Existence results for fractional differential equations with three-point boundary conditions

Fu, Xi

doi:10.1186/1687-1847-2013-257

研究
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出版：2013年8月22日

具有三点边界条件的分数阶微分方程解的存在性

西服¹

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：257(2013)引用这篇文章

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8引文
韵律学细节

摘要

本文研究非线性分数阶微分方程的三点边值问题。利用标准不动点定理得到了存在唯一性结果。给出了一些例子来说明结果。

理学硕士：34A60、26A33、34B15。

1引言

分数阶微分方程因其在物理、力学、经济学和生物学等工程和科学领域的许多现象建模中被证明是有价值的工具而得到了广泛的重视和关注，等。[1–三]. 对于分数阶微分方程存在性结果的一些发展，我们可以参考[4–25]以及其中的参考文献。

近年来，人们对分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性问题进行了大量的研究。例如，艾哈迈德和尼托[8]研究一类反周期分数次边值问题解的存在唯一性

{\begin{cases} {}^{c（c）}天^{α} x个 (t吨) = （f） (t吨, x个 (t吨)), t吨 \in [0, T型], 1 < α \leq 2, T型 > 0, \\ x个 (0) = 负极 x个 (T型),^{c（c）} 天^{γ} x个 (0) = {负极}^{c（c）} 天^{γ} x个 (T型), 0 < γ < 1, \end{cases}

(1)

哪里 ${}^{c（c）}天^{α}$ 表示Caputo分数阶导数α,（f）是给定的连续函数。

在[16]，作者讨论了具有反周期型分数阶边界条件的非线性分数阶微分方程解的存在性

{\begin{cases} {}^{c（c）}天^{α} x个 (t吨) = （f） (t吨, x个 (t吨),^{c（c）} 天^{β} x个 (t吨)), t吨 \in [0, T型], 1 < α \leq 2, 0 < β \leq 1, \\ x个 (0) + μ_{1} x个 (T型) = σ_{1},^{c（c）} 天^{γ} x个 (0) + {μ_{2}}^{c（c）} 天^{γ} x个 (T型) = σ_{2}, 0 < γ < 1, \end{cases}

(2)

哪里 ${}^{c（c）}天^{q个}$ 表示Caputo分数阶导数q个, $μ_{1} \neq 负极 1$ , $μ_{1} \neq 0$ , $σ_{1}$ , $σ_{2}$ 是实际常数，并且（f）是给定的连续函数。

考虑了具有以下形式的三点积分边界条件的分数阶微分方程[15]艾哈迈德等。

{\begin{cases} {}^{c（c）}天^{α} x个 (t吨) = （f） (t吨, x个 (t吨)), t吨 \in [0, 1], 1 < α \leq 2, \\ x个 (0) = 0, x个 (1) = 一 \int_{0}^{η} x个 (秒) d日 秒, 0 < η < 1, \end{cases}

(3)

哪里 ${}^{c（c）}天^{α}$ 表示Caputo分数阶导数α,（f）是给定的连续函数，并且 $一 \in R（右）$ 具有 $一 η^{2} \neq 2$ .

通过简单的计算，我们观察到 ${}^{c（c）}天^{γ} x个 (0) = 0$ 在方程式中(1)和(2). 这意味着边界条件 ${}^{c（c）}天^{γ} x个 (0) = {负极}^{c（c）} 天^{γ} x个 (T型)$ （1）和 ${}^{c（c）}天^{γ} x个 (0) + {μ_{2}}^{c（c）} 天^{γ} x个 (T型) = σ_{2}$ （2）实际上相当于边界条件 ${}^{c（c）}天^{γ} x个 (T型) = 0$ 和 ${μ_{2}}^{c（c）} 天^{γ} x个 (T型) = σ_{2}$ 分别是。

受上述论文的启发，在本文中，首先，我们研究了具有以下形式的三点边界条件的分数阶微分方程

{\begin{cases} {}^{c（c）}天^{α} x个 (t吨) = （f） (t吨, x个 (t吨)), t吨 \in [0, T型], 1 < α \leq 2, T型 > 0, \\ 一_{1} x个 (0) + {b条}_{1} x个 (T型) = {c（c）}_{1}, \\ 一_{2} (^{c（c）} 天^{γ} x个 (η)) + {b条}_{2} (^{c（c）} 天^{γ} x个 (T型)) = {c（c）}_{2}, 0 < η < T型, 0 < γ < 1, \end{cases}

(4)

哪里 ${}^{c（c）}天^{q个}$ 表示Caputo分数阶导数q个, $一_{我}$ , ${b条}_{我}$ , ${c（c）}_{我}$ , $我 = 1, 2$ 是实际常数，因此 $一_{1} + {b条}_{1} \neq 0$ , $一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} \neq 0$ 、和（f）是给定的连续函数。

然后我们考虑带三点积分边界条件的分数阶微分方程

{\begin{cases} {}^{c（c）}天^{α} x个 (t吨) = （f） (t吨, x个 (t吨),^{c（c）} 天^{β} x个 (t吨)), t吨 \in [0, 1], 1 < α \leq 2, 0 < β < 1, \\ x个 (0) = 0, 一 我^{γ} x个 (η) + b条 x个 (1) = c（c）, 0 < η < 1, \end{cases}

(5)

哪里 ${}^{c（c）}天^{q个}$ 表示Caputo分数阶导数q个, $我^{γ}$ Riemann-Liouville分数阶积分γ,（f）是给定的连续函数，并且一,b条,c（c）是实数常数 $一 η^{1 + γ} \neq 负极 b条 Γ (β + 2)$ .

我们注意到，当 $一_{我} = {b条}_{我} = 1$ , ${c（c）}_{我} = 0$ 和 $η \to 0$ ，问题（3）归结为反周期分数次边值问题（1）(囊性纤维变性。[8]).

本文的结构如下：在第二节中，我们给出了符号、定义，并给出了我们在后继中需要的一些初步结果，第三节和第四节分别讨论了问题（4）和（5）的存在性结果，在最后的第五节中，给出了两个例子来说明结果。

2准备工作

定义2.1[17]

Riemann-Liouville分数阶积分q个对于连续函数 $（f） : [0, \infty) \to R（右）$ 定义为

我^{q个} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (q个)} \int_{0}^{t吨} \frac{（f） (秒)}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 q个}} d日 秒, q个 > 0,

只要积分存在。

定义2.2[17]

对于 $(n个负极 1)$ 时间绝对连续函数 $（f） : [0, \infty) \to R（右）$ ，分数阶卡普托导数q个定义为

{}^{c（c）}天^{q个} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (n个 负极 q个)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{n个 负极 q个 负极 1} {（f）}^{(n个)} (秒) d日 秒, n个 负极 1 < q个 < n个, n个 = [q个] + 1,

哪里 $[q个]$ 表示实数的整数部分q个.

