Approximate controllability of impulsive neutral stochastic differentialequations with fractional Brownian motion in a Hilbert space

Ahmed, Hamdy M

doi:10.1186/1687-1847-2014-113

研究
开放式访问
出版：2014年5月2日

希尔伯特空间中分数布朗运动脉冲中立型随机微分方程的近似可控性

哈米·艾哈迈德¹

差分方程研究进展 体积 2014，物品编号：113(2014)引用这篇文章

2783访问
46引文
韵律学细节

摘要

研究了希尔伯特空间中具有有限时滞和分数布朗运动的脉冲中立型随机泛函微分方程的近似能控性。结果是利用半群理论、随机分析和巴拿赫不动点定理得到的。最后，给出了一个例子来说明我们的结果的应用。

理学硕士：60H15、60G22、93B05、34A37。

1引言

脉冲微分系统用于描述在某些时刻发生突变的过程。脉冲效应广泛存在于现实世界的不同领域，如机械、电子、电信、神经网络、金融和经济等（参见[1–7]). 另一方面，众所周知，随机控制理论是经典控制理论的随机推广。可控性作为数学控制理论中的基本概念之一，在确定性和随机控制理论中都起着重要的作用。可控性通常意味着可以使用一组可接受的控制（参见[8–17]). 此外，近似可控性意味着系统可以跨越到最终状态的任意小邻域。近似可控系统更为普遍，在应用中，近似可控性通常是充分的（参见[18–24]).

本文的目的是研究一类具有有限时滞和分数布朗运动的脉冲中立型随机泛函微分方程在形式为Hilbert空间中的近似能控性问题

{\begin{cases} d日 [x个 (t吨) + 克 (t吨, x个 (t吨 - 第页 (t吨)))] = [一个 x个 (t吨) + （f） (t吨, x个 (t吨 - ν (t吨))) + B类 u个 (t吨)] d日 t吨 + σ (t吨) d日 {B类}^{H（H）} (t吨), \\ 0 \leq t吨 \leq T型, t吨 \neq {t吨}_{k}, \\ Δ x个 |_{t吨 = {t吨}_{k}} = 我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-})), k = 1, 2, \dots, 米, \\ x个 (t吨) = φ (t吨), - τ \leq t吨 \leq 0, \end{cases}

(1.1)

哪里一个是有界线性算子解析半群的无穷小生成元， $S公司 {(t吨)}_{t吨 \geq 0}$ ，在Hilbert空间中X（X）, ${B类}^{H（H）}$ 是实可分希尔伯特空间上的分数布朗运动Y（Y），初始数据 $φ \in C类 ([- τ, 0], {L（左）}^{2} (Ω, X（X）))$ 和控制功能 $u个 (\cdot)$ 在中给出 ${L（左）}^{2} ([0, T型], U型)$ ，允许控制函数的Hilbert空间U型希尔伯特空间。符号B类代表有界的线性范围U型到X（X）.功能 $第页, ν : [0, + \infty) \to [0, τ]$ ( $τ > 0$ )是连续的， $Δ x个 |_{t吨 = {t吨}_{k}} = 我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-}))$ ，其中 $x个 ({t吨}_{k}^{+})$ 和 $x个 ({t吨}_{k}^{-})$ 表示的左右极限 $x个 (t吨)$ 在 $t吨 = {t吨}_{k}$ 分别为和 $（f）, 克 : [0, + \infty) \times X（X） \to X（X）$ , $σ : [0, + \infty) \to {L（左）}_{2}^{0} (Y（Y）, X（X）)$ ，是合适的Lipschitz类型函数。在这里 $对_{T型} : = C类 ([- τ, T型], {L（左）}^{2} (Ω, X（X）))$ 是所有连续函数的Banach空间ξ从 $[- τ, T型]$ 进入之内 ${L（左）}^{2} (Ω, X（X）)$ 配备了至高无上规范 ${∥ ξ ∥}_{对_{T型}} = {支持}_{年 \in [- τ, T型]} {(E类 {∥ ξ (年) ∥}^{2})}^{1 / 2}$ .

2分数布朗运动

确定时间间隔 $[0, T型]$ 然后让 $(Ω, F类, P（P）)$ 是一个完全概率空间。

假设 ${β^{H（H）} (t吨), t吨 \in [0, T型]}$ 是带Hurst参数的一维分数布朗运动 $H（H） \in (1 / 2, 1)$ 也就是说， $β^{H（H）}$ 是具有协变函数的中心高斯过程 $对_{H（H）} (秒, t吨) = \frac{1}{2} ({t吨}^{2 H（H）} + 秒^{2 H（H）} - {| t吨 - 秒 |}^{2 H（H）})$ （请参见[25]).

此外， $β^{H（H）}$ 具有以下维纳积分表示：

β^{H（H）} (t吨) = \int_{0}^{t吨} {K（K）}_{H（H）} (t吨, 秒) d日 β (秒),

哪里 $β = {β (t吨), t吨 \in [0, T型]}$ 是Wiener过程，并且 ${K（K）}_{H（H）} (t吨, 秒)$ 是由给定的内核

{K（K）}_{H（H）} (t吨, 秒) = {c（c）}_{H（H）} 秒^{\frac{1}{2} - H（H）} \int_{秒}^{t吨} {(u个 - 秒)}^{H（H） - \frac{3}{2}} {u个}^{H（H） - \frac{1}{2}} d日 u个

对于 $秒 < t吨$ ，其中 ${c（c）}_{H（H）} = \sqrt{\frac{H（H） (2 H（H） - 1)}{β (2 - 2 H（H）, H（H） - \frac{1}{2})}}$ 和

β (第页, q个) = \int_{0}^{1} {t吨}^{第页 - 1} {(1 - t吨)}^{q个 - 1}, 第页 > 0, q个 > 0 .

我们把 ${K（K）}_{H（H）} (t吨, 秒) = 0$ 如果 $t吨 \leq 秒$ .

我们将表示为ζfBm的再生核Hilbert空间。影响ζ是一组指标函数的闭包 ${1_{[0, t吨]}, t吨 \in [0, T型]}$ 关于标量积 ${〈 1_{[0, t吨]}, 1_{[0, 秒]} 〉}_{ζ} = 对_{H（H）} (t吨, 秒)$ .

