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EURASIP图像和视频处理杂志
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基于Chan-Vese模型的快速投影图像分割方法

EURASIP图像和视频处理杂志 体积 2014，物品编号：7(2014)引用本文

摘要

Chan-Vese模型在图像分割方面非常流行。技术上，它结合了简化的芒福德-沙阿模型和水平集方法（LSM）。这个分割问题可以通过计算梯度下降流和重新初始化水平集函数（LSF）来交替解决。尽管已经提出了许多方法来克服重新初始化问题，但这种分割问题的低效率仍然没有得到有效解决。在本文中，我们首先研究了我1-基于Chan-Vese模型的全变分（TV）正则化项和LSF的约束，提出了一种解决重初始化问题的新技术。详细地，提出了四种快速投影方法，即分裂布列格曼投影法（SBPM）、增广拉格朗日投影法（ALPM）、对偶分裂布列格曼投影法和对偶增广拉格朗日投影方法（DALPM）。这四种方法不需要重新初始化，比现有方法更快。最后，在合成图像和真实图像上进行了大量的数值实验，以验证这四种方法的有效性和效率。

1.简介

图像分割是图像处理中的一个热门研究课题，因为它在目标检测和运动目标跟踪、SAR图像中的资源分类、医学图像中的器官分割和三维重建等方面有着重要的应用[1–4]是一种有影响力和有效的方法。具体来说，Snake模型[5]和芒福德-沙赫模型[6]是用变分法进行图像分割的两个基本模型。第一种是基于图像边缘的典型参数活动轮廓模型，用于快速分割。然而，这种参数化模型对弱边缘图像不是很有效，并且不能处理自适应拓扑。第二种是典型的基于区域的模型，其目的是通过最小化能量泛函，用分段平滑图像和最小轮廓来代替原始图像进行图像分割。理论上，由于Mumford-Shah泛函包含两个分别定义在二维图像空间和一维轮廓空间的能量项，因此很难对其进行优化。为了在数值上实现该模型，Aubert等人[7–9]引入形状导数的概念，将二维能量项转化为一维能量项。因此，原始模型成为参数化活动轮廓模型。不同于[5]，中的作者[7–9]制定了水平集方案[10]实现自适应拓扑的曲线演化。另一种优化Mumford-Shah模型的方法是将轮廓空间中的项转换为图像空间中的项目，这可以通过为图像中代表不同特征的每个不同相位引入适当的特征函数来实现。原始Mumford-Shah模型的等效能量泛函在[11]通过基于伽马收敛理论的椭圆函数近似。然后，将这种新的Gamma收敛近似Mumford-Shah模型扩展到多相图像分割[12–14]，它形成了用于变分图像分割的第一个Gamma收敛族。第二类是变分水平集方法（VLSM）[15]它结合了经典LSM和变分方法。这个家族最著名的模特是Chan-Vese模特[16]首先利用LSF的Heaviside函数设计特征函数，然后实现两阶段分段常数图像分割。此外，该模型已成功扩展到大量多相图像分割[17–19]. 第三类是变分标签函数法（VLFM），有时也称为分段常数水平集方法[20–22]或模糊隶属函数法[23]. 然而，如果LSF的Heaviside函数被认为是一个标签函数，那么第三族实际上是第二族的扩展版本。

从技术上讲，图像分割的能量泛函最小化会产生一组偏微分方程（PDE），必须用数值方法求解。与其他传统方法相比，变分图像分割模型的计算效率要慢得多，因此开发其快速数值算法一直是该领域的一项挑战。传统上，前两类模型通常采用梯度下降流求解。因此，得到的欧拉方程总是包含复杂的曲率项，这通常会导致计算效率低下。以前，一些用于优化的快速算法我1-基于总变差（TV）项的方法已经被有效地应用于第三族模型（VLFM）。例如，新的分裂Bregman算法[24，25]，双重方法[26，27]，和增广拉格朗日方法[21，22，28]这些快速算法都避免了计算与TV正则项相关的复杂曲率。因此，这些算法可以在很大程度上提高收敛速度。

对于第二类，用于图像分割的VLSM通常使用连续符号距离函数（SDF）的零级集来表示轮廓，并且可以通过SDF自然计算几何特征（即法线和曲率）。这样，曲线和曲面的后处理将非常方便。然而，在轮廓演化过程中，LSF不再作为SDF保存，因此零水平集上的几何美德将丢失。有两种方法[29，30]为了克服这个问题：传统的方法是通过使用迎风格式求解静态的轨道方程或动态的Hamilton-Jacobi方程，将LSF周期性地重新初始化为SDF[29，31–33]. 然而，这是非常昂贵和乏味的，可能会使零位设置移动到不需要的位置。新的方法是通过在原始能量泛函中加入惩罚项来约束LSF在轮廓演化过程中保持SDF[30，34]. 然而，由于Courant-Freedrichs-Lewy（CFL）条件，惩罚参数限制了LSF演化的时间步长[35]因此，除非惩罚参数非常大（这不能保证数值计算的稳定性），否则SDF不能被保留。为了避免CFL的情况，研究人员[36]通过引入八个辅助变量和四个惩罚参数，提出了完全增广的拉格朗日方法，导致每个引入变量都存在大量的次极小化和次极大化问题。因此，生成的模型非常复杂。

在本文中，我们研究了Chan-Vese模型的TV正则项与LSF作为SDF的约束之间的关系，然后提出了一个辅助变量较少的新模型，与[36]. 在这种情况下，我们可以将约束转换为一个非常简单的代数方程，该方程可以通过直接投影方法显式实现，而无需重新初始化。基于这种显式模型和新技术，第三类中用于优化变分模型的三种算法（即分裂Bregman算法、对偶方法和增广Lagrangian方法）可以方便地扩展到第二类中的Chan-Vese模型，从而发展了四种快速算法（即分裂布列格曼投影法、增广拉格朗日投影法、对偶分裂布列格曼投影法和对偶增广拉格朗日投影方法）。从技术上讲，提出的四种算法中得到的方程包括四个部分：（1）：LSF的简单Euler-Lagrange方程，该Euler-Gagrange方程式可以通过快速Gauss-Seidel迭代求解；（2）：解析形式的广义软阈值公式；（3）：对偶变量的快速迭代公式；（4）：一个非常简单的投影公式。可以优雅地使用这四个分量，以避免计算[16，30，34]. 此外，由于引入了拉格朗日乘子和Bregman迭代参数，所有四种提出的快速投影方法都可以将完整的LSF精确地保留为SDF，而不需要很大的惩罚参数。因此，与之相比，允许使用相对较大的时间步长来加快LSF评估[30，34]. 最重要的是，即使LSF被初始化为分段常量函数，也可以通过迭代投影计算自动更正。因此，我们提出的方法与[30，34，36]. 这里值得一提的是，我们提出的算法非常通用，可以很容易地扩展到使用VLSM进行多相位图像分割、运动分割、3D重建等的所有模型。例如[37]在我们最近的工作中，使用增广拉格朗日投影方法对多相图像分割进行了研究。

