Global existence of solutions for interval-valued integro-differential equations under generalized H-differentiability

Truong, Vinh An; Ngo, Van Hoa; Nguyen, Dinh Phu

doi:10.1186/1687-1847-2013-217

研究
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出版：2013年7月22日

广义区间值积分微分方程解的整体存在性H（H）-可微性

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：217(2013)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

在本研究中，我们考虑了广义区间值积分微分方程H（H）-可微性

{D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} G公司 (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒, X（X） ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0} \in {K（K）}_{C类} (R（右）) .

广义初值区间积分微分方程解的整体存在性H（H）-研究了可微性。给出并证明了解的整体存在性定理 $[{t吨}_{0}, \infty)$ 给出了一些例子来说明这些结果。

理学硕士：34K05、34K30、47G20。

1引言

集值微分方程和积分方程是集值分析理论的重要组成部分，在控制理论的理论和应用中发挥着重要作用；1969年，德布拉西和勒沃利诺首次对其进行了研究[1]. 近年来，集值微分方程因其在许多领域的应用而被许多科学家研究。关于集值微分方程和积分方程的基本理论，读者可以参考以下书籍和论文[2–13]以及其中的参考。积分微分方程在许多科学领域都会遇到，在这些领域需要考虑后效或延迟（例如，在控制理论、生物学、生态学、医学、，等。[14–16]). 特别是在实际中，人们总是用积分微分方程来描述一个具有遗传特性的模型。

区间值分析和区间微分方程分别是集值分析和集值微分方程的特例。在许多情况下，当建模真实世界的现象时，有关动态系统行为的信息是不确定的，人们必须考虑这些不确定性才能获得完整模型的更好含义。区间值微分方程是建立具有不确定性的动态系统模型的一种自然方法。最近，几位作者在区间值微分方程理论方面做了许多工作（参见，例如, [17–20]). 研究区间微分方程有几种方法。一种流行的方法是基于H（H）-可微性。该方法基于H（H）-导数的缺点是，它会导致解决方案的支持长度增加。最近，Stefanini和Bede[17]在区间值函数的强广义可微性条件下求解了上述方法。在这种情况下，导数是存在的，区间值微分方程的解可能具有减小的支撑长度，但唯一性丢失了。Stefanini和Bede的论文是区间值微分方程主题的起点（参见[19,20])后来也适用于模糊微分方程。此外，与本文主题相关的一个非常重要的推广和发展是在模糊集领域，即广义Hukuhara导数下的模糊微积分和模糊微分方程。最近，有几项工作，例如, [7,10,16,21–39]，对集值微分方程、模糊微分方程和随机模糊微分方程进行了研究。

在[17,19,20]作者提出了广义Hukuhara可微性下的区间值微分方程，其形式如下：

{X（X）}^{'} (t吨) = F类 (t吨, X（X） (t吨)), X（X） ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0} \in {K（K）}_{C类} (R（右）), t吨 \in [{t吨}_{0}, 吨],

(1.1)

其中′表示两种导数，即经典Hukuhara导数和第二类Hukuhara导数（广义Hukuhara可微性）。然后，在系数满足Lipschitz常数条件的假设下，得到了Cauchy问题的存在唯一性（参见[17]). 该证明基于巴拿赫不动点定理的应用。在[20]在广义Lipschitz条件下，Malinowski得到了两类IDE解的存在唯一性。

在本文中，我们研究了IIDE的两种解决方案。IIDE的不同类型的解是通过使用两个不同的区间值导数概念生成的。这一研究方向是由斯特凡尼尼和贝德的结果推动的[17]马林诺夫斯基[19,20]关于具有广义区间值导数的确定性IDE。

本文的结构如下。在第二节中，我们回顾了关于区间分析和区间值微分方程的一些基本概念和符号。在第三节中，我们给出了两类Hukuhara导数下区间值积分微分方程解的整体存在性。最后，我们在第4节中给出了IIDE的一些示例。

2准备工作

让 ${K（K）}_{C类} ({R（右）}^{n个})$ 是非空紧凸集的空间 ${R（右）}^{n个}$ 。实际间隔的集合将用表示 ${K（K）}_{C类} (R（右）)$ 。中的加法和标量乘法 ${K（K）}_{C类} (R（右）)$ ，我们照常定义，即，用于 $A类, B \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ , $A类 = [一^{-}, 一^{+}]$ , $B = [{b条}^{-}, {b条}^{+}]$ ，其中 $一^{-} \leq 一^{+}$ , ${b条}^{-} \leq {b条}^{+}$ 、和 $λ \geq 0$ ，那么我们有

A类 + B = [一^{-} + {b条}^{-}, 一^{+} + {b条}^{+}], λ A类 = [λ 一^{-}, λ 一^{+}] (- λ A类 = [λ 一^{+}, λ 一^{-}]) .

