Asymptotic behavior of an odd-order delay differential equation

Li, Tongxing; Rogovchenko, Yuriy V

doi:10.1186/1687-2770-2014-107

研究
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出版：2014年5月9日

一类奇阶时滞微分方程的渐近性

边值问题 体积 2014，物品编号：107(2014)引用这篇文章

8引文
韵律学细节

摘要

研究了一类奇阶时滞微分方程解的渐近性态。我们的定理扩展并补充了文献中报道的许多相关结果。提供了一个示例。

理学硕士：34K11。

1引言

Ivan Kiguradze教授是公认的当代常微分方程定性理论的主要专家之一。他的研究在与Chanturia教授合著的专著中得到了部分总结[1]其中收集了许多关于重要非线性微分方程解的渐近行为的基本结果。特别是，Kiguradze引理和Kiguradeze类解对于该领域的研究人员来说是众所周知的，并且被广泛用于进一步推进知识。

在向Kiguradze教授致敬时，我们关注的是一个奇阶时滞微分方程解的渐近行为

{(第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ})}^{'} + 对 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ} + q个 (t吨) {x个}^{γ} (克 (t吨)) = 0,

(1.1)

哪里 $t吨 \geq {t吨}_{0} > 0$ 和 $n个 \geq 三$ 是一个奇数自然数， $γ > 0$ 是奇数自然数的比率， $第页 \in {C类}^{1} ([{t吨}_{0}, \infty), R（右）)$ , $对, q个, 克 \in C类 ([{t吨}_{0}, \infty), R（右）)$ , $第页 (t吨) > 0$ , ${第页}^{'} (t吨) + 对 (t吨) \geq 0$ , $对 (t吨) \geq 0$ , $q个 (t吨) > 0$ , $克 (t吨) \leq t吨$ 、和 $林_{t吨 \to \infty} 克 (t吨) = \infty$ .

通过（1.1）的解，我们表示一个函数 $x个 \in C类 ([{T型}_{x个}, \infty), R（右）)$ , ${T型}_{x个} \geq {t吨}_{0}$ ，因此 $第页 {({x个}^{(n个 - 1)})}^{γ} \in {C类}^{1} ([{T型}_{x个}, \infty), R（右）)$ 和 $x个 (t吨)$ 满足（1.1） $[{T型}_{x个}, \infty)$ 我们只考虑（1.1）的那些最终不会消失的可扩展解，即条件 $啜饮 {| x个 (t吨) | : t吨 \geq T型} > 0$ 为所有人保留 $T型 \geq {T型}_{x个}$ 我们默认（1.1）具有此类解。按照惯例，如果射线上有任意大的零点，则称（1.1）的解是振荡的 $[{T型}_{x个}, \infty)$ ; 否则，我们称之为非振荡。

分析不同类型微分方程和泛函微分方程解的振动性和非振动性一直吸引着研究人员的兴趣；例如，请参见[1–19]以及其中引用的参考文献。其主要原因之一在于，延迟微分方程出现在自然科学、技术和自动控制的许多应用问题中，囊性纤维变性。例如，海尔[20]. 特别地，（1.1）可以被视为更一般的一类高阶微分方程的特殊情况，其中一维微分方程对-拉普拉斯语，正如阿加瓦尔所提到的等。[4]，在连续介质力学中有应用。

让我们简要评论一下激发我们研究的一些密切相关的结果。在[2,5–8,14]，作者研究了一个三阶时滞微分方程的渐近性质

{(第页 (t吨) {x个}^{″} (t吨))}^{'} + 对 (t吨) {x个}^{'} (t吨) + q个 (t吨) x个 (σ (t吨)) = 0 .

使用Riccati替换，Liu等。[11]，张等。[16]，和Zhang等。[18]研究了（1.1）的振动，假设 $n个 \geq 2$ 是偶数， $克 (t吨) \leq t吨$ 、和

\int_{{T型}_{1}}^{\infty} {[\frac{1}{第页 (秒)} 经验 (- \int_{T型}^{秒} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ)]}^{1 / γ} d日 秒 = \infty, 的 {T型}_{1} \geq T型 \geq {t吨}_{0} .

