On the two-parameter Lorentzian homothetic motions

Çelik, Muhsin; Ünal, Doğan; Güngör, Mehmet Ali

doi:10.1186/1687-1847-2014-42

研究
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出版：2014年1月27日

关于双参数洛伦兹相似运动

差分方程研究进展 体积 2014，物品编号：42(2014)引用这篇文章

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2引文
韵律学细节

摘要

在本研究中，双参数洛伦兹相似运动在 $\forall (λ, μ)$ 获得位置。通过定义洛伦兹空间中沿曲线的双参数洛伦兹同音运动 ${L（左）}^{三}$ 给出了与此运动有关的定理和轨迹曲面的特征。

MSC公司：53A17、53B30、14H50。

1引言

研究空间运动中直线或点的运动几何学在空间运动学、空间机构或物理学的研究中是很重要的。点或线的这种运动的几何学在机械产品的几何建模和基于模型的制造或机器人运动的设计中有许多应用。它们专门用于生成壳型对象和厚表面的几何模型[1–三].

穆勒引入了单参数和双参数平面运动，并得出了这些运动的绝对速度、相对速度、滑动速度和极点曲线之间的关系[4]. 此外，三维空间中的双参数运动定义为[5]以及[6]. 三维Minkowski空间中的洛伦兹度量 ${L（左）}^{三}$ 是不确定的。在相对论中，不定度规的几何是非常关键的。因此，通过洛伦兹平面 ${L（左）}^{2}$ 而不是欧几里德平面 ${E类}^{2}$ ，埃尔金[7]在洛伦兹平面中引入了单参数平面运动。在[8]研究了洛伦兹平面上由双参数运动获得的所有单参数运动。

本文首先介绍洛伦兹平面上的双参数同音运动 ${L（左）}^{2}$ 我们计算了洛伦兹相似运动得到的极点。此外，我们还给出了关于这些极点的一些定理和推论。同样，我们计算了洛伦兹相似运动的加速度极点。通过考虑上述情况，我们定义了洛伦兹空间中沿曲线的双参数同调运动 ${L（左）}^{三}$ 给出了洛伦兹相似运动形成的轨迹曲面方程。最后，我们得到了轨迹曲面的参数化，并给出了这些轨迹曲面的一些例子。

2洛伦兹平面上的双参数相似运动

洛伦兹同向运动由

Y（Y） = 小时 一 X（X） + C类

(2.1)

对于 $小时 (λ, μ) \neq 常数$ 也可以给出一些特殊的结果 $(λ, μ) = (0, 0)$ 和 $小时 (λ, μ)$ .

定义2.1在洛伦兹平面中，一般的双参数同调运动定义为

[\begin{array}{c} 年_{1} \\ 年_{2} \end{array}] = 小时 (λ, μ) [\begin{array}{c} 中国 θ (λ, μ) & 第页 θ (λ, μ) \\ 第页 θ (λ, μ) & 中国 θ (λ, μ) \end{array}] [\begin{array}{c} x个 \\ 年 \end{array}] + [\begin{array}{c} 一 (λ, μ) \\ b条 (λ, μ) \end{array}],

(2.2)

哪里 $(年_{1}, 年_{2})$ 和 $(x个, 年)$ 是固定的 ${L（左）}^{'}^{2}$ 平面和移动 ${L（左）}^{2}$ 平面。如果λ和μ在里面 ${C类}^{\infty}$ 由时间参数的微分函数给出t吨然后是同音运动 ${M（M）}_{我}$ 得到并称为相似运动 ${M（M）}_{我}$ 从同构运动中得到的 ${M（M）}_{我我}$ 在洛伦兹飞机上。

在这里，在最初的时间 $(λ, μ) = (0, 0)$ 和 $θ (0, 0) = 一 (0, 0) = b条 (0, 0) = (0, 0)$ ，移动的坐标系 ${L（左）}^{2}$ 和固定的 ${L（左）}^{'}^{2}$ 平面是一致的。

定理2.1 洛伦兹相似运动的极点方程 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ 在一个移动的平面上

\begin{matrix} (小时 \dot{一} \dot{θ} 中国 θ + \dot{小时} \dot{一} 第页 θ - 小时 \dot{b条} \dot{θ} 第页 θ - \dot{小时} \dot{b条} 中国 θ) {x个}_{第页} \\ + (小时 \dot{一} \dot{θ} 第页 θ + \dot{小时} \dot{一} 中国 θ - 小时 \dot{b条} \dot{θ} 中国 θ - \dot{小时} \dot{b条} 第页 θ) 年_{第页} = 0, \end{matrix}

(2.3)

什么时候 $| \dot{小时} | \neq | 小时 \dot{θ} |$ .

证明通过微分方程(2.2）关于t吨并将其简化，我们得到

\begin{aligned} {x个}_{第页} = \frac{- 小时 \dot{一} \dot{θ} 第页 θ - \dot{小时} \dot{一} 中国 θ + 小时 \dot{b条} \dot{θ} 中国 θ + \dot{小时} \dot{b条} 第页 θ}{{\dot{小时}}^{2} - {小时}^{2} {\dot{θ}}^{2}}, \\ 年_{第页} = \frac{小时 \dot{一} \dot{θ} 中国 θ + \dot{小时} \dot{一} 第页 θ - 小时 \dot{b条} \dot{θ} 第页 θ - \dot{小时} \dot{b条} 中国 θ}{{\dot{小时}}^{2} - {小时}^{2} {\dot{θ}}^{2}} . \end{aligned}

(2.4)

经过一些常规计算，得到了极点方程（2.3）。洛伦兹同构运动的极点 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ 在运动平面上由下式给出

P（P） ({x个}_{第页}, 年_{第页}) = (\frac{小时 \dot{b条} \dot{θ} - \dot{小时} \dot{一}}{{\dot{小时}}^{2} - {小时}^{2} {\dot{θ}}^{2}}, \frac{小时 \dot{一} \dot{θ} - \dot{小时} \dot{b条}}{{\dot{小时}}^{2} - {小时}^{2} {\dot{θ}}^{2}})

(2.5)

在…的位置 $(λ, μ) = (0, 0)$ 极点方程为

(小时 \dot{一} \dot{θ} - \dot{小时} \dot{b条}) {x个}_{第页} - (小时 \dot{b条} \dot{θ} - \dot{小时} \dot{一}) 年_{第页} = 0 .

(2.6)

洛伦兹相似运动的极点 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ 在移动的平面上 $(λ, μ) = (0, 0)$ 给出以下结果。□

推论2.1 如果 $θ (λ, μ) = 常数$ ,那么极点位于直线上

({小时}_{μ} {b条}_{λ} - {小时}_{λ} {b条}_{μ}) {x个}_{第页} + ({小时}_{λ} 一_{μ} - {小时}_{μ} 一_{λ}) 年_{第页} = 一_{λ} {b条}_{μ} - 一_{μ} {b条}_{λ} .

(2.7)

推论2.2 如果 $小时 (λ, μ) \neq 0$ 是一个常量,然后极点位于直线上

(一_{μ} θ_{λ} - 一_{λ} θ_{μ}) {x个}_{第页} - ({b条}_{μ} θ_{λ} - {b条}_{λ} θ_{μ}) 年_{第页} = \frac{1}{小时} (一_{λ} {b条}_{μ} - 一_{μ} {b条}_{λ}) .

(2.8)

推论2.3 如果 $小时 (λ, μ) = 1$ ,然后极点位于直线上

(一_{μ} θ_{λ} - 一_{λ} θ_{μ}) {x个}_{第页} - ({b条}_{μ} θ_{λ} - {b条}_{λ} θ_{μ}) 年_{第页} = 一_{λ} {b条}_{μ} - 一_{μ} {b条}_{λ}, [8] .

