Blow-up criteria for smooth solutions to the generalized 3D MHD equations

Hu, Liping; Wang, Yinxia

doi:10.1186/1687-2770-2013-187

研究
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出版：2013年8月21日

广义三维MHD方程光滑解的爆破准则

胡丽萍¹&
王银霞²

边值问题 体积 2013，物品编号：187(2013)引用这篇文章

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1引文
韵律学细节

摘要

本文主要研究广义三维磁流体动力学方程。建立了光滑解的两个对数爆破准则。

MSC公司：76D03、76W05。

1引言

我们研究了不可压缩广义磁流体力学（GMHD）方程光滑解的爆破准则 $对^{三}$

{\begin{matrix} \partial_{吨} u个 + u个 \cdot \nabla u个 - B类 \cdot \nabla B类 + {(- Δ)}^{α} u个 + \nabla (第页 + \frac{1}{2} {| B类 |}^{2}) = 0 ， \\ \partial_{吨} B类 + u个 \cdot \nabla B类 - B类 \cdot \nabla u个 + {(- Δ)}^{β} B类 = 0 ， \\ \nabla \cdot u个 = 0 ， \nabla \cdot B类 = 0 \end{matrix}

(1.1)

具有初始条件

吨 = 0 : u个 = {u个}_{0} (x个) ， B类 = {B类}_{0} (x个) ， x个 \in 对^{三} 。

（1.2）

在这里 $u个 = ({u个}_{1} ， {u个}_{2} ， {u个}_{三})$ ， $B类 = ({B类}_{1} ， {B类}_{2} ， {B类}_{三})$ 和 $P（P） = 第页 + \frac{1}{2} {| B类 |}^{2}$ 是与该点的流速、磁场和总动压力相对应的无量纲量 $(x个，吨)$ ，同时 ${u个}_{0} (x个)$ 和 ${B类}_{0} (x个)$ 是给定的初始速度和初始磁场 $\nabla \cdot {u个}_{0} = 0$ 和 $\nabla \cdot {B类}_{0} = 0$ 分别是。

GMHD方程是MHD方程的一个广义模型。它有重要的物理背景。因此，GMHD方程在数学上也很重要。对于三维Navier-Stokes方程，是否存在三维可印象GMHD方程的全局光滑解仍然是一个悬而未决的问题。在缺乏全球适宜性的情况下，发展爆破/非爆破理论对于理论和实践都具有重要意义。基本的数学问题，例如其解的全局正则性，已经产生了广泛的研究，并且已经建立了许多有趣的结果（参见[1–5]).

何时 $α = β = 1$ ，（1.1）简化为MHD方程。关于（1.1），（1.2）弱解的正则性这一基本问题，已有许多重要进展（见[6–18]). 具有零粘度和正电阻率的（1.1）经典解的破裂准则 $对^{三}$ 派生于[9]. 关于两个分量或两个分量的梯度的一些充分可积条件 $u个 + B类$ 和 $u个 - B类$ 在Morrey-Campanato空间中[10]. Wang在适当的齐次Besov空间中获得了光滑解的对数改进爆破准则等。[11]. 周和范[15]根据速度场和压力，分别建立了三维MHD方程的各种对数改进正则性准则。这些规律性标准可视为对之前建立的标准Serrin标准的对数时间改进。贾和周获得了三维不可压缩MHD方程的两个新的正则性准则，其中包括速度和磁场的部分分量[17].

何时 $α = 1$ ， $B类 = 0$ ，（1.1）简化为Navier-Stokes方程。勒雷[19]和霍普夫[20]分别构造了Navier-Stokes方程的弱解。该溶液称为Leray-Hopf弱溶液。后来，人们致力于建立Navier-Stokes方程光滑解的全局存在唯一性。人们提出了弱解正则性的不同判据，并获得了许多有趣的结果[21–25].

