Existence and multiplicity results for a class of fractional differential inclusions with boundary conditions

Zhang, Peng; Gong, Yanping

doi:10.1186/1687-2770-2012-82

研究
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出版：2012年7月31日

一类带边界条件的分数阶微分包含的存在性和多重性结果

边值问题 体积 2012，物品编号：82(2012)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

本文研究了一类带边界条件的分数阶微分包含解的存在性和多重性结果。利用非光滑临界点理论中的最小作用原理和极小极大方法，给出了解的存在性和多重性结果。文献中的最新结果得到了推广和改进。文中给出了一些例子来说明我们的主要结果。

MSC公司：26A33、26A42、58E05、70H05。

1引言

在本文中，我们考虑以下微分包含的分数边值问题（简称BVP）：

{\begin{matrix} 负极 \frac{d日}{d日 t吨} ({\frac{1}{2}}_{0} {D类}_{t吨}^{负极 β} ({u个}^{'} (t吨)) + {\frac{1}{2}}_{t吨} {D类}_{T型}^{负极 β} ({u个}^{'} (t吨))) \in \partial 如果 (t吨, u个 (t吨)), 即 t吨 \in [0, T型], \\ u个 (0) = u个 (T型) = 0, \end{matrix}

(1.1)

哪里 $T型 > 0$ , ${}_{0}{D类}_{t吨}^{负极 β}$ 和 ${}_{t吨}{D类}_{T型}^{负极 β}$ 是左右Riemann-Liouville分数阶积分 $0 \leq β < 1$ 分别是， $如果 : [0, T型] \times {R（右）}^{N个} \to R（右）$ 满足以下假设：

（A）
$如果 (t吨, x个)$ 是可以测量的t吨对于每个 $x个 \in {R（右）}^{N个}$ 和当地的Lipschitzx个对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ , $如果 (t吨, 0) \in {L（左）}^{1} (0, T型)$ 并且存在 $（f）, 克 \in {L（左）}^{\infty} (0, T型； {R（右）}^{+})$ 和 $ν \in [0, \infty)$ 这样的话
$ζ \in \partial 如果 (t吨, x个) \Rightarrow | ζ | \leq （f） (t吨) {| x个 |}^{ν} + 克 (t吨)$

对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ 以及所有 $x个 \in {R（右）}^{N个}$ .

分数阶微分方程是常微分方程到非整数阶的推广。分数阶微分方程近年来受到了越来越多的关注，因为分数阶系统理论可以很好地描述物理系统的行为。因此分数阶微分方程得到了许多研究人员的关注，在这方面已经做了大量的工作，参见Kilbas的专著和文章等。[1]、米勒和罗斯[2]，波德鲁布尼[三]、桑科等。[4]阿加瓦尔[5]，拉克希米坎塔姆[6]和Vasundhara Devi[7]以及其中的参考文献。

最近，分数阶微分方程引起了人们的极大兴趣，分数阶微分方程的边值问题已经通过使用非线性分析技术（不动点定理[8–10]Leray-Shauder理论[11,12]上下解法，单调迭代法[13–15]).

变分方法已被证明是研究非线性问题的一种非常有效的分析工具。经典临界点理论 ${C类}^{1}$ 功能是在六七十年代发展起来的（参见[16,17]). 过去30年中著名而重要的结果是Ambrosetti和Rabinowitz提出的山口定理[18]1973年。特定应用的需求（如非光滑力学、非光滑梯度系统、，等。)在非光滑分析和多值分析方面取得了令人瞩目的进展，导致临界点理论扩展到不可微函数，特别是局部Lipschitz函数。局部Lipschitz函数的非光滑临界点理论始于Chang的工作（参见[19]). Chang的理论是基于局部Lipschitz泛函由于Clarke而产生的次微分（见[20]). 利用这个次微分，Chang提出了著名的Palais-Smale条件的推广，并获得了关于局部Lipschitz函数临界点的存在性和特征的各种极大极小原理。Chang用他的理论研究了具有间断非线性的半线性椭圆边值问题。后来，在2000年，库罗杰尼斯和帕帕佐古（见[21])推广了Chang理论，得到了一些非光滑临界点理论，并将其应用于共振时的非线性椭圆方程，包括第页-具有不连续非线性的拉普拉斯算子。随后，许多作者还研究了非光滑临界点理论（参见[22–26])非光滑临界点理论也被广泛用于处理非线性边值问题（参见[27–31]). Gasinski和Papageorgiou的书是对非光滑临界点理论和非线性边值问题的一个很好的综述[32].

有一些论文专门研究分数阶微分包含的边值问题（参见[33–35])，他们使用的主要工具是多值收缩的不动点理论。然而，据作者所知，对于由非光滑临界点理论建立的分数阶BVP的解，很少有结果，因为对于具有边界条件的分数阶微分方程，通常很难建立合适的空间和变分泛函。最近，焦和周[36]引入了一些合适的函数空间作为其工作空间，并为以下系统建立了一个变分泛函：

{\begin{matrix} 负极 \frac{d日}{d日 t吨} ({\frac{1}{2}}_{0} {D类}_{t吨}^{负极 β} ({u个}^{'} (t吨)) + {\frac{1}{2}}_{t吨} {D类}_{T型}^{负极 β} ({u个}^{'} (t吨))) = \nabla 如果 (t吨, u个 (t吨)), a.电子 t吨 \in [0, T型], \\ u个 (0) = u个 (T型) = 0, \end{matrix}

(1.2)

哪里 $T型 > 0$ , ${}_{0}{D类}_{t吨}^{负极 β}$ 和 ${}_{t吨}{D类}_{T型}^{负极 β}$ 是左右Riemann-Liouville分数阶积分 $0 \leq β < 1$ 分别是，和如果是连续可微的。

利用临界点理论中的最小作用原理和山路定理，给出了上述系统解的两个存在性结果。很容易看出，system（1.1）是system（1.2）的泛化，很有意思的是，可以问一下[36]当潜在的如果就是当地的Lipschitz。但主要困难在于[36]不能直接应用于系统（1.1）。因此，我们必须找到一种新的方法来解决这个问题，新方法的主要思想来源于[20].

本文的结构如下。在下一节中，为了方便读者，我们介绍了系统（1.1）所需的数学背景和相应的变分结构。在第三节中，我们用变分方法证明了问题（1.1）解的两个存在性定理，推广了[36]. 最后，在第4节中，给出了两个示例来说明我们的结果。

2准备工作

定义2.1（左右Riemann-Liouville分数积分）

让（f）是定义于的函数 $[一, b条]$ .左右Riemann-Liouville分数阶积分γ用于函数（f），表示为 ${}_{一}{D类}_{t吨}^{负极 γ} （f） (t吨)$ 和 ${}_{t吨}{D类}_{b条}^{负极 γ} （f） (t吨)$ 分别定义为

{}_{一}{D类}_{t吨}^{负极 γ} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (γ)} {¦Β}_{一}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{γ 负极 1} （f） (秒) d日 秒, t吨 \in [一, b条], γ > 0,

和

{}_{t吨}{D类}_{b条}^{负极 γ} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (γ)} {¦Β}_{t吨}^{b条} {(秒 负极 t吨)}^{γ 负极 1} （f） (秒) d日 秒, t吨 \in [一, b条], γ > 0,

如果右侧是按点定义的 $[一, b条]$ ，其中Γ是伽马函数。

定义2.2（左右Riemann-Liouville分数导数）Let（f）是定义于的函数 $[一, b条]$ .左右Riemann-Liouville分数阶导数γfor函数（f），表示为 ${}_{一}{D类}_{t吨}^{γ} （f） (t吨)$ 和 ${}_{t吨}{D类}_{b条}^{γ} （f） (t吨)$ 分别定义为

{}_{一}{D类}_{t吨}^{负极 γ} （f） (t吨) = {\frac{{d日}^{n个}}{d日 {t吨}^{n个}}}_{一} {D类}_{t吨}^{γ 负极 n个} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (n个 负极 γ)} \frac{{d日}^{n个}}{d日 {t吨}^{n个}} ({¦Β}_{一}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{n个 负极 γ 负极 1} （f） (秒) d日 秒),

和

{}_{t吨}{D类}_{b条}^{负极 γ} （f） (t吨) = {(负极 1)}^{n个} {\frac{{d日}^{n个}}{d日 {t吨}^{n个}}}_{t吨} {D类}_{b条}^{γ 负极 n个} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (n个 负极 γ)} {(负极 1)}^{n个} \frac{{d日}^{n个}}{d日 {t吨}^{n个}} ({¦Β}_{t吨}^{b条} {(秒 负极 t吨)}^{n个 负极 γ 负极 1} （f） (秒) d日 秒),

哪里 $t吨 \in [一, b条]$ , $n个负极 1 \leq γ < n个$ 和 $n个 \in N个$ .

定义2.3（左右卡普托分数导数）

让 $γ \geq 0$ 和 $n个 \in N个$ .

