High-order conservative Crank-Nicolson scheme for regularized long wave equation

Zheng, Kelong; Hu, Jinsong

doi:10.1186/1687-1847-2013-287

研究
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出版：2013年11月7日

正则长波方程的高阶保守Crank-Nicolson格式

郑克龙¹&
胡劲松²

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：287(2013)引用这篇文章

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8引文
韵律学细节

摘要

利用一种新的保守的Crank-Nicolson有限差分格式研究了正则长波方程的数值解。通过Richardson外推技术，该方案的精度为 $O（运行） (τ^{2} + {小时}^{4})$ 无精细网格。讨论了离散质量守恒和离散能量守恒，并利用Browder不动点定理证明了数值解的存在性。利用能量法推导了该解的收敛性、无条件稳定性和唯一性。通过数值算例验证了理论分析的正确性。

MSC公司：65M06、65N30。

1引言

考虑正则长波方程的初边值问题

{u个}_{t吨} + {u个}_{x个} + u个 {u个}_{x个} - {u个}_{x个 x个 t吨} = 0, x个 \in ({x个}_{L（左）}, {x个}_{R（右）}), t吨 \in (0, T型]

(1.1)

具有初始条件

u个 (x个, 0) = {u个}_{0} (x个), x个 \in [{x个}_{L（左）}, {x个}_{R（右）}],

(1.2)

和边界条件

u个 ({x个}_{L（左）}, t吨) = u个 ({x个}_{R（右）}, t吨) = 0, t吨 \in [0, T型],

(1.3)

哪里 ${u个}_{0} (x个)$ 是给定的已知函数。RLW方程最初是作为Korteweg-de-Vries（KdV）方程的替代方程引入的，用于描述Peregrine的波状孔的行为[1]在物理介质中起着非常重要的作用，因为它描述了具有弱非线性和色散波的现象，包括浅水中的非线性横波、等离子体中的离子声波和磁流体动力学波以及非线性晶体中的声子包。当它用于模拟浅水航道中产生的波浪时，变量按以下方式归一化：距离x个和水位u个按水深缩放小时、和时间t吨缩放到 $\sqrt{\frac{小时}{克}}$ ，其中克是重力引起的加速度。物理边界要求

u个 \to 0, 作为 | x个 | \to \infty .

(1.4)

所以，如果 $- {x个}_{L（左）} ≫ 0$ 和 ${x个}_{R（右）} ≫ 0$ ，问题（1.1）-（1.3）符合方程的柯西问题(1.1）.RLW方程具有以下守恒定律，

问 (t吨) = {¦Β}_{{x个}_{L（左）}}^{{x个}_{R（右）}} u个 (x个, t吨) d日 x个 = {¦Β}_{{x个}_{L（左）}}^{{x个}_{R（右）}} {u个}_{0} (x个) d日 x个 = 问 (0)

(1.5)

和

E类 (t吨) = {∥ u个 ∥}_{{L（左）}_{2}}^{2} + {∥ {u个}_{x个} ∥}_{{L（左）}_{2}}^{2} = {∥ {u个}_{0} ∥}_{{L（左）}_{2}}^{2} + {∥ {({u个}_{0})}_{x个} ∥}_{{L（左）}_{2}}^{2} = E类 (0),

(1.6)

哪里 $问 (0)$ 和 $E类 (0)$ 是与初始条件有关的两个正常数。

RLW方程解的存在唯一性在[2]. 找到了它的解析解[三]在有限的初始和边界条件下，因此，从数值的角度来看，它变得很有趣。解RLW方程的一些数值方法，如变分迭代法[4,5]，有限差分法[6–8]，傅立叶伪谱法[9]，有限元法[10–13]，搭配法[14]和adomian分解方法[15]已在许多作品中引入。在[16]，Li和Vu-Quoc指出“在某些领域，保持原微分方程某些不变性质的能力是判断数值模拟成功与否的标准“与此同时，张等。[17]认为保守差分格式的性能优于非保守差分方案，而非保守差分解格式很容易表现出非线性的“blow-up”因此，构造一个保守的差分格式来求解非线性偏微分方程是非常有意义的。本文结合Richardson外推，对问题（1.1）-（1.3）提出了一个两层非线性Crank-Nicolson有限差分格式，其精度为 $O（运行） (τ^{2} + {小时}^{4})$ 提出了无需细化网格的方法。该方案分别很好地模拟了两个守恒量（1.5）和（1.6）。此外，先验的讨论了数值解的估计、存在唯一性。证明了该格式的收敛性和无条件稳定性。

论文大纲如下。第二节提出了一个非线性保守差分格式。在第3节中，我们用Browder不动点定理证明了差分解的存在性。普里奥里第4节证明了估计、收敛性和稳定性，第5节报告了验证理论分析的数值实验。