在本文中，我们获得了Morrey-Campanato空间中（1.1），（1.2）光滑解的两个对数爆破准则。我们希望方程的研究(1.1）可以提高对Navier-Stokes方程和MHD方程问题的理解。

现在我们将结果陈述如下。

定理1.1 让 ${u个}_{0} ， {B类}_{0} \in {H（H）}^{米} (对^{三})$ ， $米 \geq 三$ ，具有 $\nabla \cdot {u个}_{0} = 0$ ， $\nabla \cdot {B类}_{0} = 0$ 和 $\frac{三}{4} < α = β \leq 1$ 。假设 $(u个， B类)$ 是一个平滑的解决方案(1.1), (1.2)在 $[0 ， T型)$ 。如果 u个满足

\int_{0}^{T型} \frac{{∥ u个 (吨) ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 (吨) ∥}_{我^{\infty}})} d日 吨 < \infty ， \frac{2 α}{对} + \frac{三}{第页} + 1 = 2 α ， \frac{三}{2 α - 1} < 第页 \leq \infty ， 1 < 第页 \leq 问 ，

（1.3）

然后是解决方案 $(u个， B类)$ 可以扩展到 $吨 = T型$ 。

我们立即得出以下推论。

推论1.1 让 ${u个}_{0} ， {B类}_{0} \in {H（H）}^{米} (对^{三})$ ， $米 \geq 三$ ，具有 $\nabla \cdot {u个}_{0} = 0$ ， $\nabla \cdot {B类}_{0} = 0$ 和 $\frac{三}{4} < α = β \leq 1$ 。假设 $(u个， B类)$ 是一个平滑的解决方案(1.1), (1.2)在 $[0 ， T型)$ 。假设 T型 是最大存在时间，然后

\int_{0}^{T型} \frac{{∥ u个 (吨) ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 (吨) ∥}_{我^{\infty}})} d日 吨 = \infty ， \frac{2 α}{对} + \frac{三}{第页} + 1 = 2 α ， \frac{三}{2 α - 1} < 第页 \leq \infty ， 1 < 第页 \leq 问 。

(1.4)

定理1.2 让 ${u个}_{0} ， {B类}_{0} \in {H（H）}^{米} (对^{三})$ ， $米 \geq 三$ ，具有 $\nabla \cdot {u个}_{0} = 0$ ， $\nabla \cdot {B类}_{0} = 0$ 和 $\frac{三}{4} < α = β \leq 1$ 。假设 $(u个， B类)$ 是一个平滑的解决方案(1.1), (1.2)在 $[0 ， T型)$ 。如果

\int_{0}^{T型} \frac{{∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{\infty}})} d日 吨 < \infty ， \frac{2 α}{对} + \frac{三}{第页} = 2 α ， \frac{三}{2 α} < 第页 \leq \infty ， 1 < 第页 \leq 问 ，

（1.5）

然后是解决方案 $(u个， B类)$ 可以扩展到 $吨 = T型$ 。

我们立即得到以下推论。

推论1.2 让 ${u个}_{0} ， {B类}_{0} \in {H（H）}^{米} (对^{三})$ ， $米 \geq 三$ ，具有 $\nabla \cdot {u个}_{0} = 0$ ， $\nabla \cdot {B类}_{0} = 0$ 和 $\frac{三}{4} < α = β \leq 1$ 。假设 $(u个， B类)$ 是一个平滑的解决方案(1.1), (1.2)在 $[0 ， T型)$ 。假设 T型 是最大存在时间，然后

\int_{0}^{T型} \frac{{∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{\infty}})} d日 吨 = \infty ， \frac{2 α}{对} + \frac{三}{第页} = 2 α ， \frac{三}{2 α} < 第页 \leq \infty ， 1 < 第页 \leq 问 。

(1.6)

论文组织如下。在第二节中，我们首先介绍了函数空间的一些初等知识和一些重要不等式。然后我们分别证明了第3节和第4节中的主要结果。

2准备工作

在陈述主要结果之前，我们回顾了齐次Morrey-Campanato空间的定义和一些性质。

定义2.1对于 $1 < 第页 \leq 问 \leq + \infty$ Morrey-Campanato空间 ${\dot{M（M）}}_{第页，问} (对^{三})$ 由定义

{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问} = {（f） \in 我_{本地}^{第页} (对^{三}) : {∥ （f） ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} = \underset{对 > 0}{啜饮} \underset{x个 \in 对^{三}}{啜饮} 对^{\frac{三}{问} - \frac{三}{第页}} {∥ （f） ∥}_{我^{第页} (B类 (x个 ， 对))} < \infty} ，