(2.9)

定理2.2 洛伦兹相似运动的极点方程 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ 在固定平面上

(小时 \dot{一} \dot{θ} - \dot{小时} \dot{b条}) {\bar{x个}}_{第页} - (小时 \dot{b条} \dot{θ} - \dot{小时} \dot{一}) {\bar{年}}_{第页} = 一 (小时 \dot{一} \dot{θ} - \dot{小时} \dot{b条}) - b条 (小时 \dot{b条} \dot{θ} - \dot{小时} \dot{一}),

(2.10)

在…的位置 $λ = μ = 0$ 以及何时 $| \dot{小时} | \neq | 小时 \dot{θ} |$ .

证明通过采取 $P（P） ({x个}_{第页}, 年_{第页})$ 在方程式中(2.1），我们有极点

\bar{P（P）} ({\bar{x个}}_{第页}, {\bar{年}}_{第页}) = (\frac{{小时}^{2} \dot{b条} \dot{θ} - \dot{小时} 小时 \dot{一}}{{\dot{小时}}^{2} - {小时}^{2} {\dot{θ}}^{2}} + 一, \frac{{小时}^{2} \dot{一} \dot{θ} - \dot{小时} 小时 \dot{b条}}{{\dot{小时}}^{2} - {小时}^{2} {\dot{θ}}^{2}} + b条)

(2.11)

得到了极点方程（2.10）。洛伦兹相似运动的极点 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ 在固定平面上 $(λ, μ) = (0, 0)$ 给出以下结果。□

推论2.4 在固定平面上 $θ (λ, μ) = 常数$ ,极点位于直线上

({小时}_{μ} {b条}_{λ} - {小时}_{λ} {b条}_{μ}) {\bar{x个}}_{第页} + ({小时}_{λ} 一_{μ} - {小时}_{μ} 一_{λ}) {\bar{年}}_{第页} = 小时 (一_{λ} {b条}_{μ} - 一_{μ} {b条}_{λ}) .

(2.12)

推论2.5 作为推论中的特例2.4,如果 $小时 (λ, μ) = 1$ ,固定平面和运动平面的极点是一致的.

推论2.6 如果 $小时 (λ, μ) \neq 0$ 是常量,固定平面的极点位于直线方程上(2.9) [8].

推论2.7 作为推论中的特例2.2,如果 $小时 (λ, μ) = 1$ ,推论中运动平面的极点与固定平面的极线一致2.6.

如果洛伦兹相似运动的极点 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ 选择y轴，然后 ${x个}_{第页} = 0$ 在…的位置 $λ = μ = 0$ 因此，我们

年_{第页} = - \frac{\dot{一}}{小时 \dot{θ}} .

因此，固定平面的极线与运动平面的极线上存在如下关系：

{\bar{年}}_{第页} = 小时 年_{第页} .

现在，我们研究滑动速度 $\vec{{V（V）}_{（f）}} = ({\dot{年}}_{1}, {\dot{年}}_{2})$ 任何点的 $B类 (x个, 年)$ 在…的位置 $λ = μ = 0$ .方程式(2.2）是关于t吨和位置 $λ = μ = 0$ ，我们有

\begin{array}{r} {\dot{年}}_{1} = \dot{小时} x个 + 小时 \dot{θ} 年 + \dot{一}, \\ {\dot{年}}_{2} = \dot{小时} 年 + 小时 \dot{θ} x个 + \dot{b条} . \end{array}

(2.13)

因此，滑动速度如下：

\vec{{V（V）}_{（f）}} = (\dot{小时} x个 + 小时 \dot{θ} 年 + \dot{一}, \dot{小时} 年 + 小时 \dot{θ} x个 + \dot{b条}) .

(2.14)

定理2.3 洛伦兹相似运动 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ ,让y-轴是位于以下位置的极轴 $λ = μ = 0$ .然后,极射线从极点出发的关系 $P（P） ({x个}_{第页}, 年_{第页})$ 切中要害 $B类 (x个, 年)$ 和滑动速度 $\vec{{V（V）}_{（f）}}$ 点的 $B类 (x个, 年)$ 是

{〈 \vec{{V（V）}_{（f）}}, \vec{P（P） B类} 〉}_{L（左）} = \dot{小时} ({x个}^{2} - 年^{2}) - 2 \dot{b条} 年 - \frac{\dot{一} \dot{b条}}{小时 \dot{θ}} .

(2.15)

证明由于极轴是年-axis，我们有 $({x个}_{第页}, 年_{第页}) = (0, - \frac{\dot{一}}{小时 \dot{θ}})$ 和 $\vec{P（P） B类} = (x个, 年 + \frac{\dot{一}}{小时 \dot{θ}})$ 根据方程式(2.5）.然后可以看出

\begin{array}{rcl} {〈 \vec{{V（V）}_{（f）}}, \vec{P（P） B类} 〉}_{L（左）} & = & {〈 (\dot{小时} x个 + 小时 \dot{θ} 年 + \dot{一}, \dot{小时} 年 + 小时 \dot{θ} x个 + \dot{b条}), (x个, 年 + \frac{\dot{一}}{小时 \dot{θ}}) 〉}_{L（左）} \\ = & \dot{小时} ({x个}^{2} - 年^{2}) - 2 \dot{b条} 年 - \frac{\dot{一} \dot{b条}}{小时 \dot{θ}} . \end{array}

□

推论2.8 如果 $小时 (λ, μ)$ 是一个永不消失的常数，极轴是 年-轴,然后是极射线和滑动速度 $\vec{{V（V）}_{（f）}}$ 是垂直的[8].

定理2.4 洛伦兹相似运动的滑动速度矢量的长度 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动得到 ${M（M）}_{我我}$ 是

{∥ \vec{{V（V）}_{（f）}} ∥}_{L（左）} = \sqrt{| {\dot{小时}}^{2} - {小时}^{2} {\dot{θ}}^{2} |} {∥ \vec{P（P） B类} ∥}_{L（左）}

(2.16)

在每个位置 $(λ, μ)$ .

证明替代差异化C类等式中给出(2.1）到 $\vec{{V（V）}_{（f）}}$ ，我们得到

\vec{{V（V）}_{（f）}} = (\begin{array}{c} (\dot{小时} 中国 θ + 小时 \dot{θ} 第页 θ) (x个 - {x个}_{第页}) + (\dot{小时} 第页 θ + 小时 \dot{θ} 中国 θ) (年 - 年_{第页}) \\ (\dot{小时} 第页 θ + 小时 \dot{θ} 中国 θ) (x个 - {x个}_{第页}) + (\dot{小时} 中国 θ + 小时 \dot{θ} 第页 θ) (年 - 年_{第页}) \end{array}) .

然后，滑动速度矢量的长度 $\vec{{V（V）}_{（f）}}$ 获得。□

推论2.9 如果 $小时 (λ, μ) = 1$ ,然后我们得到 ${∥ \vec{{V（V）}_{（f）}} ∥}_{L（左）} = | \dot{θ} | {∥ \vec{P（P） B类} ∥}_{L（左）}$ [8].

定理2.5 对于所有洛伦兹相似运动 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ ,让 ψ 是从极点发出的极射线之间的夹角 P（P） 切中要害 B类 和滑动速度矢量 $\vec{{V（V）}_{（f）}}$ .那么我们就有了关系

中国 ψ (λ, μ) = - \frac{\dot{小时} 中国 θ + 小时 \dot{θ} 第页 θ}{\sqrt{| {\dot{小时}}^{2} - {小时}^{2} {\dot{θ}}^{2} |}}

(2.17)

在每个位置 $(λ, μ)$ .

