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连续和离散模型的进展

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空间分数阶变阶薛定谔方程的稳定性和收敛性

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：80(2013)引用这篇文章

摘要

将空间分数阶薛定谔方程进一步推广到空间分数阶变阶导数的概念。广义方程很难解析处理。我们通过Crank-Nicholson格式数值求解了广义方程。详细讨论了空间分数阶变阶薛定谔方程的稳定性和收敛性。

1引言

在量子力学中，薛定谔方程是一个描述某些物理系统的量子状态如何随时间变化的偏微分方程。它是1925年末由奥地利物理学家埃尔文·薛定谔（Erwin Schrödinger）制定并于1926年出版的。分数阶导数可以追溯到17世纪[1]. 自出现以来，它主要发展成为一个纯粹的数学概念领域。然而，在过去几十年中，分数阶微分系统已被证明在物理、工程甚至金融分析中有用[2]. 分数阶动力系统由粘弹性系统组成[三]，电介质极化[4]，电极-电解质极化[5]，电磁波[6]，定量金融[7]和复杂系统的量子进化[8]. 特别是，在分数量子演化领域，一些学者获得了许多结果（参见[8——17]). 例如，拉斯金在2000年提出了空间分数量子力学[9——12]，并研究了具有空间分数阶导数的薛定谔方程[13——16]. 同样，工作中也讨论了时间分数阶薛定谔方程[15——17]. 然而，数学和物理领域的许多研究人员都注意研究用变阶导数描述的物理问题（参见[18——22]). 由于分数阶微分方程（FODE）和变阶微分方程之间的重要差异，FODE系统的大多数特征或结论有时可以扩展到VFODE的情况。近年来，人们致力于研究变阶微分系统的混沌动力学[23——28]. 然而，目前关于变阶混沌系统的许多结果都是通过数值模拟完成的。在这项工作中，我们进一步研究了分数阶薛定谔方程推广到变阶时间分数概念的可能性。将详细研究新方程的稳定性和收敛性。

2问题表述

对于不熟悉变阶导数概念的读者，我们将从本节开始，介绍此导数的基本定义。

2.1变阶微分算子

让（f）:R（右）→R（右）,x→（f）(x)表示一个连续且必要的可微性，设α(x)是中的连续函数(0,1]则其变阶微分定义为：

D类 0 α ( x ) ( （f） ( x ) ) = 1 Γ ( 1 − α ( x ) ) ∫ 0 x ( x − t吨 ) − α ( t吨 ) 天 （f） ( t吨 ) 天 t吨 天t吨.
(2.1)

上述导数称为卡普托变阶微分算子；此外，常数的导数为零。

2.2薛定谔方程的修正

最著名的例子是关于单个粒子在电场中运动的非相对论薛定谔方程，如下所示

我 小时 2 π ∂ Ψ ( 第页 , t吨 ) ∂ t吨 = [ − [ 小时 2 π ] 2 2 米 ∇ 2 + 五 ( 第页 , t吨 ) ] Ψ(第页,t吨),
(2.2)

哪里米是粒子的质量，五是它的势能， ∇ 2 是拉普拉斯函数，Ψ是波函数，更准确地说，在本文中，它被称为位置空间波函数。简而言之，它的意思是总能量等于动能加势能。薛定谔方程在经典力学中扮演牛顿定律和能量守恒定律的角色，这意味着它预测了动态系统的未来行为。这是一个波函数形式的波动方程，它可以分析性地准确预测事件或结果的概率。详细的结果并不是严格确定的，但考虑到大量事件，薛定谔方程将预测结果的分布。动能和势能被转换成哈密顿量，哈密顿量能作用于波函数，从而产生波函数在时间和空间上的演化。薛定谔方程给出了系统的量子化能量，并给出了波函数的形式，以便可以计算其他性质。该方程被成功地推广到分数阶导数的概念（参见[15——17]). 在本文中，我们通过替换方程中的拉普拉斯算子，将该方程扩展到分数变阶导数的概念(2.1）通过变阶拉普拉斯算子得到：

