Variational approach to a class of p-Laplacian systems on time scales

Zhou, Jianwen; Li, Yongkun

doi:10.1186/1687-1847-2013-297

研究
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出版：2013年11月7日

一类变分方法第页-时间尺度上的拉普拉斯系统

周建文¹&
李永坤¹

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：297(2013)引用这篇文章

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4引文
韵律学细节

摘要

在本文中，我们提出了一种最近的方法，通过变分方法和临界点理论来获得一类非平凡周期解的存在性第页-时间尺度上的拉普拉斯系统。通过建立适当的变分集，得到了三个存在性结果。最后，给出了两个例子来说明我们的结果的可行性和有效性。

MSC公司：34N05、37J45、34C25。

1引言

考虑一下第页-时间尺度上的拉普拉斯系统 $T型$

{({| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页 - 2} {u个}^{Δ} (t吨))}^{Δ} = \nabla F类 (σ (t吨), u个 (σ (t吨))), Δ -即 t吨 \in {T型}^{κ},

(1.1)

哪里 $第页 > 1$ , ${u个}^{Δ} (t吨)$ 表示的delta（或Hilger）导数u个在t吨, ${u个}^{Δ^{2}} (t吨) = {({u个}^{Δ})}^{Δ} (t吨)$ ,σ是向前跳跃操作符，T型是一个正常数， $T型$ 是T型-周期和0， $T型 \in T型$ , $F类 : T型 \times {R（右）}^{N个} \to R（右）$ 满足以下假设：

（A）
$F类 (t吨, x个)$ Δ-可测量且T型-周期性输入t吨对于每个 $x个 \in {R（右）}^{N个}$ 并在中连续可微x个对于 $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ ，并且存在 $一 \in C类 ({R（右）}^{+}, {R（右）}^{+})$ , ${b条}^{σ} \in {L（左）}_{Δ}^{1} ({[0, T型)}_{T型}, {R（右）}^{+})$ 这样的话
$| F类 (t吨, x个) | \leq 一 (| x个 |) b条 (t吨), | \nabla F类 (t吨, x个) | \leq 一 (| x个 |) b条 (t吨)$

为所有人 $x个 \in {R（右）}^{N个}$ 和 $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ ，其中 $\nabla F类 (t吨, x个)$ 表示的梯度 $F类 (t吨, x个)$ 在里面x个.

问题（1.1）涵盖了第页-拉普拉斯系统（适用于 $T型 = R（右）$ )

{({| {u个}^{'} (t吨) |}^{第页 - 2} {u个}^{'} (t吨))}^{'} = \nabla F类 (t吨, u个 (t吨)), 即 t吨 \in R（右）,

(1.2)

时间尺度上的二阶哈密顿系统 $T型$ （适用于何时 $第页 = 2$ )

{u个}^{Δ^{2}} (t吨) = \nabla F类 (σ (t吨), u个 (σ (t吨))), Δ -即 t吨 \in {T型}^{κ}

(1.3)

和二阶哈密顿系统（当 $第页 = 2$ , $T型 = R（右）$ )

\ddot{u个} (t吨) = \nabla F类 (t吨, u个 (t吨)), t吨 \in R（右）

(1.4)

以及二阶离散哈密顿系统（当 $第页 = 2$ , $T型 = Z$ , $T型 \geq 2$ )

Δ^{2} u个 (t吨) = \nabla F类 (t吨 + 1, u个 (t吨 + 1)), t吨 \in Z .

(1.5)

近年来，许多作者致力于利用临界点理论研究（1.2）周期解的存在性（见[1,2]). 在[三]，作者研究了Sobolev在时间尺度上的空间及其性质。作为应用，他们提出了一种通过变分方法和临界点理论获得（1.3）解存在性的最新方法。系统（1.4）也由几位作者使用各种技术和不同的非线性条件进行了研究，例如有界或凸势条件（参见[4])，矫顽型电势条件（参见[5])，偶数型电位条件（参见[6])，Rabinowitz意义下的次二次势条件（参见[7])和次线性非线性条件（参见[8]). 此外，许多作者都非常注意研究（1.5）的周期解（参见[9,10]). 但是，据我们所知，尚未研究问题（1.1）的解决方案的存在性。

在时间尺度上研究动力系统是目前一个活跃的研究领域。其中一个原因是，除许多其他因素外，对时间尺度的研究将离散过程和连续过程的研究统一起来。这方面的开创性工作是参考文献。[11–14]. 时间尺度理论是由希尔格在1988年的博士论文中提出的，它提供了一个丰富的理论，统一并扩展了离散和连续分析[15,16]. 时间刻度 $T型$ 是实数的任意非空闭子集，其拓扑继承自标准拓扑的实数。两个最流行的例子是 $T型 = R（右）$ 和 $T型 = Z$ 时间尺度微积分在物理、化学技术、人口动力学、生物技术和经济学、神经网络、社会科学（参见[11]). 例如，它可以模拟在季节中持续存在的昆虫种群（并且可能遵循不同步长的差异方案），在冬季灭绝，而它们的卵正在孵化或休眠，然后在新的季节孵化，从而产生不重叠的种群。

近年来，时间尺度上的动力学方程引起了大量的兴趣，并吸引了许多研究人员（参见[17–24]). 研究时间尺度上动力方程解的存在性和多重性有很多方法，如上下解方法、不动点理论、重合度理论等[17]利用严格收缩不动点定理研究了时间尺度上具有脉冲效应的泛函动力方程正周期解的存在性。然而，使用变分法研究时间尺度上动力学方程解的存在性和多重性却很少受到关注（例如，见[三,20,24]). 此外，众所周知，使用Hilger积分来处理动力学方程在时间尺度上解的存在性是非常困难的，因为它只涉及反导数。因此，仍然值得尝试将变分方法推广到研究各种哈密顿系统的周期解，因为离散或连续哈密顿体系的周期解在理论和实践上有着巨大的应用[25–32].