引理2.1[12]

让 $α > 0$ ,然后是微分方程

{}^{c（c）}天^{α} 小时 (t吨) = 0

有解决方案 $小时 (t吨) = {c（c）}_{0} + {c（c）}_{1} t吨 + {c（c）}_{2} {t吨}^{2} + \cdot + {c（c）}_{n个负极 1} {t吨}^{n个负极 1}$ 和

我^{α}^{c（c）} 天^{α} 小时 (t吨) = 小时 (t吨) + {c（c）}_{0} + {c（c）}_{1} t吨 + {c（c）}_{2} {t吨}^{2} + \cdot + {c（c）}_{n个 负极 1} {t吨}^{n个 负极 1},

在这里 ${c（c）}_{我} \in R（右）$ , $我 = 0, 1, 2, \dots, n个负极 1$ , $n个 = [α] + 1$ .

以下是两个标准不动点定理，将在第3节和第4节中使用（参见[26]).

定理2.1 让 X（X） 成为巴拿赫空间,让 B类 是的非空闭凸子集 X（X）.假设 $F类 : B类 \to B类$ 是连续紧映射.然后 F类 在中有一个固定点 B类.

定理2.2（单值映射的非线性替代）

让 X（X） 成为巴拿赫空间,让 B类 是一个封闭的,凸子集 X（X）,让 U型 是的开放子集 B类和 $0 \in U型$ .假设 $P（P） : \bar{U型} \to B类$ 是一个连续且紧凑的映射.然后要么（a）P（P） 在中有一个固定点 $\bar{U型}$ ,或（b）存在一个 $x个 \in \partial U型$ (的边界 U型)和 $λ \in (0, 1)$ 具有 $x个 = λ P（P） (x个)$ .

3问题的存在性结果（4）

引理3.1 对于任何 $年 \in C类 ([0, T型], R（右）)$ ,三者的独特解决方案-点边值问题

{\begin{cases} {}^{c（c）}天^{α} x个 (t吨) = 年 (t吨), t吨 \in [0, T型], 1 < α \leq 2, \\ 一_{1} x个 (0) + {b条}_{1} x个 (T型) = {c（c）}_{1}, \\ 一_{2} (^{c（c）} 天^{γ} x个 (η)) + {b条}_{2} (^{c（c）} 天^{γ} x个 (T型)) = {c（c）}_{2}, 0 < η < T型, 0 < γ < 1, \end{cases}

(6)

由提供

\begin{array}{rcl} x个 (t吨) & = & \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 年 (秒) d日 秒 负极 \frac{{b条}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 年 (秒) d日 秒 \\ + \frac{{c（c）}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} + \frac{{b条}_{1} T型 Γ (2 负极 γ) 负极 (一_{1} + {b条}_{1}) Γ (2 负极 γ) t吨}{(一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})} \\ \times (一_{2} \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} 年 (秒) d日 秒 + {b条}_{2} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} 年 (秒) d日 秒 负极 {c（c）}_{2}) . \end{array}

证明对于 $1 < α \leq 2$ ，通过引理2.1，我们知道方程的一般解 ${}^{c（c）}天^{α} x个 (t吨) = 年 (t吨)$ 可以写为

x个 (t吨) = 我^{α} 年 (t吨) 负极 {k个}_{0} 负极 {k个}_{1} t吨 = \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 年 (秒) d日 秒 负极 {k个}_{0} 负极 {k个}_{1} t吨,

(7)

哪里 ${k个}_{0}, {k个}_{1} \in R（右）$ 是任意常数。自 ${}^{c（c）}天^{γ} {k个}_{0} = 0$ , ${}^{c（c）}天^{γ} t吨 = \frac{{t吨}^{1 负极 γ}}{Γ (2 负极 γ)}$ , ${}^{c（c）}天^{γ} 我^{α} 年 (t吨) = 我^{α 负极 γ} 年 (t吨)$ ，我们有

{}^{c（c）}天^{γ} x个 (t吨) = 我^{α 负极 γ} 年 (t吨) 负极 \frac{{k个}_{1} {t吨}^{1 负极 γ}}{Γ (2 负极 γ)} = \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} 年 (秒) d日 秒 负极 \frac{{k个}_{1} {t吨}^{1 负极 γ}}{Γ (2 负极 γ)} .

使用边界条件，我们得到

\begin{aligned} 一_{1} (负极 {k个}_{0}) + {b条}_{1} (\int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 年 (秒) d日 秒 负极 {k个}_{0} 负极 {k个}_{1} T型) = {c（c）}_{1}, \\ 一_{2} \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} 年 (秒) d日 秒 + {b条}_{2} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} 年 (秒) d日 秒 负极 \frac{{k个}_{1} (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})}{Γ (2 负极 γ)} = {c（c）}_{2} . \end{aligned}

因此，我们有

\begin{aligned} {k个}_{0} = \frac{{b条}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 年 (秒) d日 秒 负极 \frac{{c（c）}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} 负极 \frac{{b条}_{1} T型 Γ (2 负极 γ)}{(一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})} \\ \times (一_{2} \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} 年 (秒) d日 秒 + {b条}_{2} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} 年 (秒) d日 秒 负极 {c（c）}_{2}), \\ {k个}_{1} = \frac{Γ (2 负极 γ) (一_{2} \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} 年 (秒) d日 秒 + {b条}_{2} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} 年 (秒) d日 秒 负极 {c（c）}_{2})}{一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ}} . \end{aligned}

替换的值 ${k个}_{0}$ , ${k个}_{1}$ 在（7）中，我们得到了结果。这就完成了证明。□

从引理3.1的证明中，我们注意到当 $0 < γ < 1$ , ${}^{c（c）}天^{γ} x个 (η) = \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} 年 (秒) d日秒负极 \frac{{k个}_{1} η^{1 负极 γ}}{Γ (2 负极 γ)}$ 也就是说，（4）中的不分离特征比（1）中的更为明显。

