跳到主要内容
边值问题
下载PDF

区间减半周期解的构造性分析

边值问题 体积 2013，物品编号：57(2013)引用本文

摘要

为了对非线性非自治常微分方程组的周期边值问题进行构造性分析，提出了一种数值分析方法，它既可以研究解的可解性，又可以构造解的近似值。引入了一种区间减半技术，利用该技术可以显著削弱保证收敛所需的条件。方程的主要假设是非线性是局部Lipschitzian的。

证明了一个基于逼近性质的存在性定理。指出了与Mawhin延拓定理的关系。

理学硕士：34B15。

介绍

在这篇论文中，我们将使用在[1]. 这种方法是数值分析的，因为它的实现分为两个阶段，分别涉及某些方程的显式构造及其数值分析，并且在精神上接近于Lyapunov-Schmidt约化[2，三]. 但是，既不使用小参数，也不使用隐式函数参数。

我们重点研究基于连续逼近的数值分析方案。在非线性振荡理论的背景下，这种类型的方法显然是在[4–8]. 我们建议读者参考[9–20]相关参考书目。

对于边值问题，对于含有向量参数的适当摄动系统，数值分析方法通常用一系列初值问题来代替该问题，向量参数通常具有解的初值含义。扰动系统的Cauchy问题的解是通过逐次逼近以解析形式求得的，而参数的数值是稍后从所谓的确定方程中确定的。

为了保证收敛性，通常假设一类Lipschitz条件[9–12]和类型的小限制

第页(K（K）)≤ q个 T型
(0.1)

强加，其中K（K）是Lipschitz矩阵 q个 T型 取决于时间T型条件（0.1）的改进在于使常数的值最大化 q个 T型 .

在本文中，它是[1]，我们提供了一种构造性的方法来研究周期问题（1.3）、（1.4）的可解性，其中收敛性分析使用了区间减半技术。我们将看到，在相当一般的假设下，这个想法允许用较弱的条件替换（0.1）

第页(K（K）)≤2 q个 T型
(0.2)

从而大大改善了所建立的收敛条件，特别是[6–9，12]. 对域宽度的限制也得到了改进。最后，证明了一个基于近似解性质的存在性定理。这些证据使用了来自[1]在适当的情况下，在展示过程中进行说明。

1问题设置和基本假设

我们感兴趣的方法T型-一类非线性常微分方程组的周期解

u个 ′ (t吨)=（f） ( t吨 ， u个 ( t吨 ) ) ，t吨∈(−∞，∞)，
(1.1)

哪里（f）: R（右） n个 + 1 → R（右） n个 是一个连续函数，因此

（f）(t吨，z（z）)=（f）(t吨+T型，z（z）)
(1.2)

为所有人z（z）∈ R（右） n个 和t吨∈(−∞，∞).给，T型是一个给定的正数。我们仅限于考虑系统（1.1）的连续可微解，而且T型-（1.1）的周期解，我们将始终处理这些解u个:[0，T型]→ R（右） n个 有界区间上相应的周期边值问题[0，T型]，

（1.3）
(1.4)

通过假设（1.2）可以证明问题（1.3）、（1.4）的正确性。

我们的主要假设是（f）:[0，T型]× R（右） n个 → R（右） n个 是Lipschitz关于某个有界集中的空间变量天，它是中有界连通域的闭包 R（右） n个 为了简单起见，我们假设存在一个非负的常数平方矩阵K（K）尺寸的n个这样的话

|（f）(t吨， x个 1 )−（f）(t吨， x个 2 )|≤K（K）| x个 1 − x个 2 |
(1.5)

为所有人{ x个 1 ， x个 2 }⊂天和t吨∈[0，T型].

这里和下面，明显的符号|x个|=科尔(| x个 1 |，| x个 2 |，…，| x个 n个 |)使用，向量之间的不等式被组件化理解。对操作“max”和“min”隐式采用了相同的约定，因此，例如，最大值{小时(z（z）):z（z）∈问}对于任何小时= ( 小时 我 ) 我 = 1 n个 :问→ R（右） n个 ，其中问⊂ R（右） 米 ，米≤n个，定义为包含组件的列向量最大值{ 小时 我 (z（z）):z（z）∈问}，我=1，2，…，n个.

2符号和符号

我们修复了一个n个∈N个和有界集天⊂ R（右） n个 。续集中使用了以下符号：

  1. 1

    1 n个 是维度的单位矩阵n个.

  2. 2

    第页(K（K）)是矩阵的最大模特征值K（K）.

  3. 三。

    给定一个闭合区间J型⊆R（右），我们定义向量 δ J型 ， 天 (（f）)通过设置

    δ J型 ， 天 (（f）):= 最大值 ( t吨 ， z（z） ) ∈ J型 × 天 （f）(t吨，z（z）)− 最小值 ( t吨 ， z（z） ) ∈ J型 × 天 （f）(t吨，z（z）).
    (2.1)
  4. 4

    e（电子） k个 ，k个=1，2，…，n个：见（10.5）。

  5. 5

    ∂Ω是域Ω的边界。

  6. 6

    ▷ S公司 ：见定义10.1。

集合的概念天(第页)与关联天，可以称为内部的 r邻域属于天，通常用于以下内容。

定义2.1对于任何非负矢量第页∈ R（右） n个 ，我们把

天(第页):= { z（z） ∈ 天 : B ( z（z） ， 第页 ) ⊂ 天 } ，
(2.2)

哪里

B(z（z），第页):= { ξ ∈ R（右） n个 : | ξ − z（z） | ≤ 第页 } .
(2.3)

下面使用的假设之一意味着第页-邻里天的非空第页足够大。

最后，让正数 ϱ * 由平等决定

ϱ * − 1 =inf公司 { q个 > 0 : q个 − 1 = ¦Β 0 1 2 经验 ( τ ( τ − 1 ) q个 ) d日 τ } .
(2.4)

我们指的是，例如，至[12，21]讨论引入常数的其他方法 ϱ * 以及它的意义。在这里对我们来说重要的是 ϱ * 是引理3.2中出现的常数。人们可以通过计算表明

ϱ * ≈0.2927.
(2.5)

三对-周期逐次逼近

Samoilenko在[6，7]，最初称为数值分析法对于周期解的研究，也被称为周期逐次逼近[9–12]. 它的方案，由下面的命题3.1和3.4以适合我们的形式描述，非常简单，并且处理参数化方程的研究

u个(t吨)=z（z）+ ¦Β 0 t吨 （f） ( 秒 ， u个 ( 秒 ) ) d日秒− t吨 T型 ¦Β 0 T型 （f） ( 秒 ， u个 ( 秒 ) ) d日秒，t吨∈[0，T型]，
（3.1）

哪里z（z）∈天是稍后选择的参数。为了便于参考，我们为对-周期性问题

（3.2）
(3.3)

哪里克:[ t吨 0 ， t吨 0 +对]× R（右） n个 → R（右） n个 和 t吨 0 ∈(−∞，∞)是任意的，但是固定的。

以下[1]，我们现在描述原始的、未修改的、周期性的连续近似方案对-我们要修改的周期问题（3.2）、（3.3），构造如下。对于问题（3.2）、（3.3），人们将函数序列联系起来 u个 米 (⋅，z（z）)，米≥0，根据规则定义

u个 0 ( t吨 ， z（z） ) : = z（z） ， u个 米 ( t吨 ， z（z） ) : = z（z） + ¦Β t吨 0 t吨 克 ( 秒 ， u个 米 − 1 ( 秒 ， z（z） ) ) d日 秒 − t吨 负极 t吨 0 对 ¦Β t吨 0 t吨 0 + 对 克 ( 秒 ， u个 米 − 1 ( 秒 ， z（z） ) ) d日 秒
(3.4)

对于t吨∈[ t吨 0 ， t吨 0 +对]和米=1，2，… , 其中向量z（z）=科尔( z（z） 1 ， z（z） 2 ，…， z（z） n个 )被视为参数，其值稍后确定。

提议3.1([[12]，定理3.17]）

让函数 （f） 满足Lipschitz条件(1.5)使用矩阵 K（K） 其中不等式

第页(K（K）)< 1 对 ϱ *
(3.5)

持有和，此外，

天 ( 对 4 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 ( 克 ) ) ≠∅.
(3.6)

然后，对于任何固定 z（z）∈天( 对 4 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 (克))，以下断言是正确的:

  1. 1

    顺序(3.4)收敛到极限函数

    u个 ∞ (t吨，z（z）)= 林 米 → ∞ u个 米 (t吨，z（z）)
    (3.7)

在中一致 t吨∈[ t吨 0 ， t吨 0 +对].

  1. 2

    极限函数(3.7)满足 对-周期边界条件

    u个 ∞ ( t吨 0 ，z（z）)= u个 ∞ ( t吨 0 +对，z（z）).
  2. 三。

    功能 u个 ∞ (⋅，z（z）) 是柯西问题的唯一解决方案

    （3.8）
(3.9)

哪里

Δ(z（z）):= ¦Β t吨 0 t吨 0 + 对 克 ( τ ， u个 ∞ ( τ ， z（z） ) ) d日τ.
(3.10)
  1. 4

    给定任意小的正数 ε，人们可以选择一个数字 米 ε ≥1 这样估计

    | u个 米 ( t吨 ， z（z） ) − u个 ∞ ( t吨 ， z（z） ) | ≤ 1 2 α 米 ε (t吨) K（K） 米 ε − 1 ( ϱ ε 对 K（K） ) 米 − 米 ε + 1 ( 1 n个 − ϱ ε 对 K（K） ) − 1 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 (克)

为所有人保留 t吨∈[ t吨 0 ， t吨 0 +对] 和 米≥ 米 ε ，哪里

ϱ ε := ϱ * +ε.
(3.11)

回想一下，根据（2.2），条件（3.6）意味着内部的非空性 对 4 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 (克)-集合的邻域天，其中 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 (克)是公式（2.1）中给出的向量。这与自然假设一致，即为了使近似技术适用，假设Lipschitz条件的域应该足够宽。

命题3.1的证明基于下面公式化的引理3.2，它提供了函数序列的估计 α 米 ，米≥0，由公式给出

α 米 (t吨):= ( 1 − t吨 − t吨 0 对 ) ¦Β t吨 0 t吨 α 米 负极 1 (秒)d日秒+ t吨 − t吨 0 对 ¦Β t吨 t吨 0 + 对 α 米 − 1 (秒)d日秒，
(3.12)

哪里米≥1和 α 0 (t吨):=1，t吨∈[ t吨 0 ， t吨 0 +对]我们在此提供公式，以便更清楚地了解估计中出现的常数。

引理3.2([[16]，引理3]）

对于任何 ε∈(0，+∞)，可以指定整数 米 ε ≥1 这样的话

α 米 + 1 (t吨)≤对( ϱ * +ε) α 米 (t吨)
(3.13)

为所有人 t吨∈[ t吨 0 ， t吨 0 +对] 和 米≥ 米 ε .