此外，让 $A类 \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ , $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, λ_{4} \in R（右）$ 和 $λ_{3}, λ_{4} \geq 0$ ，那么我们有 $λ_{1} (λ_{2} A类) = (λ_{1} λ_{2}) A类$ 和 $(λ_{3} + λ_{4}) A类 = λ_{3} A类 + λ_{4} A类$ .让 $A类, B \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 同上。然后是Hausdorff度量H（H）在里面 ${K（K）}_{C类} (R（右）)$ 定义如下：

H（H） (A类, B) = 最大 {| 一^{-} - {b条}^{-} |, | 一^{+} - {b条}^{+} |} .

(2.1)

我们注意到 $({K（K）}_{C类} (R（右）), H（H）)$ 是一个完全的、可分离的和局部紧致的度量空间。我们定义了 $A类 \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 通过

H（H） (A类, {0}) = ∥ A类 ∥ = 最大 {| 一^{-} |, | 一^{+} |}, 伦恩 (A类) = 一^{+} - 一^{-},

分别，其中 ${0}$ 是的零元素 ${K（K）}_{C类} (R（右）)$ ，这被视为一点。Hausdorff度量（2.1）满足以下属性：

\begin{matrix} H（H） (A类 + C类, B + C类) = H（H） (A类, B) 和 H（H） (A类, B) = H（H） (B, A类), \\ H（H） (A类 + B, C类 + D类) \leq H（H） (A类, C类) + H（H） (B, D类), \\ H（H） (λ A类, λ B) = | λ | H（H） (A类, B) \end{matrix}

为所有人 $A类, B, C类, D类 \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 和 $λ \in R（右）$ .让 $A类, B \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ .如果存在间隔 $C类 \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 这样的话 $A类 = B + C类$ ，然后我们打电话C类胡库哈拉差异A类和B.我们表示间隔C类通过 $A类 ⊖ B$ 。请注意 $A类 ⊖ B \neq A类 + (-) B$ 众所周知 $A类 ⊖ B$ 存在于案例中 $伦恩 (A类) \geq 伦恩 (B)$ 除此之外，我们可以看到[19,20,40,41]的以下属性 $A类, B, C类, D类 \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ :

如果 $A类 ⊖ B$ , $A类 ⊖ C类$ 存在，那么 $H（H） (A类 ⊖ B, A类 ⊖ C类) = H（H） (B, C类)$ ;
如果 $A类 ⊖ B$ , $C类 ⊖ D类$ 存在，那么 $H（H） (A类 ⊖ B, C类 ⊖ D类) = H（H） (A类 + D类, B + C类)$ ;
如果 $A类 ⊖ B$ , $A类 ⊖ (B + C类)$ 存在，然后存在 $(A类 ⊖ B) ⊖ C类$ 和 $(A类 ⊖ B) ⊖ C类 = A类 ⊖ (B + C类)$ ;
如果 $A类 ⊖ B$ , $A类 ⊖ C类$ , $C类 ⊖ B$ 存在，然后存在 $(A类 ⊖ B) ⊖ (A类 ⊖ C类)$ 和 $(A类 ⊖ B) ⊖ (A类 ⊖ C类) = C类 ⊖ B$ .

定义2.1[20]

我们说区间值映射 $X（X） : [一, b条] \subset {R（右）}^{+} \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 在这一点上是连续的 $t吨 \in [一, b条]$ 如果每个 $ϵ > 0$ 存在 $δ = δ (t吨, ϵ) > 0$ 这样，对所有人来说 $秒 \in [一, b条]$ 这样的话 $| t吨 - 秒 | < δ$ ，有一个 $H（H） (X（X） (t吨), X（X） (秒)) \leq ϵ$ .