让 $J = [0, T型]$ 和 $C类 = C类 (J, R（右）)$ 是所有连续实函数的Banach空间J进入之内ℝ配备标准 $∥ x个 ∥ = {啜饮}_{t吨 \in J} | x个 (t吨) |$ .鉴于引理3.1，我们定义了一个算子 $F类 : C类 \to C类$ 如下

\begin{aligned} (F类 x个) (t吨) \\ = \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 负极 \frac{{b条}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 \\ + \frac{{b条}_{1} T型 Γ (2 负极 γ) 负极 (一_{1} + {b条}_{1}) Γ (2 负极 γ) t吨}{(一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})} \times (一_{2} \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 \\ + {b条}_{2} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 负极 {c（c）}_{2}) + \frac{{c（c）}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} . \end{aligned}

请注意，当且仅当操作员 $F类 x个$ 具有固定点。我们表示为 $F类 x个 = {F类}_{1} x个 + {F类}_{2} x个$ ，其中

({F类}_{1} x个) (t吨) = \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒, ({F类}_{2} x个) (t吨) = 负极 {k个}_{1}^{x个} t吨 负极 {k个}_{0}^{x个} .

这里是常数 ${k个}_{0}^{x个}$ 和 ${k个}_{1}^{x个}$ 由提供

\begin{aligned} {k个}_{0}^{x个} = \frac{{b条}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 负极 \frac{{c（c）}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} 负极 \frac{{b条}_{1} T型 Γ (2 负极 γ)}{(一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})} \\ \times (一_{2} \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 + {b条}_{2} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 负极 {c（c）}_{2}), \\ {k个}_{1}^{x个} = \frac{Γ (2 负极 γ) (一_{2} \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 + {b条}_{2} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 负极 {c（c）}_{2})}{一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ}} . \end{aligned}

现在，我们可以展示我们的主要成果。

定理3.1 假设 $（f） : J \times R（右） \to R（右）$ 连续且满足

| （f） (t吨, x个) 负极 （f） (t吨, 年) | \leq 米 (t吨) | x个 负极 年 |

对于 $t吨 \in J$ , $x个, 年 \in R（右）$ ,和 $米 \in {L（左）}^{\infty} (J, {R（右）}^{+})$ .如果

(U型 + V（V）) (1 + \frac{| {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |}) < 1,

(8)

然后是问题(4)有独特的解决方案,哪里

∥ 米 ∥ = \underset{t吨 \in J}{啜饮} | 米 (t吨) |, U型 = \frac{{T型}^{α} ∥ 米 ∥}{Γ (α + 1)}, V（V） = \frac{∥ 米 ∥ Γ (2 负极 γ) (T型 η^{α 负极 γ} | 一_{2} | + {T型}^{α 负极 γ + 1} | {b条}_{2} |)}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} .

证明表示 $N个 (x个, 年) = （f） (秒, x个 (秒)) 负极（f） (秒, 年 (秒))$ 。对于任何 $x个, 年 \in C类$ 和每个 $t吨 \in J$ ，我们有

\begin{aligned} | ({F类}_{1} x个) (t吨) 负极 ({F类}_{1} 年) (t吨) | \leq \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} | N个 (x个, 年) | d日 秒 \\ \leq ∥ 米 ∥ ∥ x个 负极 年 ∥ \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} d日 秒 \\ \leq U型 ∥ x个 负极 年 ∥, \\ | ({F类}_{2} x个) (t吨) 负极 ({F类}_{2} 年) (t吨) | \leq T型 | {k个}_{1}^{x个} 负极 {k个}_{1}^{年} | + | {k个}_{0}^{x个} 负极 {k个}_{0}^{年} |, \\ T型 | {k个}_{1}^{x个} 负极 {k个}_{1}^{年} | \leq \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | 一_{2} |}{| 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} | \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} N个 (x个, 年) d日 秒 | \\ + \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | {b条}_{2} |}{| 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} | \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} N个 (x个, 年) d日 秒 | \\ \leq \frac{∥ 米 ∥ T型 Γ (2 负极 γ) | 一_{2} |}{| 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} ∥ x个 负极 年 ∥ + \frac{∥ 米 ∥ T型 Γ (2 负极 γ) | {b条}_{2} |}{| 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} ∥ x个 负极 年 ∥ \\ = V（V） ∥ x个 负极 年 ∥, \\ | {k个}_{0}^{x个} 负极 {k个}_{0}^{年} | \leq | \frac{{b条}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} | | \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} N个 (x个, 年) d日 秒 | \\ + \frac{| {b条}_{1} 一_{2} | T型 Γ (2 负极 γ)}{| 一_{1} + {b条}_{1} | | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} | \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} N个 (x个, 年) d日 秒 | \\ + \frac{| {b条}_{1} {b条}_{2} | T型 Γ (2 负极 γ)}{| 一_{1} + {b条}_{1} | | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} | \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} N个 (x个, 年) d日 秒 | \\ \leq (\frac{U型 | {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |} + \frac{V（V） | {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |}) ∥ x个 负极 年 ∥ . \end{aligned}

因此，我们有

∥ (F类 x个) (t吨) 负极 (F类 年) (t吨) ∥ \leq (U型 + V（V）) (1 + \frac{| {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |}) ∥ x个 负极 年 ∥ .

这与（8）一起意味着ℱ是收缩映射。收缩映射原理得出ℱ具有唯一不动点，这是问题（4）的唯一解。这就完成了证明。□

推论3.1 假设 $（f） : J \times R（右） \to R（右）$ 连续且满足

| （f） (t吨, x个) 负极 （f） (t吨, 年) | \leq L（左） | x个 负极 年 |

对于 $t吨 \in J$ , $x个, 年 \in R（右）$ ,和 $L（左） > 0$ .然后是问题(4)有独特的解决方案,假如

(\frac{{T型}^{α} L（左）}{Γ (α + 1)} + \frac{L（左） Γ (2 负极 γ) (T型 η^{α 负极 γ} | 一_{2} | + {T型}^{α 负极 γ + 1} | {b条}_{2} |)}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |}) (1 + \frac{| {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |}) < 1 .

定理3.2 让 $（f） : J \times R（右） \to R（右）$ 是连续函数.假设

| （f） (t吨, x个) | \leq 米 (t吨) + d日 {| x个 |}^{ρ}

对于每个 $t吨 \in J$ , $x个 \in R（右）$ , $米 \in {L（左）}^{\infty} (J, {R（右）}^{+})$ , $d日 \geq 0$ 和 $0 \leq ρ < 1$ .然后是问题(4)至少有一个解决方案.