我 小时 2 π ∂ Ψ ( 第页 , t吨 ) ∂ t吨 = [ − [ 小时 2 π ] 2 2 米 ∇ α ( x , t吨 ) + 五 ( 第页 , t吨 ) ] Ψ(第页,t吨),0<α(x,t吨)≤2.
(2.3)

上述方程称为空间分数阶变阶薛定谔方程。该修正方程无法解析求解，因此，在下一节中，我们将介绍通过Crank-Nicholson格式进行数值求解的基础讨论。

3修正方程的数值解

环境现象，如空间分数阶变阶薛定谔方程，是高度复杂的现象，不适合分析模型。因此，本节中的讨论将致力于推导空间分数阶变阶薛定谔方程的数值解(2.3).

数值方法通过空间和时间离散化得到控制方程的近似解。在离散问题域内，系统的可变内部特性、边界和应力被近似。确定性、分布参数、数值模型可以放宽分析模型或集总参数模型的刚性理想化条件，因此它们可以更真实、更灵活地模拟现场条件。文献中广泛考虑了常阶时间或空间分数阶扩散方程的有限差分格式；例如，查看在中完成的工作[14——19]. 对于常阶时间分数阶扩散方程，在[20]. 加权平均有限差分法始于[21]. Podlubny提出了分数阶扩散方程的矩阵方法[22]Hanert提出了一种灵活的数值格式来离散时空分数阶扩散方程[23]. 最近，庄很好地想出了变阶（VO）空间分数阶对流扩散方程的数值格式[16]. Lin研究了VO非线性空间分数阶扩散方程的显式格式[24]. 最近，Atangana和Botha提出了广义时间分数阶变阶地下水流量方程的稳定性和收敛性[27].

3.1 Crank-Nicholson方案

在执行数值方法之前，我们假设(2.3）具有唯一且足够平滑的解决方案。为了建立上述方程的数值格式，我们让 x 我 =我小时,0≤我≤M（M）,M（M）小时=L（左）, t吨 k个 =k个τ,0≤k个≤N个,N个τ=T型,小时是台阶和τ是时间大小，M（M）和N个是网格点。

我们介绍Crank-Nicholson方案如下。首先，一阶和二阶空间导数的离散化表示为

∂ Ψ ∂ t吨 = 1 2 ( ( Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 + 1 ) − Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 − 1 ) 2 ( τ ) ) + ( Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) − Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 − 1 ) 2 ( τ ) ) ) +O（运行）(τ),
(3.1)
五= 1 2 ( 五 ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) + 五 ( 第页 我 , t吨 k个 ) ) .
(3.2)

VO空间分数阶薛定谔方程的Crank-Nicholson格式可以表述如下：

∂ α 我 k个 + 1 Φ ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) ∂ 第页 α 我 k个 + 1 = 小时 − α 我 k个 + 1 Γ ( 2 − α 我 k个 + 1 ) ( Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 ) − Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 ) + ∑ j个 = 1 k个 [ Ψ ( 第页 我 + 1 − j个 , t吨 k个 ) − Ψ ( 第页 我 − j个 , t吨 k个 ) ] × [ ( j个 + 1 ) 1 − α 我 k个 + 1 − ( j个 ) 1 − α 我 k个 + 1 ] ) + O（运行） ( 小时 ) .
(3.3)

需要指出的是，求积公式（3.3）没有提供时间分数导数的值第页=0这是隐式有限差分和随后的Crank-Nicholson方法方案所不需要的。

现在，使用带有离散公式（3.1）、（3.2）和（3.4）的Crank-Nicholson方法估计空间变阶分数阶导数来数值求解VO空间分数阶Schrödinger方程(2.3）.如果势是从下方有界的，这意味着势能有一个最小值，那么薛定谔方程的本征函数具有能量，它也是从下方有边界的。用变分原理最容易看出这一点。为了简单起见，我们假设势能五有上下边界，我们考虑其平均值五(第页,t吨)= 五 ¯ 在本文中。使用（3.1）、（3.2）和（3.3）将精确解限制在以( x 我 ； t吨 k个 )=(我小时；τk个); 在方程式中(2.3），满足我=1,2,…,N个−1:

