New potential condition on homoclinic orbits for a class of discrete Hamiltonian systems

Wang, Xiaoping

doi:10.1186/1687-1847-2014-73

研究
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出版：2014年2月21日

一类离散哈密顿系统同宿轨道的新势条件

小平·王¹

差分方程研究进展 体积 2014，物品编号：73(2014)引用这篇文章

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1引文
韵律学细节

摘要

在本文中，我们建立了一个存在性准则来保证二阶自共轭离散哈密顿系统 $△ [第页 (n个) △ u个 (n个 - 1)] - L（左） (n个) u个 (n个) + \nabla W公司 (n个, u个 (n个)) = 0$ 有一个非平凡的同宿解，它不需要周期性和矫顽力条件 $L（左） (n个)$ .

MSC公司：39A11、58E05、70H05。

1引言

考虑二阶自共轭离散哈密顿系统

△ [第页 (n个) △ u个 (n个 - 1)] - L（左） (n个) u个 (n个) + \nabla W公司 (n个, u个 (n个)) = 0,

(1.1)

哪里 $n个 \in Z轴$ , $u个 \in {R（右）}^{N个}$ , $△ u个 (n个) = u个 (n个 + 1) - u个 (n个)$ 是正向差异， $第页, L（左） : Z轴 \to {R（右）}^{N个 \times N个}$ 和 $W公司 : Z轴 \times {R（右）}^{N个} \to R（右）$ .

离散哈密顿系统可以应用于许多领域，如物理、化学等。有关离散哈密尔顿系统的更多讨论，请参阅[1,2].

像往常一样，我们说解决方案 $u个 (n个)$ 系统（1.1）是同宿的（到0），如果 $u个 (n个) \to 0$ 作为 $n个 \to \pm \infty$ 此外，如果 $u个 (n个) ≢ 0$ 然后 $u个 (n个)$ 称为非平凡同宿解。

许多作者研究了系统（1.1）或其特殊形式的同宿解的存在性和多重性。论文[三–8]处理周期性情况，其中第页,L（左）和W公司是周期性的n个或独立于n个相反，如果由于Sobolev嵌入缺乏紧性而失去了周期性，据我们所知，所有存在结果都需要一个矫顽力条件L（左）:

\underset{| n个 | \to \infty}{林} [\underset{x个 \in {R（右）}^{N个}, | x个 | = 1}{inf公司} (L（左） (n个) x个, x个)] = \infty .

(1.2)

例如，请参见[9–14]. 在上述文件中，除了[14],L（左）总是被要求是肯定的。

本文导出了一个不需要周期性和矫顽力条件的存在性结果 $L（左） (n个)$ 为了准确地说明我们的结果，我们做出了以下假设。

（P）
$第页 (n个)$ 是 $N个 \times N个$ 实对称全正定矩阵 $n个 \in Z轴$ .
（左）
$L（左） (n个)$ 是 $N个 \times N个$ all的实对称非负定矩阵 $n个 \in Z轴$ ，并且存在一个正整数 ${N个}_{0} \in Z轴$ 和 $β > 0$ 这样的话
$\underset{x个 \in {R（右）}^{N个}, | x个 | = 1}{最小值} (L（左） (n个) x个, x个) \geq β, | n个 | \geq {N个}_{0},$

在这里和续集中， $(\cdot, \cdot)$ 表示中的标准内积 ${R（右）}^{N个}$ 和 $| \cdot |$ 是诱导范数。

（第1页） $W公司 (n个, x个)$ 在中连续可微x个对于每个 $n个 \in Z轴$ , $W公司 (n个, 0) = 0$ , $W公司 (n个, x个) \geq 0$ 为所有人 $(n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}$ .
（第2周） $林_{| x个 | \to 0} \frac{\nabla W公司 (n个, x个)}{| x个 |} = 0$ 全体一致 $n个 \in Z轴$ .
（第3周） $林_{| x个 | \to \infty} \frac{| W公司 (n个, x个) |}{{| x个 |}^{2}} = \infty$ 全体一致 $n个 \in Z轴$ .
（第4周） $\tilde{W公司} (n个, x个) : = \frac{1}{2} (\nabla W公司 (n个, x个), x个) - W公司 (n个, x个) \geq 0$ , $\forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}$ ，并且存在 $ε \in (0, 1)$ , ${c（c）}_{0} > 0$ 、和 ${R（右）}_{0} > 0$ 这样的话
$(\nabla W公司 (n个, x个), x个) \leq \frac{β (1 - ε)}{2} {| x个 |}^{2}, \forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}, | x个 | \leq {R（右）}_{0}$