哪里 $B类 (x个，对)$ 表示中心球x个带半径对。

让 $1 \leq 问^{'} \leq {第页}^{'} < \infty$ ，我们定义了齐次空间 ${\dot{N个}}_{{第页}^{'} ，问^{'}} (对^{三})$ 通过

{\dot{N个}}_{{第页}^{'} ， 问^{'}} (对^{三}) = {\begin{matrix} （f） \in 我^{{第页}^{'}} (对^{三}) | （f） = \sum_{k个 \in N个} 克_{k个} ， & 其中 (克_{k个}) \subset 我_{comp公司}^{{第页}^{'}} (对^{三}) 和 \\ \sum_{k个 \in 对^{三}} {d日}_{k个}^{三 (\frac{1}{问^{'}} - \frac{1}{{第页}^{'}})} {∥ 克_{k个} ∥}_{我^{{第页}^{'}}} < \infty ， & 哪里有 k个 ， {d日}_{k个} = 直径 (晚餐 克_{k个}) < \infty ， \end{matrix}

哪里 $我_{comp公司}^{{第页}^{'}} (对^{三})$ 是所有空间 $我^{{第页}^{'}}$ 中的函数 $对^{三}$ 具有紧凑的支撑。 ${\dot{N个}}_{{第页}^{'} ，问^{'}} (对^{三})$ 如果配备标准配置，则为巴纳赫空间

{∥ （f） ∥}_{{\dot{N个}}_{{第页}^{'} ， 问^{'}}} = inf公司 {\sum_{k个 \in N个} {d日}_{k个}^{三 (\frac{1}{问^{'}} - \frac{1}{{第页}^{'}})} {∥ 克_{k个} ∥}_{我^{{第页}^{'}}}} ，

下确界接管了所有可能的分解。

引理2.1 让 $1 < 问^{'} \leq {第页}^{'} < \infty$ 和第页，问满足 $\frac{1}{第页} + \frac{1}{{第页}^{'}} = \frac{1}{问} + \frac{1}{问^{'}} = 1$ 。然后 ${\dot{M（M）}}_{第页，问} (对^{三})$ 是的双重空间 ${\dot{N个}}_{{第页}^{'} ，问^{'}} (对^{三})$ 。

引理2.2 让 $1 < 问^{'} \leq {第页}^{'} < 2$ ， $米 \geq 2$ 和 $\frac{1}{问} + \frac{1}{问^{'}} = 1$ 。设置

γ = - \frac{三}{2} + \frac{三}{问} + \frac{三}{米} \in (0 ， 1] 。

然后存在一个常数 $C类 > 0$ 这样，对于任何 $（f） \in {\dot{H（H）}}^{γ}$ 和 $克 \in 我^{米}$ ，

{∥ （f） 克 ∥}_{{\dot{N个}}_{{第页}^{'} ， 问^{'}}} \leq C类 {∥ （f） ∥}_{{\dot{H（H）}}^{γ}} {∥ 克 ∥}_{我^{米}} 。

以下引理来自[21].

引理2.3 假设 $1 < 第页 < \infty$ 。对于 $（f），克 \in {W公司}^{米，第页}$ ，和 $1 < 问 \leq \infty$ ， $1 < 对 < \infty$ ，我们有

{∥ \nabla^{α} (（f） 克) - （f） \nabla^{α} 克 ∥}_{我^{第页}} \leq C类 ({∥ \nabla （f） ∥}_{我^{问_{1}}} {∥ \nabla^{α - 1} 克 ∥}_{我^{对_{1}}} + {∥ 克 ∥}_{我^{问_{2}}} {∥ \nabla^{α} （f） ∥}_{我^{对_{2}}}) ，

(2.1)

哪里 $1 \leq α \leq 米$ 和 $\frac{1}{第页} = \frac{1}{问_{1}} + \frac{1}{对_{1}} = \frac{1}{问_{2}} + \frac{1}{对_{2}}$ 。

下面的不等式是众所周知的Gagliardo-Nirenberg不等式。

引理2.4 让 j个，米 是满足以下条件的任何整数 $0 \leq j个 < 米$ ，然后让 $1 \leq 问，对 \leq \infty$ ，和 $第页 \in 对$ ， $\frac{j个}{米} \leq θ \leq 1$ 是这样的