本文的组织结构如下：在第二节中，我们首先介绍了VLSM框架下的Chan-Vese模型，然后回顾了以前一些将LSF约束为SDF的方法。第三节介绍了快速分裂布列格曼投影法（SBPM）、增广拉格朗日投影法（ALPM）、对偶分裂布列格曼投影法、对偶增广拉格朗日投影方法（DALPM）。在第4节中，我们进行了大量的数值实验，将我们提出的快速方法与一些现有方法进行了比较。最后，给出了结论和展望。

2.Chan-Vese模型及其传统解决方案

2.1芒福德-沙赫模型

我们首先介绍Mumford-Shah模型，它是本文的基础，可以在下面进行讨论。对于标量图像（f）(x个):Ω → R（右）Mumford-Shah模型可以表述为以下能量函数最小化问题

分钟 u个 ， Γ E类 u个 ， Γ = α ¦Β Ω u个 负极 （f） 2 dx公司 + β ¦Β Ω / Γ ∇ u个 2 dx公司 + γ ¦Β Γ ds公司
(1)

哪里（f）是原始输入图像。这个模型的目的是找到一个分段平滑的图像u个和最小轮廓Γ最小化（1）。α,β、和γ是三个正的惩罚参数。由于尺寸不一致，这个问题很难解决μ和Γ为了解方程1大约是Chan和Vese[16]首先结合简化的芒福德-沙赫模型[6]和VLSM[10]并提出了以下Chan-Vese模型，其思想是将图像分为两个区域

分钟 u个 ， Γ E类 u个 ， Γ = α 1 ¦Β Ω 1 u个 1 负极 （f） 2 dx公司 + α 2 ¦Β Ω 2 u个 2 负极 （f） 2 dx公司 + γ ¦Β Γ ds公司
(2)

哪里u个=(u个1，u个2)代表区域中的分段常量图像平均值Ω1和Ω2分别为和Ω=Ω1 ∪ Ω2，Ω1∩Ω2=∅.

2.2传统LSM

为了清楚地理解Chan-Vese模型，让我们首先回顾一下传统LSM的一些概念。Γ(t吨)定义为分隔两个区域的闭合轮廓Ω1(t吨)和Ω2(t吨)和Lipschitz连续LSFϕ(x、 吨)定义为

ϕ x个 ， t吨 > 0 x个 ∈ Ω 1 t吨 ϕ x个 ， t吨 = 0 x个 ∈ Γ t吨 ϕ x个 ， t吨 < 0 x个 ∈ Ω 2 t吨
(3)

哪里Γ(t吨)对应于零电平集{x个:ϕ(x个，t吨)=0}及其演化方程可以转化为ϕ(x、 t吨). 然后，我们区分ϕ(x、 t吨)=0关于t吨得到如下LSF演化方程

ϕ t吨 + dx公司 日期 ⋅ ∇ ϕ = 0
(4)

正常情况下{x个 : ϕ(x个， t吨)=0}是 N个 → = ∇ ϕ / ∇ ϕ ，方程式4可以重写为以下标准水平集演化方程：

ϕ t吨 + v（v） N个 ∇ ϕ = 0
(5)

其中法向速度v（v）N个属于Γ(t吨)是 dx公司 日期 ⋅ ∇ ϕ ∇ ϕ .

通常，ϕ(x、 t吨)定义为SDF

ϕ x个 ， t吨 = d日 x个 ， Γ t吨 x个 ∈ Ω 1 t吨 ϕ x个 ， t吨 = 0 x个 ∈ Γ t吨 ϕ x个 ， t吨 = 负极 d日 x个 ， t吨 x个 ∈ Ω 2 t吨
(6)

在哪里？d日(x个，Γ(t吨))表示距离x个到Γ(t吨). 等式的等效约束6是eikonal方程

∇ ϕ x个 ， t吨 = 1
(7)

为了满足方程式7，一个迭代重新初始化方案[16]用于求解以下方程的稳态：

ϕ t吨 + 签名 ϕ 0 ∇ ϕ 负极 1 = 0 在里面 Ω × R（右） ϕ x个 ， 0 = ϕ 0 在里面 Ω
(8)

哪里ϕ0是要重新初始化和签名的函数(ϕ0)表示的符号函数ϕ0.

2.3 VLSM框架下的Chan-Vese模型及其解决方案

利用LSF的Heaviside函数及其总变分形式，Chan和Vese[16]将模型（2）转换为VLSM。实际上，Heaviside函数定义为

H（H） x个 = 1 x个 ≥ 0 0 否则
(9)

它在分布意义上的导数是狄拉克函数

δ x个 = ⏴ H（H） x个 ⏴ x个
（10年）

根据方程式9，的特征函数Ω1和Ω2可以定义为

χ 1 x个 = H（H） ϕ x个 = 1 x个 ∈ Ω 1 0 否则
（10亿）
χ 2 x个 = 1 负极 H（H） ϕ x个 = 1 x个 ∈ Ω 2 0 否则
（10美分）

基于共面积公式[38]特征函数的长度项2可以在图像空间Ω中近似定义为

γ ¦Β Γ ds公司 = γ ¦Β Ω ∇ H（H） ϕ dx公司 = γ ¦Β Ω ∇ ϕ δ ϕ dx公司
(11)

因此，方程式2可以重写为以下VLSM：

分钟 ϕ ， u个 E类 ϕ ， u个 1 ， u个 2 = α 1 ¦Β Ω u个 1 负极 （f） 2 H（H） ϕ dx公司 + α 2 ¦Β Ω u个 2 负极 （f） 2 1 负极 H（H） ϕ dx公司 + γ ¦Β Ω | ∇ ϕ | δ ϕ dx公司
(12)