2非线性有限差分格式

像往常一样，让 $小时 = \frac{{x个}_{R（右）} - {x个}_{L（左）}}{J型}$ 是空间网格的步长，以便 ${x个}_{j个} = {x个}_{L（左）} + j个小时$ ( $j个 = - 1, 0, 1, \dots, J型, J型 + 1$ ). 让τ是时间方向的步长 ${t吨}_{n个} = n个 τ$ ( $n个 = 0, 1, 2, \dots, N个$ ), $N个 = [\frac{T型}{τ}]$ .表示 ${u个}_{j个}^{n个} \approx u个 ({x个}_{j个}, {t吨}_{n个})$ 和

{Z轴}_{小时}^{0} = {u个 = ({u个}_{j个}) | {u个}_{- 1} = {u个}_{0} = {u个}_{J型} = {u个}_{J型 + 1} = 0, j个 = 0, 1, 2, \dots, J型} .

定义

\begin{aligned} {({u个}_{j个}^{n个})}_{x个} = \frac{{u个}_{j个 + 1}^{n个} - {u个}_{j个}^{n个}}{小时}, {({u个}_{j个}^{n个})}_{\bar{x个}} = \frac{{u个}_{j个}^{n个} - {u个}_{j个 - 1}^{n个}}{小时}, {({u个}_{j个}^{n个})}_{\overset{图6}{x个}} = \frac{{u个}_{j个 + 1}^{n个} - {u个}_{j个 - 1}^{n个}}{2 小时}, \\ {({u个}_{j个}^{n个})}_{\ddot{x个}} = \frac{{u个}_{j个 + 2}^{n个} - {u个}_{j个 - 2}^{n个}}{4 小时}, {({u个}_{j个}^{n个})}_{t吨} = \frac{{u个}_{j个}^{n个 + 1} - {u个}_{j个}^{n个}}{τ}, {u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} = \frac{{u个}_{j个}^{n个 + 1} + {u个}_{j个}^{n个}}{2}, \\ 〈 {u个}^{n个}, {v（v）}^{n个} 〉 = 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {u个}_{j个}^{n个} {v（v）}_{j个}^{n个}, {∥ {u个}^{n个} ∥}^{2} = 〈 {u个}^{n个}, {u个}^{n个} 〉, {∥ {u个}^{n个} ∥}_{\infty} = \underset{0 \leq j个 \leq J型}{最大值} | {u个}_{j个}^{n个} | . \end{aligned}

在论文中，C类表示在不同情况下可能具有不同值的一般正常数。

引理2.1 对于网格函数 $u个 \in {Z轴}_{小时}^{0}$ ,我们有

{∥ {u个}_{\ddot{x个}} ∥}^{2} \leq {∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}} ∥}^{2} \leq {∥ {u个}_{x个} ∥}^{2} .

证明显然，

\begin{matrix} {({u个}_{j个})}_{\ddot{x个}} = \frac{{u个}_{j个 + 2} - {u个}_{j个 - 2}}{4 小时} = \frac{1}{2} (\frac{{u个}_{j个 + 2} - {u个}_{j个}}{2 小时} + \frac{{u个}_{j个} - {u个}_{j个 - 2}}{2 小时}) = \frac{1}{2} ({({u个}_{j个 + 1})}_{\overset{图6}{x个}} + {({u个}_{j个 - 1})}_{\overset{图6}{x个}}), \\ {({u个}_{j个})}_{\overset{图6}{x个}} = \frac{{u个}_{j个 + 1} - {u个}_{j个 - 1}}{2 小时} = \frac{1}{2} (\frac{{u个}_{j个 + 1} - {u个}_{j个}}{小时} + \frac{{u个}_{j个} - {u个}_{j个 - 1}}{小时}) = \frac{1}{2} ({({u个}_{j个})}_{x个} + {({u个}_{j个})}_{\bar{x个}}) . \end{matrix}

自 $\forall u个 \in {Z轴}_{小时}^{0}$ ，我们有 ${∥ {u个}_{x个} ∥}^{2} = {∥ {u个}_{\bar{x个}} ∥}^{2}$ .通过Cauchy-Schwarz不等式，我们得到

\begin{matrix} {∥ {u个}_{\ddot{x个}} ∥}^{2} = \frac{1}{4} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} ({({u个}_{j个 + 1})}_{\overset{图6}{x个}} + {({u个}_{j个 - 1})}_{\overset{图6}{x个}}) \cdot ({({u个}_{j个 + 1})}_{\overset{图6}{x个}} + {({u个}_{j个 - 1})}_{\overset{图6}{x个}}) \leq {∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}} ∥}^{2}, \\ {∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}} ∥}^{2} = \frac{1}{4} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} ({({u个}_{j个})}_{x个} + {({u个}_{j个})}_{\bar{x个}}) \cdot ({({u个}_{j个})}_{x个} + {({u个}_{j个})}_{\bar{x个}}) \leq {∥ {u个}_{x个} ∥}^{2} . \end{matrix}

