Positive solutions for a fourth-order p-Laplacian boundary value problem with impulsive effects

Zhang, Keyu; Xu, Jiafa; Dong, Wei

doi:10.1186/1687-2770-2013-120

研究
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出版：2013年5月10日

四阶正解第页-具有脉冲效应的拉普拉斯边值问题

边值问题 体积 2013，物品编号：120(2013)引用这篇文章

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4引文
韵律学细节

摘要

本文致力于研究四阶正解的存在性和多重性第页-含有脉冲效应的拉普拉斯边值问题

{\begin{matrix} {({| 年^{″} |}^{第页 - 1} 年^{″})}^{″} = 如果 (t吨, 年), t吨 \in J型, t吨 \neq {t吨}_{k个}, \\ Δ 年^{'} |_{t吨 = {t吨}_{k个}} = - 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个})), k个 = 1, 2, \dots, 米, \\ 年 (0) = 年 (1) = 年^{″} (0) = 年^{″} (1) = 0, \end{matrix}

哪里 $J型 = [0, 1]$ , $如果 \in C类 ([0, 1] \times {R（右）}^{+}, {R（右）}^{+})$ , $我_{k个} \in C类 ({R（右）}^{+}, {R（右）}^{+})$ ( ${R（右）}^{+} : = [0, \infty)$ )。基于先验的利用凹函数的性质和Jensen不等式得到的估计，我们采用不动点指数理论来建立我们的主要结果。

MSC公司：34B18、47H07、47H11、45M20、26D15。

1简介

本文主要研究四阶正解的存在性和多重性第页-具有脉冲效应的拉普拉斯边值问题

{\begin{matrix} {({| 年^{″} |}^{第页 - 1} 年^{″})}^{″} = 如果 (t吨, 年), t吨 \in J型, t吨 \neq {t吨}_{k个}, \\ Δ 年^{'} |_{t吨 = {t吨}_{k个}} = - 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个})), k个 = 1, 2, \dots, 米, \\ 年 (0) = 年 (1) = 年^{″} (0) = 年^{″} (1) = 0 . \end{matrix}

(1.1)

在这里 $J型 = [0, 1]$ , $如果 \in C类 ([0, 1] \times {R（右）}^{+}, {R（右）}^{+})$ , $我_{k个} \in C类 ({R（右）}^{+}, {R（右）}^{+})$ .让 $0 < {t吨}_{1} < \cdot < {t吨}_{米} < 1$ 被固定， $Δ 年^{'} |_{t吨 = {t吨}_{k个}} = 年^{'} ({t吨}_{k个}^{+}) - 年^{'} ({t吨}_{k个}^{-})$ ，其中 $年^{'} ({t吨}_{k个}^{+})$ 和 $年^{'} ({t吨}_{k个}^{-})$ 表示的左右极限 $年^{'} (t吨)$ 在 $t吨 = {t吨}_{k个}$ 分别是。

四阶边值问题，包括具有第页-拉普拉斯算子起源于光束理论[1,2]，结冰[三,4]，肺部有液体[5]、大脑扭曲[6,7]，设计曲面上的特殊曲线[6,8],等。在梁理论中，更具体地说，小变形梁、满足非线性幂次应力应变定律的材料梁以及满足非线性幂弹性定律的双边连接梁可以用四阶微分方程及其边值条件来描述。对于以下情况 $我_{k个} = 0$ , $k个 = 1, 2, \dots, 米$ 、和 $第页 = 1$ ，问题（1.1）简化为微分方程 $年^{(4)} (t吨) = 如果 (t吨, 年 (t吨))$ 受边界值条件限制 $年 (0) = 年 (1) = 年^{″} (0) = 年^{″} (1) = 0$ ，可用于模拟两端简支弹性梁的挠度[9–11]. 这解释了为什么在过去二十年中，人们对此类问题的研究兴趣越来越浓厚，并发表了许多这方面的论文。我们向感兴趣的读者推荐[12–26]以及其中的参考文献致力于方程解的存在性第页-拉普拉斯算子。

在[17]，张等。研究了以下具有积分边界条件的四阶边值问题对称正解的存在性和不存在性：

{\begin{matrix} {(ϕ_{第页} ({u个}^{″} (t吨)))}^{″} = w个 (t吨) 如果 (t吨, u个 (t吨)), 0 < t吨 < 1, \\ u个 (0) = u个 (1) = \int_{0}^{1} 克 (秒) u个 (秒) d日 秒, \\ ϕ_{第页} ({u个}^{″} (0)) = ϕ_{第页} ({u个}^{″} (1)) = \int_{0}^{1} 小时 (秒) ϕ_{第页} ({u个}^{″} (秒)) d日 秒, \end{matrix}

(1.2)

哪里 $w个 \in {L（左）}^{1} [0, 1]$ 非负，在区间上对称 $[0, 1]$ (即, $w个 (1 - t吨) = w个 (t吨)$ 对于 $t吨 \in [0, 1]$ ), $如果 \in C类 ([0, 1] \times {R（右）}^{+}, {R（右）}^{+})$ , $如果 (1 - t吨, u个) = 如果 (t吨, u个)$ 为所有人 $(t吨, x个) \in [0, 1] \times {R（右）}^{+}$ 、和 $克, 小时 \in {L（左）}^{1} [0, 1]$ 非负对称 $[0, 1]$ 这些论点基于一个特殊构造的锥和锥的不动点理论。此外，他们还研究了正解的不存在性。