（i）
如果 $γ \in (n个负极 1, n个)$ 和 $（f） \in A类 {C类}^{n个} ([一, b条], {R（右）}^{N个})$ ，然后是左右Caputo分数阶导数γfor函数（f），表示为 ${}_{一}^{c（c）}{D类}_{t吨}^{γ} （f） (t吨)$ 和 ${}_{t吨}^{c（c）}{D类}_{b条}^{γ} （f） (t吨)$ 分别存在于 $[一, b条]$ . ${}_{一}^{c（c）}{D类}_{t吨}^{γ} （f） (t吨)$ 和 ${}_{t吨}^{c（c）}{D类}_{b条}^{γ} （f） (t吨)$ 由表示
${}_{一}^{c（c）}{D类}_{t吨}^{γ} （f） (t吨) =_{一} {D类}_{t吨}^{γ 负极 n个} {（f）}^{(n个)} (t吨) = \frac{1}{Γ (n个负极 γ)} ({¦Β}_{一}^{t吨} {(t吨负极秒)}^{n个负极 γ 负极 1} {（f）}^{(n个)} (秒) d日秒)$

和

{}_{t吨}^{c（c）}{D类}_{b条}^{γ} （f） (t吨) = {(负极 1)}^{n个}_{t吨} {D类}_{b条}^{γ 负极 n个} {（f）}^{(n个)} (t吨) = \frac{{(负极 1)}^{n个}}{Γ (n个 负极 γ)} ({¦Β}_{t吨}^{b条} {(秒 负极 t吨)}^{n个 负极 γ 负极 1} {（f）}^{(n个)} (秒) d日 秒)

分别，其中 $t吨 \in [一, b条]$ 特别是，如果 $0 < γ < 1$ ，然后

{}_{一}^{c（c）}{D类}_{t吨}^{γ} （f） (t吨) =_{一} {D类}_{t吨}^{γ 负极 1} {（f）}^{'} (t吨) = \frac{1}{Γ (1 负极 γ)} ({¦Β}_{一}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{负极 γ} {（f）}^{'} (秒) d日 秒), t吨 \in [一, b条]

和

{}_{t吨}^{c（c）}{D类}_{b条}^{γ} （f） (t吨) = {(负极 1)}_{t吨} {D类}_{b条}^{γ 负极 1} {（f）}^{'} (t吨) = 负极 \frac{1}{Γ (1 负极 γ)} ({¦Β}_{t吨}^{b条} {(秒 负极 t吨)}^{负极 γ} {（f）}^{'} (秒) d日 秒), t吨 \in [一, b条] .

（ii）
如果 $γ = n个负极 1$ 和 $（f） \in A类 {C类}^{n个负极 1} ([一, b条], {R（右）}^{N个})$ ，然后 ${}_{一}^{c（c）}{D类}_{t吨}^{n个负极 1} （f） (t吨)$ 和 ${}_{t吨}^{c（c）}{D类}_{b条}^{n个负极 1} （f） (t吨)$ 由表示
${}_{一}^{c（c）}{D类}_{t吨}^{(n个负极 1)} （f） (t吨) = {（f）}^{(n个负极 1)} (t吨) 和_{t吨}^{c（c）} {D类}_{b条}^{n个负极 1} （f） (t吨) = {(负极 1)}^{(n个负极 1)} {（f）}^{(n个负极 1)} (t吨), t吨 \in [一, b条] .$

特别地， ${}_{一}^{c（c）}{D类}_{t吨}^{0} （f） (t吨) =_{t吨}^{c（c）} {D类}_{b条}^{0} （f） (t吨) = （f） (t吨)$ , $t吨 \in [一, b条]$ .

属性2.1([36])

左右Riemann-Liouville分数次积分算子具有半群的性质，即,

{}_{一}{D类}_{t吨}^{负极 γ_{1}} (_{一} {D类}_{t吨}^{负极 γ_{2}} （f） (t吨)) =_{一} {D类}_{t吨}^{负极 γ_{1} 负极 γ_{2}} （f） (t吨) 和_{t吨} {D类}_{b条}^{负极 γ_{1}} (_{t吨} {D类}_{b条}^{负极 γ_{2}} （f） (t吨)) =_{t吨} {D类}_{b条}^{负极 γ_{1} 负极 γ_{2}} （f） (t吨), \forall γ_{1}, γ_{2} > 0

在任何时候 $t吨 \in [一, b条]$ 对于连续函数（f）几乎每一点 $[一, b条]$ 如果函数 $（f） \in {L（左）}^{1} ([一, b条], {R（右）}^{N个})$ .

定义2.4([36])

定义 $0 < α \leq 1$ 和 $1 < 第页 < \infty$ .分数导数空间 ${E类}_{0}^{α, 第页}$ 由的闭包定义 ${C类}_{0}^{\infty} ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ 关于规范

{∥ u个 ∥}_{α, 第页} = {({¦Β}_{0}^{T型} {| u个 (t吨) |}^{第页} d日 t吨 + {¦Β}_{0}^{T型} |_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨) |^{第页} d日 t吨)}^{1 / 第页} \forall u个 \in {E类}_{0}^{α, 第页},

哪里 ${C类}_{0}^{\infty} ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ 表示所有函数的集合 $u个 \in {C类}^{\infty} ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ 具有 $u个 (0) = u个 (T型) = 0$ 显然，分数导数空间 ${E类}_{0}^{α, 第页}$ 是功能空间 $u个 \in {L（左）}^{第页} (0, T型； {R（右）}^{N个})$ 有一个α-阶Caputo分数导数 ${}_{0}^{c（c）}{D类}_{t吨}^{α} u个 \in {L（左）}^{第页} (0, T型； {R（右）}^{N个})$ 和 $u个 (0) = u个 (T型) = 0$ .

提议2.1([36])

让 $0 < α \leq 1$ 和 $1 < 第页 < \infty$ .分数导数空间 ${E类}_{0}^{α, 第页}$ 是自反可分的Banach空间.

提议2.2([36])

让 $0 < α \leq 1$ 和 $1 < 第页 < \infty$ .对于所有人 $u个 \in {E类}_{0}^{α, 第页}$ ,我们有

{∥ u个 ∥}_{{L（左）}^{第页}} \leq \frac{{T型}^{α}}{Γ (α + 1)} ∥_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 ∥_{{L（左）}^{第页}} .

(2.1)

此外,如果 $α > 1 / 第页$ 和 $1 / 第页 + 1 / q个 = 1$ ,然后

{∥ u个 ∥}_{\infty} \leq \frac{{T型}^{α 负极 1 / 第页}}{Γ (α) {((α 负极 1) q个 + 1)}^{1 / q个}} ∥_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 ∥_{{L（左）}^{第页}} .

(2.2)

根据（2.1），我们可以考虑 ${E类}_{0}^{α, 第页}$ 关于规范

{∥ u个 ∥}_{α, 第页} = ∥_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 ∥_{{L（左）}^{第页}} = {({¦Β}_{0}^{T型} |_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨) |^{第页} d日 t吨)}^{1 / 第页} .

(2.3)

提议2.3([36])

定义 $0 < α \leq 1$ 和 $1 < 第页 < \infty$ .假设 $α > 1 / 第页$ 和顺序 ${{u个}_{k个}}$ 弱收敛到 u个 在里面 ${E类}_{0}^{α, 第页}$ ,我.e（电子）., ${u个}_{k个} ⇀ u个$ .然后 ${u个}_{k个} ⇀ u个$ 在里面 $C类 ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ ,我.e（电子）., ${∥ u个负极 {u个}_{k个} ∥}_{\infty} \to 0$ ,作为 $k个 \to \infty$ .

本文在Hilbert空间中处理BVP（1.1） ${E类}^{α} : = {E类}_{0}^{α, 2}$ 使用（2.3）中定义的等效规范。

提案2.4([36])

如果 $1 / 2 < α \leq 1$ ,那么对于任何 $u个 \in {E类}^{α}$ ,我们有

| 余弦 (π α) | {∥ u个 ∥}_{α}^{2} \leq 负极 {¦Β}_{0}^{T型} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) d日 t吨 \leq \frac{1}{| 余弦 (π α) |} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} .

为了建立系统（1.1）的变分结构，需要构造一些适当的函数空间。笛卡尔积空间 ${L（左）}_{2}^{第页}$ 由定义

{L（左）}_{2}^{第页} ([0, T型], {R（右）}^{N个}) = {L（左）}^{第页} ([0, T型], {R（右）}^{N个}) \times {L（左）}^{第页} ([0, T型], {R（右）}^{N个})

也是关于范数的自反可分Banach空间

{∥ v（v） ∥}_{{L（左）}_{2}^{第页}} : = {(\sum_{我 = 1}^{2} {∥ {v（v）}_{我} ∥}_{{L（左）}^{第页}}^{第页})}^{1 / 第页},

(2.4)

哪里 $v（v） = ({v（v）}_{1}, {v（v）}_{2}) \in {L（左）}_{2}^{第页} ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ .

空间 ${E类}_{第页 \times 第页} : = {(u个,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个) : \forall u个 \in {E类}_{0}^{α, 第页}}$ 是的闭子集 ${L（左）}_{2}^{第页} ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ 根据规范（2.4）作为 ${E类}_{0}^{α, 第页}$ 由定义2.4关闭。

本文使用（2.3）中定义的范数，它是 ${E类}_{第页 \times 第页}$ 符合规范（2.4）。

定义2.5让 ${L（左）}^{\infty} ([0, T型], {R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个})$ 表示本质上有界的可测量函数的空间 $[0, T型]$ 进入之内 ${R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个}$ 低于标准

{∥ (u个, v（v）) ∥}_{{L（左）}^{\infty}} : = ess sup公司 {| u个 (t吨) | + | v（v） (t吨) | : t吨 \in [0, T型]} .

