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边值问题
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用周期展开法均匀化具有非理想界面的弹性双重孔隙介质

边值问题 体积 2013，物品编号：265(2013)引用这篇文章

摘要

我们研究ε-双孔隙介质的周期模型，由两个组分组成，其中一个组分相互连接。我们假设包裹体中介质的弹性是有序的 ε 2 此外，在两个分量之间的界面上，我们考虑了位移向量条件的跳跃，与连续的应力张量成正比。本文的目的是用周期展开方法证明均匀化过程的收敛性。

1引言

本文讨论了弹性力学中双孔隙模型的均匀化问题，该模型描述了占据开集的介质Ω在里面 R（右） N个 它由两个组件组成，一个连接，另一个断开。

更确切地说，我们认为Ω是两个开放子集的并集 Ω 1 ε 和 Ω 2 ε 和它们的共同边界 Γ ε ，我们考虑这个问题

{ − ⏴ σ 我 j α ε ⏴ x个 j = 克 我 英寸 Ω α ε , α ∈ { 1 , 2 } , σ 我 j 1 ε n个 j = σ 我 j 2 ε n个 j 在 Γ ε , σ 我 j 1 ε n个 j = ε 小时 ε ( u个 我 2 ε − u个 我 1 ε ) 上的 Γ ε , u个 1 ε = 0 上的 ⏴ Ω ,

哪里n个外单位是否垂直于 Ω 1 ε .套装 Ω 2 ε 是的断开连接的并集ε-周期开集。我们假设定义应变的弹性张量σ，在中的顺序为1 Ω 1 ε 和的顺序 ε 2 夹杂物中 Ω 2 ε .

表面模型上的跳跃条件实际上是围绕粒子的一层软材料；在这里，该层被建模为一个曲面，因此不仅位移的切线分量，而且位移的法线分量都可能发生跳跃。

利用周期展开方法，我们证明了一些收敛结果，并描述了均匀化问题。

更准确地说，首先，在定理11中，我们描述了变量中的均匀化问题x个和年，就像通常做的那样。然后，在定理12中，我们确定了Ω，我们展示了这一点

u个 ˜ 1 ε ⇀ | Y（Y） 1 | ⋅ u个 1 中的弱 L（左） 2 ( Ω ) N个 , u个 ˜ 2 ε ⇀ | Y（Y） 2 | ⋅ u个 1 + 克 我 ⋅ q个 我 中的弱 L（左） 2 ( Ω ) N个 ,

其中，对于α∈{1,2}, u个 ˜ α ε 是的零扩展 u个 α ε 对整体而言Ω和 u个 1 是这个问题的唯一解决方案

{ − ⏴ ⏴ x个 j ( 一 我 j k个 小时 ∗ ⏴ u个 k个 1 ⏴ x个 小时 ) = 克 我 英寸 Ω , u个 = 0 上的 ⏴ Ω .

均匀化张量 A类 ∗ 与穿孔域中常见问题的结果相同 Ω 1 ε 具有齐次Neumann边界条件。

阶张量的存在性 ε 2 在第二个分量中，对均匀化张量没有贡献 A类 ∗ 然而，它产生了附加条款 克 我 ⋅ q个 我 在以下范围内 u个 ˜ 2 ε ，其中 q个 我 我 = ∫ Y（Y） 2 w个 2 我 我 d日年对于我,我=1,…,N个和 w个 2 我 ∈ H（H） 1 ( Y（Y） 2 ) N个 是细胞问题的唯一解决方案

{ − ⏴ ⏴ 年 j ( 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 2 k个 我 ⏴ 年 小时 ) = δ 我 我 英寸 Y（Y） 2 , 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 2 k个 我 ⏴ 年 小时 n个 j = 小时 w个 2 我 我 上的 Γ .

周期展开方法是由Cioranescu、Damlamian和Griso于[1]（请参见[2]随后，Cioranescu、Damlamian、Donato、Griso和Zaki于[三]和[4]. 在[5]多纳托等。对于类似于本文所考虑的两分量域，使用周期展开方法。因此，它们引入了两个展开操作符。第一个表示为 T型 1 ε 和处理定义在 Ω 1 ε 哪一个是在[1]. 第二个涉及在 Ω 2 ε 并表示为 T型 2 ε 。的类似属性 T型 2 ε 并研究了这两个算子之间的关系，特别是它们在公共边界上的迹的性质。

在这里，我们将其中的思想用于我们的问题，因为内含物中的弹性张量是有序的 ε 2 ，我们定义了一个具有适当范数的适当函数空间（参见备注2）。此外，在应用展开方法时，我们需要构造适当的测试函数，这是获得均匀化问题的关键步骤。

关于界面上具有类似跳跃条件的双组分区域热扩散的开创性论文是由Auriault和Ene撰写的[6]（另请参见[7]，其中使用渐近展开证明了结果）。稍后，在[8]，Ene和Poliševski对[6]使用中引入的双尺度收敛方法[9]并于年开发[10]. Monsurró在年处理了几个相同问题的案例[11]Donato和Monsuróin[12]. 成功了，多纳托等。英寸[5]用周期展开法处理这个问题。在[13]波利舍夫斯基补充道 ε 2 包裹体中的扩散矩阵。

在本文中，我们扩展了[13]线性弹性的情况。应用周期展开方法的主要困难在于找到适合弹性张量和变分公式中出现的界面项的合适测试函数。让我们提到，Smyshlyaev在[14]其中，在包裹体中，张量的形式为 ε 2 A类(x个/ε)+B类(x个/ε)具有B类只是非负面的。Damlaian、Cioranescu和Orlik于年研究了其他相关弹性问题[15]和[16].

例如，关于复合材料介质中线性弹性系统均匀化的经典结果，请参见[17–20]以及其中的参考。对于周期穿孔区域的情况，我们指的是Léné[21]（另请参见[22]).

