Approximate controllability of fractional impulsive neutral stochastic differential equations with nonlocal conditions

Zang, Yanchao; Li, Junping

doi:10.1186/1687-2770-2013-193

研究
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出版：2013年8月28日

具有非局部条件的分数阶脉冲中立型随机微分方程的近似可控性

臧燕超¹&
李俊平¹

边值问题 体积 2013，物品编号：193(2013)引用这篇文章

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18引文
韵律学细节

摘要

研究了Hilbert空间中具有非局部条件和无穷时滞的分数阶脉冲中立型随机微分方程的近似能控性。利用Krasnoselskii-Schaefer型不动点定理和随机分析理论，给出了系统近似可控的一些充分条件。最后，给出了一个例子来说明我们的结果的应用。

MSC公司：65C30、93B05、34K40、34K45。

1引言

本文的目的是证明一类分数阶脉冲中立型随机微分方程温和解的存在性和近似可控性

{\begin{matrix} {}^{c}{D类}_{t吨}^{α} [x个 (t吨) - 小时 (t吨, {x个}_{t吨})] = A类 [x个 (t吨) - 小时 (t吨, {x个}_{t吨})] + B类 u个 (t吨) + （f） (t吨, {x个}_{t吨}) \\ + 克 (t吨, {x个}_{t吨}) \frac{d日 W公司 (t吨)}{d日 t吨}, t吨 \in J型 : = [0, T型], \\ Δ x个 |_{t吨 = τ_{k个}} = 我_{k个} (x个 (τ_{k个}^{-})), k个 = 1, 2, \dots, n个, \\ x个 (0) + μ (x个) = {x个}_{0} = φ \in {C类}_{v（v）}, \end{matrix}

(1)

哪里 ${}^{c}{D类}_{t吨}^{α}$ 是Caputo分数阶导数 $\frac{1}{2} < α < 1$ ; 状态变量 $x个 (\cdot)$ 取实可分Hilbert空间中的值H（H）; $A类 : D类 (A类) \subset H（H） \to H（H）$ 是有界线性算子强连续半群的无穷小生成元 $T型 (t吨)$ , $t吨 \geq 0$ ，在希尔伯特空间H（H）.历史 ${x个}_{t吨} : (- \infty, 0] \to H（H）$ , ${x个}_{t吨} (θ) = x个 (t吨 + θ)$ , $θ \leq 0$ ，属于抽象相空间 ${C类}_{v（v）}$ .控制功能 $u个 (\cdot)$ 在中给出 ${L（左）}^{2} (J型, U型)$ ,U型是希尔伯特空间；B类是一个有界线性算子U型进入之内H（H）.功能（f）,小时,克, $我_{k个}$ 是稍后指定的适当功能。这个过程 ${W公司 (t吨) : t吨 \geq 0}$ 是既定的U型-具有有限迹核协方差算子的值Wiener过程 $问 \geq 0$ 定义在完全概率空间上 $(Ω, F类, {{F类}_{t吨}}, P（P）)$ .在这里 $0 \leq τ_{1} \leq \dots \leq τ_{n个} \leq T型$ , $Δ x个 |_{t吨 = τ_{k个}} = x个 (τ_{k个}^{+}) - x个 (τ_{k个}^{-})$ , $x个 (τ_{k个}^{+})$ 和 $x个 (τ_{k个}^{-})$ 表示的左右极限 $x个 (t吨)$ 在 $t吨 = τ_{k个}$ 分别是。初始数据 $φ = {φ (t吨), t吨 \in (- \infty, 0]}$ 是一个 ${F类}_{0}$ -可衡量的， ${C类}_{v（v）}$ -值随机变量独立于 $W公司 (t吨)$ 具有有限的二阶矩。

在过去的几十年里，分数阶微分方程理论受到了广泛的关注，在许多应用领域发挥着重要作用，包括粘弹性、电化学、控制、多孔介质、电磁等。我们向读者推荐Kilbas的专著等人。[1]、米尔和罗斯[2]，波德鲁布尼[三]以及其中的参考文献。也有大量文献涉及分数阶微分方程。例如，Benchohra等人。英寸[4]考虑了一类具有无穷时滞的分数阶中立型泛函微分方程的VIP。周（音）[5]讨论了无穷时滞分数阶中立型微分方程解的存在唯一性。

实际上，确定性系统经常因环境噪声而波动。因此，对随机微分系统进行讨论是非常重要和必要的。另一方面，控制理论是数学中的重要课题之一。粗略地说，可控性通常意味着可以使用一组允许的控制使动态控制系统从任意初始状态转向任意最终状态。由于其广泛应用，随机或确定性系统的可控性都受到了广泛关注。马哈穆多夫[6]研究了无限维线性随机系统的可控性[7]Dauer和Mahmudov将结果推广到具有有限时滞的半线性随机演化方程。Park、Balasubramaniam和Kumaresan[8]给出了中立型随机泛函无限时滞系统的可控性。除了环境噪声外，有时我们还必须考虑许多演化过程中存在的脉冲效应，因为脉冲效应可能在某些时刻带来突变。关于脉冲随机系统可控性的文献，我们可以看到[9–13].

然而，据我们所知，对于具有无限时滞和非局部条件的分数阶脉冲中立型随机微分方程的近似可控性，人们似乎知之甚少。本文的目的是研究这个有趣的问题。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了一些预备知识，例如分数阶微积分的定义和一些有用的引理。在第3节中，我们证明了我们的主要结果。最后，在第4节中，给出了一个示例来演示我们的结果的应用。

2准备工作

在本节中，我们将介绍一些符号和初步结果，这些都是建立结果所需的。在本文中，让U型和H（H）是两个实可分Hilbert空间，我们表示为 $L（左） (U型, H（H）)$ 所有线性有界算子的集合U型进入之内H（H）。为了方便起见，我们将使用相同的符号 $∥ \cdot ∥$ 表示中的规范U型,H（H）和 $L（左） (U型, H（H）)$ 、和使用 $〈 \cdot, \cdot 〉$ 表示的内积U型和H（H）没有任何混淆。让 $(Ω, F类, {{F类}_{t吨}}_{t吨 \geq 0}, P（P）)$ 是具有过滤的完全概率空间 ${{F类}_{t吨}}_{t吨 \geq 0}$ 满足通常的条件(即，它在不断增加，而 ${F类}_{0}$ 包含全部P（P）-空集合）。让 $W公司 = {({W公司}_{t吨})}_{t吨 \geq 0}$ 成为问-Wiener过程定义于 $(Ω, F类, {{F类}_{t吨}}_{t吨 \geq 0}, P（P）)$ 使用协方差算子问，这是

E类 〈 W公司 (t吨), x个 〉 〈 W公司 (秒), 年 〉 = (t吨 \land 秒) 〈 问 x个, 年 〉 为所有人 x个, 年 \in U型 和 t吨, 秒 \in [0, T型],

哪里问是上的一个正的、自共轭的跟踪类运算符U型.让 ${L（左）}_{2}^{0} = {L（左）}_{2} (U型, H（H）)$ 成为所有人的空间问-Hilbert-Schmidt运算符来自U型到H（H）符合规范

{∥ ξ ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} : = 信托收据 (ξ 问 ξ^{*}) < \infty, ξ \in L（左） (U型, H（H）) .