□

考虑以下问题（1.1）-（1.3）的Crank-Nicolson保守差分格式，

\begin{aligned} {({u个}_{j个}^{n个})}_{t吨} - \frac{4}{三} {({u个}_{j个}^{n个})}_{x个 \bar{x个} t吨} + \frac{1}{三} {({u个}_{j个}^{n个})}_{\overset{图6}{x个} \overset{图6}{x个} t吨} + \frac{4}{三} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} - \frac{1}{三} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} \\ + \frac{4}{9} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} + {[{({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\overset{图6}{x个}}} \\ - \frac{1}{9} {{u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} + {[{({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\ddot{x个}}} = 0, j个 = 1, 2, \dots, J型 - 1 ； n个 = 1, 2, \dots, N个 - 1, \end{aligned}

(2.1)

{u个}_{j个}^{0} = {u个}_{0} ({x个}_{j个}), 0 \leq j个 \leq J型,

(2.2)

{u个}^{n个} \in {Z轴}_{小时}^{0}, n个 = 0, 1, 2, \dots, N个 .

(2.3)

从边界条件（1.3）和物理边界（1.4）来看，离散边界条件（2.3）是合理的。基于方案（2.1）-（2.3），得到（1.5）和（1.6）的离散版本如下。

定理2.1 方案(2.1)-(2.3)接受以下不变量,我.e（电子）.,

问^{n个} = 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {u个}_{j个}^{n个} = 问^{n个 - 1} = \dots = 问^{0},

(2.4)

{E类}^{n个} = {∥ {u个}^{n个} ∥}^{2} + \frac{4}{三} {∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥}^{2} - \frac{1}{三} {∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}^{2} = {E类}^{n个 - 1} = \dots = {E类}^{0}

（2.5）

对于 $n个 = 1, 2, \dots, N个$ .

证明将（2.1）与相乘小时，然后总结j个从1到 $J型 - 1$ 根据边界条件（2.3）和分部求和公式[18]，我们有

小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {({u个}_{j个}^{n个})}_{t吨} = 0 .

(2.6)

根据的定义 $问^{n个}$ ，（2.4）由（2.6）得到。

取（2.1）的内积 $2 {u个}^{n个 + \frac{1}{2}}$ ，根据边界条件（2.3），我们得到

\begin{aligned} {∥ {u个}^{n个} ∥}_{t吨}^{2} + \frac{4}{三} {∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥}_{t吨}^{2} - \frac{1}{三} {∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}_{t吨}^{2} + \frac{8}{三} 〈 {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个 + \frac{1}{2}}, {u个}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 - \frac{2}{三} 〈 {u个}_{\ddot{x个}}^{n个 + \frac{1}{2}}, {u个}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 + 2 〈 φ ({u个}^{n个 + \frac{1}{2}}), {u个}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 \\ - 2 〈 κ ({u个}^{n个 + \frac{1}{2}}), {u个}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 = 0, \end{aligned}

（2.7）

哪里

φ ({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) = \frac{4}{9} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} + {[{({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\overset{图6}{x个}}}

和

κ ({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) = \frac{1}{9} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} + {[{({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\ddot{x个}}} .

自

〈 {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个 + \frac{1}{2}}, {u个}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 = 0, 〈 {u个}_{\ddot{x个}}^{n个 + \frac{1}{2}}, {u个}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 = 0,

(2.8)

\begin{aligned} 〈 φ ({u个}^{n个 + \frac{1}{2}}), {u个}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 = \frac{4}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {{u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} + {[{({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\overset{图6}{x个}}} {u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} \\ = \frac{4}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} + \frac{4}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {[{({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\overset{图6}{x个}} {u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} \\ = \frac{4}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} - \frac{4}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} \\ = 0 \end{aligned}

(2.9)

和

\begin{array}{rcl} 〈 κ ({u个}^{n个 + \frac{1}{2}}), {u个}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 & = & \frac{1}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} + {[{({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\ddot{x个}}} {u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} \\ = & \frac{1}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} + \frac{1}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {[{({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\ddot{x个}} {u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} \\ = & \frac{1}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} - \frac{1}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} \\ = & 0 . \end{array}

(2.10)

将（2.8）-（2.10）代入（2.7），我们得到

({∥ {u个}^{n个 + 1} ∥}^{2} - {∥ {u个}^{n个} ∥}^{2}) + \frac{4}{三} ({∥ {u个}_{x个}^{n个 + 1} ∥}^{2} - {∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥}^{2}) - \frac{1}{三} ({∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个 + 1} ∥}^{2} - {∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}^{2}) = 0 .