强广义可微性被引入[17]并在[19,36–38].

定义2.2让 $X（X） : [一, b条] \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 和 $t吨 \in [一, b条]$ 我们这么说X（X）是强广义可微的t吨如果存在 ${D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 这样的话

（i）
为所有人 $小时 > 0$ 足够小， $\exists X（X） (t吨 + 小时) ⊖ X（X） (t吨)$ , $\exists X（X） (t吨) ⊖ X（X） (t吨 - 小时)$ 和限制
$\underset{小时 ↘ 0}{极限} H（H） (\frac{X（X） (t吨 + 小时) ⊖ X（X） (t吨)}{小时}, {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨)) = 0, \underset{小时 ↘ 0}{极限} H（H） (\frac{X（X） (t吨) ⊖ X（X） (t吨 - 小时)}{小时}, {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨)) = 0,$

或

（ii）
为所有人 $小时 > 0$ 足够小， $\exists X（X） (t吨) ⊖ X（X） (t吨 + 小时)$ , $\exists X（X） (t吨 - 小时) ⊖ X（X） (t吨)$ 和限制
$\underset{小时 ↘ 0}{极限} H（H） (\frac{X（X） (t吨) ⊖ X（X） (t吨 + 小时)}{- 小时}, {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨)) = 0, \underset{小时 ↘ 0}{极限} H（H） (\frac{X（X） (t吨 - 小时) ⊖ X（X） (t吨)}{- 小时}, {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨)) = 0,$

或

（iii）
为所有人 $小时 > 0$ 足够小， $\exists X（X） (t吨 + 小时) ⊖ X（X） (t吨)$ , $\exists X（X） (t吨 - 小时) ⊖ X（X） (t吨)$ 和限制
$\underset{小时 ↘ 0}{极限} H（H） (\frac{X（X） (t吨 + 小时) ⊖ X（X） (t吨)}{小时}, {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨)) = 0, \underset{小时 ↘ 0}{极限} H（H） (\frac{X（X） (t吨 - 小时) ⊖ X（X） (t吨)}{小时}, {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨)) = 0,$

或

（iv）
为所有人 $小时 > 0$ 足够小， $\exists X（X） (t吨) ⊖ X（X） (t吨 + 小时)$ , $\exists X（X） (t吨) ⊖ X（X） (t吨 - 小时)$ 和限制
$\underset{小时 ↘ 0}{极限} H（H） (\frac{X（X） (t吨) ⊖ X（X） (t吨 + 小时)}{- 小时}, {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨)) = 0, \underset{小时 ↘ 0}{极限} H（H） (\frac{X（X） (t吨) ⊖ X（X） (t吨 - 小时)}{- 小时}, {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨)) = 0$

(小时在分母处是指 $\frac{1}{小时}$ ). 在这个定义中，情形（i）（简称（i）-可微性）对应于经典的H（H）-导数，所以这个可微性概念是Hukuhara导数的推广。在[17]Stefanini和Bede考虑了衍生品的四种情况。在本文中，我们只考虑定义2.2的前两项。在其他情况下，导数是微不足道的，因为它被简化为一个清晰的元素。

备注2.1[19,41]

如果是间隔 $X（X）, Y（Y）, Z轴 \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 存在胡库哈拉差异 $X（X） ⊖ Y（Y）$ , $X（X） ⊖ Z轴$ ，然后 $H（H） (X（X） ⊖ Y（Y）, {0}) = H（H） (X（X）, Y（Y）)$ 和 $H（H） (X（X） ⊖ Y（Y）, X（X） ⊖ Z轴) = H（H） (Y（Y）, Z轴)$ .

