On a nonlinear fractional differential equation on partially ordered metric spaces

Baleanu, Dumitru; Mohammadi, Hakimeh; Rezapour, Shahram

doi:10.1186/1687-1847-2013-83

研究
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出版：2013年3月29日

偏序度量空间上的非线性分数阶微分方程

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：83(2013)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

本文利用序度量空间上的一个不动点结果，证明了非线性分数阶微分方程解的存在唯一性 ${D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨))$ ( $t吨 \in 我 = [0, 吨]$ , $0 < α < 1$ )通过周期边界条件 $u个 (0) = 0$ ，其中 $吨 > 0$ 和 $（f） : 我 \times R（右） \to R（右）$ 是一个不断增加的函数 ${}^{c（c）}{D类}^{α}$ 表示Caputo分数阶导数α同时，我们使用反周期边界条件求解它 $u个 (0) + u个 (吨) = 0$ 具有 $u个 (0) \leq 0$ 和 $u个 (0) + μ u个 (吨) = 0$ 具有 $u个 (0) \leq 0$ 和 $μ > 0$ 分别进行。

1引言

分数微积分开始在科学和工程的几个分支中被广泛用作一种重要工具（例如，见[1——20]以及其中的参考）。这种微积分对描述复杂现象的动力学有重要影响[1——4,17]. 在过去几年中，除了化学、工程、生物、物理、，等。因此，分数阶微分方程在过去几年中得到了深入的研究。特别关注线性初始分数阶微分方程在特殊函数项下的可解性。另一方面，不动点理论在几个领域有着广泛的应用（参见参考文献[21]以及其中的参考文献），并且它正在不断发展。考虑到上述内容，在本手稿中，我们的主要目的是借助于在有序度量空间中获得的结果来证明一个Caputo型非线性分数阶微分方程的存在唯一性。论文组织如下。在介绍部分之后，在第二部分中，我们介绍了手稿其余部分所需的一些基本工具。第三部分介绍了主要结果以及示例。最后，手稿以我们的结论结束。

2基本工具

回想一下，对于连续函数 $（f） : [0, \infty) \to R（右）$ ，分数阶卡普托导数α定义如下。

定义2.1Caputo分数阶导数α对于连续函数（f）由定义

{}^{c（c）}{D类}^{α} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (n个 负极 α)} \int_{0}^{t吨} \frac{{（f）}^{(n个)} (秒)}{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 n个 + 1}} d日 秒, n个 = [α] + 1 .

定义2.2Riemann-Liouville分数阶积分α由定义

我^{α} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} \frac{（f） (秒)}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α}} d日 秒, α > 0,

积分存在时（例如，请参见[2,三]和[18])。

定理2.1 让 $(M（M）, ⪯, d日)$ 是完备有序度量空间,然后让 （f） 做一个不断增长的自己-映射于 M（M）.假设存在 ${x个}_{0} \in M（M）$ 和 $β \in Ω$ 这样的话 ${x个}_{0} ⪯ （f） ({x个}_{0})$ 和 $d日 (（f） (x个), （f） (年)) \leq β (d日 (x个, 年)) d日 (x个, 年)$ 为所有人 $x个, 年 \in M（M）$ 具有 $x个 ⪰ 年$ .假设 （f） 是连续的或 M（M） 具有以下属性：如果 ${{x个}_{n个}}$ 是递增序列 ${x个}_{n个} \to x个$ 对一些人来说 $x个 \in M（M）$ ,然后 ${x个}_{n个} ⪯ x个$ 为所有人 n个.阿尔索,假设每个 $x个, 年 \in M（M）$ ,存在 $z（z） \in M（M）$ 这样的话 z（z） 可与 x个和年.然后 （f） 具有唯一的固定点.