映射 $1_{[0, t吨]} \to β^{H（H）} (t吨)$ 可以从扩展到等距ζ第一个维纳混沌，我们将表示为 $β^{H（H）} (φ)$ 的图像φ在这个等距之下。

我们记得，因为 $ψ, φ \in ζ$ 它们的标量积ζ由提供

{〈 ψ, φ 〉}_{ζ} = H（H） (2 H（H） - 1) \int_{0}^{T型} \int_{0}^{T型} ψ (秒) φ (t吨) {| t吨 - 秒 |}^{2 H（H） - 2} d日 秒 d日 t吨 .

让我们考虑一下操作员 ${K（K）}^{*}$ 从ζ到 ${L（左）}^{2} ([0, T型])$ 由定义

({K（K）}_{H（H）}^{*} φ) (秒) = \int_{S公司}^{T型} φ (第页) \frac{\partial K（K）}{\partial 第页} (第页, 秒) d日 第页 .

此外，对于任何 $φ \in ζ$ ，我们有

β^{H（H）} (φ) = \int_{0}^{T型} ({K（K）}_{H（H）}^{*} φ) (t吨) d日 β (t吨) .

让X（X）和Y（Y）是两个实的、可分离的Hilbert空间，并且让 $L（左） (Y（Y）, X（X）)$ 是有界线性算子的空间Y（Y）到X（X）为了方便起见，我们将使用相同的符号表示X（X）,Y（Y）和 $L（左） (Y（Y）, X（X）)$ .让 $问 \in L（左） (Y（Y）, Y（Y）)$ 是由定义的运算符 $问 {e（电子）}_{n个} = λ_{n个} {e（电子）}_{n个}$ 具有有限迹 $tr公司问 = \sum_{n个 = 1}^{\infty} λ_{n个} < \infty$ ，其中 $λ_{n个} \geq 0$ ( $n个 = 1, 2, \dots$ )是非负实数，并且 ${{e（电子）}_{n个}}$ ( $n个 = 1, 2, \dots$ )是中的一个完全正交基Y（Y）.

我们定义了无限维fBmY（Y）具有协方差问作为

{B类}^{H（H）} (t吨) = {B类}_{问}^{H（H）} (t吨) = \sum_{n个 = 1}^{\infty} \sqrt{λ_{n个}} {e（电子）}_{n个} β_{n个}^{H（H）} (t吨),

哪里 $β_{n个}^{H（H）}$ 是真实的、独立的fBm。这个Y（Y）-值过程是高斯过程，从0开始，具有均值零和协方差：

E类 〈 {B类}^{H（H）} (t吨), x个 〉 〈 {B类}^{H（H）} (秒), 年 〉 = 对 (秒, t吨) 〈 问 (x个), 年 〉 为所有人 x个, 年 \in Y（Y） 和 t吨, 秒 \in [0, T型] .

为了定义关于问-fBm，我们引入空间 ${L（左）}_{2}^{0} : = {L（左）}_{2}^{0} (Y（Y）, X（X）)$ 所有的问-希尔伯特·施密特算子 $ψ : Y（Y） \to X（X）$ 。我们记得 $ψ \in L（左） (Y（Y）, X（X）)$ 称为问-Hilbert-Schmidt算子，如果

{∥ ψ ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} : = \sum_{n个 = 1}^{\infty} {∥ {\sqrt{λ}}_{n个} ψ {e（电子）}_{n个} ∥}^{2} < \infty

而且这个空间 ${L（左）}_{2}^{0}$ 配备内部产品 ${〈 φ, ψ 〉}_{{L（左）}_{2}^{0}} = \sum_{n个 = 1}^{\infty} 〈 φ {e（电子）}_{n个}, ψ {e（电子）}_{n个} 〉$ 是一个可分离的希尔伯特空间。

让 $ϕ (秒)$ ; $秒 \in [0, T型]$ 是具有值的函数 ${L（左）}_{2}^{0} (Y（Y）, X（X）)$ ，的Wiener积分ϕ关于 ${B类}^{H（H）}$ 由定义

\begin{aligned} \int_{0}^{t吨} ϕ (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒) & = \sum_{n个 = 1}^{\infty} \int_{0}^{t吨} \sqrt{λ} ϕ (秒) {e（电子）}_{n个} d日 β_{n个}^{H（H）} \\ = \sum_{n个 = 1}^{\infty} \int_{0}^{t吨} \sqrt{λ} {K（K）}^{*} (ϕ {e（电子）}_{n个}) (秒) d日 β_{n个} (秒), \end{aligned}

(2.1)

哪里 $β_{n个}$ 是标准的布朗运动。

引理2.1（请参见[26])

如果 $ψ : [0, T型] \to {L（左）}_{2}^{0} (Y（Y）, X（X）)$ 满足 $\int_{0}^{T型} {∥ ψ (秒) ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} < \infty$ 然后将上述总和(2.1)定义为 X（X）-值随机变量，我们有

E类 {∥ \int_{0}^{t吨} ψ (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒) ∥}^{2} \leq 2 H（H） {t吨}^{2 H（H） - 1} \int_{0}^{t吨} {∥ ψ (秒) ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} d日 秒 .

3近似可控性

让 $一个 : D类 (一个) \to X（X）$ 是分析半群的无穷小生成器， ${(S公司 (t吨))}_{t吨 \geq 0}$ ，上的有界线性算子X（X）众所周知 $M（M） \geq 1$ 和 $λ \in 对$ 这样的话 $∥ S公司 (t吨) ∥ \leq M（M） {e（电子）}^{λ t吨}$ 对于每个 $t吨 \geq 0$ .