本文的目的是利用一些临界点定理研究问题（1.1）在适当的函数空间中的变分结构和问题（1.1的周期解的存在性。

2序言和声明

在本节中，我们将介绍一些基本的定义和结果，这些定义和结果来自于时间尺度上的微积分和下文所要求的时间尺度上Sobolev空间。我们首先简要回顾了有关时间尺度的一些基本定义和结果。

定义2.1([[15]，定义1.1]）

让 $T型$ 是一个时间刻度，用于 $t吨 \in T型$ ，向前跳跃运算符 $σ : T型 \to T型$ 由定义

σ (t吨) = inf公司 {秒 \in T型, 秒 > t吨} 为所有人 t吨 \in T型,

而向后跳跃操作符 $ρ : T型 \to T型$ 由定义

ρ (t吨) = 啜饮 {秒 \in T型, 秒 < t吨} 为所有人 t吨 \in T型

（由补充 $inf公司 \emptyset = 啜饮 T型$ 和 $啜饮 \emptyset = inf公司 T型$ ，其中∅表示空集）。A分 $t吨 \in T型$ 称为右散射，左散射，如果 $σ (t吨) > t吨$ , $ρ (t吨) < t吨$ 分别保持。同时右散射和左散射的点称为孤立点。此外，如果 $t吨 < 啜饮 T型$ 和 $σ (t吨) = t吨$ ，然后t吨称为右旋，如果 $t吨 > inf公司 T型$ 和 $ρ (t吨) = t吨$ ，然后t吨称为左旋。同时具有右感和左感的点称为稠密点。这套 ${T型}^{κ}$ 是从时间刻度导出的 $T型$ 如下：如果 $T型$ 具有左向散射最大值米，然后 ${T型}^{κ} = T型 - {米}$ ; 否则， ${T型}^{κ} = T型$ .

什么时候？ $一, b条 \in T型$ , $一 < b条$ ，我们表示间隔 ${[一, b条]}_{T型}$ , ${[一, b条)}_{T型}$ 和 ${(一, b条]}_{T型}$ 在里面 $T型$ 通过

{[一, b条]}_{T型} = [一, b条] \cap T型, {[一, b条)}_{T型} = [一, b条) \cap T型, {(一, b条]}_{T型} = (一, b条] \cap T型,

分别是。请注意 $_{[一, b条]}^{{}_{T型}κ} = {[一, b条]}_{T型}$ 如果b条保持稠密 $_{[一, b条]}^{{}_{T型}κ} = {[一, b条)}_{T型} = {[一, ρ (b条)]}_{T型}$ 如果b条是左散射的。我们定义 $_{[一, b条]}^{{}_{T型}κ^{2}} = {(_{[一, b条]}^{{}_{T型}κ})}^{κ}$ ，因此 $_{[一, b条]}^{{}_{T型}κ^{2}} = {[一, b条]}_{T型}$ 如果b条是左义的，并且 $_{[一, b条]}^{{}_{T型}κ^{2}} = {[一, ρ (b条)]}_{T型}^{κ}$ 如果b条是左散射的。

定义2.2([[15]，定义1.10]）

假设 $（f） : T型 \to R（右）$ 是一个函数，并且让 $t吨 \in {T型}^{κ}$ 然后我们定义 ${（f）}^{Δ} (t吨)$ 为给定任何 $ϵ > 0$ ，有一个街区U型属于t吨(即, $U型 = (t吨 - δ, t吨 + δ) \cap T型$ 对一些人来说 $δ > 0$ )这样的话

| [（f） (σ (t吨)) - （f） (秒)] - {（f）}^{Δ} (t吨) [σ (t吨) - 秒] | \leq ϵ | σ (t吨) - 秒 | 为所有人 秒 \in U型 .

我们打电话给 ${（f）}^{Δ} (t吨)$ δ（或Hilger）导数（f）在t吨.功能（f）上的delta（或Hilger）可微 ${T型}^{κ}$ 假如 ${（f）}^{Δ} (t吨)$ 对所有人都存在 $t吨 \in {T型}^{κ}$ .功能 ${（f）}^{Δ} : {T型}^{κ} \to R（右）$ 称为的δ导数（f）在 ${T型}^{κ}$ .

定义2.3([[三]，定义2.3]）

假设 $（f） : T型 \to {R（右）}^{N个}$ 是一个函数 $（f） (t吨) = ({（f）}^{1} (t吨), {（f）}^{2} (t吨), \dots, {（f）}^{N个} (t吨))$ ，然后让 $t吨 \in {T型}^{κ}$ 然后我们定义 ${（f）}^{Δ} (t吨) = ({（f）}^{1^{Δ}} (t吨), {（f）}^{2^{Δ}} (t吨), \dots, {（f）}^{{N个}^{Δ}} (t吨))$ （前提是它存在）。我们打电话给 ${（f）}^{Δ} (t吨)$ δ（或Hilger）导数（f）在t吨.功能（f）是否提供了delta（或Hilger）微分 ${（f）}^{Δ} (t吨)$ 对所有人都存在 $t吨 \in {T型}^{κ}$ .功能 ${（f）}^{Δ} : {T型}^{κ} \to {R（右）}^{N个}$ 称为的δ导数（f）在 ${T型}^{κ}$ .

定义2.4([[15]，定义2.7]）

对于函数 $（f） : T型 \to R（右）$ ，我们将讨论二阶导数 ${（f）}^{Δ^{2}}$ 假如 ${（f）}^{Δ}$ 在上可区分 ${T型}^{κ^{2}} = {({T型}^{κ})}^{κ}$ 用导数 ${（f）}^{Δ^{2}} = {({（f）}^{Δ})}^{Δ} : {T型}^{κ^{2}} \to R（右）$ .

定义2.5([[三]，定义2.5]）

对于函数 $（f） : T型 \to {R（右）}^{N个}$ ，我们将讨论二阶导数 ${（f）}^{Δ^{2}}$ 假如 ${（f）}^{Δ}$ 在上可区分 ${T型}^{κ^{2}} = {({T型}^{κ})}^{κ}$ 用导数 ${（f）}^{Δ^{2}} = {({（f）}^{Δ})}^{Δ} : {T型}^{κ^{2}} \to {R（右）}^{N个}$ .

Δ-测量 $μ_{Δ}$ Δ积分定义为[32].

定义2.6([[三]，定义2.7]）

假设 $（f） : T型 \to {R（右）}^{N个}$ 是一个函数， $（f） (t吨) = ({（f）}^{1} (t吨), {（f）}^{2} (t吨), \dots, {（f）}^{N个} (t吨))$ ，然后让A类是的Δ-可测子集 $T型$ .（f）在上是可积的A类当且仅当 ${（f）}^{我}$ ( $我 = 1, 2, \dots, N个$ )在上是可积的A类，以及 $\int_{A类} （f） (t吨) Δ t吨 = (\int_{A类} {（f）}^{1} (t吨) Δ t吨, \int_{A类} {（f）}^{2} (t吨) Δ t吨, \dots, \int_{A类} {（f）}^{N个} (t吨) Δ t吨)$ .