证明极射线之间有以下关系 $\vec{P（P） B类} = (x个 - {x个}_{第页}, 年 - 年_{第页})$ 和滑动速度矢量 $\vec{{V（V）}_{（f）}}$ :

{〈 \vec{P（P） B类}, \vec{{V（V）}_{（f）}} 〉}_{L（左）} = (\dot{小时} 中国 θ + 小时 \dot{θ} 第页 θ) {∥ \vec{P（P） B类} ∥}_{L（左）}^{2} .

另一方面，

{〈 \vec{P（P） B类}, \vec{{V（V）}_{（f）}} 〉}_{L（左）} = - {∥ \vec{{V（V）}_{（f）}} ∥}_{L（左）} {∥ \vec{P（P） B类} ∥}_{L（左）} 中国 ψ (λ, μ) .

从最后两个方程的等式中，我们得到了方程(2.17). □

推论2.10 如果 $小时 (λ, μ) \neq 0$ 是常量,然后我们得到

ψ (λ, μ) = \frac{π}{2} + θ (λ, μ), θ = 2 k个 π (k个 = 0, 1, \dots) [8] .

定义2.2当一个固定点的滑动速度矢量被带到初始点时，在不改变方向的情况下，这些矢量的端点的轨迹是一条称为速度图的曲线。

现在我们调查任何 $(x个, 年)$ 洛伦兹同向运动中的速度曲线轨迹点 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动得到 ${M（M）}_{我我}$ ，根据位置 $\dot{λ}$ 和 $\dot{μ}$ .对于本租约 ${\dot{μ}}^{2} - {\dot{λ}}^{2} = 1$ .通过对t吨方程式的(2.2），我们有

\begin{aligned} {\dot{年}}_{1} = ({小时}_{λ} x个 中国 θ + {小时}_{λ} 年 第页 θ + 小时 θ_{λ} x个 第页 θ + 小时 θ_{λ} 年 中国 θ + 一_{λ}) \dot{λ} \\ + ({小时}_{μ} x个 中国 θ + {小时}_{μ} 年 第页 θ + 小时 θ_{μ} x个 第页 θ + 小时 θ_{μ} 年 中国 θ + 一_{μ}) \dot{μ}, \\ {\dot{年}}_{2} = ({小时}_{λ} x个 第页 θ + {小时}_{λ} 年 中国 θ + 小时 θ_{λ} x个 中国 θ + 小时 θ_{λ} 年 第页 θ + {b条}_{λ}) \dot{λ} \\ + ({小时}_{μ} x个 第页 θ + {小时}_{μ} 年 中国 θ + 小时 θ_{μ} x个 中国 θ + 小时 θ_{μ} 年 第页 θ + {b条}_{μ}) \dot{μ} . \end{aligned}

(2.18)

让我们研究最后一个方程组的解 $(λ, μ) = (0, 0)$ 为了简单起见。根据方程式(2.18），我们发现

\begin{array}{rcl} det（探测） Δ & = & 小时 ({x个}^{2} - 年^{2}) ({小时}_{λ} θ_{μ} - {小时}_{μ} θ_{λ}) + 小时 x个 (一_{λ} θ_{μ} - 一_{μ} θ_{λ}) - 小时 年 ({b条}_{λ} θ_{μ} - {b条}_{μ} θ_{λ}) \\ + x个 ({小时}_{λ} {b条}_{μ} - {小时}_{μ} {b条}_{λ}) - 年 ({小时}_{λ} 一_{μ} - {小时}_{μ} 一_{λ}) + 一_{λ} {b条}_{μ} - 一_{μ} {b条}_{λ}, \end{array}

也就是说，

\begin{matrix} [{小时}^{2} {x个}^{2} (θ_{λ}^{2} - θ_{μ}^{2}) + 年^{2} ({小时}_{λ}^{2} - {小时}_{μ}^{2}) + 2 小时 x个 年 ({小时}_{λ} θ_{λ} - {小时}_{μ} θ_{μ}) + 2 小时 x个 ({b条}_{λ} θ_{λ} - {b条}_{μ} θ_{μ}) \\ + 2 年 ({小时}_{λ} {b条}_{λ} - {小时}_{μ} {b条}_{μ}) + ({b条}_{λ}^{2} - {b条}_{μ}^{2})] {\dot{年}}_{1}^{2} + [{x个}^{2} ({小时}_{λ}^{2} - {小时}_{μ}^{2}) + {小时}^{2} 年^{2} (θ_{λ}^{2} - θ_{μ}^{2}) \\ + 2 小时 x个 年 ({小时}_{λ} θ_{λ} - {小时}_{μ} θ_{μ}) + 2 x个 ({小时}_{λ} 一_{λ} - {小时}_{μ} 一_{μ}) + 2 小时 年 (一_{λ} θ_{λ} - 一_{μ} θ_{μ}) + (一_{λ}^{2} - 一_{μ}^{2})] {\dot{年}}_{2}^{2} \\ - 2 [小时 ({x个}^{2} + 年^{2}) ({小时}_{λ} θ_{λ} - {小时}_{μ} θ_{μ}) + x个 年 ({小时}_{λ}^{2} - {小时}_{μ}^{2} + {小时}^{2} (θ_{λ}^{2} - θ_{μ}^{2})) + 小时 x个 (一_{λ} θ_{λ} - 一_{μ} θ_{μ}) \\ + 小时 年 ({b条}_{λ} θ_{λ} - {b条}_{μ} θ_{μ}) + x个 ({小时}_{λ} {b条}_{λ} - {小时}_{μ} {b条}_{μ}) + 年 ({小时}_{λ} 一_{λ} - {小时}_{μ} 一_{μ}) + 一_{λ} {b条}_{λ} - 一_{μ} {b条}_{μ}] {\dot{年}}_{1} {\dot{年}}_{2} \\ = {(det（探测） Δ)}^{2} . \end{matrix}

(2.19)

最后，如果我们找到 $\dot{λ}$ 和 $\dot{μ}$ 并将这些值代入方程式 ${\dot{μ}}^{2} - {\dot{λ}}^{2} = 1$ ，并发现以下定理。

定理2.6 在所有洛伦兹同音运动中 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ ,行车记录仪的轨迹是位于 $λ = μ = 0$ .

证明设置 $λ = μ = 0$ 在方程式中(2.19），考虑到一般的二次曲线形式，我们可以说

一 {x个}^{2} + 2 B类 x个 年 + C类 年^{2} + 2 D类 x个 + 2 E类 年 + F类 = 0

和

det（探测） | \begin{array}{c} 一 & B类 \\ B类 & C类 \end{array} | = {(\begin{array}{l} 小时 ({x个}^{2} + 年^{2}) ({小时}_{λ} θ_{λ} - {小时}_{μ} θ_{μ}) + 小时 x个 (一_{λ} θ_{μ} - 一_{μ} θ_{λ}) + 小时 年 ({b条}_{λ} θ_{μ} - {b条}_{μ} θ_{λ}) \\ - 年 ({小时}_{λ} 一_{μ} - {小时}_{μ} 一_{λ}) + x个 ({小时}_{λ} {b条}_{μ} - {小时}_{μ} {b条}_{λ}) + (一_{λ} {b条}_{μ} - 一_{μ} {b条}_{λ}) \end{array})}^{2} < 0 .