2域

让Ω是的开有界子集 R（右） N个 (N个⩾2)具有Lipschitz连续边界∂Ω和Y（Y）= ( 0 , 1 ) N个 单位立方体 R（右） N个 .我们认为 Y（Y） 2 是的子集Y（Y）这样的话 Y（Y） ¯ 2 ⊂Y（Y）及其边界Γ也是Lipschitz连续的。此外，我们定义 Y（Y） 1 =Y（Y）∖ Y（Y） ¯ 2 可以看到这种重复Y（Y）通过周期性，所有人的结合 Y（Y） ¯ 1 是中的连接域 R（右） N个 其表示为 R（右） 1 N个 此外， R（右） 2 N个 = R（右） N个 ∖ R（右） 1 N个 .

在下面，参数ε∈(0,1)取实数序列中的值，在均匀化过程中，实数序列将趋于零。对于每个k个∈ Z轴 N个 ，我们定义 Y（Y） k个 =k个+Y（Y）和 Y（Y） α k个 =k个+ Y（Y） α ，其中α∈{1,2}。我们还为每个ε,

Z轴 ε = { k个 ∈ Z轴 N个 : ε Y（Y） ¯ 2 k个 ⊂ Ω } ,
(2.1)

然后我们设置（见图1)

Ω 2 ε = ⋃ k个 ∈ Z轴 ε ( ε Y（Y） 2 k个 ) 和 Ω 1 ε =Ω∖ Ω ¯ 2 ε .
(2.2)

的边界 Ω 2 ε 将用表示 Γ ε 和n个将是正常的 Γ ε 外部到 Ω 1 ε .

图1
图1

域 Ω= Ω ¯ 1 ε ∪ Ω 2 ε 和周期单元 Y（Y）= ( 0 , 1 ) N个 .

全尺寸图像

我们现在为每个人介绍ε，跳跃因子 小时 ε (x个)=小时(x个/ε)和四阶弹性张量 A类 ε 由定义

A类 ε (x个)= { A类 ( x个 / ε ) 英寸 Y（Y） 1 , ε 2 A类 ( x个 / ε ) 英寸 Y（Y） 2 ,
(2.3)

哪里小时∈ L（左） ∞ (Γ)和组件 一 我 j k个 小时 ∈ L（左） ∞ (Y（Y）)平滑、真实、，Y（Y）-周期函数，具有存在的性质λ>0这样的话

小时(年)⩾λ和 一 我 j k个 小时 (年) ξ 我 j ξ k个 小时 ⩾λ ξ 我 j ξ 我 j
(2.4)

对于任何年∈Y（Y）和任何对称张量 ξ 我 j 。我们还假设弹性张量的对称条件，即

一 我 j k个 小时 = 一 j 我 k个 小时 = 一 我 j 小时 k个 = 一 k个 小时 我 j .

最后，对于α∈{1,2}和一个函数 u个 α ε 定义于 Ω α ε ，我们将应力张量表示为 σ 我 j α ε = 一 我 j k个 小时 ε e（电子） k个 小时 ( u个 α ε )，其中 e（电子） k个 小时 ( u个 α ε )表示为任何函数定义的变形张量的分量v（v）通过

e（电子） k个 小时 (v（v）)= 1 2 ( ⏴ v（v） k个 ⏴ x个 小时 + ⏴ v（v） 小时 ⏴ x个 k个 ) .
(2.5)

可以看出，由于变形张量的对称性，我们有 σ 我 j α ε = 一 我 j k个 小时 ε ⏴ u个 k个 α ε ⏴ x个 小时 .

例如，对于弹性理论的一般解释，我们参考Ciarlet[23]、杜瓦特和狮子[24]（另请参见[25]).

3问题

我们的目标是将渐近行为描述为ε→0问题的

− ⏴ σ 我 j α ε ⏴ x个 j = 克 我 英寸 Ω α ε ,α∈{1,2},
(3.1)

哪里 克 我 是向量场的分量克∈ L（左） 2 ( Ω ) N个 表示给定的体力和边界条件

σ 我 j 1 ε n个 j = σ 我 j 2 ε n个 j 在 Γ ε ,
(3.2)
σ 我 j 1 ε n个 j =ε 小时 ε ( u个 我 2 ε − u个 我 1 ε ) 上的 Γ ε ,
(3.3)
u个 1 ε =0上的⏴Ω.
（3.4）

备注1在本文中，我们到处使用爱因斯坦求和约定，除了我们提到某些乘积的情况 u个 我 v（v） 我 不遵循此约定。此外，如果没有提及相反的内容 ∥ v（v） 我 ∥ 2 将遵循相同的惯例 ∥ v（v） 我 ∥ 2 =∥ v（v） 我 ∥×∥ v（v） 我 ∥.

我们介绍空间 V（V） ε ={v（v）∈ H（H） 1 ( Ω 1 ε ),v（v）=0上的⏴Ω}配备有 L（左） 2 -梯度范数与希尔伯特空间

W公司 ε = V（V） ε N个 × H（H） 1 ( Ω 2 ε ) N个
(3.5)

被赋予标量积

( u个 , v（v） ) W公司 ε = ∫ Ω 1 ε ∇ u个 我 1 ∇ v（v） 我 1 d日x个+ ε 2 ∫ Ω 2 ε ∇ u个 我 2 ∇ v（v） 我 2 d日x个+ε ∫ Γ ε ( u个 我 2 − u个 我 1 ) ( v（v） 我 2 − v（v） 我 1 ) d日 σ x个 ,
(3.6)

其中，任何u个∈ W公司 ε 表示为u个=( u个 1 , u个 2 ).