(2.11)

同样，根据 ${E类}^{n个}$ ，（2.5）由（2.11）得到。□

3存在

为了证明格式（2.1）-（2.3）解的存在性，应引入以下Browder不动点定理。有关证明，请参见[19].

引理3.1 让 H（H） 是有限维内积空间.假设 $克 : H（H） \to H（H）$ 是连续的,并且存在一个 $α > 0$ 这样的话 $〈克 (x个), x个〉 > 0$ 为所有人 $x个 \in H（H）$ 具有 $∥ x个 ∥ = α$ .然后存在 ${x个}^{*} \in H（H）$ 这样的话 $克 ({x个}^{*}) = 0$ 和 $∥ {x个}^{*} ∥ \leq α$ .

定理3.1 存在 ${u个}^{n个} \in {Z轴}_{小时}^{0}$ 满意差分格式(2.1)-(2.3).

证明使用数学归纳法。显然，对于条件（2.2），存在以下解 $n个 = 0$ 。假设 $n个 \leq N个 - 1$ , ${u个}^{0}, {u个}^{1}, \dots, {u个}^{n个}$ 满足（2.1）-（2.3），则证明存在 ${u个}^{n个 + 1}$ 满足（2.1）-（2.3）。

定义运算符克在 ${Z轴}_{小时}^{0}$ 如下：

克 (v（v）) = 2 v（v） - 2 {u个}^{n个} - \frac{8}{三} {v（v）}_{x个 \bar{x个}} + \frac{8}{三} {u个}_{x个 \bar{x个}}^{n个} + \frac{2}{三} {v（v）}_{\overset{图6}{x个} \overset{图6}{x个}} - \frac{2}{三} {u个}_{\overset{图6}{x个} \overset{图6}{x个}}^{n个} + \frac{4}{三} τ {v（v）}_{\overset{图6}{x个}} - \frac{1}{三} τ {v（v）}_{\ddot{x个}} + τ φ (v（v）) - τ κ (v（v）) .

(3.1)

取（3.1）的内积v（v），我们得到

〈 {v（v）}_{\overset{图6}{x个}}, v（v） 〉 = 0, 〈 {v（v）}_{\ddot{x个}}, v（v） 〉 = 0, 〈 φ (v（v）), v（v） 〉 = 0, 〈 κ (v（v）), v（v） 〉 = 0 .

从引理2.1和Cauchy-Schwarz不等式，我们得到

\begin{array}{rcl} 〈 克 (v（v）), v（v） 〉 & = & 2 {∥ v（v） ∥}^{2} - 2 〈 {u个}^{n个}, v（v） 〉 + \frac{8}{三} {∥ {v（v）}_{x个} ∥}^{2} - \frac{8}{三} 〈 {u个}_{x个}^{n个}, {v（v）}_{x个} 〉 - \frac{2}{三} {∥ {v（v）}_{\overset{图6}{x个}} ∥}^{2} + \frac{2}{三} 〈 {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个}, {v（v）}_{\overset{图6}{x个}} 〉 \\ \geq & 2 {∥ v（v） ∥}^{2} - ({∥ u个 ∥}^{2} + {∥ v（v） ∥}^{2}) + \frac{8}{三} {∥ {v（v）}_{x个} ∥}^{2} - \frac{4}{三} ({∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥}^{2} + {∥ {v（v）}_{x个} ∥}^{2}) \\ - \frac{2}{三} {∥ {v（v）}_{\overset{图6}{x个}} ∥}^{2} - \frac{1}{三} ({∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}^{2} + {∥ {v（v）}_{\overset{图6}{x个}} ∥}^{2}) \\ \geq & {∥ v（v） ∥}^{2} - {∥ {u个}^{n个} ∥}^{2} + \frac{1}{三} {∥ {v（v）}_{x个} ∥}^{2} - \frac{4}{三} {∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥}^{2} - \frac{1}{三} {∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}^{2} \\ \geq & {∥ v（v） ∥}^{2} - ({∥ {u个}^{n个} ∥}^{2} + \frac{4}{三} {∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥}^{2} + \frac{1}{三} {∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}^{2}) . \end{array}