（2.5）

很明显 ${L（左）}^{\infty} ([0, T型], {R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个})$ 是范数（2.5）下的Banach空间。

备注2.5我们使用 ${E类}_{\infty}$ 和 ${∥ (u个, v（v）) ∥}_{{E类}_{\infty}}$ 表示 ${L（左）}^{\infty} ([0, T型], {R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个})$ 和 ${∥ (u个, v（v）) ∥}_{{L（左）}^{\infty}}$ 分别是。

定义2.6([13])

让（f）在给定点附近是Lipschitzx个在巴拿赫空间X（X）、和v（v）是中的任何其他矢量X（X）.的广义方向导数（f）在x个在这个方向v（v），表示为 ${（f）}^{0} (x个； v（v）)$ ，定义如下：

{（f）}^{0} (x个 ； v（v）) = \underset{年 \to x个, λ ↓ 0}{酸橙酱} \frac{（f） (年 + λ υ) 负极 （f） (年)}{λ},

哪里年也是中的向量X（X）和λ是正标量，我们表示为

\partial （f） (x个) : = {{x个}^{*} \in {X（X）}^{*} : {（f）}^{0} (x个 ； v（v）) \geq 〈 {x个}^{*}, v（v） 〉, 为所有人 v（v） 英寸 X（X）}

广义梯度（f）在x个（克拉克次微分）。

引理2.1([20])

让 x个和年 是Banach空间中的点 X（X）,假设是这样 （f） Lipschitz在包含线段的开集上吗 $[x个, 年]$ .那么就存在一个点 u个 在里面 $(x个, 年)$ 这样的话

（f） (年) 负极 （f） (x个) \in 〈 \partial （f） (u个), 年 负极 x个 〉 .

定义2.7([32])

A分 $u个 \in X（X）$ 据说是当地Lipschitz的一个临界点（f）如果 $θ \in ⏴======================================================================================================= （f） (u个)$ ，即 ${（f）}^{0} (u个； v（v）) \geq 0$ 对于每个 $v（v） \in X（X）$ .实数c（c）称为临界值（f）如果有一个临界点 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $（f） (u个) = c（c）$ .

定义2.8([32])

如果（f）是局部Lipschitz函数，我们说（f）如果每个序列都满足非光滑（P.S.）条件 $({x个}_{n个})$ 在里面X（X）这样的话 $（f） ({x个}_{n个})$ 有界且 $林_{n个 \to \infty} λ ({x个}_{n个}) = 0$ 具有收敛子序列，其中 $λ (x个) : = {最小值}_{{x个}^{*} \in \partial （f） (x个)} ∥ {x个}^{*} ∥$ .

克拉克在年考虑了以下抽象框架[20]:

让 $(S公司, T型, μ)$ 成为σ-有限正测度空间，且设Y（Y）是可分的Banach空间；
让Z轴是的闭子空间 ${L（左）}^{\infty} (S公司, Y（Y）)$ ，其中 ${L（左）}^{\infty} (S公司, Y（Y）)$ 表示测度空间本质上有界函数映射S公司到Y（Y）具有通常的最高规范；
定义函数（f）在Z轴通过
$（f） (x个) = {¦Β}_{S公司} {（f）}_{t吨} (x个 (t吨)) μ (d日 t吨),$

哪里Z轴是的闭子空间 ${L（左）}^{\infty} (S公司, Y（Y）)$ 和 ${（f）}_{t吨} : Y（Y） \to R（右） (t吨 \in S公司)$ 是给定的函数族；

假设映射 $t吨 \to {（f）}_{t吨} (v（v）)$ 每个都是可测量的v（v）在里面Y（Y），还有那个x个是一个点 $（f） (x个)$ 定义（有限）；
假设存在 $ε > 0$ 和一个函数 $k个 (t吨)$ 在里面 ${L（左）}^{1} (S公司, R（右）)$ 这样的话
$| {（f）}_{t吨} ({v（v）}_{1}) 负极 {（f）}_{t吨} ({v（v）}_{2}) | \leq k个 (t吨) {∥ {v（v）}_{1} 负极 {v（v）}_{2} ∥}_{Y（Y）}$
(2.6)

为所有人 $t吨 \in S公司$ 以及所有 ${v（v）}_{1}$ 和 ${v（v）}_{2}$ 在里面 $x个 (t吨) + ε {B类}_{Y（Y）}$ .

在上述条件下，（f）Lipschitz就在附近x个其中一个有

\partial （f） (x个) \subset {¦Β}_{S公司} \partial {（f）}_{t吨} (x个 (t吨)) μ (d日 t吨) .

（2.7）

此外，如果 ${（f）}_{t吨}$ 在 $x个 (t吨)$ 对于每个t吨，然后（f）定期在x个这一点是平等的。

备注2.6（2.7）的解释如下： $ζ \in \partial （f） (x个)$ ，有相应的映射 $t吨 \to ζ_{t吨}$ 从S公司到 ${Y（Y）}^{*}$ 具有

ζ_{t吨} \in ⏴ {（f）}_{t吨} (x个 (t吨)) 对于a.e t吨 \in 相对于测量值 μ,

拥有每一个v（v）在里面Z轴，有一个

〈 ζ, v（v） 〉 = {¦Β}_{S公司} 〈 ζ_{t吨}, v（v） (t吨) 〉 μ (d日 t吨) .

因此，每ζ在（2.7）的左侧是 ${Z轴}^{*}$ 可以写的

ζ (\cdot) = {¦Β}_{S公司} 〈 ζ_{t吨}, \cdot 〉 μ (d日 t吨),

哪里 $t吨 \to ζ_{t吨}$ 是一个可测量的选择 $\partial {（f）}_{t吨} (x个 (t吨))$ .

引理2.2 让如果 满足条件(A类)和 $L（左） : [0, T型] \times {R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个} \to R（右）$ 由……提供 $L（左） (t吨, x个, 年) = 负极如果 (t吨, x个)$ ,然后定义一个函数 （f） 在 ${E类}_{2 \times 2}$ 通过

（f） (u个,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个) = {¦Β}_{0}^{T型} L（左） (t吨, u个 (t吨),_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨)) d日 t吨 = {¦Β}_{0}^{T型} 负极 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 .

然后 （f） Lipschitz开了吗 ${E类}_{2 \times 2}$ ,其中一个有

\partial （f） (u个,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个) \subset {¦Β}_{0}^{T型} {\partial (负极 如果 (t吨, u个 (t吨)))} \times {0} d日 t吨 .

(2.8)

证明取任意元素 $({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0})$ 在里面 ${E类}_{2 \times 2}$ ，那么就足以证明（f）Lipschitz开了吗 $({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0})$ .

什么时候？ ${∥ ({u个}_{我},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{我}) 负极 ({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0}) ∥}_{{E类}_{2 \times 2}} \leq ε$ ( $我 = 1, 2$ )，我们得出结论

{∥ {u个}_{我} 负极 {u个}_{0} ∥}_{\infty} \leq {C类}_{1} ε

(2.9)

根据命题2.2，其中 ${C类}_{1} : = \frac{{T型}^{α 负极 1 / 2}}{Γ (α) {(2 α 负极 1)}^{1 / 2}}$ .鉴于引理2.1和 $(A类)$ ，有一个

| 负极 如果 (t吨, {u个}_{1} (t吨)) + 如果 (t吨, {u个}_{2} (t吨)) | \leq {k个}^{'} (t吨) | {u个}_{1} (t吨) 负极 {u个}_{2} (t吨) |

(2.10)

对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ ，其中 ${k个}^{'} (t吨) \in {L（左）}^{1} (0, T型； {R（右）}^{+})$ .

根据（2.9）和（2.10），我们已经

\begin{array}{rcl} | （f） ({u个}_{1},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{1}) 负极 （f） ({u个}_{2},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{2}) | & = & | {¦Β}_{0}^{T型} 负极 如果 (t吨, {u个}_{1} (t吨)) + 如果 (t吨, {u个}_{2} (t吨)) d日 t吨 | \\ \leq & ({¦Β}_{0}^{T型} {k个}^{'} (t吨) d日 t吨) {∥ {u个}_{1} 负极 {u个}_{2} ∥}_{\infty} \\ \leq & {C类}_{1} {¦Β}_{0}^{T型} {k个}^{'} (t吨) d日 t吨 {∥ ({u个}_{1},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{1}) 负极 ({u个}_{2},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{2}) ∥}_{{E类}_{2 \times 2}}, \end{array}

所以（f）Lipschitz也在 $({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0})$ .