关于Hilbert空间中随机积分的构造，请参见Da Prato和Zabczyk[14]. 让A类是解析半群的无穷小生成元 ${T型 (t吨)}_{t吨 \geq 0}$ 一致有界线性算子H（H）在本文中，我们总是假设 $T型 (t吨)$ 结构紧凑。

现在，我们呈现抽象空间 ${C类}_{v（v）}$ .假设 $v（v） : (- \infty, 0] \to (0, + \infty)$ 具有 $我 = \int_{- \infty}^{0} v（v） (t吨) d日 t吨 < + \infty$ 是一个连续函数。抽象相空间 ${C类}_{v（v）}$ 由定义 ${C类}_{v（v）}$ = { $φ : (- \infty, 0] \to H（H）$ ，对于任何 $一 > 0$ , ${(E类 {| φ (θ) |}^{2})}^{1 / 2}$ 是上的有界可测函数 $[- 一, 0]$ 和 $\int_{- \infty}^{0} v（v） (秒) {啜饮}_{秒 \leq θ \leq 0} {(E类 {| φ (θ) |}^{2})}^{1 / 2} d日秒 < + \infty$ }. 如果 ${C类}_{v（v）}$ 被赋予了规范

{∥ φ ∥}_{{C类}_{v（v）}} = \int_{- \infty}^{0} v（v） (秒) \underset{秒 \leq θ \leq 0}{啜饮} {(E类 {| φ (θ) |}^{2})}^{1 / 2} d日 秒, φ \in {C类}_{v（v）},

然后 $({C类}_{v（v）}, {∥ \cdot ∥}_{{C类}_{v（v）}})$ 是巴纳赫空间[15,16].

现在，我们考虑空间

\begin{aligned} {B类}_{T型} : = & {x个 : (- \infty, T型] \to H（H）, {x个}_{k个} \in C类 ({J型}_{k个}, H（H）) 并且存在 x个 (τ_{k个}^{-}) 和 x个 (τ_{k个}^{+}) \\ 与 x个 (τ_{k个}) = x个 (τ_{k个}^{-}), {x个}_{0} = φ \in {C类}_{v（v）}, k个 = 0, 1, 2, \dots, n个}, \end{aligned}

哪里 ${x个}_{k个}$ 是的限制x个到 ${J型}_{k个} = (τ_{k个}, τ_{k个 + 1}]$ , $k个 = 0, 1, 2, \dots, n个$ .我们赋予半范数 ${∥ \cdot ∥}_{{B类}_{T型}}$ 在 ${B类}_{T型}$ ，其定义为

{∥ x个 ∥}_{{B类}_{T型}} = {∥ φ ∥}_{{C类}_{v（v）}} + \underset{秒 \in [0, T型]}{啜饮} {(E类 {∥ x个 (秒) ∥}^{2})}^{1 / 2}, x个 \in {B类}_{T型} .

引理2.1（请参见[17])

假设 $x个 \in {B类}_{T型}$ ,然后针对 $t吨 \in J型$ , ${x个}_{t吨} \in {C类}_{v（v）}$ .此外,

我 {(E类 {∥ x个 (t吨) ∥}^{2})}^{1 / 2} \leq {∥ {x个}_{t吨} ∥}_{{C类}_{v（v）}} \leq 我 \underset{秒 \in [0, t吨]}{啜饮} {(E类 {∥ x个 (秒) ∥}^{2})}^{1 / 2} + {∥ {x个}_{0} ∥}_{{C类}_{v（v）}},

哪里 $我 = \int_{- \infty}^{0} v（v） (秒) d日秒 < \infty$ .

定义2.1分数阶积分α函数的下限为0（f）定义为

我^{α} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} \frac{（f） (秒)}{{(t吨 - 秒)}^{1 - α}} d日 秒, t吨 > 0, α > 0,

如果右侧是在上逐点定义的 $[0, \infty)$ ，其中 $Γ (\cdot)$ 是伽马函数。

定义2.2阶的卡普托导数α函数的下限为0（f）可以写为

{}^{c}{D类}_{t吨}^{α} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (n个 - α)} \int_{0}^{t吨} \frac{{（f）}^{n个} (秒)}{{(t吨 - 秒)}^{α + 1 - n个}} d日 秒 = 我^{n个 - α} {（f）}^{n个} (t吨), t吨 > 0, n个 - 1 < α < n个 .

定义2.3随机过程 $x个 : J型 \times Ω \to H（H）$ 称为系统的温和溶液（1），如果

（i）
$x个 (t吨)$ 是可衡量的并且 ${F类}_{t吨}$ -适应，针对每个 $t吨 \geq 0$ ;
（ii）
$x个 (t吨) \in H（H）$ 有cádlág上的路径 $t吨 \in [0, T型]$ 并且满足以下积分方程
$\begin{aligned} x个 (t吨) = & T型 (t吨) [φ (0) - μ (x个) - 小时 (0, φ)] + 小时 (t吨, {x个}_{t吨}) + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) B类 u个 (秒) d日秒 \\ + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) （f） (秒, {x个}_{秒}) d日秒 \\ + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) 克 (秒, {x个}_{秒}) d日 W公司 (秒) \\ + \sum_{0 < τ_{k个} < t吨} T型 (t吨 - τ_{k个}) 我_{k个} (x个 (τ_{k个}^{-})), t吨 \in J型; \end{aligned}$
（iii）
${x个}_{0} (\cdot) = φ \in {C类}_{v（v）}$ 在 $(- \infty, 0]$ 令人满意的 ${∥ φ ∥}_{{C类}_{v（v）}} < \infty$ ，其中
$\begin{matrix} T型 (t吨) = \int_{0}^{\infty} ξ_{α} (θ) T型 ({t吨}^{α} θ) d日 θ, S公司 (t吨) = α \int_{0}^{\infty} θ ξ_{α} (θ) T型 ({t吨}^{α} θ) d日 θ, \\ ξ_{α} (θ) = \frac{1}{α} θ^{- 1 - \frac{1}{α}} ϖ_{α} (θ^{- \frac{1}{α}}) \geq 0, \\ ϖ_{α} (θ) = \frac{1}{π} \sum_{n个 = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n个 - 1} θ^{- n个 α - 1} \frac{Γ (n个 α + 1)}{n个!} 罪 (n个 π α), θ \in (0, \infty), \end{matrix}$

$ξ_{α}$ 是概率密度函数，定义于 $(0, \infty)$ 也就是说，

ξ_{α} (θ) \geq 0, θ \in (0, \infty) 和 \int_{0}^{\infty} ξ_{α} (θ) d日 θ = 1 .