证明让 ${B类}_{第页} = {x个 \in C类 : ∥ x个 (t吨) ∥ \leq 第页和 t吨 \in J}$ , $M（M） = ∥ 米 ∥ + d日 {第页}^{ρ}$ ，其中

\begin{aligned} 第页 \geq 最大值 {2 K（K）, {(2 L（左） d日)}^{\frac{1}{1 负极 ρ}}}, \\ K（K） = (1 + \frac{| {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |}) (\frac{{T型}^{α} ∥ 米 ∥}{Γ (α + 1)} + \frac{T型 ∥ 米 ∥ Γ (2 负极 γ) (η^{α 负极 γ} | 一_{2} | + {T型}^{α 负极 γ} | {b条}_{2} |)}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |}) \\ + \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | {c（c）}_{2} |}{| 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} + | \frac{{b条}_{1} {c（c）}_{2} T型 Γ (2 负极 γ)}{(一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})} 负极 \frac{{c（c）}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} |, \\ L（左） = (1 + \frac{| {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |}) (\frac{{T型}^{α}}{Γ (α + 1)} + \frac{T型 Γ (2 负极 γ) (η^{α 负极 γ} | 一_{2} | + {T型}^{α 负极 γ} | {b条}_{2} |)}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |}) . \end{aligned}

请注意 ${B类}_{第页}$ 是Banach空间的封闭有界凸子集.

首先，我们证明 $F类 : {B类}_{第页} \to {B类}_{第页}$ 。对于任何 $x个 \in {B类}_{第页}$ ，我们有

\begin{aligned} | ({F类}_{1} x个) (t吨) | \leq \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} (米 (秒) + d日 {| x个 (秒) |}^{ρ}) d日 秒 \leq \frac{{T型}^{α} M（M）}{Γ (α + 1)}, \\ T型 | {k个}_{1}^{x个} | \leq \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | {c（c）}_{2} |}{| 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} + \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | 一_{2} \int_{0}^{η} {(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 |}{Γ (α 负极 γ) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} \\ + \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | {b条}_{2} \int_{0}^{T型} {(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 |}{Γ (α 负极 γ) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} \\ \leq \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | {c（c）}_{2} |}{| 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} + \frac{T型 M（M） Γ (2 负极 γ) (η^{α 负极 γ} | 一_{2} | + {T型}^{α 负极 γ} | {b条}_{2} |)}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |}, \\ | {k个}_{0}^{x个} | \leq | \frac{{b条}_{1} {c（c）}_{2} T型 Γ (2 负极 γ)}{(一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})} 负极 \frac{{c（c）}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} | \\ + | \frac{{b条}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 | + \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | {b条}_{1} |}{| (一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ}) |} \\ \times (| 一_{2} \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 | + | {b条}_{2} \int_{0}^{T型} \frac{{(T型 负极 秒)}^{α 负极 γ 负极 1}}{Γ (α 负极 γ)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 |) \\ \leq | \frac{{b条}_{1} {c（c）}_{2} T型 Γ (2 负极 γ)}{(一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})} 负极 \frac{{c（c）}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} | + \frac{{T型}^{α} M（M） | {b条}_{1} |}{Γ (α + 1) | 一_{1} + {b条}_{1} |} \\ + \frac{T型 M（M） Γ (2 负极 γ) | {b条}_{1} | (η^{α 负极 γ} | 一_{2} | + {T型}^{α 负极 γ} | {b条}_{2} |)}{Γ (α 负极 γ + 1) | (一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ}) |} . \end{aligned}

因此，我们有

\begin{array}{rcl} ∥ F类 x个 ∥ & \leq & (1 + \frac{| {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |}) (\frac{{T型}^{α} ∥ 米 ∥}{Γ (α + 1)} + \frac{T型 ∥ 米 ∥ Γ (2 负极 γ) (η^{α 负极 γ} | 一_{2} | + {T型}^{α 负极 γ} | {b条}_{2} |)}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |}) \\ + \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | {c（c）}_{2} |}{| 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} + | \frac{{b条}_{1} {c（c）}_{2} T型 Γ (2 负极 γ)}{(一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})} 负极 \frac{{c（c）}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} | \\ + d日 {第页}^{ρ} (1 + \frac{| {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |}) (\frac{{T型}^{α}}{Γ (α + 1)} + \frac{T型 Γ (2 负极 γ) (η^{α 负极 γ} | 一_{2} | + {T型}^{α 负极 γ} | {b条}_{2} |)}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |}) \\ \leq & K（K） + d日 {第页}^{ρ} L（左） \leq \frac{第页}{2} + \frac{第页}{2} = 第页 . \end{array}

这意味着 $F类 : {B类}_{第页} \to {B类}_{第页}$ .

其次，我们证明ℱ将有界集映射为等连续集。让B类是任意有界集。请注意（f）持续打开J因此，在不失一般性的情况下，我们可以假设N个这样的话

| （f） (t吨, x个 (t吨)) | \leq N个

对于任何 $t吨 \in J$ 和 $x个 \in B类$ 现在，我们让 $0 \leq {t吨}_{1} \leq {t吨}_{2} \leq T型$ 然后针对每个 $x个 \in B类$ ，我们有

\begin{aligned} | ({F类}_{1} x个) ({t吨}_{2}) 负极 ({F类}_{1} x个) ({t吨}_{1}) | \\ \leq | \int_{0}^{{t吨}_{1}} \frac{{({t吨}_{2} 负极 秒)}^{α 负极 1} 负极 {({t吨}_{1} 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 | + | \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} \frac{{({t吨}_{2} 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 | \\ \leq \frac{N个 {({t吨}_{2} 负极 {t吨}_{1})}^{α}}{Γ (α + 1)} + \frac{N个 ({t吨}_{1}^{α} + {({t吨}_{2} 负极 {t吨}_{1})}^{α} 负极 {t吨}_{2}^{α})}{Γ (α + 1)} \leq \frac{2 N个 {({t吨}_{2} 负极 {t吨}_{1})}^{α}}{Γ (α + 1)} \end{aligned}

和

\begin{aligned} | ({F类}_{2} x个) ({t吨}_{2}) 负极 ({F类}_{2} x个) ({t吨}_{1}) | \\ \leq | {k个}_{1}^{x个} | ({t吨}_{2} 负极 {t吨}_{1}) \\ \leq \frac{Γ (2 负极 γ) (N个 η^{α 负极 γ} | 一_{2} | + N个 {T型}^{α 负极 γ} | {b条}_{2} | + Γ (α 负极 γ + 1) | {c（c）}_{2} |) ({t吨}_{2} 负极 {t吨}_{1})}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} . \end{aligned}