因此，对于 $\forall v（v） \in {Z轴}_{小时}^{0}$ , $〈克 (v（v）), v（v）〉 \geq 0$ 什么时候 ${∥ v（v） ∥}^{2} = ({∥ {u个}^{n个} ∥}^{2} + \frac{4}{三} {∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥}^{2} + \frac{1}{三} {∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}^{2}) + 1$ .根据引理3.1，存在 ${v（v）}^{*} \in {Z轴}_{小时}^{0}$ 这满足了 $克 ({v（v）}^{*}) = 0$ .让 ${u个}^{n个 + 1} = 2 {v（v）}^{*} - {u个}^{n个}$ 很容易证明 ${u个}^{n个 + 1}$ 是方案（2.1）-（2.3）的解。□

4普里奥里估计、收敛性与无条件稳定性

让 $v（v） (x个, t吨)$ 是问题（1.1）-（1.3）的解决方案 ${v（v）}_{j个}^{n个} = v（v） ({x个}_{j个}, {t吨}_{n个})$ ，则得到方案（2.1）-（2.3）的截断误差如下：

\begin{aligned} {第页}_{j个}^{n个} = {({v（v）}_{j个}^{n个})}_{t吨} - \frac{4}{三} {({v（v）}_{j个}^{n个})}_{x个 \bar{x个} t吨} + \frac{1}{三} {({v（v）}_{j个}^{n个})}_{\overset{图6}{x个} \overset{图6}{x个} t吨} + \frac{4}{三} {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} - \frac{1}{三} {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} + + φ ({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) - κ ({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}), \\ j个 = 1, 2, \dots, J型 - 1 ； n个 = 1, 2, \dots, N个 - 1, \end{aligned}

(4.1)

{v（v）}_{j个}^{0} = {u个}_{0} ({x个}_{j个}), 0 \leq j个 \leq J型,

(4.2)

{v（v）}^{n个} \in {Z轴}_{小时}^{0}, n个 = 0, 1, 2, \dots, N个 .

(4.3)

根据泰勒展开，我们得到了以下结果。

定理4.1 $| {第页}_{j个}^{n个} | = O（运行） (τ^{2} + {小时}^{4})$ 保持为 $τ, 小时 \to 0$ .

证明自 $v（v） (x个, t吨)$ 是问题（1.1）-（1.3）的解决方案，我们有

{v（v）}_{t吨} + {v（v）}_{x个} + v（v） {v（v）}_{x个} - {v（v）}_{x个 x个 t吨} = 0, x个 \in ({x个}_{L（左）}, {x个}_{R（右）}), t吨 \in (0, T型] .

(4.4)

首先，考虑术语 ${v（v）}_{t吨}$ ，通过泰勒展开 $({x个}_{j个}, {t吨}_{n个 + \frac{1}{2}})$ ，我们得到

{v（v）}_{j个}^{n个 + 1} = {v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + (\frac{τ}{2}) {v（v）}_{t吨} |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2!} {(\frac{τ}{2})}^{2} {v（v）}_{t吨 t吨} |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） (τ^{三}),

(4.5)

{v（v）}_{j个}^{n个} = {v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + (- \frac{τ}{2}) {v（v）}_{t吨} |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2!} {(- \frac{τ}{2})}^{2} {v（v）}_{t吨 t吨} |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） (τ^{三}) .

(4.6)

由（4.5）和（4.6）可知

{v（v）}_{t吨} |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} = \frac{{v（v）}_{j个}^{n个 + 1} - {v（v）}_{j个}^{n个}}{τ} + O（运行） (τ^{2}) = {({v（v）}_{j个}^{n个})}_{t吨} + O（运行） (τ^{2}) .

(4.7)

同样，通过泰勒展开，我们可以分别得到以下结果：

\begin{aligned} ({v（v）}_{x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} & = \frac{{v（v）}_{j个 + 1}^{n个 + \frac{1}{2}} - {v（v）}_{j个 - 1}^{n个 + \frac{1}{2}}}{2 小时} - \frac{1}{6} {小时}^{2} ({v（v）}_{x个 x个 x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） ({小时}^{4}) \\ = {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} - \frac{1}{6} {小时}^{2} ({v（v）}_{x个 x个 x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） ({小时}^{4}), \end{aligned}

(4.8)

\begin{aligned} ({v（v）}_{x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} & = \frac{{v（v）}_{j个 + 2}^{n个 + \frac{1}{2}} - {v（v）}_{j个 - 2}^{n个 + \frac{1}{2}}}{4 小时} - \frac{2}{三} {小时}^{2} ({v（v）}_{x个 x个 x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） ({小时}^{4}) \\ = {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} - \frac{2}{三} {小时}^{2} ({v（v）}_{x个 x个 x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） ({小时}^{4}) \end{aligned}

(4.9)

和

({v（v）}_{x个 x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} = {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{x个 \bar{x个}} - \frac{1}{12} {小时}^{2} ({v（v）}_{x个 x个 x个 x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） ({小时}^{4}),

(4.10)

({v（v）}_{x个 x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} = {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个} \overset{图6}{x个}} - \frac{1}{三} {小时}^{2} ({v（v）}_{x个 x个 x个 x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） ({小时}^{4}) .