引理2.2[18]

操作员 和 具有以下属性:

（i）
对于任何固定 $t吨 \geq 0$ , $T型 (t吨)$ 和 $S公司 (t吨)$ 是线性和有界运算符,我.e（电子）。，对于任何 $x个 \in X（X）$ ,
$∥ T型 (t吨) x个 ∥ \leq M（M） ∥ x个 ∥ 和 ∥ S公司 (t吨) x个 ∥ \leq \frac{α M（M）}{Γ (1 + α)} ∥ x个 ∥ .$
（ii）
${T型 (t吨), t吨 \geq 0}$ 和 ${S公司 (t吨), t吨 \geq 0}$ 是强连续的,这意味着每一个 $x个 \in H（H）$ 和 $0 \leq {t吨}^{'} < {t吨}^{″} \leq T型$ ,我们有
$∥ T型 ({t吨}^{″}) x个 - T型 ({t吨}^{'}) x个 ∥ \to 0 和 ∥ S公司 ({t吨}^{″}) x个 - S公司 ({t吨}^{'}) x个 ∥ \to 0 作为 {t吨}^{'} \to {t吨}^{″} .$
（iii）
对于每个 $t吨 > 0$ , $T型 (t吨)$ 和 $S公司 (t吨)$ 也是紧凑运算符，如果 $T型 (t吨)$ 每个都很紧凑 $t吨 > 0$ .

为了研究分数阶控制系统（1）的近似可控性，我们引入以下线性分数阶微分系统

{\begin{matrix} {}^{c}{D类}_{t吨}^{α} x个 (t吨) = A类 x个 (t吨) + B类 u个 (t吨), t吨 \in J型, \\ x个 (0) = {x个}_{0} . \end{matrix}

(2)

与（2）相关联的可控性运算符定义为

Γ_{0}^{T型} = \int_{0}^{T型} {(T型 - 秒)}^{α - 1} S公司 (T型 - 秒) B类 {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - 秒) d日 秒,

哪里 ${B类}^{*}$ 和 ${S公司}^{*}$ 表示…的伴随词B类和分别是。

让 $x个 (T型; φ, u个)$ 是终端时间（1）的状态值T型，对应于控件u个和初始值φ。表示方式 $R（右） (T型, φ) = {x个 (T型; φ, u个) : u个 \in {L（左）}^{2} (J型, U型)}$ 系统（1）在终端时间的可达集T型，其关闭于H（H）表示为 $\bar{R（右） (T型, φ)}$ .

定义2.4据说系统（1）在J型如果 $\bar{R（右） (T型, φ)} = {L（左）}^{2} (Ω, H（H）)$ .

引理2.3[19]

线性分数控制系统(2)在上几乎可以控制 J型 当且仅当 $λ (λ 我 + Γ_{0}^{T型}) \to 0$ 作为 $λ \to 0^{+}$ 在强算子拓扑中.

引理2.4([18]克拉斯诺塞尔斯基不动点定理）

让 N个 成为巴拿赫空间,让 $\hat{N个}$ 是的有界闭凸子集 N个,然后让 ${F类}_{1}$ , ${F类}_{2}$ 是的地图 $\hat{N个}$ 进入之内 N个 这样的话 ${F类}_{1} x个 + {F类}_{2} 年 \in \hat{N个}$ 每一双 $x个, 年 \in \hat{N个}$ .如果 ${F类}_{1}$ 是收缩和 ${F类}_{2}$ 是完全连续的,然后是方程式 ${F类}_{1} x个 + {F类}_{2} x个 = x个$ 有关于的解决方案 $\hat{N个}$ .

3主要成果

在本节中，我们给出了系统（1）近似可控的充分条件。为此，我们首先证明了系统（1）解的存在性。其次，在定理3.2中，我们将证明系统（1）在某些假设下是近似可控的。为了证明我们的主要结果，我们需要以下假设。

（H1）功能 $（f）, 小时 : J型 \times {C类}_{v（v）} \to H（H）$ 是连续的，并且存在两个正常数 ${M（M）}_{（f）}$ 和 ${M（M）}_{小时}$ 使函数满足以下条件

E类 {∥ （f） (t吨, x个) - （f） (t吨, 年) ∥}^{2} \leq {M（M）}_{（f）} {∥ x个 - 年 ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}, E类 {∥ （f） (t吨, x个) ∥}^{2} \leq {M（M）}_{（f）} (1 + {∥ x个 ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2})

和

E类 {∥ 小时 (t吨, x个) - 小时 (t吨, 年) ∥}^{2} \leq {M（M）}_{小时} {∥ x个 - 年 ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}, E类 {∥ 小时 (t吨, x个) ∥}^{2} \leq {M（M）}_{小时} (1 + {∥ x个 ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2})

对于每个 $x个, 年 \in {C类}_{v（v）}$ , $t吨 \in J型$ .

（H2）存在正极 ${M（M）}_{克}$ 这样的话

E类 {∥ 克 (t吨, {x个}_{t吨}) - 克 (t吨, 年_{t吨}) ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} \leq {M（M）}_{克} {∥ x个 - 年 ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}, E类 {∥ 克 (t吨, {x个}_{t吨}) ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} \leq {M（M）}_{克} (1 + {∥ x个 ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}) .

（H3）功能 $我_{k个} : H（H） \to H（H）$ 是连续的，并且存在连续的非递减函数 ${L（左）}_{k个} : {R（右）}^{+} \to {R（右）}^{+}$ 这样，对于每个 $x个 \in H（H）$ ,

E类 {∥ 我_{k个} (x个) ∥}^{2} \leq {L（左）}_{k个} (E类 {∥ x个 ∥}^{2}) 和 \underset{第页 \to \infty}{lim信息} \frac{{L（左）}_{k个} (第页)}{第页} = β_{k个} < \infty, k个 = 1, \dots, n个 .

（H4）μ是连续的，并且存在一些常数 ${M（M）}_{μ}$ 这样的话

E类 {∥ μ (x个) ∥}^{2} \leq {M（M）}_{μ} {∥ x个 ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2} .

（H5）线性随机系统（2）在 $[0, T型]$ .

定义控制函数需要以下引理。

引理3.1[6]

对于任何 ${\bar{x个}}_{T型} \in {L（左）}^{2} ({F类}_{T型}, H（H）)$ ,存在 $σ (\cdot) \in {L（左）}_{F类}^{2} (Ω; {L（左）}^{2} (J型; {L（左）}_{2}^{0}))$ 这样的话 ${\bar{x个}}_{T型} = E类 {\bar{x个}}_{T型} + \int_{0}^{T型} σ (秒) d日 W公司 (秒)$ .