对于任何ζ在里面 $\partial （f） ({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0})$ ，有一个

{¦Β}_{0}^{T型} {(负极 如果)}^{0} (t吨, {u个}_{0} (t吨) ； v（v） (t吨)) d日 t吨 \geq {（f）}^{0} (({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0}) ； (v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）)) \geq 〈 ζ, (v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）) 〉

(2.11)

对于任何 $(v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）)$ 在里面 ${E类}_{2 \times 2}$ 通过Fatou引理，很明显

{L（左）}^{0} (t吨, {u个}_{0} (t吨),_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0} (t吨) ； {v（v）}_{1}, {v（v）}_{2}) = {(负极 如果)}^{0} (t吨, {u个}_{0} (t吨) ； {v（v）}_{1})

(2.12)

对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ 以及所有 $({v（v）}_{1}, {v（v）}_{2})$ 在里面 ${R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个}$ 。然后我们得出结论

(2.13)

对于任何 $(v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）)$ 在里面 ${E类}_{2 \times 2}$ 并且（2.13）如果我们限制 $(v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）)$ 到 ${E类}_{2 \times 2} \cap {E类}_{\infty}$ ，它是的闭子空间 ${E类}_{\infty}$ 定义2.4。有界线性泛函ζ在 ${E类}_{2 \times 2}$ 限制为 ${E类}_{2 \times 2} \cap {E类}_{\infty}$ 也是一个有界线性泛函，我们使用 $ζ^{'}$ 表示限制在 ${E类}_{2 \times 2} \cap {E类}_{\infty}$ .

我们这样解释（2.13） $ζ^{'}$ 属于的次梯度 $(0, 0)$ 凸泛函的

\overset{图6}{（f）} (v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）) : = {¦Β}_{0}^{T型} {\overset{图6}{（f）}}_{t吨} (v（v） (t吨),_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v） (t吨)) d日 t吨,

(2.14)

定义见 ${E类}_{2 \times 2} \cap {E类}_{\infty}$ ，其中 ${\overset{图6}{（f）}}_{t吨} ({v（v）}_{1}, {v（v）}_{2}) : = {L（左）}_{2}^{0} (t吨, {u个}_{0} (t吨),_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0} (t吨) ； {v（v）}_{1}, {v（v）}_{2})$ 为所有人 $({v（v）}_{1}, {v（v）}_{2})$ 在里面 ${R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个}$ .鉴于条件（A）和（2.12），我们有

(2.15)

对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ 以及所有 $({v（v）}_{1}, {v（v）}_{2})$ , $({v（v）}_{三}, {v（v）}_{4})$ 在里面 ${R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个}$ .

现在我们可以将克拉克的抽象框架应用于 $\overset{图6}{（f）}$ 具有以下字符类型：

$(T型, T型, μ) : = [0, T型]$ 用勒贝格方法，让 $Y（Y） : = {R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个}$ ，它是一个带范数的可分Banach空间 $| \cdot | + | \cdot |$ ；
让 $Z轴 : = {E类}_{2 \times 2} \cap {E类}_{\infty}$ ，它是的闭子空间 ${E类}_{\infty}$ 、和 ${E类}_{\infty}$ 表示测度空间本质上有界函数映射T型到Y（Y）根据定义2.5，具有通常的上确界规范；
定义函数 $\overset{图6}{（f）}$ 在Z轴依据（2.14）；
映射 $t吨 \to {L（左）}^{0} (t吨, {u个}_{0} (t吨),_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0} (t吨) ； {v（v）}_{1}, {v（v）}_{2})$ 每个都是可测量的 $({v（v）}_{1}, {v（v）}_{2})$ 在里面 ${R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个}$ （请参见[20])，还有那个 $(0, 0)$ 是一个点 $\overset{图6}{（f）}$ 定义（有限）；
克拉克抽象框架中的条件（2.6）满足于（2.15）。

通过（2.12），我们得到

\partial {\overset{图6}{（f）}}_{t吨} (0, 0) = \partial L（左） (t吨, {u个}_{0} (t吨),_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0} (t吨)) \subset ⏴======================================================================= (负极 如果 (t吨, {u个}_{0} (t吨))) \times {0},

因此，每个 $ζ^{'} \in \partial \overset{图6}{（f）} (0, 0)$ 可以写为

\begin{array}{rcl} 〈 ζ^{'}, (v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）) 〉 & = & {¦Β}_{0}^{T型} (q个 (t吨), v（v） (t吨)) + (0,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v） (t吨)) d日 t吨 \\ = & {¦Β}_{0}^{T型} (q个 (t吨), v（v） (t吨)) d日 t吨 \end{array}

(2.16)

对于任何 $(v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）)$ 到 ${E类}_{2 \times 2} \cap {E类}_{\infty}$ ，其中 $q个 (t吨) \in \partial (负极如果 (t吨, {u个}_{0} (t吨)))$ 对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ .

什么时候？ $v（v） \in {C类}_{0}^{\infty} ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ ，很明显 $(v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）) \in {E类}_{2 \times 2} \cap {E类}_{\infty}$ 和 $(v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）)$ 在 ${E类}_{2 \times 2}$ 根据定义2.4。因此，对于每个 $(v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）) \in {E类}_{2 \times 2}$ ，我们可以选择 $({v（v）}_{n个},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {v（v）}_{n个}) \in {E类}_{2 \times 2} \cap {E类}_{\infty}$ 这样的话

{∥ ({v（v）}_{n个},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {v（v）}_{n个}) 负极 (v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）) ∥}_{{E类}_{2 \times 2}} \to 0 和 〈 ζ, ({v（v）}_{n个},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {v（v）}_{n个}) 〉 \to 〈 ζ, (v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）) 〉 .

(2.17)

结合（2.16）和（2.17），我们得到

〈 ζ, (v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）) 〉 = {¦Β}_{0}^{T型} (q个 (t吨), v（v） (t吨)) d日 t吨

为所有人 $(v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）) \in {E类}_{2 \times 2}$ .然后我们得出结论

\partial （f） ({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0}) \subset {¦Β}_{0}^{T型} {\partial (负极 如果 (t吨, {u个}_{0} (t吨)))} \times {0} d日 t吨,

这就完成了证明。□

备注2.7表达式（2.8）的解释如下：如果 $({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0})$ 是中的元素 ${E类}_{2 \times 2}$ 和 $ζ \in \partial （f） ({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0})$ ，我们推导出一个可测函数的存在性 $(第页 (t吨), 秒 (t吨))$ 这样的话

第页 (t吨) \in \partial (负极 如果 (t吨, {u个}_{0} (t吨))) 和 秒 (t吨) = 0

(2.18)

对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ 其中一个有

〈 ζ, (v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）) 〉 = {¦Β}_{0}^{T型} 〈 第页 (t吨), v（v） (t吨) 〉 + 〈 0,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v） (t吨) 〉 d日 t吨

以及任何 $(v（v）,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v）)$ 在里面 ${E类}_{2 \times 2}$ .

定义函数ϕ在 ${E类}^{α}$ 通过

ϕ (u个) = 负极 {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨,

(2.19)

如果 $η \in \partial （f） ({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0})$ 在 ${E类}_{2 \times 2}$ ，然后我们可以定义 $η^{'}$ 在 ${E类}^{α}$ 通过

η^{'} (u个) : = η (u个,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个),

为所有人 $u个 \in {E类}^{α}$ ，很容易验证 $η^{'} \in \partial ϕ ({u个}_{0})$ .

类似地，如果 $ξ \in \partial ϕ ({u个}_{0})$ 在 ${E类}^{α}$ ，然后我们可以定义 $ξ^{'}$ 在 ${E类}_{2 \times 2}$ 通过

ξ^{'} (u个,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个) : = ξ (u个),

为所有人 $(u个,_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个) \in {E类}_{2 \times 2}$ ，并且很容易验证 $ξ^{'} \in ⏴======================================================================= （f） ({u个}_{0},_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{0})$ .

引理2.3 相应的功能 $φ_{1}$ 和 $φ_{2}$ 在 ${E类}^{α}$ 由提供

φ_{1} (u个) = 负极 \frac{1}{2} {¦Β}_{0}^{T型} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) d日 t吨,

和

φ_{2} (u个) = {¦Β}_{0}^{T型} 负极 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨,

哪里如果 满足条件(A类)和 $1 / 2 < α \leq 1$ ,然后由定义的函数

\begin{array}{rcl} φ (u个) & = & φ_{1} (u个) + φ_{2} (u个) \\ = & {¦Β}_{0}^{T型} [负极 \frac{1}{2} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) 负极 如果 (t吨, u个 (t吨))] d日 t吨, \end{array}

（2.20）

Lipschitz开了吗 ${E类}^{α}$ ,和 $\forall u个, v（v） \in {E类}^{α}$ ,我们有

〈 ς, v（v） 〉 = 负极 {¦Β}_{0}^{T型} \frac{1}{2} [(_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} v（v） (t吨)) + (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨),_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v） (t吨))] d日 t吨 + {¦Β}_{0}^{T型} (q个 (t吨), v（v） (t吨)) d日 t吨,

(2.21)

哪里 $ς \in \partial φ (u个)$ 和 $q个 (t吨) \in ⏴=============================================================== (负极如果 (t吨, u个 (t吨)))$ .

证明通过直接计算，很明显

〈 φ_{1}^{'} (u个), v（v） 〉 = 负极 {¦Β}_{0}^{T型} \frac{1}{2} [(_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} v（v） (t吨)) + (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨),_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v） (t吨))] d日 t吨 .