3主要结果

研究了具有两类边界条件的分数阶微分方程解的存在唯一性。

3.1有序度量空间中非线性分数阶微分方程的存在性结果

考虑非线性分数阶微分方程：

{}^{c（c）}{D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨)) (t吨 \in 我 = [0, 吨], 0 < α < 1)

通过边界条件 $u个 (0) = 0$ ，其中 $吨 > 0$ 和 $（f） : 我 \times R（右） \to R（右）$ 是一个连续函数。A函数β称为分数次边值问题的下解 $β \in C类 [0, 吨]$ 和β满足 ${}^{c（c）}{D类}^{α} β (t吨) \leq （f） (t吨, β (t吨))$ 和 $β (0) \leq 0$ .让Ω表示函数的类 $β : [0, \infty) \to [0, 1)$ 满足条件 $β ({t吨}_{n个}) \to 1$ 暗示 ${t吨}_{n个} \to 0$ 另外，让Φ表示递增函数的类 $ϕ : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 这样的话 $ϕ (x个) < x个$ 为所有人 $x个 > 0$ 和 $\frac{ϕ (x个)}{x个} \in Ω$ 。通过使用以下结果[21]，我们研究了上述非线性分数阶微分方程解的存在性。可以将其与中的关系（6）进行比较[13]. 该非线性分数阶微分方程已求解为 $三 < α \leq 4$ 和不同的边值条件[22]. 此外，我们在本节中的技术也用于[23]用于求解另一个非线性分数阶微分方程。

引理3.1 假设 $0 < α < 1$ , $t吨 \in 我 = [0, 吨]$ 和 $吨 > 0$ .然后是问题 ${}^{c（c）}{D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨))$ 具有边值条件 $u个 (0) = 0$ 等价于分数阶积分方程

u个 (t吨) = \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒,

哪里

G公司 (t吨, 秒) = {\begin{matrix} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)}, & 0 \leq 秒 \leq t吨 \leq 吨, \\ 0, & 0 \leq t吨 \leq 秒 \leq 吨 . \end{matrix}

证明发件人 ${}^{c（c）}{D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨))$ , $0 < α < 1$ 和边界条件，我们可以看到 $u个 (t吨) 负极 u个 (0) = 我^{α} （f） (t吨, u个 (t吨))$ 通过分数积分的定义，我们得到

u个 (t吨) 负极 u个 (0) = \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 .

因此，

\begin{array}{rcl} u个 (t吨) & = & \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 \\ = & \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 + \int_{t吨}^{吨} 0 （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 \\ = & \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 . \end{array}

这就完成了证明。□

现在，我们准备陈述并证明我们的主要结果。

定理3.2 考虑非线性分数阶微分方程 ${}^{c（c）}{D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨))$ ( $t吨 \in 我 = [0, 吨]$ , $0 < α < 1$ )通过边界条件 $u个 (0) = 0$ ,哪里 $吨 > 0$ , $ϕ \in Φ$ , $（f） : 我 \times R（右） \to R（右）$ 是一个不断增加的连续函数 $0 \leq （f） (t吨, 年) 负极（f） (t吨, x个) \leq \frac{Γ (α + 1)}{吨^{α}} ϕ (年负极 x个)$ 为所有人 $x个, 年 \in R（右）$ 具有 $x个 \leq 年$ .如果存在较低的问题解决方案,那么这个问题有一个独特的解决方案.

证明注意，通过使用引理3.1，问题等价于积分方程 $u个 (t吨) = \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ ，其中

G公司 (t吨, 秒) = {\begin{matrix} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)}, & 0 \leq 秒 < t吨 \leq 吨, \\ 0, & 0 \leq t吨 < 秒 \leq 吨 . \end{matrix}

定义 $F类 : C类 (我, R（右）) \to C类 (我, R（右）)$ 通过 $(F类 u个) (t吨) = \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ 。请注意 $u个 \in C类 (我, R（右）)$ 是的固定点F类当且仅当u个是问题的解决方案。让 $M（M） = C类 (我, R（右）)$ .定义订单≤onM（M）通过 $（f） \leq 克$ 当且仅当 $（f） (t吨) \leq 克 (t吨)$ 为所有人 $t吨 \in 我$ 。那么 $(M（M）, \leq, d日)$ 是一个完整的有序度量空间，其中 $d日 (（f）, 克) = {啜饮}_{t吨 \in 我} | （f） (t吨) 负极克 (t吨) |$ 。很容易检查F类是一个不断增加的自我映射。因此，

\begin{array}{rcl} d日 (F类 u个, F类 v（v）) & = & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} | (F类 u个) (t吨) 负极 (F类 v（v）) (t吨) | \\ \leq & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 \\ \leq & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) \frac{Γ (α + 1)}{吨^{α}} ϕ (u个 (秒) 负极 v（v） (秒)) d日 秒 \end{array}