现在，对于任何人 $λ > 0$ 和 ${\bar{x个}}_{T型} \in {L（左）}^{2} ({F类}_{T型}, H（H）)$ ，我们定义了控制函数

\begin{aligned} {u个}^{λ} (t吨) = & {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - t吨) {(λ 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} \\ \times [E类 {\bar{x个}}_{T型} + \int_{0}^{t吨} σ (秒) d日 W公司 (秒) - T型 (T型) (φ (0) - μ (x个) - 小时 (0, φ)) - 小时 (T型, {x个}_{T型})] \\ - {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - t吨) \int_{0}^{t吨} {(λ 我 + Γ_{秒}^{T型})}^{- 1} {(T型 - 秒)}^{α - 1} S公司 (T型 - 秒) （f） (秒, {x个}_{秒}) d日 秒 \\ - {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - t吨) \int_{0}^{t吨} {(λ 我 + Γ_{秒}^{T型})}^{- 1} {(T型 - 秒)}^{α - 1} S公司 (T型 - 秒) 克 (秒, {x个}_{秒}) d日 W公司 (秒) \\ - {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - t吨) {(λ 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} \sum_{0 < τ_{k个} < T型} T型 (T型 - τ_{k个}) 我_{k个} (x个 (τ_{k个}^{-})) . \end{aligned}

定理3.1 假设假设（H1）-（H4）持有.然后针对每个 $λ > 0$ ,系统(1)有温和的溶液 $[0, T型]$ ,前提是

\begin{aligned} [8 我^{2} {M（M）}^{2} {M（M）}_{μ} + 4 我^{2} {M（M）}_{小时} + 4 我^{2} {M（M）}_{（f）} {(\frac{M（M） {T型}^{α}}{Γ (1 + α)})}^{2} \\ + 4 我^{2} {M（M）}_{克} \frac{{T型}^{2 α - 1}}{2 α - 1} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2} + 4 我^{2} n个 {M（M）}^{2} \sum_{k个 = 1}^{n个} β_{k个}] \times [6 + \frac{48 {T型}^{2 α}}{λ^{2} α^{2}} {(\frac{α M（M） {M（M）}_{B类}}{Γ (1 + α)})}^{4}] \leq 1 \end{aligned}

和

L（左） = 三 我^{2} [{M（M）}_{小时} + {M（M）}_{（f）} \frac{{T型}^{2 α}}{α^{2}} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2} + {M（M）}_{克} \frac{{T型}^{2 α - 1}}{2 α - 1} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2}] < 1 .

证明对于任何 $λ > 0$ ，定义运算符 $Φ : {B类}_{T型} \to {B类}_{T型}$ 通过

(Φ x个) (t吨) = {\begin{matrix} φ (t吨), t吨 \in (- \infty, 0]; \\ T型 (t吨) [φ (0) - μ (x个) - 小时 (0, φ)] + 小时 (t吨, {x个}_{t吨}) \\ + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) B类 {u个}^{λ} (秒) d日 秒 \\ + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) （f） (秒, {x个}_{秒}) d日 秒 \\ + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) 克 (秒, {x个}_{秒}) d日 W公司 (秒) \\ + \sum_{0 < τ_{k个} < t吨} T型 (t吨 - τ_{k个}) 我_{k个} (x个 (τ_{k个}^{-})), t吨 \in J型 . \end{matrix}

我们将证明算子Φ在空间中有一个不动点 ${B类}_{T型}$ ，它是（1）的温和溶液。让 $x个 (t吨) = z（z） (t吨) + \hat{φ} (t吨)$ , $- \infty < t吨 \leq T型$ ，其中 $\hat{φ} (t吨)$ 由定义

\hat{φ} (t吨) = {\begin{matrix} φ (t吨), & t吨 \in (- \infty, 0], \\ T型 (t吨) φ (0), & t吨 \in J型 . \end{matrix}

然后 $\hat{φ} (t吨) \in {B类}_{T型}$ 很明显x个满足（1）当且仅当z（z）满足 ${z（z）}_{0} = 0$ 和

\begin{aligned} z（z） (t吨) = & T型 (t吨) [- μ (z（z） + \hat{φ}) - 小时 (0, φ)] + 小时 (t吨, {z（z）}_{t吨} + {\hat{φ}}_{t吨}) \\ + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) B类 {u个}^{λ} (秒) d日 秒 \\ + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) （f） (秒, {z（z）}_{秒} + {\hat{φ}}_{秒}) d日 秒 \\ + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) 克 (秒, {z（z）}_{秒} + {\hat{φ}}_{秒}) d日 W公司 (秒) \\ + \sum_{0 < τ_{k个} < t吨} T型 (t吨 - τ_{k个}) 我_{k个} (z（z） (τ_{k个}^{-}) + \hat{φ} (τ_{k个}^{-})), t吨 \in J型 . \end{aligned}

设置 ${B类}_{T型}^{0} = {z（z） \in {B类}_{T型}, {z（z）}_{0} = 0 \in {C类}_{v（v）}}$ ，对于任何 $z（z） \in {B类}_{T型}^{0}$ ，我们定义

\begin{aligned} {∥ z（z） ∥}_{{B类}_{T型}^{0}} & = {∥ {z（z）}_{0} ∥}_{{C类}_{小时}} + \underset{秒 \in [0, T型]}{啜饮} {(E类 {∥ z（z） (秒) ∥}^{2})}^{\frac{1}{2}} \\ = \underset{秒 \in [0, T型]}{啜饮} {(E类 {∥ z（z） (秒) ∥}^{2})}^{\frac{1}{2}}, x个 \in {B类}_{T型} . \end{aligned}

因此， $({B类}_{T型}^{0}, {∥ \cdot ∥}_{{B类}_{T型}^{0}})$ 是巴纳赫空间。让 ${B类}_{第页} = {z（z） \in {B类}_{T型}^{0} : {∥ z（z） ∥}_{{B类}_{T型}^{0}}^{2} \leq 第页}$ 对一些人来说 $第页 > 0$ ，然后 ${B类}_{第页}$ ，每个第页，是的有界闭子集H（H）此外，对于 $z（z） \in {B类}_{第页}$ ，根据引理2.1，我们有

\begin{aligned} {∥ {z（z）}_{t吨} + {\hat{φ}}_{t吨} ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2} & \leq 2 ({∥ {z（z）}_{t吨} ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2} + {∥ {\hat{φ}}_{t吨} ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}) \\ \leq 4 (我^{2} \underset{0 \leq 秒 \leq t吨}{啜饮} E类 {∥ z（z） (秒) ∥}^{2} + {∥ {z（z）}_{0} ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2} + 我^{2} \underset{0 \leq 秒 \leq t吨}{啜饮} E类 {∥ \hat{φ} (秒) ∥}^{2} + {∥ {\hat{φ}}_{0} ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}) \\ \leq 4 我^{2} (第页 + {M（M）}^{2} E类 {∥ φ (0) ∥}_{H（H）}^{2}) + 4 {∥ φ ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2} . \end{aligned}