\frac{1}{第页} - \frac{j个}{n个} = θ (\frac{1}{对} - \frac{米}{n个}) + (1 - θ) \frac{1}{问} 。

然后，为所有人 $（f） \in 我^{问} (对^{n个}) \cap {W公司}^{米，对} (对^{n个})$ ，有一个正常数 C类 仅取决于 n个，米，j个，问，对，θ 如下不等式成立:

{∥ \nabla^{j个} （f） ∥}_{我^{第页}} \leq C类 {∥ （f） ∥}_{我^{问}}^{1 - θ} {∥ \nabla^{米} （f） ∥}_{我^{对}}^{θ}

(2.2)

有以下例外:如果 $1 < 对 < \infty$ 和 $米 - j个 - \frac{n个}{对}$ 是非负整数，然后(2.2)只为满足 $\frac{j个}{米} \leq θ < 1$ 。

3定理1.1的证明

证明让 $\land = {(- Δ)}^{\frac{1}{2}}$ .我们将（1.1）的第一个方程乘以 $- Δ u个$ 并使用部件集成。这就产生了

\frac{1}{2} \frac{d日}{d日 吨} {∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} = \int_{对^{三}} u个 \cdot \nabla u个 Δ u个 d日 x个 - \int_{对^{三}} B类 \cdot \nabla B类 Δ u个 d日 x个 。

(3.1)

同样，我们得到

\frac{1}{2} \frac{d日}{d日 吨} {∥ \nabla B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} = \int_{对^{三}} u个 \cdot \nabla B类 Δ B类 d日 x个 - \int_{对^{三}} B类 \cdot \nabla u个 Δ B类 d日 x个 。

(3.2)

总结（3.1）和（3.2），我们推断

\begin{aligned} \frac{d日}{d日 吨} ({∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) + ({∥ \land^{1 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ = \int_{对^{三}} u个 \cdot \nabla u个 Δ u个 d日 x个 - \int_{对^{三}} B类 \cdot \nabla B类 Δ u个 d日 x个 + \int_{对^{三}} u个 \cdot \nabla B类 Δ B类 d日 x个 - \int_{对^{三}} B类 \cdot \nabla u个 Δ B类 d日 x个 \\ ≜ 我_{1} + 我_{2} + 我_{三} + 我_{4} 。 \end{aligned}

(3.3)

通过使用引理2.1、2.2和（2.2），我们得到

\begin{array}{rcl} 我_{1} & \leq & C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla u个 Δ u个 ∥}_{{\dot{N个}}_{第页 ， 问}} \\ \leq & C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{H（H）}}^{α}} {∥ Δ u个 ∥}_{我^{米}} \\ \leq & C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \land^{1 + α} u个 ∥}_{我^{2}} {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{1 - \frac{5}{2 α} + \frac{三}{米 α}} {∥ \land^{1 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{\frac{5}{2 α} - \frac{三}{米 α}} \\ \leq & C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{1 - \frac{5}{2 α} + \frac{三}{米 α}} {∥ \land^{1 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{1 + \frac{5}{2 α} - \frac{三}{米 α}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{1 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对} {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} ， \end{array}

(3.4)

哪里 $对 = \frac{2}{1 - \frac{5}{2 α} + \frac{三}{米 α}}$ 。

我们采用分部集成， $\nabla \cdot B类 = 0$ 、引理2.1、2.2和（2.2）。这给了

\begin{array}{rcl} 我_{2} + 我_{4} & = & - \int_{对^{三}} \partial_{k个}^{2} {B类}_{我} \partial_{我} {B类}_{j个} {u个}_{j个} d日 x个 - 2 \int_{对^{三}} \partial_{k个} {B类}_{我} \partial_{我} \partial_{k个} {B类}_{j个} {u个}_{j个} d日 x个 \\ = & C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla B类 Δ B类 ∥}_{{\dot{N个}}_{第页 ， 问}} \\ \leq & C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla B类 ∥}_{{\dot{H（H）}}^{α}} {∥ Δ B类 ∥}_{我^{米}} \\ \leq & C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}} {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{1 - \frac{5}{2 α} + \frac{三}{米 α}} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{\frac{5}{2 α} - \frac{三}{米 α}} \\ \leq & C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{1 - \frac{5}{2 α} + \frac{三}{米 α}} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{1 + \frac{5}{2 α} - \frac{三}{米 α}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对} {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2} ， \end{array}