方程12是一个多元最小化问题，通常通过替代优化程序求解。第一次修复ϕ以优化u个然后修复u个用于优化ϕ。具体来说，当ϕ是固定的，我们获得

u个 1 = ¦Β Ω fH（飞行高度） ϕ dx公司 ¦Β Ω H（H） ϕ dx公司 ， u个 2 = ¦Β Ω （f） 1 负极 H（H） ϕ dx公司 ¦Β Ω 1 负极 H（H） ϕ dx公司
(13)

另一方面，当u个是固定的，关于ϕ如下所示：

分钟 ϕ E类 ϕ = ¦Β Ω 问 12 u个 1 ， u个 2 H（H） ϕ dx公司 + γ ¦Β Ω ∇ H（H） ϕ dx公司
(14)

哪里问12(u个1， u个2)=α1(u个1 − （f）)2 − α2(u个2 − （f）)2为了解方程14，我们需要计算ϕ通过梯度下降流

⏴ ϕ ⏴ t吨 = γ ∇ ⋅ ∇ ϕ ∇ ϕ 负极 问 12 u个 1 ， u个 2 δ ϕ 在里面 Ω ⏴ ϕ ⏴ n个 → = 0 在 ⏴ Ω
(15)

为了避免方程数值实现中的奇异性15，Heaviside函数和Dirac函数通常用它们的正则化版本用一个小的正正则参数进行近似ϵ作为

H（H） ϵ ϕ = 1 2 + 1 π 弧 棕褐色的 ϕ ϵ
（16a）
δ ϵ ϕ = 1 π ϵ ϕ 2 + ϵ 2
（16亿）

作为能量泛函（12）和演化方程15不包括LSF的任何精确定义ϕ作为SDFϕ在轮廓演化过程中不会保留为SDF，这会导致曲线或曲面表达的准确性损失。

将LSF保留为SDF的第一种校正方法是求解方程8在某些迭代后使用迎风格式ϕ使用方程式15然而，这种方法代价昂贵，可能会导致接口收缩并移动到不需要的位置。为了与其他方法进行比较，我们将这种重新初始化方法称为带有重新初始化方法的梯度下降方程（GDEWRM）。

第二种校正方法由[30]如下所示，是添加约束方程式7作为惩罚项加入方程式14为了避免冗长的重新初始化过程

分钟 ϕ E类 ϕ = ¦Β Ω 问 12 H（H） ϵ ϕ dx公司 + γ ¦Β Ω ∇ H（H） ϵ ϕ dx公司 + μ 2 ¦Β Ω ∇ ϕ 负极 1 2 dx公司
(17)

理论上，μ应该是一个较大的惩罚参数，以便充分惩罚约束|∇ϕ|=1作为SDF。然而，在这种情况下，由于CFL的稳定性条件，我们不能选择相对较大的时间步长来提高计算效率[35]. 这里，我们将该方法命名为无需重新初始化的梯度下降方程（GDEWORM）。

作为（17）的扩展，提出了增广拉格朗日方法（ALM）和投影拉格朗夫方法（PLM）[34]以在LSF演进期间保持LSF作为SDF。这两个扩展可以分别表示为：

分钟 ϕ E类 ϕ ， λ = ¦Β Ω 问 12 H（H） ϵ ϕ dx公司 + γ ¦Β Ω ∇ H（H） ϵ ϕ dx公司 + ¦Β Ω λ ∇ ϕ 负极 1 dx公司 + μ 2 ¦Β Ω ∇ ϕ 负极 1 2 dx公司
（18）
分钟 ϕ ， w个 → E类 ϕ ， w个 → = ¦Β Ω 问 12 H（H） ϵ ϕ dx公司 + γ ¦Β Ω ∇ H（H） ϵ ϕ dx公司 + ¦Β Ω λ w个 → 负极 1 dx公司 + μ 2 ¦Β Ω w个 → 负极 ∇ ϕ 2 dx公司
(19)

与GDEWORM不同，ALM（18）强制实施约束|∇ϕ|=1通过拉格朗日参数λ因此，惩罚参数相对较小μ可以选择来提高方程数值计算的稳定性18PLM（19）实际上是通过结合变量分裂和惩罚方法提出的，因此由于分裂技术，它比GDEWORM更有效。然而，仍然存在一个缺点：μ当PLM的中间最小化过程变得非常大时，PLM的条件变得越来越差，就像GDEWORM一样。

使用类似的想法[36]引入四个辅助变量和四个拉格朗日乘子来处理同一约束优化问题。最小化问题被重新表述如下，在这里，我们将其命名为完全增广拉格朗日方法（CALM）。

E类 ϕ ， φ ， 秒 ， v（v） → ， w个 → = ¦Β Ω 问 12 sdx公司 + γ ¦Β Ω v（v） → dx公司 + ¦Β Ω λ 2 秒 负极 H（H） ϵ φ dx公司 + μ 2 2 ¦Β Ω 秒 负极 H（H） ϵ φ 2 dx公司 + ¦Β Ω λ → 三 ⋅ v（v） → 负极 ∇ 秒 dx公司 + μ 三 2 ¦Β Ω v（v） → 负极 ∇ 秒 2 dx公司 + ¦Β Ω λ 1 φ 负极 ϕ dx公司 + μ 1 2 ¦Β Ω φ 负极 ϕ 2 dx公司 + ¦Β Ω λ → 4 ⋅ w个 → 负极 ∇ ϕ dx公司 + μ 4 2 ¦Β Ω w个 → 负极 ∇ ϕ 2 dx公司
(20)
秒 . t吨 w个 → = 1 .
（21）

请注意，以上所有方法，GDEWRM（8，14）、GDEWORM（17）、ALM（18）和PLM（19），都只在如何添加约束方面付出了努力|∇ϕ|=1到原始函数中，忽略TV正则项Ⅸ Ω |∇H（H）(ϕ)|dx公司因此，其演化方程带来了复杂的曲率项，并且由于曲率的有限差分格式如此复杂，计算效率将非常低。通过在CALM（20）中引入八个变量，该模型的每个子最小化或子最大化问题变得非常简单，因为这些子问题中没有曲率项。然而，众所周知，包括拉格朗日乘子在内的每个变量都定义在图像空间的域中，这意味着模型的变量越多，其效率就越低。此外，CALM中设置了五个惩罚参数，因此这些参数的选择更加困难。为了避免计算曲率，同时减少引入的变量和参数的数量，我们将在下一节设计快速算法，充分考虑正则化项之间的关系 Ω |∇H（H）(ϕ)|dx公司和约束项|∇ϕ|=1