为所有人 $u个 \geq v（v）$ .由于功能ϕ正在增加并且 $u个 \geq v（v）$ ，我们得到

ϕ (u个 (秒) 负极 v（v） (秒)) \leq ϕ (d日 (u个, v（v）))

等等

\begin{array}{rcl} d日 (F类 u个, F类 v（v）) & \leq & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) \frac{Γ (α + 1)}{吨^{α}} ϕ (u个 (秒) 负极 v（v） (秒)) d日 秒 \\ \leq & \frac{Γ (α + 1)}{吨^{α}} ϕ (d日 (u个, v（v）)) \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) d日 秒 \\ \leq & ϕ (d日 (u个, v（v）)) \frac{Γ (α + 1)}{吨^{α}} \frac{1}{Γ (α + 1)} 吨^{α} = ϕ (d日 (u个, v（v）)) \\ = & \frac{ϕ (d日 (u个, v（v）))}{d日 (u个, v（v）)} d日 (u个, v（v）) = β (d日 (u个, v（v）)) d日 (u个, v（v）) \end{array}

为所有人 $u个 ⪰ v（v）$ 现在，让我们β是这个问题的较低解决方案。我们证明了这一点 $β ⪯ F类 (β)$ .自β是问题的较低解决方案，我们得到 $我^{α} {D类}^{α} β (t吨) \leq 我^{α} （f） (t吨, β (t吨))$ 和 $u个 (0) \leq 0$ 等等

β (t吨) \leq β (0) + \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日 秒

为所有人 $t吨 \in 我$ .自 $u个 (0) \leq 0$ ，我们有 $β (t吨) \leq \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨负极秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日秒$ 因此，我们获得 $β (t吨) \leq F类 (β) (t吨)$ 为所有人 $t吨 \in 我$ 因此， $β \leq F类 (β)$ 请注意 $(M（M）, \leq, d日)$ 具有以下属性：如果 ${{（f）}_{n个}}$ 是递增序列 ${（f）}_{n个} \to （f）$ 对一些人来说 $（f） \in M（M）$ ，然后 ${（f）}_{n个} ⪯ （f）$ 为所有人n个因此，通过使用定理2.1，F类具有唯一的固定点。□

示例3.1

考虑非线性分数阶微分方程

{D类}^{\frac{1}{2}} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨)) (t吨 \in [0, \frac{π}{2}])

通过周期边界条件 $u个 (0) = 0$ ，其中 $ϕ (t吨) = \frac{4}{5} t吨$ 和功能 $（f） : 我 \times R（右） \to R（右）$ 由定义 $（f） (t吨, u个 (t吨)) = \frac{1}{9} (t吨 + u个 (t吨))$ 。请注意

0 \leq （f） (t吨, 年 (t吨)) 负极 （f） (t吨, x个 (t吨)) = \frac{1}{4} (年 (t吨) 负极 x个 (t吨)) \leq \frac{Γ (\frac{1}{2} + 1)}{\sqrt{\frac{π}{2}}} ϕ (年 (t吨) 负极 x个 (t吨))

为所有人 $x个, 年 \in C类 ([0, \frac{π}{2}], R（右）)$ 具有 $x个 \leq 年$ 然后，利用定理3.2，该问题的下解的存在性提供了唯一解的存在。

示例3.2让 $米 \geq 1$ 给出。考虑非线性分数阶微分方程

{D类}^{\frac{三}{4}} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨)) (t吨 \in [0, 1])

通过边界条件 $u个 (0) = 0$ ，其中 $ϕ (t吨) = \frac{4}{5} t吨$ 和功能 $（f） : 我 \times R（右） \to R（右）$ 由定义 $（f） (t吨, u个 (t吨)) = {t吨}^{米} + \frac{1}{8} u个 (t吨)$ 。请注意