(3.5)

哪里 $对 = \frac{2}{1 - \frac{5}{2 α} + \frac{三}{米 α}}$ 。

同样，我们得到

我_{三} \leq \frac{1}{8} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对} {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2} ，

(3.6)

哪里 $对 = \frac{2}{1 - \frac{5}{2 α} + \frac{三}{米 α}}$ 。

将（3.4）-（3.6）替换为（3.3）得出

\begin{aligned} \frac{d日}{d日 吨} ({∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) + ({∥ \land^{1 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ \leq C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ \leq C类 \frac{{∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ \leq C类 \frac{{∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) [1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{我^{\infty}})] \\ \leq C类 \frac{{∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) [1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{{H（H）}^{三}})] \\ \leq C类 \frac{{∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) [1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{{H（H）}^{三}}^{2})] \\ \leq C类 \frac{{∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) [1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla^{三} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{2}}^{2})] 。 \end{aligned}

(3.7)

由于（1.3），我们知道对于任何小常数 $ε > 0$ ，存在 ${T型}_{0} < T型$ 这样的话

\int_{{T型}_{0}}^{吨} \frac{{∥ u个 (τ) ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{我^{\infty}})} d日 τ < ε ≪ 1 。

对于任何 ${T型}_{0} \leq 吨 < T型$ ，让

θ (吨) = \underset{{T型}_{0} \leq τ \leq 吨}{啜饮} ({∥ \nabla^{三} u个 (τ) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla^{三} B类 (τ) ∥}_{我^{2}}^{2}) 。

通过（3.7），我们得到

\begin{aligned} \frac{d日}{d日 吨} ({∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) + ({∥ \land^{1 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla^{1 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ \leq C类 \frac{{∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) [1 + 自然对数 (e（电子） + θ (吨))] 。 \end{aligned}

(3.8)

根据（3.8）和Gronwall不等式

\begin{aligned} {∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + \int_{{T型}_{0}}^{吨} ({∥ \land^{1 + α} u个 (τ) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} B类 (τ) ∥}_{我^{2}}^{2}) d日 τ \\ \leq ({∥ \nabla u个 ({T型}_{0}) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ({T型}_{0}) ∥}_{我^{2}}^{2}) 经验 {C类 (1 + 自然对数 (e（电子） + θ (吨))) \int_{{T型}_{0}}^{吨} \frac{{∥ u个 (τ) ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{我^{\infty}})} d日 τ} \\ \leq {C类}_{0} 经验 {C类 ε [1 + 自然对数 (e（电子） + θ (吨))]} \\ \leq {C类}_{0} 经验 {2 C类 ε [自然对数 (e（电子） + θ (吨))]} \\ \leq {C类}_{0} {(e（电子） + θ (吨))}^{2 C类 ε} ， \end{aligned}

(3.9)

哪里 ${C类}_{0} = {∥ \nabla u个 ({T型}_{0}) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ({T型}_{0}) ∥}_{我^{2}}^{2}$ 。

应用 $\nabla^{米}$ 到（1.1）的第一个方程，然后取 $我^{2}$ 所得方程的内积 $\nabla^{米} u个$ 通过部分集成，我们得到

\begin{aligned} \frac{1}{2} \frac{d日}{d日 吨} {∥ \nabla^{米} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{米 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} \\ = - \int_{对^{三}} \nabla^{米} (u个 \cdot \nabla u个) \nabla^{米} u个 d日 x个 + \int_{对^{三}} \nabla^{米} (B类 \cdot \nabla B类) \nabla^{米} u个 d日 x个 。 \end{aligned}

(3.10)

同样，我们有

\begin{aligned} \frac{1}{2} \frac{d日}{d日 吨} {∥ \nabla^{米} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{米 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} \\ = - \int_{对^{三}} \nabla^{米} (u个 \cdot \nabla B类) \nabla^{米} B类 d日 x个 + \int_{对^{三}} \nabla^{米} (B类 \cdot \nabla u个) \nabla^{米} B类 d日 x个 。 \end{aligned}