需要注意的是，估算（3.13）在以下意义上是最优的ε永远不能等于零。

备注3.3它源自[[22]，引理4]如果ε≥ ε 0 ，其中

ε 0 := 三 10 − ϱ * ≈0.00727，
(3.14)

然后 米 ε =2在引理3.2中（当然，这里我们想到 米 ε 具有所示属性的最小整数）。

命题3.1的主张提出了一种自然的方法来建立对-给定方程的周期解(1.3)和扰动方程的那些(3.8)（或者，等价地，初值问题的解（3.8），（3.9））。事实证明，通过选择z（z）适当地，可以使用函数（3.7）构造原始周期边值问题（1.3）、（1.4）的解。

提案3.4([1，12])

让命题的假设3.1持有.然后:

  1. 1

    给定一个 z（z）∈天( 对 4 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 (克))，函数 u个 ∞ (⋅，z（z）) 是解决 对-周期边值问题(3.2), (3.3)当且仅当 z（z） 是方程的根

    Δ(z（z）)=0.
    (3.15)
  2. 2

    对于任何解决方案 u个(⋅) 问题的(3.2), (3.3)具有 u个( t吨 0 )∈天( 对 4 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 (克))，存在一个 z（z） 0 这样的话 u个(⋅)= u个 ∞ (⋅， z（z） 0 ).

重要的断言（2）意味着(3.15)，通常称为确定方程式，允许跟踪全部的周期边值问题的解（1.3），（1.4）。这样，原始的无穷维问题就简化为n个数值方程。

因此，该方法由两部分组成，即分析的部分，当积分方程(3.1)采用逐次逼近法（3.4）进行处理数字的一个是从方程中找出未知参数的值(3.15). 这与Lyapunov-Schmidt约化的思想密切相关[2，三].

有效应用命题3.4的主要障碍是由于函数 u个 ∞ (⋅，z（z）)，z（z）∈天( 对 4 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 (克))因此，映射Δ:天( 对 4 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 (克))→ R（右） n个 显式未知。然而，可以根据某一迭代的性质证明解的存在性 u个 米 (⋅，z（z）)它是为某个固定的米为此，我们研究近似测定系统

Δ 米 (z（z）)=0，
(3.16)

哪里 Δ 米 :天( 对 4 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 (克))→ R（右） n个 由公式定义

Δ 米 (z（z）):= ¦Β t吨 0 t吨 0 + 对 克 ( 秒 ， u个 米 ( 秒 ， z（z） ) ) d日秒

对于z（z）∈天( 对 4 δ [ t吨 0 ， t吨 0 + 对 ] ， 天 (克))。本主题将在[12]，然而，第9节证明了与此处开发的方案相对应的指定类型的定理。我们的主要目标是在假设弱于应用命题3.1时所需假设的情况下获得可解性定理。

事实上，考虑到（2.5），对于证明序列（3.4）的一致收敛性至关重要的假设（3.5）可以重写为以下形式

第页(K（K）)< 对 负极 1 3.4161….
(3.17)

不等式（3.17）可以看作是Lipschitz矩阵的一种上界，也可以看作是周期上的一个小假设对后一种解释表明，该方案特别适合于高频振荡的研究。

在没有假设（3.17）的情况下，引理3.2在沿着命题3.1的证明直接应用时，不能保证序列（3.4）的收敛性。然而，事实证明，这一限制是可以克服的，通过使用适当的参数化并适当修改方案，可以始终削弱小条件（3.5），使其右侧的常数为加倍:

第页(K（K）)< 2 对 ϱ * .
(3.18)

还要注意的是，尽管我们想主要削弱保证迭代收敛的小度条件（3.17），但事实证明，这里为此目的建议的技术也允许我们获得条件（3.6）的显著改进（推论6.7）。

此外，我们将看到，在较弱的条件（3.18）下，修改后的格式可用于根据计算结果证明周期解的存在（定理10.2）。

4间隔减半、参数化和粘合

我们想说明的是，命题3.1描述的方法也可以用于违反保证收敛性的小条件（3.5）的情况。为此，可以使用基于间隔减半的自然技巧，在这种情况下，未修改的方案在某种意义上应该可以工作两次。然而，应注意边界条件。

事实上，乍一看，人们很想实现减半，因为原始方案应该应用于产生的每个半区间，因此序列（3.4）将被构造两次，用于问题（3.2）、（3.3） t吨 0 =0，对= 1 2 T型，克=（f） | [ 0 ， 1 2 T型 ] × R（右） n个 和 t吨 0 = 1 2 T型，对= 1 2 T型，克=（f） | [ 1 2 T型 ， T型 ] × R（右） n个 分别是。然而，这是不可能的，因为除了一些微不足道的例外，半区间上的边界条件永远不会 1 2 T型-周期性的。

当我们与周期边值问题（1.3）、（1.4）一起考虑两个辅助问题时，得到了正确的减半方案

(4.1)
(4.2)

和

(4.3)
(4.4)

哪里λ=科尔( λ 1 ，…， λ n个 )是一个自由参数，其值将根据与粘合相关的参数适当确定。图的相互配置x个和年分别满足问题（4.1）、（4.2）和（4.3）、（4.4）如图所示1.

图1
图1

半程辅助问题的解决方案。任意辅助两点问题（4.1）、（4.2）和（4.3）、（4.4）的可能解决方案λ.粘合意味着，在可溶解性的情况下，λ选择（4.9）保持不变。

全尺寸图像

我们关于问题（1.3）、（1.4）的进一步推理使用了以下简单观察结果。让我们把

χ T型 (t吨):={ 1 的 0 ≤ t吨 < 1 2 T型 ， 0 的 1 2 T型 ≤ t吨 ≤ T型 .
(4.5)

提议4.1([1])

让 x个:[0， 1 2 T型]→ R（右） n个 和 年:[ 1 2 T型，T型]→ R（右） n个 成为问题的解决方案(4.1), (4.2)和(4.3), (4.4),分别地，具有一定的值 λ∈ R（右） n个 .然后是函数

u个(t吨):= χ T型 (t吨)x个(t吨)+ ( 1 − χ T型 ( t吨 ) ) ( 年 ( t吨 ) − 年 ( T型 2 ) + x个 ( T型 2 ) ) ，t吨∈[0，T型]，
（4.6）

是周期问题边值问题的解(1.4)对于方程

u个 ′ (t吨)=（f） ( t吨 ， u个 ( t吨 ) + ( 1 − χ T型 ( t吨 ) ) ( 年 ( T型 2 ) − x个 ( T型 2 ) ) ) ，t吨∈[0，T型].
(4.7)

反之亦然，如果某个函数 u个:[0，T型]→ R（右） n个 是问题的解决方案(1.3), (1.4),那么它的限制 x个:=u个 | [ 0 ， 1 2 T型 ] 和 年:=u个 | [ 1 2 T型 ， T型 ] 相应的间隔满足，分别地，问题(4.1), (4.2)和(4.3), (4.4).

备注4.2泛函微分方程的一种解法(4.7)被理解为Carathéodory的意思 u个 ′ 在 1 2 T型是允许的。注意，函数（4.6）在 1 2 T型.

命题4.1的思想实际上是将周期边界条件（1.4）改写为

u个(0)−u个 ( T型 2 ) +u个 ( T型 2 ) −u个(T型)=0，
(4.8)

这自然导致我们引入参数λ.

命题4.1允许处理T型-周期问题（1.3），（1.4）作为两个独立两点问题（4.1），（4.2）和（4.3），（4.4）的一种连接。独立解决并考虑λ作为一个未知参数，可以通过选择λ使（4.9）成立。这种粘合的可能性相当于原始问题的可解性。以下是一个严格的公式

提议4.3([1])

假设 x个:[0， 1 2 T型]→ R（右） n个 和 年:[ 1 2 T型，T型]→ R（右） n个 是问题的解决方案(4.1), (4.2)和(4.3), (4.4),分别地，对于某个值 λ∈ R（右） n个 .然后是函数 u个:[0，T型]→ R（右） n个 由公式给出（4.6）是问题的解决方案(1.3), (1.4)当且仅当相等

x个 ( T型 2 ) =年 ( T型 2 )
(4.9)

持有.

反之亦然，如果确定 u个:[0，T型]→ R（右） n个 是问题的解决方案(1.3), (1.4),然后是函数 x个:=u个 | [ 0 ， 1 2 T型 ] 和 年:=u个 | [ 1 2 T型 ， T型 ] 满足，分别地，问题(4.1), (4.2)和（4.3）、（4.4）。

介绍功能 α ¯ 米 :[0， 1 2 T型]→[0，+∞)和 α ¯ ¯ 米 :[ 1 2 T型，T型]→[0，+∞)，米≥0，通过放置 α ¯ 0 ≡1， α ¯ ¯ 0 ≡1，

α ¯ 米 + 1 (t吨):= ( 1 − 2 t吨 T型 ) ¦Β 0 t吨 α ¯ 米 (秒)d日秒+ 2 t吨 T型 ¦Β t吨 1 2 T型 α ¯ 米 (秒)d日秒
(4.10)

对于t吨∈[0， 1 2 T型]、和

α ¯ ¯ 米 + 1 (t吨):=2 ( 1 − t吨 T型 ) ¦Β 1 2 T型 t吨 α ¯ ¯ 米 (秒)d日秒+ ( 2 t吨 T型 负极 1 ) ¦Β t吨 T型 α ¯ ¯ 米 (秒)d日秒
(4.11)

对于t吨∈[ 1 2 T型，T型]特别是，我们有

α ¯ 1 (t吨)=2t吨 ( 1 − 2 t吨 T型 ) ，t吨∈ [ 0 ， 1 2 T型 ] ，
(4.12)

和

α ¯ ¯ 1 (t吨)=2 ( 1 − t吨 T型 ) (2t吨−T型)，t吨∈ [ 1 2 T型 ， T型 ] .
(4.13)

函数（4.10）和（4.11）实际上是（3.12）的适当缩放版本，它们包含在续集中给出的估计中。

5半程迭代

正如命题4.3所建议的，我们的方法T型-周期问题（1.3）、（1.4）要求我们首先分别研究辅助问题（4.1）、（4.2）和（4.3）、（4.4），为此将引入适当的迭代过程。让我们从考虑问题（4.1）、（4.2）开始。以下[1]，我们设置

X（X） 0 (t吨，ξ，λ):=ξ+ 2 t吨 T型 λ，t吨∈ [ 0 ， 1 2 T型 ] ，
(5.1)

并定义函数的递归序列 X（X） 米 :[0， 1 2 T型]× R（右） 2 n个 → R（右） n个 ，米=0，1，… , 通过将

(5.2)

为所有人米=1，2，… ,ξ∈ R（右） n个 和λ∈ R（右） n个 以类似的方式，对于区间上的参数化问题（4.3），（4.4）[ 1 2 T型，T型]，我们介绍了函数序列 Y（Y） 米 :[ 1 2 T型，T型]× R（右） 2 n个 → R（右） n个 ，米≥0，根据公式

(5.3)
(5.4)

为所有人η和λ从 R（右） n个 .