(2.22)

根据引理2.2和备注2.7，如果 $τ \in \partial φ_{2} (u个)$ ，那么我们有

〈 τ, v（v） 〉 = {¦Β}_{0}^{T型} (q个 (t吨), v（v） (t吨)) d日 t吨,

（2.23）

哪里 $q个 (t吨) \in \partial (负极如果 (t吨, u个 (t吨)))$ .

自 $\partial φ (u个) \subset \partial φ_{1} (u个) + \partial φ_{2} (u个)$ ，（2.21）由（2.22）和（2.23）持有，这就完成了证明。□

利用属性2.1和定义2.3 $u个 \in A类 C类 ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ ，BVP（1.1）相当于以下问题：

{\begin{matrix} 负极 \frac{d日}{d日 t吨} ({\frac{1}{2}}_{0} {D类}_{t吨}^{α 负极 1} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨)) + {\frac{1}{2}}_{t吨} {D类}_{T型}^{α 负极 1} (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨))) \in \partial 如果 (t吨, u个 (t吨)), 即 t吨 \in [0, T型], \\ u个 (0) = u个 (T型) = 0, \end{matrix}

(2.24)

哪里 $α = 1 负极 β / 2 \in (1 / 2, 1]$ 因此，我们寻求解决方案u个BVP（2.24），对应于解决方案u个BVP（1.1），前提是 $u个 \in A类 C类 ([一, b条], {R（右）}^{N个})$ .

让我们表示 ${D类}^{α} (u个 (t吨))$ 通过

{D类}^{α} (u个 (t吨)) = {\frac{1}{2}}_{0} {D类}_{t吨}^{α 负极 1} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨)) + {\frac{1}{2}}_{t吨} {D类}_{T型}^{α 负极 1} (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)),

(2.25)

然后我们可以给出BVP（2.24）解的定义。

定义2.9A函数 $u个 \in A类 C类 ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ 称为BVP（2.24）的解，如果

（i）
${D类}^{α} (u个 (t吨))$ 几乎每个都是可微的 $t吨 \in [0, T型]$ .
（ii）
u个满足（2.24）。

引理2.4 让 $1 / 2 < α \leq 1$ ,和 φ 由定义(2.20).如果假设(A类)感到满意并且 $u个 \in {E类}^{α}$ 是相应欧拉方程的解 $0 \in ⏴ φ (u个)$ ,然后 u个 是BVP的解决方案(2.24)哪一个,当然,对应于BVP的解(1.1).

证明根据引理2.3，我们有

\begin{array}{rcl} 0 & = & 负极 {¦Β}_{0}^{T型} \frac{1}{2} [(_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} v（v） (t吨)) + (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨),_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} v（v） (t吨))] d日 t吨 \\ 负极 {¦Β}_{0}^{T型} (q个 (t吨), v（v） (t吨)) d日 t吨 \\ = & {¦Β}_{0}^{T型} \frac{1}{2} (_{0} {D类}_{t吨}^{α 负极 1} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨)), {v（v）}^{'} (t吨)) 负极 \frac{1}{2} (_{t吨} {D类}_{T型}^{α 负极 1} (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)), {v（v）}^{'} (t吨)) d日 t吨 \\ 负极 {¦Β}_{0}^{T型} (q个 (t吨), v（v） (t吨)) d日 t吨, \end{array}

(2.26)

所有人都在哪里 $v（v） \in {E类}^{α}$ 和 $q个 (t吨) \in \partial 如果 (t吨, u个 (t吨))$ .

让我们定义 $ω \in C类 ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ 通过

w个 (t吨) = {¦Β}_{0}^{t吨} q个 (秒) d日 秒, t吨 \in [0, T型],

以便

{¦Β}_{0}^{T型} (w个 (t吨), {v（v）}^{'} (t吨)) d日 t吨 = {¦Β}_{0}^{T型} [{¦Β}_{0}^{t吨} (q个 (t吨), {v（v）}^{'} (t吨)) d日 秒] d日 t吨 .

根据Fubini定理并注意 $v（v） (T型) = 0$ ，我们获得

\begin{array}{rcl} {¦Β}_{0}^{T型} (w个 (t吨), {v（v）}^{'} (t吨)) d日 t吨 & = & {¦Β}_{0}^{T型} [{¦Β}_{秒}^{T型} (q个 (t吨), {v（v）}^{'} (t吨)) d日 t吨] d日 秒 \\ = & {¦Β}_{0}^{T型} (q个 (秒), v（v） (T型) 负极 v（v） (秒)) d日 秒 \\ = & 负极 {¦Β}_{0}^{T型} (q个 (秒), v（v） (T型) 负极 v（v） (秒)) d日 秒 . \end{array}

因此，到（2.26）时，我们每 $v（v） \in {E类}^{α}$ ,

{¦Β}_{0}^{T型} ({\frac{1}{2}}_{0} {D类}_{t吨}^{α 负极 1} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨)) 负极 {\frac{1}{2}}_{t吨} {D类}_{T型}^{α 负极 1} (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) + ω (t吨), {v（v）}^{'} (t吨)) d日 t吨 = 0 .

(2.27)

如果 $({e（电子）}_{j个})$ 表示的规范基础 ${R（右）}^{N个}$ ，我们可以选择 $v（v） \in {E类}^{α}$ 这样的话

v（v） (t吨) = 罪 \frac{2 k个 π}{T型} {e（电子）}_{j个} 或 v（v） (t吨) = {e（电子）}_{j个} 负极 余弦 \frac{2 k个 π}{T型} {e（电子）}_{j个}, k个 = 1, \dots 和 j个 = 1, \dots, N个 .

傅里叶级数理论和（2.27）表明

{\frac{1}{2}}_{0} {D类}_{t吨}^{α 负极 1} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨)) 负极 {\frac{1}{2}}_{t吨} {D类}_{T型}^{α 负极 1} (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) + ω (t吨) = C类

a.e.开启 $[0, T型]$ 对一些人来说 $C类 \in {R（右）}^{N个}$ .根据 $ω \in C类 ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ ，我们有

{\frac{1}{2}}_{0} {D类}_{t吨}^{α 负极 1} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨)) 负极 {\frac{1}{2}}_{t吨} {D类}_{T型}^{α 负极 1} (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) = 负极 {¦Β}_{0}^{t吨} q个 (秒) d日 秒 + C类

(2.28)

a.e.开启 $[0, T型]$ 对一些人来说 $C类 \in {R（右）}^{N个}$ .

鉴于 $q个 (t吨) \in {L（左）}^{1} ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ ，我们将确定等价类 ${D类}^{α} (u个 (t吨))$ 由其连续代表给出

{D类}^{α} (u个 (t吨)) = {\frac{1}{2}}_{0} {D类}_{t吨}^{α 负极 1} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨)) 负极 {\frac{1}{2}}_{t吨} {D类}_{T型}^{α 负极 1} (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) = 负极 {¦Β}_{0}^{t吨} q个 (秒) d日 秒 + C类

(2.29)

对于 $t吨 \in [0, T型]$ .

因此，根据（2.28）和勒贝格理论的经典结果 $q个 (t吨)$ 是的经典导数 ${D类}^{α} (u个 (t吨))$ a.e.开启 $[0, T型]$ 这意味着定义2.9中的（i）得到验证。

自 $u个 \in {E类}^{α}$ 意味着 $u个 \in A类 C类 ([0, T型], {R（右）}^{N个})$ ，仍需证明u个满足（2.24）。事实上，根据（2.29），我们可以得到

\frac{d日}{d日 t吨} {D类}^{α} (u个 (t吨)) = \frac{d日}{d日 t吨} ({\frac{1}{2}}_{0} {D类}_{t吨}^{α 负极 1} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨)) 负极 {\frac{1}{2}}_{t吨} {D类}_{T型}^{α 负极 1} (_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨))) = 负极 q个 (t吨) .

此外， $u个 \in {E类}^{α}$ 意味着 $u个 (0) = u个 (T型) = 0$ . □

引理2.5([32])

让 X（X） 是一个真正的自反Banach空间.如果功能 ψ: $H（H） \to R（右）$ 是弱下半-持续性和强制性,我.e（电子）., $林_{∥ z（z） ∥ \to \infty} ψ (z（z）) = + \infty$ ,那么就有了 ${z（z）}_{0} \in H（H）$ 这样的话 $ψ ({z（z）}_{0}) = {inf公司}_{z（z） \in H（H）} ψ (z（z）)$ .此外,然后 $θ \in ⏴================================================================ ψ ({z（z）}_{0})$ .

引理2.6([32])

让 X（X） 是一个真正的自反Banach空间,和 $ψ : X（X） \to R（右）$ 是局部Lipschitz函数.如果存在 ${x个}_{1} \in X（X）$ 和 $第页 > 0$ 这样的话 ${∥ {x个}_{1} ∥}_{X（X）} > 第页$ ,

最大值 {ψ (0), ψ ({x个}_{1})} \leq \underset{{∥ x个 ∥}_{X（X）} = 第页}{inf公司} ψ (x个)

(2.30)

和 ψ 满足非光滑(对.S公司）条件与

c（c） : = \underset{γ \in Γ}{inf公司} \underset{t吨 \in [0, 1]}{啜饮} ψ (γ (t吨)),

哪里

Γ : = {γ \in C类 ([0, 1] ； X（X）) : γ (0) = 0, γ (1) = {x个}_{1}} .