让 $X（X）, Y（Y） : [一, b条] \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 。我们有（请参见[8])的一些性质 ${D类}_{H（H）}^{克}$ 如下：

（i）
如果X（X）是（i）-可微的，那么它是连续的。
（ii）
如果X（X）,Y（Y）是（i）-可微的和 $λ \in R（右）$ ，然后 ${D类}_{H（H）}^{克} (X（X） + Y（Y）) (t吨) = {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) + {D类}_{H（H）}^{克} Y（Y） (t吨)$ , ${D类}_{H（H）}^{克} (λ X（X）) (t吨) = λ {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨)$ .
（iii）
让X（X）是（i）-可微的，并假设 ${D类}_{H（H）}^{克} X（X）$ 是可积的 $[一, b条]$ .那么我们有 $X（X） (t吨) = X（X） (一) + {¦Β}_{一}^{t吨} {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (秒) d日秒$ .
（iv）
如果X（X）在上是（i）-可微的 $[一, b条]$ ，然后是实际函数 $t吨 \to 伦恩 (X（X） (t吨))$ 不会减少 $[一, b条]$ .
（v）
让X（X）是（ii）-可微的，并假设 ${D类}_{H（H）}^{克} X（X）$ 是可积的 $[一, b条]$ .那么我们有 $X（X） (一) = X（X） (t吨) + (- 1) {¦Β}_{一}^{t吨} {D类}_{H（H）}^{克} X（X） (秒) d日秒$ .
（vi）
如果X（X）是（ii）-可微的 $[一, b条]$ ，然后是实际函数 $t吨 \to 伦恩 (X（X） (t吨))$ 正在不增加 $[一, b条]$ .

推论2.1（请参见，例如[17,19])

让 $X（X） : [{t吨}_{0}, 吨] \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 被给予.表示 $X（X） (t吨) = [{X（X）}^{-} (t吨), {X（X）}^{+} (t吨)]$ 对于 $t吨 \in [{t吨}_{0}, 吨]$ ,哪里 ${X（X）}^{-}, {X（X）}^{+} : [{t吨}_{0}, 吨] \to R（右）$ .

（i）
如果映射 X（X） 是（i）-可微分的(我.e（电子）.,经典Hukuhara可微性)在 $t吨 \in [{t吨}_{0}, 吨]$ ,然后是真实的-有值函数 ${X（X）}^{-}$ , ${X（X）}^{+}$ 可在 t吨和 ${D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = [{({X（X）}^{-})}^{'} (t吨), {({X（X）}^{+})}^{'} (t吨)]$ .
（ii）
如果映射 X（X） 是（ii）-可微分于 $t吨 \in [{t吨}_{0}, 吨]$ ,然后是真实的-有值函数 ${X（X）}^{-}$ , ${X（X）}^{+}$ 可在 t吨和 ${D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = [{({X（X）}^{+})}^{'} (t吨), {({X（X）}^{-})}^{'} (t吨)]$ .

引理2.1（请参见[17,19,20])

间隔-值微分方程 ${D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = F类 (t吨, X（X） (t吨))$ , $X（X） ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0} \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ ,哪里 $F类 : [{t吨}_{0}, 吨] \times {K（K）}_{C类} (R（右）) \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 应该是连续的,等价于一个积分方程

X（X） (t吨) = {X（X）}_{0} + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} F类 (秒, X（X） (秒)) d日 秒, \forall t吨 \in [{t吨}_{0}, 吨]

或

{X（X）}_{0} = X（X） (t吨) + (- 1) {¦Β}_{一}^{t吨} F类 (秒, X（X） (秒)) d日 秒, \forall t吨 \in [{t吨}_{0}, 吨]

关于区间 $[{t吨}_{0}, 吨] \in R（右）$ ,在强可微条件下，（i）或（ii），分别地.我们注意到，这个引理中两个方程之间的等价性意味着任何解都是另一个方程的解.

我们在下式中考虑IIDE的Cauchy问题

{D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒, X（X） ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0}

(2.2)

为所有人 $t吨 \in [{t吨}_{0}, 吨]$ ，其中 $F类 : 我 = [{t吨}_{0}, 吨] \times {K（K）}_{C类} (R（右）) \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 和 $K（K） : D类 \times {K（K）}_{C类} (R（右）) \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 上是连续区间值映射吗我，使用 $D类 = {(t吨, 秒) \in 我 \times 我 : {t吨}_{0} \leq 秒 \leq t吨 < 吨}$ .