(4.11)

因此，通过（4.8）和（4.9），我们得到了

\frac{4}{三} {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} - \frac{1}{三} {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} = ({v（v）}_{x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） ({小时}^{4}) .

(4.12)

根据（4.10）和（4.11），我们已经

\frac{4}{三} {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{x个 \bar{x个}} - \frac{1}{三} {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个} \overset{图6}{x个}} = ({v（v）}_{x个 x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） ({小时}^{4}) .

(4.13)

此外，

\begin{aligned} φ ({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) - κ ({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) \\ = \frac{4}{9} {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} + {[{({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\overset{图6}{x个}}} - \frac{1}{9} {{v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} + {[{({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\ddot{x个}}} \\ = \frac{1}{三} {v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {\frac{4}{三} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} - \frac{1}{三} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}}} + \frac{1}{三} {\frac{4}{三} {[{({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\overset{图6}{x个}} - \frac{1}{三} {[{({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\ddot{x个}}} \\ = (u个 {u个}_{x个}) |_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + O（运行） ({小时}^{4}) . \end{aligned}

(4.14)

显然，根据（4.7）、（4.12）、（413）和（4.14），（4.4）成立。□

引理4.1 假设 ${u个}_{0} \in {H（H）}_{0}^{1} [{x个}_{L（左）}, {x个}_{R（右）}]$ ,那么初始值的解-边值问题(1.1)-(1.3)满足

{∥ u个 ∥}_{{L（左）}_{2}} \leq C类, {∥ {u个}_{x个} ∥}_{{L（左）}_{2}} \leq C类, {∥ u个 ∥}_{{L（左）}_{\infty}} \leq C类 .

证明由（1.6）可知

E类 (t吨) = {∥ u个 ∥}_{{L（左）}_{2}}^{2} + {∥ {u个}_{x个} ∥}_{{L（左）}_{2}}^{2} = E类 (0) = C类,

这就产生了

{∥ u个 ∥}_{{L（左）}_{2}} \leq C类, {∥ {u个}_{x个} ∥}_{{L（左）}_{2}} \leq C类 .

根据Sobolev不等式， ${∥ u个 ∥}_{{L（左）}_{\infty}} \leq C类$ 持有。□

引理4.2 假设 ${u个}_{0} \in {H（H）}_{0}^{1} [{x个}_{L（左）}, {x个}_{R（右）}]$ ,然后是方案的解决方案(2.1)-(2.3)满足

∥ {u个}^{n个} ∥ \leq C类, ∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥ \leq C类, {∥ {u个}^{n个} ∥}_{\infty} \leq C类

对于 $n个 = 1, 2, \dots, N个$ .

证明根据定理2.1和引理2.1

{∥ {u个}^{n个} ∥}^{2} + {∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥}^{2} \leq {E类}^{n个} = {∥ {u个}^{n个} ∥}^{2} + \frac{4}{三} {∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥}^{2} - \frac{1}{三} {∥ {u个}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}^{2} = C类,

也就是说，

∥ {u个}^{n个} ∥ \leq C类, ∥ {u个}_{x个}^{n个} ∥ \leq C类 .

通过离散Sobolev不等式[18]，我们有 ${∥ {u个}^{n个} ∥}_{\infty} \leq C类$ . □

定理4.2 假设 ${u个}_{0} \in {H（H）}_{0}^{1} [{x个}_{L（左）}, {x个}_{R（右）}]$ ,然后是解决方案 ${u个}^{n个}$ 差分格式(2.1)-(2.3)收敛于问题的解决(1.1)-(1.3)带订单 $O（运行） (τ^{2} + {小时}^{4})$ 由 ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ 规范.

证明出租

{e（电子）}_{j个}^{n个} = {v（v）}_{j个}^{n个} - {u个}_{j个}^{n个},

从（4.1）-（4.3）中分别减去（2.1）-（2.3），我们得到

\begin{aligned} {第页}_{j个}^{n个} = {({e（电子）}_{j个}^{n个})}_{t吨} - \frac{4}{三} {({e（电子）}_{j个}^{n个})}_{x个 \bar{x个} t吨} + \frac{1}{三} {({e（电子）}_{j个}^{n个})}_{\overset{图6}{x个} \overset{图6}{x个} t吨} + \frac{4}{三} {({e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} \\ - \frac{1}{三} {({e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} + φ ({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) - φ ({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) \\ - κ ({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}) + κ ({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}}), j个 = 1, 2, \dots, J型 - 1 ； n个 = 1, 2, \dots, N个 - 1, \end{aligned}

(4.15)

{e（电子）}_{j个}^{0} = 0, 0 \leq j个 \leq J型,

(4.16)

{e（电子）}^{n个} \in {Z轴}_{小时}^{0}, n个 = 0, 1, 2, \dots, N个 .