当考虑（4.1）、（4.1）和（4.3）、（4.4）类边值问题时，由等式（5.1）、（5.2）和（5.3）、（5.4）确定的递归序列自然出现。不难验证公式（5.1）、（5.2）和（5.3）、（5.4）是与两点边值问题的迭代方案相对应的那些公式的特殊情况（参见，例如, [23]). 也可以通过分别进行替换，从命题3.1直接导出这些公式x个(t吨)=u个(t吨)−2t吨 T型 − 1 λ，t吨∈[0， 1 2 T型]、和年(t吨)=u个(t吨)+(2t吨 T型 负极 1 −1)λ，t吨∈[ 1 2 T型，T型]之后到达参数化 1 2 T型-相应半区间上的周期边值问题。

重要的是要注意序列的所有成员 X（X） 米 (⋅，ξ，λ)，米≥0、和 Y（Y） 米 (⋅，ξ，λ)，米≥0，分别满足条件（4.2）和（4.4）。

引理5.1 对于任何 {ξ，η，λ}⊂ R（右） n个 和 米≥0，功能 X（X） 米 (⋅，ξ，λ) 和 Y（Y） 米 (⋅，η，λ) 满足边界条件

(5.5)
(5.6)

现在回想一下向量λ在上述所有关系中都涉及到“粘合”参数，该参数决定了一对辅助边值问题（4.1）、（4.2）和（4.3）、（4.4），对于这些问题，命题4.3所描述的连续连接是可能的。在这种关系中，以下属性很重要。

引理5.2 让 米≥0 武断.然后是平等

X（X） 米 ( T型 2 ， ξ ， λ ) = Y（Y） 米 ( T型 2 ， η ， λ )
(5.7)

仅当且仅当

λ=η−ξ.
(5.8)

证明实际上，它直接从（5.1）和（5.3）得出 X（X） 0 ( 1 2 T型，ξ，λ)=ξ+λ和 Y（Y） 0 ( 1 2 T型，η，λ)=η，从那里可以明显地看到米=0类似地，如果米≥1然后，根据（5.2）和（5.4），我们有 X（X） 米 ( 1 2 T型，ξ，λ)=ξ+λ和 Y（Y） 米 ( 1 2 T型，η，λ)=η因此，对于任何米. □

6逐次逼近及其收敛性

现在让我们转到原始迭代方案的构建T型-周期问题（1.3），（1.4）。序列 X（X） 米 :[0， 1 2 T型]× R（右） 2 n个 → R（右） n个 和 Y（Y） 米 :[ 1 2 T型，T型]× R（右） 2 n个 → R（右） n个 ，米≥0，将使用上一节中的。我们将看到，为了这个目的，最后命名序列的各个成员的图应该按照引理5.2的意义粘合在一起。也就是说，我们把

(6.1)
（6.2）

对于任何米=0，1，… . 函数（6.1）和（6.2）只考虑以下值ξ和η在某种意义上，它们距离领域边界足够远天。更准确地说，我们认为(ξ，η)从集合中 G公司 天 (第页)，对于任何非负向量第页，由等式定义

G公司 天 (第页):= { ( ξ ， η ) ∈ 天 2 : B ( ( 1 − θ ) ξ + θ η ， 第页 ) ⊂ 天 为所有人 θ ∈ [ 0 ， 1 ] } .
(6.3)

回想一下，我们使用了符号（2.3）。换句话说，一对向量(ξ，η)属于 G公司 天 (第页)当且仅当ξ和η位于天连同其第页-社区。纳入(ξ，η)∈ G公司 天 (第页)尤其意味着B(ξ，第页)⊂天和B(η，第页)⊂天，即，向量ξ和η两者都属于同一组天(第页)由公式（2.2）定义。从（6.3）中也可以明显看出 G公司 天 (第页)⊂ 天 2 对于任何第页.

下面的语句表明序列（6.1）是一致收敛的，其极限是某个摄动问题的解(ξ，η)在某种意义上是可以接受的(ξ，η)∈ G公司 天 (第页)具有第页足够大。

定理6.1 让向量-功能 （f）:[0，T型]×天→ R（右） n个 满足Lipschitz条件(1.5)在片场上 天 使用矩阵 K（K） 这样的话

第页(K（K）)< 2 T型 ϱ * .
(6.4)

此外，假设

G公司 天 ( T型 8 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 ( （f） ) ) ≠∅.
(6.5)

然后，对于任意一对向量 (ξ，η)∈ G公司 天 ( T型 8 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 (（f）)):

  1. 1

    制服，在里面 t吨∈[0， 1 2 T型]，限制

    林 米 → ∞ x个 米 (t吨，ξ，η)=: x个 ∞ (t吨，ξ，η)
    （6.6）

存在并且，此外，

x个 ∞ ( T型 2 ， ξ ， η ) − x个 ∞ (0，ξ，η)=η−ξ.
(6.7)
  1. 2

    功能 x个 ∞ (⋅，ξ，η) 是柯西问题的唯一解决方案

    (6.8)
(6.9)

哪里

Ξ(ξ，η):=η−ξ− ¦Β 0 T型 2 （f） ( τ ， x个 ∞ ( τ ， ξ ， η ) ) d日τ.
(6.10)
  1. 三。

    给定任意小的正数 ε，人们可以指定一个数字 米 ε ≥1 这样的话

    (6.11)

为所有人 t吨∈[0， 1 2 T型] 和 米≥ 米 ε ，哪里 ϱ ε 由提供(3.11).

回想一下常量 ϱ * 条件（6.4）中涉及的是等式（2.4），而向量 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 (（f）)（6.5）中产生的，根据（2.1）定义。

备注6.2误差估计（6.11）可能看起来不太方便，因为它是从足够大的迭代次数开始的， 米 ε ，取决于ε它可以任意小。然而，当所需常数不“太接近” ϱ * (即，如果ε不是“太小”）。更确切地说鉴于备注3.3， 米 ε =2对于ε≥ ε 0 ，其中

ε 0 ≈0.00727

由公式（3.14）给出。因此，不等式（6.11）与ε≥ ε 0 保留任意值米≥2.

类比定理6.1，在类似条件下，我们可以建立序列（6.2）的一致收敛性。也就是说，下面的陈述成立。

定理6.3 假设向量-功能 （f） 满足条件(1.5), (6.4)和，此外，

G公司 天 ( T型 8 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) ) ≠∅.
(6.12)

然后，对于所有固定 (ξ，η)∈ G公司 天 ( T型 8 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 (（f）)):

  1. 1

    制服，在里面 t吨∈[ 1 2 T型，T型]，限制

    林 米 → ∞ 年 米 (t吨，ξ，η)=: 年 ∞ (t吨，ξ，η)
    (6.13)

存在并且，此外，

年 ∞ (T型，ξ，η)− 年 ∞ ( T型 2 ， ξ ， η ) =ξ−η.
(6.14)
  1. 2

    功能 年 ∞ (⋅，ξ，η) 是柯西问题的唯一解决方案

    (6.15)
(6.16)

哪里

H（H）(ξ，η):=ξ−η− ¦Β T型 2 T型 （f） ( τ ， 年 ∞ ( τ ， ξ ， η ) ) d日τ.
(6.17)
  1. 三。

    对于任意小的正值 ε，人们可以找到一个数字 米 ε ≥1 这样的话

    (6.18)

为所有人 t吨∈[ 1 2 T型，T型] 和 米≥ 米 ε ，哪里 ϱ ε 由提供(3.11).

备注6.4与备注6.2类似，可以得出如下结论：估算（6.18）的有效性得到了保证全部的 米≥1前提是ε≥ ε 0 具有 ε 0 由公式（3.14）给出。

定理6.1和6.3是定理1和定理2的改进版本[1]，并且它们的证明遵循其中给出的行。这里的主要区别是使用引理7.2来保证迭代的值不会从天。其余的论点与[1]，我们省略了它。

注意，定理6.1和6.3的假设仅在条件（6.5）和（6.12）中有所不同。因此，通过放置

第页 天 (（f）):= T型 8 最大值 { δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 ( （f） ) ， δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) } ，
(6.19)

我们立即得出下面的陈述，总结了最后两个定理。

定理6.5 假设函数 （f） 满足Lipschitz条件(1.5)在里面 天 具有 K（K） 满足关系(6.4)和，此外，天 是这样的

G公司 天 ( 第页 天 ( （f） ) ) ≠∅.
(6.20)

然后，对于任何 (ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 (（f）))，定理的断言6.1和6.3持有.