如果 ${(S公司 (t吨))}_{t吨 \geq 0}$ 是一致有界的解析半群 $0 \in ρ (一个)$ ，其中 $ρ (一个)$ 是的预解集一个则可以定义分数幂 ${(- 一个)}^{α}$ 对于 $0 < α \leq 1$ ，作为其域上的闭合线性算子 $D类 {(- 一个)}^{α}$ 此外，子空间 $D类 {(- 一个)}^{α}$ 在X（X）和表达式 ${∥ 小时 ∥}_{α} = ∥ {(- 一个)}^{α} 小时 ∥$ 在中定义规范 $D类 {(- 一个)}^{α}$ .如果 ${X（X）}_{α}$ 表示空间 $D类 {(- 一个)}^{α}$ 被赋予了规范 ${∥ \cdot ∥}_{α}$ ，则以下属性是众所周知的。

引理3.1([27])

（1）
让 $0 < α \leq 1$ ,然后 ${X（X）}_{α}$ 是巴纳赫空间.
(2)
如果 $0 < β \leq α$ ,然后注射 ${X（X）}_{α} ↪ {X（X）}_{β}$ 是连续的.
（3）
对于每个 $0 < α \leq 1$ 存在 ${M（M）}_{α} > 0$ 这样的话
$∥ {(- 一个)}^{α} S公司 (t吨) ∥ \leq {M（M）}_{α} {t吨}^{- α} {e（电子）}^{- λ t吨}, t吨 > 0, λ > 0 .$

现在，我们提出问题的温和解决方案（1.1）：

定义3.1一个X（X）-有价值的过程 ${x个 (t吨), t吨 \in [- τ, T型]}$ 称为方程的温和解(1.1）如果

（i）
$x个 (\cdot) \in C类 ([- τ, T型], {L（左）}^{2} (Ω, X（X）))$ ,
（ii）
$x个 (t吨) = φ (t吨)$ , $- τ \leq t吨 \leq 0$ ,
（iii）
用于任意 $t吨 \in [0, T型]$ ，我们有
$\begin{aligned} x个 (t吨) = & S公司 (t吨) [φ (0) + 克 (0, φ (- 第页 (0)))] - 克 (t吨, x个 (t吨 - 第页 (t吨))) \\ - \int_{0}^{t吨} 一个 S公司 (t吨 - 秒) 克 (秒, x个 (秒 - 第页 (秒))) d日秒 \\ + \int_{0}^{t吨} S公司 (t吨 - 秒) （f） (秒, x个 (秒 - ν (秒))) d日秒 + \int_{0}^{t吨} S公司 (t吨 - 秒) B类 u个 (秒) d日秒 \\ + \int_{0}^{t吨} S公司 (t吨 - 秒) σ (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒) + \sum_{0 < {t吨}_{k} < t吨} S公司 (t吨 - {t吨}_{k}) 我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-})) . \end{aligned}$
(3.1)

在本文中，我们将做出以下假设。

（H1）操作员一个是解析半群的无穷小生成元， ${(S公司 (t吨))}_{t吨 \geq 0}$ ，由上的有界线性运算符组成X（X）此外，还存在常量M（M）和 ${M（M）}_{1 - β}$ 这样，对于每一个 $t吨 \in [0, T型]$ 不平等 $∥ S公司 (t吨) ∥ \leq M（M）$ 和 ${t吨}^{1 - β} ∥ {(- 一个)}^{1 - β} S公司 (t吨) ∥ \leq {M（M）}_{1 - β}$ 保持。

（H2）存在有限的正常数 ${C类}_{我} = {C类}_{我} (T型)$ , $我 = 1, 2$ ，以便函数 $（f） : [0, + \infty) \times X（X） \to X（X）$ 满足以下Lipschitz条件： $t吨 \in [0, T型]$ 和 $x个, 年 \in X（X）$ 不平等 $∥ （f） (t吨, x个) - （f） (t吨, 年) ∥ \leq {C类}_{1} ∥ x个 - 年 ∥$ 和 ${∥ （f） (t吨, x个) ∥}^{2} \leq {C类}_{2}^{2} (1 + {∥ x个 ∥}^{2})$ 有效。

（H3）功能克是 ${X（X）}_{β}$ -值，并且存在常量 $\frac{1}{2} < β < 1$ , ${C类}_{我} = {C类}_{我} (T型)$ , $我 = 3, 4$ ，这样对所有人来说 $t吨 \in [0, T型]$ 和 $x个, 年 \in X（X）$ 满足以下不等式：

（i）
$∥ {(- 一个)}^{β} 克 (t吨, x个) - {(- 一个)}^{β} 克 (t吨, 年) ∥ \leq {C类}_{3} ∥ x个 - 年 ∥$ ;
（ii）
${∥ {(- 一个)}^{β} 克 (t吨, x个) ∥}^{2} \leq {C类}_{4}^{2} (1 + {∥ x个 ∥}^{2})$ ;
（iii）
${C类}_{3} ∥ {(- 一个)}^{- β} ∥ < 1$ .

（H4）功能 ${(- 一个)}^{β} 克$ 在二次平均意义上是连续的： $x个 \in C类 ([0, T型], {L（左）}^{2} (Ω, X（X）))$ ，平等

\underset{t吨 \to 秒}{林} E类 {∥ {(- 一个)}^{β} 克 (t吨, x个 (t吨)) - {(- 一个)}^{β} 克 (秒, x个 (秒)) ∥}^{2} = 0

是真的。

（H5）功能 $σ : [0, \infty) \to {L（左）}_{2}^{0} (Y（Y）, X（X）)$ 满足 $\int_{0}^{T型} {∥ σ (秒) ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} d日秒 < \infty$ .

（H6）功能 $我_{k} : X（X） \to X（X）$ 是连续的并且存在有限的正常数 ${C类}_{我} = {C类}_{我} (T型)$ , $我 = 5, 6$ ，这样对所有人来说 $t吨 \in [0, T型]$ 和 $x个, 年 \in X（X）$ 不平等 $∥ 我_{k} (x个 (t吨)) - 我_{k} (年 (t吨)) ∥ \leq {C类}_{5} ∥ x个 - 年 ∥$ 和 ${∥ 我_{k} (x个 (t吨)) ∥}^{2} \leq {C类}_{6}^{2} (1 + {∥ x个 ∥}^{2})$ 有效。

为了研究系统（1.1）的近似可控性，我们引入了以下线性微分系统：

{\begin{cases} \frac{d日 x个 (t吨)}{d日 t吨} = 一个 x个 (t吨) + B类 u个 (t吨), t吨 \in [0, T型], \\ x个 (0) = {x个}_{0} . \end{cases}

(3.2)

与（3.2）相关的可控性运算符定义为

Γ_{0}^{T型} = \int_{0}^{T型} S公司 (T型 - 秒) B类 {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - 秒) d日 秒,

哪里 ${B类}^{*}$ 和 ${S公司}^{*}$ 表示…的伴随词B类和S公司分别是。

让 $x个 (T型; φ, u个)$ 是终端状态下（1.1）的状态值T型，对应于控件u个和初始值φ.表示方式 $对 (T型, φ) = {x个 (T型; φ, u个) : u个 \in {L（左）}^{2} ([0, T型], U型)}$ 系统（1.1）在终端时间的可达集T型，其关闭于X（X）表示为 $\bar{对 (T型, φ)}$ .