0 \leq （f） (t吨, 年 (t吨)) 负极 （f） (t吨, x个 (t吨)) = \frac{1}{8} (年 (t吨) 负极 x个 (t吨)) \leq \frac{Γ (\frac{三}{4} + 1)}{1^{\frac{三}{4}}} ϕ (年 (t吨) 负极 x个 (t吨))

为所有人 $x个, 年 \in C类 ([0, 1], R（右）)$ 具有 $x个 \leq 年$ 然后，通过使用定理3.2，该问题的较低解的存在提供了唯一解的存在。

3.2具有反周期边界条件的非线性分数阶微分方程的存在性结果

在本节中，我们将求解非线性分数阶微分方程

{}^{c（c）}{D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨)) (t吨 \in 我 = [0, 吨], 0 < α < 1)

通过边界条件 $u个 (0) + u个 (吨) = 0$ 具有 $u个 (0) \leq 0$ ，其中 $吨 > 0$ 和 $（f） : 我 \times R（右） \to R（右）$ 是一个递增的连续函数 $（f） \leq 0$ .

引理3.3 假设 $0 < α < 1$ , $t吨 \in 我 = [0, 吨]$ 和 $吨 > 0$ .然后是问题 ${}^{c（c）}{D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨))$ 具有边值条件 $u个 (0) + u个 (吨) = 0$ 具有 $u个 (0) \leq 0$ 等价于分数阶积分方程 $u个 (t吨) = \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ ,哪里

G公司 (t吨, 秒) = {\begin{matrix} \frac{2 {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} 负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)}, & 0 \leq 秒 \leq t吨 \leq 吨, \\ \frac{负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)}, & 0 \leq t吨 \leq 秒 \leq 吨 . \end{matrix}

证明很容易看出 $u个 (t吨) 负极 u个 (0) = 我^{α} （f） (t吨, u个 (t吨))$ 因此，

u个 (t吨) = u个 (0) + \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒,

等等 $u个 (吨) = u个 (0) + \int_{0}^{吨} \frac{{(吨负极秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ 因此，

\begin{matrix} u个 (0) = \int_{0}^{吨} \frac{负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒, \\ u个 (t吨) = \int_{0}^{吨} \frac{负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 + \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒, \\ u个 (t吨) = \int_{0}^{t吨} \frac{2 {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} 负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 负极 \int_{t吨}^{吨} \frac{{(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 \\ = \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 . \end{matrix}

这就完成了证明。□

现在，我们展示下一个结果。

定理3.4 考虑非线性分数阶微分方程 ${}^{c（c）}{D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨))$ 通过边界条件 $u个 (0) + u个 (吨) = 0$ 具有 $u个 (0) \leq 0$ ,哪里 $吨 > 0$ , $ϕ \in Φ$ , $（f） : 我 \times R（右） \to R（右）$ 是一个递增的连续函数 $（f） \leq 0$ 和 $0 \leq （f） (t吨, 年) 负极（f） (t吨, x个) \leq \frac{2 Γ (α + 1)}{吨^{α}} ϕ (年负极 x个)$ 为所有人 $x个, 年 \in R（右）$ 具有 $x个 \leq 年$ .如果存在较低的问题解决方案,那么这个问题有一个独特的解决方案.

证明注意，通过使用引理3.3，问题等价于积分方程 $u个 (t吨) = \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ ，其中

G公司 (t吨, 秒) = {\begin{matrix} \frac{2 {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} 负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)}, & 0 \leq 秒 \leq t吨 \leq 吨, \\ \frac{负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)}, & 0 \leq t吨 \leq 秒 \leq 吨 . \end{matrix}

定义 $F类 : C类 (我, R（右）) \to C类 (我, R（右）)$ 通过 $(F类 u个) (t吨) = \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ 。请注意 $u个 \in C类 (我, R（右）)$ 是的固定点F类当且仅当u个是问题的解决方案。让 $M（M） = C类 (我, R（右）)$ .定义订单≤onM（M）通过 $（f） \leq 克$ 当且仅当 $（f） (t吨) \leq 克 (t吨)$ 为所有人 $t吨 \in 我$ 。那么 $(M（M）, \leq, d日)$ 是一个完整的有序度量空间，其中 $d日 (（f）, 克) = {啜饮}_{t吨 \in 我} | （f） (t吨) 负极克 (t吨) |$ 。很容易检查F类是一个不断增加的自我映射。因此，

\begin{array}{rcl} d日 (F类 u个, F类 v（v）) & = & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} | (F类 u个) (t吨) 负极 (F类 v（v）) (t吨) | \\ \leq & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 \\ \leq & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) \frac{2 Γ (α + 1)}{吨^{α}} ϕ (u个 (秒) 负极 v（v） (秒)) d日 秒 \end{array}