因此，我们有

∥ (F类 x个) ({t吨}_{2}) 负极 (F类 x个) ({t吨}_{1}) ∥ \to 0 作为 {t吨}_{2} \to {t吨}_{1},

并且该极限与 $x个 \in B类$ 因此，操作员 $F类 : {B类}_{第页} \to {B类}_{第页}$ 是等连续且一致有界的。Arzela-Ascoli定理意味着 $F类 ({B类}_{第页})$ 相对紧凑根据定理2.1，我们知道问题（4）至少有一个解。证明已完成。□

推论3.2 假设 $| （f） (t吨, x个) | \leq ν (t吨)$ 对于 $t吨 \in J$ , $x个 \in R（右）$ 具有 $ν \in C类 (J, {R（右）}^{+})$ .然后是问题(4)至少有一个解决方案.

定理3.3 让 $（f） : J \times R（右） \to R（右）$ 是连续函数.假设

(1)
存在一个函数 $米 \in {L（左）}^{\infty} (J, {R（右）}^{+})$ 和一个非-递减函数 $φ : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 这样的话
$| （f） (t吨, x个) | \leq 米 (t吨) φ (∥ x个 ∥),$

哪里 $t吨 \in J$ , $x个 \in R（右）$ ;

(2)
存在一个常数 $K（K） > 0$ 这样的话
$\frac{K（K）}{R（右） + φ (K（K）) 问} > 1,$

哪里

\begin{aligned} R（右） = \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | {c（c）}_{2} |}{| 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} + | \frac{{c（c）}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} 负极 \frac{{b条}_{1} {c（c）}_{2} T型 Γ (2 负极 γ)}{(一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})} |, \\ 问 = \frac{{T型}^{α} ∥ 米 ∥}{Γ (α + 1)} + \frac{T型 Γ (2 负极 γ) ∥ 米 ∥ (| 一_{2} | η^{1 负极 γ} + | {b条}_{2} | {T型}^{1 负极 γ})}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} \\ + \frac{∥ 米 ∥ | {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |} (\frac{T型 Γ (2 负极 γ) (| 一_{2} | η^{1 负极 γ} + | {b条}_{2} | {T型}^{1 负极 γ})}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} + \frac{{T型}^{α}}{Γ (α + 1)}) . \end{aligned}

然后是问题(4)至少有一个解决方案.

证明首先，我们证明ℱ将有界集映射为中的有界集.让B类是的有界子集和 $∥ x个 ∥ \leq 第页$ 对于任何 $x个 \in B类$ .在定理3.2的证明中，我们有

\begin{aligned} | ({F类}_{1} x个) (t吨) | \leq | \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} （f） (秒, x个 (秒)) | d日 秒 \leq \frac{{T型}^{α} ∥ 米 ∥ φ (第页)}{Γ (α + 1)}, \\ | ({F类}_{2} x个) (t吨) | \leq T型 | {k个}_{1}^{x个} | + | {k个}_{0}^{x个} |, \\ T型 | {k个}_{1}^{x个} | \leq \frac{T型 Γ (2 负极 γ) ∥ 米 ∥ φ (第页) (| 一_{2} | η^{1 负极 γ} + | {b条}_{2} | {T型}^{1 负极 γ})}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} + \frac{T型 Γ (2 负极 γ) | {c（c）}_{2} |}{| 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |}, \\ | {k个}_{0}^{x个} | \leq \frac{∥ 米 ∥ φ (第页) | {b条}_{1} |}{| 一_{1} + {b条}_{1} |} (\frac{T型 Γ (2 负极 γ) (| 一_{2} | η^{1 负极 γ} + | {b条}_{2} | {T型}^{1 负极 γ})}{Γ (α 负极 γ + 1) | 一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ} |} + \frac{{T型}^{α}}{Γ (α + 1)}) \\ + | \frac{{c（c）}_{1}}{一_{1} + {b条}_{1}} 负极 \frac{{b条}_{1} {c（c）}_{2} T型 Γ (2 负极 γ)}{(一_{1} + {b条}_{1}) (一_{2} η^{1 负极 γ} + {b条}_{2} {T型}^{1 负极 γ})} | . \end{aligned}

因此，

∥ F类 x个 ∥ \leq R（右） + φ (第页) 问 .

其次，我们声称ℱ是等连续的。该权利要求的证明与定理3.2的证明相同。

最后，我们让 $x个 = λ F类 x个$ 对一些人来说 $λ \in (0, 1)$ 。然后针对每个 $t吨 \in J$ ，我们有

| x个 | = | λ F类 x个 | \leq R（右） + φ (∥ x个 ∥) 问 .

这意味着

\frac{∥ x个 ∥}{R（右） + φ (∥ x个 ∥) 问} \leq 1 .

根据假设，我们知道存在K（K）这样的话 $K（K） \neq ∥ x个 ∥$ .让

O（运行） = {年 \in C类 : ∥ 年 ∥ < K（K）} .

操作员 $F类 : \bar{O（运行）} \to C类$ 是连续的和完全连续的。结合以下选项O（运行）和定理2.2，我们可以推断ℱ在中有一个固定点 $\bar{O（运行）}$ ，这是问题（4）的解决方案。□

4问题的存在结果（5）

引理4.1 对于任何 $年 \in C类 ([0, 1], R（右）)$ ,三者的独特解决方案-点边值问题

{\begin{cases} {}^{c（c）}天^{α} x个 (t吨) = 年 (t吨), t吨 \in [0, 1], 1 < α \leq 2, \\ x个 (0) = 0, 一 我^{γ} x个 (η) + b条 x个 (1) = c（c）, 0 < η < 1, \end{cases}

（9）

由提供

\begin{array}{rcl} x个 (t吨) & = & \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 年 (秒) d日 秒 + \frac{t吨 (c（c） 负极 b条 \int_{0}^{1} \frac{{(1 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 年 (秒) d日 秒)}{\frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条} \\ 负极 \frac{t吨 一 \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α + γ 负极 1}}{Γ (α + γ)} 年 (秒) d日 秒}{\frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条} . \end{array}

证明对于 $1 < α \leq 2$ 和一些常数 ${c（c）}_{0}, {c（c）}_{1} \in R（右）$ 方程的通解 ${}^{c（c）}天^{α} x个 (t吨) = 年 (t吨)$ 可以写为

x个 (t吨) = 我^{α} 年 (t吨) + {c（c）}_{0} + {c（c）}_{1} t吨 .