(1.2)

在特殊情况下 $对 (t吨) = 0$ ，（1.1）简化为一个二项微分方程

{(第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ})}^{'} + q个 (t吨) {x个}^{γ} (克 (t吨)) = 0,

(1.3)

这是张研究的等。[17]他得出了以下结果。

定理1.1([[17]，推论2.1]）

让

δ (t吨) : = \int_{t吨}^{\infty} {第页}^{- 1 / γ} (秒) d日 秒

并假设 $δ ({t吨}_{0}) < \infty$ .假设也是这样

\frac{1}{{((n个 - 1)!)}^{γ}} \underset{t吨 \to \infty}{林inf公司} \int_{克 (t吨)}^{t吨} q个 (秒) {(\frac{克^{n个 - 1} (秒)}{{第页}^{1 / γ} (克 (秒))})}^{γ} d日 秒 > \frac{1}{e（电子）}

和,对一些人来说 $λ_{1} \in (0, 1)$ ,

\underset{t吨 \to \infty}{林啜饮} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} [q个 (秒) {(\frac{λ_{1} 克^{n个 - 2} (秒)}{(n个 - 2)!})}^{γ} δ^{γ} (秒) - \frac{γ^{γ + 1}}{{(γ + 1)}^{γ + 1} δ (秒) {第页}^{1 / γ} (秒)}] d日 秒 = \infty .

然后每个解决方案(1.3)振荡或收敛到零 $t吨 \to \infty$ .

据我们所知，关于（1.1）的振动，只有少数结果是已知的n个奇怪。此外，在这种情况下[11,18]使用Riccati替换的方法不能应用于（1.1）的分析。因此，本文的目的是扩展[17]在（1.2）中的积分是有限的情况下研究（1.1），也就是说 ${T型}_{1} \geq T型 \geq {t吨}_{0}$ ,

\int_{{T型}_{1}}^{\infty} {[\frac{1}{第页 (秒)} 经验 (- \int_{T型}^{秒} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ)]}^{1 / γ} d日 秒 < \infty .

(1.4)

通常，本文中考虑的所有函数不等式都应该成立t吨足够大。在不损失一般性的情况下，我们可以只处理（1.1）的正解，因为根据我们的假设γ是奇数自然数的比率，如果 $x个 (t吨)$ 是（1.1）的解，也是 $- x个 (t吨)$ .

2主要成果

我们需要以下辅助引理。

引理2.1 假设(1.2)感到满意并让 $x个 (t吨)$ 最终成为(1.1).然后存在一个足够大的 ${t吨}_{1} \geq {t吨}_{0}$ 这样的话,为所有人 $t吨 \geq {t吨}_{1}$ ,

x个 (t吨) > 0, {x个}^{(n个 - 1)} (t吨) > 0, {x个}^{(n个)} (t吨) < 0 .

(2.1)

证明让 $x个 (t吨)$ 是（1.1）的最终正解。然后存在一个 ${T型}_{0} \geq {t吨}_{0}$ 这样的话 $x个 (t吨) > 0$ 和 $x个 (克 (t吨)) > 0$ 为所有人 $t吨 \geq {T型}_{0}$ .根据（1.1），

{(第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ})}^{'} + 对 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ} < 0 .

因此，

{(经验 (\int_{{t吨}_{0}}^{t吨} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ) 第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ})}^{'} < 0,

(2.2)

这意味着函数

经验 (\int_{{t吨}_{0}}^{t吨} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ) 第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ}

正在减少 $t吨 \geq {T型}_{0}$ 因此， ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨)$ 最终不改变符号，即存在一个 ${t吨}_{1} \geq {T型}_{0}$ 这样 ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) > 0$ 或 ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) < 0$ 为所有人 $t吨 \geq {t吨}_{1}$ .