在[16]，Luo和Luo考虑了（1.2）的对称正解的存在性、多重性和不存在性ϕ-拉普拉斯算子和项如果涉及一阶导数。

除此之外，许多研究者考虑并研究了许多脉冲边值问题正解的存在性；例如，请参见[21–29]以及其中的参考文献。

在[21]，Feng考虑了具有脉冲效应的问题（1.2），并获得了正解的存在性和多重性。本文的基本工具是Guo-Krasnosel的锥上不动点定理。此外，非线性如果可以同时增长为次线性和超线性。因此，他改进并推广了[17]在某种程度上。然而，我们很容易发现，这些论文只是在原有论文的基础上做了简单的推广，没有实质性的改变。

受上述工作的启发，本文研究了（1.1）正解的存在性和多重性。然而，本文中的方法和结果与上述论文中的不同。本文的主要特点如下。首先，我们将边值问题（1.1）转化为一个等价的积分方程。接下来，我们将脉冲效应视为对相应问题的扰动，而不考虑脉冲项，这样我们就可以为适当的线性狄利克雷边值问题构造积分算子，并获得其第一特征值和本征函数。我们的主要结果是用线性积分算子的谱半径表示的，我们的先验的通过发展正凹函数的一些性质并利用Jensen不等式，得到了正解的估计。值得注意的是，我们的非线性如果可以超线性和次线性增长。证明中使用的主要工具是不动点指数理论，结合先验的正解的估计。虽然我们的问题（1.1）只涉及Dirichlet边界条件，但我们的方法和本文的结果都改进并扩展了[21–29].

2准备工作

让 $E类 : = C类 [0, 1]$ , $∥ u个 ∥ : = {啜饮}_{t吨 \in [0, 1]} | u个 (t吨) |$ .然后 $(E类, ∥ \cdot ∥)$ 是一个真正的巴纳赫空间。让 ${J型}^{'} : = J型 ∖ {{t吨}_{1}, {t吨}_{2}, \dots, {t吨}_{米}}$ 并介绍以下空间：

P（P） {C类}^{'} [0, 1] : = {年 \in C类 [0, 1], 年^{'} |_{({t吨}_{k个}, {t吨}_{k个 + 1})} \in C类 ({t吨}_{k个}, {t吨}_{k个 + 1}), 年^{'} ({t吨}_{k个}^{-}) = 年^{'} ({t吨}_{k个}), \exists 年^{'} ({t吨}_{k个}^{+}), k个 = 1, 2, \dots, 米}

符合规范 ${∥ 年 ∥}_{P（P） {C类}^{'}} = 最大值 {∥ 年 ∥, ∥ 年^{'} ∥}$ .然后 $(P（P） {C类}^{'} [0, 1], {∥ \cdot ∥}_{P（P） {C类}^{'}})$ 也是Banach空间。

A函数 $年 \in P（P） {C类}^{'} [0, 1] \cap {C类}^{4} ({J型}^{'})$ 如果满足微分方程，则称为（1.1）的解

{({| 年^{″} |}^{第页 - 1} 年^{″})}^{″} = 如果 (t吨, 年), t吨 \in {J型}^{'},

和功能年满足条件 $Δ 年^{'} |_{t吨 = {t吨}_{k个}} = 年^{'} ({t吨}_{k个}^{+}) - 年^{'} ({t吨}_{k个}^{-}) = - 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个}))$ 和Dirichlet边界条件 $年 (0) = 年 (1) = 年^{″} (0) = 年^{″} (1) = 0$ .

引理2.1（请参见[21])

如果年 是积分方程的解

年 (t吨) = \int_{0}^{1} G公司 (t吨, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) 如果 (τ, 年 (τ)) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 (t吨, {t吨}_{k个}) 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个})) : = (一个 年) (t吨),

(2.1)

然后年 是的解决方案(1.1),哪里 $G公司 (t吨, 秒) = 最小值 {t吨, 秒} 最小值 {1 - 秒, 1 - t吨}$ , $\forall t吨, 秒 \in [0, 1]$ .注意，如果 $如果 \in C类 ([0, 1] \times {R（右）}^{+}, {R（右）}^{+})$ , $我_{k个} \in C类 ({R（右）}^{+}, {R（右）}^{+})$ ,然后 $一个 : C类 [0, 1] \to C类 [0, 1]$ 是一个完全连续的运算符,正解的存在性(1.1)等于的正不动点 一个.

备注2.1通过（2.1），我们很容易发现年是凹形的 $[0, 1]$ 的确，

年^{″} (t吨) = - {(\int_{0}^{1} G公司 (t吨, 秒) 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒)}^{\frac{1}{第页}} \leq 0

暗示年凹开 $[0, 1]$ 此外， $年 ({t吨}_{k个}) = 0$ ( $k个 = 1, 2, \dots, 米$ )导致 $年 (t吨) \equiv 0$ , $\forall t吨 \in [0, 1]$ .