标量积（3.6）生成的范数由下式给出

∥ v（v） ∥ W公司 ε 2 = ∥ ∇ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) 2 + ε 2 ∥ ∇ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) 2 +ε ∥ v（v） 我 2 − v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Γ ε ) 2 .
(3.7)

备注2由于弹性张量是有序的 ε 2 在夹杂物中 Ω 2 ε 、功能空间 W公司 ε （3.7）定义的规范与[5]. 更准确地说，在[5]使用的空间是 H（H） γ ε = V（V） ε × H（H） 1 ( Ω 2 ε )它配备了标准

∥ v（v） ∥ H（H） γ ε 2 = ∥ ∇ v（v） 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) 2 + ∥ ∇ v（v） 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) 2 + ε γ ∥ v（v） 2 − v（v） 1 ∥ L（左） 2 ( Γ ε ) 2 ,
(3.8)

哪里γ是的命令ε在边界条件（3.3）中，本文研究的情况如下γ=1.

对于任何u个,v（v）∈ W公司 ε ，我们也使用符号

一(u个,v（v）)= ∑ α = 1 , 2 ∫ Ω α ε 一 我 j k个 小时 ε ⏴ u个 k个 α ⏴ x个 小时 ⏴ v（v） 我 α ⏴ x个 j d日x个+ε ∫ Γ ε 小时 ε ( u个 我 2 − u个 我 1 ) ( v（v） 我 2 − v（v） 我 1 ) d日 σ x个 ,
（3.9）

并且我们引入了问题（3.1）的以下变分公式：

查找 u个 ε ∈ W公司 ε 这样的话

一( u个 ε ,v（v）)= ∫ Ω 1 ε 克 我 v（v） 我 1 d日x个+ ∫ Ω 2 ε 克 我 v（v） 我 2 d日x个,∀v（v）∈ W公司 ε .
(3.10)

定理3 对于任何 ε∈(0,1),问题(3.10)有独特的解决方案 u个 ε ∈ W公司 ε .此外,存在一个常数 C类>0 独立于 ε 这样的话,对于 α∈{1,2} 和每个 我=1,…,N个,我们有

∥ u个 我 ε α ∥ L（左） 2 ( Ω α ε ) ⩽C类, ∥ ∇ u个 我 1 ε ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) ⩽C类和ε ∥ ∇ u个 我 2 ε ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) ⩽C类,
（3.11）
∥ u个 我 2 ε − u个 我 1 ε ∥ L（左） 2 ( Γ ε ) ⩽C类 ε − 1 / 2 .
(3.12)

证明应用Lax-Milgram定理证明了这一结果。形式的强制性一(⋅,⋅)可以使用定义（3.9）和给出

一 ( v（v） , v（v） ) ⩾ λ ( ∫ Ω 1 ε ∇ v（v） 我 1 ∇ v（v） 我 1 d日 x个 + ε 2 ∫ Ω 2 ε ∇ v（v） 我 2 ∇ v（v） 我 2 d日 x个 + ε ∫ Γ ε ( v（v） 我 2 − v（v） 我 1 ) 2 d日 σ x个 ) = λ ∥ v（v） ∥ W公司 ε 2 .

现在让我们证明（3.10）右侧的连续性。应用Cauchy-Schwarz不等式，我们得到

∫ Ω 1 ε 克 我 v（v） 我 1 d日 x个 + ∫ Ω 2 ε 克 我 v（v） 我 2 d日 x个 ⩽ ∥ 克 我 ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) ∥ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) + ∥ 克 我 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) ∥ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) ⩽ C类 ( ∥ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) + ∥ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) ) .

还有待证明 ∥ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) + ∥ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) ⩽C类 ∥ v（v） ∥ W公司 ε .它是已知的（请参见[8,11])存在一些常数C类>0独立于ε这样，对于每个我=1,…,N个,

∥ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) ⩽C类 ( ε ∥ ∇ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) + ε 1 / 2 ∥ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Γ ε ) ) ,
(3.13)
ε 1 / 2 ∥ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Γ ε ) ⩽C类 ( ε ∥ ∇ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) + ∥ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) ) ,
(3.14)
∥ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) ⩽C类 ∥ ∇ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) .
(3.15)

从（3.13）我们有

∥ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) ⩽C类 ( ε ∥ ∇ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) + ε 1 / 2 ∥ v（v） 我 2 − v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Γ ε ) + ε 1 / 2 ∥ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Γ ε ) ) .
(3.16)

使用now（3.14）和（3.15），我们得到

∥ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) + ∥ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) ⩽C类 ∥ v（v） ∥ W公司 ε .
(3.17)

为了给现在先验的对于（3.10）的解的估计，我们选择v（v）= u个 ε 在（3.10）中。使用的强制性一(⋅,⋅)，Cauchy-Schwarz不等式和（3.17），我们发现C类>0独立于ε这样的话

λ ∥ u个 ε ∥ W公司 ε 2 ⩽ 一 ( u个 ε , u个 ε ) = ∫ Ω 1 ε 克 我 v（v） 我 1 d日 x个 + ∫ Ω 2 ε 克 我 v（v） 我 2 d日 x个 ⩽ ∥ 克 我 ∥ L（左） 2 ( Ω ) ( ∥ v（v） 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω 1 ε ) + ∥ v（v） 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) ) ⩽ C类 ∥ u个 ε ∥ W公司 ε .

因此

{ u个 ε } ε 以为界 W公司 ε .
(3.18)

此外，规范的定义 W公司 ε 意味着α∈{1,2}，估计（3.11）和（3.12）保持不变。□

4双分量域中的周期展开算子

在本节中，我们给出了Donato引入的双分量域的展开算子的定义等。英寸[5]及其主要特性。我们将只证明那些带来了一些其他性质的结果，而不是上面引用的论文中已经证明的结果。这些算符的重要特征是它们映射定义在振荡域上的函数 Ω 1 ε 和 Ω 2 ε 到固定域上定义的函数Ω× Y（Y） 1 和Ω× Y（Y） 2 分别是。

在下面，针对x个∈ R（右） N个 ，我们表示为 [ x个 ] Y（Y） 它的整数部分k个∈ Z轴 N个 这样的话x个− [ x个 ] Y（Y） ∈Y（Y）并设置

{ x个 } Y（Y） =x个− [ x个 ] Y（Y） 对于a.ex个∈ R（右） N个 .