3.四种快速投影方法

快速分裂Bregman方法[24，25]，双重方法[26]，和增广拉格朗日方法[28]提出的用于图像恢复的TV模型已成功扩展到VLFM框架下的Chan-Vese模型[20，38]，但由于复杂的约束条件，它们不能直接应用于VLSM框架下的Chan-Vese模型|∇ϕ|=1.在本节中，受这些快速算法的启发，我们旨在为Chan-Vese模型设计一些新的快速算法[16]在VLSM框架下无需重新初始化。通过引入两个或三个辅助变量，约束被转换为一个非常简单的投影公式，因此我们提出的快速方法能够避免昂贵的重新初始化过程和演化方程中复杂的曲率出现。因此，所提出的方法比具有更高性能的对应方法更快。

为了清楚地说明问题，我们将传统的Chan-Vese模型（14）和约束（7）重写如下：

分钟 ϕ E类 ϕ = ¦Β Ω 问 12 u个 1 ， u个 2 H（H） ϵ ϕ dx公司 + γ ¦Β Ω | ∇ ϕ | δ ϵ ϕ dx公司
（22年a）
秒 . t吨 . ∇ ϕ = 1 .
（22亿）

接下来，我们将分别介绍每种快速算法。

3.1分裂Bregman投影法

与方程式不同18和19，我们不把约束方程22b直接转化为函数方程22a.相反，我们引入了一个辅助分裂变量 w个 → 替换∇ϕ在TV正则化项中  Ω |∇ϕ|δ ϵ (ϕ)dx公司因此，约束方程22b变为约束 | w个 → | = 1 和另一个约束 w个 → = ∇ ϕ 已生成。然后，我们使用Bregman距离技术[25]通过引入Bregman迭代参数 b条 → 满足约束条件 w个 → = ∇ ϕ ，所以我们可以转换方程式22a、 b进入以下优化问题：

M（M） 在里面 ϕ ， w个 → E类 ϕ ， w个 → = ¦Β Ω 问 12 u个 1 ， u个 2 H（H） ϵ ϕ dx公司 + γ ¦Β Ω | w个 → | δ ϵ ϕ dx公司 + θ 2 ¦Β Ω w个 负极 ∇ ϕ 负极 b条 → dx公司 ，
秒 . t吨 . | w个 → | = 1 ，

为了优化上述问题，我们使用迭代技术作为

ϕ k个 + 1 ， w个 → k个 + 1 = 参数 最小值 ϕ ， w个 → E类 ϕ ， w个 → = ¦Β Ω 问 12 u个 1 ， u个 2 H（H） ϵ ϕ dx公司 + γ ¦Β Ω | w个 → | δ ϵ ϕ dx公司 + θ 2 ¦Β Ω × w个 负极 ∇ ϕ 负极 b条 → k个 + 1 dx公司 ，
（23a）
秒 . t吨 . | w个 → | = 1 ，
（23b）

哪里θ > 0是一个惩罚参数， w个 → 和 b条 → 是向量， b条 → k个 + 1 = b条 → k个 + ∇ ϕ k个 负极 w个 → k个 ， b条 → 0 = w个 → 0 = 0 → . 交替最小化 E类 ϕ ， w个 → 关于ϕ和 w个 → 分别导出欧拉-拉格朗日方程

问 12 u个 1 ， u个 2 δ ϵ ϕ + γ | w个 → k个 | ⏴ δ ϵ ϕ ⏴ ϕ + θ ∇ ⋅ ( w个 → k个 负极 ∇ ϕ 负极 b条 → k个 + 1 ) = 0 在里面 Ω w个 → k个 负极 ∇ ϕ 负极 b条 → k个 + 1 ⋅ n个 → = 0 在 ⏴ Ω ，
(24)
γ w个 → w个 → δ ϵ ϕ + θ ( w个 → 负极 ∇ ϕ k个 + 1 负极 b条 → k个 + 1 ) = 0 秒 . t吨 . | w个 → | = 1 .
(25)

方程24可用半隐式差分格式和高斯-赛德尔迭代法求解，方程的第一个方程25可以表示为以下解析形式的广义软阈值公式

w个 ˜ → k个 + 1 = 马克斯 ∇ ϕ k个 + 1 + b条 → k个 + 1 负极 γ θ δ ϵ ϕ k个 + 1 ， 0 ∇ ϕ k个 + 1 + b条 → k个 + 1 ∇ ϕ k个 + 1 + b条 → k个 + 1 .
(26)

然后， | w个 → | = 1 可以通过以下简单的投影技术来保证：

w个 → k个 + 1 = w个 ˜ → k个 + 1 w个 ˜ → k个 + 1 .
(27)

注意，在计算投影（27）后，约束 | w个 → | = 1 精确地保证了约束|∇ϕ|=当演化方程24因为LSF达到了稳定状态。

3.2增广拉格朗日投影法

本部分中提出的ALPM不同于之前的ALM（18）和CALM（20）。这里，我们添加约束 w个 → = ∇ ϕ 在能量泛函中通过增广拉格朗日方法并让约束|∇ϕ|=1作为辅助变量的简单投影 w个 → 与包含八个变量和四个参数的CALM（20）相比，我们的增广拉格朗日投影方法仅由两个辅助变量和一个参数引入θ与第3.1小节类似，我们引入了一个辅助拆分变量 w个 → 这样的话 w个 → ≈ ∇ ϕ 当下列能量泛函方法达到最小值时。

ϕ k个 + 1 ， w个 → k个 + 1 ， λ → k个 + 1 = 精氨酸 马克斯 λ → 分钟 ϕ ， w个 → E类 ϕ ， w个 → ， λ → = ¦Β Ω 问 12 u个 1 ， u个 2 H（H） ϵ ( ϕ ) dx公司 + γ ¦Β Ω | w个 → | δ ϵ ϕ dx公司 + ¦Β Ω λ → ⋅ w个 → 负极 ∇ ϕ dx公司 + θ 2 ¦Β Ω w个 → 负极 ∇ ϕ 2 dx公司
（28年）
秒 . t吨 . | w个 → | = 1 ，
（28b）

哪里 λ → 是拉格朗日乘数θ是一个正惩罚参数。增广拉格朗日方法在最小化过程中通过迭代拉格朗日乘子降低了条件不良的可能性，使数值计算稳定。因此，与以前的惩罚方法（17、19）不同，前者需要一个非常大的惩罚参数来有效地惩罚约束 w个 → = ∇ ϕ 可以保证不增加θ到非常大的值。这里，我们最小化 E类 ϕ ， w个 → ， λ → 关于ϕ和 w个 → 并最大化 E类 ϕ ， w个 → ， λ → 关于 λ → 。min-max问题的鞍点满足以下条件：