定义2.7([[33]，定义2.3]）

让 $B类 \subset T型$ .B类称为Δ-null集，如果 $μ_{Δ} (B类) = 0$ 比如说一个属性P（P）将Δ-几乎处处（Δ-a.e.）保持在B类，或对于Δ-几乎所有（Δ-a.a.） $t吨 \in B类$ 如果有Δ-空集 ${E类}_{0} \subset B类$ 这样的话P（P）为所有人保留 $t吨 \in B类 ∖ {E类}_{0}$ .

对于 $第页 \in R（右）$ , $第页 \geq 1$ ，我们设置了空间

{L（左）}_{Δ}^{第页} ({[0, T型)}_{T型}, {R（右）}^{N个}) = {u个 : {[0, T型)}_{T型} \to {R（右）}^{N个} : \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| （f） (t吨) |}^{第页} Δ t吨 < + \infty}

符合规范

{∥ （f） ∥}_{{L（左）}_{Δ}^{第页}} = {(\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| （f） (t吨) |}^{第页} Δ t吨)}^{\frac{1}{第页}} .

我们有以下定理。

定理2.1([[三]，定理2.1]）

让 $第页 \in R（右）$ 是这样的 $第页 \geq 1$ .然后是空间 ${L（左）}_{Δ}^{第页} ({[0, T型)}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 是Banach空间和规范 ${∥ \cdot ∥}_{{L（左）}_{Δ}^{第页}}$ .此外, ${L（左）}_{Δ}^{2} ({[一, b条)}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 是一个Hilbert空间以及为每个 $(（f）, 克) \in {L（左）}_{Δ}^{第页} ({[一, b条)}_{T型}, {R（右）}^{N个}) \times {L（左）}_{Δ}^{第页} ({[一, b条)}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 通过

{〈 （f）, 克 〉}_{{L（左）}_{Δ}^{2}} = \int_{{[一, b条)}_{T型}} (（f） (t吨), 克 (t吨)) Δ t吨,

哪里 $(\cdot, \cdot)$ 表示中的内积 ${R（右）}^{N个}$ .

定义2.8([[三]，定义2.11]）

一个函数 $（f） : {[一, b条]}_{T型} \to {R（右）}^{N个}$ , $（f） (t吨) = ({（f）}^{1} (t吨), {（f）}^{2} (t吨), \dots, {（f）}^{N个} (t吨))$ 。我们这么说（f）在上绝对连续 ${[一, b条]}_{T型}$ (即, $（f） \in A类 C类 ({[一, b条]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ )如果每个 $ϵ > 0$ ，存在 $δ > 0$ 如果 ${{[一_{k个}, {b条}_{k个})}_{T型}}_{k个 = 1}^{n个}$ 是有限的两两不相交的子区间族 ${[一, b条]}_{T型}$ 令人满意的 $\sum_{k个 = 1}^{n个} ({b条}_{k个} - 一_{k个}) < δ$ ，然后 $\sum_{k个 = 1}^{n个} | （f） ({b条}_{k个}) - （f） (一_{k个}) | < ϵ$ .

现在，我们回忆起索波列夫太空 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 在 ${[0, T型]}_{T型}$ 定义于[三]. 为了方便起见，在续集中，我们让 ${u个}^{σ} (t吨) = u个 (σ (t吨))$ .

定义2.9([[三]，定义2.12]）

让 $第页 \in R（右）$ 是这样的 $第页 > 1$ 和 $u个 : {[0, T型]}_{T型} \to {R（右）}^{N个}$ 。我们这么说 $u个 \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 当且仅当 $u个 \in {L（左）}_{Δ}^{第页} ({[0, T型)}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 并且存在 $克 : {[0, T型]}_{T型}^{κ} \to {R（右）}^{N个}$ 这样的话 $克 \in {L（左）}_{Δ}^{第页} ({[0, T型)}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 和

\int_{{[0, T型)}_{T型}} (u个 (t吨), ϕ^{Δ} (t吨)) Δ t吨 = - \int_{{[0, T型)}_{T型}} (克 (t吨), ϕ^{σ} (t吨)) Δ t吨, \forall ϕ \in {C类}_{T型, 第页 d日}^{1} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) .

（2.1）

对于 $第页 \in R（右）$ , $第页 > 1$ ，我们表示

{V（V）}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) = {x个 \in A类 C类 ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) : {x个}^{Δ} \in {L（左）}_{Δ}^{第页} ({[0, T型)}_{T型}, {R（右）}^{N个}), x个 (0) = x个 (T型)} .

以下是中备注2.2的内容[三]那个

{V（V）}_{Δ}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}_{N个}) \subset {W公司}_{Δ}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})

对每个人来说都是正确的 $第页 \in R（右）$ 具有 $第页 > 1$ 。这两个集合作为一类函数是等价的。它是在 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 就功能而言 ${V（V）}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 也是。这就是下面的定理。

定理2.2([[三]，定理2.5]）

假设 $u个 \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 对一些人来说 $第页 \in R（右）$ 具有 $第页 > 1$ ,还有那个（2.1）等待 $克 \in {L（左）}_{Δ}^{第页} ({[0, T型)}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ .然后存在一个独特的功能 $x个 \in {V（V）}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 这样的平等

x个 = u个, {x个}^{Δ} = 克, Δ -a.e.开启 {[0, T型)}_{T型}

(2.2)

感到满意并且

\int_{{[0, T型)}_{T型}} 克 (t吨) Δ t吨 = 0 .

(2.3)

通过识别 $u个 \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 具有绝对连续的代表性 $x个 \in {V（V）}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 如果（2.2）成立，则集合 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 可以赋予巴拿赫空间的结构。也就是下面的定理。

定理2.3([[24]，定理2.21]）

假设 $第页 \in R（右）$ 和 $第页 > 1$ .这套 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 是一个Banach空间，其范数定义为

\begin{aligned} {∥ u个 ∥}_{_{W公司}^{{}_{Δ, T型}{1, 第页}}} = {(\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| u个 (t吨) |}^{第页} Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨)}^{\frac{1}{第页}}, \\ \forall u个 \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) . \end{aligned}

(2.4)

此外,套装 ${H（H）}_{Δ, T型}^{1} = {W公司}_{Δ, T型}^{1, 2} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 是Hilbert空间和内积

{〈 u个, v（v） 〉}_{{H（H）}_{Δ, T型}^{1}} = \int_{{[0, T型)}_{T型}} (u个 (t吨), v（v） (t吨)) Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} ({u个}^{Δ} (t吨), {v（v）}^{Δ} (t吨)) Δ t吨, \forall u个, v（v） \in {H（H）}_{Δ, T型}^{1} .