定义3.2该系统（1.1）被称为在区间上近似可控 $[0, T型]$ 如果 $\bar{对 (T型, φ)} = {L（左）}^{2} (Ω, X（X）)$ .

引理3.2（请参见[19])

线性控制系统(3.2)在上几乎可以控制 $[0, T型]$ 当且仅当 $z（z） {(z（z）我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} \to 0$ 强烈地作为 $z（z） \to 0^{+}$ .

引理3.3 对于任何 ${\bar{x个}}_{T型} \in {L（左）}^{2} (Ω, X（X）)$ 存在 $\bar{φ} \in {L（左）}^{2} (Ω; {L（左）}^{2} ([0, T型]; {L（左）}_{2}^{0}))$ 这样的话

{\bar{x个}}_{T型} = E类 {\bar{x个}}_{T型} + \int_{0}^{T型} \bar{φ} (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒) .

现在对任何人来说 $δ > 0$ 和 ${\bar{x个}}_{T型} \in {L（左）}^{2} (Ω, X（X）)$ ,我们在下面的表格中定义了控制函数:

\begin{aligned} {u个}^{δ} (t吨, x个) = & {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - t吨) {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} \\ \times {E类 {\bar{x个}}_{T型} - S公司 (T型) [φ (0) - 克 (0, φ (- 第页 (0)))] + 克 (T型, x个 (T型))} \\ + {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - t吨) \int_{0}^{t吨} {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} \bar{φ} (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒) \\ - {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - t吨) \int_{0}^{t吨} {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} 一个 S公司 (T型 - 秒) 克 (秒, x个 (秒 - 第页 (秒))) d日 秒 \\ - {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - t吨) \int_{0}^{t吨} {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} S公司 (T型 - 秒) （f） (秒, x个 (秒 - ν (秒))) d日 秒 \\ - {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - t吨) \int_{0}^{t吨} {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} S公司 (T型 - 秒) σ (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒) \\ - {B类}^{*} {S公司}^{*} (T型 - t吨) \sum_{0 < {t吨}_{k} < t吨} {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} S公司 (T型 - {t吨}_{k}) 我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-})) . \end{aligned}

引理3.4 存在一个正实常数 ${M（M）}_{C类}$ 这样的话,为所有人 $x个, 年 \in 对_{T型}$ ,我们有

E类 {∥ {u个}^{δ} (t吨, x个) - {u个}^{δ} (t吨, 年) ∥}^{2} \leq \frac{{M（M）}_{C类}}{{z（z）}^{2}} \int_{0}^{t吨} E类 {∥ x个 (秒) - 年 (秒) ∥}^{2} d日 秒,

(3.3)

E类 {∥ {u个}^{δ} (t吨, x个) ∥}^{2} \leq \frac{{M（M）}_{C类}}{{z（z）}^{2}} (1 + \int_{0}^{t吨} E类 {∥ x个 (秒) ∥}^{2} d日 秒) .

(3.4)

证明这个引理的证明类似于引理2.5的证明（参见[28]). □

定理3.1 假设（H1）-（H6）都很满意.然后,对于所有人 $T型 > 0$ ,系统(1.1)有温和的溶液 $[- τ, T型]$ .

证明修复 $T型 > 0$ 让我们考虑一下 $ϒ_{T型} = {x个 \in 对_{T型} : x个 (秒) = φ (秒), 的秒 \in [- τ, 0]}$ .

$ϒ_{T型}$ 是的闭子集 $对_{T型}$ 提供规范 ${∥ \cdot ∥}_{对_{T型}}$ 。对于任何 $δ > 0$ ，考虑操作员 $Π_{δ}$ 在 $对_{T型}$ 定义如下：

(Π_{δ} x个) (t吨) = {\begin{cases} φ (t吨), t吨 \in [- τ, 0], \\ S公司 (t吨) [φ (0) + 克 (0, φ (- 第页 (0)))] - 克 (t吨, x个 (t吨 - 第页 (t吨))) \\ - \int_{0}^{t吨} 一个 S公司 (t吨 - 秒) 克 (秒, x个 (秒 - 第页 (秒))) d日 秒 \\ + \int_{0}^{t吨} S公司 (t吨 - 秒) （f） (秒, x个 (秒 - ν (秒))) d日 秒 + \int_{0}^{t吨} S公司 (t吨 - 秒) B类 {u个}^{δ} (秒, x个) d日 秒 \\ + \int_{0}^{t吨} S公司 (t吨 - 秒) σ (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒) + \sum_{0 < {t吨}_{k} < t吨} S公司 (t吨 - {t吨}_{k}) 我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-})), t吨 \in [0, T型] . \end{cases}

(3.5)

这将表明 $δ > 0$ ，操作员 $Π_{δ}$ 有一个固定点。这个不动点就是方程的解(1.1）.为了证明这个结果，我们将随后的证明分为两个步骤。

第1步：任意 $x个 \in ϒ_{T型}$ ，让我们证明一下 $t吨 \to Π_{δ} (x个) (t吨)$ 在间隔上是连续的 $[0, T型]$ 在中 ${L（左）}^{2} (Ω, X（X）)$ -感觉。