让P（P）成为一个圆锥体 $C类 [0, 1]$ 其定义为

P（P） : = {年 \in C类 [0, 1] : 年 (t吨) \geq t吨 (1 - t吨) ∥ 年 ∥, t吨 \in J型} .

在下文中，我们证明了 $一个 (P（P）) \subset P（P）$ .

引理2.2 $一个 (P（P）) \subset P（P）$ .

证明我们很容易看到 $t吨 (1 - t吨) G公司 (秒, 秒) \leq G公司 (t吨, 秒) \leq G公司 (秒, 秒)$ , $\forall t吨, 秒 \in [0, 1]$ 因此，一方面，我们发现

(一个 年) (t吨) \leq \int_{0}^{1} G公司 (秒, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) 如果 (τ, 年 (τ)) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 ({t吨}_{k个}, {t吨}_{k个}) 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个})) .

另一方面，

(一个 年) (t吨) \geq t吨 (1 - t吨) [\int_{0}^{1} G公司 (秒, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) 如果 (τ, 年 (τ)) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 ({t吨}_{k个}, {t吨}_{k个}) 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个}))] .

因此， $(一个年) (t吨) \geq t吨 (1 - t吨) ∥ 一个年 ∥$ ，对于任何 $t吨 \in [0, 1]$ ，根据需要。这就完成了证明。 □

我们表示 ${B类}_{ρ} : = {u个 \in E类 : ∥ u个 ∥ < ρ}$ 对于 $ρ > 0$ 在续集中。

引理2.3（请参见[30])

假设 $一个 : P（P） \to P（P）$ 是一个完全连续的算子，在上没有固定点 $⏴ {B类}_{ρ} \cap P（P）$ .

1
如果 $∥ 一个年 ∥ \leq ∥ 年 ∥$ 为所有人 $年 \in ⏴ {B类}_{ρ} \cap P（P）$ ,然后 $我 (一个, {B类}_{ρ} \cap P（P）, P（P）) = 1$ ,哪里我 是上的定点索引 P（P）.
2
如果 $∥ 一个年 ∥ \geq ∥ 年 ∥$ 为所有人 $年 \in ⏴ {B类}_{ρ} \cap P（P）$ ,然后 $我 (一个, {B类}_{ρ} \cap P（P）, P（P）) = 0$ .

引理2.4（请参见[30])

如果 $一个 : {\bar{B类}}_{ρ} \cap P（P） \to P（P）$ 是一个完全连续的运算符.如果存在 $年_{0} \in P（P） ∖ {0}$ 这样的话 $年 - 一个年 \neq λ 年_{0}$ , $\forall λ \geq 0$ , $年 \in ⏴ {B类}_{ρ} \cap P（P）$ ,然后 $我 (一个, {B类}_{ρ} \cap P（P）, P（P）) = 0$ .

引理2.5（请参见[30])

如果 $0 \in {B类}_{ρ}$ 和 $一个 : {\bar{B类}}_{ρ} \cap P（P） \to P（P）$ 是一个完全连续的运算符.如果 $年 \neq λ 一个年$ , $\forall 年 \in ⏴ {B类}_{ρ} \cap P（P）$ , $0 \leq λ \leq 1$ ,然后 $我 (一个, {B类}_{ρ} \cap P（P）, P（P）) = 1$ .

引理2.6 让 $ψ (t吨) : = 罪 (π t吨)$ .然后

\int_{0}^{1} G公司 (t吨, 秒) ψ (t吨) d日 t吨 = \frac{1}{π^{2}} ψ (秒), \int_{0}^{1} G公司 (t吨, 秒) ψ (秒) d日 秒 = \frac{1}{π^{2}} ψ (t吨) .

(2.2)

引理2.7（詹森不等式）

让 $θ > 0$ , $n个 \geq 1$ , $一_{我} \geq 0$ ( $我 = 1, 2, \dots, n个$ ),和 $φ \in C类 ([0, 1], {R（右）}^{+})$ .然后

3主要成果

让 ${第页}^{*} : = 最大值 {1, 第页}$ , ${第页}_{*} : = 最小值 {1, 第页}$ , $κ_{1} : = 2^{{第页}_{*} - 1}$ , $κ_{2} : = 2^{米 ({第页}_{*} - 1)}$ , $κ_{三} : = 2^{{第页}^{*} - 1}$ , $κ_{4} : = 2^{米 ({第页}^{*} - 1)}$ , $κ_{5} : = 2^{\frac{{第页}^{*}}{第页} + {第页}^{*} - 2}$ , $κ_{6} : = 2^{(米 + 1) ({第页}^{*} - 1)}$ 。我们现在列出我们的假设。

（H1）有一个 $ρ > 0$ 这样的话 $0 \leq 年 < ρ$ 和 $0 \leq t吨 \leq 1$ 意味着

如果 (t吨, 年) \leq η^{第页} ρ^{第页}, 我_{k个} (年) \leq η_{k个} ρ,

哪里 $η, η_{k个} \geq 0$ 满足

η + \sum_{k个 = 1}^{米} η_{k个} > 0, η \int_{0}^{1} G公司 (秒, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 ({t吨}_{k个}, {t吨}_{k个}) η_{k个} < 1 .