(10)

发件人 $x个 (0) = 0$ ，因此 ${c（c）}_{0} = 0$ .利用（9）的积分边界条件，我们得到

(\frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条) {c（c）}_{1} + 一 我^{α + γ} 年 (η) + b条 \int_{0}^{1} \frac{{(1 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 年 (秒) d日 秒 = c（c） .

因此，我们有

{c（c）}_{1} = \frac{c（c） 负极 b条 \int_{0}^{1} \frac{{(1 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 年 (秒) d日 秒 负极 一 \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α + γ 负极 1}}{Γ (α + γ)} 年 (秒) d日 秒}{\frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条} .

替换的值 ${c（c）}_{0}$ , ${c（c）}_{1}$ ，我们得到了结果。这就完成了证明。□

定义空间 $X（X） = {x个 : x个和^{c（c）} 天^{β} x个 \in C类 ([0, 1], R（右）), 0 < β < 1}$ 被赋予了规范 ${∥ x个 ∥}_{*} = {最大值}_{t吨 \in [0, 1]} | x个 (t吨) {| + {最大值}_{t吨 \in [0, 1]} |}^{c（c）} 天^{β} x个 (t吨) |$ 显然， $(X（X）, {∥ \cdot ∥}_{*})$ 是巴纳赫空间。为了获得问题（5）的存在性结果，通过引理4.1，我们定义了一个算子 $S公司 : X（X） \to X（X）$ 如下

\begin{array}{rcl} (S公司 x个) (t吨) & = & \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} (N个 x个) (秒) d日 秒 + \frac{t吨 (c（c） 负极 b条 \int_{0}^{1} \frac{{(1 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} (N个 x个) (秒) d日 秒)}{\frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条} \\ 负极 \frac{t吨 一 \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α + γ 负极 1}}{Γ (α + γ)} (N个 x个) (秒) d日 秒}{\frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条}, \end{array}

哪里

(N个 x个) (t吨) = （f） (t吨, x个 (t吨),^{c（c）} 天^{β} x个 (t吨)) .

自（f）是连续的，很容易看出

(^{c（c）} 天^{β} S公司 x个) (t吨) = (我^{α 负极 β} N个 x个) (t吨) 负极 \frac{k个 {t吨}^{1 负极 β}}{Γ (2 负极 β)},

在这里k个是一个常数，由

k个 = \frac{b条 \int_{0}^{1} \frac{{(1 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} (N个 x个) (秒) d日 秒 + 一 \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α + γ 负极 1}}{Γ (α + γ)} (N个 x个) (秒) d日 秒 负极 c（c）}{\frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条} .

定理4.1 让 $（f） : [0, 1] \times R（右） \times R（右） \to R（右）$ 是满足以下条件的连续函数

| （f） (t吨, {x个}_{1}, 年_{1}) 负极 （f） (t吨, {x个}_{2}, 年_{2}) | \leq 米 (t吨) (| {x个}_{1} 负极 {x个}_{2} | + | 年_{1} 负极 年_{2} |)

对于 $t吨 \in [0, 1]$ , ${x个}_{我}, 年_{我} \in R（右）$ , $我 = 1, 2$ 和 $米 (t吨) \in {L（左）}^{\frac{1}{τ}} ([0, 1], {R（右）}^{+})$ , $τ \in (0, α 负极 1)$ .然后是问题(5)有一个独特的解决方案，前提是 $Δ + Λ < 1$ ,哪里Δ, Λ由提供

\begin{matrix} Δ = \frac{∥ 米 ∥ {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 τ})}^{1 负极 τ}}{Γ (α)} (1 + \frac{| b条 |}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |}) + \frac{∥ 米 ∥ | 一 | η^{α + γ 负极 τ} {(\frac{1 负极 τ}{α + γ 负极 τ})}^{1 负极 τ}}{Γ (α + γ) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |}, \\ Λ = \frac{∥ 米 ∥}{Γ (2 负极 β)} (\frac{| b条 |}{Γ (α)} {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 τ})}^{1 负极 τ} + \frac{| 一 | η^{α + γ 负极 τ}}{Γ (α + γ)} {(\frac{1 负极 τ}{α + γ 负极 τ})}^{1 负极 τ}) \\ + \frac{∥ 米 ∥ {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 β 负极 τ})}^{1 负极 τ}}{Γ (α 负极 β)} . \end{matrix}

证明让 $x个, 年 \in X（X）$ 和 $∥ 米 ∥ = {(\int_{0}^{1} {| 米 (秒) |}^{\frac{1}{τ}} d日秒)}^{τ}$ 然后针对每个 $t吨 \in [0, 1]$ ，我们有

\begin{array}{rcl} | (S公司 x个) (t吨) 负极 (S公司 年) (t吨) | & \leq & \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} | (N个 x个) (秒) 负极 N个 (年) (秒) | d日 秒 \\ + \frac{| b条 | \int_{0}^{1} {(1 负极 秒)}^{α 负极 1} | (N个 x个) (秒) 负极 N个 (年) (秒) | d日 秒}{Γ (α) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} \\ + \frac{| 一 | \int_{0}^{η} {(η 负极 秒)}^{α + γ 负极 1} | (N个 x个) (秒) 负极 N个 (年) (秒) | d日 秒}{Γ (α + γ) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} \\ \leq & \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 米 (秒) {∥ x个 负极 年 ∥}_{*} d日 秒 + \frac{| b条 | \int_{0}^{1} {(1 负极 秒)}^{α 负极 1} 米 (秒) {∥ x个 负极 年 ∥}_{*} d日 秒}{Γ (α) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} \\ + \frac{| 一 | \int_{0}^{η} {(η 负极 秒)}^{α + γ 负极 1} 米 (秒) {∥ x个 负极 年 ∥}_{*} d日 秒}{Γ (α + γ) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} . \end{array}

根据Hölder不等式，我们有

\begin{aligned} | (S公司 x个) (t吨) 负极 (S公司 年) (t吨) | \\ \leq {\frac{∥ 米 ∥ {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 τ})}^{1 负极 τ}}{Γ (α)} (1 + \frac{| b条 |}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |}) + \frac{∥ 米 ∥ | 一 | η^{α + γ 负极 τ} {(\frac{1 负极 τ}{α + γ 负极 τ})}^{1 负极 τ}}{Γ (α + γ) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |}} {∥ x个 负极 年 ∥}_{*} \\ = Δ {∥ x个 负极 年 ∥}_{*} . \end{aligned}