让 $0 < t吨 < t吨 + 小时 < T型$ ，其中 $t吨, t吨 + 小时 \in [0, T型] ∖ {{t吨}_{1}, {t吨}_{2}, \dots, {t吨}_{米}}$ ，并让 $| 小时 |$ 足够小。那么对于任何固定的 $x个 \in ϒ_{T型}$ ，从Holder不等式和定理的假设中得出

\begin{array}{l} E类 {∥ (Π_{δ} x个) (t吨 + 小时) - (Π_{δ} x个) (t吨) ∥}^{2} \\ \leq 8 {E类 {∥ (S公司 (t吨 + 小时) - S公司 (t吨)) (φ (0) + 克 (0, φ (- 第页 (0)))) ∥}^{2} \\ + E类 {∥ 克 (t吨 + 小时, x个 (t吨 + 小时 - 第页 (t吨))) - 克 (t吨, x个 (t吨 - 第页 (t吨))) ∥}^{2} \\ + E类 {∥ \int_{0}^{t吨} 一个 (S公司 (t吨 + 小时 - 秒) - S公司 (t吨 - 秒)) 克 (秒, x个 (秒 - 第页 (秒))) d日 秒 ∥}^{2} \\ + E类 {∥ \int_{t吨}^{t吨 + 小时} {(- 一个)}^{1 - β} S公司 (t吨 + 小时 - 秒) {(- 一个)}^{β} 克 (秒, x个 (秒 - 第页 (秒))) d日 秒 ∥}^{2} \\ + E类 {∥ \int_{0}^{t吨} (S公司 (t吨 + 小时 - 秒) - S公司 (t吨 - 秒)) B类 {u个}^{δ} (秒, x个) d日 秒 ∥}^{2} + E类 {∥ \int_{t吨}^{t吨 + 小时} S公司 (t吨 + 小时 - 秒) B类 {u个}^{δ} (秒, x个) d日 秒 ∥}^{2} \\ + E类 {∥ \int_{0}^{t吨} (S公司 (t吨 + 小时 - 秒) - S公司 (t吨 - 秒)) σ (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒) ∥}^{2} + E类 {∥ \int_{t吨}^{t吨 + 小时} S公司 (t吨 + 小时 - 秒) σ (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒) ∥}^{2} \\ + \sum_{0 < {t吨}_{k} < t吨} E类 {∥ (S公司 (t吨 + 小时 - {t吨}_{k}) - S公司 (t吨 - {t吨}_{k})) 我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-})) ∥}^{2} \\ + \sum_{t吨 < {t吨}_{k} < t吨 + 小时} E类 {∥ S公司 (t吨 + 小时 - {t吨}_{k}) 我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-})) ∥}^{2}} \\ \leq 8 {E类 {∥ (S公司 (t吨 + 小时) - S公司 (t吨)) (φ (0) + 克 (0, φ (- 第页 (0)))) ∥}^{2} \\ + E类 {∥ 克 (t吨 + 小时, x个 (t吨 + 小时 - 第页 (t吨))) - 克 (t吨, x个 (t吨 - 第页 (t吨))) ∥}^{2} \\ + t吨 \int_{0}^{t吨} E类 {∥ 一个 (S公司 (t吨 + 小时 - 秒) - S公司 (t吨 - 秒)) 克 (秒, x个 (秒 - 第页 (秒))) ∥}^{2} d日 秒 \\ + \frac{{C类}_{4}^{2} {M（M）}_{1 - β}^{2}}{2 β - 1} {(t吨 + 小时 - t吨)}^{2 β - 1} \int_{t吨}^{t吨 + 小时} (1 + E类 {∥ x个 ∥}^{2}) d日 秒 \\ + t吨 \int_{0}^{t吨} E类 {∥ (S公司 (t吨 + 小时 - 秒) - S公司 (t吨 - 秒)) B类 {u个}^{δ} (秒, x个) ∥}^{2} d日 秒 \\ + (t吨 + 小时 - t吨) {M（M）}^{2} {∥ B类 ∥}^{2} \int_{t吨}^{t吨 + 小时} E类 {∥ {u个}^{δ} (秒, x个) ∥}^{2} d日 秒 \\ + 2 H（H） {t吨}^{2 H（H） - 1} \int_{0}^{t吨} E类 {∥ (S公司 (t吨 + 小时 - 秒) - S公司 (t吨 - 秒)) σ (秒) ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} d日 秒 \\ + 2 H（H） {(t吨 + 小时 - t吨)}^{2 H（H） - 1} {M（M）}^{2} \int_{t吨}^{t吨 + 小时} E类 {∥ σ (秒) ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} d日 秒 \\ + \sum_{0 < {t吨}_{k} < t吨} E类 ({∥ (S公司 (t吨 + 小时 - {t吨}_{k}) - S公司 (t吨 - {t吨}_{k})) ∥}^{2} {∥ 我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-})) ∥}^{2}) + {M（M）}^{2} \sum_{t吨 < {t吨}_{k} < t吨 + 小时} E类 {∥ 我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-})) ∥}^{2}} . \end{array}

因此，使用 $S公司 (t吨)$ 和勒贝格的支配收敛定理，我们得出结论，上述不等式的右边趋于零 $小时 \to 0$ 因此，我们得出结论 $Π_{δ} (x个) (t吨)$ 在中从右侧连续 $[0, T型]$ 。一个类似的参数表明，它从中的左侧开始也是连续的 $(0, T型]$ .因此 $Π_{δ} (x个) (t吨)$ 持续打开 $[0, T型]$ 在中 ${L（左）}^{2}$ -感觉。

第二步：现在，我们要展示一下 $Π_{δ}$ 是中的收缩映射 $完_{{T型}_{1}}$ 和一些 ${T型}_{1} \leq T型$ 稍后指定。让 $x个, 年 \in ϒ_{T型}$ ，对于任何固定 $t吨 \in [0, T型]$

\begin{aligned} {∥ Π_{δ} (x个) (t吨) - Π_{δ} (年) (t吨) ∥}^{2} \\ \leq 5 {∥ 克 (t吨, x个 (t吨 - 第页 (t吨)) - 克 (t吨, 年 (t吨 - 第页 (t吨)) ∥}^{2} + 5 {∥ \int_{0}^{t吨} S公司 (t吨 - 秒) B类 [{u个}^{δ} (秒, x个) - {u个}^{δ} (秒, 年)] d日 秒 ∥}^{2} \\ + 5 {∥ \int_{0}^{t吨} {(- 一个)}^{1 - β} S公司 (t吨 - 秒) ({(- 一个)}^{β} 克 (秒, x个 (秒 - 第页 (秒)) - {(- 一个)}^{β} 克 (秒, 年 (秒 - 第页 (秒)))) d日 秒 ∥}^{2} \\ + 5 {∥ \int_{0}^{t吨} S公司 (t吨 - 秒) (（f） (秒, x个 (秒 - ν (秒))) - （f） (秒, 年 (秒 - ν (秒)))) d日 秒 ∥}^{2} \\ + 5 {∥ \sum_{0 < {t吨}_{k} < t吨} S公司 (t吨 - {t吨}_{k}) (我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-})) - 我_{k} (年 ({t吨}_{k}^{-}))) ∥}^{2} . \end{aligned}