为所有人 $u个 \geq v（v）$ .由于功能ϕ正在增加并且 $u个 \geq v（v）$ ，我们得到 $ϕ (u个 (秒) 负极 v（v） (秒)) \leq ϕ (d日 (u个, v（v）))$ 等等

\begin{array}{rcl} d日 (F类 u个, F类 v（v）) & \leq & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) \frac{2 Γ (α + 1)}{吨^{α}} ϕ (u个 (秒) 负极 v（v） (秒)) d日 秒 \\ \leq & \frac{2 Γ (α + 1)}{吨^{α}} ϕ (d日 (u个, v（v）)) \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) d日 秒 \\ \leq & ϕ (d日 (u个, v（v）)) \frac{2 Γ (α + 1)}{吨^{α}} \frac{1}{2 Γ (α + 1)} 吨^{α} = ϕ (d日 (u个, v（v）)) \\ = & \frac{ϕ (d日 (u个, v（v）))}{d日 (u个, v（v）)} d日 (u个, v（v）) = β (d日 (u个, v（v）)) d日 (u个, v（v）) \end{array}

为所有人 $u个 ⪰ v（v）$ 现在，让我们β是这个问题的较低解决方案。我们证明了这一点 $β ⪯ F类 (β)$ .自β是问题的较低解决方案，我们得到 $我^{α} {D类}^{α} β (t吨) \leq 我^{α} （f） (t吨, β (t吨))$ , $β (0) + β (吨) \leq 0$ 和 $β (0) \leq 0$ 因此，

β (t吨) \leq β (0) + \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日 秒,

等等 $β (t吨) \leq 负极 β (吨) + \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨负极秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日秒$ 为所有人 $t吨 \in 我$ .自 $负极 β (吨) \leq 0$ , $β (t吨) \leq \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨负极秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日秒$ 和

\int_{0}^{吨} \frac{负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日 秒 \geq 0 .

因此，

β (t吨) \leq \int_{0}^{t吨} \frac{2 {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日 秒 + \int_{0}^{吨} \frac{负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日 秒,

等等

\begin{array}{rcl} β (t吨) & \leq & \int_{0}^{t吨} \frac{2 {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} 负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日 秒 \\ + \int_{t吨}^{吨} \frac{负极 {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{2 Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日 秒 . \end{array}

因此， $β (t吨) \leq \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, β (秒)) d日秒 = (F类 β) (t吨)$ 也就是说， $β \leq F类 (β)$ 请注意 $(M（M）, \leq, d日)$ 具有以下属性：如果 ${{（f）}_{n个}}$ 是递增序列 ${（f）}_{n个} \to （f）$ 对一些人来说 $（f） \in M（M）$ ，然后 ${（f）}_{n个} ⪯ （f）$ 为所有人n个因此利用定理2.1，F类具有唯一的固定点。□

3.3具有另一个边界条件的非线性分数阶微分方程的存在性结果

在本节中，我们将求解非线性分数阶微分方程

{}^{c（c）}{D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨)) (t吨 \in 我 = [0, 吨], 0 < α < 1)

通过边界条件 $u个 (0) + μ u个 (吨) = 0$ 具有 $u个 (0) \leq 0$ 和 $μ > 0$ ，其中 $吨 > 0$ 和 $（f） : 我 \times R（右） \to R（右）$ 是一个不断增加的连续函数 $（f） \leq 0$ .

