Fractional complex transform method for wave equations on Cantor sets within local fractional differential operator

Su, Wei-Hua; Yang, Xiao-Jun; Jafari, H; Baleanu, Dumitru

doi:10.1186/1687-1847-2013-97

研究
开放式访问
出版：2013年4月10日

局部分数阶微分算子中康托集上波动方程的分数阶复变换方法

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：97(2013)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

本文提出了局部微分分数阶算子中康托集上波动方程的分数阶复变换方法。该方法对于处理康托集上的微分方程是有效的。

1引言

近年来，局部分式微积分引起了科学家和工程师的极大兴趣。介绍了局部分数导数的几个部分，即Kolwankar和Gangal构造的局部分数导数[1–5]，Jumarie给出的改良Riemann-Liouville导数[三–7]Parvate和Gangal提出的分形导数[三–5，8，9]，Chen考虑的分形导数等。[三–5，10–12]，Chen提出的广义分形导数等。[12]，由Adda和Cresson提出的局部分数导数[三–5，13]，He提出的分形导数[三–5，14–16]和结构为[三–5，17–25]. 因此，局部分数阶微积分理论对于康托集上的分形数学和工程建模问题变得非常重要，并且在理论物理等多个领域的许多应用中发挥着关键作用[2，三]，热传导理论[三，14，17]断裂与弹性力学[三，19]流体力学[三，26]，信号分析[4，5]、傅里叶和小波分析[4，5]，张量分析[三]，复杂分析[4，5]，优化方法[三]例如，局部分数阶福克-普朗克方程是在[2]. 提出了分形热传导问题[三，14]. 年，研究了分形介质力学中的虚功、最小势能和余能原理[三，19，25]. 分形多孔介质中的流体流动在[26]. 分形介质中的扩散问题在[11，24，27]. 的作者[28]与康托集上的一维波动方程有关，其内容如下

\frac{\partial^{2 α} 单位 (x个 ， t吨)}{\partial {t吨}^{2 α}} + 一^{2 α} \frac{\partial^{2 α} 单位 (x个 ， t吨)}{\partial {x个}^{2 α}} = 0 ，

(1)

其中，操作符被描述为局部分数操作符，由[三–5，17–23]

{（f）}^{(α)} ({x个}_{0}) = {\frac{{d日}^{α} （f） (x个)}{d日 {x个}^{α}} |}_{x个 = {x个}_{0}} = \underset{x个 \to {x个}_{0}}{极限} \frac{Δ^{α} (（f） (x个) - （f） ({x个}_{0}))}{{(x个 - {x个}_{0})}^{α}}

(2)

具有 $Δ^{α} (（f） (x个) - （f） ({x个}_{0})) ≅ Γ (1 + α) Δ (（f） (x个) - （f） ({x个}_{0}))$ 以及其中的局部分数运算符k个第个订单是[三–5]

\frac{\partial^{k个 α} （f） (x个)}{\partial {x个}^{k个 α}} = \overset{k个 次}{\overset{⏟}{\frac{\partial^{α}}{\partial {x个}^{α}} \dots \frac{\partial^{α}}{\partial {x个}^{α}}}} （f） (x个) .

(3)

然而，由于康托材料的复杂结构行为，它还没有扩展到康托集上的二维（2-D）和三维（3-D）波动方程。

分数复变换法通过改良Riemann-Liouville衍生物[三–7]于2010年首次提出[29–31]并应用于热传导问题和微分方程的建模[15，32–34]. 分数复变换在应用中遇到了一些问题，当修正的Riemann-Liouville导数[三–7]由于复杂的链规则而被采用[34]. 分数复变换[17，35]通过局部分数导数首先由以下链式法则提出[三–5]

\frac{{d日}^{α} 年 (x个)}{d日 {x个}^{α}} = {（f）}^{(1)} (克 (x个)) 克^{(α)} (x个) ，

(4)

存在的地方 ${（f）}^{(1)} (克 (x个))$ 和 $克^{(α)} (x个)$ 分形介质中的热传导问题是通过局部分数导数内的分数复变换来处理的[17]. 可以在中看到类似的结果，但使用了不同的运算符[36–38].