(4.17)

计算（4.15）的内积 $2 {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}}$ ，使用边界条件（4.17），我们得到

\begin{array}{rcl} 〈 {第页}^{n个}, 2 {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 & = & {∥ {e（电子）}^{n个} ∥}_{t吨}^{2} + \frac{4}{三} {∥ {e（电子）}_{x个}^{n个} ∥}_{t吨}^{2} - \frac{1}{三} {∥ {e（电子）}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}_{t吨}^{2} + \frac{8}{三} 〈 {e（电子）}_{\overset{图6}{x个}}^{n个 + \frac{1}{2}}, {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 - \frac{2}{三} 〈 {e（电子）}_{\ddot{x个}}^{n个 + \frac{1}{2}}, {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 \\ + 2 〈 φ ({v（v）}^{n个 + \frac{1}{2}}) - φ ({u个}^{n个 + \frac{1}{2}}), {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 - 2 〈 κ ({v（v）}^{n个 + \frac{1}{2}}) - κ ({u个}^{n个 + \frac{1}{2}}), {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 . \end{array}

(4.18)

与（2.8）类似，我们有

〈 {e（电子）}_{\overset{图6}{x个}}^{n个 + \frac{1}{2}}, {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 = 0, 〈 {e（电子）}_{\ddot{x个}}^{n个 + \frac{1}{2}}, {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 = 0 .

（4.19）

根据引理4.1、引理4.2、定理2.1和Cauchy-Schwartz不等式，我们得到

\begin{aligned} 〈 φ ({v（v）}^{n个 + \frac{1}{2}}) - φ ({u个}^{n个 + \frac{1}{2}}), {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 \\ = \frac{4}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} [{v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} - {u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}}] {e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + \frac{4}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {[{({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2} - {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\overset{图6}{x个}} {e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} \\ = \frac{4}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} [{v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} + {e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}}] {e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} - \frac{4}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} [{e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} ({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + {v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})] {({e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\overset{图6}{x个}} \\ \leq C类 ({∥ {e（电子）}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}^{n个} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{\overset{图6}{x个}}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}^{2}) \\ \leq C类 ({∥ {e（电子）}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}^{n个} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{x个}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{x个}^{n个} ∥}^{2}), \end{aligned}

(4.20)

\begin{aligned} 〈 κ ({v（v）}^{n个 + \frac{1}{2}}) - κ ({u个}^{n个 + \frac{1}{2}}), {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 \\ = \frac{1}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} [{v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} - {u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}}] {e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} {[{({v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2} - {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}^{2}]}_{\ddot{x个}} {e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} [{v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} + {e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} {({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}}] {e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} - \frac{1}{9} 小时 \sum_{j个 = 0}^{J型} [{e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} ({u个}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}} + {v（v）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})] {({e（电子）}_{j个}^{n个 + \frac{1}{2}})}_{\ddot{x个}} \\ \leq C类 ({∥ {e（电子）}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}^{n个} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{\ddot{x个}}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{\ddot{x个}}^{n个} ∥}^{2}) \\ \leq C类 ({∥ {e（电子）}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}^{n个} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{x个}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{x个}^{n个} ∥}^{2}) \end{aligned}

(4.21)

和

〈 {第页}^{n个}, 2 {e（电子）}^{n个 + \frac{1}{2}} 〉 = 〈 {第页}^{n个}, {e（电子）}^{n个 + 1} + {e（电子）}^{n个} 〉 \leq {∥ {第页}^{n个} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}^{n个} ∥}^{2} .

(4.22)

将（4.19）-（4.22）代入（4.18），我们得到

{∥ {e（电子）}^{n个} ∥}_{t吨}^{2} + \frac{4}{三} {∥ {e（电子）}_{x个}^{n个} ∥}_{t吨}^{2} - \frac{1}{三} {∥ {e（电子）}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}_{t吨}^{2} \leq {∥ {第页}^{n个} ∥}^{2} + C类 ({∥ {e（电子）}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}^{n个} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{x个}^{n个 + 1} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{x个}^{n个} ∥}^{2}) .