回想一下天是假设Lipschitz条件（1.5）的主域，而 G公司 天 ( 第页 天 (（f）))是的子集 天 2 根据（6.3）定义。在某种意义上，后一组是天( 第页 天 (（f）))如上文所述

G公司 天 ( 第页 天 ( （f） ) ) ⊂天 ( 第页 天 ( （f） ) ) ×天 ( 第页 天 ( （f） ) )
(6.21)

是真的。根据（6.21），假设（6.20）特别意味着

天 ( 第页 天 ( （f） ) ) ≠∅，
(6.22)

这是命题3.1中出现的（3.6）类条件（见图2). 结果表明，在凸域的情况下，条件（6.20）总是可以替换为（6.22）。事实上，以下说法是正确的。

图2
图2

这套天( 第页 天 (（f）)).布景的示意图天( 第页 天 (（f）))出现在条件（6.22）中 第页 天 (（f）)由等式给出（6.19）。

全尺寸图像

引理6.6 如果域 天 是凸的，然后是相应的集合 G公司 天 ( 第页 天 (（f）)) 有表单

G公司 天 ( 第页 天 ( （f） ) ) =天 ( 第页 天 ( （f） ) ) ×天 ( 第页 天 ( （f） ) ) .

证明考虑到（6.21），足以表明

G公司 天 ( 第页 天 ( （f） ) ) ⊃天 ( 第页 天 ( （f） ) ) ×天 ( 第页 天 ( （f） ) ) .
(6.23)

的确，让我们说第页:= 第页 天 (（f）)（当然，对于任何非负向量，这个断言都是正确的第页，但目前的公式对于我们的目的来说已经足够了），并假设相反，包含（6.23）不成立。然后可以指定一些ξ和η这样的话

(6.24)
(6.25)

根据定义（6.3），关系（6.25）意味着某些 θ 0 ∈[0，1]和z（z）∈ R（右） n个 这样的话

z（z）∈B ( ( 1 − θ 0 ) ξ + θ 0 η ， 第页 ) ∖天.
(6.26)

让我们把小时:=z（z）−(1− θ 0 )ξ− θ 0 η然后，考虑到（6.26），我们有

|小时|≤第页.
(6.27)

此外，很明显

(1− θ 0 )(ξ+小时)+ θ 0 (η+小时)=z（z）
(6.28)

因此，z（z）是以下各项的凸组合ξ+小时和η+小时根据（2.2）、（6.24）和（6.27），这两个向量ξ+小时和η+小时属于天因此，也是如此z（z）因为（6.28）适用于天是凸的。然而，这与关系（6.26）相矛盾。因此，包含（6.23）成立，并且证明了我们的引理。 □

借助引理6.6（f）凸域中的Lipschitzian可以重新表述如下。

推论6.7 让 （f） 满足条件(1.5)和(6.4).如果，此外，域 天 是凸的，并且(6.22)持有，然后，对于任何 ξ 和 η 从 天( 第页 天 (（f）))，定理的所有断言6.1和6.3持有.

凸性假设天这是相当自然的，事实上，验证非线性Lipschitz条件的域最常见的形式是一个球（在我们的例子中，向量之间的不等式是按分量理解的，它是一个n个-尺寸矩形平行六面体）。

我们注意到，保证推论6.7中迭代收敛的小性假设（6.4）是命题3.1的相应条件（3.5）的两倍弱：

第页(K（K）)< 1 T型 ϱ * .
(6.29)

此外，值得注意的是，在间隔减半之后，对内部社区的条件也变得不那么严格了。事实上，从（2.1）和（6.19）可以清楚地看出，要满足推论6.7的条件（6.22），只要

天 ( T型 8 δ [ 0 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) ) ≠∅，
(6.30)

然而，同时，命题3.1的假设（3.6）需要关系

天 ( T型 4 δ [ 0 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) ) ≠∅.
(6.31)

（6.30）中的内邻域半径小于一半。将（6.4）和（6.30）与命题3.1中出现的相应条件（6.29）和（6.3）进行比较，我们得出结论，上述区间减半的思想使我们能够改进双向周期连续逼近的原始方案。

定理6.5表明，迭代序列（5.2）和（5.4）可用于构造辅助问题（4.1）、（4.2）和（4.3）、（4.4）的解，并最终构造原始问题（1.3）、（1.4）的解。进一步的分析将引导我们找到一个存在定理，包括确定方程。在继续之前，我们给出一些辅助语句。

7辅助语句

定理6.1和6.3的证明需要下面给出的几个技术引理。我们在公式中隐含地假设满足条件（6.20）。

给定任意我∈{0，1}和v（v）∈C类([ 1 2 我T型， 1 2 (我+1)T型]， R（右） n个 )，放置

( P（P） 我 v（v）)(t吨):= ¦Β 我 2 T型 t吨 v（v）(秒)d日秒− ( 2 t吨 T型 − 我 ) ¦Β 我 2 T型 我 + 1 2 T型 v（v）(秒)d日秒
(7.1)

为所有人t吨∈[ 1 2 我T型， 1 2 (我+1)T型].线性映射 P（P） 我 明显改变了空间C类([ 1 2 我T型， 1 2 (我+1)T型]， R（右） n个 )实际上，它是在周期边界问题研究中经常使用的相应投影算子的缩放版本（参见，例如, [12]). 在我们的例子中，当估计函数生成的Nemytskii运算符的值时，使用此映射的属性（f）参与方程式(1.3).

引理7.1 让 x个:[0， 1 2 T型]→ R（右） n个 和 年:[ 1 2 T型，T型]→ R（右） n个 是任意函数，以便 {x个(t吨):t吨∈[0， 1 2 T型]}⊂天 和 {年(t吨):t吨∈[ 1 2 T型，T型]}⊂天.然后:

  1. 1

    对于 t吨∈[0， 1 2 T型]，

    | P（P） 0 （f） ( ⋅ ， x个 ( ⋅ ) ) | ( t吨 ) ≤ 1 2 α ¯ 1 ( t吨 ) δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 ( （f） ) ≤ T型 8 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 ( （f） ) .
    (7.2)
  2. 2

    对于 t吨∈[ 1 2 T型，T型]，

    | P（P） 1 （f） ( ⋅ ， 年 ( ⋅ ) ) | ( t吨 ) ≤ 1 2 α ¯ ¯ 1 ( t吨 ) δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) ≤ T型 8 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) .
    (7.3)

回想一下 α ¯ 1 和 α ¯ ¯ 1 是函数（4.12）、（4.13）和向量 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 (（f）)， δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 (（f）)根据（2.1）定义。引理7.1的证明几乎是[[1]，引理7]，并使用在[[22]，引理3]。

引理7.2 对于任意 米≥0 和 (ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 (（f）))，夹杂物

{ x个 米 ( t吨 ， ξ ， η ) : t吨 ∈ [ 0 ， 1 2 T型 ] } ⊂天
(7.4)

和

{ 年 米 ( t吨 ， ξ ， η ) : t吨 ∈ [ 1 2 T型 ， T型 ] } ⊂天
(7.5)

持有.

证明

让我们固定任意一对向量

(ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 ( （f） ) )
(7.6)

并证明，例如，关系（7.4）。我们将通过归纳法进行论证。事实上，考虑到（5.1），

X（X） 0 (t吨，ξ，η−ξ)=ξ+ 2 t吨 T型 (η−ξ)= ( 1 − 2 t吨 T型 ) ξ+ 2 t吨 T型 η
（7.7）

对于t吨∈[0， 1 2 T型]这意味着，在每一点上t吨从[0， 1 2 T型]，的值 x个 0 (t吨，ξ，η)是以下各项的凸组合ξ和η回顾集合的定义（6.3） G公司 天 ( 第页 天 (（f）))使用假设（7.6），我们得出以下结论： X（X） 0 (⋅，ξ，η−ξ)躺在里面天，即，（7.4）保持米=0.

假设现在

{ X（X） 米 ( t吨 ， ξ ， η − ξ ) : t吨 ∈ [ 0 ， 1 2 T型 ] } ⊂天
(7.8)

对于某个值米并显示包含

{ X（X） 米 + 1 ( t吨 ， ξ ， η − ξ ) : t吨 ∈ [ 0 ， 1 2 T型 ] } ⊂天
(7.9)

同样适用。事实上，考虑到（5.2）和回忆符号（7.1），我们得出结论：米、身份

P（P） 0 （f） ( ⋅ ， X（X） 米 ( ⋅ ， ξ ， η − ξ ) ) ( t吨 ) = X（X） 米 + 1 ( t吨 ， ξ ， η − ξ ) − ξ − 2 t吨 T型 ( η − ξ ) = X（X） 米 + 1 ( t吨 ， ξ ， η − ξ ) 负极 ( 1 − 2 t吨 T型 ) ξ − 2 t吨 T型 η
(7.10)

保留任何t吨∈[0， 1 2 T型]由于假设了包含（7.4）的有效性，我们看到引理7.1的不等式（7.2）可以应用，因此恒等式（7.10）产生

| X（X） 米 + 1 ( t吨 ， ξ ， η − ξ ) − ( 1 − 2 t吨 T型 ) ξ 负极 2 t吨 T型 η | ≤ T型 8 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 (（f）)
(7.11)

为所有人t吨∈[0， 1 2 T型]根据（7.11），在每一点上t吨∈[0， 1 2 T型]，值 X（X） 米 + 1 (t吨，ξ，η−ξ)位于 T型 8 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 (（f）)-向量凸组合的邻域ξ和η.自ξ和η满足（7.6）和（6.19）， 第页 天 (（f）)≥ T型 8 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 (（f）)，它遵循集合的定义（6.3） G公司 天 ( 第页 天 (（f）))函数的所有值 X（X） 米 + 1 (⋅，ξ，η−ξ)属于天，即，（7.9）保持。因此，包含（7.4）适用于所有人米≥0回顾注释（6.1），我们立即到达（7.4）。

通过类比证明了关系（7.5）。事实上，从（5.3）可以看出

Y（Y） 0 ( t吨 ， η ， η − ξ ) = η + ( 1 − 2 t吨 T型 ) ( η − ξ ) = ( 2 t吨 T型 − 1 ) ξ + 2 ( 1 − t吨 T型 ) η = ( 1 − θ ( t吨 ) ) ξ + θ ( t吨 ) η ，
(7.12)

哪里θ(t吨):=2(1负极t吨 T型 − 1 )对于任何t吨∈[ 1 2 T型，T型]显然，因为，0≤θ(t吨)≤1为所有人t吨∈[ 1 2 T型，T型]、标识（7.12）和假设（7.6）保证功能 Y（Y） 0 (⋅，η，η−ξ)具有中的值天。让我们假设，在一定程度上米，

{ Y（Y） 米 ( t吨 ， η ， η − ξ ) : t吨 ∈ [ 1 2 T型 ， T型 ] } ⊂天
(7.13)