我们声称 ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) > 0$ 为所有人 $t吨 \geq {t吨}_{1}$ 。否则，应该存在 $T型 \geq {t吨}_{1}$ 这样的话

经验 (\int_{{t吨}_{0}}^{T型} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ) 第页 (T型) {({x个}^{(n个 - 1)} (T型))}^{γ} = M（M） 经验 (\int_{{t吨}_{0}}^{T型} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ) < 0

而且，对于所有人来说 $t吨 \geq T型$ ,

经验 (\int_{{t吨}_{0}}^{t吨} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ) 第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ} \leq M（M） 经验 (\int_{{t吨}_{0}}^{T型} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ) < 0,

(2.3)

哪里

M（M） : = 第页 (T型) {({x个}^{(n个 - 1)} (T型))}^{γ} .

不等式（2.3）产生

{x个}^{(n个 - 1)} (t吨) \leq {M（M）}^{1 / γ} {[\frac{1}{第页 (t吨)} 经验 (- \int_{T型}^{t吨} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ)]}^{1 / γ} .

将此不等式与 ${T型}_{1}$ 到t吨, ${T型}_{1} \geq T型$ ，我们得出结论

{x个}^{(n个 - 2)} (t吨) \leq {x个}^{(n个 - 2)} ({T型}_{1}) + {M（M）}^{1 / γ} \int_{{T型}_{1}}^{t吨} {[\frac{1}{第页 (秒)} 经验 (- \int_{T型}^{秒} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ)]}^{1 / γ} d日 秒 .

传递到极限 $t吨 \to \infty$ 并且使用（1.2），我们推断

\underset{t吨 \to \infty}{林} {x个}^{(n个 - 2)} (t吨) = - \infty .

它是从不平等中得出的 ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) < 0$ 和 ${x个}^{(n个 - 2)} (t吨) < 0$ 那个 $x个 (t吨) < 0$ ，这与我们的假设相矛盾 $x个 (t吨) > 0$ 最后，在表格中填写（2.2）

\begin{aligned} 经验 (\int_{{t吨}_{0}}^{t吨} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ) [{第页}^{'} (t吨) + 对 (t吨)] {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ} \\ + γ 第页 (t吨) 经验 (\int_{{t吨}_{0}}^{t吨} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ - 1} {x个}^{(n个)} (t吨) < 0, \end{aligned}

这意味着 ${x个}^{(n个)} (t吨) < 0$ 这就完成了证明。 □

引理2.2（阿加瓦尔等。[三])

假设 $u个 \in {C类}^{n个} ([{t吨}_{0}, \infty), {R（右）}^{+})$ , ${u个}^{(n个)} (t吨)$ 不是-对所有大的都是积极的 t吨 且不等于零 $[{t吨}_{0}, \infty)$ .如果 $林_{t吨 \to \infty} u个 (t吨) \neq 0$ ,那么对于每个 $λ \in (0, 1)$ ,存在一个 ${t吨}_{λ} \in [{t吨}_{0}, \infty)$ 这样的话

u个 (t吨) \geq \frac{λ}{(n个 - 1)!} {t吨}^{n个 - 1} | {u个}^{(n个 - 1)} (t吨) |

等待 $[{t吨}_{λ}, \infty)$ .

引理2.3（阿加瓦尔等。[4])

方程式

{(第页 (t吨) {({x个}^{'} (t吨))}^{γ})}^{'} + 一 (t吨) {x个}^{γ} (t吨) = 0,

哪里 $γ > 0$ 是奇数自然数的商, $第页 \in {C类}^{1} ([{t吨}_{0}, \infty), (0, \infty))$ ,和 $一 \in C类 ([{t吨}_{0}, \infty), R（右）)$ 不是-振荡当且仅当存在一个数 $T型 \geq {t吨}_{0}$ 和一个函数 $v（v） \in {C类}^{1} ([T型, \infty), R（右）)$ 这样的话,为所有人 $t吨 \geq T型$ ,

{v（v）}^{'} (t吨) + γ \frac{{v（v）}^{(γ + 1) / γ} (t吨)}{{第页}^{1 / γ} (t吨)} + 一 (t吨) \leq 0 .