为了方便起见，我们将证明分为几个步骤。

步骤1。我们声称存在一个正数第页这样的话 $Φ ({B类}_{第页}) \subset {B类}_{第页}$ 。如果不是这样，则对于每个正整数第页，存在 ${z（z）}^{第页} \in {B类}_{第页}$ 这样的话 $E类 {∥ Φ ({z（z）}^{第页}) (t吨) ∥}^{2} > 第页$ 对于 $t吨 \in (- \infty, T型]$ ,t吨可能取决于第页然而，另一方面，我们

\begin{aligned} 第页 \leq & E类 {∥ Φ ({z（z）}^{第页}) (t吨) ∥}^{2} \\ \leq & 6 E类 {∥ T型 (t吨) [- μ ({z（z）}^{第页} + \hat{φ}) - 小时 (0, φ)] ∥}^{2} + 6 E类 {∥ 小时 (t吨, {z（z）}_{t吨}^{第页} + {\hat{φ}}_{t吨}) ∥}^{2} \\ + 6 E类 {∥ \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) B类 {u个}^{λ} (秒) d日 秒 ∥}^{2} \\ + 6 E类 {∥ \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) （f） (秒, {z（z）}_{秒}^{第页} + {\hat{φ}}_{秒}) d日 秒 ∥}^{2} \\ + 6 E类 {∥ \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) 克 (秒, {z（z）}_{秒}^{第页} + {\hat{φ}}_{秒}) d日 W公司 (秒) ∥}^{2} \\ + 6 E类 {∥ \sum_{0 < τ_{k个} < t吨} T型 (t吨 - τ_{k个}) 我_{k个} (z（z） (τ_{k个}^{-}) + \hat{φ} (τ_{k个}^{-})) ∥}^{2}, t吨 \in J型 . \end{aligned}

通过使用（H1）-（H4）、引理2.1和Hölder不等式，我们得到

\begin{aligned} 第页 \leq & E类 {∥ Φ ({z（z）}^{第页}) (t吨) ∥}^{2} \\ \leq & 12 {M（M）}^{2} {M（M）}_{μ} {∥ {z（z）}^{第页} + \hat{φ} ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2} + 12 {M（M）}^{2} {M（M）}_{小时} (1 + {∥ φ ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}) + 6 {M（M）}_{小时} (1 + {∥ ({z（z）}_{t吨}^{第页} + {\hat{φ}}_{t吨}) ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}) \\ + 6 \frac{{T型}^{α}}{α} {(\frac{α M（M） {M（M）}_{B类}}{Γ (1 + α)})}^{2} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} E类 {∥ {u个}^{λ} (秒) ∥}^{2} d日 秒 \\ + 6 \frac{{T型}^{α}}{α} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} E类 {∥ （f） (秒, {z（z）}_{秒}^{第页} + {\hat{φ}}_{秒}) ∥}^{2} d日 秒 \\ + 6 {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{2 (α - 1)} E类 {∥ 克 (秒, {z（z）}_{秒}^{第页} + {\hat{φ}}_{秒}) ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} d日 秒 \\ + 6 n个 {M（M）}^{2} \sum_{k个 = 1}^{n个} E类 {∥ 我_{k个} (z（z） (τ_{k个}^{-}) + \hat{φ} (τ_{k个}^{-})) ∥}^{2} \\ \leq & 12 {M（M）}^{2} {M（M）}_{μ} {第页}^{'} + 12 {M（M）}^{2} {M（M）}_{小时} (1 + {∥ φ ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}) + 6 {M（M）}_{小时} (1 + {第页}^{'}) + \frac{48 {T型}^{2 α}}{λ^{2} α^{2}} {(\frac{α M（M） {M（M）}_{B类}}{Γ (1 + α)})}^{4} {M（M）}_{C类} \\ + 6 {(\frac{M（M） {T型}^{α}}{Γ (1 + α)})}^{2} {M（M）}_{（f）} (1 + {第页}^{'}) + 6 \frac{{T型}^{2 α - 1}}{2 α - 1} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2} {M（M）}_{克} (1 + {第页}^{'}) \\ + 6 n个 {M（M）}^{2} \sum_{k个 = 1}^{n个} {L（左）}_{k个} ({第页}^{'}), \end{aligned}

哪里 ${第页}^{'} = 4 我^{2} (第页 + {M（M）}^{2} E类 {∥ φ (0) ∥}_{H（H）}^{2}) + 4 {∥ φ ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}$ , $∥ B类 ∥ \leq {M（M）}_{B类}$ ，以及

\begin{aligned} {M（M）}_{C类} = & 2 E类 {∥ {\bar{x个}}_{T型} ∥}^{2} + 2 \int_{0}^{T型} E类 {∥ σ (秒) ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} d日 秒 + {M（M）}^{2} {∥ φ ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2} + {M（M）}^{2} {M（M）}_{μ} (1 + {第页}^{'}) \\ + {M（M）}^{2} {M（M）}_{小时} (1 + {∥ φ ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2}) + {M（M）}_{小时} (1 + {第页}^{'}) + {(\frac{M（M） {T型}^{α}}{Γ (1 + α)})}^{2} {M（M）}_{（f）} (1 + {第页}^{'}) \\ + \frac{{T型}^{2 α - 1}}{2 α - 1} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2} {M（M）}_{克} (1 + {第页}^{'}) + n个 {M（M）}^{2} \sum_{k个 = 1}^{n个} {L（左）}_{k个} ({第页}^{'}) . \end{aligned}

两边除以第页并将限制视为 $第页 \to \infty$ ，我们获得

\begin{aligned} 1 \leq & [8 我^{2} {M（M）}^{2} {M（M）}_{μ} + 4 我^{2} {M（M）}_{小时} + 4 我^{2} {M（M）}_{（f）} {(\frac{M（M） {T型}^{α}}{Γ (1 + α)})}^{2} \\ + 4 我^{2} {M（M）}_{克} \frac{{T型}^{2 α - 1}}{2 α - 1} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2} + 4 我^{2} n个 {M（M）}^{2} \sum_{k个 = 1}^{n个} β_{k个}] \cdot [6 + \frac{48 {T型}^{2 α}}{λ^{2} α^{2}} {(\frac{α M（M） {M（M）}_{B类}}{Γ (1 + α)})}^{4}], \end{aligned}

这与我们的假设相矛盾。因此，对于每个 $λ > 0$ ，存在一些正数第页这样的话 $Φ ({B类}_{第页}) \subset {B类}_{第页}$ .