和
$(\nabla W公司 (n个, x个), x个) \leq {c（c）}_{0} {| x个 |}^{2} \tilde{W公司} (n个, x个), \forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}, | x个 | \geq {R（右）}_{0} .$

现在，我们准备陈述本文的主要结果。

定理1.1 假设第页,L（左） 和 W公司 满足（P）、（长）、（宽1）、（厚2）、（高3）、，和（第4周）。如果存在 ${n个}_{0} \in Z轴$ 和 ${x个}_{0} \in {R（右）}^{N个}$ 这样的话

β \geq 2 {c（c）}_{0} \underset{秒 \geq 0}{啜饮} [\frac{秒^{2}}{2} ((第页 ({n个}_{0}) + 第页 ({n个}_{0} + 1) + L（左） ({n个}_{0})) {x个}_{0}, {x个}_{0}) - W公司 ({n个}_{0}, 秒 {x个}_{0})],

(1.3)

然后是系统(1.1)具有非平凡同宿解.

在定理1.1中，我们用以下假设替换（L）和（W4）：

（L′） $L（左） (n个)$ 是 $N个 \times N个$ all的实对称非负定矩阵 $n个 \in Z轴$ ，并且满足（1.2）。

（W4′） $\tilde{W公司} (n个, x个) : = \frac{1}{2} (\nabla W公司 (n个, x个), x个) - W公司 (n个, x个) \geq 0$ , $\forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}$ ，并且存在 ${c（c）}_{0} > 0$ 和 ${R（右）}_{0} > 0$ 这样的话

(\nabla W公司 (n个, x个), x个) \leq {c（c）}_{0} {| x个 |}^{2} \tilde{W公司} (n个, x个), \forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}, | x个 | \geq {R（右）}_{0} .

那么我们马上就有了以下推论。

推论1.2 假设第页,L（左） 和 W公司 满足（P）、（长′）、（宽1）、（长2）、（高3）和（W4′）。然后是系统(1.1)具有非平凡同宿解.

备注1.3如果 $W公司 (n个, x个)$ 满足众所周知的全局Ambrosetti-Rabinowitz超二次条件：

（AR）存在 $μ > 2$ 这样的话

0 < μ W公司 (n个, x个) \leq (\nabla W公司 (n个, x个), x个), \forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个} ∖ {0},

那么存在一个常数 ${C类}_{0} > 0$ 这样的话

W公司 (n个, x个) \geq {C类}_{0} {| x个 |}^{μ}, \forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}, | x个 | \geq 1 ；

此外 $\tilde{W公司} (n个, x个) > 0$ 为所有人 $(n个, x个) \in Z轴 \times ({R（右）}^{N个} ∖ {0})$ 、和

(\nabla W公司 (n个, x个), x个) \leq \frac{2 μ}{μ - 2} {| x个 |}^{2} \tilde{W公司} (n个, x个), \forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}, | x个 | \geq 1 .

此外，由于（W2），存在 $β_{1} > 0$ 这样的话

(\nabla W公司 (n个, x个), x个) \leq \frac{β_{1}}{2} {| x个 |}^{2}, \forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}, | x个 | \leq 1 .

这些表明（W3）和（W4）与 ${R（右）}_{0} = 1$ , ${c（c）}_{0} = 2 μ / (μ - 2)$ 和 $β > β_{1}$ .让 $第页 (n个) = 我_{N个}$ 和 $L（左） (n个) = λ {n个}^{2} / (1 + {n个}^{2}) 我_{N个}$ 然后选择 ${n个}_{0} = 0$ 和 ${x个}_{0} = (1, 0, \dots, 0) \in {R（右）}^{N个}$ 鉴于定理1.1，如果

λ > 最大值 {\frac{4 μ}{μ - 2} \underset{秒 \geq 0}{啜饮} [秒^{2} - W公司 (0, 秒 {x个}_{0})], β_{1}},

则系统（1.1）具有非平凡的同宿解。

示例1.4让 $第页 (n个) = 我_{N个}$ , $L（左） (n个) = [1 + λ {n个}^{2} / (1 + {n个}^{2})] 我_{N个}$ 和

W公司 (n个, x个) = {| x个 |}^{2} 自然对数 (1 + {| x个 |}^{2}) .