也就是说，速度曲线的轨迹是一条双曲线。□

3相似运动的加速极点

现在我们将研究零滑动加速度点的轨迹。所以，我们需要解这个方程 $(\ddot{小时} 一 + 小时 \ddot{一} + 2 \dot{小时} \dot{一}) X（X） + \ddot{C类} = 0$ .该方程的解给出了加速度极点的坐标。从这里我们得到

\begin{aligned} {x个}_{我 第页} = \frac{\ddot{一} (- \ddot{小时} 中国 θ - 小时 {\dot{θ}}^{2} 中国 θ - 小时 \ddot{θ} 第页 θ - 2 \dot{小时} \dot{θ} 第页 θ) + \ddot{b条} (\ddot{小时} 第页 θ + 小时 {\dot{θ}}^{2} 第页 θ + 小时 \ddot{θ} 中国 θ + 2 \dot{小时} \dot{θ} 中国 θ)}{{(\ddot{小时} + 小时 {\dot{θ}}^{2})}^{2} - {(2 \dot{小时} \dot{θ} + 小时 \ddot{θ})}^{2}}, \\ 年_{我 第页} = \frac{\ddot{一} (\ddot{小时} 第页 θ + 小时 {\dot{θ}}^{2} 第页 θ + 小时 \ddot{θ} 中国 θ + 2 \dot{小时} \dot{θ} 中国 θ) + \ddot{b条} (- \ddot{小时} 中国 θ - 小时 {\dot{θ}}^{2} 中国 θ - 小时 \ddot{θ} 第页 θ - 2 \dot{小时} \dot{θ} 第页 θ)}{{(\ddot{小时} + 小时 {\dot{θ}}^{2})}^{2} - {(2 \dot{小时} \dot{θ} + 小时 \ddot{θ})}^{2}} . \end{aligned}

(3.1)

因此，对于 $λ = μ = 0$ ，加速度极点由下式给出

P（P） ({x个}_{我 第页}, 年_{我 第页}) = (\frac{2 \dot{小时} \ddot{b条} \dot{θ} - \ddot{小时} \ddot{一} + 小时 (\ddot{b条} \ddot{θ} - \ddot{一} {\dot{θ}}^{2})}{{(\ddot{小时} + 小时 {\dot{θ}}^{2})}^{2} - {(2 \dot{小时} \dot{θ} + 小时 \ddot{θ})}^{2}}, \frac{2 \dot{小时} \ddot{一} \dot{θ} - \ddot{小时} \ddot{b条} + 小时 (\ddot{一} \ddot{θ} - \ddot{b条} {\dot{θ}}^{2})}{{(\ddot{小时} + 小时 {\dot{θ}}^{2})}^{2} - {(2 \dot{小时} \dot{θ} + 小时 \ddot{θ})}^{2}}) .

(3.2)

定理3.1 洛伦兹相似运动的加速度极点方程 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ 在移动的平面上

(小时 \ddot{一} \ddot{θ} - \ddot{小时} \ddot{b条}) {x个}_{我 第页} - (小时 \ddot{b条} \ddot{θ} - \ddot{小时} \ddot{一}) 年_{我 第页} = 0

(3.3)

在位置 $λ = μ = \dot{λ} = \dot{μ} = 0$ 以及何时 $| \ddot{小时} + 小时 {\dot{θ}}^{2} | \neq | 2 \dot{小时} \dot{θ} + 小时 \ddot{θ} |$ .

证明设置 $λ = μ = \dot{λ} = \dot{μ} = 0$ 在方程式中(三.1）给出了所需的方程。因此，我们可以在的位置给出以下推论 $(λ, μ) = (0, 0)$ . □

推论3.1 运动平面上的加速度极点位于方程给出的直线上(2.7)如果 $θ (λ, μ)$ 是常量.

推论3.2 运动平面上的加速度极点位于方程给出的直线上(2.8)如果 $小时 (λ, μ) \neq 0$ 是常量.

推论3.3 运动平面上的加速度极点位于方程给出的直线上(2.9)如果 $小时 (λ, μ) = 1$ , [8].

推论3.4 如果 $小时 (λ, μ) \neq 0$ 是常量,从推论中获得的运动平面上的极线2.2以及从推论中获得的运动平面上的加速度极线3.2是一致的[8].

定理3.2 洛伦兹相似运动的加速度极点方程 ${M（M）}_{我}$ 从洛伦兹相似运动获得 ${M（M）}_{我我}$ 在固定平面上

(小时 \ddot{一} \ddot{θ} - \ddot{小时} \ddot{b条}) {\bar{x个}}_{我 第页} - (小时 \ddot{b条} \ddot{θ} - \ddot{小时} \ddot{一}) {\bar{年}}_{我 第页} = 0

(3.4)

在位置 $λ = μ = \dot{λ} = \dot{μ} = 0$ 以及何时 $| \ddot{小时} + 小时 {\dot{θ}}^{2} | \neq | 2 \dot{小时} \dot{θ} + 小时 \ddot{θ} |$ .

证明如果我们将加速度极点代入方程(2.1），我们发现

\bar{P（P）} ({\bar{x个}}_{我 第页}, {\bar{年}}_{我 第页}) = (小时 \frac{2 \dot{小时} \ddot{b条} \dot{θ} - \ddot{小时} \ddot{一} + 小时 (\ddot{b条} \ddot{θ} - \ddot{一} {\dot{θ}}^{2})}{{(\ddot{小时} + 小时 {\dot{θ}}^{2})}^{2} - {(2 \dot{小时} \dot{θ} + 小时 \ddot{θ})}^{2}} + 一, 小时 \frac{2 \dot{小时} \ddot{一} \dot{θ} - \ddot{小时} \ddot{b条} + 小时 (\ddot{一} \ddot{θ} - \ddot{b条} {\dot{θ}}^{2})}{{(\ddot{小时} + 小时 {\dot{θ}}^{2})}^{2} - {(2 \dot{小时} \dot{θ} + 小时 \ddot{θ})}^{2}} + b条) .

(3.5)

如果我们采取 $λ = μ = \dot{λ} = \dot{μ} = 0$ 在最后一个方程中，我们有一个方程(三.4).

因此，我们可以在 $λ = μ = \dot{λ} = \dot{μ} = 0$ . □

推论3.5 固定平面上的加速度极点位于方程给出的直线上(2.12)如果 $θ (λ, μ)$ 是常量.

推论3.6 作为特殊情况,如果 $小时 (λ, μ) = 1$ 和 $θ (λ, μ)$ 是常量,运动平面上的加速度极点和固定平面上的加速极点是一致的.

推论3.7 固定平面上的加速度极点位于方程给出的直线上(2.9)如果 $小时 (λ, μ) \neq 0$ 是常量.

推论3.8 如果 $小时 (λ, μ) = 1$ 由推论得到的运动平面的加速度极线3.2和从推论得到的固定平面的加速度极线3.5是一致的.

推论3.9 从推论中可以看出2.4, 3.5和2.6, 3.7,固定平面的极线和固定平面的加速度极线是一致的.

4洛伦兹空间中沿曲线的双参数相似运动

在本节中，我们定义了洛伦兹空间中沿曲线的双参数同调运动，并获得了同一轨迹曲面的特征。

让 ${L（左）}^{三}$ 是具有洛伦兹内积的洛伦兹3空间 ${〈, 〉}_{L（左）}$ 签名的 $(-, +, +)$ .矢量 $\vec{x个} = ({x个}_{1}, {x个}_{2}, {x个}_{三})$ 属于 ${L（左）}^{三}$ 如果 ${〈 \vec{x个}, \vec{x个} 〉}_{L（左）} < 0$ ，类似太空的如果 ${〈 \vec{x个}, \vec{x个} 〉}_{L（左）} > 0$ 和类光（或空），如果 ${〈 \vec{x个}, \vec{x个} 〉}_{L（左）} = 0$ .所有矢量的集合 $\vec{x个}$ 这样的话 ${〈 \vec{x个}, \vec{x个} 〉}_{L（左）} = 0$ 称为类光（或空）锥，用Γ表示。向量的范数 $\vec{x个}$ 定义为 $∥ \vec{x个} ∥ = \sqrt{| {〈 \vec{x个}, \vec{x个} 〉}_{L（左）} |}$ .向量的洛伦兹向量积 $\vec{x个}$ 和 $\vec{年}$ 由定义

\vec{x个} \land_{L（左）} \vec{年} = ({x个}_{2} 年_{三} - {x个}_{三} 年_{2}, {x个}_{1} 年_{三} - {x个}_{三} 年_{1}, {x个}_{2} 年_{1} - {x个}_{1} 年_{2}) .