类似于一般的Banach空间 ${W公司}_{T型}^{1, 第页}$ , ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 是一个自反的一致凸Banach空间。

巴纳赫空间 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 具有一些重要的属性。

定理2.4([[24]，定理2.23]）

存在 $K（K） = K（K） (第页) > 0$ 这样的不平等 ${∥ u个 ∥}_{\infty} \leq K（K） {∥ u个 ∥}_{{W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页}}$ 为所有人保留 $u个 \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ ,哪里 ${∥ u个 ∥}_{\infty} = {最大值}_{t吨 \in {[0, T型]}_{T型}} | u个 (t吨) |$ .此外,如果 $\int_{{[0, T型)}_{T型}} u个 (t吨) Δ t吨 = 0$ ,然后 ${∥ u个 ∥}_{\infty} \leq K（K） {∥ {u个}^{Δ} ∥}_{{L（左）}_{Δ}^{第页}}$ .

定理2.5([[24]，定理2.25]）

如果序列 ${{u个}_{k个}}_{k个 \in N个} \subset {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 弱收敛到 u个 在里面 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ ,然后 ${{u个}_{k个}}_{k个 \in N个}$ 强烈收敛于 $C类 ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 到 u个.

备注2.1([[24]，备注2.26]）

沉浸 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) ↪ C类 ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 结构紧凑。

定理2.6([[24]，定理2.27]）

让 $L（左） : {[0, T型]}_{T型} \times {R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个} \to R（右）$ , $(t吨, x个, 年) \to L（左） (t吨, x个, 年)$ 成为勒贝格Δ-可测量单位 t吨 对于每个 $(x个, 年) \in {R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个}$ 并在中连续可微 $(x个, 年)$ 对于每个 $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ .如果存在 $一 \in C类 ({R（右）}^{+}, {R（右）}^{+})$ , $b条, c \in {[0, T型]}_{T型} \to {R（右）}^{+}$ , ${b条}^{σ} \in {L（左）}_{Δ}^{1} ({[0, T型)}_{T型}, {R（右）}^{+})$ 和 $c^{σ} \in {L（左）}_{Δ}^{q个} ({[0, T型)}_{T型}, {R（右）}^{+})$ ( $1 < q个 < + \infty$ )以便Δ-几乎 $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ 以及每个 $(x个, 年) \in {R（右）}^{N个} \times {R（右）}^{N个}$ ,一个有

\begin{matrix} | L（左） (t吨, x个, 年) | \leq 一 (| x个 |) (b条 (t吨) + {| 年 |}^{第页}), \\ | {L（左）}_{x个} (t吨, x个, 年) | \leq 一 (| x个 |) (b条 (t吨) + {| 年 |}^{第页}), \\ | {L（左）}_{年} (t吨, x个, 年) | \leq 一 (| x个 |) (c (t吨) + {| 年 |}^{第页 - 1}), \end{matrix}

哪里 $\frac{1}{第页} + \frac{1}{q个} = 1$ ,那么函数 $Φ : {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) \to R（右）$ ,定义为

Φ (u个) = \int_{{[0, T型)}_{T型}} L（左） (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨), {u个}^{Δ} (t吨)) Δ t吨,

在上连续可微 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 和

〈 Φ^{'} (u个), v（v） 〉 = \int_{{[0, T型)}_{T型}} [({L（左）}_{x个} (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨), {u个}^{Δ} (t吨)), {v（v）}^{σ} (t吨)) + ({L（左）}_{年} (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨), {u个}^{Δ} (t吨)), {v（v）}^{Δ} (t吨))] Δ t吨 .

为了证明我们的主要结果，我们需要以下定义和定理。

定理2.7([[18]，引理2.7]）

让 $T型$ 成为 T型-周期时间刻度,然后 $σ (t吨 + T型) = σ (t吨) + T型$ 为所有人 $t吨 \in T型$ .

定义2.10([[4]，P₈₁])

让X（X）成为一个真正的巴纳赫空间， $我 \in {C类}^{1} (X（X）, R（右）)$ 和 $c \in R（右）$ .我据说可以满足 ${(PS（聚苯乙烯）)}_{c}$ -条件为X（X）如果序列的存在 ${{x个}_{n个}} \subseteq X（X）$ ，因此 $我 ({x个}_{n个}) \to c$ 和 $我^{'} ({x个}_{n个}) \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ ，意味着c是的临界值我.

定义2.11([[4]，P₈₁])

让X（X）成为一个真正的巴拿赫空间 $我 \in {C类}^{1} (X（X）, R（右）)$ .我据说满足P.S.条件X（X）如果有序列 ${{x个}_{n个}} \subseteq X（X）$ ，其中 $我 ({x个}_{n个})$ 有界且 $我^{'} ({x个}_{n个}) \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ ，在中具有收敛子序列X（X）.

备注2.2很明显，P.S.条件意味着 ${(PS（聚苯乙烯）)}_{c}$ -每个条件 $c \in R（右）$ .

定理2.8([[4]，定理4.7]）

让 X（X） 成为巴拿赫空间，让 $Φ \in {C类}^{1} (X（X）, R（右）)$ .假设 X（X） 分裂为闭子空间的直接和 $X（X） = {X（X）}^{-} \oplus {X（X）}^{+}$ 具有

昏暗的 {X（X）}^{-} < \infty 和 \underset{{S公司}_{R（右）}^{-}}{啜饮} Φ < \underset{{X（X）}^{+}}{inf公司} Φ,

哪里 ${S公司}_{R（右）}^{-} = {u个 \in {X（X）}^{-} : ∥ u个 ∥ = R（右）}$ .让

\begin{matrix} {B类}_{R（右）}^{-} = {u个 \in {X（X）}^{-} : ∥ u个 ∥ \leq R（右）}, \\ M（M） = {小时 \in C类 ({B类}_{R（右）}^{-}, X（X）) : 小时 (秒) = 秒 如果 秒 \in {S公司}_{R（右）}^{-}} \end{matrix}

和

c = \underset{小时 \in M（M）}{inf公司} \underset{秒 \in {B类}_{R（右）}^{-}}{最大值} Φ (小时 (秒)) .

然后,如果Φ满足 ${(PS（聚苯乙烯）)}_{c}$ -条件,c 是的临界值Φ.

如所示[34]，可以用较弱的条件（C）代替通常的P.S.条件来证明变形引理，并证明鞍点定理（定理2.7）在条件（C）下成立。

3可变设置

在本节中，为了应用临界点理论，我们制作了一个变分结构。从这个变分结构出发，我们可以将问题（1.1）的求解问题简化为寻找相应泛函的临界点的问题。

考虑功能 $φ : {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) \to R（右）$ 由定义

φ (u个) = \frac{1}{第页} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 .