(1.4)

然后

(\nabla W公司 (n个, x个), x个) = 2 {| x个 |}^{2} 自然对数 (1 + {| x个 |}^{2}) + \frac{2 {| x个 |}^{4}}{1 + {| x个 |}^{2}} .

很容易看出这一点 $\tilde{W公司} (n个, x个) \geq 0$ 为所有人 $(n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}$ 、和

\begin{matrix} (\nabla W公司 (n个, x个), x个) \leq (2 自然对数 2 + 1) {| x个 |}^{2}, \forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}, | x个 | \leq 1, \\ (\nabla W公司 (n个, x个), x个) \leq 6 {| x个 |}^{2} \tilde{W公司} (n个, x个), \forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}, | x个 | \geq 1 . \end{matrix}

这些表明（W3）和（W4）与 ${R（右）}_{0} = 1$ , ${c（c）}_{0} = 6$ 和 $β > 2 (2 自然对数 2 + 1)$ 。我们选择 ${n个}_{0} = 0$ 和 ${x个}_{0} = (1, 0, \dots, 0) \in {R（右）}^{N个}$ .然后

\begin{aligned} \underset{秒 \geq 0}{啜饮} [\frac{秒^{2}}{2} ((第页 ({n个}_{0}) + 第页 ({n个}_{0} + 1) + L（左） ({n个}_{0})) {x个}_{0}, {x个}_{0}) - W公司 ({n个}_{0}, 秒 {x个}_{0})] \\ = \underset{秒 \geq 0}{啜饮} [\frac{三 秒^{2}}{2} - 秒^{2} 自然对数 (1 + 秒^{2})] < 6 - 自然对数 2 . \end{aligned}

根据定理1.1，如果 $λ \geq 12 (6 - 自然对数 2)$ 则系统（1.1）具有非平凡的同宿解。

2准备工作

在本节中，我们始终假设第页和L（左）满足（P）和（L）。让

\begin{matrix} S公司 = {{u个 (n个)}_{n个 \in Z轴} : u个 (n个) \in {R（右）}^{N个}, n个 \in Z轴}, \\ E类 = {u个 \in S公司 : \sum_{n个 \in Z轴} [(第页 (n个 + 1) △ u个 (n个), △ u个 (n个)) + (L（左） (n个) u个 (n个), u个 (n个))] < + \infty}, \end{matrix}

和用于 $u个, v（v） \in E类$ ，让

〈 u个, v（v） 〉 = \sum_{n个 \in Z轴} [(第页 (n个 + 1) △ u个 (n个), △ v（v） (n个)) + (L（左） (n个) u个 (n个), v（v） (n个))] .

然后E类是具有上述内积的希尔伯特空间，相应的范数是

∥ u个 ∥ = {\sum_{n个 \in Z轴} [(第页 (n个 + 1) △ u个 (n个), △ u个 (n个)) + (L（左） (n个) u个 (n个), u个 (n个))]}^{1 / 2}, u个 \in E类 .

一如既往 $1 \leq 秒 < + \infty$ ，套

我^{秒} (Z轴, {R（右）}^{N个}) = {u个 \in S公司 : \sum_{n个 \in Z轴} {| u个 (n个) |}^{秒} < + \infty}

和

我^{\infty} (Z轴, {R（右）}^{N个}) = {u个 \in S公司 : \underset{n个 \in Z轴}{啜饮} | u个 (n个) | < + \infty},

其规范定义如下

\begin{matrix} {∥ u个 ∥}_{秒} = {(\sum_{n个 \in Z轴} {| u个 (n个) |}^{秒})}^{1 / 秒}, \forall u个 \in 我^{秒} (Z轴, {R（右）}^{N个}) ； \\ {∥ u个 ∥}_{\infty} = \underset{n个 \in Z轴}{啜饮} | u个 (n个) |, \forall u个 \in 我^{\infty} (Z轴, {R（右）}^{N个}), \end{matrix}

分别是。

引理2.1 假设（左）感到满意.然后

{∥ u个 ∥}_{\infty} \leq \frac{1}{\sqrt{β}} ∥ u个 ∥ + \sum_{| 秒 | \leq {N个}_{0} - 1} | △ u个 (秒) |, u个 \in E类,

(2.1)

和

{∥ u个 ∥}_{\infty} \leq 最大值 {\sqrt{\frac{2}{β}}, \sqrt{\frac{2 {N个}_{0}}{α}}} ∥ u个 ∥, u个 \in E类,

(2.2)

哪里 $α = {最小值}_{| n个 | \leq {N个}_{0}, | x个 | = 1} (第页 (n个) x个, x个)$ .