问 12 u个 1 ， u个 2 δ ϵ ϕ + γ | w个 → k个 | ⏴ δ ϵ ϕ ⏴ ϕ + ∇ ⋅ λ → k个 + θ ∇ ⋅ ( w个 → k个 负极 ∇ ϕ ) = 0 在里面 Ω λ → k个 + θ w个 → k个 负极 ∇ ϕ ⋅ n个 → = 0 在 ⏴ Ω
(29)
γ w个 → w个 → δ ϵ ϕ k个 + 1 + λ → k个 + θ ( w个 → 负极 ∇ ϕ k个 + 1 ) = 0 秒 . t吨 . w个 → = 1
(30)
λ → k个 + 1 = λ → k个 + θ w个 → k个 + 1 负极 ∇ ϕ k个 + 1 ， λ → 0 = 0
(31)

可以使用与方程式相同的方法求解方程式2924，和方程的第一个方程30可以使用以下解析形式的广义软阈值公式求解

w个 ˜ → k个 + 1 = 马克斯 ∇ ϕ k个 + 1 负极 λ → k个 / θ 负极 γ θ δ ϵ ϕ k个 + 1 ， 0 ∇ ϕ k个 + 1 负极 λ → k个 / θ ∇ ϕ k个 + 1 负极 λ → k个 / θ
(32)

然后，方程的第二个方程30可以像等式一样实现27.

3.3双分裂Bregman投影法

对偶方法[26]是近年来提出的另一种用于电视模型图像恢复的快速算法，它已广泛应用于各种图像分割模型[20]在VLFM框架下。方程式中22a、 （） Ω |∇ϕ|δ ϵ (ϕ)dx公司不是ϕ，但它的等效公式是 Ω |∇H（H） ϵ (ϕ)|dx公司是的总变化H（H） ϵ (ϕ). 基于这一观察，我们可以引入对偶变量来代替 Ω |∇H（H） ϵ (ϕ)|dx公司及其对偶公式 啜饮 第页 → : 第页 → ≤ 1 ¦Β Ω H（H） ϵ ϕ ∇ ⋅ 第页 → dx公司 因此，方程式22a可以重写为以下min-max函数：

ϕ k个 + 1 ， 第页 → k个 + 1 = 精氨酸 分钟 ϕ 啜饮 第页 → : | 第页 → | ≤ 1 E类 ϕ ， 第页 → = ¦Β Ω 问 12 u个 1 ， u个 2 H（H） ϵ ϕ dx公司 + γ ¦Β Ω H（H） ϵ ϕ ∇ ⋅ 第页 → dx公司
(33)

对于约束|∇ϕ|=1（22b），我们首先引入一个辅助变量 w个 → 并添加新约束 w个 → = ∇ ϕ 通过Split-Bregman迭代方法将其转换为（33），其表达式如下

ϕ k个 + 1 ， 第页 → k个 + 1 ， w个 → k个 + 1 = 精氨酸 分钟 ϕ ， w个 → 啜饮 第页 → : | 第页 → | ≤ 1 E类 ϕ ， 第页 → ， w个 → = ¦Β Ω 问 12 u个 1 ， u个 2 H（H） ϵ ϕ dx公司 + γ ¦Β Ω H（H） ϵ ϕ ∇ ⋅ 第页 → dx公司 + θ 2 ¦Β Ω w个 → 负极 ∇ ϕ 负极 b条 → k个 + 1 2 dx公司
(34)

然后约束|∇ϕ|=1可以由约束替换 | w个 → | = 1 这样我们就可以方便地使用方程中的投影公式27实际上，向量Bregman迭代参数的影响 b条 → 用于减少对惩罚参数的依赖性θ，与拉格朗日乘数的作用相同λ增广拉格朗日投影法（28a）。Bregman迭代参数 b条 → 可以由更新 b条 → k个 + 1 = b条 → k个 + ∇ ϕ k个 负极 w个 → k个 ，其中 b条 → 0 = w个 → 0 = 0 → . 欧拉-拉格朗日方程ϕ在方程式中34导出为

问 12 u个 1 ， u个 2 + γ ∇ ⋅ 第页 → k个 δ ϵ ϕ + θ ∇ ⋅ ( w个 → k个 负极 ∇ ϕ 负极 b条 → k个 + 1 ) = 0 在里面 Ω w个 → k个 负极 ∇ ϕ 负极 b条 → k个 + 1 ⋅ n个 → = 0 在 ⏴ Ω
(35)

之后ϕk个 + 1则我们可以求解 第页 → k个 + 1 通过梯度下降法

⏴ 第页 → ⏴ t吨 = 负极 γ ∇ H（H） ϕ k个 + 1 ， 第页 → ≤ 1
(36)

利用半隐式差分格式和Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件[26]，我们可以更新 第页 → ，并得到该对偶变量的以下快速迭代公式 第页 → k个 + 1

第页 → k个 + 1 = 第页 → k个 负极 τ ∇ H（H） ϕ k个 + 1 1 + τ ∇ H（H） ϕ k个 + 1
（37）

哪里τ ≤ 1/8是一个时间步长，如[26]。

然后，我们可以得到辅助变量的简单分析形式如下：

w个 ˜ → k个 + 1 = ∇ ϕ k个 + 1 + b条 → k个 + 1
(38)

最后，我们使用投影公式 w个 ˜ → k个 + 1 与方程式相同27为了满足约束 | w个 → | = 1 .