（3.11）

组合用（3.10）-（3.11），使用 $\nabla \cdot u个 = 0$ ， $\nabla \cdot B类 = 0$ 按部件进行集成

\begin{aligned} \frac{1}{2} \frac{d日}{d日 吨} ({∥ \nabla^{米} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla^{米} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) + {∥ \land^{米 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{米 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} \\ = - \int_{对^{三}} [\nabla^{米} (u个 \cdot \nabla u个) - u个 \nabla \cdot \nabla \nabla^{米} u个] \nabla^{米} u个 d日 x个 + \int_{对^{三}} [\nabla^{米} (B类 \cdot \nabla B类) - B类 \cdot \nabla \nabla^{米} B类] \nabla^{米} u个 d日 x个 \\ = - \int_{对^{三}} [\nabla^{米} (u个 \cdot \nabla B类) - u个 \nabla \cdot \nabla \nabla^{米} B类] \nabla^{米} B类 d日 x个 + \int_{对^{三}} [\nabla^{米} (B类 \cdot \nabla u个) - B类 \cdot \nabla \nabla^{米} u个] \nabla^{米} B类 d日 x个 \\ ≜ {J型}_{1} + {J型}_{2} + {J型}_{三} + {J型}_{4} 。 \end{aligned}

(3.12)

为了简单起见，下面我们设置 $米 = 三$ 。

利用Hölder不等式和（2.1），（2.2），我们得到

\begin{array}{rcl} {J型}_{1} & \leq & {∥ \nabla^{三} (u个 \cdot \nabla u个) - u个 \cdot \nabla \nabla^{三} u个 ∥}_{我^{\frac{三}{2}}} {∥ \nabla^{三} u个 ∥}_{我^{三}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{三}} {∥ \nabla^{三} u个 ∥}_{我^{三}}^{2} \\ \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{\frac{6 α + 1}{2 (2 + α)}} {∥ \land^{三 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{\frac{11}{2 (2 + α)}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{三 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{\frac{2 (6 α + 1)}{4 α - 三}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{三 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {(e（电子） + θ (吨))}^{\frac{2 (6 α + 1)}{4 α - 三} C类 ε} 。 \end{array}

（3.13）

同样，我们有

\begin{array}{rcl} {J型}_{2} & \leq & {∥ \nabla^{三} (B类 \cdot \nabla B类) - B类 \cdot \nabla \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{\frac{三}{2}}} {∥ \nabla^{三} u个 ∥}_{我^{三}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{三}} {∥ \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{三}} {∥ \nabla^{三} u个 ∥}_{我^{三}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{\frac{4 α + 2}{2 (2 + α)}} {∥ \land^{三 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{\frac{6}{2 (2 + α)}} {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{\frac{2 α - 1}{2 (2 + α)}} {∥ \land^{三 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{\frac{5}{2 (2 + α)}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{三 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{\frac{(8 α + 4)}{4 α + 三}} {∥ \land^{三 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{\frac{12}{4 α + 三}} {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{\frac{2 (2 α - 1)}{4 α + 三}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{三 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + \frac{1}{6} {∥ \land^{三 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{\frac{8 α + 4}{4 α - 三}} {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{\frac{2 (2 α - 1)}{4 α - 三}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{三 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + \frac{1}{6} {∥ \land^{三 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {(e（电子） + θ (吨))}^{\frac{2 (6 α + 1)}{4 α - 三} C类 ε} ， \end{array}

(3.14)

\begin{array}{rcl} {J型}_{三} & \leq & {∥ \nabla^{三} (u个 \cdot \nabla B类) - u个 \cdot \nabla \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{\frac{三}{2}}} {∥ \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{三}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{三}} {∥ \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{三}}^{2} + C类 {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{三}} {∥ \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{三}} {∥ \nabla^{三} u个 ∥}_{我^{三}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{三 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + \frac{1}{6} {∥ \land^{三 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {(e（电子） + θ (吨))}^{\frac{2 (6 α + 1)}{4 α - 三} C类 ε} ， \end{array}

(3.15)