证明自 $u个 \in E类$ ，因此 $林_{| n个 | \to \infty} | u个 (n个) | = 0$ 因此，存在 ${n个}_{*} \in Z轴$ 这样的话 ${∥ u个 ∥}_{\infty} = | u个 ({n个}_{*}) |$ 。有两种可能的情况。

案例（i）。 $| {n个}_{*} | \geq {N个}_{0}$ 根据（L），有一个

{∥ u个 ∥}_{\infty}^{2} = {| u个 ({n个}_{*}) |}^{2} \leq \frac{1}{β} \sum_{| 秒 | \geq {N个}_{0}} (L（左） (秒) u个 (秒), u个 (秒)) \leq \frac{1}{β} ∥ u个 ∥ .

案例（ii）。 $| {n个}_{*} | < {N个}_{0}$ .在不失一般性的情况下，我们可以假设 ${n个}_{*} \geq 0$ ，然后

\begin{array}{rcl} {∥ u个 ∥}_{\infty} & \leq & | u个 ({N个}_{0}) | + \sum_{秒 = {n个}_{*}}^{{N个}_{0} - 1} | △ u个 (秒) | \\ \leq & {[\frac{1}{β} \sum_{| 秒 | \geq {N个}_{0}} (L（左） (秒) u个 (秒), u个 (秒))]}^{1 / 2} + \sqrt{\frac{{N个}_{0}}{α}} {(\sum_{秒 = {n个}_{*}}^{{N个}_{0} - 1} α {| △ u个 (秒) |}^{2})}^{1 / 2} \\ \leq & \sqrt{2} {[\frac{1}{β} \sum_{| 秒 | \geq {N个}_{0}} (L（左） (秒) u个 (秒), u个 (秒)) + \frac{{N个}_{0}}{α} \sum_{秒 = {n个}_{*}}^{{N个}_{0} - 1} (第页 (秒 + 1) △ u个 (秒), △ u个 (秒))]}^{1 / 2} \\ \leq & 最大值 {\sqrt{\frac{2}{β}}, \sqrt{\frac{2 {N个}_{0}}{α}}} ∥ u个 ∥ . \end{array}

(2.3)

案例（i）和（ii）意味着（2.1）和（2.2）成立。□

现在我们定义一个函数ΦE类通过

Φ (u个) = \frac{1}{2} \sum_{n个 \in Z轴} [(第页 (n个 + 1) △ u个 (n个), △ u个 (n个)) + (L（左） (n个) u个 (n个), u个 (n个))] - \sum_{n个 \in Z轴} W公司 (n个, u个 (n个)) .

(2.4)

对于任何 $u个 \in E类$ ，存在一个 ${n个}_{1} \in N个$ 这样的话 $| u个 (n个) | \leq 1$ 对于 $| n个 | \geq {n个}_{1}$ 因此，在假设（P）、（L）、（W1）和（W2）下，函数Φ为类 ${C类}^{1} (E类, R（右）)$ 此外，

Φ (u个) = \frac{1}{2} {∥ u个 ∥}^{2} - \sum_{n个 \in Z轴} W公司 (n个, u个), \forall u个 \in E类

（2.5）

和

〈 Φ^{'} (u个), v（v） 〉 = 〈 u个, v（v） 〉 - \sum_{n个 \in Z轴} (\nabla W公司 (n个, u个), v（v）), \forall u个, v（v） \in E类 .

(2.6)

此外，Φin的临界点E类是系统（1.1）的解决方案 $u个 (\pm \infty) = 0$ ，请参阅[5,6].

让 $e（电子） = {e（电子） (n个)}_{n个 \in Z轴} \in E类$ 具有 $e（电子） ({n个}_{0}) = {x个}_{0}$ 和 $e（电子） (n个) = 0 \in {R（右）}^{N个}$ 对于 $n个 \neq {n个}_{0}$ .