然后，对于几乎所有x个∈ R（右） N个 ,

x个=ε ( [ x个 ε ] Y（Y） + { x个 ε } Y（Y） ) .

现在我们介绍集合（参见图2)

Z轴 ˆ ε = { k个 ∈ Z轴 N个 : ε Y（Y） k个 ⊂ Ω } , Ω ˆ ε = 整数 ⋃ k个 ∈ Z轴 ˆ ε ( ε Y（Y） ¯ k个 ) , Λ ε = Ω ∖ Ω ˆ ε , Ω ˆ α ε = ⋃ k个 ∈ Z轴 ˆ ε ( ε Y（Y） α k个 ) , Λ α ε = Ω α ε ∖ Ω ˆ α ε , Γ ˆ ε = ⏴ Ω ˆ 2 ε .
图2
图2

成套设备 Ω ˆ ε 和 Λ ε .

全尺寸图像

对于给定的集合D类⊂ R（右） N个 和v（v）∈ L（左） 1 (D类)，我们还表示 〈 v（v） 〉 D类 = 1 | D类 | ∫ D类 v（v）(年)d日年。如果没有混淆的地方，我们只需使用〈v（v）〉而不是 〈 v（v） 〉 Y（Y） .如果v（v）是在上定义的函数 Ω α ε ,α∈{1,2}，然后 v（v） ˜ 将以零表示扩展到整体Ω此外， χ α 将是的特征函数 Ω α 对于每个α∈{1,2}，我们引入了空格

H（H） 每 1 ( Y（Y） α ) = { v（v） ∈ H（H） 本地 1 ( R（右） α N个 ) : v（v） 是 Y（Y） -周期性的 } , H（H） ˜ 每 1 ( Y（Y） α ) = { v（v） ∈ H（H） 每 1 ( Y（Y） α ) : 〈 v（v） 〉 Y（Y） = 0 } .

定义4对于任何勒贝格可测函数φ在 Ω α ε ,α∈{1,2}，我们通过以下公式定义了周期展开算子

T型 α ε (φ)(x个,年)= { φ ( ε [ x个 ε ] Y（Y） + ε 年 ) 对于a.e ( x个 , 年 ) ∈ Ω ˆ ε × Y（Y） α , 0 对于a.e ( x个 , 年 ) ∈ Λ ε × Y（Y） α .

备注5如果φ是在中定义的函数Ω然后，为了简单起见，我们写 T型 α ε (φ)而不是 T型 α ε (φ | Ω α ε ).

提案6 对于 第页∈[1,∞) 和 α∈{1,2},操作员 T型 α ε 从开始连续 L（左） 第页 ( Ω α ε ) 到 L（左） 第页 (Ω× Y（Y） α ).此外,

  1. （i）

    如果 φ 和 ψ 上有两个勒贝格可测函数吗 Ω α ε ,一个有 T型 α ε (φψ)= T型 α ε (φ)⋅ T型 α ε (ψ),

  2. （ii）

    对于每个 φ∈ L（左） 1 ( Ω α ε ),

    ∫ Ω × Y（Y） α T型 α ε (φ)(x个,年)d日x个d日年= ∫ Ω ˆ α ε φ(x个)d日x个= ∫ Ω α ε φ(x个)d日x个− ∫ Λ ε φ(x个)d日x个,
  3. （iii）

    ∥ T型 α ε ( φ ) ∥ L（左） 第页 ( Ω × Y（Y） α ) ⩽ ∥ φ ∥ L（左） 第页 ( Ω α ε ) 对于每个 φ∈ L（左） 第页 ( Ω α ε ),

  4. （iv）

    T型 α ε (φ)⟶φ 强烈地处于 L（左） 第页 (Ω× Y（Y） α ) 对于 φ∈ L（左） 第页 (Ω),

  5. （v）

    如果 { φ ε } ε ⊂ L（左） 第页 (Ω) 是这样一个序列 φ ε ⟶φ 强烈地处于 L（左） 第页 (Ω),然后 T型 α ε ( φ ε )⟶φ 强烈地处于 L（左） 第页 (Ω× Y（Y） α ),

  6. （vi）

    如果 φ∈ L（左） 第页 ( Y（Y） α ) 是 Y（Y）-周期性和 φ ε (x个)=φ(x个/ε),然后 T型 α ε ( φ ε )⟶φ 强烈地处于 L（左） 第页 (Ω× Y（Y） α ),

  7. （vii）

    如果 φ ε ∈ L（左） 第页 ( Ω α ε ) 满足 ∥ φ ε ∥ L（左） 第页 ( Ω α ε ) ⩽C类 和 T型 α ε ( φ ε )⇀ φ ˆ 中的弱 L（左） 第页 (Ω× Y（Y） α ),然后 φ ˜ ε ⇀| Y（Y） α | 〈 φ ˆ 〉 α 中的弱 L（左） 第页 (Ω),

  8. （viii）

    如果 φ∈ W公司 1 , 第页 ( Ω α ε ),然后 ∇ 年 ( T型 α ε (φ))=ε T型 α ε (∇φ) 和 T型 α ε (φ) 属于 L（左） 2 (Ω; W公司 1 , 第页 ( Y（Y） α )).