在这项工作中，我们考虑了康托集上的三维波动方程，康托集由[三–5，17–25]，写在表格中

\frac{\partial^{2 α} 单位 (x个 ， 年 ， z（z） ， t吨)}{\partial {t吨}^{2 α}} + 一^{2 α} \nabla^{2 α} 单位 (x个 ， 年 ， z（z） ， t吨) = 0 ，

(5)

其中局部分数拉普拉斯算子表示为[三–5，39]

\nabla^{2 α} = \frac{\partial^{2 α}}{\partial {x个}^{2 α}} + \frac{\partial^{2 α}}{\partial 年^{2 α}} + \frac{\partial^{2 α}}{\partial {z（z）}^{2 α}} .

(6)

康托集上的二维波动方程很容易得到

\frac{\partial^{2 α} 单位 (x个 ， 年 ， t吨)}{\partial {t吨}^{2 α}} + 一^{2 α} (\frac{\partial^{2 α} 单位 (x个 ， 年 ， t吨)}{\partial {x个}^{2 α}} + \frac{\partial^{2 α} 单位 (x个 ， 年 ， t吨)}{\partial 年^{2 α}}) = 0 .

(7)

我们的注意力集中在使用分数复变换方法在康托集上转换三维波动方程通过局部分数导数。

这份手稿的结构如下：在第2节中，分数复变换方法通过给出了局部分数阶导数。第3节展示了分数复变换在康托集上转换三维和二维波动方程的应用。结论在第4节结束手稿。

2分数复变换法通过局部分数导数

在本节中，我们考虑康托集上微分方程的分数复变换方法[17，35].

提议1 如果

{\begin{matrix} X（X） = \frac{{x个}^{α}}{Γ (1 + α)} ， \\ Y（Y） = \frac{年^{α}}{Γ (1 + α)} ， \end{matrix}

(8)

哪里 $0 < α \leq 1$ ，那么我们有

\frac{\partial^{α} {单位}_{1} (x个 ， 年)}{\partial {x个}^{α}} + \frac{\partial^{α} {单位}_{2} (x个 ， 年)}{\partial 年^{α}} = 0 ，

这样的话

\frac{\partial {单位}_{1} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial X（X）} + \frac{\partial {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial Y（Y）} = 0 ，

(9)

存在关系的地方

\frac{\partial {单位}_{1} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial X（X）} ， \frac{\partial {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial Y（Y）} ， \frac{\partial^{α} {单位}_{1} (x个 ， 年)}{\partial {x个}^{α}} ， \frac{\partial^{α} {单位}_{2} (x个 ， 年)}{\partial 年^{α}} .

证明让我们考虑分数复变换（8），然后我们可以写

\frac{\partial^{α} {单位}_{1} (x个 ， 年)}{\partial {x个}^{α}} = \frac{\partial {单位}_{1} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial X（X）} \frac{\partial^{α} X（X）}{\partial {x个}^{α}} + \frac{\partial {单位}_{1} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial Y（Y）} \frac{\partial^{α} Y（Y）}{\partial {x个}^{α}} = \frac{\partial {单位}_{1} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial X（X）}

(10)

最后我们得出结论

\frac{\partial^{α} {单位}_{2} (x个 ， 年)}{\partial 年^{α}} = \frac{\partial {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial Y（Y）} \frac{\partial^{α} Y（Y）}{\partial 年^{α}} + \frac{\partial {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial X（X）} \frac{\partial^{α} Y（Y）}{\partial {X（X）}^{α}} = \frac{\partial {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial Y（Y）}

(11)

分别是。□

提议2 假设(8)是有效的，然后我们可以转移

\frac{\partial^{2 α} {单位}_{2} (x个 ， 年)}{\partial {x个}^{2 α}} + \frac{\partial^{2 α} {单位}_{1} (x个 ， 年)}{\partial {x个}^{α} \partial 年^{α}} + \frac{\partial^{2 α} {单位}_{1} (x个 ， 年)}{\partial 年^{α} \partial {x个}^{α}} + \frac{\partial^{2 α} {单位}_{2} (x个 ， 年)}{\partial 年^{2 α}} = 0

(12)