并证明这一点

{ Y（Y） 米 + 1 ( t吨 ， η ， η − ξ ) : t吨 ∈ [ 1 2 T型 ， T型 ] } ⊂天.
(7.14)

根据（5.4），对于任何t吨∈[ 1 2 T型，T型]，我们有

(7.15)

具有相同的定义θ(⋅)如（7.12）所示。根据假设（7.13），函数 Y（Y） 米 (⋅，ξ，η−ξ)中包含值天因此，使用引理7.1的等式（7.15）和估计（7.3），我们得到

| Y（Y） 米 + 1 ( t吨 ， η ， η − ξ ) − ( 1 − θ ( t吨 ) ) ξ − θ ( t吨 ) η | ≤ T型 8 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 (（f）)
(7.16)

为所有人t吨∈[ 1 2 T型，T型].自θ:[ 1 2 T型，T型]→[0，1]，不等式（7.16）意味着函数的所有值 Y（Y） 米 + 1 (⋅，η，η−ξ)属于 T型 8 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 (（f）)-凸组合的邻域ξ和η现在回顾（6.3）和（6.19），并使用假设（7.6），我们得出（7.14）。因此，包含（7.13）适用于所有米，（7.5）紧跟在（6.2）和（7.13）之后。证明了该引理。 □

最后，定理6.1和6.3的相应断言立即引导我们得出以下结论。

引理7.3 在定理的假设下6.5,夹杂物

{ x个 ∞ ( t吨 ， ξ ， η ) : t吨 ∈ [ 0 ， 1 2 T型 ] } ⊂天
(7.17)

和

{ 年 ∞ ( t吨 ， ξ ， η ) : t吨 ∈ [ 1 2 T型 ， T型 ] } ⊂天
(7.18)

适用于任何情况 (ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 (（f）)).

引理7.3的证明包括传递到（7.4）和（7.5）中的极限米→+∞其可能性由定理6.5保证。

8极限函数和确定方程

基于原始周期逐次逼近（3.4）的技术（命题3.1保证了其适用性），使我们得到了根据确定方程组而形成的可解性的充分必要条件(3.15)第3.4条。对于我们的新版本的方法，还应该建立与最后提到的语句的某种类似，使用区间减半程序构造迭代，以使结果方案在逻辑上完整。人们很自然地期望，半区间上迭代的极限函数将有助于制定原始问题的可解性标准，事实证明，这就是函数Ξ: G公司 天 ( 第页 天 (（f）))→ R（右） n个 和H（H）: G公司 天 ( 第页 天 (（f）))→ R（右） n个 根据提供此类特征的等式（6.10）和（6.17）定义。

事实上，定理6.1和6.3保证在假定的条件下，函数 x个 ∞ (⋅，ξ，η):[0， 1 2 T型]→ R（右） n个 和 年 ∞ (⋅，η，η):[ 1 2 T型，T型]→ R（右） n个 对所有人都有明确的定义(ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 (（f）))因此，通过将

u个 ∞ ( t吨 ， ξ ， η ) : = χ T型 ( t吨 ) x个 ∞ ( t吨 ， ξ ， η ) + ( 1 − χ T型 ( t吨 ) ) ( 年 ∞ ( t吨 ， ξ ， η ) − 年 ∞ ( T型 2 ， ξ ， η ) + x个 ∞ ( T型 2 ， ξ ， η ) ) ， 年 ∈ [ 0 ， T型 ] ，
(8.1)

我们得到一个函数 u个 ∞ (⋅，ξ，η):[0，T型]→ R（右） n个 ，对于相同的(ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 (（f）))。这个函数显然是连续的。

以下定理是[[1]定理4]，根据Ξ和H的零点，建立了该函数与原始周期问题（1.3）、（1.4）的关系。

定理8.1 让 （f） 满足Lipschitz条件(1.5)使用矩阵 K（K） 这样的话(6.4)持有.此外，假设 天 具有属性(6.20).然后:

  1. 1

    功能 u个 ∞ (⋅，ξ，η):[0，T型]→ R（右） n个 由定义(8.1)是周期边值问题的解(1.3), (1.4)当且仅当这对 (ξ，η) 满足系统2n个 方程式

    Ξ ( ξ ， η ) = 0 ， H（H） ( ξ ， η ) = 0 .
    (8.2)
  2. 2

    对于每个解决方案 u个(⋅) 问题的(1.3), (1.4)具有 (u个(0)，u个( 1 2 T型))∈ G公司 天 ( 第页 天 (（f）))，存在一对 ( ξ 0 ， η 0 ) 这样的话 u个(⋅)= u个 ∞ (⋅， ξ 0 ， η 0 ).

方程式（8.2）通常称为确定或分叉，分叉 方程式[三，12]因为它们的根决定了原始问题的解决方案。系统（8.2）中涉及的变量允许自然解释：ξ表示解的值为0，而η对其价值负责 1 2 T型我们可以观察到未修改的周期逐次逼近（命题3.1）与在区间减半后获得的类似方案（定理6.5）之间的主要区别：收敛条件是弱的两倍，但不是n个数值方程(3.15)在3.4号提案中，我们需要解决2个问题n个方程式(8.2)定理8.1。

构造性可解性分析涉及近似确定方程的自然概念，如下所述。

9近似确定方程

虽然定理8.1对周期问题（1.3）、（1.4）解的构造问题提供了理论上的答案，但由于函数的显式形式，其应用面临困难Ξ: G公司 天 ( 第页 天 (（f）))→ R（右） n个 和H（H）: G公司 天 ( 第页 天 (（f）))→ R（右） n个 出现在（8.2）中通常是未知的。使用这些函数可以克服这种复杂性

Ξ 米 (ξ，η):=η−ξ− ¦Β 0 T型 2 （f） ( τ ， x个 米 ( τ ， ξ ， η ) ) d日τ
(9.1)

和

H（H） 米 (η，λ):=ξ−η− ¦Β T型 2 T型 （f） ( τ ， 年 米 ( τ ， ξ ， η ) ) d日τ
(9.2)

对于固定的米这将导致一个所谓的近似确定方程更准确地说，类似于[12，24]可以证明，在某些自然假设下，可以用近似模拟来代替精确测定系统（8.2）

Ξ 米 ( ξ ， η ) = 0 ， H（H） 米 ( ξ ， η ) = 0 .
（9.3）

注意，与系统（8.2）不同米近似确定系统（9.3）仅包含涉及函数的术语 x个 米 :[0， 1 2 T型]× G公司 天 ( 第页 天 (（f）))→ R（右） n个 和 年 米 :[ 1 2 T型，T型]× G公司 天 ( 第页 天 (（f）))→ R（右） n个 因此，明确地知道。

很自然，可以通过使用函数获得（1.3）、（1.4）未知解的近似值 u个 米 (⋅，ξ，η):[0，T型]→ R（右） n个 ，

u个 米 ( t吨 ， ξ ， η ) : = χ T型 ( t吨 ) x个 米 ( t吨 ， ξ ， η ) + ( 1 − χ T型 ( t吨 ) ) ( 年 米 ( t吨 ， ξ ， η ) − 年 米 ( T型 2 ， ξ ， η ) + x个 米 ( T型 2 ， ξ ， η ) ) ，
(9.4)

这是（8.1）的“近似”版本t吨∈[0，T型]和(ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 (（f）)).

函数（9.4）定义的分段性质不影响从函数（9.4）中获得的势近似应具有的性质。的确，

提议9.1 如果 ξ 和 η 满足方程式(9.3)一定程度上 米，然后是函数 u个 米 + 1 (⋅，ξ，η) 由平等决定(9.4)在上连续可微 [0，T型].

证明根据（5.2）、（5.4）和（9.4）

x个 米 + 1 ′ ( T型 2 ， ξ ， η ) = （f） ( T型 2 ， x个 米 ( T型 2 ， ξ ， η ) ) − 2 T型 ¦Β 0 T型 2 （f） ( 秒 ， x个 米 ( 秒 ， ξ ， η ) ) d日 秒 + 2 T型 ( η 负极 ξ )
(9.5)

和

年 米 + 1 ′ ( T型 2 ， ξ ， η ) = （f） ( T型 2 ， 年 米 ( T型 2 ， ξ ， η ) ) − 2 T型 ¦Β T型 2 T型 （f） ( 秒 ， 年 米 ( 秒 ， ξ ， η ) ) d日 秒 负极 2 T型 ( η − ξ ) .
(9.6)

回顾一下，根据（5.4）和（6.2），

年 米 ( T型 2 ， ξ ， η ) =η.

然后，鉴于（9.1）和（9.2），从（9.3）、（9.5）和（9.6）可知

x个 米 + 1 ′ ( T型 2 ， ξ ， η ) = 年 米 + 1 ′ ( T型 2 ， ξ ， η )

因此， u个 米 + 1 ′ (⋅，ξ，η)持续时间为 1 2 T型.函数的连续可微性 u个 米 + 1 (⋅，ξ，η)从它的定义来看，在其他方面是显而易见的。 □

为了证明问题（1.3）、（1.4）的可解性，我们需要函数的一些估计 Ξ 米 : G公司 天 ( 第页 天 (（f）))→ R（右） n个 和 H（H） 米 : G公司 天 ( 第页 天 (（f）))→ R（右） n个 ，米=0，1，… , 定义见（9.1）和（9.2）。

引理9.2 假设(6.20)持有.让 （f） 满足Lipschitz条件(1.5)使用矩阵 K（K） 这样的话

第页(K（K）)≤ 20 三 T型 .
(9.7)

然后是估算

|Ξ(ξ，η)− Ξ 米 (ξ，η)|≤ 5 T型 18 ( 三 20 T型 K（K） ) 米 + 1 ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 (（f）)
(9.8)

和

|H（H）(ξ，η)负极 H（H） 米 (ξ，η)|≤ 5 T型 18 ( 三 20 T型 K（K） ) 米 + 1 ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 (（f）)
(9.9)

保留任何值 (ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 (（f）)) 和 米≥2.