引理3.5 假设 $0 < α < 1$ , $t吨 \in 我 = [0, 吨]$ 和 $吨 > 0$ .然后是问题 ${}^{c（c）}{D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨))$ 具有边值条件 $u个 (0) + μ u个 (吨) = 0$ 具有 $u个 (0) \leq 0$ 和 $μ > 0$ 等价于分数阶积分方程 $u个 (t吨) = \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ ,哪里

G公司 (t吨, 秒) = {\begin{matrix} \frac{负极 μ {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{(μ + 1) Γ (α)} + \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)}, & 0 \leq 秒 \leq t吨 \leq 吨, \\ \frac{负极 μ {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{(μ + 1) Γ (α)}, & 0 \leq t吨 \leq 秒 \leq 吨 . \end{matrix}

证明很容易看出 $u个 (t吨) 负极 u个 (0) = 我^{α} （f） (t吨, u个 (t吨))$ 等等

u个 (t吨) = u个 (0) + \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 .

因此， $u个 (吨) = u个 (0) + \int_{0}^{吨} \frac{{(吨负极秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ .自 $u个 (吨) = \frac{负极 u个 (0)}{μ}$ , $u个 (0) = \frac{负极 μ}{μ + 1} \int_{0}^{吨} \frac{{(吨负极秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ 等等

u个 (t吨) = \int_{0}^{吨} \frac{负极 μ {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{(μ + 1) Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 + \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 .

因此，

\begin{array}{rcl} u个 (t吨) & = & \int_{0}^{t吨} \frac{负极 μ {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{(μ + 1) Γ (α)} + \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 \\ + \int_{t吨}^{吨} \frac{负极 μ {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{(μ + 1) Γ (α)} （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 \\ = & \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 . \end{array}

这就完成了证明。□

现在，我们给出以下结果。

定理3.6 考虑非线性分数阶微分方程 ${}^{c（c）}{D类}^{α} u个 (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨))$ 通过边界条件 $u个 (0) + μ u个 (吨) = 0$ 具有 $u个 (0) \leq 0$ 和 $μ > 0$ ,哪里 $吨 > 0$ , $ϕ \in Φ$ , $（f） : 我 \times R（右） \to R（右）$ 是一个递增的连续函数 $（f） \leq 0$ 和 $0 \leq （f） (t吨, 年) 负极（f） (t吨, x个) \leq \frac{Γ (α)}{吨^{α}} ϕ (年负极 x个)$ 为所有人 $x个, 年 \in R（右）$ 具有 $x个 \leq 年$ .如果存在较低的问题解决方案,那么这个问题有一个独特的解决方案.

证明注意，通过使用引理3.5，问题等价于积分方程 $u个 (t吨) = \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ ，其中

G公司 (t吨, 秒) = {\begin{matrix} \frac{负极 μ {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{(μ + 1) Γ (α)} + \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)}, & 0 \leq 秒 \leq t吨 \leq 吨, \\ \frac{负极 μ {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{(μ + 1) Γ (α)}, & 0 \leq t吨 \leq 秒 \leq 吨 . \end{matrix}

定义 $F类 : C类 (我, R（右）) \to C类 (我, R（右）)$ 通过 $(F类 u个) (t吨) = \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日秒$ 。请注意 $u个 \in C类 (我, R（右）)$ 是的固定点F类当且仅当u个是问题的解决方案。让 $M（M） = C类 (我, R（右）)$ .定义订单≤onM（M）通过 $（f） \leq 克$ 当且仅当 $（f） (t吨) \leq 克 (t吨)$ 为所有人 $t吨 \in 我$ 。那么 $(M（M）, \leq, d日)$ 是一个完整的有序度量空间，其中 $d日 (（f）, 克) = {啜饮}_{t吨 \in 我} | （f） (t吨) 负极克 (t吨) |$ 。很容易检查F类是一个不断增加的自我映射。因此，

\begin{array}{rcl} d日 (F类 u个, F类 v（v）) & = & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} | (F类 u个) (t吨) 负极 (F类 v（v）) (t吨) | \\ \leq & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, u个 (秒)) d日 秒 \\ \leq & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) \frac{Γ (α)}{吨^{α}} ϕ (u个 (秒) 负极 v（v） (秒)) d日 秒 \end{array}