为了简洁地展示我们的结果，我们引入了以下符号：

\begin{matrix} E类 (k个, 我) : = 经验 (\int_{k个}^{我} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ), δ (t吨) : = \int_{t吨}^{\infty} \frac{d日 秒}{{(第页 (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒))}^{1 / γ}}, \\ φ (t吨) : = \frac{对 (t吨)}{第页 (t吨)} + \frac{γ^{γ + 1}}{{(γ + 1)}^{γ + 1}} \frac{ϕ_{+}^{γ + 1} (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨)}{δ (t吨) {第页}^{1 / γ} (t吨)}, \\ ϕ (t吨) : = \frac{1}{{E类}^{1 / γ} ({t吨}_{0}, t吨)} - \frac{1}{γ} δ (t吨) 对 (t吨) {第页}^{(1 - γ) / γ} (t吨), ϕ_{+} (t吨) : = 最大值 [0, ϕ (t吨)] . \end{matrix}

定理2.4 假设

\frac{1}{{((n个 - 1)!)}^{γ}} \underset{t吨 \to \infty}{林inf公司} \int_{克 (t吨)}^{t吨} \frac{q个 (秒)}{第页 (克 (秒))} {(克^{n个 - 1} (秒))}^{γ} E类 (克 (秒), 秒) d日 秒 > \frac{1}{e（电子）} .

(2.4)

然后每个解决方案 $x个 (t吨)$ 属于(1.1)要么振荡，要么满足

\underset{t吨 \to \infty}{林} x个 (t吨) = 0

(2.5)

前提是

（i）
(1.2)持有或
（ii）
(1.4)感到满意并且,对一些人来说 $λ_{1} \in (0, 1)$ ,
$\underset{t吨 \to \infty}{林啜饮} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} [q个 (秒) {(\frac{λ_{1}}{(n个 - 2)!} 克^{n个 - 2} (秒) δ (秒))}^{γ} E类 ({t吨}_{0}, 秒) - φ (秒)] d日秒 = \infty .$
(2.6)

证明假设（1.1）有一个非振荡解 $x个 (t吨)$ 这最终是积极的，因此

\underset{t吨 \to \infty}{林} x个 (t吨) \neq 0 .

(2.7)

案例（i）通过引理2.1，我们得出结论（2.1）适用于所有 $t吨 \geq {t吨}_{1}$ ，其中 ${t吨}_{1} \geq {t吨}_{0}$ 足够大。从引理2.2可以得出

x个 (t吨) \geq \frac{λ {t吨}^{n个 - 1}}{(n个 - 1)!} {x个}^{(n个 - 1)} (t吨) = \frac{λ {t吨}^{n个 - 1}}{(n个 - 1)! {第页}^{1 / γ} (t吨)} {第页}^{1 / γ} (t吨) {x个}^{(n个 - 1)} (t吨),

对于每个 $λ \in (0, 1)$ 对于所有足够大的t吨.让

年 (t吨) : = 第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ} .

根据（1.1），我们得出如下结论： $年 (t吨)$ 是微分不等式的正解

年^{'} (t吨) + \frac{对 (t吨)}{第页 (t吨)} 年 (t吨) + q个 (t吨) {(\frac{λ 克^{n个 - 1} (t吨)}{(n个 - 1)! {第页}^{1 / γ} (克 (t吨))})}^{γ} 年 (克 (t吨)) \leq 0 .

然而，这是根据Werbowski的结果得出的[[15]，推论1]，后一个不等式在假设（2.4）下没有正解，这是一个矛盾。第（i）部分的证明是完整的。

情形（ii）与引理2.1中的分析类似，得出结论：具有性质（2.7）的非振荡正解满足 $t吨 \geq {t吨}_{1}$ 条件（2.1）或

x个 (t吨) > 0, {x个}^{(n个 - 2)} (t吨) > 0, {x个}^{(n个 - 1)} (t吨) < 0,

(2.8)

哪里 ${t吨}_{1} \geq {t吨}_{0}$ 足够大。首先假设（2.1）成立。正如在第（i）部分的证明中，人们得出了与条件（2.4）相矛盾的结论。假设（2.8）成立。对于 $t吨 \geq {t吨}_{1}$ ，定义新函数 $v（v） (t吨)$ 通过

v（v） (t吨) : = \frac{第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ}}{{({x个}^{(n个 - 2)} (t吨))}^{γ}} .