然后 $c（c） \geq {inf公司}_{{∥ x个 ∥}_{X（X）} = 第页} ψ (x个)$ 和 c（c） 是的临界值 ψ.

定义2.10([37])

假设紧群G公司对角作用 ${V（V）}^{k个}$ 也就是说，

克 ({v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{k个}) : = (克 {v（v）}_{1}, \dots, 克 {v（v）}_{k个}),

哪里V（V）是一个有限维空间。的操作G公司如果每个连续等变映射都是可容许的 $\partial U型 \to {V（V）}^{k个负极 1}$ 有一个零，其中U型是中0的开有界不变邻域 ${V（V）}^{k个}$ , $k个 \geq 2$ .

示例2.1反足作用 $G公司 : = {Z轴}_{2}$ 在 $V（V） : = R（右）$ 是可以接受的。

我们考虑以下情况：

（A1）紧群G公司在巴拿赫空间上等距地作用 $\bar{⨁_{j个 \in N个} {X（X）}_{j个}}$ ，空间 ${X（X）}_{j个}$ 是不变的，并且存在有限维空间V（V）这样，对于每个 $j个 \in N个$ , ${X（X）}_{j个} ≃ V（V）$ 以及G公司在V（V）是可以接受的。

引理2.7([27])

假设 $φ : X（X） \to R（右）$ 是不变的局部Lipschitz泛函.如果,对于每个 $k个 \in N个$ ,存在 $ρ_{k个} > {第页}_{k个} > 0$ 这样的话

（A2） $一_{k个} : = {最大值}_{u个 \in {Y（Y）}_{k个}, ∥ u个 ∥ = ρ_{k个}} φ (u个) \leq 0$ ,哪里 ${Y（Y）}_{k个} : = ⨁_{j个 = 0}^{k个} {X（X）}_{j个}$ ；

（A3） ${b条}_{k个} : = {inf公司}_{u个 \in {Z轴}_{k个}, ∥ u个 ∥ = {第页}_{k个}} φ (u个) \to \infty$ ,作为 $k个 \to \infty$ ,哪里 ${Z轴}_{k个} : = \bar{⨁_{j个 = k个}^{\infty} {X（X）}_{j个}}$ ；

（A4）φ 满足非光滑性(对.S公司）_c（c） 每个的条件 $c（c） > 0$ .

然后 φ 具有无界的临界值序列.

备注2.8引理2.7的证明需要条件（A1），详见[27]以及其中的参考文献。

3定理的主要结果和证明

定理3.1 让 $α \in (1 / 2, 1]$ 和如果 满足条件(A类),假设以下条件成立:

（B1）存在 $β > 2$ 和 ${第页}_{1} > 0$ 这样的话

{如果}^{0} (t吨, x个 ； 负极 x个) \leq 负极 β 如果 (t吨, x个)

对于.e（电子）. $t吨 \in [0, T型]$ 以及所有 $| x个 | \geq {第页}_{1}$ 在里面 ${R（右）}^{N个}$ ；

（B2） ${¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, 0) d日 t吨 = 0$ 和

\underset{| x个 | \to 0}{酸橙酱} \frac{如果 (t吨, x个)}{{| x个 |}^{2}} \leq \frac{Γ^{2} (α + 1)}{2 {T型}^{2 α}}

对于.e（电子）. $t吨 \in [0, T型]$ ；

（B3）存在 $μ > 2$ 和 $问 > 0$ 这样的话

\underset{| x个 | \to \infty}{lim信息} \frac{如果 (t吨, x个)}{{| x个 |}^{μ}} \geq 问

对于.e（电子）. $t吨 \in [0, T型]$ .

然后是系统(1.1)上至少有一个解决方案 ${E类}^{α}$ .

证明让 ${{u个}_{n个}} \subset {E类}^{α}$ 这样的话 $φ ({u个}_{n个})$ 有界且 $λ ({u个}_{n个}) \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ 首先，我们证明 ${{u个}_{n个}}$ 是一个有界序列。采取 ${u个}_{n个}^{*} \in \partial φ ({u个}_{n个})$ 这样的话 $λ ({u个}_{n个}) = ∥ {u个}_{n个}^{*} ∥$ ，那么就存在 ${q个}_{n个} (t吨) \in \partial (负极如果 (t吨, {u个}_{n个} (t吨)))$ 这样的话

〈 {u个}_{n个}^{*}, {u个}_{n个} 〉 = 负极 {¦Β}_{0}^{T型} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{n个} (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} {u个}_{n个} (t吨)) d日 t吨 + {¦Β}_{0}^{T型} ({q个}_{n个} (t吨), {u个}_{n个} (t吨)) d日 t吨

(3.1)

为所有人 $v（v） \in {E类}^{α}$ 根据（3.1）

(3.2)

哪里 $Ω_{1} : = {t吨 \in [0, T型] ； | {u个}_{n个} (t吨) | \leq {第页}_{1}}$ 和 $Ω_{2} : = [0, T型] ∖ Ω_{1}$ .

根据（A）和非光滑（P.S.）条件，我们得到

β φ ({u个}_{n个}) + {¦Β}_{Ω_{1}} [β 如果 (t吨, {u个}_{n个} (t吨)) + ({q个}_{n个} (t吨), {u个}_{n个} (t吨))] d日 t吨

是有界的，结合（3.2）意味着 ${{u个}_{n个}}$ 以为界 ${E类}^{α}$ 自从 $β > 2$ .

根据命题2.3 ${{u个}_{n个}}$ 有一个子序列，也表示为 ${{u个}_{n个}}$ ，因此

{u个}_{n个} ⇀ u个 中的弱 {E类}^{α} 和 {u个}_{n个} \to u个 强烈地处于 C类 ([0, T型] ； {R（右）}^{N个})

(3.3)

和 ${∥ {u个}_{n个} ∥}_{\infty} \leq {C类}_{2}$ 有界，其中 ${C类}_{2}$ 是一个正常数。

因此，我们有 ${u个}_{n个}^{*} \in \partial φ ({u个}_{n个})$ ，其中 ${u个}_{n个}^{*}$ 是非光滑（P.S.）条件下的函数，以及 ${u个}^{*} \in ⏴=============================================================== φ (u个)$ 这样的话

〈 {u个}_{n个}^{*} 负极 {u个}^{*}, {u个}_{n个} 负极 u个 〉 \to 0

(3.4)

作为 $n个 \to \infty$ ，所以

\begin{array}{rcl} 〈 {u个}_{n个}^{*} 负极 {u个}^{*}, {u个}_{n个} 负极 u个 〉 & = & 负极 {¦Β}_{0}^{T型} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} ({u个}_{n个} (t吨) 负极 u个 (t吨)),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} ({u个}_{n个} (t吨) 负极 u个 (t吨))) d日 t吨 \\ + {¦Β}_{0}^{T型} ({q个}_{n个} (t吨) 负极 q个 (t吨), {u个}_{n个} (t吨) 负极 u个 (t吨)) d日 t吨 \\ \geq & | 余弦 (π α) | {∥ {u个}_{n个} 负极 u个 ∥}_{α}^{2} + {¦Β}_{0}^{T型} ({q个}_{n个} (t吨) 负极 q个 (t吨), {u个}_{n个} (t吨) 负极 u个 (t吨)) d日 t吨, \end{array}

(3.5)

哪里 ${q个}_{n个} (t吨) \in \partial (负极如果 (t吨, {u个}_{n个} (t吨)))$ 和 $q个 (t吨) \in \partial (负极如果 (t吨, u个 (t吨)))$ .

通过（3.4）和（3.5），很容易验证 ${∥ {u个}_{n个} 负极 u个 ∥}_{α} \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ ，因此 ${u个}_{n个} \to u个$ 在里面 ${E类}^{α}$ 因此， ${{u个}_{n个}}$ 承认一个收敛的子序列。

鉴于（B3），存在两个正常数 ${M（M）}^{'}$ 和 ${第页}_{2}$ 这样的话

如果 (t吨, x个) \geq {M（M）}^{'} {| x个 |}^{μ}

（3.6）

对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ 和 $| x个 | \geq {第页}_{2}$ 。它源自 $(A类)$ 那个

如果 (t吨, x个) \geq 负极 C类 {| x个 |}^{α + 1} 负极 {C类}_{0} | x个 | 负极 如果 (t吨, 0)

为所有人 $| x个 | \leq {第页}_{2}$ 以及其他。 $t吨 \in [0, T型]$ 因此，我们获得

如果 (t吨, x个) \geq {M（M）}^{'} {| x个 |}^{μ} 负极 {M（M）}^{'} {第页}_{2}^{μ} 负极 C类 {第页}_{2}^{α + 1} 负极 {C类}_{0} {第页}_{2} 负极 如果 (t吨, 0)

(3.7)

为所有人 $x个 \in {R（右）}^{N个}$ 以及其他。 $t吨 \in [0, T型]$ .