1 2 我 小时 2 π ( ( Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 + 1 ) − Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 − 1 ) 2 ( τ ) ) + ( Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) − Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 − 1 ) 2 ( τ ) ) ) + O（运行） ( τ ) − 五 ¯ [ 1 2 ( Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) + Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 ) ) ] = [ 小时 2 π ] 2 2 米 小时 − α 我 k个 + 1 Γ ( 2 − α 我 k个 + 1 ) ( Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 ) − Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 ) + ∑ j个 = 1 k个 [ Ψ ( 第页 我 + 1 − j个 , t吨 k个 ) − Ψ ( 第页 我 − j个 , t吨 k个 ) ] [ ( j个 + 1 ) 1 − α 我 k个 + 1 − ( j个 ) 1 − α 我 k个 + 1 ] ) + O（运行） ( 小时 ) , 1 2 我 小时 2 π ( ( Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 + 1 ) − Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 − 1 ) 2 ( τ ) ) + ( Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) − Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 − 1 ) 2 ( τ ) ) ) − 五 ¯ [ 1 2 ( Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) + Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 ) ) ] = [ 小时 2 π ] 2 2 米 小时 − α 我 k个 + 1 Γ ( 2 − α 我 k个 + 1 ) ( Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 ) − Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 ) + ∑ j个 = 1 k个 [ Ψ ( 第页 我 + 1 − j个 , t吨 k个 ) − Ψ ( 第页 我 − j个 , t吨 k个 ) ] [ ( j个 + 1 ) 1 − α 我 k个 + 1 − ( j个 ) 1 − α 我 k个 + 1 ] ) + T型 ( 第页 , t吨 ) ,
(3.4)

哪里T型(第页,t吨)是截断项。因此，根据方程式(三.4），数值方法是一致的，时间上一阶正确，空间上二阶正确。

现在，为了简单起见，我们让Ψ( 第页 我 , t吨 k个 )= Ψ 我 k个 这样，得到的有限差分方程定义为

1 2 我 小时 2 π ( ( Ψ 我 + 1 k个 + 1 − Ψ 我 + 1 k个 − 1 2 ( τ ) ) + ( Ψ 我 k个 + 1 − Ψ 我 k个 − 1 2 ( τ ) ) ) − 五 ¯ [ 1 2 ( Ψ 我 k个 + 1 + Ψ 我 k个 ) ] = [ 小时 2 π ] 2 2 米 小时 − α 我 k个 + 1 Γ ( 2 − α 我 k个 + 1 ) ( Ψ 我 + 1 k个 − Ψ 我 k个 + ∑ j个 = 1 k个 [ Ψ 我 + 1 − j个 k个 − Ψ 我 − j个 k个 ] [ ( j个 + 1 ) 1 − α 我 k个 + 1 − ( j个 ) 1 − α 我 k个 + 1 ] ) .
(3.5)

设置

H（H） 我 k个 + 1 = ( [ 小时 2 π ] 2 2 米 ) − 1 小时 1 + α 我 k个 + 1 我 Γ ( 2 − α 我 k个 + 1 ) 8 π τ ； 五 我 k个 + 1 = − 五 ¯ 小时 α 我 k个 + 1 Γ ( 2 − α 我 k个 + 1 ) 2 ( [ 小时 2 π ] 2 2 米 ) − 1 , b j个 我 , k个 + 1 = ( j个 + 1 ) 1 − α 我 k个 + 1 − ( j个 ) 1 − α 我 k个 + 1 和 λ j个 我 , k个 + 1 = b j个 − 1 我 , k个 + 1 − b j个 我 , k个 + 1 .
(3.6)