(2.9)

然后 $v（v） (t吨) < 0$ 对于 $t吨 \geq {t吨}_{1}$ .自

{(第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ} E类 ({t吨}_{0}, t吨))}^{'} = - q个 (t吨) {x个}^{γ} (克 (t吨)) E类 ({t吨}_{0}, t吨) < 0,

我们推断该函数 $第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ} E类 (t吨, {t吨}_{0})$ 正在减少。因此，对于 $秒 \geq t吨 \geq {t吨}_{1}$ ,

{(第页 (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒))}^{1 / γ} {x个}^{(n个 - 1)} (秒) \leq {(第页 (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨))}^{1 / γ} {x个}^{(n个 - 1)} (t吨) .

(2.10)

将（2.10）的两侧除以 ${(第页 (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒))}^{1 / γ}$ 并将所得不等式与t吨到T型，我们获得

{x个}^{(n个 - 2)} (T型) \leq {x个}^{(n个 - 2)} (t吨) + {(第页 (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨))}^{1 / γ} {x个}^{(n个 - 1)} (t吨) \int_{t吨}^{T型} \frac{d日 秒}{{(第页 (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒))}^{1 / γ}} .

出租 $T型 \to \infty$ 并考虑到这一点 ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) < 0$ 和 ${x个}^{(n个 - 2)} (t吨) > 0$ ，我们得出的结论是

\underset{T型 \to \infty}{林} {x个}^{(n个 - 2)} (T型) \geq 0 .

因此，

0 \leq {x个}^{(n个 - 2)} (t吨) + {(第页 (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨))}^{1 / γ} {x个}^{(n个 - 1)} (t吨) δ (t吨),

这就产生了

- \frac{{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)}{{x个}^{(n个 - 2)} (t吨)} δ (t吨) {(第页 (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨))}^{1 / γ} \leq 1 .

因此，通过（2.9），我们得出结论：

- v（v） (t吨) δ^{γ} (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨) \leq 1 .

(2.11)

（2.9）产量差异

{v（v）}^{'} (t吨) = \frac{{(第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ})}^{'}}{{({x个}^{(n个 - 2)} (t吨))}^{γ}} - γ \frac{第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ + 1}}{{({x个}^{(n个 - 2)} (t吨))}^{γ + 1}} .

由（1.1）和（2.9）可知

{v（v）}^{'} (t吨) = - 对 (t吨) \frac{v（v） (t吨)}{第页 (t吨)} - q个 (t吨) \frac{{x个}^{γ} (克 (t吨))}{{({x个}^{(n个 - 2)} (t吨))}^{γ}} - γ \frac{{v（v）}^{(γ + 1) / γ} (t吨)}{{第页}^{1 / γ} (t吨)} .

另一方面，从引理2.2可以得出

x个 (t吨) \geq \frac{λ}{(n个 - 2)!} {t吨}^{n个 - 2} {x个}^{(n个 - 2)} (t吨),

对于每个 $λ \in (0, 1)$ 对于所有足够大的t吨因此，（2.11）收益率

\begin{aligned} {v（v）}^{'} (t吨) & \leq \frac{对 (t吨)}{第页 (t吨) δ^{γ} (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨)} - q个 (t吨) {(\frac{x个 (克 (t吨))}{{x个}^{(n个 - 2)} (克 (t吨))})}^{γ} {(\frac{{x个}^{(n个 - 2)} (克 (t吨))}{{x个}^{(n个 - 2)} (t吨)})}^{γ} - γ {(\frac{{v（v）}^{γ + 1} (t吨)}{第页 (t吨)})}^{1 / γ} \\ \leq \frac{对 (t吨)}{第页 (t吨) δ^{γ} (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨)} - q个 (t吨) {(\frac{λ}{(n个 - 2)!} 克^{n个 - 2} (t吨))}^{γ} - γ {(\frac{{v（v）}^{γ + 1} (t吨)}{第页 (t吨)})}^{1 / γ} . \end{aligned}