3.4对偶增广拉格朗日投影法

第3.3小节中的相同思想可以扩展为将对偶方法和第3.2小节中的增广拉格朗日投影方法结合起来，这将导致对偶增广拉格朗日投影法。具体来说，通过引入辅助变量 w个 → 并施加约束 w个 → = ∇ ϕ ，我们可以转换方程式33转化为以下迭代最小化公式：

ϕ k个 + 1 ， 第页 → k个 + 1 ， w个 → k个 + 1 = 精氨酸 分钟 ϕ ， w个 → 啜饮 第页 → : | 第页 → | ≤ 1 E类 ϕ ， 第页 → ， w个 → = ¦Β Ω 问 12 u个 1 ， u个 2 H（H） ϵ ( ϕ ) dx公司 + γ ¦Β Ω H（H） ϵ ϕ ∇ ⋅ 第页 → dx公司 + ¦Β Ω λ → ⋅ w个 → 负极 ∇ ϕ dx公司 + θ 2 ¦Β Ω w个 → 负极 ∇ ϕ 2 dx公司
(39)

约束条件|∇ϕ|=1也可以表示为约束 | w个 → | = 1 通过使用类似的程序，我们可以得到ϕ如下所示；

问 12 u个 1 ， u个 2 + γ ∇ ⋅ 第页 → k个 δ ϵ ϕ + ∇ ⋅ λ k个 + θ ∇ ⋅ w个 → k个 负极 ∇ ϕ = 0 在里面 Ω λ → k个 + θ w个 → k个 负极 ∇ ϕ ⋅ n个 → = 0 在 ⏴ Ω
(40)

这个 第页 → k个 + 1 更新为与方程式相同38、和 w个 ˜ → k个 + 1 是以下分析形式

w个 ˜ → k个 + 1 = ∇ ϕ k个 + 1 负极 λ → k个 θ
(41)

然后，我们投影 w个 → k个 + 1 如方程式所示27最后，拉格朗日乘数 λ → 可以更新如下：

λ → k个 + 1 = λ → k个 + θ w个 → k个 + 1 负极 ∇ ϕ k个 + 1
(42)

提出的四种投影方法的优点可以总结如下。（1） ：通过引入较少的辅助变量（即两个用于SBPM、ALPM，三个用于DSBPM、DALPM），并考虑TV正则化项之间的关系 Ω |∇H（H） ϵ (ϕ)|dx公司或其等价形式 Ω |∇ϕ|δ ϵ (ϕ)dx公司在方程式中22a和约束项|∇ϕ|=方程式中的122b、 为了巧妙地避免昂贵的重新初始化过程，我们开发了一个非常简单的投影公式（27）。（2） ：由于辅助变量较少，所提出的方法不存在许多次极小化和次极大化问题以及惩罚参数，因此实现起来非常简单高效。（3） ：提出的快速投影算法的最终欧拉方程仅包括一个简单的欧拉-拉格朗日方程(24，29，35，40)这可以通过快速高斯-赛德尔迭代、解析形式的广义软阈值公式（26，32）、对偶变量的快速迭代公式（37）和非常简单的投影公式（27）来求解。这种技术可以很好地避免计算复杂的曲率，从而提高效率。（4） ：所有提出的方法都可以将完整的LSF精确地保留为SDF，而不需要很大的惩罚参数。这是由于引入了Bregman迭代参数（23a，34）和拉格朗日乘子（28a，39）以及投影计算，因此允许使用相对较大的时间步长来加速LSF评估，因为我们将使用半隐式梯度下降流（24，29，35，40）。（5） ：即使LSF初始化为分段常量函数，也可以根据投影计算自动精确地进行校正。总之，我们提出的四种投影方法将具有更高的计算效率和更好的SDF保真度，这可以在下一个实验部分进行验证。

4.数值实验

在本节中，我们提供了一些数值实验，以比较我们的方法（即SBPM、ALPM、DSBPM和DALPM）与之前的五种方法（即GDEWRM、GDEWORM、ALM、PLM和CALM）的有效性和效率。此外，我们还将提出的四种方法与中提出的快速算法进行了比较[38]VLFM框架下的Chan-vese模型[20]本文将其命名为模糊隶属度方法（FMM）。因此，本文共涉及十种算法。为了更容易评估这些模型之间的确切差异，我们在表中列出了所有方法的缩写、全名和相应的能量泛函1.

表1所有比较方法的缩写、全称及其对应的能量泛函
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为了使不同方法之间的比较公平，我们求解方程中的偏微分方程15，17，18，19，24，29，35基于梯度下降方程的半隐式差分格式。对于FMM，我们采用了[38]. 对于CALM，我们使用高斯-赛德尔不动点迭代来求解LSFϕ而不是快速傅里叶变换（FFT），以便与其他方法进行公平比较。初始LSFϕ0除了初始化GDEWRM的SDF外，所有方法都初始化为相同的分段常量函数。公式8每五次迭代使用一阶迎风格式求解。在实验1和实验2中，我们设置了一个一步迭代来计算ϕ对于所有方法。然而ϕ在实验3中需要快速实现最终的三维SDF。参数γ通常由格式化γ=η × 2552，η∈(0,1). 我们设定了空间步长小时=1和α1=α2=1,τ=0.125,ϵ=3.停止标准基于相对能量误差公式|E类k个+ 1 − E类k个|/E类k个 ≤ ξ，其中ξ是一个小的规定公差，这里我们设置为10−3在所有的数值实验中。所有实验都是使用Matlab 2010b在Windows 7平台上进行的，该平台具有2.33GHz的Intel Core 2 Duo CPU和2GB内存。

4.1实验1

在本实验中，我们将所提出的四种方法与快速算法FMM进行比较。由于FMM使用二进制或标号函数和连续凸松弛技术，因此它对初始化具有很强的鲁棒性和快速性，并且可以保证找到全局极小值。我们的方法和FMM被应用于两幅医学图像的分割。一是图中第一行大脑的MRI图像1另一个是第二排血管的CT图像。这五个方法使用相同的分段常量函数（0和1）进行初始化。在这里，我们绘制红色轮廓来表示图的第一列中的初始轮廓1第2、3、4、5和6列分别是SBPM、ALPM、DSBPM、DALPM和FMM的最终分割结果（即绿色轮廓）。为了进行详细的比较，我们裁剪了图中黄色矩形所示区域的一部分1并在图中放大它们2其中，前四列分别是建议的四种方法的结果，最后一列是FMM的结果。从图中可以看出1和2通过这四种方法正确、完美地提取了大脑和血管中的白质。然而，FMM的结果并不理想。这可以在图的第5列中清楚地观察到2，其中一些结构分割的不良结果用蓝色圆圈标记。然而，我们无法轻易地说出所有四种提出的方法在这些分割结果之间的一些主要差异。此外，表中显示的迭代次数更少，计算时间更快2证明了这四种方法与快速FMM相比是比较有效的。事实上，SBPM、ALPM、DSBPM和DALPM只是解决同一系统的不同迭代方案。中的作者[28]已经证明了它们与电视模型的等效性。图中的分割结果1表中的迭代次数和CPU时间2证明与他们的结论一致。

图1
图1

将我们的不同投影方法与FMM进行比较。通过他们的应用来分割大脑的MR图像和血管的CT图像。（a）和g）初始轮廓为红色的原始图像。（b）-（f）和h-l）最终分割结果（即绿色轮廓）分别由SBPM、ALPM、DSBPM、DALPM和FMM生成。