(3.1)

我们有以下事实。

定理3.1 功能 φ 在上连续可微 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 和

〈 φ^{'} (u个), v（v） 〉 = \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} |}^{第页 - 2} ({u个}^{Δ} (t吨), {v（v）}^{Δ} (t吨)) Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} (\nabla F类 (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨)), {v（v）}^{σ} (t吨)) Δ t吨

(3.2)

为所有人 $v（v） \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ .

证明让 $L（左） (t吨, x个, 年) = \frac{1}{第页} {| 年 |}^{第页} + F类 (t吨, x个)$ 为所有人 $x个, 年 \in {R（右）}^{N个}$ 和 $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ 然后，根据条件（A）， $L（左） (t吨, x个, 年)$ 满足定理2.6的所有假设。因此，根据定理2.6，我们知道φ在上连续可微 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 和

〈 φ^{'} (u个), v（v） 〉 = \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} |}^{第页 - 2} ({u个}^{Δ} (t吨), {v（v）}^{Δ} (t吨)) Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} (\nabla F类 (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨)), {v（v）}^{σ} (t吨)) Δ t吨

为所有人 $v（v） \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ . □

定理3.2 如果 $u个 \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 是…的关键点 φ 在里面 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ ,我.e（电子）。， $φ^{'} (u个) = 0$ ,然后 u个 是问题的解决方案(1.1).

证明自 $φ^{'} (u个) = 0$ ，由定理3.1可知

\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} |}^{第页 - 2} ({u个}^{Δ} (t吨), {v（v）}^{Δ} (t吨)) Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} (\nabla F类 (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨)), {v（v）}^{σ} (t吨)) Δ t吨 = 0

为所有人 $v（v） \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 也就是说，

\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} |}^{第页 - 2} ({u个}^{Δ} (t吨), {v（v）}^{Δ} (t吨)) Δ t吨 = - \int_{{[0, T型)}_{T型}} (\nabla F类 (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨)), {v（v）}^{σ} (t吨)) Δ t吨

为所有人 $v（v） \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 根据条件（A）和定义2.10，我们得到了 ${| {u个}^{Δ} |}^{第页 - 2} {u个}^{Δ} \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 根据定理2.2和（2.3），存在唯一的函数 $x个 \in {V（V）}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 这样的话

x个 = u个, {({| {x个}^{Δ} (t吨) |}^{第页 - 2} {x个}^{Δ} (t吨))}^{Δ} = \nabla F类 (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨)), Δ -a.e.开启_{[0, T型]}^{{}_{T型}κ}

(3.3)

和

\int_{{[0, T型)}_{T型}} \nabla F类 (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 = 0 .

(3.4)

结合（3.3）和（3.4），我们得到

x个 (0) - x个 (T型) = 0, {x个}^{Δ} (0) - {x个}^{Δ} (T型) = 0 .

我们确定 $u个 \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 具有绝对连续的代表性 $x个 \in {V（V）}_{Δ, T型}^{1, 2} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 其中（3.3）适用。根据定理2.7，u个是一个T型-问题的周期性解决方案（1.1）。□

4主要成果

对于 $u个 \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ ，让 $\bar{u个} = \frac{1}{T型} \int_{{[0, T型)}_{T型}} u个 (t吨) Δ t吨$ 和 $\tilde{u个} (t吨) = u个 (t吨) - \bar{u个}$ .设置 ${\tilde{W公司}}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) = {u个 \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) : \int_{{[0, T型)}_{T型}} u个 (t吨) Δ t吨 = 0}$ ，然后 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) = {\tilde{W公司}}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) \oplus {R（右）}^{N个}$ 我们有以下引理。

定理4.1 在索波列夫空间 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ ,对于 $u个 \in {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ , $∥ u个 ∥ \to \infty$ 当且仅当

{({| \bar{u个} |}^{第页} + \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨)}^{\frac{1}{第页}} \to \infty .

证明一方面，根据定理2.4，我们得到

\begin{array}{rcl} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| u个 (t吨) |}^{第页} Δ t吨 & = & \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| \bar{u个} + \tilde{u个} (t吨) |}^{第页} Δ t吨 \\ \leq & 2^{第页} \int_{{[0, T型)}_{T型}} ({| \bar{u个} |}^{第页} + {| \tilde{u个} (t吨) |}^{第页}) Δ t吨 \\ \leq & 2^{第页} T型 {| \bar{u个} |}^{第页} + 2^{第页} T型 {∥ \tilde{u个} (t吨) ∥}_{\infty}^{第页} \\ \leq & 2^{第页} T型 {| \bar{u个} |}^{第页} + 2^{第页} T型 {K（K）}^{第页} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨 . \end{array}

因此，有人认为

\begin{array}{rcl} ∥ u个 ∥ & = & {(\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| u个 (t吨) |}^{第页} Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨)}^{\frac{1}{第页}} \\ \leq & {(2^{第页} T型 {| \bar{u个} |}^{第页} + 2^{第页} T型 {K（K）}^{第页} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨)}^{\frac{1}{第页}} \\ \leq & {(2^{第页} T型 + 2^{第页} T型 {K（K）}^{第页} + 1)}^{\frac{1}{第页}} {({| \bar{u个} |}^{第页} + \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨)}^{\frac{1}{第页}} . \end{array}

(4.1)

另一方面，根据霍尔德不等式，我们有

| \bar{u个} | = | \frac{1}{T型} \int_{{[0, T型)}_{T型}} u个 (t吨) Δ t吨 | \leq {T型}^{- \frac{1}{第页}} {(\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| u个 (t吨) |}^{第页} Δ t吨)}^{\frac{1}{第页}} .

因此，我们得到

\begin{array}{rcl} {({| \bar{u个} |}^{第页} + \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨)}^{\frac{1}{第页}} & \leq & {({T型}^{- 1} (\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| u个 (t吨) |}^{第页} Δ t吨) + \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨)}^{\frac{1}{第页}} \\ \leq & {({T型}^{- 1} + 1)}^{\frac{1}{第页}} ∥ u个 ∥ . \end{array}

(4.2)

由（4.1）和（4.2）可知 $∥ u个 ∥ \to \infty$ 当且仅当

{({| \bar{u个} |}^{第页} + \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨)}^{\frac{1}{第页}} \to \infty .

□

定理4.2 假设（A）并且满足以下条件.