引理2.2 假设（五十），（W1）和（第2周）都很满意.然后

啜饮 {Φ (秒 e（电子）) : 秒 \geq 0} \leq \underset{秒 \geq 0}{啜饮} [\frac{秒^{2}}{2} ((第页 ({n个}_{0}) + 第页 ({n个}_{0} + 1) + L（左） ({n个}_{0})) {x个}_{0}, {x个}_{0}) - W公司 ({n个}_{0}, 秒 {x个}_{0})] .

（2.7）

证明从（2.4）和定义e（电子），我们得到

\begin{array}{rcl} Φ (秒 e（电子）) & = & \frac{秒^{2}}{2} \sum_{n个 \in Z轴} [(第页 (n个 + 1) △ e（电子） (n个), △ e（电子） (n个)) + (L（左） (n个) e（电子） (n个), e（电子） (n个))] - \sum_{n个 \in Z轴} W公司 (n个, 秒 e（电子） (n个)) \\ = & \frac{秒^{2}}{2} [(第页 ({n个}_{0} + 1) △ e（电子） ({n个}_{0}), △ e（电子） ({n个}_{0})) + (第页 ({n个}_{0}) △ e（电子） ({n个}_{0} - 1), △ e（电子） ({n个}_{0} - 1)) \\ + (L（左） ({n个}_{0}) e（电子） ({n个}_{0}), e（电子） ({n个}_{0}))] - W公司 ({n个}_{0}, 秒 e（电子） ({n个}_{0})) \\ = & \frac{秒^{2}}{2} ((第页 ({n个}_{0}) + 第页 ({n个}_{0} + 1) + L（左） ({n个}_{0})) {x个}_{0}, {x个}_{0}) - W公司 ({n个}_{0}, 秒 {x个}_{0}) . \end{array}

(2.8)

现在引理2.1的结论是（2.8）。□

应用不带（PS）条件的山路引理，通过标准参数，我们可以证明以下引理。

引理2.3 让 $W公司 (n个, x个) \geq 0$ , $\forall (n个, x个) \in Z轴 \times {R（右）}^{N个}$ .假设（P）、（长）、（宽1）、（厚2）和（第3周）都很满意.然后存在一个常数 $c（c） \in (0, {啜饮}_{秒 \geq 0} Φ (秒 e（电子）)]$ 和一个序列 ${{u个}_{k个}} \subset E类$ 令人满意的

Φ ({u个}_{k个}) \to c（c）, ∥ Φ^{'} ({u个}_{k个}) ∥ (1 + ∥ {u个}_{k个} ∥) \to 0 .

(2.9)

引理2.4 假设（P）、（长）、（宽1）、（厚2）、（高3）、，和（第4周）都很满意.然后是任何序列 ${{u个}_{k个}} \subset E类$ 令人满意的

Φ ({u个}_{k个}) \to c（c） > 0, 〈 Φ^{'} ({u个}_{k个}), {u个}_{k个} 〉 \to 0

(2.10)

以为界 E类.

证明证明的有界性 ${{u个}_{k个}}$ ，矛盾地争论，假设 $∥ {u个}_{k个} ∥ \to \infty$ .让 ${v（v）}_{k个} = {u个}_{k个} / ∥ {u个}_{k个} ∥$ .然后 $∥ {v（v）}_{k个} ∥ = 1$ 根据（2.5）、（2.6）和（2.10），我们有

Φ ({u个}_{k个}) - \frac{1}{2} 〈 Φ^{'} ({u个}_{k个}), {u个}_{k个} 〉 = \sum_{n个 \in Z轴} \tilde{W公司} (n个, {u个}_{k个}) = c（c） + o个 (1) .

(2.11)

如果 $δ : = {酸橙酱}_{k个 \to \infty} {∥ {v（v）}_{k个} ∥}_{\infty} = 0$ ，然后由（L）、（W4）和（2.11）得出

\begin{array}{rcl} \sum_{| {u个}_{k个} | < {R（右）}_{0}} | (\nabla W公司 (n个, {u个}_{k个}), {u个}_{k个}) | & \leq & \frac{β}{2} \sum_{| {u个}_{k个} | < {R（右）}_{0}} {| {u个}_{k个} |}^{2} \leq \frac{β}{2} \sum_{| 秒 | \geq {N个}_{0}} {| {u个}_{k个} (秒) |}^{2} + \frac{β}{2} \sum_{| 秒 | < {N个}_{0}} {| {u个}_{k个} (秒) |}^{2} \\ \leq & \frac{1}{2} {∥ {u个}_{k个} ∥}^{2} + {N个}_{0} β {∥ {u个}_{k个} ∥}^{2} {∥ {v（v）}_{k个} ∥}_{\infty}^{2} \leq [\frac{1}{2} + o个 (1)] {∥ {u个}_{k个} ∥}^{2} \end{array}