将（3.6）替换为（3.5）并重新排序，我们得到了以下结果：

H（H） 我 k个 + 1 ( ( Ψ 我 + 1 k个 + 1 − Ψ 我 + 1 k个 − 1 ) + ( Ψ 我 k个 + 1 − Ψ 我 k个 − 1 ) ) + 五 我 k个 + 1 [ ( Ψ 我 k个 + 1 + Ψ 我 k个 ) ] = ( Ψ 我 + 1 k个 − Ψ 我 k个 + ∑ j个 = 1 k个 [ Ψ 我 + 1 − j个 k个 − Ψ 我 − j个 k个 ] b j个 我 , k个 + 1 ) .
(3.7)

包括边界条件： Ψ 0 k个 = Ψ N个 k个 =0,n个=1,2,…,N个−1需要注意的是，方程式(三.7）要求在每个时间步长求解三对角线性方程组，其中右手边利用到那时为止计算的解的所有历史。

我们在这里的下一个关注点是，利用非分数阶偏微分方程的Von Neumann方法，可以非常成功地分析分数阶数值格式的稳定性[25].

4空间分数阶变阶薛定谔方程的稳定性分析

在本节中，我们将分析空间分数阶变阶薛定谔方程的Crank-Nicholson格式的稳定性条件。

让 ζ 我 k个 = Ψ 我 k个 − X（X） 我 k个 ，在这里 X（X） 我 k个 是该点的近似解( x 我 , t吨 k个 )(k个=1,2,…,N个,我=1,2,…,M（M）−1)此外 ζ k个 = [ ζ 1 k个 , ζ 2 k个 , … , ζ M（M） − 1 k个 ] T型 和功能 ζ k个 (x)被选择为：

ζ k个 (x)={ ζ 我 k个 如果 x 我 − 小时 2 < x ≤ x 我 + 小时 2 , 我 = 1 , 2 , … , M（M） − 1 , 0 如果 L（左） − 小时 2 < x ≤ L（左） .
（4.1）

然后，函数 ζ k个 (x)可以用傅里叶级数表示如下：

ζ k个 ( x ) = ∑ 米 = − ∞ 米 = ∞ δ 米 ( 米 ) 经验 [ 2 我 π 米 k个 / L（左） ] , δ k个 ( x ) = 1 L（左） ∫ 0 L（左） ρ k个 ( x ) 经验 [ 2 我 π 米 x L（左） ] 天 x .
(4.2)

它是由[20]那个

∥ ρ 2 ∥ 2 2 = ∑ 米 = − ∞ 米 = ∞ ∥ δ k个 ( 米 ) ∥ 2 .
(4.3)

请大家注意k个,我≥1,0≤1− α 我 k个 + 1 <1此外，根据正在调查的问题，普朗克常数小时,米粒子的质量和五其势能为正常数。然后，系数的以下属性 H（H） 我 k个 + 1 , 五 我 k个 + 1 , λ j个 我 , k个 + 1 和 b 我 k个 + 1 可以建立：

1 . − 五 我 k个 + 1 , H（H） 我 k个 + 1 对所有人都是积极的 我 = 1 , 2 , … , M（M） − 1 , 2 . 0 < λ j个 我 , k个 ≤ λ j个 − 1 我 , k个 ≤ 1 为所有人 我 = 1 , 2 , … , M（M） − 1 , 三 . 0 ≤ b j个 我 , k个 ≤ 1 , ∑ j个 = 0 k个 − 1 b j个 + 1 我 , k个 + 1 = 1 − λ k个 我 , k个 + 1 为所有人 我 = 1 , 2 , … , M（M） − 1 .
(4.4)