引理7 如果 u个 ε =( u个 1 ε , u个 2 ε ) 是中的序列 W公司 ε ,然后,对于每个 我=1,…,N个,

1 ε ∫ Ω × Γ | T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) − T型 1 ε ( u个 我 1 ε ) | 2 d日x个d日 σ 年 ⩽ ∫ Γ ε | u个 我 2 ε − u个 我 1 ε | 2 d日 σ x个 .
(4.1)

备注8从（3.11）、（3.12）和命题6（iii）很容易看出我=1,…,N个,

∥ T型 1 ε ( ∇ u个 我 1 ε ) ∥ L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 1 ) ⩽ C类 , ε ∥ T型 2 ε ( ∇ u个 我 2 ε ) ∥ L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 2 ) ⩽ C类 , ∥ T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) − T型 1 ε ( u个 我 1 ε ) ∥ L（左） 2 ( Ω × Γ ) ⩽ C类 .
(4.2)

引理9 如果 φ∈D类 ( Ω ) N个 和 u个 ε =( u个 1 ε , u个 2 ε )∈ W公司 ε ,然后,对于 ε 足够小,对于每个 我=1,…,N个,我们有

ε ∫ Γ ε 小时 ε ( u个 我 2 ε − u个 我 1 ε ) φ 我 d日 σ x个 = ∫ Ω × Γ 小时(年) ( T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) − T型 1 ε ( u个 我 1 ε ) ) T型 1 ε ( φ 我 )d日x个d日 σ 年 .

定理10 让 u个 ε =( u个 1 ε , u个 2 ε ) 是中的有界序列 W公司 ε .然后存在子序列(仍然表示为 ε), u个 1 ∈ H（H） 0 1 ( Ω ) N个 , u个 ˆ 1 ∈ L（左） 2 ( Ω ; H（H） 每 1 ( Y（Y） 1 ) ) N个 和 u个 ˆ 2 ∈ L（左） 2 ( Ω ; H（H） 1 ( Y（Y） 1 ) ) N个 这样，对于每个 我=1,…,N个,

T型 1 ε ( u个 我 1 ε ) ⟶ u个 我 1 强烈地 L（左） 2 ( Ω ; H（H） 1 ( Y（Y） 1 ) ) , T型 1 ε ( ∇ u个 我 1 ε ) ⇀ ∇ u个 我 1 + ∇ 年 u个 ˆ 我 1 中的弱 L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 1 ) , T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) ⇀ u个 ˆ 我 2 中的弱 L（左） 2 ( Ω ; H（H） 1 ( Y（Y） 2 ) ) , ε T型 2 ε ( ∇ u个 我 2 ε ) ⇀ ∇ 年 u个 ˆ 我 2 中的弱 L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 2 ) ,
（4.3）

哪里 〈 u个 ˆ 我 1 〉 Γ =0 几乎每个 x个∈Ω.此外,

Z轴 1 ε = 1 ε [ T型 1 ε ( u个 我 1 ε ) − 〈 T型 1 ε ( u个 我 1 ε ) 〉 Γ ] ⇀ 年 Γ ∇ u个 我 1 + u个 ˆ 我 1 ,
（4.4）

弱在 L（左） 2 (Ω; H（H） 1 ( Y（Y） 1 )),哪里 年 Γ =年− 〈 年 〉 Γ .

证明收敛（4.3）1,2和（4.4）已经在[4]和[5]分别是。从（3.17）我们可以得到 ∥ u个 我 2 ε ∥ L（左） 2 ( Ω 2 ε ) ⩽C类提案6（iii）再次暗示

∥ T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) ∥ L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 2 ) ⩽C类.

来自命题6（viii）和（4.2）2,

∥ ∇ 年 ( T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) ) ∥ L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 2 ) = ∥ ε T型 2 ε ( ∇ u个 我 2 ε ) ∥ L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 2 ) ⩽C类.

因此{ T型 2 ε ( u个 我 2 ε )}以为界 L（左） 2 (Ω; H（H） 1 ( Y（Y） 2 )),即,

∥ T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) ∥ L（左） 2 ( Ω ; H（H） 1 ( Y（Y） 2 ) ) ⩽C类,

这意味着存在 u个 ˆ 2 ∈ L（左） 2 ( Ω ; H（H） 1 ( Y（Y） 2 ) ) N个 这样（4.3）三持有。此外，很容易检查

∇ 年 ( T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) ) ⇀ ∇ 年 u个 ˆ 我 2 中的弱 L（左） 2 ( Ω ; L（左） 2 ( Y（Y） 2 ) ) ,

事实上 ∇ 年 ( T型 2 ε ( u个 我 2 ε ))=ε T型 2 ε (∇ u个 我 2 ε )结束（4.3）的证明4.□

5均质结果

在下面，我们将使用符号

V（V）= H（H） 0 1 ( Ω ) N个 × L（左） 2 ( Ω ; H（H） 每 1 ( Y（Y） 1 ) ) N个 × L（左） 2 ( Ω ; H（H） 1 ( Y（Y） 2 ) ) N个 .

定理11 如果 u个 ε =( u个 1 ε , u个 2 ε ) 就是问题的解决(3.1),然后

u个 ˜ 1 ε ⇀ | Y（Y） 1 | ⋅ u个 1 中的弱 L（左） 2 ( Ω ) N个 , u个 ˜ 2 ε ⇀ | Y（Y） 2 | ⋅ 〈 u个 ˆ 2 〉 Y（Y） 2 中的弱 L（左） 2 ( Ω ) N个 , T型 1 ε ( u个 1 ε ) ⟶ u个 1 强烈地处于 L（左） 2 ( Ω ; H（H） 1 ( Y（Y） 1 ) ) N个 , T型 2 ε ( u个 2 ε ) ⇀ u个 ˆ 2 中的弱 L（左） 2 ( Ω ; H（H） 1 ( Y（Y） 2 ) ) N个 , T型 1 ε ( e（电子） k个 小时 ( u个 1 ε ) ) ⇀ e（电子） k个 小时 ( u个 1 ) + e（电子） k个 小时 年 ( u个 ˆ 1 ) 中的弱 L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 1 ) , ε T型 2 ε ( e（电子） k个 小时 ( u个 2 ε ) ) ⇀ e（电子） k个 小时 年 ( u个 ˆ 2 ) 弱在 L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 2 ) ,
(5.1)