(4.1)

这就产生了

{\vec{e（电子）}}_{1} \land_{L（左）} {\vec{e（电子）}}_{2} = - {\vec{e（电子）}}_{三}, {\vec{e（电子）}}_{2} \land_{L（左）} {\vec{e（电子）}}_{三} = {\vec{e（电子）}}_{1}, {\vec{e（电子）}}_{三} \land_{L（左）} {\vec{e（电子）}}_{1} = - {\vec{e（电子）}}_{2},

哪里 ${\vec{e（电子）}}_{1}$ , ${\vec{e（电子）}}_{2}$ , ${\vec{e（电子）}}_{三}$ 是空间的基础 ${L（左）}^{三}$ [9]. 半正交矩阵提供按角度（双曲线）旋转t吨围绕向量 $\vec{w个}$ 矩阵的形状取决于向量的类型 $\vec{w个}$ 如中所示[10].

让 $\vec{w个} (秒) = ({w个}_{1} (秒), {w个}_{2} (秒), {w个}_{三} (秒))$ 是类空间（或类时间）向量，是关于的可微函数 $秒 \in R（右）$ ，一个向量值函数。因此，存在唯一的Ω半斜对称矩阵

Ω (1, 三) = {\begin{cases} Ω \in {R（右）}_{三}^{三}, Ω^{T型} = - ε Ω ε, Ω = [\begin{array}{c} 0 & {w个}_{三} & - {w个}_{2} \\ {w个}_{三} & 0 & - {w个}_{1} \\ - {w个}_{2} & {w个}_{1} & 0 \end{array}] \\ {w个}_{我} \in R（右）, ε = [\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{cases}}

为所有人 $\forall 秒 \in 我 \subset R（右）$ 满足以下等式：

Ω (秒) P（P） (秒) = \vec{w个} (秒) \land_{L（左）} \vec{第页} (秒)

(4.2)

对于 $\vec{w个} (秒)$ 和 $\vec{第页} \in {L（左）}^{三}$ ，其中 $\vec{第页} (秒)$ P表示点的位置向量和矩阵形式。

i、。
如果 $\vec{w个} (秒)$ 是类空向量
$一_{1} (秒, t吨) = 我 + (第页 t吨) Ω + (- 1 + 中国 t吨) Ω^{2} .$
(4.3)
ii、。
如果 $\vec{w个} (秒)$ 是一个类时向量
$一_{2} (秒, t吨) = 我 + (罪 t吨) Ω + (1 - 余弦 t吨) Ω^{2}$
(4.4)

是通过半斜对称矩阵定义的正交矩阵 $Ω (秒)$ 对应于向量 $\vec{w个} (秒) = ({w个}_{1} (秒), {w个}_{2} (秒), {w个}_{三} (秒))$ [10].

因此，根据方程式(4.3）和（4.4），我们得到

一_{1} (秒, t吨) \vec{第页} = 一_{1} (秒, t吨) P（P） = [我 + (第页 t吨) Ω + (- 1 + 中国 t吨) Ω^{2}] P（P）

(4.5)

和

一_{2} (秒, t吨) \vec{第页} = 一_{2} (秒, t吨) P（P） = [我 + (罪 t吨) Ω + (1 - 余弦 t吨) Ω^{2}] P（P） .

(4.6)

此外，因为 $Ω P（P） = \vec{w个} \land_{L（左）} \vec{第页}$ 和 $\vec{w个} \land_{L（左）} (\vec{w个} \land_{L（左）} \vec{第页}) = {〈 \vec{w个}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{w个} - {〈 \vec{w个}, \vec{w个} 〉}_{L（左）} \vec{第页}$ 通过使用方程式(4.3）和（4.4），我们得到

一_{1} (秒, t吨) \vec{第页} = \vec{第页} 中国 t吨 + {〈 \vec{w个}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{w个} (1 - 中国 t吨) + (\vec{w个} \land_{L（左）} \vec{第页}) 第页 t吨

(4.7)

和

一_{2} (秒, t吨) \vec{第页} = \vec{第页} 余弦 t吨 - {〈 \vec{w个}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{w个} (1 - 余弦 t吨) + (\vec{w个} \land_{L（左）} \vec{第页}) 罪 t吨 .

(4.8)

定义4.1洛伦兹空间中沿曲线的双参数同调运动 $α (秒)$ 由定义

φ (秒, t吨) = 小时 (秒, t吨) 一_{1, 2} (秒, t吨) \vec{第页} + α (秒) .

让 ${\vec{T型}, \vec{N个}, \vec{B类}}$ 是曲线的Frenet框架α点的第页.轨迹 $φ (秒, t吨) (第页)$ 点的第页是一个曲面。这个曲面的方程式如下。

i、。
如果 $\vec{w个} (秒)$ 是一个类空间向量，然后从方程(4.3）和（4.7），我们有
$φ_{1} (秒, t吨) (第页) = 小时 (秒, t吨) [\vec{第页} 中国 t吨 + {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} (1 - 中国 t吨) + (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) 第页 t吨] + α (秒) .$
(4.9)
ii、。
如果 $\vec{w个} (秒)$ 是一个类时向量，然后从方程(4.4）和（4.8），我们有
$φ_{2} (秒, t吨) (第页) = 小时 (秒, t吨) [\vec{第页} 余弦 t吨 - {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} (1 - 余弦 t吨) + (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) 罪 t吨] + α (秒) .$
(4.10)

如果我们计算这些曲面的法线，根据是否存在类时间和类空间情况，有两种状态。

1.如果 $α (秒)$ 是一条类似空间的曲线，然后是切线 $\vec{T型}$ 是类太空的，我们有以下情况。

（a） $\vec{N个}$ 是一个时间型的 $\vec{B类}$ 像太空一样。因为Frenet公式是

{\vec{T型}}^{'} = {k个}_{1} \vec{N个}, {\vec{N个}}^{'} = {k个}_{1} \vec{T型} + {k个}_{2} \vec{B类}, {\vec{B类}}^{'} = {k个}_{2} \vec{N个}

然后从方程式(4.9）我们得到

\begin{array}{rcl} φ_{1 t吨} (秒, t吨) & = & {小时}_{t吨} (秒, t吨) [\vec{第页} 中国 t吨 + {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} (1 - 中国 t吨) + (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) 第页 t吨] \\ + 小时 (秒, t吨) [第页 t吨 \vec{第页} + 中国 t吨 (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) - 第页 t吨 {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型}] \end{array}

和

\begin{array}{rcl} φ_{1 秒} (秒, t吨) & = & {小时}_{秒} (秒, t吨) [\vec{第页} 中国 t吨 + {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} (1 - 中国 t吨) + (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) 第页 t吨] \\ + 小时 (秒, t吨) [第页 t吨 {k个}_{1} (\vec{N个} \land_{L（左）} \vec{第页}) + (1 - 中国 t吨) {k个}_{1} {〈 \vec{N个}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} + (1 - 中国 t吨) {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} {k个}_{1} \vec{N个}] + \vec{T型} . \end{array}