(2.12)

和

\begin{array}{rcl} \sum_{| {u个}_{k个} | \geq {R（右）}_{0}} \frac{| (\nabla W公司 (n个, {u个}_{k个}), {u个}_{k个}) |}{{∥ {u个}_{k个} ∥}^{2}} & \leq & {c（c）}_{0} \sum_{| {u个}_{k个} | \geq {R（右）}_{0}} {| {v（v）}_{k个} |}^{2} \tilde{W公司} (n个, {u个}_{k个}) \leq {c（c）}_{0} {∥ {v（v）}_{k个} ∥}_{\infty}^{2} \sum_{| {u个}_{k个} | \geq {R（右）}_{0}} \tilde{W公司} (n个, {u个}_{k个}) \\ \leq & {c（c）}_{0} (c（c） + 1) {∥ {v（v）}_{k个} ∥}_{\infty}^{2} \to 0, k个 \to \infty . \end{array}

(2.13)

将（2.12）与（2.13）结合，并使用（2.5）和（2.10），我们得到

\begin{array}{rcl} 1 + o个 (1) & \leq & \frac{{∥ {u个}_{k个} ∥}^{2} - 〈 Φ^{'} ({u个}_{k个}), {u个}_{k个} 〉}{{∥ {u个}_{k个} ∥}^{2}} \leq \sum_{n个 \in Z轴} \frac{| (\nabla W公司 (n个, {u个}_{k个}), {u个}_{k个}) |}{{∥ {u个}_{k个} ∥}^{2}} \\ = & \sum_{| {u个}_{k个} | < {R（右）}_{0}} \frac{| (\nabla W公司 (n个, {u个}_{k个}), {u个}_{k个}) |}{{∥ {u个}_{k个} ∥}^{2}} + \sum_{| {u个}_{k个} | \geq {R（右）}_{0}} \frac{| (\nabla W公司 (n个, {u个}_{k个}), {u个}_{k个}) |}{{∥ {u个}_{k个} ∥}^{2}} \leq \frac{1}{2} + o个 (1) . \end{array}

(2.14)

这种矛盾表明 $δ > 0$ .

如果有必要进入子序列，我们可以假设 ${n个}_{k个} \in Z轴$ 这样的话

| {v（v）}_{k个} ({n个}_{k个}) | = {∥ {v（v）}_{k个} ∥}_{\infty} > \frac{δ}{2} .

让 ${w个}_{k个} (n个) = {v（v）}_{k个} (n个 + {n个}_{k个})$ ，然后

| {w个}_{k个} (0) | > \frac{δ}{2}, \forall k个 \in N个 .

(2.15)

现在我们定义 ${\tilde{u个}}_{k个} (n个) = {u个}_{k个} (n个 + {n个}_{k个})$ .然后 ${\tilde{u个}}_{k个} (n个) / ∥ {u个}_{k个} ∥ = {w个}_{k个} (n个)$ 和 ${∥ {w个}_{k个} ∥}_{2} = {∥ {v（v）}_{k个} ∥}_{2}$ .接下来，我们有 ${w个}_{k个} ⇀ w个$ 在里面 $我^{2} (Z轴, {R（右）}^{N个})$ ，然后 ${w个}_{k个} (n个) \to w个 (n个)$ 为所有人 $n个 \in Z轴$ 显然，（2.15）意味着 $w个 (0) \neq 0$ .