（H2）存在 $0 < {第页}_{0} < ρ$ 和 $一_{1} \geq 0$ , $一_{2} \geq 0$ 令人满意的

一_{1}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} + \frac{π^{三}}{2} σ^{{第页}_{*}} 一_{2}^{{第页}_{*}} κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个}) > π^{4}

这样的话

如果 (t吨, 年) \geq 一_{1} 年^{第页}, 我_{k个} (年) \geq 一_{2} 年, \forall t吨 \in [0, 1], 0 < 年 < {第页}_{0},

(3.1)

哪里 $σ : = {最小值}_{t吨 \in [{t吨}_{1}, {t吨}_{米}]} t吨 (1 - t吨) > 0$ .

（H3）存在 $c（c） > 0$ 和 $一_{三} \geq 0$ , $一_{4} \geq 0$ 令人满意的

一_{三}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} + \frac{π^{三}}{2} σ^{{第页}_{*}} 一_{4}^{{第页}_{*}} κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个}) > π^{4}

这样的话

如果 (t吨, 年) \geq 一_{三} 年^{第页} - c（c）, 我_{k个} (年) \geq 一_{4} 年 - c（c）, \forall t吨 \in [0, 1], 年 \geq 0 .

(3.2)

（H4）有一个 $ρ > 0$ 这样的话 $σ ρ \leq 年 \leq ρ$ 和 $0 \leq t吨 \leq 1$ 意味着

如果 (t吨, 年) \geq ξ^{第页} ρ^{第页}, 我_{k个} (年) \geq ξ_{k个} ρ,

哪里 $ξ, ξ_{k个} \geq 0$ 满足

ξ + \sum_{k个 = 1}^{米} ξ_{k个} > 0, ξ \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{米}} G公司 (\frac{1}{2}, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 (\frac{1}{2}, {t吨}_{k个}) ξ_{k个} > 1 .

（H5）存在 $0 < {第页}_{0} < ρ$ 和 ${b条}_{1} \geq 0$ , ${b条}_{2} \geq 0$ 令人满意的

{b条}_{1}^{2} + {b条}_{2}^{2} \neq 0, {b条}_{1}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} κ_{三} + \frac{π^{2} {b条}_{2}^{{第页}^{*}} κ_{4} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个})}{\int_{0}^{1} {(t吨 (1 - t吨))}^{{第页}^{*}} 罪 (π t吨) d日 t吨} < π^{4}

这样的话

如果 (t吨, 年) \leq {b条}_{1} 年^{第页}, 我_{k个} (年) \leq {b条}_{2} 年, \forall t吨 \in [0, 1], 0 < 年 < {第页}_{0} .

(3.3)

（H6）存在 $c（c） > 0$ 和 ${b条}_{三} \geq 0$ , ${b条}_{4} \geq 0$ 令人满意的

{b条}_{三}^{2} + {b条}_{4}^{2} \neq 0, {b条}_{三}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} κ_{5} + \frac{π^{2} {b条}_{4}^{{第页}^{*}} κ_{6} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个})}{\int_{0}^{1} {(t吨 (1 - t吨))}^{{第页}^{*}} 罪 (π t吨) d日 t吨} < π^{4}

这样的话

如果 (t吨, 年) \leq {b条}_{三} 年^{第页} + c（c）, 我_{k个} (年) \leq {b条}_{4} 年 + c（c）, \forall t吨 \in [0, 1], 年 \geq 0 .

（3.4）

定理3.1 假设（H1）-（H3）都很满意.然后(1.1)至少有两个积极的解决方案.

证明如果 $年 \in ⏴ {B类}_{ρ} \cap P（P）$ ，由（H1）可知

\begin{array}{rcl} ∥ 一个 年 ∥ & \leq & \int_{0}^{1} G公司 (秒, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) 如果 (τ, 年 (τ)) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 ({t吨}_{k个}, {t吨}_{k个}) 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个})) \\ \leq & ρ (η \int_{0}^{1} G公司 (秒, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 ({t吨}_{k个}, {t吨}_{k个}) η_{k个}) < ρ = ∥ 年 ∥ . \end{array}

现在，引理2.3产生

我 (一个, {B类}_{ρ} \cap P（P）, P（P）) = 1 .

(3.5)

让 $第页 \in (0, {第页}_{0})$ .然后针对 $年 \in ⏴ {B类}_{第页} \cap P（P）$ ，我们发现

年 (t吨) \geq t吨 (1 - t吨) ∥ 年 ∥ \geq σ 第页, \forall t吨 \in [{t吨}_{1}, {t吨}_{米}],

(3.6)