如果我们采取 $\vec{第页} = λ \vec{N个}$ ，然后

\begin{matrix} φ_{1 t吨} (秒, t吨) = ({小时}_{t吨} λ 中国 t吨 + 小时 λ 第页 t吨) \vec{N个} + ({小时}_{t吨} λ 第页 t吨 + 小时 λ 中国 t吨) \vec{B类}, \\ φ_{1 秒} (秒, t吨) = [- 小时 {k个}_{1} λ (1 - 中国 t吨) + 1] \vec{T型} + {小时}_{秒} λ 中国 t吨 \vec{N个} + {小时}_{秒} λ 第页 t吨 \vec{B类} . \end{matrix}

因此，由点的轨迹绘制的曲面的法线第页是

φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨} = | \begin{array}{c} \vec{T型} & - \vec{N个} & \vec{B类} \\ - 小时 {k个}_{1} λ (1 - 中国 t吨) + 1 & {小时}_{秒} λ 中国 t吨 & {小时}_{秒} λ 第页 t吨 \\ 0 & {小时}_{t吨} λ 中国 t吨 + 小时 λ 第页 t吨 & {小时}_{t吨} λ 第页 t吨 + 小时 λ 中国 t吨 \end{array} |

即,

\begin{array}{rcl} φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨} & = & [- {小时}_{秒} 小时 λ^{2}] \vec{T型} + [小时 {k个}_{1} λ^{2} ({小时}_{t吨} 第页 t吨 + 小时 中国 t吨) (中国 t吨 - 1) + {小时}_{t吨} λ 第页 t吨 + 小时 λ 中国 t吨] \vec{N个} \\ + [小时 {k个}_{1} λ^{2} ({小时}_{t吨} 中国 t吨 + 小时 第页 t吨) (中国 t吨 - 1) + {小时}_{t吨} λ 中国 t吨 + 小时 λ 第页 t吨] \vec{B类} . \end{array}

如果 $小时 (秒, t吨)$ 是一个永不消失的常数，则该曲面的法线位于垂直于曲线切线向量场的法线平面上 $α (秒)$ .

推论4.1 如果曲线的主法向量是时间型的-通过以下方法获得的参数运动 $一_{1} (秒, t吨)$ 在里面 ${L（左）}^{三}$ ,

\begin{matrix} {〈 φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨}, φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨} 〉}_{L（左）} \\ = λ^{2} [{小时}_{秒}^{2} {小时}^{2} λ^{2} + {小时}_{t吨}^{2} {(1 + 小时 {k个}_{1} λ (中国 t吨 - 1))}^{2} - {小时}^{2} {(1 + 小时 {k个}_{1} λ (中国 t吨 - 1))}^{2}], \end{matrix}

在这个表达式中,如果 $小时 (秒, t吨)$ 是非零的常数,

{〈 φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨}, φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨} 〉}_{L（左）} = - {小时}^{2} λ^{2} {(1 + 小时 {k个}_{1} λ (中国 t吨 - 1))}^{2} < 0,

和所选点的几何位置 第页 它位于 α 类空间曲线是类空间曲面.

（b） $\vec{N个}$ 像太空一样 $\vec{B类}$ 是时间性的。因为Frenet公式是

{\vec{T型}}^{'} = {k个}_{1} \vec{N个}, {\vec{N个}}^{'} = - {k个}_{1} \vec{T型} + {k个}_{2} \vec{B类}, {\vec{B类}}^{'} = {k个}_{2} \vec{N个}

然后从方程式(4.9）我们得到

\begin{array}{rcl} φ_{1 t吨} (秒, t吨) & = & {小时}_{t吨} (秒, t吨) [\vec{第页} 中国 t吨 + {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} (1 - 中国 t吨) + (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) 第页 t吨] \\ + 小时 (秒, t吨) [第页 t吨 \vec{第页} + 中国 t吨 (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) - 第页 t吨 {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型}] \end{array}

和

\begin{array}{rcl} φ_{1 秒} (秒, t吨) & = & {小时}_{秒} (秒, t吨) [\vec{第页} 中国 t吨 + {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} (1 - 中国 t吨) + (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) 第页 t吨] \\ + 小时 (秒, t吨) [第页 t吨 {k个}_{1} (\vec{N个} \land_{L（左）} \vec{第页}) + (1 - 中国 t吨) {k个}_{1} {〈 \vec{N个}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} + (1 - 中国 t吨) {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} {k个}_{1} \vec{N个}] + \vec{T型} . \end{array}

如果我们采取 $\vec{第页} = λ \vec{N个}$ ，然后

\begin{matrix} φ_{1 t吨} (秒, t吨) = ({小时}_{t吨} λ 中国 t吨 + 小时 λ 第页 t吨) \vec{N个} - ({小时}_{t吨} λ 第页 t吨 + 小时 λ 中国 t吨) \vec{B类}, \\ φ_{1 秒} (秒, t吨) = [小时 {k个}_{1} λ (1 - 中国 t吨) + 1] \vec{T型} + {小时}_{秒} λ 中国 t吨 \vec{N个} - {小时}_{秒} λ 第页 t吨 \vec{B类} . \end{matrix}

因此，由点的轨迹绘制的曲面的法线第页是

φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨} = | \begin{array}{c} \vec{T型} & \vec{N个} & - \vec{B类} \\ 小时 {k个}_{1} λ (1 - 中国 t吨) + 1 & {小时}_{秒} λ 中国 t吨 & - {小时}_{秒} λ 第页 t吨 \\ 0 & {小时}_{t吨} λ 中国 t吨 + 小时 λ 第页 t吨 & - {小时}_{t吨} λ 第页 t吨 - 小时 λ 中国 t吨 \end{array} |

即,

\begin{array}{rcl} φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨} & = & [- {小时}_{秒} 小时 λ^{2}] \vec{T型} + [小时 {k个}_{1} λ^{2} ({小时}_{t吨} 第页 t吨 + 小时 中国 t吨) (1 - 中国 t吨) + {小时}_{t吨} λ 第页 t吨 + 小时 λ 中国 t吨] \vec{N个} \\ - [小时 {k个}_{1} λ^{2} ({小时}_{t吨} 中国 t吨 + 小时 第页 t吨) (1 - 中国 t吨) + {小时}_{t吨} λ 中国 t吨 + 小时 λ 第页 t吨] \vec{B类} . \end{array}

推论4.2 如果曲线的副法向量是时间型的-参数运动由以下公式获得 $一_{1} (秒, t吨)$ 在里面 ${L（左）}^{三}$ ,

\begin{matrix} {〈 φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨}, φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨} 〉}_{L（左）} \\ = λ^{2} [{小时}_{秒}^{2} {小时}^{2} λ^{2} - {小时}_{t吨}^{2} {(1 + 小时 {k个}_{1} λ (1 - 中国 t吨))}^{2} + {小时}^{2} {(1 + 小时 {k个}_{1} λ (1 - 中国 t吨))}^{2}], \end{matrix}

在这个表达式中,如果 $小时 (秒, t吨)$ 是非零的常数,

{〈 φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨}, φ_{1 秒} \land_{L（左）} φ_{1 t吨} 〉}_{L（左）} = {小时}^{2} λ^{2} {(1 + 小时 {k个}_{1} λ (中国 t吨 - 1))}^{2} > 0,

选定点的几何位置 第页它在 α 类空间曲线是一个类时间曲面.