很明显 $w个 (n个) \neq 0$ 暗示 $林_{k个 \to \infty} | {\tilde{u个}}_{k个} (n个) | = \infty$ 因此，根据（2.5）、（2.10）和（W3）可以得出

\begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{k个 \to \infty}{林} \frac{c（c） + o个 (1)}{{∥ {u个}_{k个} ∥}^{2}} = \underset{k个 \to \infty}{林} \frac{Φ ({u个}_{k个})}{{∥ {u个}_{k个} ∥}^{2}} \\ = & \underset{k个 \to \infty}{林} [\frac{1}{2} - \sum_{n个 \in Z轴} \frac{W公司 (n个, {u个}_{k个})}{{| {u个}_{k个} |}^{2}} {| {v（v）}_{k个} |}^{2}] \\ = & \underset{k个 \to \infty}{林} [\frac{1}{2} - \sum_{n个 \in Z轴} \frac{W公司 (n个 + {k个}_{n个}, {\tilde{u个}}_{k个})}{{| {\tilde{u个}}_{k个} |}^{2}} {| {w个}_{k个} |}^{2}] \\ \leq & \frac{1}{2} - \underset{k个 \to \infty}{lim信息} \sum_{n个 \in Z轴} \frac{W公司 (n个 + {k个}_{n个}, {\tilde{u个}}_{k个})}{{| {\tilde{u个}}_{k个} |}^{2}} {| {w个}_{k个} |}^{2} \\ = & - \infty, \end{array}

这是一个矛盾。因此 ${{u个}_{k个}}$ 以为界E类. □

3定理证明

定理证明1.1应用引理2.3和2.4，我们推断存在一个有界序列 ${{u个}_{k个}} \subset E类$ 令人满意（2.9）。根据引理2.2和（1.3），我们有

c（c） \leq \frac{β}{2 {c（c）}_{0}} .

(3.1)

如果有必要，我们可以假设 ${u个}_{k个} ⇀ \bar{u个}$ 在里面E类和 $Φ^{'} ({u个}_{k个}) \to 0$ 接下来，我们证明 $\bar{u个} \neq 0$ .

通过矛盾进行辩论，假设 $\bar{u个} = 0$ ,即 ${u个}_{k个} ⇀ 0$ 在里面E类，等等 ${u个}_{k个} (n个) \to 0$ 对于每个 $n个 \in Z轴$ 因此，

{∥ {u个}_{k个} ∥}_{2}^{2} = \sum_{| n个 | \geq {N个}_{0}} {| {u个}_{k个} (n个) |}^{2} + \sum_{| n个 | < {N个}_{0}} {| {u个}_{k个} (n个) |}^{2} \leq \frac{1}{β} {∥ {u个}_{k个} ∥}^{2} + o个 (1) .

(3.2)

根据（W4）和（3.2）

\sum_{| {u个}_{k个} | < {R（右）}_{0}} (\nabla W公司 (n个, {u个}_{k个}), {u个}_{k个}) \leq \frac{β (1 - ε)}{2} \sum_{| {u个}_{k个} | < {R（右）}_{0}} {| {u个}_{k个} |}^{2} \leq \frac{1 - ε}{2} {∥ {u个}_{k个} ∥}^{2} + o个 (1) .

(3.3)

根据（2.5）、（2.6）和（2.9），我们有

Φ ({u个}_{k个}) - \frac{1}{2} 〈 Φ^{'} ({u个}_{k个}), {u个}_{k个} 〉 = \sum_{n个 \in Z轴} \tilde{W公司} (n个, {u个}_{k个}) = c（c） + o个 (1) .

(3.4)

使用（W4）、（2.1）、（3.1）、（3.2）和（3.4），我们得到

\begin{array}{rcl} \sum_{| {u个}_{k个} | \geq {R（右）}_{0}} (\nabla W公司 (n个, {u个}_{k个}), {u个}_{k个}) & \leq & {c（c）}_{0} \sum_{| {u个}_{k个} | \geq {R（右）}_{0}} {| {u个}_{k个} |}^{2} \tilde{W公司} (n个, {u个}_{k个}) \\ \leq & {c（c）}_{0} {∥ {u个}_{k个} ∥}_{\infty}^{2} \sum_{| {u个}_{k个} | \geq {R（右）}_{0}} \tilde{W公司} (n个, {u个}_{k个}) \\ \leq & {c（c）}_{0} c（c） {∥ {u个}_{k个} ∥}_{\infty}^{2} + o个 (1) \\ \leq & {c（c）}_{0} c（c） {(\frac{1}{\sqrt{β}} ∥ {u个}_{k个} ∥ + \sum_{| 秒 | \leq {N个}_{0} - 1} | △ {u个}_{k个} (秒) |)}^{2} + o个 (1) \\ = & \frac{{c（c）}_{0} c（c）}{β} {∥ {u个}_{k个} ∥}^{2} + o个 (1) \\ \leq & \frac{1}{2} {∥ {u个}_{k个} ∥}^{2} + o个 (1), \end{array}