哪里 $σ = {最小值}_{t吨 \in [{t吨}_{1}, {t吨}_{米}]} t吨 (1 - t吨) > 0$ .让 $米_{1} : = {年 \in P（P） : 年 = 一个年 + λ ψ 对一些人来说 λ \geq 0}$ ，其中 $ψ (t吨) = 罪 (π t吨)$ 接下来，从（H2）证明 $米_{1} \subset {0}$ 的确， $年 \in 米_{1}$ 暗示 $年 (t吨) \geq (一个年) (t吨)$ .引理2.6与此一起导致

\begin{array}{rcl} 年^{{第页}_{*}} (t吨) & \geq & {[\int_{0}^{1} G公司 (t吨, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) 如果 (τ, 年 (τ)) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 (t吨, {t吨}_{k个}) 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个}))]}^{{第页}_{*}} \\ \geq & κ_{1} {[\int_{0}^{1} G公司 (t吨, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) 如果 (τ, 年 (τ)) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒]}^{{第页}_{*}} + κ_{1} {[\sum_{k个 = 1}^{米} G公司 (t吨, {t吨}_{k个}) 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个}))]}^{{第页}_{*}} \\ \geq & κ_{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} G公司 (t吨, 秒) G公司 (秒, τ) {如果}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} (τ, 年 (τ)) d日 τ d日 秒 + κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 (t吨, {t吨}_{k个}) 我_{k个}^{{第页}_{*}} (年 ({t吨}_{k个})) . \end{array}

(3.7)

将上面的两边乘以 $罪 (π t吨)$ 和集成 $[0, 1]$ 并使用（2.2）获得

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} 年^{{第页}_{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 & \geq & κ_{1} \int_{0}^{1} 罪 (π t吨) \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} G公司 (t吨, 秒) G公司 (秒, τ) {如果}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} (τ, 年 (τ)) d日 τ d日 秒 d日 t吨 \\ + κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} \int_{0}^{1} 罪 (π t吨) G公司 (t吨, {t吨}_{k个}) 我_{k个}^{{第页}_{*}} (年 ({t吨}_{k个})) d日 t吨 \\ \geq & \frac{κ_{1}}{π^{4}} \int_{0}^{1} {如果}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} (t吨, 年 (t吨)) 罪 (π t吨) d日 t吨 + \frac{κ_{2}}{π^{2}} \sum_{k个 = 1}^{米} 我_{k个}^{{第页}_{*}} (年 ({t吨}_{k个})) 罪 (π {t吨}_{k个}) . \end{array}

(3.8)

结合这一点和（3.1），我们得到

\int_{0}^{1} 年^{{第页}_{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 \geq \frac{一_{1}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1}}{π^{4}} \int_{0}^{1} 年^{{第页}_{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 + \frac{一_{2}^{{第页}_{*}} κ_{2}}{π^{2}} \sum_{k个 = 1}^{米} 年^{{第页}_{*}} ({t吨}_{k个}) 罪 (π {t吨}_{k个}) .

（3.9）

在下文中，我们将区分三种情况。

案例1。 $一_{1}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} = π^{4}$ 通过（H2），我们知道 $一_{2} > 0$ .（3.9）表示

\frac{一_{2}^{{第页}_{*}} κ_{2}}{π^{2}} \sum_{k个 = 1}^{米} 年^{{第页}_{*}} ({t吨}_{k个}) 罪 (π {t吨}_{k个}) \leq 0 .

因此， $年 ({t吨}_{k个}) = 0$ ( $k个 = 1, 2, \dots, 米$ )，然后 $年 (t吨) \equiv 0$ , $\forall t吨 \in [0, 1]$ 备注2.1，这与 $年 \in ⏴ {B类}_{第页} \cap P（P）$ .

案例2。 $一_{1}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} > π^{4}$ .方程式(三.9）暗示

(\frac{一_{1}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1}}{π^{4}} - 1) \int_{0}^{1} 年^{{第页}_{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 + \frac{一_{2}^{{第页}_{*}} κ_{2}}{π^{2}} \sum_{k个 = 1}^{米} 年^{{第页}_{*}} ({t吨}_{k个}) 罪 (π {t吨}_{k个}) \leq 0,

因此 $年 (t吨) \equiv 0$ , $\forall t吨 \in [0, 1]$ ，这也与 $年 \in ⏴ {B类}_{第页} \cap P（P）$ .

案例3。 $一_{1}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} < π^{4}$ 。自 $\int_{0}^{1} 年^{{第页}_{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 \leq \frac{2 {第页}^{{第页}_{*}}}{π}$ ，我们有（3.6）和（3.9），

\frac{2 [π^{4} - 一_{1}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1}] {第页}^{{第页}_{*}}}{π} \geq [π^{4} - 一_{1}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1}] \int_{0}^{1} 年^{{第页}_{*}} (t吨) 罪 (π t吨) \geq π^{2} σ^{{第页}_{*}} {第页}^{{第页}_{*}} 一_{2}^{{第页}_{*}} κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个}) .

因此，

一_{1}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} + \frac{π^{三}}{2} σ^{{第页}_{*}} 一_{2}^{{第页}_{*}} κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个}) \leq π^{4},

这与（H2）相矛盾。所以，我们有 $年 - 一个年 \neq λ ψ$ 为所有人 $年 \in ⏴ {B类}_{第页} \cap P（P）$ 和 $λ \geq 0$ 现在，通过引理2.4，我们得到

我 (一个, {B类}_{第页} \cap P（P）, P（P）) = 0 .