为所有人 $u个 \geq v（v）$ .由于功能ϕ正在增加并且 $u个 \geq v（v）$ ，我们得到 $ϕ (u个 (秒) 负极 v（v） (秒)) \leq ϕ (d日 (u个, v（v）))$ 等等

\begin{array}{rcl} d日 (F类 u个, F类 v（v）) & \leq & \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) \frac{Γ (α)}{吨^{α}} ϕ (u个 (秒) 负极 v（v） (秒)) d日 秒 \\ \leq & \frac{Γ (α)}{吨^{α}} ϕ (d日 (u个, v（v）)) \underset{t吨 \in 我}{啜饮} \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) d日 秒 \\ \leq & ϕ (d日 (u个, v（v）)) \frac{Γ (α)}{吨^{α}} \frac{吨^{α}}{Γ (α)} = ϕ (d日 (u个, v（v）)) \\ = & \frac{ϕ (d日 (u个, v（v）))}{d日 (u个, v（v）)} d日 (u个, v（v）) = β (d日 (u个, v（v）)) d日 (u个, v（v）) \end{array}

为所有人 $u个 ⪰ v（v）$ 现在，让我们β是这个问题的较低解决方案。我们证明了这一点 $β ⪯ F类 (β)$ .自β是问题的较低解决方案，我们得到 $我^{α} {D类}^{α} β (t吨) \leq 我^{α} （f） (t吨, β (t吨))$ , $β (0) + μ β (吨) \leq 0$ 和 $β (0) \leq 0$ 因此， $β (t吨) \leq β (0) + \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨负极秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日秒$ 等等

β (t吨) \leq \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日 秒

为所有人 $t吨 \in 我$ .自 $（f） \leq 0$ , $\int_{0}^{吨} \frac{负极 μ {(吨负极秒)}^{α 负极 1}}{(μ + 1) Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日秒 \geq 0$ 因此，

\begin{array}{rcl} β (t吨) & \leq & \int_{0}^{t吨} \frac{负极 μ {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{(μ + 1) Γ (α)} + \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日 秒 \\ + \int_{t吨}^{吨} \frac{负极 μ {(吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{(μ + 1) Γ (α)} （f） (秒, β (秒)) d日 秒, \end{array}

等等 $β (t吨) \leq \int_{0}^{吨} G公司 (t吨, 秒) （f） (秒, β (秒)) d日秒 = (F类 β) (t吨)$ 因此， $β \leq F类 (β)$ 请注意 $(M（M）, \leq, d日)$ 具有以下属性：如果 ${{（f）}_{n个}}$ 是递增序列 ${（f）}_{n个} \to （f）$ 对一些人来说 $（f） \in M（M）$ ，然后 ${（f）}_{n个} ⪯ （f）$ 为所有人n个因此，通过使用定理2.1，F类具有唯一的固定点。□

结论

本文利用序度量空间上的不动点技术，研究了一类具有周期和反周期边界条件的非线性分数阶微分方程解的存在唯一性。为了维持我们的结果，我们详细分析了两个说明性的例子。

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致谢

这项工作得到土耳其科学和技术研究理事会的部分支持。第二和第三作者的研究得到了阿扎尔巴迪詹·沙希德·马达尼大学的支持。

作者信息

作者和附属机构

坎卡亚大学数学系，Ogretmenler Cad。土耳其安卡拉Balgat，邮编：14 06530
杜米特鲁·巴利亚努
罗马尼亚马古雷-布查尔斯特空间科学研究所
杜米特鲁·巴利亚努
沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学工程学院化学与材料工程系
杜米特鲁·巴利亚努
伊朗大不里士阿扎尔沙尔阿扎尔巴德詹·沙希德·马达尼大学数学系
Hakimeh Mohammadi和Shahram Rezapour

作者

杜米特鲁·巴利亚努
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哈基米·穆罕默德
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Baleanu，D.，Mohammadi，H.&Rezapour，S.关于偏序度量空间上的非线性分数阶微分方程。高级差异Equ 2013，83（2013年）。https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-83

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收到:2012年12月5日
认可的:2013年3月5日
出版:2013年3月29日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-83

偏序度量空间上的非线性分数阶微分方程

摘要

1引言

2基本工具

3主要结果

3.1有序度量空间中非线性分数阶微分方程的存在性结果

3.2具有反周期边界条件的非线性分数阶微分方程的存在性结果

3.3具有另一个边界条件的非线性分数阶微分方程的存在性结果

结论

工具书类

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