(3.5)

再加上（2.6）、（2.9）和（3.3），得出

\begin{array}{rcl} o个 (1) & = & 〈 Φ^{'} ({u个}_{k个}), {u个}_{k个} 〉 = {∥ {u个}_{k个} ∥}^{2} - \sum_{n个 \in Z轴} (\nabla W公司 (n个, {u个}_{k个}), {u个}_{k个}) \\ \geq & \frac{ε}{2} {∥ {u个}_{k个} ∥}^{2} + o个 (1), \end{array}

（3.6）

导致以下事实 $∥ {u个}_{k个} ∥ \to 0$ 因此，从（W1）、（2.5）和（2.9）可以得出

0 < c（c） = \underset{k个 \to \infty}{林} Φ ({u个}_{k个}) = Φ (0) = 0 .

这一矛盾表明 $\bar{u个} \neq 0$ 通过标准参数，我们很容易证明 $\bar{u个}$ 是（1.1）的非平凡解。□

工具书类

阿加瓦尔RP：差分方程和不等式：理论、方法和应用第二版。纽约德克尔；2000
谷歌学者
Ahlbran CD，Peterson AC：离散哈密顿系统：差分方程、连分式和Riccati方程多德雷赫特Kluwer学院；1996
书谷歌学者
邓晓强，程庚：具有变号势的二阶离散哈密顿系统的同宿轨道。应用学报。数学。2008, 103: 301–314. 10.1007/s10440-008-9237-z
第条数学科学网谷歌学者
邓晓强，程庚，史惠普：具有势变符号的二阶离散哈密顿系统的次调和解和同宿轨道。计算。数学。申请。2009年，58:1198–1206。2016年10月10日/j.camwa.2009.06.045
第条数学科学网谷歌学者
Ma M，Guo ZM：非线性二阶差分方程的同宿轨道和次调和。非线性分析。2007, 67: 1737–1745. 10.1016/j.na.2006.08.014
第条数学科学网谷歌学者
唐晓霞，林晓霞，肖莉：一类二阶离散哈密顿系统的同宿解。J.差异。埃克。申请。2010, 16: 1257–1273. 10.1080/10236190902791635
第条数学科学网谷歌学者
Zhang，Q：一类离散周期哈密顿系统的同宿轨道。程序。美国数学。Soc.（出版中）
周泽，于建生，陈毅：饱和非线性周期差分方程的同宿解。科学。中国数学。2011, 54: 83–93. 2007年10月17日/11425-010-4101-9
第条数学科学网谷歌学者
Chen WX，Yang MB，Ding YH：具有超线性项的一阶离散哈密顿系统的同宿轨道。科学。中国数学。2011年，54:2583-2596。2007年10月17日/11425-011-4276-8
第条数学科学网谷歌学者
Lin XY，Tang XH:离散哈密顿系统中无穷多同宿轨道的存在性。数学杂志。分析。申请。2011, 373: 59–72. 2016年10月10日/j.jmaa.2010.06.008
第条数学科学网谷歌学者
Ma M，Guo ZM：二阶自共轭差分方程的同宿轨道。数学杂志。分析。申请。2006, 323(1):513–521. 2016年10月10日/j.jmaa.2005年10月49日
第条数学科学网谷歌学者
唐晓华，陈杰：一类离散哈密顿系统的无穷多同宿轨道。高级差异。等于。2013年、2013年：文章ID 242 10.1186/1687-1847-2013-242
谷歌学者
唐晓华，林晓云：一类二阶离散哈密顿系统的同宿解。数学学报。罪。2012, 28: 609–622. 2007年10月10日/10114-012-9233-0
第条数学科学网谷歌学者
唐晓华，林晓云：具有次二次势的离散哈密顿系统的无穷多同宿轨道。J.差异。埃克。申请。2013, 19: 796–813. 10.1080/123619.2012.691168年10月10日
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本研究部分得到湖南省教育厅科研基金（13A093，07A066）资助，湖南省自然科学基金（14JJ2133）资助。

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中国湖南郴州湘南学院数学系，423000
小平·王

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Wang，X.一类离散哈密顿系统同宿轨道上的新势条件。高级差异Equ 2014, 73 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-73

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收到:2013年12月15日
认可的:2014年2月10日
出版:2014年2月21日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-73