(3.10)

另一方面，通过（H3），我们证明了 $米_{1}$ 以为界P（P）通过（3.2）和（3.8），我们得到

（3.11）

哪里 ${c（c）}_{1} : = \frac{2 κ_{1} {c（c）}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}}}{π^{5}} + \frac{κ_{2} {c（c）}^{{第页}_{*}}}{π^{2}} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个})$ 现在我们区分以下两种情况。

案例1。 $一_{三}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} \geq π^{4}$ （H3）暗示

(一_{三}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} - π^{4}) \int_{0}^{1} {t吨}^{{第页}_{*}} {(1 - t吨)}^{{第页}_{*}} 罪 (π t吨) d日 t吨 + π^{2} σ^{{第页}_{*}} 一_{4}^{{第页}_{*}} κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个}) > 0 .

结合这一点和（3.11），我们有

(一_{三}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} - π^{4}) \int_{0}^{1} 年^{{第页}_{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 + π^{2} 一_{4}^{{第页}_{*}} κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} 年^{{第页}_{*}} ({t吨}_{k个}) 罪 (π {t吨}_{k个}) \leq π^{4} {c（c）}_{1} .

因此，

{∥ 年 ∥}^{{第页}_{*}} \leq \frac{π^{4} {c（c）}_{1}}{(一_{三}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} - π^{4}) \int_{0}^{1} {t吨}^{{第页}_{*}} {(1 - t吨)}^{{第页}_{*}} 罪 (π t吨) d日 t吨 + π^{2} σ^{{第页}_{*}} 一_{4}^{{第页}_{*}} κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个})} : = {N个}_{1} .

案例2。 $一_{三}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} < π^{4}$ .（3.11）表示

\begin{aligned} \frac{2 [π^{4} - 一_{三}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1}] {∥ 年 ∥}^{{第页}_{*}}}{π} + π^{4} {c（c）}_{1} \\ \geq [π^{4} - 一_{三}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1}] \int_{0}^{1} 年^{{第页}_{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 + π^{4} {c（c）}_{1} \\ \geq π^{2} 一_{4}^{{第页}_{*}} κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} 年^{{第页}_{*}} ({t吨}_{k个}) 罪 (π {t吨}_{k个}) \\ \geq π^{2} σ^{{第页}_{*}} 一_{4}^{{第页}_{*}} {∥ 年 ∥}^{{第页}_{*}} κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个}), \end{aligned}

因此

{∥ 年 ∥}^{{第页}_{*}} \leq \frac{π^{5} {c（c）}_{1}}{2 一_{三}^{\frac{{第页}_{*}}{第页}} κ_{1} + π^{三} σ^{{第页}_{*}} 一_{4}^{{第页}_{*}} κ_{2} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个}) - 2 π^{4}} : = {N个}_{2} .

因此，我们得到了 $米_{1}$ 如所述。拿 $R（右） > 啜饮 {ρ, \sqrt[{第页}_{*}]{{N个}_{1}}, \sqrt[{第页}_{*}]{{N个}_{2}}}$ ，我们有 $年 - 一个年 \neq λ ψ$ 为所有人 $年 \in ⏴ {B类}_{R（右）} \cap P（P）$ 和 $λ \geq 0$ 现在，通过引理2.4，我们得到

我 (一个, {B类}_{R（右）} \cap P（P）, P（P）) = 0 .

(3.12)

结合（3.5）、（3.10）和（3.12），我们得出

我 (一个, ({B类}_{R（右）} ∖ {\bar{B类}}_{ρ}) \cap P（P）, P（P）) = 0 - 1 = - 1, 我 (一个, ({B类}_{ρ} ∖ {\bar{B类}}_{第页}) \cap P（P）, P（P）) = 1 - 0 = 1 .

现在一个至少有两个固定点，一个在 $({B类}_{R（右）} ∖ {\bar{B类}}_{ρ}) \cap P（P）$ 另一个开着 $({B类}_{ρ} ∖ {\bar{B类}}_{第页}) \cap P（P）$ 因此（1.1）至少有两个正解。证明已完成。 □

定理3.2 假设（H4）-（H6）都很满意.然后(1.1)至少有两个积极的解决方案.

证明如果 $年 \in ⏴ {B类}_{ρ} \cap P（P）$ ，然后我们发现

年 (t吨) \geq t吨 (1 - t吨) ∥ 年 ∥ = σ ρ, \forall t吨 \in [{t吨}_{1}, {t吨}_{米}] .

(3.13)

由（H4），

\begin{aligned} (一个 年) (\frac{1}{2}) & \geq \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{米}} G公司 (\frac{1}{2}, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) 如果 (τ, 年 (τ)) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 (\frac{1}{2}, {t吨}_{k个}) 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个})) \\ \geq ρ (ξ \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{米}} G公司 (\frac{1}{2}, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 (\frac{1}{2}, {t吨}_{k个}) ξ_{k个}) > ρ = ∥ 年 ∥, \end{aligned}

因此

∥ 一个 年 ∥ > ∥ 年 ∥, \forall 年 \in ⏴ {B类}_{ρ} \cap P（P） .

现在，引理2.3产生

我 (一个, {B类}_{ρ} \cap P（P）, P（P）) = 0 .

(3.14)

让 $第页 \in (0, {第页}_{0})$ .然后针对 $年 \in ⏴ {B类}_{第页} \cap P（P）$ ，我们发现

年 (t吨) \geq t吨 (1 - t吨) ∥ 年 ∥ = t吨 (1 - t吨) 第页, \forall t吨 \in [0, 1] .