和

\begin{array}{rcl} {J型}_{4} & \leq & {∥ \nabla^{三} (B类 \cdot \nabla u个) - B类 \cdot \nabla \nabla^{三} u个 ∥}_{我^{\frac{三}{2}}} {∥ \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{三}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{三}} {∥ \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{三}}^{2} + C类 {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{三}} {∥ \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{三}} {∥ \nabla^{三} u个 ∥}_{我^{三}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{三 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + \frac{1}{6} {∥ \land^{三 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {(e（电子） + θ (吨))}^{\frac{2 (6 α + 1)}{4 α - 三} C类 ε} 。 \end{array}

(3.16)

将（3.13）-（3.16）插入（3.12）中，得到

\begin{aligned} \frac{d日}{d日 吨} ({∥ \nabla^{三} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla^{三} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) + {∥ \land^{三 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{三 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} \\ \leq C类 {(e（电子） + θ (吨))}^{\frac{2 (6 α + 1)}{4 α - 三} C类 ε} 。 \end{aligned}

Gronwall不等式暗示了 ${H（H）}^{三}$ -的规范u个和B类前提是 $\frac{2 (6 α + 1)}{4 α - 三} C类 ε \leq 1$ ，这可以通过积分（1.3）的绝对连续性来实现。我们已经完成了定理1.1的证明。□

4定理证明1.2

证明让 $\land = {(- Δ)}^{\frac{1}{2}}$ .将（1.1）的第一个方程乘以 $- Δ u个$ 使用分部积分，我们得到

\frac{1}{2} \frac{d日}{d日 吨} {∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} = \int_{对^{三}} u个 \cdot \nabla u个 Δ u个 d日 x个 - \int_{对^{三}} B类 \cdot \nabla B类 Δ u个 d日 x个 。

(4.1)

同样，我们得到

\frac{1}{2} \frac{d日}{d日 吨} {∥ \nabla B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} = \int_{对^{三}} u个 \cdot \nabla B类 Δ B类 d日 x个 - \int_{对^{三}} B类 \cdot \nabla u个 Δ B类 d日 x个 。

(4.2)

总结（4.1）和（4.2），我们推断

\begin{aligned} \frac{d日}{d日 吨} ({∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) + ({∥ \land^{1 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ = \int_{对^{三}} u个 \cdot \nabla u个 Δ u个 d日 x个 - \int_{对^{三}} B类 \cdot \nabla B类 Δ u个 d日 x个 + \int_{对^{三}} u个 \cdot \nabla B类 Δ B类 d日 x个 - \int_{对^{三}} B类 \cdot \nabla u个 Δ B类 d日 x个 \\ = \int_{对^{三}} \nabla u个 \cdot \nabla u个 \nabla u个 d日 x个 - \int_{对^{三}} \nabla B类 \cdot \nabla B类 \nabla u个 d日 x个 + \int_{对^{三}} \nabla u个 \cdot \nabla B类 \nabla B类 d日 x个 - \int_{对^{三}} \nabla B类 \cdot \nabla u个 \nabla B类 d日 x个 \\ ≜ 我_{1}^{'} + 我_{2}^{'} + 我_{三}^{'} + 我_{4}^{'} 。 \end{aligned}

(4.3)

使用引理2.1、2.2和（2.2），我们得到

\begin{array}{rcl} 我_{1}^{'} & \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla u个 \nabla u个 ∥}_{{\dot{N个}}_{第页 ， 问}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{H（H）}}^{α}} {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{米}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \land^{1 + α} u个 ∥}_{我^{2}} {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{1 - \frac{三}{2 α} + \frac{三}{米 α}} {∥ \land^{1 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{\frac{三}{2 α} - \frac{三}{米 α}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{1 - \frac{三}{2 α} + \frac{三}{米 α}} {∥ \land^{1 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{1 + \frac{三}{2 α} - \frac{三}{米 α}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{1 + α} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {∥ u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对} {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} ， \end{array}

(4.4)

哪里 $对 = \frac{2}{1 - \frac{5}{2 α} + \frac{三}{米 α}}$ 。

同样，我们得到

\begin{array}{rcl} 我_{2}^{'} & \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla B类 \nabla B类 ∥}_{{\dot{N个}}_{第页 ， 问}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla B类 ∥}_{{\dot{H（H）}}^{α}} {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{米}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}} {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{1 - \frac{三}{2 α} + \frac{三}{米 α}} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{\frac{三}{2 α} - \frac{三}{米 α}} \\ \leq & C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}} {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{1 - \frac{三}{2 α} + \frac{三}{米 α}} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{1 + \frac{三}{2 α} - \frac{三}{米 α}} \\ \leq & \frac{1}{8} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对} {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2} ， \end{array}