注意，在这种情况下，用Crank-Nicholson格式近似空间分数阶变阶Schrödinger方程的解时产生的误差如下所示：

H（H） 我 k个 + 1 ( ( ζ 我 + 1 k个 + 1 − ζ 我 + 1 k个 − 1 ) + ( ζ 我 k个 + 1 − ζ 我 k个 − 1 ) ) + 五 我 k个 + 1 [ ( ζ 我 k个 + 1 + ζ 我 k个 ) ] = ( ζ 我 + 1 k个 − ζ 我 k个 + ∑ j个 = 1 k个 [ ζ 我 + 1 − j个 k个 − ζ 我 − j个 k个 ] b j个 我 , k个 + 1 ) .
(4.5)

如果我们假设： ζ 我 k个 在方程式中(4.11）可按如下方式表示为增量指数形式：

ζ 我 k个 = δ k个 经验[我φ我k个],
(4.6)

哪里φ是一个真实的空间波数，新替换了上述方程(4.6）在（4.5）中，我们得到以下表达式：

δ k个 + 1 ( 2 H（H） 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) + 2 五 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) ) = [ − 1 − 2 五 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) − λ 1 我 , k个 + 1 ] δ k个 + ∑ j个 = 0 k个 − 1 λ j个 + 1 我 , k个 + 1 δ k个 − j个 + λ k个 我 , k个 + 1 δ 0 的 k个 ≥ 1 ,
(4.7)
δ 1 ( 2 H（H） 我 1 罪 2 ( φ 小时 2 ) + 2 五 我 1 罪 2 ( φ 小时 2 ) ) = [ − 1 − 2 五 我 1 罪 2 ( φ 小时 2 ) ] δ 0 的k个=0.
(4.8)

我们接下来要展示的是k个=1,2,…,N个−1方程的解(4.7）符合以下条件：

| δ k个 |<| δ 0 |.

为了实现这一点，我们利用自然数上的递归技术k个.

对于k个=1和− 五 我 k个 + 1 , H（H） 我 k个 + 1 对所有人都是积极的我=1,2,…,M（M）−1，然后我们得到：

| δ 1 | | δ 0 | =| [ 1 + 2 五 我 1 罪 2 ( φ 小时 2 ) ] [ 2 H（H） 我 1 罪 2 ( φ 小时 2 ) + 2 五 我 1 罪 2 ( φ 小时 2 ) ] |<1.
(4.9)

该条件适用于k个=0.

假设米=2,三,…,k个属性已验证。然后

| δ k个 + 1 |=| [ − 1 − 2 五 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) − λ 1 我 , k个 + 1 ] δ k个 + ∑ j个 = 0 k个 − 1 λ j个 + 1 我 , k个 + 1 δ k个 − j个 + λ k个 我 , k个 + 1 δ 0 2 H（H） 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) + 2 五 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) |.
(4.10)

使用三角不等式，我们得到：

| δ k个 + 1 | ≤ | − 1 − 2 五 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) − λ 1 我 , k个 + 1 | | δ k个 | + ∑ j个 = 0 k个 − 1 | λ j个 + 1 我 , k个 + 1 | | δ k个 − j个 | + | λ k个 我 , k个 + 1 | | δ 0 | | 2 H（H） 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) + 2 五 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) | , | δ k个 + 1 | ≤ | 1 + 2 五 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) + ∑ j个 = 0 k个 − 1 | λ j个 + 1 我 , k个 + 1 | | | δ 0 | | 2 H（H） 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) + 2 五 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) | , | δ k个 + 1 | ≤ | 2 H（H） 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) + 2 五 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) | | δ 0 | | 2 H（H） 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) + 2 五 我 1 + k个 罪 2 ( φ 小时 2 ) | , | δ k个 + 1 | ≤ | δ 0 | ,
(4.11)

证明已经完成。

5空间分数阶变阶薛定谔方程的收敛性分析

假设这样，Ψ( 第页 我 , t吨 k个 )(我=1,2,…,M（M）,k个=1,2,…,N个−1)是我们问题的确切解决方案吗( 第页 我 , t吨 k个 )，通过出租 Ω 我 k个 =Ψ( 第页 我 , t吨 k个 )− X（X） 我 k个 和 Ω k个 =(0, Ω 1 k个 , Ω 2 k个 ,…, Ω M（M） − 1 k个 )将其代入方程式(4.5），我们获得：