接下来，我们证明算子Φ是凝聚的，为了方便起见，我们将Φ分解为 $Φ = Φ_{1} + Φ_{2}$ ，其中

\begin{aligned} (Φ_{1} z（z）) (t吨) = & 小时 (t吨, {z（z）}_{t吨} + {\hat{φ}}_{t吨}) + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) （f） (秒, {z（z）}_{秒} + {\hat{φ}}_{秒}) d日 秒 \\ + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) 克 (秒, {z（z）}_{秒} + {\hat{φ}}_{秒}) d日 W公司 (秒), \\ (Φ_{2} z（z）) (t吨) = & T型 (t吨) [- μ (z（z） + \hat{φ}) - 小时 (0, φ)] + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) B类 {u个}^{λ} (秒) d日 秒 . \\ + \sum_{0 < τ_{k个} < t吨} T型 (t吨 - τ_{k个}) 我_{k个} (z（z） (τ_{k个}^{-}) + \hat{φ} (τ_{k个}^{-})), t吨 \in J型 . \end{aligned}

第2步。我们证明了这一点 $Φ_{1}$ 是对的收缩 ${B类}_{第页}$ .让 $t吨 \in J型$ 和 ${z（z）}_{1}, {z（z）}_{2} \in {B类}_{第页}$ ，我们有

\begin{aligned} E类 {∥ Φ_{1} {z（z）}_{1} (t吨) - Φ_{1} {z（z）}_{2} (t吨) ∥}^{2} \\ \leq 三 E类 {∥ 小时 (t吨, {z（z）}_{1, t吨} + \hat{φ_{t吨}}) - 小时 (t吨, {z（z）}_{2, t吨} + \hat{φ_{t吨}}) ∥}^{2} \\ + 三 E类 {∥ \int_{0}^{t吨} {(T型 - 秒)}^{α - 1} S公司 (T型 - 秒) [（f） (秒, {z（z）}_{1, 秒} + \hat{φ_{秒}}) - （f） (秒, {z（z）}_{2, 秒} + \hat{φ_{秒}})] d日 秒 ∥}^{2} \\ + 三 E类 {∥ \int_{0}^{t吨} {(T型 - 秒)}^{α - 1} S公司 (T型 - 秒) [克 (秒, {z（z）}_{1, 秒} + \hat{φ_{秒}}) - 克 (秒, {z（z）}_{2, 秒} + \hat{φ_{秒}})] d日 W公司 (秒) ∥}^{2} \\ \leq 三 {M（M）}_{小时} {∥ {z（z）}_{1, t吨} - {z（z）}_{2, t吨} ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2} + 三 {M（M）}_{（f）} \frac{{T型}^{α}}{α} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2} \int_{0}^{t吨} {(T型 - 秒)}^{α - 1} {∥ {z（z）}_{1, 秒} - {z（z）}_{2, 秒} ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2} d日 秒 \\ + 三 {M（M）}_{克} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2} \int_{0}^{t吨} {(T型 - 秒)}^{2 (α - 1)} {∥ {z（z）}_{1, 秒} - {z（z）}_{2, 秒} ∥}_{{C类}_{v（v）}}^{2} d日 秒 \\ \leq L（左） \underset{秒 \in J型}{啜饮} E类 {∥ {z（z）}_{1} (秒) - {z（z）}_{2} (秒) ∥}^{2}, \end{aligned}

哪里 $L（左） = 三我^{2} [{M（M）}_{小时} + {M（M）}_{（f）} \frac{{T型}^{2 α}}{α^{2}} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2} + {M（M）}_{克} \frac{{T型}^{2 α - 1}}{2 α - 1} {(\frac{α M（M）}{Γ (1 + α)})}^{2}] < 1$ ，因此 $Φ_{1}$ 是一种收缩。

步骤3。 $Φ_{2}$ 将有界集映射到中的有界集 ${B类}_{第页}$ ,

\begin{aligned} E类 {∥ Φ_{2} z（z） (t吨) ∥}_{H（H）}^{2} \leq & 三 E类 {∥ T型 (t吨) [- μ (z（z） + \hat{φ}) - 小时 (0, φ)] ∥}^{2} \\ + 三 E类 {∥ \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{α - 1} S公司 (t吨 - 秒) B类 {u个}^{λ} (秒) d日 秒 ∥}^{2} \\ + 三 E类 {∥ \sum_{0 < τ_{k个} < t吨} T型 (t吨 - τ_{k个}) 我_{k个} (z（z） (τ_{k个}^{-}) + \hat{φ} (τ_{k个}^{-})) ∥}^{2} \\ \leq & 6 {M（M）}^{2} {M（M）}_{μ} {第页}^{'} + 6 {M（M）}^{2} {M（M）}_{小时} (1 + {∥ φ ∥}^{2}) \\ + \frac{24}{λ^{2}} \frac{{T型}^{2 α}}{α^{2}} {(\frac{α M（M） {M（M）}_{B类}}{Γ (1 + α)})}^{4} {M（M）}_{C类} + 三 {M（M）}^{2} {n个}^{2} \sum_{k个 = 1}^{n个} {L（左）}_{k个} ({第页}^{'}) \\ : = & Λ . \end{aligned}

因此，对于每个 $z（z） \in {B类}_{第页}$ ，我们得到 $E类 {∥ Φ_{2} z（z） (t吨) ∥}^{2} \leq Λ$ .

步骤4。地图 $Φ_{2}$ 是等连续的。让 $0 < {t吨}_{1} < {t吨}_{2} \leq T型$ 和 ${t吨}_{1}, {t吨}_{2} \in J型 ∖ {τ_{1}, τ_{2}, \dots, τ_{n个}}$ .那么，我们有

\begin{aligned} E类 {∥ Φ_{2} z（z） ({t吨}_{2}) - Φ_{2} z（z） ({t吨}_{1}) ∥}^{2} \leq & 5 E类 {∥ [T型 ({t吨}_{2}) - T型 ({t吨}_{1})] [- μ (z（z） + \hat{φ}) - 小时 (0, φ)] ∥}^{2} \\ + 5 E类 {∥ \int_{0}^{{t吨}_{1}} {({t吨}_{1} - 秒)}^{α - 1} [S公司 ({t吨}_{2} - 秒) - S公司 ({t吨}_{1} - 秒)] B类 {u个}^{λ} (秒) d日 秒 ∥}^{2} \\ + 5 E类 {∥ \int_{0}^{{t吨}_{1}} [{({t吨}_{2} - 秒)}^{α - 1} - {({t吨}_{1} - 秒)}^{α - 1}] S公司 ({t吨}_{2} - 秒) B类 {u个}^{λ} (秒) d日 秒 ∥}^{2} \\ + 5 E类 {∥ \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - 秒)}^{α - 1} S公司 ({t吨}_{2} - 秒) B类 {u个}^{λ} (秒) d日 秒 ∥}^{2} \\ + 5 E类 {∥ \sum_{0 < τ_{k个} < T型} [T型 ({t吨}_{2} - τ_{k个}) - T型 ({t吨}_{1} - τ_{k个})] 我_{k个} (z（z） (τ_{k个}^{-}) + \hat{φ} (τ_{k个}^{-})) ∥}^{2} . \end{aligned}