同样，我们有

\begin{aligned} | (^{c（c）} 天^{β} S公司 x个) (t吨) 负极 (^{c（c）} 天^{β} S公司 年) (t吨) | \\ \leq \frac{∥ 米 ∥}{Γ (2 负极 β)} (\frac{| b条 |}{Γ (α)} {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 τ})}^{1 负极 τ} + \frac{| 一 | η^{α + γ 负极 τ}}{Γ (α + γ)} {(\frac{1 负极 τ}{α + γ 负极 τ})}^{1 负极 τ}) {∥ x个 负极 年 ∥}_{*} \\ + \frac{∥ 米 ∥ {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 β 负极 τ})}^{1 负极 τ} {∥ x个 负极 年 ∥}_{*}}{Γ (α 负极 β)} \\ = Λ {∥ x个 负极 年 ∥}_{*} . \end{aligned}

从上面的不等式中，我们可以推断出

{∥ (S公司 x个) (t吨) 负极 (S公司 年) (t吨) ∥}_{*} \leq (Δ + Λ) {∥ x个 负极 年 ∥}_{*} .

根据收缩原理，我们知道问题（5）有唯一的解。□

定理4.2 假设

(1)
存在两个非-递减函数 $ρ_{1}, ρ_{2} : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 和一个函数 $米 \in {L（左）}^{\frac{1}{τ}} ([0, 1], {R（右）}^{+})$ 具有 $τ \in (0, α 负极 1)$ 这样的话
$| （f） (t吨, x个, 年) | \leq 米 (t吨) (ρ_{1} (| x个 |) + ρ_{2} (| 年 |))$

对于 $t吨 \in [0, 1]$ 和 $x个, 年 \in R（右）$ ;

(2)
存在一个常数 $Z轴 > 0$ 这样的话
$\frac{Z轴}{\frac{| c（c） | (1 + Γ (2 负极 β))}{Γ (2 负极 β) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} + ∥ 米 ∥ W公司 (ρ_{1} (Z轴) + ρ_{2} (Z轴))} > 1,$

哪里 $∥ 米 ∥ = {(\int_{0}^{1} {| 米 (秒) |}^{\frac{1}{τ}} d日秒)}^{τ}$ 和

\begin{array}{rcl} W公司 & = & \frac{1}{Γ (α)} (1 + \frac{| b条 |}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} + \frac{| b条 |}{Γ (2 负极 β) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |}) {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 τ})}^{1 负极 τ} \\ + \frac{| 一 | η^{α + γ 负极 τ}}{Γ (α + γ) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} (1 + \frac{1}{Γ (2 负极 β)}) {(\frac{1 负极 τ}{α + γ 负极 τ})}^{1 负极 τ} \\ + \frac{1}{Γ (α 负极 β)} {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 β 负极 τ})}^{1 负极 τ} . \end{array}

然后是问题(5)上至少有一个解决方案 $[0, 1]$ .

证明证明包括以下步骤。

首先，我们证明了算子 $S公司 : X（X） \to X（X）$ 将有界集映射为有界集。让 ${B类}_{第页} = {x个 \in X（X） : {∥ x个 ∥}_{*} \leq 第页}$ 是中的有界集合X（X）然后针对每个 $x个 \in {B类}_{第页}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} | S公司 x个 | & \leq & \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} | (N个 x个) (秒) | d日 秒 + \frac{(| c（c） | + | b条 | \int_{0}^{1} \frac{{(1 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} | (N个 x个) (秒) | d日 秒)}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} \\ + \frac{| 一 | \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α + γ 负极 1}}{Γ (α + γ)} | (N个 x个) (秒) | d日 秒}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} \\ \leq & \frac{ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页)}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} 米 (秒) d日 秒 + \frac{| c（c） |}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} \\ + \frac{(ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页)) (| 一 | \int_{0}^{η} \frac{{(η 负极 秒)}^{α + γ 负极 1}}{Γ (α + γ)} 米 (秒) d日 秒 + | b条 | \int_{0}^{1} \frac{{(1 负极 秒)}^{α 负极 1}}{Γ (α)} 米 (秒) d日 秒)}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} . \end{array}

通过使用Hölder不等式，我们得到了

\begin{array}{rcl} | S公司 x个 | & \leq & \frac{∥ 米 ∥ (ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页)) {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 τ})}^{1 负极 τ}}{Γ (α)} (1 + \frac{| b条 |}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |}) + \frac{| c（c） |}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} \\ + \frac{| 一 | ∥ 米 ∥ η^{α + γ 负极 τ} (ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页))}{Γ (α + γ) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} {(\frac{1 负极 τ}{α + γ 负极 τ})}^{1 负极 τ} . \end{array}

同样，我们可以得到

\begin{aligned} | (^{c（c）} 天^{β} S公司 x个) (t吨) | \\ \leq | (我^{α 负极 β} N个 x个) (t吨) | + \frac{| k个 |}{Γ (2 负极 β)} \\ \leq \frac{∥ 米 ∥ (ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页))}{Γ (α 负极 β)} {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 β 负极 τ})}^{1 负极 τ} + \frac{| b条 | ∥ 米 ∥ (ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页))}{Γ (2 负极 β) Γ (α) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 τ})}^{1 负极 τ} \\ + \frac{| 一 | ∥ 米 ∥ η^{α + γ 负极 τ} (ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页))}{Γ (2 负极 β) Γ (α + γ) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} {(\frac{1 负极 τ}{α + γ 负极 τ})}^{1 负极 τ} + \frac{| c（c） |}{Γ (2 负极 β) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} . \end{aligned}

因此，我们有

\begin{aligned} {∥ (S公司 x个) (t吨) ∥}_{*} \\ \leq \frac{∥ 米 ∥ (ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页)) {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 τ})}^{1 负极 τ}}{Γ (α)} (1 + \frac{| b条 |}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} + \frac{| b条 |}{Γ (2 负极 β) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |}) \\ + \frac{∥ 米 ∥ (ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页))}{Γ (α 负极 β)} {(\frac{1 负极 τ}{α 负极 β 负极 τ})}^{1 负极 τ} + \frac{| c（c） |}{| \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} (1 + \frac{1}{Γ (2 负极 β)}) \\ + \frac{| 一 | ∥ 米 ∥ η^{α + γ 负极 τ} (ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页))}{Γ (α + γ) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} (1 + \frac{1}{Γ (2 负极 β)}) {(\frac{1 负极 τ}{α + γ 负极 τ})}^{1 负极 τ} . \end{aligned}

也就是说，我们有

{∥ (S公司 x个) (t吨) ∥}_{*} \leq \frac{| c（c） | (1 + Γ (2 负极 β))}{Γ (2 负极 β) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} + ∥ 米 ∥ W公司 (ρ_{1} (第页) + ρ_{2} (第页)) .