(3.15)

让 $米_{2} : = {年 \in P（P） : 年 = λ 一个年对一些人来说 λ \in [0, 1]}$ 接下来，从（H5）中，我们证明 $米_{2} = {0}$ 的确，如果 $年 \in 米_{2}$ ，我们有

\begin{aligned} 年^{{第页}^{*}} (t吨) & \leq {(一个 年)}^{{第页}^{*}} (t吨) = {[\int_{0}^{1} G公司 (t吨, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) 如果 (τ, 年 (τ)) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 (t吨, {t吨}_{k个}) 我_{k个} (年 ({t吨}_{k个}))]}^{{第页}^{*}} \\ \leq κ_{三} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} G公司 (t吨, 秒) G公司 (秒, τ) {如果}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} (τ, 年 (τ)) d日 τ d日 秒 + κ_{4} \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 (t吨, {t吨}_{k个}) 我_{k个}^{{第页}^{*}} (年 ({t吨}_{k个})) . \end{aligned}

将上面的两边乘以 $罪 (π t吨)$ 并进行整合 $[0, 1]$ 并使用（2.2）获得

\begin{aligned} \int_{0}^{1} 年^{{第页}^{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 \\ \leq \frac{κ_{三}}{π^{4}} \int_{0}^{1} {如果}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} (t吨, 年 (t吨)) 罪 (π t吨) d日 t吨 + \frac{κ_{4}}{π^{2}} \sum_{k个 = 1}^{米} 我_{k个}^{{第页}^{*}} (年 ({t吨}_{k个})) 罪 (π {t吨}_{k个}) . \end{aligned}

(3.16)

结合这一点和（3.3），我们有

\int_{0}^{1} 年^{{第页}^{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 \leq \frac{{b条}_{1}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} κ_{三}}{π^{4}} \int_{0}^{1} 年^{{第页}^{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 + \frac{{b条}_{2}^{{第页}^{*}} κ_{4}}{π^{2}} \sum_{k个 = 1}^{米} 年^{{第页}^{*}} ({t吨}_{k个}) 罪 (π {t吨}_{k个}) .

因此，

\begin{aligned} {第页}^{{第页}^{*}} (π^{4} - {b条}_{1}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} κ_{三}) \int_{0}^{1} {(t吨 (1 - t吨))}^{{第页}^{*}} 罪 (π t吨) d日 t吨 \\ \leq (π^{4} - {b条}_{1}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} κ_{三}) \int_{0}^{1} 年^{{第页}^{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 \leq {第页}^{{第页}^{*}} π^{2} {b条}_{2}^{{第页}^{*}} κ_{4} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个}), \end{aligned}

这与（H5）相矛盾。这意味着 $米_{2} = {0}$ ，因此 $年 \neq λ 一个年$ 为所有人 $年 \in ⏴ {B类}_{第页} \cap P（P）$ 和 $λ \in [0, 1]$ 现在，引理2.5产生

我 (一个, {B类}_{第页} \cap P（P）, P（P）) = 1 .

(3.17)

另一方面，通过（H6），我们证明了 $米_{2}$ 以为界P（P）通过（3.4）和（3.16），我们得到

\begin{aligned} \int_{0}^{1} 年^{{第页}^{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 & \leq \frac{κ_{三}}{π^{4}} \int_{0}^{1} {({b条}_{三} 年^{第页} (t吨) + c（c）)}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} 罪 (π t吨) d日 t吨 + \frac{κ_{4}}{π^{2}} \sum_{k个 = 1}^{米} {({b条}_{4} 年 ({t吨}_{k个}) + c（c）)}^{{第页}^{*}} 罪 (π {t吨}_{k个}) \\ \leq \frac{{b条}_{三}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} κ_{5}}{π^{4}} \int_{0}^{1} 年^{{第页}^{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 + \frac{{b条}_{4}^{{第页}^{*}} κ_{6}}{π^{2}} \sum_{k个 = 1}^{米} 年^{{第页}^{*}} ({t吨}_{k个}) 罪 (π {t吨}_{k个}) + {c（c）}_{2}, \end{aligned}

哪里 ${c（c）}_{2} : = \frac{2 κ_{5} {c（c）}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}}}{π^{5}} + \frac{κ_{6} {c（c）}^{{第页}^{*}}}{π^{2}} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个})$ 因此，

\begin{aligned} {∥ 年 ∥}^{{第页}^{*}} (π^{4} - {b条}_{三}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} κ_{5}) \int_{0}^{1} {(t吨 (1 - t吨))}^{{第页}^{*}} 罪 (π t吨) d日 t吨 \\ \leq (π^{4} - {b条}_{三}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} κ_{5}) \int_{0}^{1} 年^{{第页}^{*}} (t吨) 罪 (π t吨) d日 t吨 \leq {∥ 年 ∥}^{{第页}^{*}} π^{2} {b条}_{4}^{{第页}^{*}} κ_{6} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个}) + π^{4} {c（c）}_{2}, \end{aligned}

即，

{∥ 年 ∥}^{{第页}^{*}} \leq \frac{π^{4} {c（c）}_{2}}{(π^{4} - {b条}_{三}^{\frac{{第页}^{*}}{第页}} κ_{5}) \int_{0}^{1} {(t吨 (1 - t吨))}^{{第页}^{*}} 罪 (π t吨) d日 t吨 - π^{2} {b条}_{4}^{{第页}^{*}} κ_{6} \sum_{k个 = 1}^{米} 罪 (π {t吨}_{k个})} : = {N个}_{2} .