(2.12)

将（2.12）乘以 $δ^{γ} (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨)$ 并将所得不等式与 ${t吨}_{1}$ 到t吨，我们有

\begin{aligned} δ^{γ} (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨) v（v） (t吨) - δ^{γ} ({t吨}_{1}) E类 ({t吨}_{0}, {t吨}_{1}) v（v） ({t吨}_{1}) - \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} \frac{对 (秒)}{第页 (秒)} d日 秒 \\ + γ \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} {第页}^{- 1 / γ} (秒) δ^{γ - 1} (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒) ϕ_{+} (秒) v（v） (秒) d日 秒 \\ + \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} q个 (秒) {(\frac{λ}{(n个 - 2)!} 克^{n个 - 2} (秒))}^{γ} δ^{γ} (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒) d日 秒 \\ + \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} γ {(\frac{{v（v）}^{γ + 1} (秒)}{第页 (秒)})}^{1 / γ} δ^{γ} (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒) d日 秒 \leq 0 . \end{aligned}

让 $A类 : = δ^{γ} (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒) {第页}^{- 1 / γ} (秒)$ 和 $B类 : = {第页}^{- 1 / γ} (秒) δ^{γ - 1} (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒) ϕ_{+} (秒)$ 。利用以下事实 ${v（v）}^{(γ + 1) / γ} (秒) = {(- v（v） (秒))}^{(γ + 1) / γ}$ 和不平等

- B类 v（v） (秒) - A类 {v（v）}^{(γ + 1) / γ} (秒) \leq \frac{γ^{γ}}{{(γ + 1)}^{γ + 1}} \frac{{B类}^{γ + 1}}{{A类}^{γ}}, A类 > 0

（见张和王[[19]，引理2.3]了解详细信息）和φ，我们从（2.11）中得出

\int_{{t吨}_{1}}^{t吨} [q个 (秒) {(\frac{λ}{(n个 - 2)!} 克^{n个 - 2} (秒))}^{γ} δ^{γ} (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒) - φ (秒)] d日 秒 \leq δ^{γ} ({t吨}_{1}) E类 ({t吨}_{0}, {t吨}_{1}) v（v） ({t吨}_{1}) + 1,

这与（2.6）相矛盾。这就完成了对第（ii）部分的证明。 □

备注2.5有关与定理2.4第（i）部分中建立的结果类似的结果，另请参见Zhang等。[[16]，定理5.3]。

备注2.6对于 $对 (t吨) = 0$ ，定理2.4包括定理1.1。

在本节的其余部分中，我们使用不同的方法得出定理2.4的结论。首先，我们使用积分平均技术将假设（2.6）替换为Philos-type条件。

为此，让 $D类 = {(t吨, 秒) : t吨 \geq 秒 \geq {t吨}_{0}}$ 。我们说一个函数 $H（H） \in C类 (D类, R（右）)$ 属于该类 ${P（P）}_{γ}$ 如果

H（H） (t吨, t吨) = 0, 的 t吨 \geq {t吨}_{0}, H（H） (t吨, 秒) > 0, 的 t吨 > 秒 \geq {t吨}_{0},

和H（H）具有非正连续偏导数 $\partial H（H） / \partial 秒$ 关于满足条件的第二个变量

- \frac{\partial}{\partial 秒} H（H） (t吨, 秒) = ξ (t吨, 秒) {H（H）}^{γ / (γ + 1)} (t吨, 秒)

对于某些功能 $ξ \in 我_{本地} (D类, R（右）)$ .