对于任何 $u个 \in {E类}^{α}$ 具有 $u个 \neq 0$ , $λ > 0$ ，我们有

\begin{array}{rcl} φ (λ u个) & = & 负极 \frac{1}{2} {¦Β}_{0}^{T型} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) d日 t吨 负极 {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 \\ \leq & \frac{λ^{2}}{2 | 余弦 (π α) |} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 {M（M）}^{'} {¦Β}_{0}^{T型} {| λ u个 (t吨) |}^{μ} d日 t吨 + {第页}_{三} T型 \\ \leq & \frac{λ^{2}}{2 | 余弦 (π α) |} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 {M（M）}^{'} λ^{μ} {∥ u个 (t吨) ∥}_{{L（左）}^{μ}}^{μ} + {第页}_{三} T型 \end{array}

(3.8)

乘以（3.6），其中 ${第页}_{三}$ 是一个正常数。然后存在一个足够大的 $λ_{0}$ 这样的话 $φ (λ_{0} u个) \leq 0$ .

通过（B2），存在 $ϵ \in (0, | 余弦 (π α) |)$ 和 $δ > 0$ 这样的话

如果 (t吨, x个) \leq (| 余弦 (π α) | 负极 ϵ) (Γ^{2} (α + 1) / 2 {T型}^{2 α}) {| x个 |}^{2}

对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ 和 $| x个 | \leq δ$ .

让 $ρ : = \frac{Γ (α) {(2 α 负极 1)}^{1 / 2}}{{T型}^{α 负极 1 / 2}} δ$ 和 $σ = ϵ ρ^{2} / 2 > 0$ 然后根据（2.2）得出

{∥ u个 ∥}_{\infty} \leq \frac{{T型}^{α 负极 1 / 2}}{Γ (α) {((α 负极 1) / 2 + 1)}^{1 / 2}} {∥ u个 ∥}_{α} = δ

为所有人 $u个 \in {E类}^{α}$ 具有 ${∥ u个 ∥}_{α} = ρ$ 因此，我们有

\begin{array}{rcl} φ (u个) & = & 负极 \frac{1}{2} {¦Β}_{0}^{T型} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) d日 t吨 负极 {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 \\ \geq & \frac{| 余弦 (π α) |}{2} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 (| 余弦 (π α) | 负极 ϵ) \frac{Γ^{2} (α + 1)}{2 {T型}^{2 α}} {¦Β}_{0}^{T型} {| u个 (t吨) |}^{2} d日 t吨 \\ \geq & \frac{| 余弦 (π α) |}{2} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 \frac{1}{2} (| 余弦 (π α) | 负极 ϵ) {∥ u个 ∥}_{α}^{2} \\ = & \frac{1}{2} ϵ {∥ u个 ∥}_{α}^{2} \\ = & σ \end{array}

为所有人 $u个 \in {E类}^{α}$ 具有 ${∥ u个 ∥}_{α} = ρ$ 这意味着满足引理2.6中的所有条件，因此存在一个临界点 ${u个}_{0}$ 对于φ和 $φ ({u个}_{0}) \geq σ$ ，这就完成了证明。□

定理3.2 让如果满足(A类)(B类1), (B类3)以及以下条件:

（B4）存在 $μ^{'} > 2$ 和 $问^{'} > 0$ 这样的话

\underset{| x个 | \to + \infty}{酸橙酱} \frac{如果 (t吨, x个)}{{| x个 |}^{μ^{'}}} \leq 问^{'}

对于.e（电子）. $t吨 \in [0, T型]$ ；

（B5） $如果 (t吨, x个) = 如果 (t吨, 负极 x个)$ 对于 $t吨 \in [0, T型]$ 以及所有 x个 在里面 ${R（右）}^{N个}$ .

然后是系统(1.1)有无穷多个解 ${u个}_{k个}$ 在 ${E类}^{α}$ 对于每个正整数 k个 这样的话 ${∥ {u个}_{k个} ∥}_{\infty} \to + \infty$ ,作为 $k个 \to \infty$ .

证明证明功能φ满足非光滑（P.S.）条件与定理3.1相同，因此我们省略了它。我们只需要验证引理2.7中的其他条件。

自 ${E类}^{α}$ 是一个可分离和自反的Banach空间，存在（参见[38]) ${{e（电子）}_{n个}}_{n个 = 1}^{\infty} \subset {E类}^{α}$ 和 ${{（f）}_{n个}}_{n个 = 1}^{\infty} \subset {({E类}^{α})}^{*}$ 这样的话

\begin{matrix} {（f）}_{n个} ({e（电子）}_{米}) = δ_{n个, 米} = {\begin{matrix} 1, & n个 = 米, \\ 0, & n个 \neq 米, \end{matrix} \\ {E类}^{α} = \bar{跨度 {{e（电子）}_{n个} : n个 = 1, 2, \dots}} 和 {({E类}^{α})}^{*} = {\bar{跨度 {{（f）}_{n个} : n个 = 1, 2, \dots}}}^{{W公司}^{*}} . \end{matrix}

对于 $k个 = 1, 2, \dots$ , 表示

{X（X）}_{k个} = 跨度 {{e（电子）}_{k个}}, {Y（Y）}_{k个} = ⨁_{j个 = 1}^{k个} {X（X）}_{j个}, {Z轴}_{k个} = \bar{⨁_{j个 = k个}^{\infty} {X（X）}_{j个}} .

对于任何 $u个 \in {Y（Y）}_{k个}$ ，让

{∥ u个 ∥}_{*} : = {({¦Β}_{0}^{T型} {| u个 (t吨) |}^{μ} d日 t吨)}^{1 / μ},

（3.9）

很容易验证 ${∥ \cdot ∥}_{*}$ 由（3.9）定义的是 ${Y（Y）}_{k个}$ 由于有限维赋范空间的所有范数都是等价的，因此存在一个正常数 ${C类}_{5}$ 这样的话

{C类}_{1} ∥ u个 ∥ \leq {∥ u个 ∥}_{*} 的 u个 \in {Y（Y）}_{k个} .

(3.10)

鉴于（B3），存在两个正常数 ${M（M）}_{1}$ 和 ${C类}_{2}$ 这样的话

如果 (t吨, x个) \geq {M（M）}_{1} {| x个 |}^{μ}

(3.11)

对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ 和 $| x个 | \geq {C类}_{2}$ 根据（3.10）和（3.11）

\begin{array}{rcl} φ (u个) & = & 负极 \frac{1}{2} {¦Β}_{0}^{T型} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) d日 t吨 负极 {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 \\ \leq & \frac{1}{2 | 余弦 (π α) |} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 {¦Β}_{Ω_{三}} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 负极 {¦Β}_{Ω_{4}} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 \\ \leq & \frac{1}{2 | 余弦 (π α) |} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 {M（M）}_{1} {¦Β}_{Ω_{三}} {| u个 (t吨) |}^{μ} d日 t吨 负极 {¦Β}_{Ω_{4}} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 \\ = & \frac{1}{2 | 余弦 (π α) |} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 {M（M）}_{1} {¦Β}_{0}^{T型} {| u个 (t吨) |}^{μ} d日 t吨 \\ + {M（M）}_{1} {¦Β}_{Ω_{4}} {| u个 (t吨) |}^{μ^{'}} d日 t吨 负极 {¦Β}_{Ω_{4}} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 \\ \leq & \frac{1}{2 | 余弦 (π α) |} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 {C类}_{1}^{μ} {M（M）}_{1} {∥ u个 ∥}^{μ} + {C类}_{三}, \end{array}

哪里 $Ω_{三} : = {t吨 \in [0, T型] ； | u个 (t吨) | \geq {C类}_{2}}$ , $Ω_{4} : = [0, T型] ∖ Ω_{三}$ .自 $μ > 2$ ，存在一个正常数 ${d日}_{k个}$ 这样的话

φ (u个) \leq 0 为所有人 u个 \in {Y（Y）}_{k个} 和 ∥ u个 ∥ \geq {d日}_{k个} .

（3.12）

对于任何 $u个 \in {Z轴}_{k个}$ ，让

{∥ u个 ∥}_{μ} : = {({¦Β}_{0}^{T型} {| u个 (t吨) |}^{μ^{'}} d日 t吨)}^{1 / μ^{'}} 和 β_{k个} : = \underset{u个 \in {Z轴}_{k个}, ∥ u个 ∥ = 1}{啜饮} {∥ u个 ∥}_{μ^{'}},

(3.13)

然后我们得出结论 $β_{k个} \to 0$ 作为 $k个 \to \infty$ 事实上，很明显 $β_{k个} \geq β_{k个 + 1} > 0$ ，所以 $β_{k个} \to α \geq 0$ 作为 $k个 \to \infty$ 。对于每个 $k个 \in N个$ ，存在 ${u个}_{k个} \in {Z轴}_{k个}$ 这样的话

∥ {u个}_{k个} ∥ = 1 和 {∥ {u个}_{k个} ∥}_{μ^{'}} > β_{k个} / 2 .

