛋白激活接管了动力学。
磷脂酶和其他信号终止剂对受体的不对称失活在系统动力学中的影响确实可以加强这一特征。为了说明这个想法，我们假设激活受体的失活分两步进行：首先，受体的一个亚基被磷酸酶失活，然后另一个亚单位失活：
(10)
为了简单起见，我们假设受体失活过程中没有协同作用，因此两种失活速率相似(k第1页=kD2类). 完全激活的受体(R*R（右*右）*能够参与单蛋白或双蛋白激活，而部分激活的受体(R*R（右*右）)只能参与单个激活过程。事实上，完全激活受体激活的化学计量比对于单蛋白和双蛋白激活并不相同：完全激活受体对单激活过程具有双重激活位点。考虑到所有这些，描述蛋白质活化动力学的方程式为：
(11)
我们在图中显示了双重机制和受体不对称失活的联合作用7在这个模拟中，最初不活动的系统(P（P）（0）=1）通过对受体的饱和瞬态刺激进行刺激（所有可用的受体在刺激开始时都被激活：R*R（右*右）*(0) =R（右）吨). 在图中7[a]在模拟实验中，我们表示了系统相关变量的动力学。我们可以看到，在刺激开始时，受体的总可用量被完全激活。磷酸酶的作用将完全激活的受体转化为部分激活的受体，并由此引起受体的完全失活。图7【b】在模拟过程中比较了单蛋白和双蛋白激活信号率的值。正如我们所看到的，在信号的一开始（前十分钟），双激活机制占主导地位，几乎贡献了所有产生的信号。在这个初始阶段之后，单一激活信号率在中期（从十分钟到几百分钟）成为主导，并一直持续到信号终止。这表明，在双重机制中，两种动力学之间存在着转变，即强烈的双蛋白激活启动信号，并且在短期内对获得快速的强烈信号至关重要，而单蛋白激活在中长期以及信号较弱且缓慢下降时起到了作用。