其中三胞胎 ( u个 1 , u个 ˆ 1 , u个 ˆ 2 )∈V（V） 具有 〈 u个 ˆ 我 1 〉 Γ =0 对于.e（电子）.x个∈Ω 是这个问题的唯一解决方案

∫ Ω × Y（Y） 1 一 我 j k个 小时 ( ⏴ u个 k个 1 ⏴ x个 小时 + ⏴ u个 ˆ k个 1 ⏴ 年 小时 ) ( ⏴ φ 我 ⏴ x个 j + ⏴ Φ 我 1 ⏴ 年 j ) d日 x个 d日 年 + ∫ Ω × Y（Y） 2 一 我 j k个 小时 ⏴ u个 ˆ k个 2 ⏴ 年 小时 ⏴ Φ 我 2 ⏴ 年 j d日 x个 d日 年 + ∫ Ω × Γ 小时 ( u个 ˆ 我 2 − u个 我 1 ) ( Φ 我 2 − φ 我 ) d日 x个 d日 σ 年 = ∫ Ω × Y（Y） 1 克 我 φ 我 d日 x个 d日 年 + ∫ Ω × Y（Y） 2 克 我 Φ 我 2 d日 x个 d日 年 , ∀ ( φ , Φ 1 , Φ 2 ) ∈ V（V） .
(5.2)

证明收敛（5.1）3-6是定理10的结果。自（5.1）3,4和命题6（vii），我们得出

u个 ˜ 1 ε ⇀ | Y（Y） 1 | ⋅ 〈 u个 1 〉 Y（Y） 1 中的弱 L（左） 2 ( Ω ) N个 , u个 ˜ 2 ε ⇀ | Y（Y） 2 | ⋅ 〈 u个 ˆ 2 〉 Y（Y） 2 中的弱 L（左） 2 ( Ω ) N个 .

自 u个 1 相对于年，我们推断

u个 ˜ 1 ε ⇀| Y（Y） 1 |⋅ u个 1 中的弱 L（左） 2 ( Ω ) N个 .
(5.3)

为了得到极限问题，我们取（3.10）中的测试函数

v（v） 我 1 (x个)= φ 我 (x个)+ε ω 我 1 (x个) ψ 我 1 ε (x个),
(5.4)
v（v） 我 2 (x个)= ω 我 2 (x个) ψ 我 2 ε (x个),
(5.5)

没有重复索引的总和，其中φ, ω α ∈D类 ( Ω ) N个 , ψ α ∈ H（H） 每 1 ( Y（Y） α ) N个 和 ψ α ε (x个)= ψ α (x个/ε)(α∈{1,2})。在续集中，产品无处不在 ω 我 α ψ 我 α ε 将不遵循爱因斯坦求和约定，并表示我向量场的第个分量。

我们获得

∫ Ω 1 ε 一 我 j k个 小时 ε ⏴ u个 k个 1 ε ⏴ x个 小时 ( ⏴ φ 我 ⏴ x个 j + ⏴ ( ε ω 我 1 ψ 我 1 ε ) ⏴ x个 j ) d日 x个 + ε ∫ Ω 2 ε 一 我 j k个 小时 ε ⏴ u个 k个 2 ε ⏴ x个 小时 ⏴ ( ε ω 我 2 ψ 我 2 ε ) ⏴ x个 j d日 x个 + ε ∫ Γ ε 小时 ε ( u个 我 2 ε − u个 我 1 ε ) ( ω 我 2 ψ 我 2 ε − φ 我 ) d日 σ x个 − ε 2 ∫ Γ ε 小时 ε ( u个 我 2 ε − u个 我 1 ε ) ω 我 1 ψ 我 1 ε d日 σ x个 = ∫ Ω 1 ε 克 我 φ 我 d日 x个 + ε ∫ Ω 1 ε 克 我 ω 我 1 ψ 我 1 ε d日 x个 + ∫ Ω 2 ε 克 我 ω 我 2 ψ 我 2 ε d日 x个 .

使用暗示符号，这可以写成

我 1 ε + 我 2 ε + 我 三 ε − 我 4 ε = 我 5 ε + 我 6 ε + 我 7 ε .
(5.6)

现在，我们将对（5.6）的每个项应用适当的展开运算符，并传递到极限，如下所示ε→0为了得到极限问题（5.2）。

首先，观察一下ε ω 1 ψ 1 ε 在中强收敛到零 L（左） 2 ( Ω ) N个 因此，使用命题6（v），我们得到

T型 1 ε ( ε ω 1 ψ 1 ε ) ⟶0强烈地处于 L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 1 ) N个 .
(5.7)

此外，由于 e（电子） 我 j (ε ω α ψ α ε )(x个)=ε ψ 我 α (x个/ε) e（电子） 我 j ( ω α )(x个)+ ω 我 α (x个) e（电子） 我 j 年 ( ψ α )(x个/ε)，用于α∈{1,2}，很容易看出

T型 α ε ( e（电子） 我 j ( ε ω α ψ α ε ) ) =ε ψ 我 α T型 α ε ( e（电子） 我 j ( ω α ) ) + e（电子） 我 j 年 ( ψ α ) T型 α ε ( ω 我 α ) ⟶ e（电子） 我 j 年 ( Φ α )
(5.8)

强烈地处于 L（左） 2 (Ω× Y（Y） α )，其中 Φ 我 α (x个,年)= ω 我 α (x个) ψ 我 α (年)（无总和）。

将展开操作符应用于 我 1 ε ，我们得到

我 1 ε = ∫ Ω × Y（Y） 1 T型 1 ε ( 一 我 j k个 小时 ε ) T型 1 ε ( e（电子） k个 小时 ( u个 1 ε ) ) ( T型 1 ε ( e（电子） 我 j ( φ ) ) + T型 2 ε ( e（电子） 我 j ( ε ω 1 ψ 1 ε ) ) ) d日x个d日年,