(3.14)

作为 ${E类}^{α}$ 是反射性的， ${{u个}_{k个}}$ 具有弱收敛子序列，仍表示为 ${{u个}_{k个}}$ ，因此 ${u个}_{k个} ⇀ u个$ 。我们要求 $u个 = 0$ 事实上，对于任何 ${（f）}_{米} \in {{（f）}_{n个} : n个 = 1, 2, \dots}$ ，我们有 ${（f）}_{米} ({u个}_{k个}) = 0$ ，何时 $k个 > 米$ ，所以

{（f）}_{米} ({u个}_{k个}) \to 0, 作为 k个 \to \infty

对于任何 ${（f）}_{米} \in {{（f）}_{n个} : n个 = 1, 2, \dots}$ ，因此 $u个 = 0$ .

根据命题2.3，当 ${u个}_{n个} ⇀ 0$ 在里面 ${E类}^{α}$ ，然后 ${u个}_{k个} \to 0$ 强烈地处于 $C类 ([0, T型] ； {R（右）}^{N个})$ 因此，我们得出结论 $α = 0$ （3.14）。鉴于（B4），存在两个正常数 ${M（M）}_{2}$ 和 ${C类}_{4}$ 这样的话

如果 (t吨, x个) \leq {M（M）}_{2} {| x个 |}^{μ^{'}}

(3.15)

对于a.e。 $t吨 \in [0, T型]$ 和 $| x个 | \geq {C类}_{4}$ .我们得出结论

\begin{array}{rcl} φ (u个) & = & 负极 \frac{1}{2} {¦Β}_{0}^{T型} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) d日 t吨 负极 {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 \\ \geq & \frac{| 余弦 (π α) |}{2} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 {¦Β}_{Ω_{5}} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 负极 {¦Β}_{Ω_{6}} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 \\ \geq & \frac{| 余弦 (π α) |}{2} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 {M（M）}_{2} {¦Β}_{0}^{T型} {| u个 (t吨) |}^{μ^{'}} d日 t吨 \\ + {M（M）}_{2} {¦Β}_{Ω_{6}} {| u个 (t吨) |}^{μ^{'}} d日 t吨 负极 {¦Β}_{Ω_{6}} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨 \\ \geq & \frac{| 余弦 (π α) |}{2} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 {M（M）}_{2} β_{k个}^{μ^{'}} {∥ u个 ∥}^{μ^{'}} 负极 {C类}_{9}, \end{array}

乘以（3.15），其中 $Ω_{5} : = {t吨 \in [0, T型] ； | u个 (t吨) | \geq {C类}_{4}}$ , $Ω_{6} : = [0, T型] ∖ Ω_{5}$ .

选择 ${第页}_{k个} = 1 / β_{k个}$ ，很明显

{第页}_{k个} \to \infty, 作为 k个 \to \infty,

然后

{b条}_{k个} : = \underset{u个 \in {Z轴}_{k个}, ∥ u个 ∥ = {第页}_{k个}}{inf公司} φ (u个) \to \infty, 作为 k个 \to \infty,

(3.16)

也就是说，满足引理2.7中的条件（A3）。鉴于（3.12），让 $ρ_{k个} : = 最大值 {{d日}_{k个}, {第页}_{k个} + 1}$ ，然后

一_{k个} : = \underset{u个 \in {Y（Y）}_{k个}, ∥ u个 ∥ = ρ_{k个}}{最大值} φ (u个) \leq 0,

这表明引理2.7中的条件（A2）是满足的。

我们已经证明了它的功能φ满足引理2.7的所有条件，那么φ具有无界的临界值序列 ${c（c）}_{k个} = φ ({u个}_{k个})$ 通过引理2.7；我们只需要展示 ${∥ {u个}_{k个} ∥}_{\infty} \to \infty$ 作为 $k个 \to \infty$ .

事实上，因为 ${u个}_{k个}$ 是功能的关键点φ也就是说， $0 \in \partial φ ({u个}_{k个})$ ，根据引理2.3和备注2.7，我们有

负极 {¦Β}_{0}^{T型} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} {u个}_{n个} (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} {u个}_{n个} (t吨)) d日 t吨 + {¦Β}_{0}^{T型} ({u个}_{k个}^{*} (t吨), {u个}_{k个} (t吨)) d日 t吨 = 0,

哪里 ${u个}_{k个}^{*} (t吨) \in \partial (负极如果 (t吨, {u个}_{k个} (t吨)))$ 因此，我们有

{c（c）}_{k个} = φ ({u个}_{k个})

(3.17)

\begin{array}{rcl} = & 负极 \frac{1}{2} {¦Β}_{0}^{T型} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) d日 t吨 负极 {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, {u个}_{k个} (t吨)) d日 t吨 \\ = & \frac{1}{2} {¦Β}_{0}^{T型} ({u个}_{k个}^{*} (t吨), {u个}_{k个} (t吨)) d日 t吨 负极 {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, {u个}_{k个} (t吨)) d日 t吨 \\ \leq & 2 T型 (C类 {∥ {u个}_{k个} ∥}_{\infty}^{α + 1} + {C类}_{0} {∥ {u个}_{k个} ∥}_{\infty}) 负极 {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, 0) d日 t吨, \end{array}

(3.18)

自从 ${c（c）}_{k个} \to \infty$ ，很明显

{∥ {u个}_{k个} ∥}_{\infty} \to \infty 作为 k个 \to \infty

（3.14）。这就完成了定理3.2的证明。□

定理3.3 让 $如果 (t吨, x个)$ 满足条件(A类)具有 $ν \in [0, 1)$ .然后是BVP(1.1)至少有一个最小化 φ 在 ${E类}^{α}$ .

证明通过（3.1），我们得到

\begin{matrix} {¦Β}_{0}^{T型} [如果 (t吨, u个 (t吨)) 负极 如果 (t吨, 0)] d日 t吨 + {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, 0) d日 t吨 \\ = {¦Β}_{0}^{T型} {¦Β}_{0}^{1} (\partial 如果 (t吨, 秒 u个 (t吨)), u个 (t吨)) d日 秒 d日 t吨 + {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, 0) d日 t吨 \\ \leq {¦Β}_{0}^{T型} {¦Β}_{0}^{1} （f） (t吨) {| 秒 u个 (t吨) |}^{α} | u个 (t吨) | d日 秒 d日 t吨 \\ + {¦Β}_{0}^{T型} {¦Β}_{0}^{1} 克 (t吨) | u个 (t吨) | d日 秒 d日 t吨 + {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, 0) d日 t吨 \\ \leq {∥ u个 ∥}_{\infty}^{ν + 1} {¦Β}_{0}^{T型} （f） (t吨) d日 t吨 + {∥ u个 ∥}_{\infty} {¦Β}_{0}^{T型} 克 (t吨) d日 t吨 + {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, 0) d日 t吨 \\ \leq {C类}_{1}^{ν + 1} {∥ u个 ∥}_{α}^{ν + 1} {¦Β}_{0}^{T型} （f） (t吨) d日 t吨 + {C类}_{三} {∥ u个 ∥}_{α} + {C类}_{4}, \end{matrix}

哪里 ${C类}_{1}$ 在（2.9）中定义， ${C类}_{三}$ 和 ${C类}_{4}$ 是常量。因此，我们得到

\begin{array}{rcl} φ (u个) & = & 负极 {¦Β}_{0}^{T型} \frac{1}{2} (_{0}^{c（c）} {D类}_{t吨}^{α} u个 (t吨),_{t吨}^{c（c）} {D类}_{T型}^{α} u个 (t吨)) d日 t吨 负极 {¦Β}_{0}^{T型} 如果 (t吨, u个 (t吨)) d日 t吨, \\ \geq & \frac{| 余弦 (π α) |}{2} {∥ u个 ∥}_{α}^{2} 负极 {C类}_{1}^{ν + 1} {∥ u个 ∥}_{α}^{ν + 1} {¦Β}_{0}^{T型} （f） (t吨) d日 t吨 负极 {C类}_{三} {∥ u个 ∥}_{α} 负极 {C类}_{4} . \end{array}

如果 $0 \leq ν < 1$ ，我们有

φ (u个) \to + \infty, 作为 {∥ u个 ∥}_{α} \to \infty .

根据中的相同论点[36],φ弱下部半连续。通过引理2.5，完成了定理3.3的证明。□

4示例

在本节中，我们给出两个示例来说明我们的结果。

示例4.1在BVP（1.1）中，让

如果 (t吨, x个) = {\begin{matrix} {| x个 |}^{三}, & | x个 | \leq 1, \\ {| x个 |}^{4}, & | x个 | > 1 . \end{matrix}

很容易验证定理3.2中的所有条件，因此BVP（1.1）有无穷多个解 $({u个}_{n个})$ 在 ${E类}^{α}$ 和 ${∥ {u个}_{n个} ∥}_{\infty} \to \infty$ 作为 $n个 \to \infty$ .

示例4.2在BVP（1.1）中，让 $如果 (t吨, x个) = | x个 |$ .很容易验证定理3.3中的所有条件，因此BVP（1.1）至少有一个最小化的解φ在 ${E类}^{α}$ .

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中国湖南长沙中南大学商学院，410083
张鹏、龚延平

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Zhang，P.，Gong，Y.一类带边界条件的分数阶微分包含的存在性和多重性结果。边界值问题 2012, 82 (2012). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2012-82

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收到:2012年5月7日
认可的:2012年7月18日
出版:2012年7月31日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-2770-2012-82