（F）₁)存在 $0 < μ < 第页$ , $M（M） > 0$ 这样的话

(\nabla F类 (t吨, x个), x个) \geq μ F类 (t吨, x个)

为所有人 $| x个 | > M（M）$ 和Δ-一.e（电子）. $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ .

（F）₂)存在 $克^{σ} \in {L（左）}_{Δ}^{1} ({[0, T型]}_{T型}, R（右）)$ 这样的话

F类 (t吨, x个) \leq 克 (t吨)

为所有人 $x个 \in {R（右）}^{N个}$ 和Δ-一.e（电子）. $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ .

（F）_三)存在一个子集 D类属于 ${[0, T型]}_{T型}$ 具有 $μ_{Δ} (D类) > 0$ 这样的话

F类 (t吨, x个) \to - \infty 作为 | x个 | \to \infty

对于Δ-一.e（电子）. $t吨 \in D类$ .

然后是问题(1.1)至少有一个 T型-周期解.

证明我们将使用鞍点定理来证明

（i）
φ满足（C）-条件。
（ii）
$φ (u个) \to - \infty$ 作为 $u个 \in {R（右）}^{N个}$ , $∥ u个 ∥ \to \infty$ .
（iii）
$φ (u个) \to + \infty$ 作为 $u个 \in {\tilde{W公司}}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ , $∥ u个 ∥ \to \infty$ .

首先，我们证明了（i）。

设置 ${{u个}_{n个}} \subset {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 是一个（C）序列，即， $φ ({u个}_{n个})$ 有界且 $(1 + ∥ {u个}_{n个} ∥) φ^{'} ({u个}_{n个}) \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ .然后存在一个正常数 ${C类}_{1}$ 这样的话

| φ ({u个}_{n个}) | \leq {C类}_{1}, (1 + ∥ {u个}_{n个} ∥) ∥ φ^{'} ({u个}_{n个}) ∥ \leq {C类}_{1}

(4.3)

为所有人 $n个 \in N个$ .使用（A）、（F₁)、（3.1）和（3.2），其中一个具有

\begin{array}{rcl} {C类}_{1} + 第页 {C类}_{1} & \geq & (1 + ∥ {u个}_{n个} ∥) ∥ φ^{'} ({u个}_{n个}) ∥ - 第页 φ ({u个}_{n个}) \\ \geq & 〈 φ^{'} ({u个}_{n个}), {u个}_{n个} 〉 - 第页 φ ({u个}_{n个}) \\ = & \int_{{[0, T型)}_{T型}} [(\nabla F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)) - 第页 F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨))] Δ t吨 \\ \geq & (μ - 第页) \int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 - (第页 + M（M）) \underset{| x个 | \leq M（M）}{最大值} 一 (| x个 |) \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 \end{array}

为所有人 $n个 \in N个$ 这意味着存在一个常数 ${C类}_{2}$ 这样的话

\int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 \geq {C类}_{2}

(4.4)

为所有人 $n个 \in N个$ 根据（3.1）、（4.3）和（4.4），我们有

\begin{array}{rcl} {C类}_{1} & \geq & φ ({u个}_{n个}) \\ \geq & \frac{1}{第页} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}_{n个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨 + {C类}_{2} \end{array}

为所有人 $n个 \in N个$ 。这意味着存在一个常量 ${C类}_{三}$ 这样的话

\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}_{n个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨 \leq {C类}_{三}

(4.5)

为所有人 $n个 \in N个$ 根据定理2.4和（4.5），存在一个常数 ${C类}_{4}$ 这样的话

{∥ {\tilde{u个}}_{n个} ∥}_{\infty} \leq {C类}_{4}

(4.6)

为所有人 $n个 \in N个$ .

现在，我们将证明序列 ${{\bar{u个}}_{n个}}$ 有界。否则，在不失一般性的情况下，我们可以假设 $| {\bar{u个}}_{n个} | \to \infty$ 作为 $n个 \to \infty$ .设置 ${v（v）}_{n个} = \frac{{u个}_{n个}}{∥ {u个}_{n个} ∥} = \frac{{\bar{u个}}_{n个}}{∥ {u个}_{n个} ∥} + \frac{{\tilde{u个}}_{n个}}{∥ {u个}_{n个} ∥} = {\bar{v（v）}}_{n个} + {\tilde{v（v）}}_{n个}$ ，然后 ${{v（v）}_{n个}}$ 以为界 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 根据备注2.1，存在以下子序列 ${{v（v）}_{n个}}$ （为了简单起见，再次表示为 ${{v（v）}_{n个}}$ )这样的话

\begin{aligned} {v（v）}_{n个} ⇀ v（v） 英寸 {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}), \\ {v（v）}_{n个} \to v（v） 英寸 C类 ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) . \end{aligned}

结合（4.6）， ${{\tilde{u个}}_{n个}}$ 以为界 $C类 ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 因此， $v（v） \in {R（右）}^{N个}$ , $v（v） \neq 0$ 所以， $| {u个}_{n个} (t吨) | \to \infty$ 作为 $n个 \to \infty$ 为所有人 $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ .依据（F_三)，我们有

\begin{aligned} \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 \\ \leq \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \int_{D类} F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} | 克^{σ} (t吨) | Δ t吨 \\ \to - \infty, \end{aligned}

这与（4.4）相矛盾。

然后，根据定理4.1， ${{u个}_{n个}}$ 以为界 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 同样，在备注2.1中，有以下内容 ${{u个}_{n个}}$ （为了简单起见，再次表示为 ${{u个}_{n个}}$ )这样的话

{u个}_{n个} ⇀ u个 英寸 {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}),

(4.7)

{u个}_{n个} \to u个 英寸 C类 ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}) .

(4.8)

根据（4.8）， ${{u个}_{n个}}$ 以为界 $C类 ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 则根据假设（A），存在一个正常数 ${C类}_{5}$ 这样的话

\begin{array}{rcl} | \int_{{[0, T型)}_{T型}} (\nabla F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)), {u个}^{σ} (t吨) - {u个}_{n个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 | & \leq & \int_{{[0, T型)}_{T型}} | \nabla F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨) | | {u个}^{σ} (t吨) - {u个}_{n个}^{σ} (t吨) | Δ t吨 \\ \leq & {C类}_{5} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) | {u个}^{σ} (t吨) - {u个}_{n个}^{σ} (t吨) | Δ t吨 \\ \leq & {C类}_{5} {∥ u个 - {u个}_{n个} ∥}_{\infty} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 . \end{array}

结合（4.8），我们得到

\int_{{[0, T型)}_{T型}} (\nabla F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)), {u个}^{σ} (t吨) - {u个}_{n个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 \to 0 作为 n个 \to \infty .