其次，通过类似于定理3.2的讨论，我们可以得到

\begin{matrix} | (S公司 x个) ({t吨}_{2}) 负极 (S公司 x个) ({t吨}_{1}) | \to 0, \\ | (^{c（c）} 天^{β} S公司 x个) ({t吨}_{2}) 负极 (^{c（c）} 天^{β} S公司 x个) (t吨) ({t吨}_{1}) | \to 0 \end{matrix}

作为 ${t吨}_{2} \to {t吨}_{1}$ 。这意味着

{∥ (S公司 x个) ({t吨}_{2}) 负极 (S公司 x个) ({t吨}_{1}) ∥}_{*} \to 0 作为 {t吨}_{2} \to {t吨}_{1} .

最后，我们让 $x个 = λ S公司 x个$ 对于 $λ \in (0, 1)$ 然后针对每个 $t吨 \in [0, 1]$ ，我们有

{∥ x个 ∥}_{*} = {∥ λ S公司 x个 ∥}_{*} \leq \frac{| c（c） | (1 + Γ (2 负极 β))}{Γ (2 负极 β) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} + ∥ 米 ∥ W公司 (ρ_{1} ({∥ x个 ∥}_{*}) + ρ_{2} ({∥ x个 ∥}_{*})) .

也就是说，

\frac{{∥ x个 ∥}_{*}}{\frac{| c（c） | (1 + Γ (2 负极 β))}{Γ (2 负极 β) | \frac{一 η^{1 + γ}}{Γ (γ + 2)} + b条 |} + ∥ 米 ∥ W公司 (ρ_{1} ({∥ x个 ∥}_{*}) + ρ_{2} ({∥ x个 ∥}_{*}))} \leq 1 .

通过与定理3.3的证明类似的假设和讨论，我们可以推断出在中有一个固定点X（X）因此，完成了该定理的证明。□

5个示例

在本节中，我们给出两个示例来说明主要结果。

示例1考虑边值问题

{\begin{cases} {}^{c（c）}天^{\frac{5}{三}} x个 (t吨) = (5 {t吨}^{2} 负极 三 t吨) {电子}^{负极 {x个}^{2} (t吨)} + \frac{1}{三 π} {| x个 (t吨) |}^{\frac{1}{4}}, t吨 \in [0, 1], \\ 三 x个 (0) + \frac{1}{2} x个 (1) = 2,^{c（c）} 天^{\frac{1}{2}} x个 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{三} (^{c（c）} 天^{\frac{1}{2}} x个 (1)) = 负极 \frac{1}{三} . \end{cases}

(11)

在这里 $α = \frac{5}{三}$ , $γ = \frac{1}{2}$ , $一_{1} = 三$ , ${b条}_{1} = \frac{1}{2}$ , ${c（c）}_{1} = 2$ , $一_{2} = 1$ , ${b条}_{2} = \frac{1}{三}$ , ${c（c）}_{2} = 负极 \frac{1}{三}$ , $T型 = 1$ 和

（f） (t吨, x个) = (5 {t吨}^{2} 负极 三 t吨) {电子}^{负极 {x个}^{2} (t吨)} + \frac{1}{三 π} {| x个 (t吨) |}^{\frac{1}{4}} .

自

| （f） (t吨, x个) | \leq | 5 {t吨}^{2} 负极 三 t吨 | + \frac{1}{三 π} {| x个 |}^{\frac{1}{4}},

让 $d日 = \frac{1}{三 π}$ , $ρ = \frac{1}{4}$ 和 $米 (t吨) = | 5 {t吨}^{2} 负极三 t吨 |$ 因此，根据定理3.2，问题（11）至少有一个关于 $[0, 1]$ .

示例2考虑以下分数阶微分方程

{\begin{cases} {}^{c（c）}天^{\frac{三}{2}} x个 (t吨) = \frac{{电子}^{负极 {x个}^{2} (t吨)}}{{(5 + t吨)}^{2}} \frac{| x个 (t吨) |}{1 + | x个 (t吨) |} + \frac{|^{c（c）} 天^{\frac{三}{4}} x个 (t吨) |}{{(4 + 罪^{2} x个 (t吨))}^{2}}, t吨 \in [0, 1], \\ x个 (0) = 0, \sqrt{2} [我^{\frac{5}{2}} x个] (\frac{1}{三}) + x个 (1) = 2 . \end{cases}

(12)

在这种情况下 $α = \frac{三}{2}$ , $β = \frac{三}{4}$ , $γ = \frac{5}{2}$ , $一 = \sqrt{2}$ , $b条 = 1$ , $c（c） = 2$ , $η = \frac{1}{三}$ 和

（f） (t吨, x个,^{c（c）} 天^{\frac{三}{4}} x个) = \frac{{电子}^{负极 {x个}^{2}}}{{(5 + t吨)}^{2}} \frac{| x个 |}{1 + | x个 |} + \frac{{}^{c（c）}天^{\frac{三}{4}} x个}{{(4 + 罪^{2} x个)}^{2}} .

自

| （f） (t吨, x个,^{c（c）} 天^{\frac{三}{4}} x个) 负极 （f） (t吨, 年,^{c（c）} 天^{\frac{三}{4}} 年) | \leq \frac{1}{16} (| x个 负极 年 | + |^{c（c）} 天^{\frac{三}{4}} x个 {负极}^{c（c）} 天^{\frac{三}{4}} 年 |),

让 $τ = \frac{1}{三}$ ，我们有

Δ + Λ \approx 0.1831 < 1 .

根据定理4.1，我们知道问题（12）至少有一个解。

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收到:2013年4月21日
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出版:2013年8月22日
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具有三点边界条件的分数阶微分方程解的存在性

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1引言

2准备工作

3问题的存在性结果（4）

4问题的存在结果（5）

5个示例

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