这证明了 $米_{2}$ ，根据需要。选择 $R（右） > \sqrt[{第页}^{*}]{{N个}_{2}}$ 和 $R（右） > ρ$ ，我们有 $年 \neq λ 一个年$ 为所有人 $年 \in ⏴ {B类}_{R（右）} \cap P（P）$ 和 $λ \in [0, 1]$ 现在引理2.5产生

我 (一个, {B类}_{R（右）} \cap P（P）, P（P）) = 1 .

(3.18)

结合（3.14）、（3.17）和（3.18），我们得到

我 (一个, ({B类}_{R（右）} ∖ {\bar{B类}}_{ρ}) \cap P（P）, P（P）) = 1 - 0 = 1, 我 (一个, ({B类}_{ρ} ∖ {\bar{B类}}_{第页}) \cap P（P）, P（P）) = 0 - 1 = - 1 .

因此一个至少有两个固定点，一个在 $({B类}_{R（右）} ∖ {\bar{B类}}_{ρ}) \cap P（P）$ 另一个在 $({B类}_{ρ} ∖ {\bar{B类}}_{第页}) \cap P（P）$ ，因此（1.1）至少有两个正解。证明已完成。 □

4示例

让我们考虑一下这个问题

{\begin{matrix} {({| 年^{″} |}^{第页 - 1} 年^{″})}^{″} = 年^{α} + 年^{β}, t吨 \in {J型}^{'}, 0 < α < 第页 < β, \\ Δ 年^{'} |_{t吨 = {t吨}_{k个}} = - {c（c）}_{k个} 年 ({t吨}_{k个}), {c（c）}_{k个} \geq 0, k个 = 1, 2, \dots, 米, \\ 年 (0) = 年 (1) = 年^{″} (0) = 年^{″} (1) = 0 . \end{matrix}

(4.1)

拿 $ρ = 1$ 英寸（H1）， $\sum_{k个 = 1}^{米} G公司 ({t吨}_{k个}, {t吨}_{k个}) {c（c）}_{k个} < \frac{2}{三}$ 、和 $η > 0$ 是这样选择的 $2 < η < 2 \cdot 6^{\frac{1}{第页}}$ .设置 $如果 (t吨, 年) = 年^{α} + 年^{β}$ , $0 < α < 第页 < β$ , $η_{k个} = {c（c）}_{k个}$ 因此， $如果 (t吨, 年) \leq ρ^{α} + ρ^{β} = 2 < η^{第页}$ , $我_{k个} (年) = {c（c）}_{k个} 年 \leq {c（c）}_{k个} ρ = η_{k个}$ 、和

η + \sum_{k个 = 1}^{米} η_{k个} > 0, η \int_{0}^{1} G公司 (秒, 秒) {(\int_{0}^{1} G公司 (秒, τ) d日 τ)}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + \sum_{k个 = 1}^{米} G公司 ({t吨}_{k个}, {t吨}_{k个}) η_{k个} < 1 .

因此，（H1）成立。另一方面，通过简单的计算，我们得到

\underset{年 \to 0^{+}}{林inf公司} \underset{t吨 \in [0, 1]}{最小值} \frac{如果 (t吨, 年)}{年^{第页}} = + \infty, \underset{年 \to + \infty}{林inf公司} \underset{t吨 \in [0, 1]}{最小值} \frac{如果 (t吨, 年)}{年^{第页}} = + \infty .

因此，

（i）
存在 $0 < {第页}_{0} < ρ$ 和 $一_{1} > 0$ , $一_{2} > 0$ （H2）保持不变。
（ii）
存在 $c（c） > 0$ 和 $一_{三} > 0$ , $一_{4} > 0$ （H3）保持不变。

因此，根据定理3.1，问题（4.1）至少有两个正解。

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致谢

国家自然科学基金（10971046）、山东省和河北省自然科学基金资助项目（ZR2012AQ007，A2012402036）、广东工业大学（yzc12063）、中国农业科学研究院（2012TS020）和山东省高等教育科技计划项目（J09LA55）资助的研究。

作者信息

作者和附属机构

山东大学数学学院，山东济南，250100
张科宇和徐佳发
齐鲁师范大学数学系，山东济南，250013
张可宇
河北工程大学数学系，河北邯郸，056038
魏东

作者

张可宇
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徐家发
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魏东
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通讯作者

与的通信张可宇.

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KZ和JX在联合研究中获得了结果。所有作者阅读并批准了最后的手稿。

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Zhang，K.，Xu，J.&Dong，W.四阶正解第页-具有脉冲效应的拉普拉斯边值问题。边界值问题 2013, 120 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-120

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收到:2013年1月31日
认可的:2013年4月15日
出版:2013年5月10日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-120

四阶正解第页-具有脉冲效应的拉普拉斯边值问题

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