定理2.7 让 $δ (t吨)$ 如定理所示2.4假设是这样(1.4)和(2.4)持有.假设存在一个函数 $H（H） \in {P（P）}_{γ}$ 这样的话

\begin{aligned} \underset{t吨 \to \infty}{林啜饮} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} [H（H） (t吨, 秒) q个 (秒) {(\frac{λ_{1}}{(n个 - 2)!} 克^{n个 - 2} (秒))}^{γ} \\ - \frac{H（H） (t吨, 秒) 对 (秒)}{第页 (秒) δ^{γ} (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒)} - \frac{第页 (秒) {(ξ (t吨, 秒))}^{γ + 1}}{{(γ + 1)}^{γ + 1}}] d日 秒 > 0, \end{aligned}

(2.13)

为所有人 ${t吨}_{1} \geq {t吨}_{0}$ 还有一些 $λ_{1} \in (0, 1)$ .然后是定理的结论2.4保持完整.

证明假设 $x个 (t吨)$ 是满足（2.7）的（1.1）的最终正解，如定理2.4的证明一样，我们得出了对所有人都成立的不等式（2.12 $λ \in (0, 1)$ 将（2.12）乘以 $H（H） (t吨, 秒)$ 并将所得不等式与 ${t吨}_{1}$ 到t吨，我们获得

\begin{aligned} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} H（H） (t吨, 秒) [q个 (秒) {(\frac{λ 克^{n个 - 2} (秒)}{(n个 - 2)!})}^{γ} - \frac{对 (秒)}{第页 (秒) δ^{γ} (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒)}] d日 秒 \\ \leq H（H） (t吨, {t吨}_{1}) v（v） ({t吨}_{1}) + \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} \frac{\partial H（H） (t吨, 秒)}{\partial 秒} v（v） (秒) d日 秒 - \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} γ H（H） (t吨, 秒) \frac{{v（v）}^{(γ + 1) / γ} (秒)}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒 \\ = H（H） (t吨, {t吨}_{1}) v（v） ({t吨}_{1}) - \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} ξ (t吨, 秒) {H（H）}^{γ / (γ + 1)} (t吨, 秒) v（v） (秒) d日 秒 - \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} γ H（H） (t吨, 秒) \frac{{v（v）}^{(γ + 1) / γ} (秒)}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒 . \end{aligned}

让

A类 : = {(γ H（H） (t吨, 秒) \frac{{(- v（v） (秒))}^{(γ + 1) / γ}}{{第页}^{1 / γ} (秒)})}^{γ / (γ + 1)}

和

B类 : = {(\frac{γ ξ (t吨, 秒) {第页}^{1 / (γ + 1)} (秒)}{(γ + 1) γ^{γ / (γ + 1)}})}^{γ} .

使用不等式

\frac{γ + 1}{γ} A类 {B类}^{1 / γ} - {A类}^{(γ + 1) / γ} \leq \frac{1}{γ} {B类}^{(γ + 1) / γ},

我们获得

\begin{aligned} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} [H（H） (t吨, 秒) q个 (秒) {(\frac{λ}{(n个 - 2)!} 克^{n个 - 2} (秒))}^{γ} - \frac{H（H） (t吨, 秒) 对 (秒)}{第页 (秒) δ^{γ} (秒) E类 ({t吨}_{0}, 秒)} - \frac{第页 (秒) ξ^{γ + 1} (t吨, 秒)}{{(γ + 1)}^{γ + 1}}] d日 秒 \\ \leq H（H） (t吨, {t吨}_{1}) v（v） ({t吨}_{1}) < 0, \end{aligned}

这与假设（2.13）相矛盾。这就完成了证明。 □

最后，我们还给出了（1.1）的比较结果，从而得出定理2.4的结论。

定理2.8 让 $δ (t吨)$ 如上所述,并假设(1.4)和(2.4)持有.如果有一秒钟-订购一半-线性常微分方程

{(第页 (t吨) {({u个}^{'} (t吨))}^{γ})}^{'} + [q个 (t吨) {(\frac{λ_{1}}{(n个 - 2)!} 克^{n个 - 2} (t吨))}^{γ} - \frac{对 (t吨)}{第页 (t吨) δ^{γ} (t吨) E类 ({t吨}_{0}, t吨)}] {u个}^{γ} (t吨) = 0

(2.14)

对某些人来说是振荡的 $λ_{1} \in (0, 1)$ ,然后是定理的结论2.4保持完好.