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图2
图2

放大图中图像的小个子区域1以进行详细比较。（a-j）图中面板b至l的放大区域1分别是。

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表2我们提出的快速方法中迭代次数和计算时间的比较
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4.2实验2

在这个实验中，我们将比较我们的方法与GDEWRM、GDEWORM、ALM、PLM和CALM的效率。这九种方法分别在四幅真实图像和合成图像上运行，包括松鼠、超声波婴儿、树叶和合成噪声数字图像。在图的第一列中三，我们为所有方法初始化分段常量函数（0和1），GDEWRM除外，它是用SDF初始化的。图的第2、3、4、5和6列三分别是GDEWRM、GDEWORM、ALM、PLM和CALM的结果。在图的最后一列三，我们仅使用SBPM、ALPM、DSBPM和DALPM分别对松鼠、超声婴儿、树叶和数字图像进行了最终分割，因为所提出的四种方法在这些图像上的视觉效果和计算效率非常相似。从图中三可以看出，所有这些方法在分割真实图像和噪声合成图像方面都取得了较好的性能。然而，与其他方法相比，所有四种提出的方法都表现得更好，这可以在图的最后一列中观察到三此外，我们将用于分割这些图像的所有九种方法的总迭代次数和计算时间记录在表中三为了得到表中的实验数据三有意义的是，我们绘制了图形4以说明迭代和计算时间方面的差异。图4a、 b、c、d分别用条形图显示了分割松鼠、超声波婴儿、树叶和数字图像的所有九种方法的总迭代次数，以及图4e、 f，g，h绘制用于分割这些图像的总CPU时间。根据图4e、 f，g，h，九种方法的计算时间可以按照以下顺序清楚地排序：SBPM ≈ 阿尔卑斯山 ≈ DSBPM公司 ≈ DALPM公司 < CALM（冷静） < 产品生命周期管理 < 资产负债管理 < GDEWORM公司 < 导致这一排名的原因如下。（1） 所有方法的计算速度都比GDEWRM快，因为它的重新初始化过程代价高昂。（2） 在这些无需重新初始化的方法中，ALM、PLM和CALM的运行速度比GDEWORM快。对于GDEWORM，CFL条件限制了其时间步长，使其不能快速，而ALM通过引入拉格朗日乘子提高了收敛速度λPLM使用拉格朗日方法和变量分裂技术来提高进化速度，因此PLM比ALM更快。然而，ALM和PLM都受到CFL条件的限制，速度较慢。CALM引入了许多标量或向量辅助变量和拉格朗日乘子，使得每个子问题都非常简单，并且可以避免CFL条件，因此它的计算速度比ALM和PLM快。（3） 由于方程中的非线性曲率被线性拉普拉斯算子所代替，所有提出的方法都能达到最佳的分割效率和满意的分割结果24和29或方程中的对偶发散算子35和40使用简单投影技术（27）。与CALM相比，我们的投影方法具有较少的子问题，因此非常有效。此外，通过引入Bregman迭代参数（23a，34）和拉格朗日乘子（28a，39），可以使用相对较大的时间步长来加快LSF计算。因此，我们的方法的计算速度比CALM快，其效率排名第一。（4） 提出的四种快速方法（即SBPM、ALPM、DSBPM和DALPM）实际上是等效的，这在[25]. 因此，这些投影方法具有非常相似的计算速度。

图3
图3

我们的不同投影方法与前五种方法的比较。分割松鼠图像、超声波婴儿图像、树叶图像和合成噪声数字图像。（a、h、o、v）初始绿色轮廓的原始图像。（b、i、p、w）GDEWRM的结果。（c、j、q、w）GDEWORM的结果。（d，k，i，y）ALM的结果。（e、l、s、z）PLM的结果。（f、m、t、I）CALM的结果。（g、n、u、II）我们的投影方法的结果（从上到下分别是SBPM、ALPM、DSBPM和DALPM）。

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表3使用不同分割方法的迭代次数和计算时间的比较
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图4
图4

表中所有方法的迭代次数和CPU时间的图形表示三.（a），（b），（c） ，和（d）分别对松鼠、超声婴儿、树叶和合成噪声图像进行分割的所有方法的迭代。（e），（f），（g） ，和（h）记录他们的CPU时间。

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4.3实验3

在这个实验中，我们的目的是比较我们的四种方法和其他五种方法产生的SDF保真度。我们分割合成图像（100 × 100）获得表中的SDF保真度值4如下所述。图的第一列5是所有方法的初始LSF。由于在GDEWRM中没有LSF作为SDF的约束，因此面板a被初始化为此方法的SDF。然而，如果将其初始化为分段常量函数，则即使重新初始化过程可能无法将LSF拉回到SDF，LSF在轮廓计算期间也会远离SDF。在这种情况下，将SDF保存与未重新初始化的其他方法进行比较是不太公平的。根据上述观察，图5e、 i、m、q、u分别初始化为GDEWORM、ALM、PLM、CALM和SBPM的相同分段常量函数。由于我们所有的四种投影方法都获得了几乎相同的结果，因此在这里，我们仅在图的最后一行给出了SBPM的实验数据5图的第二列5b、 f、j、n、r、v分别是GDEWRM、GDEWORM、ALM、PLM、CALM和SBPM的最终3D LSF。在图的第三列中5c、 g、k、o、s、w是上述方法中用红色矩形标记的初始轮廓和用绿色轮廓标记的最终分割结果。在最后一列中，我们绘制了惩罚能量平均值的曲线图 Ω (|∇ϕ| − 1)2dx公司通过上述相应的方法，用于测量LSF和SDF之间的紧密度。我们将SDF保真度值表示为每种方法最后一次迭代的平均值。这个值越小，LSF和SDF就越接近4便于比较。

表4使用不同分割方法比较迭代次数、计算时间和SDF保真度
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图5
图5

我们的投影方法与以前方法的SDF保真度比较。（a、e、i、m、q、u）初始LSF。（b、f、j、n、r、v）最终LSF。（c、g、k、o、s、w）由红色矩形标记的初始轮廓和由绿色轮廓指示的最终分割结果。（d，h，l，p，t，x）惩罚能量图平均值б Ω (|∇ϕ| − 1)2dx公司（LSF和SDF之间的接近度测量）。