根据Lipschitz特性 ${(- 一个)}^{β} 克$ 和（f）结合Holder不等式，我们得到

\begin{aligned} E类 {∥ Π_{δ} (x个) (t吨) - Π_{δ} (年) (t吨) ∥}^{2} \leq & 5 E类 {∥ x个 (t吨 - 第页 (t吨)) - 年 (t吨 - 第页 (t吨)) ∥}^{2} \\ + \frac{5 {M（M）}^{2} {∥ B类 ∥}^{2} {M（M）}_{C类}}{{z（z）}^{2}} \int_{0}^{t吨} E类 {∥ x个 (秒) - 年 (秒) ∥}^{2} d日 秒 \\ + 5 {C类}_{3}^{2} {M（M）}_{1 - β}^{2} \frac{{T型}^{2 β - 1}}{2 β - 1} \int_{0}^{t吨} E类 {∥ x个 (秒 - 第页 (秒)) - 年 (秒 - 第页 (秒)) ∥}^{2} d日 秒 \\ + 5 T型 {C类}_{1}^{2} {M（M）}^{2} \int_{0}^{t吨} E类 {∥ x个 (秒 - ν (秒)) - 年 (秒 - ν (秒)) ∥}^{2} d日 秒 \\ + 5 米^{2} {M（M）}^{2} {C类}_{5}^{2} E类 {∥ x个 (t吨) - 年 (t吨) ∥}^{2} . \end{aligned}

因此

\underset{t吨 \in [- τ, T型]}{支持} E类 {∥ Π_{δ} (x个) (t吨) - Π_{δ} (年) (t吨) ∥}^{2} \leq γ (T型) \underset{t吨 \in [- τ, T型]}{支持} E类 {∥ x个 (t吨) - 年 (t吨) ∥}^{2},

哪里

γ (T型) = 5 [1 + \frac{{M（M）}^{2} {∥ B类 ∥}^{2} {M（M）}_{C类}}{{z（z）}^{2}} T型 + \frac{{C类}_{3}^{2} {M（M）}_{1 - β}^{2}}{2 β - 1} {T型}^{2 β} + {M（M）}^{2} {C类}_{1}^{2} {T型}^{2} + 米^{2} {M（M）}^{2} {C类}_{5}^{2}] .

然后就有了 $0 < {T型}_{1} \leq T型$ 这样的话 $0 < γ ({T型}_{1}) < 1$ 和 $Π_{δ}$ 是上的收缩映射 ${S公司}_{{T型}_{1}}$ 因此有一个唯一的不动点，这是方程的amild解(1.1）打开 $[- τ, {T型}_{1}]$ 可以重复此过程，以将解决方案扩展到整个间隔 $[- τ, T型]$ 在有限的多个步骤中。这就完成了这个过程。 □

定理3.2 假设（H1）-（H6）都很满意.进一步,如果功能正常 （f） 和克 一致有界,和 $S公司 (t吨)$ 是紧凑的,然后是系统(1.1)大约可在上控制 $[0, T型]$ .

证明让 ${x个}_{δ}$ 是…的固定点 $Π_{δ}$ 利用随机Fubini定理，可以很容易地看出

\begin{aligned} {x个}_{δ} (T型) = & {\bar{x个}}_{T型} - z（z） {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} {E类 {\bar{x个}}_{T型} - S公司 (T型) [φ (0) - 克 (0, φ (- 第页 (0)))] \\ + 克 (T型, {x个}_{δ} (T型)) + \int_{0}^{T型} \bar{φ} (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒)} \\ + z（z） \int_{0}^{T型} {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} 一个 S公司 (T型 - 秒) 克 (秒, {x个}_{δ} (秒 - 第页 (秒))) d日 秒 \\ + z（z） \int_{0}^{T型} {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} S公司 (T型 - 秒) （f） (秒, {x个}_{δ} (秒 - ν (秒))) d日 秒 \\ + z（z） \int_{0}^{T型} {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} S公司 (T型 - 秒) σ (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒) \\ + \sum_{0 < {t吨}_{k} < T型} z（z） {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} S公司 (T型 - {t吨}_{k}) 我_{k} ({x个}_{δ} ({t吨}_{k}^{-})) . \end{aligned}

根据以下假设（f）和克存在 $\bar{D类} > 0$ 这样的话

{∥ （f） (秒, {x个}_{δ} (秒 - ν (秒))) ∥}^{2} + {∥ 克 (秒, {x个}_{δ} (秒 - 第页 (秒))) ∥}^{2} \leq \bar{D类}

（3.6）

为所有人 $(秒, ω) \in [0, T型] \times Ω$ 。然后还有一个子序列，仍表示为 ${（f） (秒, {x个}_{δ} (秒 - ν (秒))), 克 (秒, {x个}_{δ} (秒 - 第页 (秒)))}$ 弱收敛到，比如， ${（f） (秒), 克 (秒)}$ 在里面 $X（X） \times {L（左）}_{2}^{0}$ .