证明再次假设 $x个 (t吨)$ 是满足（2.7）的（1.1）的最终正解，按照定理2.4的证明，我们得到了（2.12），它适用于所有情况 $λ \in (0, 1)$ .通过引理2.3，我们得出结论：（2.14）是非振荡的，这是一个矛盾。证据是完整的。 □

3示例

以下示例说明了上一节中获得的理论结果的可能应用。

示例3.1对于 $t吨 \geq 1$ ，考虑三阶微分方程

{(t吨 {x个}^{″} (t吨))}^{'} + {x个}^{″} (t吨) + \frac{t吨 - 2}{{e（电子）}^{2}} x个 (t吨 - 2) = 0 .

(3.1)

不难验证（1.4）是否成立和

\begin{aligned} \underset{t吨 \to \infty}{林inf公司} \int_{克 (t吨)}^{t吨} q个 (秒) {(\frac{克^{n个 - 1} (秒)}{{第页}^{1 / γ} (克 (秒))})}^{γ} 经验 (\int_{克 (秒)}^{秒} \frac{对 (v（v）)}{第页 (v（v）)} d日 v（v）) d日 秒 \\ = \frac{1}{{e（电子）}^{2}} \underset{t吨 \to \infty}{林inf公司} \int_{t吨 - 2}^{t吨} 秒 (秒 - 2) d日 秒 = \infty . \end{aligned}

让 ${t吨}_{0} = 1$ 。那么 $δ (t吨) = 1 / t吨$ , $ϕ (t吨) = 0$ , $φ (t吨) = 1 / t吨$ ，因此

\begin{aligned} \underset{t吨 \to \infty}{林啜饮} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} [q个 (秒) {(\frac{λ_{1} 克^{n个 - 2} (秒) δ (秒)}{(n个 - 2)!})}^{γ} 经验 (\int_{{t吨}_{0}}^{秒} \frac{对 (τ)}{第页 (τ)} d日 τ) - φ (秒)] d日 秒 \\ = \underset{t吨 \to \infty}{林啜饮} \int_{1}^{t吨} [λ_{1} \frac{{(秒 - 2)}^{2}}{{e（电子）}^{2}} - \frac{1}{秒}] d日 秒 = \infty, \end{aligned}

对一些人来说 $λ_{1} \in (0, 1)$ 因此，根据定理2.4，（3.1）的每个解要么是振荡的，要么满足（2.5）。事实上，事实上， $x个 (t吨) = {e（电子）}^{- t吨}$ 是满足条件（2.5）的方程的解。

备注3.2注意定理2.4、2.7和2.8确保每个解决方案 $x个 (t吨)$ （1.1）要么是振荡的，要么满足（2.5），不幸的是，这些结果不能区分具有不同行为的解。因为导数的符号 ${x个}^{'} (t吨)$ 不知道，很难建立充分条件来保证（1.1）的所有解都是振荡的并且不满足（2.5）。也不可能使用本文中使用的技术来证明（1.1）的所有解满足（2.5）。因此，这两个有趣的问题仍有待进一步研究。

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致谢

作者对两位匿名评审对原稿的仔细阅读和有益的评论表示衷心的感谢，这些评论有助于改进结果的呈现并强调重要细节。

作者信息

作者和附属机构

青岛理工大学，山东省费县，273400
李同兴
挪威N-4604克里斯蒂安桑阿格德大学数学科学系，邮政信箱422
尤里·罗戈夫琴科

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李同兴
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Li，T.，Rogovchenko，Y.V.奇阶时滞微分方程的渐近行为。边界值问题 2014, 107 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2014-107

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收到:2014年1月29日
认可的:2014年4月22日
已发布:2014年5月9日
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