因此，使用（5.1）5和（5.8），我们得到

我 1 ε ⟶ ∫ Ω × Y（Y） 1 一 我 j k个 小时 (年) ( e（电子） k个 小时 ( u个 1 ) + e（电子） k个 小时 年 ( u个 ˆ 1 ) ) ( e（电子） 我 j ( φ ) + e（电子） 我 j 年 ( Φ 1 ) ) d日x个d日年.
（5.9）

同样，通过展开，我们

我 2 ε = ∫ Ω × Y（Y） 2 T型 2 ε ( 一 我 j k个 小时 ε ) ε T型 2 ε ( e（电子） k个 小时 ( u个 2 ε ) ) T型 2 ε ( e（电子） 我 j ( ε ω 2 ψ 2 ε ) ) d日x个d日年,

并使用（5.1）6和（5.8）收益率

我 2 ε ⟶ ∫ Ω × Y（Y） 2 一 我 j k个 小时 (年) e（电子） k个 小时 年 ( u个 ˆ 2 ) e（电子） 我 j 年 ( Φ 2 ) d日x个d日年.
(5.10)

此外，从引理9，我们得到

我 三 ε = ∫ Ω × Γ 小时(年) ( T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) − T型 1 ε ( u个 我 1 ε ) ) ( ψ 我 2 T型 2 ε ( ω 我 2 ) − T型 1 ε ( φ 我 ) ) d日x个d日年,

因此，从（5.1）2,3

我 三 ε ⟶ ∫ Ω × Γ 小时(年) ( u个 ˆ 我 2 − u个 我 1 ) ( ψ 我 2 ω 我 2 − φ 我 ) d日x个d日年.
(5.11)

另一方面，引理9同样产生

我 4 ε = ε ∫ Ω × Γ 小时 ( 年 ) ( T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) − T型 1 ε ( u个 我 1 ε ) ) T型 1 ε ( ω 我 1 ) ψ 我 1 d日 x个 d日 年 ⩽ ε C类 ⋅ ∥ T型 2 ε ( u个 我 2 ε ) − T型 1 ε ( u个 我 1 ε ) ∥ L（左） 2 ( Ω × Γ ) ⋅ ∥ T型 1 ε ( ω 我 1 ) ψ 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω × Γ ) ,

和从（4.2）三我们有 我 4 ε ⩽εC类。因此，

我 4 ε ⟶0.
(5.12)

最后，我们将适当的展开操作符应用于 我 5 ε , 我 6 ε , 我 7 ε 和用于 我 6 ε 我们使用（5.7）。因此，

我 5 ε ⟶ ∫ Ω × Y（Y） 1 克 我 φ 我 d日x个d日年, 我 6 ε ⟶0和 我 7 ε ⟶ ∫ Ω × Y（Y） 2 克 我 Φ 我 2 d日x个d日年.
(5.13)

为了得到极限问题，最后要做的是求（5.10）-（5.13），并使用D类(Ω)在里面 H（H） 0 1 (Ω)，第个D类(Ω; H（H） 每 1 ( Y（Y） 1 ))在里面 L（左） 2 (Ω; H（H） 每 1 ( Y（Y） 1 ))和密度D类(Ω; H（H） 1 ( Y（Y） 2 ))在里面 L（左） 2 (Ω; H（H） 1 ( Y（Y） 2 )).

为了得出证明的结论，观察赋予希尔伯特空间V（V）符合规范

∥ ( φ , Φ 1 , Φ 2 ) ∥ V（V） 2 = ∥ ∇ φ 我 ∥ L（左） 2 ( Ω ) 2 + ∥ ∇ 年 Φ 我 1 ∥ L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 1 ) 2 + ∥ ∇ 年 Φ 我 2 ∥ L（左） 2 ( Ω × Y（Y） 2 ) 2 + ∥ Φ 我 2 − φ 我 ∥ L（左） 2 ( Ω × Γ ) 2 ,
（5.14）

利用范数为（5.14）的Lax-Milgram定理和（5.2）左侧定义的双线性形式，可以证明问题（5.2）解的唯一性。□

我们现在介绍我,米=1,…,N个、独特的解决方案 w个 1 我 米 ∈ H（H） ˜ 每 1 ( Y（Y） 1 ) N个 问题的总数

{ − ⏴ ⏴ 年 j ( 一 我 j 我 米 + 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 1 k个 我 米 ⏴ 年 小时 ) = 0 英寸 Y（Y） 1 , ( 一 我 j 我 米 + 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 1 k个 我 米 ⏴ 年 小时 ) n个 j = 0 上的 Γ ,
（5.15）

和用于我=1,…,N个、独特的解决方案 w个 2 我 ∈ H（H） 1 ( Y（Y） 2 ) N个 问题的总数

{ − ⏴ ⏴ 年 j ( 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 2 k个 我 ⏴ 年 小时 ) = δ 我 我 英寸 Y（Y） 2 , 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 2 k个 我 ⏴ 年 小时 n个 j = 小时 w个 2 我 我 上的 Γ ,
(5.16)

最后，我们定义了均匀系数，

一 我 j 我 米 ∗ = ∫ Y（Y） 1 ( 一 我 j 我 米 + 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 1 k个 我 米 ⏴ 年 小时 ) d日年.
(5.17)

人们可以验证，如果( u个 1 , u个 ˆ 1 , u个 ˆ 2 )∈V（V）是（5.2）的唯一解，则

u个 ˆ k个 1 (x个,年)= w个 1 k个 我 米 (年)⋅ ⏴ u个 我 1 ⏴ x个 米 (x个)英寸Ω× Y（Y） 1 ,
(5.18)
u个 ˆ k个 2 (x个,年)= u个 k个 1 (x个)+ 克 我 (x个) w个 2 k个 我 (年)英寸Ω× Y（Y） 2 .
(5.19)

定理12 如果 u个 ε ∈ W公司 ε 是的解决方案(3.10),然后

u个 ˜ 1 ε ⇀| Y（Y） 1 |⋅ u个 1 中的弱 L（左） 2 ( Ω ) N个 ,
(5.20)
u个 ˜ 2 ε ⇀| Y（Y） 2 |⋅ u个 1 + 克 我 ⋅ q个 我 中的弱 L（左） 2 ( Ω ) N个 ,
(5.21)

哪里 u个 1 是这个问题的唯一解决方案

{ − ⏴ ⏴ x个 j ( 一 我 j k个 小时 ∗ ⏴ u个 k个 1 ⏴ x个 小时 ) = 克 我 英寸 Ω , u个 = 0 上的 ⏴ Ω ,
(5.22)

和的组件 q个 我 由给定 q个 我 我 = ∫ Y（Y） 2 w个 2 我 我 d日年.