从上面的等式中，我们得到

\begin{aligned} E类 {∥ {x个}_{δ} (T型) - {\bar{x个}}_{T型} ∥}^{2} \\ \leq 7 E类 ∥ z（z） {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} {{\bar{x个}}_{T型} - S公司 (T型) [φ (0) - 克 (0, φ (- 第页 (0)))] \\ + 克 (T型, {x个}_{δ} (T型)) + \int_{0}^{T型} \bar{φ} (秒) d日 {B类}^{H（H）} (秒)} ∥^{2} \\ + 7 E类 {(\int_{0}^{T型} ∥ z（z） {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} ∥ ∥ 一个 S公司 (T型 - 秒) [克 (秒, {x个}_{δ} (秒 - 第页 (秒))) - 克 (秒)] ∥ d日 秒)}^{2} \\ + 7 E类 {(\int_{0}^{T型} ∥ z（z） {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} 一个 S公司 (T型 - 秒) 克 (秒) ∥ d日 秒)}^{2} \\ + 7 E类 {(\int_{0}^{T型} ∥ z（z） {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} ∥ ∥ S公司 (T型 - 秒) （f） (秒, {x个}_{δ} (秒 - ν (秒))) - （f） (秒) ∥ d日 秒)}^{2} \\ + 7 E类 {(\int_{0}^{T型} ∥ z（z） {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} S公司 (T型 - 秒) （f） (秒) ∥ d日 秒)}^{2} \\ + 14 H（H） {T型}^{2 H（H） - 1} \int_{0}^{T型} {∥ z（z） {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} S公司 (T型 - 秒) σ (秒) ∥}_{{L（左）}_{2}^{0}}^{2} d日 秒 \\ + 7 E类 {∥ \sum_{0 < {t吨}_{k} < T型} z（z） {(z（z） 我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} S公司 (T型 - {t吨}_{k}) 我_{k} ({x个}_{δ} ({t吨}_{k}^{-})) ∥}^{2} . \end{aligned}

另一方面，根据引理3.2，算子 $z（z） {(z（z）我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} \to 0$ 强烈地作为 $z（z） \to 0^{+}$ 为所有人 $0 \leq 秒 \leq T型$ 此外， $∥ z（z） {(z（z）我 + Γ_{0}^{T型})}^{- 1} ∥ \leq 1$ 因此，根据勒贝格主导的收敛理论 $S公司 (t吨)$ 意味着 $E类 {∥ {x个}_{δ} (T型) - {\bar{x个}}_{T型} ∥}^{2} \to 0$ 作为 $z（z） \to 0^{+}$ 这给出了（1.1）的近似可控性。 □

4示例

在本节中，我们将举一个例子来说明我们的主要结果。

让我们考虑由分数布朗运动驱动的具有有限变量时滞的随机控制部分中立泛函微分方程：

{\begin{cases} d日 [x个 (t吨, ξ) - 克 (t吨, x个 (t吨 - 第页 (t吨)), ξ)] = [\frac{\partial^{2} x个 (t吨, ξ)}{\partial ξ^{2}} + F类 (t吨, x个 (t吨 - ν (t吨)), ξ) + μ (t吨, ξ)] d日 t吨 \\ + σ (t吨) d日 {B类}^{H（H）} (t吨), 0 \leq ξ \leq π, 0 \leq t吨 \leq T型, t吨 \neq {t吨}_{k}, \\ x个 (t吨, 0) = x个 (t吨, π) = 0, t吨 \geq 0, \\ x个 ({t吨}_{k}^{+}, ξ) - x个 ({t吨}_{k}^{-}, ξ) = 我_{k} (x个 ({t吨}_{k}^{-}, ξ)), k = 1, 2, \dots, 米, \\ x个 (t吨, ξ) = φ (t吨, ξ), t吨 \in [- τ, 0], 0 \leq ξ \leq π, \end{cases}

(4.1)

哪里 ${B类}^{H（H）}$ 是分数布朗运动 $F类, 克 : 对^{+} \times 对 \to 对$ 是连续函数。

为了研究这个系统，让 $X（X） = Y（Y） = U型 = {L（左）}^{2} ([0, π], 对)$ 让接线员 $一个 : D类 (一个) \subset X（X） \to X（X）$ 由……提供 $一个年 = 年^{″}$ 具有

D类 (一个) = {年 \in X（X） : 年^{″} \in X（X）, 年 (0) = 年 (π) = 0} .

众所周知一个是分析半群的无穷小生成器 ${T型 (t吨)}_{t吨 \geq 0}$ 在X（X）此外，一个具有具有特征值的离散谱 $- {n个}^{2}$ , $n个 \in N个$ 相应的归一化特征函数由下式给出

{e（电子）}_{n个} = \sqrt{\frac{2}{π}} 罪 n个 x个, n个 = 1, 2, \dots .

此外 ${({e（电子）}_{n个})}_{n个 \in N个}$ 是一个完整的正交基X（X）和

T型 (t吨) x个 = \sum_{n个 = 1}^{\infty} {e（电子）}^{- {n个}^{2} t吨} {〈 x个, {e（电子）}_{n个} 〉}_{{e（电子）}_{n个}}

对于 $x个 \in X（X）$ 和 $t吨 \geq 0$ 根据该陈述 $T型 (t吨)$ 每种都很紧凑 $t吨 > 0$ 还有那个 $∥ T型 (t吨) ∥ \leq {e（电子）}^{- t吨}$ 对于每个 $t吨 \geq 0$ .

为了定义操作员 $问 : Y（Y） \to 对$ ，我们选择一个序列 ${λ_{n个}}_{n个 \in N个} \subset 对^{+}$ ，套 $问 {e（电子）}_{n个} = λ_{n个} {e（电子）}_{n个}$ ，并假设

tr公司 (问) = \sum_{n个 = 1}^{\infty} \sqrt{λ_{n个}} < \infty .

定义分数布朗运动Y（Y）通过

{B类}^{H（H）} (t吨) = \sum_{n个 = 1}^{\infty} \sqrt{λ_{n个}} β^{H（H）} (t吨) {e（电子）}_{n个},

哪里 $H（H） \in (\frac{1}{2}, 1)$ 和 ${β_{n个}^{H（H）}}_{n个 \in N个}$ 是一系列相互独立的一维分数布朗运动。

定义 $x个 (t吨) (\cdot) = x个 (t吨, \cdot)$ , $（f） (t吨, x个) (\cdot) = F类 (t吨, x个 (\cdot))$ 、和 $克 (t吨, x个) (\cdot) = 克 (t吨, x个 (\cdot))$ .定义有界运算符 $B类 : U型 \to X（X）$ 通过 $B类 u个 (t吨) (ξ) = μ (t吨, ξ)$ , $0 \leq ξ \leq π$ , $u个 \in U型$ 因此，通过上述选择，系统（4.1）可以写成抽象形式（1.1），并且满足定理3.2的所有条件。因此，根据定理3.2，分数布朗运动驱动的具有有限变量时滞的随机偏中立泛函微分方程在 $[0, π]$ .