2.如果 $α (秒)$ 是一条时间曲线，然后是切线 $\vec{T型}$ 是时间性的，我们有以下情况。

$\vec{N个}$ 和 $\vec{B类}$ 都像太空一样。因为Frenet公式是

{\vec{T型}}^{'} = {k个}_{1} \vec{N个}, {\vec{N个}}^{'} = {k个}_{1} \vec{T型} + {k个}_{2} \vec{B类}, {\vec{B类}}^{'} = - {k个}_{2} \vec{N个}

然后从方程式(4.10）我们得到

\begin{array}{rcl} φ_{2 t吨} (秒, t吨) & = & {小时}_{t吨} (秒, t吨) [\vec{第页} 余弦 t吨 + {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} (1 - 余弦 t吨) + (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) 罪 t吨] \\ + 小时 (秒, t吨) [- \vec{第页} 罪 t吨 - {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} 罪 t吨 + (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) 余弦 t吨] \end{array}

和

\begin{array}{rcl} φ_{2 秒} (秒, t吨) & = & {小时}_{秒} (秒, t吨) [\vec{第页} 余弦 t吨 + {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} (1 - 余弦 t吨) + (\vec{T型} \land_{L（左）} \vec{第页}) 罪 t吨] \\ + 小时 (秒, t吨) [{k个}_{1} 罪 t吨 (\vec{N个} \land_{L（左）} \vec{第页}) - (1 - 余弦 t吨) {k个}_{1} {〈 \vec{N个}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} \vec{T型} - (1 - 余弦 t吨) {〈 \vec{T型}, \vec{第页} 〉}_{L（左）} {k个}_{1} \vec{N个}] + \vec{T型} . \end{array}

如果我们采取 $\vec{第页} = λ \vec{N个}$ ，然后

\begin{matrix} φ_{2 t吨} (秒, t吨) = ({小时}_{t吨} λ 余弦 t吨 - 小时 λ 罪 t吨) \vec{N个} + ({小时}_{t吨} λ 罪 t吨 + 小时 λ 余弦 t吨) \vec{B类}, \\ φ_{2 秒} (秒, t吨) = [1 - 小时 {k个}_{1} λ (1 - 余弦 t吨)] \vec{T型} + {小时}_{秒} λ 余弦 t吨 \vec{N个} + {小时}_{秒} λ 罪 t吨 \vec{B类} . \end{matrix}

因此，由点的轨迹绘制的曲面的法线第页是

φ_{2 秒} \land_{L（左）} φ_{2 t吨} = | \begin{array}{c} - \vec{T型} & \vec{N个} & \vec{B类} \\ 1 + 小时 {k个}_{1} λ (余弦 t吨 - 1) & {小时}_{秒} λ 余弦 t吨 & {小时}_{秒} λ 罪 t吨 \\ 0 & {小时}_{t吨} λ 余弦 t吨 - 小时 λ 罪 t吨 & {小时}_{t吨} λ 罪 t吨 + 小时 λ 余弦 t吨 \end{array} |

即,

\begin{array}{rcl} φ_{2 秒} \land_{L（左）} φ_{2 t吨} & = & [{小时}_{秒} 小时 λ^{2}] \vec{T型} - [小时 {k个}_{1} λ^{2} ({小时}_{t吨} 罪 t吨 + 小时 余弦 t吨) (余弦 t吨 - 1) + {小时}_{t吨} λ 罪 t吨 + 小时 λ 余弦 t吨] \vec{N个} \\ + [小时 {k个}_{1} λ^{2} ({小时}_{t吨} 余弦 t吨 - 小时 罪 t吨) (余弦 t吨 - 1) + {小时}_{t吨} λ 余弦 t吨 - 小时 λ 罪 t吨] \vec{B类} . \end{array}

推论4.3 A二-参数运动由以下公式获得 $一_{2} (秒, t吨)$ 在里面 ${L（左）}^{三}$ ,

\begin{matrix} {〈 φ_{2 秒} \land_{L（左）} φ_{2 t吨}, φ_{2 秒} \land_{L（左）} φ_{2 t吨} 〉}_{L（左）} \\ = λ^{2} [- {小时}_{秒}^{2} {小时}^{2} λ^{2} + {小时}_{t吨}^{2} {(1 + 小时 {k个}_{1} λ (余弦 t吨 - 1))}^{2} + {小时}^{2} {(1 + 小时 {k个}_{1} λ (余弦 t吨 - 1))}^{2}], \end{matrix}

在这个表达式中,如果 $小时 (秒, t吨)$ 是非零的常数,

{〈 φ_{2 秒} \land_{L（左）} φ_{2 t吨}, φ_{2 秒} \land_{L（左）} φ_{2 t吨} 〉}_{L（左）} = λ^{2} {小时}^{2} {(1 + 小时 {k个}_{1} λ (余弦 t吨 - 1))}^{2} > 0,

选定点的几何位置 第页 它位于 α 时间型曲线是一个时间型曲面.

5轨迹曲面参数化

在本节中，我们找到了从洛伦兹空间中的双参数运动获得的轨迹曲面的一些参数化。

5.1气缸表面

5.1.1 $α (秒)$ 像太空一样

假设 $α (秒) = (0, 0, 秒)$ 和 $第页 = ({第页}_{1}, {第页}_{2}, {第页}_{三}) \in {L（左）}^{三}$ .将这些代入方程式(4.9），我们得到

φ (秒, t吨) (第页) = (小时 {第页}_{1} 中国 t吨 + 小时 {第页}_{2} 第页 t吨, 小时 {第页}_{2} 中国 t吨 + 小时 {第页}_{1} 第页 t吨, 小时 {第页}_{三} + 秒) .

作为特殊情况，如果 $第页 = ({第页}_{1}, {第页}_{2}, 0)$ ，我们获得

φ (秒, t吨) (第页) = (小时 {第页}_{1} 中国 t吨 + 小时 {第页}_{2} 第页 t吨, 小时 {第页}_{2} 中国 t吨 + 小时 {第页}_{1} 第页 t吨, 秒) .

对于 ${第页}_{1} = 第页第页 θ$ 和 ${第页}_{2} = 第页中国 θ$ ，我们得到

φ (秒, t吨) (第页) = (小时 第页 第页 θ 中国 t吨 + 小时 第页 中国 θ 第页 t吨, 小时 第页 中国 θ 中国 t吨 + 小时 第页 第页 θ 第页 t吨, 秒),

也就是说，

φ (秒, t吨) (第页) = (小时 第页 第页 (θ + t吨), 小时 第页 中国 (θ + t吨), 秒) .

(5.1)

示例5.1让 $- 1 < 秒 < 1$ , $- 2 π < t吨, θ < 2 π$ 和 $小时 (秒, t吨) = 秒 + 罪 t吨余弦 t吨$ 在方程式中(5.1），然后我们可以获得图中给出的相似柱面1.

例5.2如果我们采取 $小时 (秒, t吨) = 1$ 在方程式中(5.1）获得如图所示的类空圆柱体表面2.

5.1.2 $α (秒)$ 是时间性的

假设 $α (秒) = (秒, 0, 0)$ 和 $第页 = ({第页}_{1}, {第页}_{2}, {第页}_{三}) \in {L（左）}^{三}$ .将这些代入方程式(4.10），我们得到

φ_{2} (秒, t吨) (第页) = (- 小时 {第页}_{1} + 秒, 小时 {第页}_{2} 余弦 t吨 - 小时 {第页}_{三} 罪 t吨, 小时 {第页}_{三} 余弦 t吨 + 小时 {第页}_{2} 罪 t吨) .

作为特殊情况，如果 $第页 = (0, {第页}_{2}, {第页}_{三})$ ，我们获得

φ (秒, t吨) (第页) = (秒, 小时 {第页}_{2} 余弦 t吨 - 小时 {第页}_{三} 罪 t吨, 小时 {第页}_{三} 余弦 t吨 + 小时 {第页}_{2} 罪 t吨) .