进入之内

\frac{\partial^{2} {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial {X（X）}^{2}} + \frac{\partial^{2} {单位}_{1} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial X（X） \partial Y（Y）} + \frac{\partial^{2} {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial Y（Y） \partial X（X）} + \frac{\partial^{2} {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial {Y（Y）}^{2}} = 0 ，

(13)

存在以下关系:

证明计算康托利坐标对（8）得出

\frac{\partial^{2 α} {单位}_{1} (x个 ， 年)}{\partial {x个}^{2 α}} = \frac{\partial^{2} {单位}_{1} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial {X（X）}^{2}} \frac{\partial^{α} X（X）}{\partial {x个}^{α}} + \frac{\partial^{2} {单位}_{1} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial {Y（Y）}^{2}} \frac{\partial^{α} Y（Y）}{\partial {x个}^{α}} = \frac{\partial^{2} {单位}_{1} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial {X（X）}^{2}} .

(14)

以与前一命题类似的方式，我们得到

(15)

(16)

(17)

因此，我们的结论是

\frac{\partial^{2} {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial {X（X）}^{2}} + \frac{\partial^{2} {单位}_{1} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial X（X） \partial Y（Y）} + \frac{\partial^{2} {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial Y（Y） \partial X（X）} + \frac{\partial^{2} {单位}_{2} (X（X） ， Y（Y）)}{\partial {Y（Y）}^{2}} = 0 .

(18)

□

提案3 假设存在分数复变换

{\begin{matrix} X（X） = \frac{{x个}^{α}}{Γ (1 + α)} ， \\ Y（Y） = \frac{年^{α}}{Γ (1 + α)} ， \\ Z轴 = \frac{{z（z）}^{α}}{Γ (1 + α)} \end{matrix}

（19）

和

\frac{\partial {单位}_{1} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial x个} + \frac{\partial {单位}_{2} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial 年} + \frac{\partial {单位}_{三} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial z（z）} = 0 ，

（20）

然后

\frac{\partial^{α} {单位}_{1} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial {x个}^{α}} + \frac{\partial^{α} {单位}_{2} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial 年^{α}} + \frac{\partial^{α} {单位}_{三} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial {z（z）}^{α}} = 0 .

(21)

证明通过使用分数复变换（19），我们得到

(22)

(23)

(24)

显然，根据方程式(23)-(24)，我们直接得到（21）。□

提案4 让我们考虑以下分数复变换（19）和

\frac{\partial^{2} {单位}_{1} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial {x个}^{2}} + \frac{\partial^{2} {单位}_{2} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial 年^{2}} + \frac{\partial^{2} {单位}_{三} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial {z（z）}^{2}} = 0 ，

(25)

因此，我们获得

\frac{\partial^{2 α} {单位}_{1} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial {x个}^{2 α}} + \frac{\partial^{2 α} {单位}_{2} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial 年^{2 α}} + \frac{\partial^{2 α} {单位}_{三} (x个 ， 年 ， z（z）)}{\partial {z（z）}^{2 α}} = 0 .

(26)

证明应用分数复变换方法（19），我们得到以下三个方程：

(27)

(28)

(29)

最后，通过考虑方程式(8)-(10)，我们以（26）结束。□

3康托集上的波动方程

在本节中，将考虑分数复变换方法在处理康托集上的三维波动方程中的应用。基于修正R-L导数的分数复变换方法与分数复变换的比较通过研究了局部分数阶导数。

让我们考虑康托集上的三维波动方程（3）。我们现在确定分数复变换通过局部分数导数

{\begin{matrix} T型 = \frac{{t吨}^{α}}{Γ (1 + α)} ， \\ X（X） = \frac{{(一 x个)}^{α}}{Γ (1 + α)} ， \\ Y（Y） = \frac{{(一 年)}^{α}}{Γ (1 + α)} ， \\ Z轴 = \frac{{(一 z（z）)}^{α}}{Γ (1 + α)} \end{matrix}

(30)

这样的话

\frac{\partial^{2} 单位 (X（X） ， Y（Y） ， Z轴 ， T型)}{\partial {T型}^{2}} + \nabla 单位 (X（X） ， Y（Y） ， Z轴 ， T型) = 0 ，

(31)

哪里

\nabla = \frac{\partial^{2}}{\partial {X（X）}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {Y（Y）}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {Z轴}^{2}} .