工具书类

Bainov D、Simeonov P：脉冲微分方程：周期解及其应用朗曼、哈洛；1993
谷歌学者
罗戈夫琴科YV：非线性脉冲演化系统及其在种群模型中的应用。 数学杂志。分析。申请。1997, 207: 300–315. 2006年10月10日/jmaa.1997.5245
第条数学科学网谷歌学者
Benchohra M、Henderson J、Ntouyas SK：Banach空间中脉冲多值半线性中立泛函的存在性结果。 数学杂志。分析。申请。2001, 263: 763–780. 2006年10月10日/jmaa.2001.7663
第条数学科学网谷歌学者
Benchohra M、Henderson J、Ntouyas SK：脉冲微分方程和包含Hindawi Publishing Corporation，纽约；2006
书谷歌学者
Bogdan P，Marculescu R：走向网络物理系统设计科学。在程序。第二届ACM/IEEE国际会议网络物理系统IEEE计算。洛斯阿拉米托斯Soc；2011:99–108.
谷歌学者
Marculescu R，Bogdan P：网络物理系统：工作负荷建模和设计优化。IEEE设计。测试计算。2011, 28(4):78–87. 七月八月
第条谷歌学者
博格丹P:植入式起搏器通过分数计算方法进行控制和优化：一个网络物理系统的观点。 IEEE/ACM第三届网络物理系统国际会议（ICCPS’12）会议记录2012
谷歌学者
Balachandran K，Sakthivel R：Banach空间中积分微分系统的可控性。申请。数学。计算。2001, 118: 63–71. 10.1016/S0096-3003（00）00040-0
第条数学科学网谷歌学者
Balachandran K，Sakthivel R：Banach空间中泛函半线性积分微分系统的能控性。 数学杂志。分析。申请。2001, 225: 447–457.
第条数学科学网谷歌学者
符X：具有无界时滞的抽象中立型泛函微分系统的能控性。 申请。数学。计算。2004, 151: 299–314. 10.1016/S0096-3003（03）00342-4
第条数学科学网谷歌学者
艾哈迈德HM：非线性分数阶积分微分系统的边界能控性。 高级差异。埃克。2010年、2010年：文章ID 279493
谷歌学者
Klamka J：控制时滞线性系统的随机可控性。牛市。波尔。阿卡德。科学。，技术科学。2007, 55(1):23–29.
数学科学网谷歌学者
克拉姆卡J：状态时滞线性系统的随机可控性。国际期刊申请。数学。计算。科学。2007, 17: 5–13.
第条数学科学网谷歌学者
克拉姆卡J：控制中具有可变时滞系统的随机可控性。牛市。波尔。阿卡德。科学。，技术科学。2008, 56: 279–284.
谷歌学者
克拉姆卡J：多时滞系统的随机可控性和最小能量控制。 申请。数学。计算。2008, 206(2):704–715. 2016年10月10日/j.amc.2008.08.059
第条数学科学网谷歌学者
克拉姆卡J：控制中具有多个延迟的系统的随机可控性。国际期刊申请。数学。计算。科学。2009, 19(1):39–47.
第条数学科学网谷歌学者
Ahmed HM：分数阶随机时滞方程的可控性。Lobachevskii J.数学。2009, 30: 195–202. 10.1134年/1995080209030019年
第条数学科学网谷歌学者
Sakthivel R、Ganesh R、Suganya S：无穷时滞分数阶中立型随机系统的近似能控性。 代表数学。物理学。2012, 70: 291–311. 10.1016/S0034-4877（12）60047-0
第条数学科学网谷歌学者
Sakthivel R，Ganesh R，Ren Y，Anthoni SM：非线性分数阶动力系统的近似可控性。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。2013, 18: 3498–3508. 10.1016/j.cnsns.2013.05.015
第条数学科学网谷歌学者
Sakthivel R、Ren Y：分数阶微分方程承受相关时滞的近似可控性。 数学成绩。2013年，63:949–963。10.1007/s00025-012-0245年
第条数学科学网谷歌学者
Ren Y，Bi Q，Sakthivel R：无限时滞随机泛函微分方程克-布朗运动。数学。方法应用。科学。2013年，36:1746–1759。10.1002/mma.2720
第条数学科学网谷歌学者
Ren Y、Dai H、Sakthivel R：由aLevy过程驱动的随机微分系统的近似可控性。 国际J.控制2013, 86: 158–1164.
数学科学网谷歌学者
Sakthivel R，Suganya S，Anthoni SM：分数阶随机演化方程的近似可控性。计算。数学。申请。2012, 63: 660–668. 2016年10月10日/j.camwa.2011.11.024
第条数学科学网谷歌学者
Sakthivel R：具有跳跃的随机演化方程的完全可控性。代表数学。物理学。2011, 68: 163–174. 10.1016/S0034-4877（12）60003-2
第条数学科学网谷歌学者
Mandelbrot BB，Van Ness JW：分数布朗运动，分数噪声和应用。SIAM版本。1968, 10: 422–437. 10.1137/1010093
第条数学科学网谷歌学者
布富西B，哈吉S：希尔伯特空间中由分数布朗运动驱动的中立型随机泛函微分方程。 统计概率。莱特。2012, 82: 1549–1558. 2016年10月10日/j.spl.2012.04.013
第条数学科学网谷歌学者
Pazy A应用数学科学44。在线性算子半群及其在偏微分方程中的应用纽约施普林格；1983
第章谷歌学者
Sakthivel R：脉冲随机演化方程的近似可控性。Funkc公司。埃克瓦西奥伊2009, 52: 381–393. 10.1619/fesi.52.381
第条数学科学网谷歌学者

下载参考资料

致谢

我非常感谢裁判和总编辑的细心阅读和有益的评论。

作者信息

作者和附属机构

埃及开罗El-Shorouk市El-Shorouk学院高等工程学院P.O.3
哈米·艾哈迈德

作者

哈米·艾哈迈德
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者

通讯作者

与的通信哈米·艾哈迈德.

其他信息

竞争性利益

提交人声明，他没有相互竞争的利益。

权利和权限

开放式访问本文根据知识共享署名2.0国际许可条款进行分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Ahmed，H.M.Hilbert空间中分数布朗运动脉冲中立型随机微分方程的近似可控性。高级差异Equ 2014, 113 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-113

下载引文

已接收:2013年12月23日
认可的:2014年4月8日
出版:2014年5月2日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-113