对于 ${第页}_{2} = 第页余弦 θ$ 和 ${第页}_{三} = 第页罪 θ$ ，我们得到

φ (秒, t吨) (第页) = (秒, 小时 第页 余弦 θ 余弦 t吨 - 小时 第页 罪 θ 罪 t吨, 小时 第页 罪 θ 余弦 t吨 + 小时 第页 余弦 θ 罪 t吨),

那就是

φ (秒, t吨) (第页) = (秒, 小时 第页 余弦 (θ + t吨), 小时 第页 罪 (θ + t吨)) .

(5.2)

示例5.3让 $- 1 < 秒 < 1$ , $0 < t吨, θ < π$ 和 $小时 (秒, t吨) = 秒 + 罪 t吨余弦 t吨$ 在方程式中(5.2），然后我们可以获得图中给出的相似柱面三.

示例5.4如果我们采取 $小时 (秒, t吨) = 1$ 在方程式中(5.2）获得如图所示的时间周期圆柱表面4.

5.2双曲面

5.2.1 $α (秒)$ 像太空一样

让 $α (秒) = (0, 0, 秒)$ 和 $第页 (秒) = (1, 秒, 0)$ ; 将这些代入方程式(4.9），我们得到

φ (秒, t吨) (第页) = (小时 中国 t吨 - 小时 秒 第页 t吨, 小时 秒 中国 t吨 + 小时 第页 t吨, 秒) .

(5.3)

示例5.5在方程式中(5.3）如果 $- 4 < 秒 < 4$ , $- π < t吨 < π$ 和 $小时 (秒, t吨) = 秒 + 罪 t吨余弦 t吨$ 给出，然后获得如图所示的类空同调双曲面5.

示例5.6在方程式中(5.3）如果 $小时 (秒, t吨) = 1$ 则获得一个类空双曲面，如图所示6.

5.2.2 $α (秒)$ 是时间性的

让 $α (秒) = (0, 0, 秒)$ 和 $第页 (秒) = (1, 秒, 0)$ ; 将这些代入方程式(4.10），我们得到

φ_{2} (秒, t吨) (第页) = (小时 + 秒, 小时 秒 余弦 t吨, 小时 秒 罪 t吨) .

(5.4)

例5.7在方程式中(5.4）如果 $- 4 < 秒 < 4$ , $- π < t吨 < π$ 和 $小时 (秒, t吨) = 秒 + 罪 t吨余弦 t吨$ 给出，然后获得如图所示的类时同胚双曲面7.

示例5.8在方程式中(5.4）如果 $小时 (秒, t吨) = 1$ 然后获得一个时间型双曲面，如图所示8.

5.3 Tor表面

5.3.1 $α (秒)$ 像太空一样

让 $\vec{T型}$ 像太空一样， $\vec{N个}$ 时间型和 $\vec{B类}$ 像太空一样。让曲线 $α (秒) = (第页罪 θ, 第页余弦 θ, 0)$ 是具有半径的洛伦兹圆第页上xy公司-平面。然后是曲线的Frenet框架 $α (秒)$ 在这一点上第页是

\vec{T型} = (第页 秒, 中国 秒, 0), \vec{N个} = (中国 秒, 第页 秒, 0), \vec{B类} = (0, 0, - 1)

和用于 $\vec{第页} = λ \vec{N个,}$ 将这些方程代入方程(4.9），我们得到了tor曲面的方程如下：

φ (秒, t吨) (第页) = (中国 秒 [第页 + 小时 λ 中国 t吨], 第页 秒 [第页 + 小时 λ 中国 t吨], - 小时 λ 第页 t吨) .

(5.5)

示例5.9在方程式中(5.5）如果 $- π < 秒, t吨 < π$ 和 $小时 (秒, t吨) = 秒 + 罪 t吨余弦 t吨$ 则获得如图所示的类似于空间的曲面9.

示例5.10在方程式中(5.5）如果 $小时 (秒, t吨) = 1$ 获取，然后获得如图所示的类空曲面10.

5.3.2 $α (秒)$ 是时间性的

让曲线 $α (秒) = (第页罪 θ, 第页余弦 θ, 0)$ 是具有半径的洛伦兹圆第页上xy公司-飞机。然后，曲线的Frenet帧 $α (秒)$ 在这一点上第页是

\vec{T型} = (中国 秒, 第页 秒, 0), \vec{N个} = (第页 秒, 中国 秒, 0), \vec{B类} = (0, 0, 1)

和用于 $\vec{第页} = λ \vec{N个}$ ，将这些方程式替换为方程式(4.10），我们得到了tor曲面的方程如下：

φ_{2} (秒, t吨) (第页) = (第页 秒 [第页 + 小时 λ 余弦 t吨], 中国 秒 [第页 + 小时 λ 余弦 t吨], 小时 λ 罪 t吨) .

(5.6)

示例5.11在方程式中(5.6）如果 $- π < 秒, t吨 < π$ 和 $小时 (秒, t吨) = 秒 + 罪 t吨余弦 t吨$ 给出，然后获得如图所示的时间相似的tor曲面11.

示例5.12在方程式中(5.6）如果 $小时 (秒, t吨) = 1$ 然后获得如图所示的时间型tor曲面12.

6结论

我们给出的结果涉及洛伦兹相似运动，其中运动物体的位置取决于两个参数。得到了双参数洛伦兹相似运动的速度图。速度图是粒子速度端点的轨迹，是牛顿定律一阶方程的解。在本研究中，洛伦兹同向运动的速度曲线轨迹被发现为双曲线。

本文还研究了由点、运动物体生成的轨迹曲面（柱面、双曲面和曲面），并用MATLAB软件绘制了这些曲面的图形。

工具书类

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Chen YJ，Ravani B：在计算机辅助设计中偏移曲面生成和轮廓。J.机械。Transm公司。自动。设计。1987, 109: 133-142. 10.1115/1.3258777
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致谢

我们要感谢审稿人，他们的仔细阅读、有益的建议和宝贵的意见帮助我们改进了手稿。

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作者和附属机构

土耳其萨卡里亚萨卡里亚大学文理学院数学系
穆辛·切利克、多安·纳尔和穆罕默德·阿里·孔格尔

作者

穆辛·切利克
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穆罕默德·阿里·孔格尔
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通讯作者

与的通信穆辛·切利克.

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关于本文

引用这篇文章

乔利克，M.，尤纳尔，D.&Güngör，M.A.关于双参数洛伦兹同音运动。高级差异Equ 2014, 42 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-42

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收到:2013年10月11日
认可的:2014年1月6日
出版:2014年1月27日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-42

关于双参数洛伦兹相似运动

摘要

1引言

2洛伦兹平面上的双参数相似运动

3相似运动的加速极点

4洛伦兹空间中沿曲线的双参数相似运动

5轨迹曲面参数化

5.1气缸表面

5.1.1α(秒)像太空一样

5.1.2α(秒)是时间性的

5.2双曲面

5.2.1α(秒)像太空一样

5.2.2α(秒)是时间性的

5.3 Tor表面

5.3.1α(秒)像太空一样

5.3.2α(秒)是时间性的

6结论

工具书类

致谢

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关键词

5.1.1 $α (秒)$ 像太空一样

5.1.2 $α (秒)$ 是时间性的

5.2.1 $α (秒)$ 像太空一样

5.2.2 $α (秒)$ 是时间性的

5.3.1 $α (秒)$ 像太空一样

5.3.2 $α (秒)$ 是时间性的