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注意图中GDEWRM的最终LSF5b非常接近SDF，通过表中非常小的SDF保真度值（0.0385）进行验证4然而，图中的最终绿色分割轮廓5c表示图的零级集合5b通过此GDEWRM缩小，无法到达对象的确切位置。事实上，为了获得图5b、 在LSF进化的每五步迭代之后，此GDEWRM需要300次重新初始化迭代。因此，它非常昂贵（表中报告了总共77.236秒4)，并且这种重新初始化导致图中惩罚能量图的大幅跳跃5d.对于GDEWORM和PLM，其实验结果分别显示在第二行和第四行。尽管其最终SDF保真度值接近于零（即GDEWORM为0.4407，PLM为0.0441），但其最终SDFs如图所示5f、 n保存得不好。此外，由于CFL条件，我们需要选择一个非常小的时间步长10−4和一个非常大的惩罚参数2 × 104分别用于GDEWORM和PLM。此选择旨在确保LSF和SDF之间的紧密性以及LSF进化的稳定性，但这会导致大量的总迭代（即分别为2000和500）。正如我们在实验2中分析的那样，PLM采用了可变分割技术，因此其总计算时间和迭代次数远小于GDEWORM。由于PLM和GDEWORM中使用了较大的惩罚参数，我们发现这两种方法得到的最终绿色轮廓无法精确分割对象。对于ALM，它通过引入拉格朗日乘子来提高收敛速度λ这样我们可以选择稍大的时间步长10−2和相对较小的惩罚参数10−1发展LSF。然而，我们对此方法进行了大量实验，并注意到它对参数选择非常敏感。此外，它的最终SDF保真度值始终是所有方法中最大的。这可能是因为ALM中引入的拉格朗日乘数打破了CFL条件。图的第四行5这表明CALM能够实现更好的3D SDF（如图所示5f） 和较小的SDF保真度值（表中显示0.02594)除了我们的方法之外，其他方法都没有。如表所示，该方法的计算速度已大大提高4和图5t.图的最后一行5给出了我们提出的SBPM的实验数据。在此，我们强调，其他三种提出的方法可以实现与SBPM几乎相同的SDF和效率。从图中5v、 最终的三维LSF被完美地保留了下来，因为SDF保真度值仅为0.0149，是表中所有方法中最小的一个4最令人印象深刻的是，由于引入了拉格朗日乘数、Bregman迭代参数和精确的投影计算，我们发现惩罚参数10可以大到足以精确惩罚作为SDF的完整LSF。在这种情况下，相对较大的时间为10−2可以用来加速LSF的发展，如图所示5x.此外，即使LSF被初始化为SBPM的分段常量函数，也可以根据投影公式（27）自动准确地进行校正。

最后，我们展示了图6其中包括三个条形图，对应表中的迭代次数、CUP时间和SDF保真度值4分别是。然而，图6b表明最慢的方法是GDEWORM而不是GDEWRM，这与实验2中的结论不一致。事实上，GDEWRM中的时间步长设置为10−2，比GDEWORM的集合大100倍。我们发现，这个时间步长加上300次重新初始化迭代不会破坏LSF进化的稳定性，同时能够实现非常理想的SDF。相反，为了保持距离特征，我们应该为GDEWORM选择一个非常大的惩罚参数，这限制了LSF的进化速度。因此，在本实验中，在保留距离特征的前提下，GDEWRM比GDEWORM更快6c、 SDF保真度的能力可以列为SBPM ≈ ALPM公司 ≈ DSBPM公司 ≈ 道尔顿 > CALM（冷静） > GDEWORM公司 > 产品生命周期管理 > GDEWRM公司 > 资产负债管理.总之，实验验证了这四种投影方法在保持SDF的准确性和速度上都表现出了优异的性能。

图6
图6

表中所有方法的迭代次数、CPU时间和SDF保真度的图形表示4.（a），（b） ，和（c）分别记录所有方法的迭代次数、CPU时间和SDF保真度值。

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5.结论

本文通过调查我1-基于Chan-Vese模型的TV正则项和对LSF的约束，并引入一些辅助变量，我们设计了快速分裂Bregman投影法（SBPM）、增广拉格朗日投影法（ALPM）、对偶分裂Bregma投影法（DSBPM）和对偶增广拉格朗日投影方法（DALPM）。所有这些方法都可以巧妙地避免昂贵的重新初始化过程，并简化曲率的计算。在我们的方法中，子问题和惩罚参数较少，因此可以有效地进行求解。此外，完整的LSF可以精确地保存为SDF，而不需要很大的惩罚参数，因此可以使用相对较大的时间步长来加速LSF评估。此外，即使将LSF初始化为分段常量函数，也可以通过解析投影计算自动准确地进行校正。仿真实验验证了所提方法在计算成本和SDF保真度方面的效率和性能。

缩写

资产负债管理：

增广拉格朗日方法

ALPM公司：

增广拉格朗日投影法

冷静：

完全增广拉格朗日方法

紧凑型荧光灯：

Courant-Freedrichs-Lewy公司

道尔顿：

对偶增广拉格朗日方法

DSBPM：

对偶分裂Bregman投影法

快速傅里叶变换：

快速傅里叶变换

FMM（飞行管理模块）：

模糊隶属度法

GDEWORM公司：

无需重新初始化的梯度下降方程

GDEWRM（通用数据仓库）：

带重初始化的梯度下降方程

KKT公司：

卡鲁什·库恩·塔克

LSF：

液位设置功能

最小二乘法：

水平集方法

产品开发工程师：

偏微分方程

产品生命周期管理：

投影拉格朗日法

SBPM公司：

分裂Bregman投影法

SDF（可持续发展基金）：

符号距离函数

电视：

总变化量

VLFM（甚低频调频）：

变分标记函数法

VLSM：

变分水平集方法。

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致谢

本研究得到了国家自然科学基金（no.61305045、61170106和61303079）、国家“十二五”科技发展规划（no.2013BAI01B03）和青岛市科技发展项目（no.13-1-4-190-jch）的支持。

作者信息

作者和附属机构

  1. 青岛大学信息工程学院，青岛，266071

    段金明、潘振宽、尹向峰、魏伟和王国栋

作者
  1. 段金明
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  2. 潘振宽
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  3. 向风音
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  4. Wei微博
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  5. 王国栋
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通讯作者

与的通信段金明.

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竞争性利益

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转载和许可

关于本文

引用本文

段，J.，潘，Z.，尹，X。等。一些基于Chan-Vese模型的快速投影方法用于图像分割。J图像视频处理 2014, 7 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-5281-2014-7

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