证明让我们修复任意(ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 (（f）))和米≥2回顾（6.10）和（9.1），我们得到

| Ξ ( ξ ， η ) − Ξ 米 ( ξ ， η ) | = | ¦Β 0 T型 2 [ （f） ( t吨 ， x个 ∞ ( t吨 ， ξ ， η ) ) − （f） ( t吨 ， x个 米 ( t吨 ， ξ ， η ) ) ] d日 t吨 | ≤ ¦Β 0 T型 2 | （f） ( t吨 ， x个 ∞ ( t吨 ， ξ ， η ) ) − （f） ( t吨 ， x个 米 ( t吨 ， ξ ， η ) ) | d日 t吨 .
(9.10)

根据引理7.3，函数 x个 ∞ (⋅，ξ，η):[0， 1 2 T型]→ R（右） n个 中包含值天因此，Lipschitz条件（1.5）可用于（9.10）。然后，将定理6.1的估计（6.11）与ε= ε 0 ，其中 ε 0 ≈0.00727由（3.14）给出，我们得到

(9.11)

现在回顾一下，鉴于备注6.2和关系（3.11）和（3.14）

米 ε 0 =2， ϱ ε 0 = 三 10 ，
(9.12)

因此，（9.11）可以重写为

(9.13)

此外，根据（4.12）和（4.10），函数 α ¯ 2 有表单

α ¯ 2 (t吨)= ( 16 三 T型 2 t吨 三 − 16 三 T型 t吨 2 + t吨 + T型 6 ) t吨，t吨∈ [ 0 ， 1 2 T型 ] ，
(9.14)

由此我们通过计算得出

¦Β 0 T型 2 α ¯ 2 (t吨)d日t吨= T型 三 80 .
(9.15)

考虑到（9.12）和（9.15），我们发现不等式（9.11）实际上意味着

|Ξ(ξ，η)− Ξ 米 (ξ，η)|≤ T型 三 160 K（K） 2 ( 三 20 T型 K（K） ) 米 − 1 ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 (（f）)，
(9.16)

该估计值与（9.8）一致。注意矩阵的可逆性 1 n个 − 三 20 T型K（K）由条件（9.7）保证。

以类似的方式，为了建立（9.9），我们使用（6.17）和（9.1）来获得估算值

| H（H） ( ξ ， η ) 负极 H（H） 米 ( ξ ， η ) | = | ¦Β T型 2 T型 [ （f） ( t吨 ， 年 ∞ ( t吨 ， ξ ， η ) ) − （f） ( t吨 ， 年 米 ( t吨 ， ξ ， η ) ) ] d日 t吨 | ≤ ¦Β T型 2 T型 | （f） ( t吨 ， 年 ∞ ( t吨 ， ξ ， η ) ) − （f） ( t吨 ， 年 米 ( t吨 ， ξ ， η ) ) | d日 t吨 .
(9.17)

引理7.3保证函数的所有值 年 ∞ (⋅，ξ，η):[ 1 2 T型，T型]→ R（右） n个 躺在里面天因此，Lipschitz条件（1.5）可用于（9.17）。定理6.1的估计（6.18）应用于ε= ε 0 然后产生收益

(9.18)

最后，根据（4.13）和（4.11）计算得出

α ¯ ¯ 1 (t吨)= 16 三 T型 2 t吨 4 − 16 T型 t吨 三 +17 t吨 2 − 15 T型 2 t吨+ 7 T型 2 6 ，t吨∈ [ 1 2 T型 ， T型 ] ，
(9.19)

因此，

¦Β T型 2 T型 α ¯ ¯ 2 (t吨)d日t吨= T型 三 80 .
(9.20)

因此，通过关系式（9.12）和（9.20），不等式（9.18）将我们直接引向所需的估计（9.9）。 □

10基于近似的可解性分析

上述论证使我们能够根据迭代（5.2）和（5.4）的性质得出周期问题（1.3）、（1.4）的可解性结论。更确切地说，事实证明，使用函数（9.1）和（9.2）可以研究矢量场Φ: G公司 天 ( 第页 天 (（f）))→ R（右） 2 n个 ，

Φ(ξ，η):=( η − ξ − ¦Β 0 T型 2 （f） ( τ ， x个 ∞ ( τ ， ξ ， η ) ) d日 τ ξ 负极 η − ¦Β T型 2 T型 （f） ( τ ， 年 ∞ ( τ ， ξ ， η ) ) d日 τ )，(ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 ( （f） ) ) ，
(10.1)

正如我们在定理8.1中所看到的，其临界点通过近似确定了原始问题（1.3）、（1.4）的解

Φ 米 (ξ，η):=( η − ξ − ¦Β 0 T型 2 （f） ( τ ， x个 米 ( τ ， ξ ， η ) ) d日 τ ξ − η − ¦Β T型 2 T型 （f） ( τ ， 年 米 ( τ ， ξ ， η ) ) d日 τ )，(ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 ( （f） ) ) ，
(10.2)

哪里米已修复。在下面给出的定理的公式中，使用了以下概念。

定义10.1([12])

让第页和我为正整数，并且S公司⊂ R（右） 我 是一个任意的非空集。对于任意一对向量函数 克 j个 : R（右） 我 → R（右） 第页 ，j个=1，2，我们写

克 1 ▷ S公司 克 2
(10.3)

当且仅当存在函数时ν:S公司→{1，2，…，我}这样严格的不等式

〈 克 1 ( z（z） ) − 克 2 ( z（z） ) ， e（电子） ν ( z（z） ) 〉 >0
（10.4）

为所有人保留z（z）∈S公司.

在这里， e（电子） k个 ，k个=1，2，…，第页，是单位向量，

e（电子） k个 :=科尔( 0 ， 0 ， … ， 0 ⏟ k个 − 1 ，1，0，…，0)，
(10.5)

和〈⋅，⋅〉代表中常用的内积 R（右） 第页 .二元关系 ▷ S公司 定义10.1引入的是向量函数的一种严格不等式，其性质类似于通常的严格不等式符号，（f）≥克和克 ▷ S公司 小时暗示（f） ▷ S公司 小时最后命名的性质将在下面的定理10.2的证明中使用。

我们现在能够根据在迭代计算过程中获得的信息，制定一个声明来保证原始周期问题（1.3）、（1.4）的可解性。与未修改的周期连续近似方案（命题3.1，第页(K（K）)< T型 − 1 ϱ * − 1 )，这里证明了在弱于前一种情况的两倍的假设下迭代是收敛的（定理6.5，第页(K（K）)<2 T型 负极 1 ϱ * − 1 ). 可以对域上的假设进行类似的观察天（见结论6.7和与条件（6.30）和（6.31）相关的备注）。

在陈述存在性定理时，我们将考虑限制在条件（6.4）的稍弱版本，其中值 ϱ * ≈0.2927替换为0.3，因此忽略了间隙(0，0.00727…)对于ε在估算（6.11）和（6.18）中。

定理10.2 假设函数 （f） 在里面（1.3）满足Lipschitz条件(1.5)使用矩阵 K（K） 这样的不平等(9.7)持有和，此外，成套设备 天 具有属性(6.20).此外，让存在一个封闭域

Ω⊂ G公司 天 ( 第页 天 ( （f） ) )

这样的话，对于某个固定值 米≥2，映射 Φ 米 由公式给出(10.2)满足条件

度( Φ 米 ，Ω)≠0
(10.6)

和

| Φ 米 | ▷ ⏴ Ω 5 T型 18 ( M（M） 米 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 ( （f） ) M（M） 米 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) )，
(10.7)

哪里

M（M） 米 := ( 三 20 T型 K（K） ) 米 + 1 ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 .
(10.8)

然后存在某些值 ( ξ * ， η * )∈Ω 使得函数 u个 ∞ (⋅， ξ * ， η * ) 是周期边值问题的解(1.3), (1.4).

回忆一下这个符号 ▷ ∂ Ω （10.7）中的定义应理解为定义10.1。应注意，条件（10.7）仅涉及Ω边界上的函数值。

证明我们将使用上述引理。通过类推[12，24]，我们将证明字段Φ和 Φ 米 都是同源的。考虑线性变形就足够了

问 θ := Φ 米 +θ(Φ− Φ 米 )，
(10.9)

哪里θ∈[0，1]的确，很明显 问 θ 是上的连续映射∂Ω，每θ∈[0，1]此外，

问 0 = Φ 米 ， 问 1 =Φ.
(10.10)

让我们修复任意一对(ξ，η)∈∂Ω根据（10.1）和（10.2），我们有

| 问 θ ( ξ ， η ) | = | Φ 米 ( ξ ， η ) + θ [ Φ ( ξ ， η ) − Φ 米 ( ξ ， η ) ] | ≥ | Φ 米 ( ξ ， η ) | 负极 | Φ ( ξ ， η ) − Φ 米 ( ξ ， η ) | .
(10.11)

另一方面，根据引理9.2，估计值（9.8）和（9.9）为真。使用（10.11）中的关系式（9.8）和（9.9），我们表明

| 问 θ | ▷ ∂ Ω 0

因此 问 θ 不会消失∂任何情况下为Ωθ因此，Φ与 Φ 米 .同伦下的度不变性则得出

度(Φ，Ω)=度( Φ 米 ，Ω);

因此，鉴于（10.6），我们得出如下结论度(Φ，Ω)≠0因此，存在向量 ξ * 和 η * 具有所示的特性，只需参考定理8.1。证明了该定理。 □

注意，定理10.2提供了基于从第二个近似开始的近似性质的可解性条件。如果我们使用[[12]，引理3.16]代替引理3.2。在这种情况下，定理10.2的条件（10.7）分别替换为以下关系

| Φ 0 | ▷ ∂ Ω 5 T型 2 108 ( K（K） ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 ( （f） ) K（K） ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) )
（10.12）

和

| Φ 1 | ▷ ∂ Ω T型 三 144 ( K（K） 2 ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 ( （f） ) K（K） 2 ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) ).
(10.13)

11解的近似

前面部分证明的定理可以通过以下自然观察加以补充。让( ξ ˆ ， η ˆ )∈Ω是某一近似确定系统（9.3）的根米。然后是函数

单位 米 (t吨):= u个 米 (t吨， ξ ˆ ， η ˆ )，t吨∈[0，T型]，
(11.1)

根据（9.4）定义的可被视为米周期问题（1.3）、（1.4）解的近似。提案9.1和估算证明了这一点

| x个 ∞ ( t吨 ， ξ ˆ ， η ˆ ) − 单位 米 ( t吨 ) | ≤ 1 2 α ¯ 1 (t吨) ( 三 20 T型 K（K） ) 米 ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 (（f）)
(11.2)

对于t吨∈[0， 1 2 T型]和

| 年 ∞ ( t吨 ， ξ ˆ ， η ˆ ) − 单位 米 ( t吨 ) | ≤ 1 2 α ¯ 1 (t吨) ( 三 20 T型 K（K） ) 米 ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 (（f）)
(11.3)

对于t吨∈[ 1 2 T型，T型]如（9.4）所示，它直接遵循定理6.5。通过估计映射可以得到这里没有给出的一致不等式(ξ，η)↦ u个 米 (t吨，ξ，η)对于任何固定t吨∈[0，T型].