请注意

\begin{aligned} 〈 φ^{'} ({u个}_{n个}), u个 - {u个}_{n个} 〉 = & \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}_{n个}^{Δ} |}^{第页 - 2} ({u个}_{n个}^{Δ} (t吨), {u个}^{Δ} (t吨) - {u个}_{n个}^{Δ} (t吨)) Δ t吨 \\ + \int_{{[0, T型)}_{T型}} [\nabla F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)), {u个}^{σ} (t吨) - {u个}_{n个}^{σ} (t吨)] Δ t吨 \end{aligned}

和

〈 φ^{'} ({u个}_{n个}), u个 - {u个}_{n个} 〉 \to 0 作为 n个 \to \infty .

因此，我们有

\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}_{n个}^{Δ} |}^{第页 - 2} ({u个}_{n个}^{Δ} (t吨), {u个}^{Δ} (t吨) - {u个}_{n个}^{Δ} (t吨)) Δ t吨 \to 0 作为 n个 \to \infty .

此外，很容易从（4.8）中得出

\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}_{n个} (t吨) |}^{第页 - 2} ({u个}_{n个} (t吨), u个 (t吨) - {u个}_{n个} (t吨)) Δ t吨 \to 0 作为 n个 \to \infty .

让

ϕ (u个) = \frac{1}{第页} {∥ u个 ∥}^{第页} = \frac{1}{第页} (\int_{{[0, T型)}_{T型}} {| u个 (t吨) |}^{第页} Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨) .

然后有一个

\begin{aligned} 〈 ϕ^{'} ({u个}_{n个}), u个 - {u个}_{n个} 〉 \\ = \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}_{n个}^{Δ} |}^{第页 - 2} ({u个}_{n个}^{Δ} (t吨), {u个}^{Δ} (t吨) - {u个}_{n个}^{Δ} (t吨)) Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}_{n个} (t吨) |}^{第页 - 2} ({u个}_{n个} (t吨), u个 (t吨) - {u个}_{n个} (t吨)) Δ t吨 \\ \to 0 \end{aligned}

(4.9)

作为 $n个 \to \infty$ 通过Hölder不等式，我们得到

0 \leq (∥ {u个}_{n个} ∥ - ∥ u个 ∥) ({∥ {u个}_{n个} ∥}^{第页 - 1} - {∥ u个 ∥}^{第页 - 1}) \leq 〈 ϕ^{'} ({u个}_{n个}) - ϕ^{'} (u个), {u个}_{n个} - u个 〉 .

这与（4.9）产量相结合 $∥ {u个}_{n个} ∥ \to ∥ u个 ∥$ 根据（4.7）和一致凸性 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 那个 ${u个}_{n个} \to u个$ 在里面 ${W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ .

其次，我们证明了（ii）。

$\forall u个 \in {R（右）}^{N个}$ ，依据（3.1），（F₂)和（F_三)，我们获得

\begin{array}{rcl} φ (u个) & = & \int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 \\ \leq & \int_{D类} F类 (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型} ∖ D类} 克^{σ} (t吨) Δ t吨 \\ \leq & \int_{D类} F类 (σ (t吨), {u个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 + \int_{{[0, T型)}_{T型}} | 克^{σ} (t吨) | Δ t吨 \\ \to & - \infty \end{array}

作为 $n个 \to \infty$ 这意味着（ii）成立。

第三，我们证明了（iii）。

对于 $秒 \in R（右）$ , $| x个 | \geq M（M）$ 和Δ-a.e。 $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ ，让

G公司 (秒) = F类 (t吨, 秒 x个), H（H） (秒) = {G公司}^{'} (秒) - \frac{μ}{秒} G公司 (秒) .

(4.10)

使用（F₁)，何时 $秒 \geq \frac{M（M）}{| x个 |}$ ,

H（H） (秒) = \frac{1}{秒} ((\nabla F类 (t吨, 秒 x个), 秒 x个) - μ F类 (t吨, 秒 x个)) \geq 0

(4.11)

持有。此外通过（4.10）， $G公司 (秒)$ 满足

{G公司}^{'} (秒) = H（H） (秒) + \frac{μ}{秒} G公司 (秒) .

因此，当 $秒 \geq \frac{M（M）}{| x个 |}$ ,

F类 (t吨, 秒 x个) = 秒^{μ} (F类 (t吨, x个) + \int_{1}^{秒} τ^{- μ} H（H） (τ) d日 τ) .

同样，根据假设（A）和（4.11） $| x个 | \geq M（M）$ 和Δ-a.e。 $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ ，我们断言

{(\frac{M（M）}{| x个 |})}^{μ} F类 (t吨, x个) \geq F类 (t吨, x个 \frac{M（M）}{| x个 |}) \geq - 一_{0} b条 (t吨),

哪里 $一_{0} = {最大值}_{| x个 | \leq M（M）} 一 (| x个 |)$ 。这意味着

F类 (t吨, x个) \geq - 一_{0} b条 (t吨) ({(\frac{| x个 |}{M（M）})}^{μ} + 1)

为所有人 $x个 \in {R（右）}^{N个}$ 和Δ-a.e。 $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ 此外，根据定理2.4和（3.1），我们得到

\begin{array}{rcl} φ (u个) & \geq & \frac{1}{第页} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨 - (\frac{一_{0}}{{M（M）}^{μ}}) {∥ u个 ∥}_{\infty}^{μ} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 - 一_{0} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 \\ = & \frac{1}{第页} {∥ u个 ∥}^{第页} - \frac{1}{第页} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| u个 (t吨) |}^{第页} Δ t吨 \\ - (\frac{一_{0}}{{M（M）}^{μ}}) {∥ u个 ∥}_{\infty}^{μ} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 - 一_{0} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 \\ \geq & \frac{1}{第页} {∥ u个 ∥}^{第页} - \frac{1}{第页} T型 {∥ u个 ∥}_{\infty}^{第页} - (\frac{一_{0}}{{M（M）}^{μ}}) {∥ u个 ∥}_{\infty}^{μ} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 - 一_{0} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 \\ \geq & \frac{1}{第页} {∥ u个 ∥}^{第页} - \frac{T型 {K（K）}^{第页}}{第页} {∥ u个 ∥}^{第页} - (\frac{一_{0} {K（K）}^{第页}}{{M（M）}^{μ}}) {∥ u个 ∥}^{μ} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 - 一_{0} \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 \end{array}

为所有人 $u个 \in {\tilde{W公司}}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 这意味着（ii）成立。

根据鞍点定理和定理3.2，定理4.2成立。□

示例4.1让 $T型 = ⋃_{k个 = 0}^{\infty} [2 k个, 2 k个 + 1]$ , $T型 = 2$ , $N个 = 4$ 考虑时间尺度上的4-拉普拉斯系统 $T型$

{({| {u个}^{Δ} (t吨) |}^{2} {u个}^{Δ} (t吨))}^{Δ} = \nabla F类 (σ (t吨), u个 (σ (t吨))), Δ -即 t吨 \in {T型}^{κ},

(4.12)

哪里 $F类 (t吨, x个) = - {| x个 |}^{2} - | ((1, 1, 2, 三), x个) |$ .