Ω 我 1 ( H（H） 我 1 + 五 我 1 ) + Ω 我 + 1 1 ( H（H） 我 1 ) = T型 我 1 的 k个 = 0 , Ω 我 k个 + 1 ( H（H） 我 k个 + 1 + 五 我 k个 + 1 ) + Ω 我 + 1 k个 + 1 H（H） 我 k个 + 1 = T型 我 k个 + 1 的 k个 ≥ 1 ,
(5.1)

在这里

T型 我 k个 + 1 = 1 2 我 小时 2 π ( ( Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 + 1 ) 2 ( τ ) ) + ( Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) 2 ( τ ) ) ) − 五 ¯ [ 1 2 ( Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) ) ] .

根据方程式(三.1）和（3.2）我们有以下内容：

∂ Ψ ∂ t吨 + 五 τ = 1 2 ( ( Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 + 1 ) − Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 − 1 ) 2 ( τ ) ) + ( Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) − Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 − 1 ) 2 ( τ ) ) ) , ∂ α 我 k个 + 1 Φ ( 第页 我 , t吨 k个 + 1 ) ∂ 第页 α 我 k个 + 1 + w个 小时 = 小时 − α 我 k个 + 1 Γ ( 2 − α 我 k个 + 1 ) ( Ψ ( 第页 我 + 1 , t吨 k个 ) − Ψ ( 第页 我 , t吨 k个 ) + ∑ j个 = 0 k个 λ j个 + 1 我 , k个 + 1 Ψ ( 第页 我 − j个 , t吨 k个 ) − b j个 我 , k个 + 1 Ψ ( 第页 我 , t吨 0 ) ) .
(5.2)

从上面我们可以看出：

T型 我 k个 + 1 ≤K（K） ( 小时 1 + α 我 k个 + 1 + τ 小时 α 我 k个 ) ,
(5.3)

哪里五,w个和K（K）是常数。考虑到Caputo型分数阶导数，对上述方案的详细误差分析可参考[25]以及进一步的工作[26].

引理1 ∥ Ω k个 + 1 ∥ ∞ ≤K（K）( 小时 1 + α 我 k个 + 1 +τ 小时 α 我 k个 ) ( Ω j个 我 , k个 + 1 ) − 1 适用于 k个=0,1,2,…,N个−1 哪里 ∥ w个 k个 ∥ ∞ = 最大值 1 ≤ 我 ≤ M（M） − 1 ( Ω k个 ),K（K） 是一个常量.此外,

α k个 + 1 ={ 最小值 1 ≤ 我 ≤ M（M） − 1 α 我 k个 + 1 , 如果 τ < 1 , 最大值 1 ≤ 我 ≤ M（M） − 1 α 我 k个 + 1 , 如果 τ > 1 .

这可以通过自然数上的递归技术实现k个.何时k个=0，我们有以下内容：

| Ω 我 1 |≤| Ω 我 1 | ( H（H） 我 1 + 五 我 1 ) +| Ω 我 + 1 1 | ( H（H） 我 1 ) =| T型 我 1 |≤K（K） ( 小时 1 + α 我 k个 + 1 + τ 小时 α 我 k个 ) ( Ω j个 我 , k个 + 1 ) − 1 .
(5.4)