值得强调的是，（11.1）中出现的未知参数的值是由方程式确定的(9.3): ξ ˆ 是周期解初始值的近似值 η 图6 它的价值是 1 2 T型.

关于定理10.2的实际应用，应该注意，根据（10.2），映射 Φ 米 以分析形式表示，因为它仅由米第个迭代，目前已经构建。当然，（10.6）中的度是Brouwer度，因为所有向量场都是有限维的。同样，不等式（10.7）右侧的所有项都是显式计算的(例如，通过使用计算机代数系统）。

12示例

让我们考虑标量π-周期边值问题

(12.1)
(12.2)

哪里小时(t吨):= 1 2 (三科斯2t吨−罪2t吨)+ 1 8 (罪4t吨+1)，t吨∈[0，π].很容易检查功能

u个(t吨)= 1 2 (科斯2t吨+罪2t吨)，t吨∈[0，π]，
(12.3)

是问题（12.1）、（12.2）的解决方案。此解决方案在域中具有值天:=[−1，1]，其中，可以验证，收敛条件（3.5）不满足。然而，具有双重常数（3.18）的相应条件做因此，可以使用间隔减半技术。

通过使用枫树14和此处省略，表明基于定理6.5和10.2的方法确实适用于这种情况。解（12.3）的存在（让我们暂时忘记，我们在这个学术示例中明确知道它）是由定理10.2建立的，而其类型（11.1）的近似值是如上所述构造的。例如，在第一近似中，我们有u个≈ 单位 1 具有

单位 1 (t吨):= χ π (t吨) x个 1 (t吨)+ ( 1 − χ π ( t吨 ) ) 年 1 (t吨)，t吨∈[0，π]，

哪里 χ π 是指示器功能（4.5）

x个 1 ( t吨 ) : = − 0.0266088895 + 0.7499999998 ( 科斯 t吨 ) 2 + 1.499999999 罪 t吨 科斯 t吨 − 0.25 ( 科斯 t吨 ) 4 − 0.4392877052 t吨 ， t吨 ∈ [ 0 ， 1 2 T型 ] ，
(12.4)

和

年 1 ( t吨 ) : = − 1.406671916 + 0.07499999995 ( 科斯 t吨 ) 2 − 0.25 ( 科斯 t吨 ) 4 + 1.5 罪 t吨 科斯 t吨 + 0.4392877052 t吨 ， t吨 ∈ [ 1 2 T型 ， T型 ] .
(12.5)

参数的数值ξ和η对应于函数（12.4）、（12.5）（见表1)从方程组中找到(9.3)带有米=1，在本例中，具有以下形式

和

表1在问题的几个迭代步骤中参数的近似值( 12.1 ), ( 12.2 ). 最后一行对应于精确解( 12.3 )
全尺寸桌子

计算过程中获得的图形如图所示三和4，而表1包含参数的相应数值。请注意，只有第零近似才具有不连续导数 1 2 T型(囊性纤维变性。建议9.1）。图形和参数的计算值显示出相当好的近似精度。

图3
图3

解决方案( 12.3 )问题的( 12.1 ), ( 12.2 )及其第0、1和2近似值。

全尺寸图像
图4
图4

解决方案( 12.3 )问题的( 12.1 ), ( 12.2 )以及它的第二、第三和第四近似。

全尺寸图像

13条评论

可以根据前几节中讨论的技术概述几点。

13.1实际近似方案

这里指出的方法的一个有趣的特点是，对周期问题（1.3）、（1.4）的实际分析沿着其路线直接从迭代计算开始。我们构造了近似确定方程(9.3)，在适当的区域内对其进行数值求解，将相应的根代入公式 u个 米 和形式函数（11.1），在某种意义上，它们是解的近似值的候选函数。为以下几个值构造函数（11.1）米，我们启发式地检查它们的行为，如果它表现出一些可能收敛的迹象，我们停止计算并验证存在定理的假设。如果成功，那么，从现在起，我们已经知道存在一个解决方案，或者我们对达到的近似精度感到满意（在这种情况下，方案停止，函数 单位 米 由（11.1）给出的最后一个计算值米或者，由于某些原因，我们发现需要更精确的近似值（然后再进行一步，并对新近似值进行类似的检查）。

重要的是要注意，一旦从定理10.2中知道解的存在米迭代的第十步，我们立即以（11.1）的形式获得近似值。因此，该方案使我们既可以研究周期问题的可解性，又可以构造其解的近似值。

应该注意的是，从近似问题的相应属性导出原始问题的可解性事实的能力是相当罕见的（参见[12]了解一些细节）。对于数值方法，当应用某种或另一种技术来解决一个先验的假设是可解的。

13.2其他问题的扩展

上述思想可以很容易地应用于具有变元偏差的微分方程。在这种情况下，唯一需要澄清的问题是，在中间到相邻半区间的那些点上，半区间的迭代定义。为此，应同时计算序列（5.2）和（5.4），并将（5.4）作为下一步（5.2）的初始函数，以及反之亦然.

同样，通过适当的修改，这里开发的技术可以应用于具有非周期性边界条件的问题。这里我们不详细讨论这个话题。

13.3可变子区间长度

当然，没有必要保留1:2子区间长度的比率。例如，如果有一个点 秒 0 这样的话 δ [ 0 ， 秒 0 ] ， 天 (（f）)远大于 δ [ 秒 0 ， T型 ] ， 天 (（f）)减半或任何其他形式的除法，自然会继续下去[0， 秒 0 ]这让我们想起了步长可变的自适应数值方法中使用的思想。

13.4小间隔的适用性

与纯粹的数值方法不同，在这种方法中，人们可能会被迫以很小的步长进行离散，而基于定理6.5的技术的效率则不会因间隔太小而受到太大影响。这使得该方案特别适用于高频振荡的研究。

13.5与其他方法相比的优势

该技术与其他方法相比还有其他一些积极的特点。例如，当应用它时，人们在选择初始近似值时没有遇到任何困难（相反，例如单调迭代法）；在进行下一步近似时，不需要重新计算大量数据（与投影方法不同）；全局Lipschitz条件和Cauchy问题唯一可解性的假设是不必要的（与打靶法不同）；等。关于最后提到的条件，我们应该注意到，对于泛函微分方程，即使在非常简单的情况下也违反了这一条件，因此，在构建一类相当广泛的问题的分析方案时，要求它是不自然的。

13.6重复间隔减半

可以重复间隔减半程序。当这样做时，我们观察到，关于Lipschitz矩阵特征值和域大小的条件在每一步都减弱了一半。事实上，根据推论6.7，周期逐次逼近方案由k个间隔减半适用，前提是

第页(K（K）)< 2 k个 T型 ϱ *
(13.1)

和

天 ( T型 2 k个 + 2 δ [ 0 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) ) ≠∅.
(13.2)

同样显而易见的是天( 2 − k个 − 2 T型 δ [ 0 ， T型 ] ， 天 (（f）))，k个=0，1，… , 是趋向于原始域的严格递增的集合序列天在限额内k个增长到∞。换句话说，相当有趣的是，这里提出的方案在理论上是适用的，无论K（K）可能是。

连续区间减半的副作用是确定方程组的维数增加，其中包括 2 k个 n个方程式k个第个间隔减半。人们可以将此视为能够应用区间减半以将发散迭代方案转换为收敛迭代方案而要付出的一定代价。

这样，通过依次进行区间减半，尤其可以重新建立具有全局Lipschitz非线性的常微分方程组的数值分析算法的收敛性（参见[12，25，26]).

13.7与其他方法的结合

所讨论的方案中最困难的部分在于解析构造参数化迭代序列（9.4）的如此多的成员，这足以确定周期问题的可解性（见条件（10.6）、（10.7）），并达到（11.1）中所需的近似精度。它的实际实现通常是通过使用符号计算系统来完成的，通过将解析计算与适当的近似相结合，可以大大方便地实现。多项式或三角插值的使用（请参见[10，27])为此目的非常方便。

13.8高阶近似的非退化条件

从（9.7）和（10.8）可以明显看出 林 米 → ∞ M（M） 米 =0因此，当米增长到+∞。另一方面，很容易看出，在假定的条件下，映射 Φ 米 （在紧集上一致）收敛到Φas米趋于+∞。因此，我们得出了一个有趣的观察结果，即定理10.2的假设（10.7），即保证同伦非退化的主要条件，具有严格不等式的形式

| Φ 米 | ▷ ∂ Ω w个 米 ，

哪里| Φ 米 |接近|Φ|而术语 w个 米 变得任意小米增长到+∞。

13.9与延拓定理的关系

定理10.2和类似的陈述也可以应用于迭代的第零步，即，当一个人根本不执行任何迭代时。这提醒了我们发电系统出现的概念，例如，在渐近方法中。

事实上，考虑到定理10.2在其当前公式和回忆条件（10.12）中，让我们

（f） # (ξ，η):=( η − ξ − ¦Β 0 T型 2 （f） ( τ ， ( 1 − 2 t吨 T型 ) ξ + 2 t吨 T型 η ) d日 τ ξ − η − ¦Β T型 2 T型 （f） ( τ ， ( 2 t吨 T型 − 1 ) ξ + 2 ( 1 − t吨 T型 ) η ) d日 τ )
(13.3)

对于任何(ξ，η)∈ G公司 天 ( 第页 天 (（f）))回忆一下 G公司 天 ( 第页 天 (第页))是的子集 天 2 哪一个先验的包含值(u个(0)，u个( 1 2 T型))对于周期解u个(⋅)有问题的。

通过使用定理10.2米=0将条件（10.7）替换为（10.12），我们得到了关于周期问题（1.3）、（1.4）可解性的如下表述。

推论13.1 Let假设(6.20)保持并让收敛条件(9.7)感到满意.此外，让存在一个封闭域 Ω⊂ G公司 天 ( 第页 天 (（f）)) 这样的话

度 ( （f） # ， Ω ) ≠0
(13.4)

和

| （f） # | ▷ ∂ Ω 5 T型 2 108 ( K（K） ( 1 n个 − 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 ( （f） ) K（K） ( 1 n个 负极 三 20 T型 K（K） ) − 1 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 ( （f） ) ).
(13.5)

然后是周期边值问题(1.3), (1.4)至少有一个解决方案 u个(⋅) 在中具有值 天 和，此外，是这样的 (u个(0)，u个( 1 2 T型))∈Ω.