注意到每一个 $ϵ > 0$ ，存在一个 $δ > 0$ 这样，无论何时 $| 秒_{1} - 秒_{2} | < δ$ 对于每个 $秒_{1}, 秒_{2} \in J型$ , $∥ T型 (秒_{1}) - T型 (秒_{2}) ∥ < ϵ$ 和 $∥ S公司 (秒_{1}) - S公司 (秒_{2}) ∥ < ϵ$ 因此，当 $| {t吨}_{2} - {t吨}_{1} | < δ$ ，我们有

\begin{aligned} E类 {∥ Φ_{2} z（z） ({t吨}_{2}) - Φ_{2} z（z） ({t吨}_{1}) ∥}^{2} \leq & 10 ϵ^{2} [{M（M）}_{μ} {第页}^{'} + {M（M）}_{小时} (1 + {∥ φ ∥}^{2})] + \frac{40 ϵ^{2} {M（M）}_{B类}^{2}}{λ^{2}} \frac{{T型}^{2 α}}{α^{2}} {M（M）}_{C类} \\ + \frac{40 {M（M）}_{C类}}{α^{2} λ^{2}} {(\frac{α M（M） {M（M）}_{B类}}{Γ (α + 1)})}^{4} {[{t吨}_{2}^{α} - {t吨}_{1}^{α} - {({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}^{α}]}^{2} \\ + \frac{40 {M（M）}_{C类}}{α^{2} λ^{2}} {(\frac{α M（M） {M（M）}_{B类}}{Γ (α + 1)})}^{4} {({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}^{2 α} + 5 n个 ϵ^{2} \sum_{k个 = 1}^{n个} {L（左）}_{k个} ({第页}^{'}) . \end{aligned}

上述不等式的右边趋向于0 ${t吨}_{2} \to {t吨}_{1}$ 和 $ϵ \to 0$ ，因此集合 ${Φ_{2} z（z）, z（z） \in {B类}_{第页}}$ 是等连续的。

步骤5。这套 $V（V） (t吨) = {Φ_{2} z（z） (t吨), z（z） \in {B类}_{第页}}$ 相对紧凑 ${B类}_{第页}$ .让 $0 < t吨 \leq T型$ 被固定并且 $0 < ϵ < t吨$ 。对于 $δ > 0$ , $z（z） \in {B类}_{第页}$ ，我们定义

\begin{aligned} Φ_{2}^{ϵ, δ} z（z） (t吨) = & \int_{δ}^{\infty} ξ_{α} (θ) T型 ({t吨}^{α} θ) [- μ (z（z） + \hat{φ}) - 小时 (0, φ)] d日 θ \\ + α \int_{0}^{t吨 - ϵ} \int_{δ}^{\infty} θ {(t吨 - 秒)}^{α - 1} ξ_{α} (θ) T型 ({(t吨 - 秒)}^{α} θ) B类 {u个}^{λ} (秒) d日 θ d日 秒 . \\ + \sum_{0 < τ_{k个} < t吨} \int_{δ}^{\infty} ξ_{α} (θ) T型 ({(t吨 - τ_{k个})}^{α} θ) 我_{k个} (z（z） (τ_{k个}^{-}) + \hat{φ} (τ_{k个}^{-})) d日 θ \\ = & T型 (ϵ^{α} δ) \int_{δ}^{\infty} ξ_{α} (θ) T型 ({t吨}^{α} θ - ϵ^{α} δ) [- μ (z（z） + \hat{φ}) - 小时 (0, φ)] d日 θ \\ + α T型 (ϵ^{α} δ) \int_{0}^{t吨 - ϵ} \int_{δ}^{\infty} θ {(t吨 - 秒)}^{α - 1} ξ_{α} (θ) T型 ({(t吨 - 秒)}^{α} θ - ϵ^{α} δ) B类 u个 (秒) d日 θ d日 秒 . \\ + \sum_{0 < τ_{k个} < t吨} T型 (ϵ^{α} δ) \int_{δ}^{\infty} ξ_{α} (θ) T型 ({(t吨 - τ_{k个})}^{α} θ - ϵ^{α} δ) 我_{k个} (z（z） (τ_{k个}^{-}) + \hat{φ} (τ_{k个}^{-})) d日 θ . \end{aligned}

然后从 $T型 (ϵ^{α} δ)$ ，我们得到 ${V（V）}_{ϵ, δ} (t吨) = {Φ_{2}^{ϵ, δ} z（z） (t吨) : z（z） \in {B类}_{第页}}$ 相对紧凑H（H）对于每个ϵ, $0 < ϵ < t吨$ 此外，对于 $z（z） \in {B类}_{第页}$ ，我们可以很容易地证明 $Φ_{2}^{ϵ, δ} z（z） (t吨)$ 收敛到 $Φ_{2} z（z） (t吨)$ 在里面 ${B类}_{第页}$ 作为 $ϵ \to 0$ 和 $δ \to 0$ ，因此集合 $V（V） (t吨) = {Φ_{2} z（z） (t吨), z（z） \in {B类}_{第页}}$ 也相对紧凑 ${B类}_{第页}$ 因此，根据Arzela-Ascoli定理 $Φ_{2}$ 是完全连续的。因此，从引理2.4来看，Φ有一个不动点，它是（1）的温和解。□

定理3.2 假设（H1）-（H5）都很满意,以及定理的条件3.1持有.进一步,如果函数 （f） 和克 一致有界,和 $T型 (t吨)$ 是紧凑的,然后是系统(1)在上几乎可以控制 $[0, T型]$ .

证明让 ${x个}^{λ}$ 是（1）的解，那么我们可以很容易地得到

\begin{aligned} {x个}^{λ} (T型) = & {\bar{x个}}_{T型} - λ {(λ 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} [E类 {\bar{x个}}_{T型} + \int_{0}^{T型} σ (秒) d日 W公司 (秒) \\ - T型 (T型) (φ (0) - μ (x个) - 小时 (0, φ)) - 小时 (T型, {x个}_{T型}^{λ})] \\ + λ \int_{0}^{T型} {(λ 我 + Γ_{秒}^{T型})}^{- 1} {(T型 - 秒)}^{α - 1} S公司 (T型 - 秒) （f） (秒, {x个}_{秒}^{λ}) d日 秒 \\ + λ \int_{0}^{T型} {(λ 我 + Γ_{秒}^{T型})}^{- 1} {(T型 - 秒)}^{α - 1} S公司 (T型 - 秒) 克 (秒, {x个}_{秒}^{λ}) d日 W公司 (秒) \\ + λ {(λ 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} \sum_{0 < τ_{k个} < T型} T型 (T型 - τ_{k个}) 我_{k个} ({x个}_{秒}^{λ}) . \end{aligned}