(4.23)

出租 ${B类}^{n个} = {∥ {e（电子）}^{n个} ∥}^{2} + \frac{4}{三} {∥ {e（电子）}_{x个}^{n个} ∥}^{2} - \frac{1}{三} {∥ {e（电子）}_{\overset{图6}{x个}}^{n个} ∥}^{2}$ 并从0到求和（4.23） $n个 - 1$ ，我们有

{B类}^{n个} \leq {B类}^{0} + C类 τ \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} {∥ {第页}^{我} ∥}^{2} + C类 τ \sum_{我 = 0}^{n个} ({∥ {e（电子）}^{我} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{x个}^{我} ∥}^{2}) .

(4.24)

通知

τ \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} {∥ {第页}^{我} ∥}^{2} \leq n个 τ \underset{0 \leq 我 \leq n个 - 1}{最大值} {∥ {第页}^{我} ∥}^{2} \leq T型 \cdot O（运行） {(τ^{2} + {小时}^{4})}^{2},

和 ${B类}^{0} = O（运行） {(τ^{2} + {小时}^{4})}^{2}$ ，从（4.24），我们得到

{∥ {e（电子）}^{n个} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{x个}^{n个} ∥}^{2} \leq {B类}^{n个} \leq O（运行） {(τ^{2} + {小时}^{4})}^{2} + C类 τ \sum_{我 = 0}^{n个} ({∥ {e（电子）}^{我} ∥}^{2} + {∥ {e（电子）}_{x个}^{我} ∥}^{2}) .

通过离散Gronwall不等式[18]，我们有

∥ {e（电子）}^{n个} ∥ \leq O（运行） (τ^{2} + {小时}^{4}), ∥ {e（电子）}_{x个}^{n个} ∥ \leq O（运行） (τ^{2} + {小时}^{4}) .

最后，通过离散Sobolev不等式[18]，我们得到

{∥ {e（电子）}^{n个} ∥}_{\infty} \leq O（运行） (τ^{2} + {小时}^{4}) .

这就完成了定理4.2的证明。□

同样，我们可以证明差分解的稳定性和唯一性。

定理4.3 在定理的条件下4.2,方案的求解(2.1)-(2.3)通过 ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ 规范.

定理4.4 解决方案 ${u个}^{n个}$ 方案的(2.1)-(2.3)是独一无二的.

5数值实验

在本节中，我们计算了一个数值例子来证明我们的差分格式的有效性。RLW方程的单波解(1.1）由

u个 (x个, t吨) = A类 秒^{2} (k个 x个 - ω t吨 + δ),

(5.1)

哪里

A类 = \frac{三 一^{2}}{1 - 一^{2}}, k个 = \frac{一}{2}, ω = \frac{一}{2 (1 - 一^{2})},

和一,δ是常量。

方案（2.1）-（2.3）是一个非线性方程组，可以通过牛顿迭代求解。采取 $一 = \frac{1}{2}$ , $δ = 0$ ，问题（1.1）-（1.3）的初始函数重写为

u个 (x个, 0) = 秒^{2} (\frac{1}{4} x个) .

在数值实验中，我们取 ${x个}_{L（左）} = - 50$ , ${x个}_{R（右）} = 50$ 和 $T型 = 10$ .在以下意义上的错误 ${L（左）}_{\infty}$ -规范和 ${L（左）}_{2}$ -不同网格步长下数值解的范数小时和τ表中列出了1.表2结果表明，该格式的计算阶数与理论阶数非常接近。此外，由于我们已经在定理2.1中证明了数值解 ${u个}^{n个}$ 分别满足不变量（2.4）和（2.5），表三还展示了离散质量的守恒定律 $问^{n个}$ 和离散能量 ${E类}^{n个}$ .

表1不同条件下数值解的误差估计小时和 τ

全尺寸桌子

表2理论精度的数值验证 $O（运行） (τ^{2} + {小时}^{4})$

全尺寸桌子

表3离散质量和离散能量小时和 τ

全尺寸桌子

从这些计算结果中，验证了该方案的稳定性和收敛性，并表明我们提出的算法是有效的。

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鸣谢

作者感谢编辑和匿名审稿人为提高论文质量提出的建设性意见和建议。本研究得到四川省教育厅科研基金（No.11ZB009）和西南科技大学博士项目研究基金（No.11zx7129）的资助。

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作者和附属机构

中国四川省绵阳市西南科技大学科学院，邮编621010
郑克龙
中华人民共和国四川省成都市西华大学数学与计算机工程学院，610039
胡劲松

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Zheng，K.，Hu，J.正则长波方程的高阶保守Crank-Nicolson格式。高级差异Equ 2013, 287 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-287

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收到:2013年7月21日
认可的:2013年9月11日
出版:2013年11月7日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-287

正则长波方程的高阶保守Crank-Nicolson格式

摘要

1引言

2非线性有限差分格式

3存在

4普里奥里估计、收敛性与无条件稳定性

5数值实验

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