(32)

让我们考虑康托集上的无量纲二维波动方程。

我们现在确定分数复变换通过局部分数导数

{\begin{matrix} T型 = \frac{{t吨}^{α}}{Γ (1 + α)} ， \\ X（X） = \frac{{(一 x个)}^{α}}{Γ (1 + α)} ， \\ Y（Y） = \frac{{(一 年)}^{α}}{Γ (1 + α)} \end{matrix}

(33)

这样，等式(6)被重写

\frac{\partial^{2} 单位 (X（X） ， Y（Y） ， T型)}{\partial {T型}^{2}} + \nabla 单位 (X（X） ， Y（Y） ， T型) = 0 ，

(34)

哪里

\nabla = \frac{\partial^{2}}{\partial {X（X）}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {Y（Y）}^{2}} .

如果有质量函数[三–5，18，28]

γ^{α} [F类 ， 一 ， b条] = \frac{1}{Γ (1 + α)} {H（H）}^{α} (F类 \cap (一 ， b条)) = \frac{{(b条 - 一)}^{α}}{Γ (1 + α)} ，

(35)

然后我们得出以下公式：

γ^{α} [F类 ， 我 一 ， 我 b条] = 我^{α} \frac{{(b条 - 一)}^{α}}{Γ (1 + α)} .

(36)

根据上述结果，我们重新讨论分数复变换方法通过局部分数导数，等式(12)由建议

{\begin{matrix} T型 (t吨) = \frac{{t吨}^{α}}{Γ (1 + α)} = γ^{α} [F类 ， 0 ， t吨] ， \\ X（X） (x个) = \frac{{(一 x个)}^{α}}{Γ (1 + α)} = γ^{α} [F类 ， 0 ， 一 x个] ， \\ Y（Y） (年) = \frac{{(一 年)}^{α}}{Γ (1 + α)} = γ^{α} [F类 ， 0 ， 一 年] ， \\ Z轴 (z（z）) = \frac{{(一 z（z）)}^{α}}{Γ (1 + α)} = γ^{α} [F类 ， 0 ， 一 z（z）] . \end{matrix}

（37）

发件人[2–5，18，22，23]，我们得出结论

对于任何 $0 < ε_{我}$ 和 $ε_{我} \in R（右）$ 这意味着传输对的分形维数为α.

4结论

在本文中，我们认为分数复变换方法是从建立在分形上的局部分数微分算子导出的。康托集的结果与康托时空中的物理现象有关。据推测，转移对与分形测度有关，分形测度可能是理解量子时空Cantorian一元结构的基础。所报告的结果在观察微分方程的结构方面具有潜在的应用价值，从微观物理到现实世界中物质的宏观物理行为。

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致谢

献给Hari M Srivastava教授。

作者感谢编辑和裁判的宝贵意见和评论。本研究得到了天津市自然科学基金（No.10JCZDJC25100）的资助。

作者信息

作者和附属机构

天津大学机械工程学院，天津，300072，中国
苏伟华
军事医学科学院医疗设备研究所，天津，300161，中国
苏伟华
中国矿业大学机械与土木工程学院，江苏徐州，221008
杨晓军
郑州师范大学软件科学研究所，郑州，450044
杨晓军
伊朗巴波尔萨尔马赞德兰大学数学科学学院数学系
H贾法里
土耳其安卡拉坎卡亚大学艺术与科学学院数学与计算机科学系，邮编：06530
杜米特鲁·巴利亚努
沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学工程学院化学与材料工程系，邮政信箱80204，21589
杜米特鲁·巴利亚努
罗马尼亚马古雷-布查尔斯特空间科学研究所
杜米特鲁·巴利亚努

作者

苏伟华
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杨晓军
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H贾法里
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杜米特鲁·巴利亚努
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通讯作者

与的通信杨晓军.

其他信息

相互竞争的利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

作者在撰写这篇文章时做出了同等贡献。作者阅读并批准了最后的手稿。

权利和权限

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关于本文

引用这篇文章

苏，WH。，杨晓杰。，H·贾法里。等。局部分数微分算子内康托集上波动方程的分数复变换方法。高级差异Equ 2013, 97 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-97

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收到:2013年1月23日
认可的:2013年3月26日
出版:2013年4月10日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-97