鉴于以下假设（f）和克一致有界于J型因此，仍有一个子序列表示为 $（f） (秒, {x个}_{秒}^{λ})$ 和 $克 (秒, {x个}_{秒}^{λ})$ ，弱收敛可以说 $（f） (秒)$ 在里面H（H），以及 $克 (秒)$ 在里面 $L（左） (U型, H（H）)$ 另一方面，根据假设（H5），运营商 $λ {(λ 我 + Γ_{秒}^{T型})}^{- 1} \to 0$ 强烈地作为 $λ \to 0^{+}$ 为所有人 $0 \leq 秒 \leq T型$ 此外， $∥ λ {(λ 我 + Γ_{秒}^{T型})}^{- 1} ∥ \leq 1$ 因此，Lebesgue支配收敛定理和产量

\begin{aligned} E类 {∥ {x个}^{λ} (T型) - {\bar{x个}}_{T型} ∥}^{2} \leq & 4 {∥ λ {(λ 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} ∥}^{2} E类 ∥ E类 {\bar{x个}}_{T型} + \int_{0}^{T型} σ (秒) d日 W公司 (秒) \\ - T型 (T型) (φ (0) - μ (x个) - 小时 (0, φ)) - 小时 (T型, {x个}_{T型}^{λ}) ∥^{2} \\ + 4 E类 {(\int_{0}^{T型} ∥ λ {(λ 我 + Γ_{秒}^{T型})}^{- 1} {(T型 - 秒)}^{α - 1} S公司 (T型 - 秒) （f） (秒, {x个}_{秒}^{λ}) ∥ d日 秒)}^{2} \\ + 4 E类 {∥ \int_{0}^{T型} λ {(λ 我 + Γ_{秒}^{T型})}^{- 1} {(T型 - 秒)}^{α - 1} S公司 (T型 - 秒) 克 (秒, {x个}_{秒}^{λ}) d日 W公司 (秒) ∥}^{2} \\ + 4 {∥ λ {(λ 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} ∥}^{2} E类 {∥ \sum_{0 < τ_{k个} < T型} T型 (T型 - τ_{k个}) 我_{k个} ({x个}_{秒}^{λ}) ∥}^{2} \to 0, 作为 λ \to 0^{+} . \end{aligned}

这给出了（1）的近似可控性，证明是完整的。□

4示例

作为应用，我们考虑一个脉冲中立型随机偏微分方程，其形式如下

{\begin{matrix} {}^{c}{D类}_{t吨}^{α} [x个 (t吨, 年) - \int_{- \infty}^{t吨} {e（电子）}^{4 (秒 - t吨)} x个 (秒, 年) d日 秒] \\ = \frac{\partial^{2}}{\partial 年^{2}} [x个 (t吨, 年) - \int_{- \infty}^{t吨} {e（电子）}^{4 (秒 - t吨)} x个 (秒, 年) d日 秒] \\ + b条 (年) u个 (t吨) + \int_{0}^{T型} k个 (t吨, 秒) \int_{- \infty}^{秒} α (秒 - θ) x个 (θ, 年) d日 θ d日 秒 \\ + \int_{- \infty}^{t吨} α (t吨 - 秒) x个 (秒, 年) d日 W公司 (秒), x个 \in [0, π], t吨 \in J型 = [0, T型], \\ x个 (τ_{k个}^{+}, 年) - x个 (τ_{k个}^{-}, 年) = 我_{k个} (x个 (τ_{k个}^{-}, 年)), k个 = 1, 2, \dots, n个, \\ x个 (t吨, 0) = x个 (t吨, π) = 0, t吨 \in J型 = [0, T型], \\ x个 (0, 年) + \int_{0}^{π} {k个}_{1} (年, z（z）) x个 (t吨, z（z）) d日 z（z） = φ (t吨, 年), t吨 \in (- \infty, 0] . \end{matrix}

(3)

让 $U型 = H（H） = {L（左）}^{2} ([0, π])$ 和 $v（v） (t吨) = {e（电子）}^{2 t吨}$ , $t吨 < 0$ 具有 $我 = \frac{1}{2}$ 为了研究（3）的近似可控性，假设 $k个 (t吨, 秒)$ 可测量且持续 $[0, T型] \times [0, T型]$ 因此受到 ${L（左）}_{k个}$ . $α (t吨)$ 是可测的，连续的，有限的 ${L（左）}_{α}^{2} = \int_{- \infty}^{0} \frac{α^{2} (- 秒)}{v（v） (秒)} d日秒$ .

我们定义操作符A类通过 $A类 x个 = \frac{\partial^{2} x个}{\partial 年^{2}}$ 具有域 $D类 (A类) = {x个 \in H（H）, \frac{\partial x个}{\partial 年}, \frac{\partial^{2} x个}{\partial 年^{2}} \in H（H）和 x个 (0) = x个 (π) = 0}$ 众所周知A类生成解析半群 $T型 (t吨), t吨 \geq 0$ 由提供 $T型 (t吨) x个 = \sum_{n个 = 1}^{\infty} {e（电子）}^{- {n个}^{2} t吨} 〈 x个, {e（电子）}_{n个} 〉 {e（电子）}_{n个}$ , $x个 \in H（H）$ ，以及 ${e（电子）}_{n个} (年) = {(2 / π)}^{1 / 2} 罪 (n个年)$ , $n个 = 1, 2, \dots$ , 是特征向量的正交集A类.

定义运算符 $小时, （f） : J型 \times {C类}_{v（v）} \to H（H）$ , $克 : J型 \times {C类}_{v（v）} \to {L（左）}_{2}^{0} (U型, H（H）)$ 通过

\begin{aligned} 小时 (t吨, φ) (年) = \int_{- \infty}^{0} {e（电子）}^{- 4 秒} φ (秒) (年) d日 秒, \\ （f） (φ) (年) = \int_{0}^{T型} k个 (t吨, 秒) \int_{- \infty}^{0} α (- θ) φ (θ, 年) d日 θ d日 秒, \\ 克 (φ) (年) = \int_{- \infty}^{0} α (- 秒) φ (秒, 年) d日 W公司 (秒) . \end{aligned}

可以选择A类,小时,（f）,克，（3）可以重写为系统（1）的抽象形式。因此，在适当的条件下小时,（f）,克和 $我_{k个}$ 与（H1）-（H5）中的系统一样，系统（3）是近似可控的。

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致谢

我们非常感谢匿名裁判和副主编的仔细阅读和有益评论。这项工作得到了国家自然科学基金（No.11071259）、中国高等教育博士点研究基金（No.2011062110060）的大力支持。

作者信息

作者和附属机构

中南大学数学与统计学院，湖南长沙，410075
臧燕超、李俊平

作者

臧燕超
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李俊平
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关于本文

引用这篇文章

Zang，Y.，Li，J.具有非局部条件的分数阶脉冲中立型随机微分方程的近似可控性。边界值问题 2013, 193 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-193

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收到:2013年4月16日
认可的:2013年8月12日
出版:2013年8月28日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-2707-2013-193