回忆一下向量 δ [ 0 ， 1 2 T型 ] ， 天 (（f）)和 δ [ 1 2 T型 ， T型 ] ， 天 (（f）)直接根据公式（2.1）计算，而' ▷ ∂ Ω “意味着，从∂Ω，严格不等式“>”至少适用于一行，并且该行的数量可能随点而异。

从不同的角度来看，（6.12）、（13.5）类假设是很自然的。例如，让我们暂时想象一下，根本没有进行任何区间减半，因此，我们所处的情况不是定理6.5，而是命题3.1所描述的情况克=（f），对=T型和 t吨 0 =0.2的系统n个确定方程式(8.2)然后变回n个-尺寸系统（3.15），

¦Β 0 T型 （f） ( t吨 ， u个 ∞ ( t吨 ， ξ ) ) d日t吨=0，

在迭代过程（3.4）的意义上，其第零近似具有以下形式

¦Β 0 T型 （f）(t吨，ξ)d日t吨=0.
(13.6)

因此，假设（6.12）变成

度( （f） ¯ ，V（V）)≠0
（13.7）

具有合适的域V（V）⊂天，其中

（f） ¯ (ξ):= ¦Β 0 T型 （f）(t吨，ξ)d日t吨
(13.8)

对于ξ∈V（V）。然后，使用[[12]，引理3.26]米=0，很容易证明下面的语句是成立的。

推论13.2 条件(13.7),第页(K（K）)<10 ( 三 T型 ) − 1 和

| （f） ¯ | ▷ ∂ V（V） 5 T型 2 27 K（K） ( 1 n个 − 三 10 T型 K（K） ) − 1 δ [ 0 ， T型 ] ， 天 (（f）)
(13.9)

对于周期问题的可解性是足够的(1.3), (1.4).

以这种方式进行论证，我们可以获得，特别是众所周知的马惠恩定理[28]，其中（13.7）是生成方程的可解条件（当然，可以使用先验的边界类型而不是（13.9），以获得更精确的相似性）。在这种情况下，结论13.1可以被视为最后提到的语句的“减半”类似物，其中方程式

(13.10)
(13.11)

确定第零近似的初始数据。从两个独立变量的存在可以看出减半的副作用，ξ和η，由于系统（13.10），（13.11）与（13.6）相比，包含n个额外的方程式。

需要注意的是，推论13.1中迭代方案的收敛性是在假设条件下保证的第页(K（K）)<20 ( 三 T型 ) − 1 是推论13.2中相应条件的两倍(第页(K（K）)<10 ( 三 T型 ) − 1 ).

参考文献

  1. RontóA，Rontó）M：周期连续逼近和区间减半。Miskolc数学。笔记2012, 13(2):459-482.

    数学 数学科学网 谷歌学者 

  2. 尼伦伯格L：非线性泛函分析主题纽约大学数学科学学院，纽约；1974年。（E.Zehnder的一章，R.a.Artino的笔记，演讲笔记，1973-1974）

    数学 谷歌学者 

  3. Gaines RE，Mawhin JL数学课堂笔记568。在重合度与非线性微分方程施普林格，柏林；1977

    谷歌学者 

  4. Cesari L Ergebnisse der Mathematik and Ihrer Grenzgebiete，N.F.第16页。在常微分方程的渐近性与稳定性问题第二版。纽约学术出版社；1963

    第章 谷歌学者 

  5. 海尔JK：非线性系统的振动McGraw-Hill，纽约；1963

    数学 谷歌学者 

  6. Samoilnko AM：研究常微分方程周期系统的数值分析方法。一、。乌克兰。数学。J。1965, 17(4):82-93. 2007年10月10日/BF02526569

    第条 谷歌学者 

  7. Samoilnko AM：研究常微分方程周期系统的数值分析方法。二、。乌克兰。数学。J。1966, 18(2):50-59. 2007年10月10日/BF02537778

    第条 谷歌学者 

  8. Samoilenko AM：关于多项式序列及其Abel-Poisson和的收敛半径。乌克兰。数学。J。2003, 55(7):1119-1130. doi:10.1023/B:UKMA.000010610.69570.13

    第条 谷歌学者 

  9. Samoilenko AM，Ronto NI：研究周期解的数值分析方法.米尔，莫斯科；1979年（由Yu.a.Mitropolskii作前言）

    谷歌学者 

  10. Samoilenko AM，Ronto NI：边值问题研究的数值分析方法.基辅Naukova Dumka；1986年。（俄语，英文摘要，由Yu.a.Mitropolskii编辑并附有前言）

    谷歌学者 

  11. Samoilenko AM，Ronto NI：常微分方程边值问题理论中的数值分析方法.基辅Naukova Dumka；1992年。（俄语，Yu.a.Mitroposkii编辑并作序）

    谷歌学者 

  12. RontóA，Rontó）M：常微分方程非线性边值问题中的逐次逼近技术。把手b。不同。埃克。在微分方程手册：常微分方程。第四卷爱思唯尔/荷兰北部，阿姆斯特丹；2008:441-592.

    谷歌学者 

  13. RontóA，RontoóM：具有特殊变元偏差的微分方程某些线性边值问题的逐次逼近方法。Miskolc数学。笔记2009年，10:69-95。

    数学 数学科学网 谷歌学者 

  14. RontóA，RontoóM：关于具有变元偏差的线性微分方程的Cauchy-Nicoletti型三点边值问题。Miskolc数学。笔记2009, 10(2):173-205.

    数学 数学科学网 谷歌学者 

  15. RontóA，Rontó）M：关于线性泛函微分方程的非分离三点边值问题。文章摘要。申请。分析。2011年、2011年：文章ID 326052。doi:10.1155/2011/326052

    谷歌学者 

  16. Ronto A，RontóM：关于非线性两点边值问题的数值分析方法的一个注记。非线性Oscil。2001, 4: 112-128.

    数学 数学科学网 谷歌学者 

  17. 朗托A，朗托M：关于周期解的一些对称性质。非线性Oscil。2003, 6: 82-107. doi:10.1023/A:1024827821289 10.1023/A:1024827821289

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  18. RontóM，Shchobak N：关于非线性边界条件参数化问题的数值分析研究。非线性Oscil。2003, 6(4):469-496. doi:10.1023/B:NONO.000028586.11256.d7

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  19. RontóM，Shchobak N：关于分离条件下非线性边值问题的参数化。电子。J.资格。理论不同。埃克。2007, 18: 1-16.

    第条 谷歌学者 

  20. Ronto AN，Ronto M，Shchobak NM:关于三点非线性边值问题的参数化。非线性Oscil。2004, 7(3):384-402. 2007年10月10日/11072-005-0019-5

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  21. Ronto AN，RontóM，Samoilnko AM，Trofimchuk SI：关于自治差分方程的周期解。格鲁吉亚数学。J。2001, 8: 135-164.

    数学 数学科学网 谷歌学者 

  22. RontóM，Mészáros J：关于连续逼近的数值分析方法收敛性的一些评论。乌克兰。数学。J。1996, 48: 101-107. doi:10.1007/BF02390987 10.1007/BF02 390987

    第条 数学 谷歌学者 

  23. RontóM，Samoilenko上午：边值问题理论中的数值分析方法《世界科学》，River Edge；2000年。（Yu.a.Mitroposky作序，作者和S.I.Trofimchuk附录）

    书 数学 谷歌学者 

  24. RontóA，Rontó》：线性泛函微分方程组三点边值问题的存在性结果。卡帕斯。数学杂志。2012, 28: 163-182.

    数学 谷歌学者 

  25. Kwapisz M：关于Samoilnko解边值问题的数值分析方法积分方程的修正。数学。纳克里斯。1992, 157: 125-135.

    数学 数学科学网 谷歌学者 

  26. Kwapisz M：关于Samoilnko求解差分方程边值问题的数值分析方法的修正。申请。数学。1993年，38（2）：133-144。

    数学 数学科学网 谷歌学者 

  27. RontóA，RontoóM，HolubováG，Nečesal P：研究具有Dirichlet条件的非线性方程解的数值分析技术。已绑定。价值问题。2011年、2011年：文章ID 58。doi:10.1186/1687-2770-2011-58

    谷歌学者 

  28. Mawhin J CBMS数学区域会议系列40。在非线性边值问题的拓扑度方法美国数学。普罗维登斯；1979年。（1977年6月9日至15日在加利福尼亚州克莱蒙特哈维·穆德学院举行的CBMS地区会议上的公开讲座）

    谷歌学者 

下载参考资料

致谢

在Jean Mawhin教授70岁生日之际致敬他。

RVO部分支持的工作：67985840（A.Rontó）。这项研究是作为TAMOP-4.2.1.B-10/2/KONV-2010-0001项目的一部分进行的，得到了欧洲联盟的支持，由欧洲社会基金会（M.Rontó）共同资助。

作者信息

作者和附属机构

  1. 捷克共和国科学院数学研究所，捷克共和国布尔诺奇日科娃街22号，616 62

    安德拉斯·隆托

  2. 匈牙利米斯科尔市埃盖特姆瓦罗斯米斯科尔大学分析系，邮编3515

    米克洛斯·隆托

  3. 乌克兰乌日戈罗德皮迪尔纳街46号乌日戈拉德国立大学，邮编88000

    纳塔利亚·什乔巴克

作者
  1. 安德拉斯·隆托
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

  2. 米克洛斯·隆托
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

  3. 纳塔利亚·什乔巴克
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

通讯作者

与的通信安德拉斯·隆托.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

初稿主要由前两位作者编写，而第三位作者进行了数值计算并对估算值进行了全面检查。所有作者都对这部作品的最终版本做出了同等贡献，并批准了目前的形式。

作者提交的原始图像文件

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于本文

引用本文

Rontó，A.，Rontoó，M.&Shchobak，N.区间减半的周期解的构造性分析。边界值问题 2013, 57 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-57

下载引文

  • 收到:

  • 认可的:

  • 出版:

  • 内政部:https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-57

关键词