现在假设 ∥ Ω 我 + 1 ∥ ∞ ≤K（K）( τ 1 + α 我 我 + 1 + 小时 2 τ α 我 我 ) ( λ j个 我 , 我 + 1 ) − 1 ,我=1,…,N个−2.然后

| Ω 我 k个 + 1 | ≤ | Ω 我 k个 + 1 ( H（H） 我 k个 + 1 + 五 我 k个 + 1 ) + Ω 我 + 1 k个 + 1 H（H） 我 k个 + 1 − ∑ j个 = 0 k个 − 1 λ j个 + 1 我 , k个 + 1 Ω k个 − j个 − λ k个 我 , k个 + 1 Ω 0 | , | Ω 我 k个 + 1 | ≤ | Ω 我 k个 + 1 | ( H（H） 我 k个 + 1 + 五 我 k个 + 1 ) + | Ω 我 + 1 k个 + 1 | H（H） 我 k个 + 1 + ∑ j个 = 0 k个 − 1 λ j个 + 1 我 , k个 + 1 | Ω k个 − j个 | + λ k个 我 , k个 + 1 | Ω 0 | .

使用递归假设，将上述方程简化为以下表达式：

| Ω 我 k个 + 1 | ≤ | T型 我 k个 + 1 + ∑ j个 = 0 k个 − 1 λ j个 + 1 我 , k个 + 1 Ω k个 − j个 | , | Ω 我 k个 + 1 | ≤ | T型 我 k个 + 1 | + ∑ j个 = 0 k个 − 1 λ j个 + 1 我 , k个 + 1 | Ω k个 − j个 | , | Ω 我 k个 + 1 | ≤ K（K） ( τ 1 + α 我 我 + 1 + 小时 2 τ α 我 我 ) + ∑ j个 = 0 k个 − 1 λ j个 + 1 我 , k个 + 1 ∥ Ω k个 − j个 ∥ ∞ , | Ω 我 k个 + 1 | ≤ K（K） ( τ 1 + α 我 我 + 1 + 小时 2 τ α 我 我 ) ( λ j个 我 , k个 + 1 + λ 0 我 , k个 + 1 − λ j个 我 , k个 + 1 ) ( λ j个 我 , k个 + 1 ) − 1 , | Ω 我 k个 + 1 | ≤ K（K） ( τ 1 + α 我 我 + 1 + 小时 2 τ α 我 我 ) ( λ 0 我 , k个 + 1 ) ( λ j个 我 , k个 + 1 ) − 1 , | Ω 我 k个 + 1 | ≤ K（K） ( τ 1 + α 我 我 + 1 + 小时 2 τ α 我 我 ) ( λ j个 我 , k个 + 1 ) − 1 ,
(5.5)

证明已经完成。

定理1 曲柄-空间分数变量的Nicholson格式-阶薛定谔方程是收敛的,存在一个正常数 K（K） 这样的话:

| X（X） 我 k个 −Ψ( x 我 , t吨 k个 )|≤K（K） ( τ + 小时 2 ) ,我=1,2,…,M（M）−1,k个=1,2,…,N个.
(5.6)

感兴趣的读者可以在[24]. 因此，本文不提供证明的细节。

6结论

我们注意研究了薛定谔方程对空间分数阶变阶导数概念的可能推广。将薛定谔方程中的拉普拉斯算子替换为分数变量拉普拉斯算符。由于新方程无法解析求解，因此采用Crank-Nicholson技术进行了数值求解。

我们详细介绍了该问题的稳定性和收敛性。

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鸣谢

作者感谢编辑抽出宝贵的时间阅读这份手稿，并对本文的改进提出宝贵意见。此外，作者还要感谢匿名裁判对改进这份手稿提出的宝贵意见和建议。

作者信息

作者和附属机构

  1. 南非布隆方丹自由州大学自然和农业科学学院地下水研究所

    阿卜杜·阿坦加纳

  2. 南非布隆方丹自由邦大学数学和应用数学系

    阿兰·科洛特

作者
  1. 阿卜杜·阿坦加纳
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  2. 阿兰·科洛特
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通讯作者

与的通信阿卜杜·阿坦加纳.

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竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

AA编写了初稿，AHC修改并改进了最终版本。所有作者阅读并批准了最终草案。

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关于本文

引用这篇文章

Atangana，A.，Cloot，A.H.空间分数阶变阶薛定谔方程的稳定性和收敛性。高级差异Equ 2013, 80 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-80

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