(4.5)

哪里 $对 = \frac{2}{1 - \frac{5}{2 α} + \frac{三}{米 α}}$ 。

我_{三}^{'} \leq \frac{1}{8} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对} {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}

(4.6)

和

我_{4}^{'} \leq \frac{1}{8} {∥ \land^{1 + α} B类 ∥}_{我^{2}}^{2} + C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对} {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2} 。

（4.7）

结合（4.3）-（4.7）得出

\begin{aligned} \frac{d日}{d日 吨} ({∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) + ({∥ \land^{1 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ \leq C类 {∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ \leq C类 \frac{{∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ \leq C类 \frac{{∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) [1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{\infty}})] \\ \leq C类 \frac{{∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) [1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{{H（H）}^{三}})] \\ \leq C类 \frac{{∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) [1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ u个 ∥}_{{H（H）}^{三}}^{2})] \\ \leq C类 \frac{{∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ \times [1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla^{三} u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla^{三} B类 ∥}_{我^{2}}^{2})] 。 \end{aligned}

(4.8)

由于（1.5），我们知道对于任何小常数 $ε > 0$ ，存在 ${T型}_{0} < T型$ 这样的话

\int_{{T型}_{0}}^{吨} \frac{{∥ \nabla u个 (τ) ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{\infty}})} d日 τ < ε ≪ 1 。

对于任何 ${T型}_{0} \leq 吨 < T型$ ，套

θ (吨) = \underset{{T型}_{0} \leq τ \leq 吨}{啜饮} ({∥ \nabla^{三} u个 (τ) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla^{三} B类 (τ) ∥}_{我^{2}}^{2}) 。

(4.9)

通过（4.8）和（4.9），我们得到

\begin{aligned} \frac{d日}{d日 吨} ({∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) + ({∥ \land^{1 + α} u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ \leq C类 \frac{{∥ \nabla u个 ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{\infty}})} ({∥ \nabla u个 ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ∥}_{我^{2}}^{2}) [1 + 自然对数 (e（电子） + θ (吨))] 。 \end{aligned}

(4.10)

方程（4.10）和Gronwall不等式给出了估计值

\begin{aligned} {∥ \nabla u个 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 (吨) ∥}_{我^{2}}^{2} + \int_{{T型}_{0}}^{吨} ({∥ \land^{1 + α} u个 (τ) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \land^{1 + α} B类 (τ) ∥}_{我^{2}}^{2}) d日 τ \\ \leq ({∥ \nabla u个 ({T型}_{0}) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ({T型}_{0}) ∥}_{我^{2}}^{2}) \\ \times 经验 {C类 (1 + 自然对数 (e（电子） + θ (吨))) \int_{{T型}_{0}}^{吨} \frac{{∥ \nabla u个 (τ) ∥}_{{\dot{M（M）}}_{第页 ， 问}}^{对}}{1 + 自然对数 (e（电子） + {∥ \nabla u个 ∥}_{我^{\infty}})} d日 τ} \\ \leq {C类}_{0} 经验 {C类 ε [1 + 自然对数 (e（电子） + θ (吨))]} \\ \leq {C类}_{0} 经验 {2 C类 ε [自然对数 (e（电子） + θ (吨))]} \\ \leq {C类}_{0} {(e（电子） + θ (吨))}^{2 C类 ε} ， \end{aligned}

(4.11)

哪里 ${C类}_{0} = {∥ \nabla u个 ({T型}_{0}) ∥}_{我^{2}}^{2} + {∥ \nabla B类 ({T型}_{0}) ∥}_{我^{2}}^{2}$ 。

从（4.11）开始， ${H（H）}^{三}$ 这种情况下的估计与定理1.1的估计相同。从而证明了定理1.2。□

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Hu，L.，Wang，Y.广义三维MHD方程光滑解的爆破准则。边界值问题 2013, 187 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-187

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收到:2013年4月22日
认可的:2013年8月5日
出版:2013年8月21日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-187

广义三维MHD方程光滑解的爆破准则

摘要

1引言

2准备工作

3定理1.1的证明

4定理证明1.2

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