自 $F类 (t吨, x个) = - {| x个 |}^{2} - | ((1, 2, 2, 三), x个) |$ , $\nabla F类 (t吨, x个) = - 2 x个 - \frac{((1, 1, 2, 三), x个)}{| ((1, 1, 2, 三), x个) |} (1, 1, 2, 三)$ ，定理4.2的所有条件都成立 $第页 = 4$ , $μ = 三$ , $M（M） = 1$ , $克 (t吨) \equiv 0$ 根据定理4.2，问题（4.12）至少有一个2-周期解。此外，0不是问题的解决方案（4.12）。因此，问题（4.12）至少有一个非平凡的2-周期解。

根据定理4.2，我们有以下推论。

推论4.1 假设（A），（F₁)并且满足以下条件.

（F）₄) $F类 (t吨, x个) \to - \infty$ 作为 $| x个 | \to \infty$ 统一用于Δ-一.e（电子）. $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ .

然后是问题(1.1)至少有一个 T型-周期解.

定理4.3 假设（A），（F₁)并且满足以下条件.

（F）₅) $\int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), x个) Δ t吨 \to - \infty$ 作为 $| x个 | \to \infty$ .

（F）₆)假设 $- F类 (t吨, \cdot)$ 是 $(β, γ)$ -次凸性 $γ > 0$ Δ-一.e（电子）. $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ ,那就是,

F类 (t吨, β (x个 + 年)) \geq γ (F类 (t吨, x个) + F类 (t吨, 年))

为所有人 $x个, 年 \in {R（右）}^{N个}$ 和Δ-一.e（电子）. $t吨 \in {[0, T型]}_{T型}$ .

然后是问题(1.1)至少有一个 T型-周期解.

证明它直接从（F₅)那个

φ (u个) \to - \infty 作为 u个 \in {R（右）}^{N个}, ∥ u个 ∥ \to \infty .

与定理4.2的证明类似，我们可以证明

φ (u个) \to + \infty 作为 u个 \in {\tilde{W公司}}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个}), ∥ u个 ∥ \to \infty .

接下来，我们将证明φ满足（C）-条件。让 ${{u个}_{n个}} \subset {W公司}_{Δ, T型}^{1, 第页} ({[0, T型]}_{T型}, {R（右）}^{N个})$ 是一个（C）序列，即， $φ ({u个}_{n个})$ 有界且 $(1 + ∥ {u个}_{n个} ∥) φ^{'} ({u个}_{n个}) \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ .与定理4.2（i）的证明中的（4.4）、（4.5）和（4.6）类似，存在常数 ${C类}_{6}$ , ${C类}_{7}$ , ${C类}_{8}$ 这样的话

\begin{matrix} \int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 \geq {C类}_{6}, \\ \int_{{[0, T型)}_{T型}} {| {u个}_{n个}^{Δ} (t吨) |}^{第页} Δ t吨 \leq {C类}_{7} \end{matrix}

和

{∥ {\tilde{u个}}_{n个} ∥}_{\infty} \leq {C类}_{8}

(4.13)

为所有人 $n个 \in N个$ .使用（F₆)，我们获得

\begin{array}{rcl} {C类}_{6} & \leq & \int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), {u个}_{n个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 \\ \leq & \frac{1}{γ} \int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), β {\bar{u个}}_{n个}) Δ t吨 - \int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), - {\tilde{u个}}_{n个}^{σ} (t吨)) Δ t吨 \\ \leq & \frac{1}{γ} \int_{{[0, T型)}_{T型}} F类 (σ (t吨), β {\bar{u个}}_{n个}) Δ t吨 - \underset{| x个 | \leq {C类}_{8}}{最大值} 一 (| x个 |) \int_{{[0, T型)}_{T型}} {b条}^{σ} (t吨) Δ t吨 \end{array}

为所有人 $n个 \in N个$ ，这意味着 ${{\bar{u个}}_{n个}}$ 有界。结合（4.13），我们断言 ${{u个}_{n个}}$ 有界。使用与定理4.2中（i）的证明相同的方法，我们可以证明 ${{u个}_{n个}}$ 具有收敛子序列，因此，φ满足条件（C）。

根据鞍点定理和定理3.2，定理4.3成立。□

示例4.2让 $T型 = Z$ , $T型 = 20$ , $N个 = 三$ 考虑时间尺度上的5-拉普拉斯系统 $T型$

Δ ({| Δ u个 (t吨) |}^{三} Δ u个 (t吨)) = \nabla F类 (t吨 + 1, u个 (t吨 + 1)), Δ -即 t吨 \in Z,

(4.14)

哪里 $F类 (t吨, x个) = - {| x个 |}^{三} - | ((1, 1, 1), x个) |$ .

自 $F类 (t吨, x个) = - {| x个 |}^{三} - | ((1, 1, 1), x个) |$ , $\nabla F类 (t吨, x个) = - 三 | x个 | x个 - \frac{((1, 1, 1), x个)}{| ((1, 1, 1), x个) |} (1, 1, 1)$ ，定理4.3的所有条件都成立 $第页 = 5$ , $μ = 4$ , $M（M） = 2$ 根据定理4.3，问题（4.14）至少有一个20周期解。此外，0不是问题的解决方案（4.14）。因此，问题（4.14）至少有一个非平凡的20周期解。

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致谢

本研究得到了11361072号国家自然科学基金和2012FB111号云南省自然科学基金的支持。

作者信息

作者和附属机构

云南大学数学系，云南昆明，650091，中华人民共和国
周建文、李永坤

作者

周建文
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与的通信李永坤.

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Zhou，J.，Li，Y.一类变分方法第页-时间尺度上的拉普拉斯系统。Adv Differ等于 2013, 297 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-297

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收到:2013年7月9日
认可的:2013年9月25日
出版:2013年11月7日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-297

一类变分方法第页-时间尺度上的拉普拉斯系统

摘要

1引言

2序言和声明

3可变设置

4主要成果

工具书类

致谢

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