证明使用暗示符号，可以写出均质化问题（5.2）

J型 1 + J型 2 + J型 三 = J型 4 + J型 5 .
(5.23)

我们现在将学习（5.23）的每个学期。

从（5.18）我们得到

J型 1 = ∫ Ω ⏴ u个 我 1 ⏴ x个 米 ⏴ φ 我 ⏴ x个 j ∫ Y（Y） 1 ( 一 我 j 我 米 + 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 1 k个 我 米 ⏴ 年 小时 ) d日 x个 d日 年 + ∫ Ω ⏴ u个 我 1 ⏴ x个 米 ∫ Y（Y） 1 ( 一 我 j 我 米 + 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 1 k个 我 米 ⏴ 年 小时 ) ⏴ Φ 我 1 ⏴ 年 j d日 x个 d日 年

考虑到（5.17）公式和（5.15）的变分公式，我们得到

J型 1 = ∫ Ω 一 我 j k个 小时 ∗ ⏴ u个 k个 1 ⏴ x个 小时 ⏴ φ 我 ⏴ x个 j d日x个.

对于 J型 2 我们使用（5.19），因此

J型 2 = ∫ Ω 克 我 ∫ Y（Y） 2 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 2 k个 我 ⏴ 年 小时 ⏴ Φ 我 2 ⏴ 年 j d日x个d日年

按部分进行的集成将产生

J型 2 = ∫ Ω 克 我 ∫ Y（Y） 2 − ⏴ ⏴ 年 j ( 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 2 k个 我 ⏴ 年 小时 ) Φ 我 2 d日x个d日年+ ∫ Ω 克 我 ∫ Γ 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 2 k个 我 ⏴ 年 小时 Φ 我 2 n个 2 j d日x个d日 σ 年 ,

哪里 n个 2 是正常的Γ外部到 Y（Y） 2 .现在使用（5.16）并考虑到 n个 2 =−n个, J型 2 成为

J型 2 = ∫ Ω × Y（Y） 2 克 我 Φ 我 2 d日x个d日年− ∫ Ω × Γ 小时 克 我 w个 2 我 我 Φ 我 2 d日x个d日 σ 年 .

显然，使用（5.19）和（5.16）中的边界条件，我们得到

J型 三 = ∫ Ω × Γ 小时 克 我 w个 2 我 我 Φ 我 2 d日x个d日 σ 年 − ∫ Ω 克 我 φ 我 ∫ Γ 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 2 k个 我 ⏴ 年 小时 n个 j d日x个d日 σ 年 ,

并且，由于高斯-斯特罗格尔斯基公式和事实 n个 2 =−n个,

J型 三 = ∫ Ω × Γ 小时 克 我 w个 2 我 我 Φ 我 2 d日 x个 d日 σ 年 + ∫ Ω 克 我 φ 我 ∫ Y（Y） 2 ⏴ ⏴ 年 j ( 一 我 j k个 小时 ⏴ w个 2 k个 我 ⏴ 年 小时 ) d日 x个 d日 年 = ∫ Ω × Γ 小时 克 我 w个 2 我 我 Φ 我 2 d日 x个 d日 σ 年 − | Y（Y） 2 | ∫ Ω 克 我 φ 我 d日 x个 .

因此（5.23）变成

∫ Ω 一 我 j k个 小时 ∗ ⏴ u个 k个 1 ⏴ x个 小时 ⏴ φ 我 ⏴ x个 j d日x个−| Y（Y） 2 | ∫ Ω 克 我 φ 我 d日x个=| Y（Y） 1 | ∫ Ω 克 我 φ 我 d日x个,

也就是说

∫ Ω 一 我 j k个 小时 ∗ ⏴ u个 k个 1 ⏴ x个 小时 ⏴ φ 我 ⏴ x个 j d日x个= ∫ Ω 克 我 φ 我 d日x个,

最后证明了（5.22）。收敛（5.20）和（5.21）直接由（5.1）给出1,2.□

工具书类

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致谢

第二位作者的工作是在访问鲁昂大学拉斐尔·塞勒姆数学实验室期间完成的，该实验室得到了部门业务计划人力资源开发（SOP HRD）的支持，由欧洲社会基金和罗马尼亚政府提供资金，合同号为SOP HRD/107/1.5/S/82514。他特别感谢对实验室的邀请，也非常感谢Horia I Ene教授就本论文研究的力学模型进行了有益的讨论。

作者信息

作者和附属机构

  1. 诺曼底大学，拉斐尔·塞勒姆数学实验室，鲁昂大学，CNRS，UMR 6085，Avenue de l'University，BP 12，Saint-E tienne du Rouvray cedex，76801，法国

    帕特里齐亚·多纳托

  2. 罗马尼亚布加勒斯特Calea Grivitei街21号罗马尼亚科学院Simion Stoilow数学研究所，邮编：010702

    尤利安语ea

作者
  1. 帕特里齐亚·多纳托
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Donato，P.，Ţenţea，I.通过周期展开方法对具有非理想界面的弹性双重孔隙介质进行均匀化。边界值问题 2013, 265 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-265

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