定义2.3映射 $X（X） : [{t吨}_{0}, 吨] \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 被称为上问题（2.2）的解决方案我当且仅当X（X）是上的连续映射我它满足以下区间值积分方程之一：

（S1） $X（X） (t吨) = {X（X）}_{0} + ({¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} F类 (秒, X（X） (秒)) d日秒 + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} K（K） (秒, 单位, X（X） (单位)) d日单位 d日秒)$ , $t吨 \in 我$ ，如果X（X）是（i）-可微或（iii）-可微分。

（S2） $X（X） (t吨) = {X（X）}_{0} ⊖ (- 1) ({¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} F类 (秒, X（X） (秒)) d日秒 + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} K（K） (秒, 单位, X（X） (单位)) d日单位 d日秒)$ , $t吨 \in 我$ ，如果X（X）是（ii）-可微的或（iv）-可微分的。

定义2.4让 $X（X） : [{t吨}_{0}, 吨] \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 是（i）-可微的区间值函数。如果X（X）它的导数满足问题（2.2），我们说X（X）是问题（2.2）的（i）-解。

定义2.5让 $X（X） : [{t吨}_{0}, 吨] \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 是（ii）-可微的区间值函数。如果X（X）它的导数满足问题（2.2），我们说X（X）是问题（2.2）的（ii）-解决方案。

定义2.6解决方案 $X（X） : [{t吨}_{0}, 吨] \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 是唯一的，如果 ${啜饮}_{t吨 \in [{t吨}_{0}, 吨]} H（H） (X（X） (t吨), Y（Y） (t吨)) = 0$ 对于任何映射 $Y（Y） : [{t吨}_{0}, 吨] \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 这是对（2.2）的解决方案 $[{t吨}_{0}, 吨]$ .

定理2.1（请参见[42])

让 $F类 : 我 = [{t吨}_{0}, 吨] \times {K（K）}_{C类} (R（右）) \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 和 $K（K） : D类 \times {K（K）}_{C类} (R（右）) \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 是连续间隔-上的值映射 我.假设存在 $L（左） > 0$ 这样的话

最大 {H（H） (F类 (t吨, {X（X）}_{1}), F类 (t吨, {X（X）}_{2})), H（H） (K（K） (t吨, 秒, {X（X）}_{1}), K（K） (t吨, 秒, {X（X）}_{2}))} \leq L（左） H（H） ({X（X）}_{1}, {X（X）}_{2})

为所有人 $t吨, 秒 \in 我$ , ${X（X）}_{1}, {X（X）}_{2} \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ .那么就存在唯一的局部解决方案 X（X） 至IIDE(2.2)在某些间隔上 $[{t吨}_{0}, 吨]$ ( $吨 \leq 吨 - {t吨}_{0}$ )针对每种情况（一）-解决方案和（ii）-解决方案)。

3主要成果

在本文的这一节中，我们再次考虑以下形式的区间值积分微分方程（IIDEs）的初值问题

{D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒, X（X） ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0}

(3.1)

为所有人 $t吨 \in J型 = [{t吨}_{0}, \infty)$ ，其中 $F类 : J型 \times {K（K）}_{C类} (R（右）) \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 和 $K（K） : D类 \times {K（K）}_{C类} (R（右）) \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 上是连续区间值映射吗J型，使用 $D类 = {(t吨, 秒) \in J型 \times J型 : {t吨}_{0} \leq 秒 \leq t吨 < \infty}$ .

定理3.1 假设

（i）
$F类 (t吨, X（X）)$ , $G公司 (t吨, 秒, X（X）)$ 都是当地的利普希茨人 $t吨, 秒 \in J型$ , $X（X） \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ ;
（ii）
$（f） \in C类 [J型 \times [0, \infty), [0, \infty)]$ 和 $k个 \in C类 [D类 \times [0, \infty), [0, \infty)]$ 在 $x个 \geq 0$ ,和最大解 $第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0})$ 标量积分的-微分方程
${x个}^{'} (t吨) = （f） (t吨, x个 (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} k个 (t吨, 秒, x个 (秒)) d日秒, x个 ({t吨}_{0}) = {x个}_{0} \geq 0,$
(3.2)

存在于整个 J型;

（iii）
$H（H） (F类 (t吨, X（X）), {0}) \leq （f） (t吨, H（H） (X（X）, {0}))$ , $H（H） (K（K） (t吨, 秒, X（X）), {0}) \leq k个 (t吨, 秒, H（H） (X（X）, {0}))$ 为所有人 $t吨, 秒 \in J型$ , $X（X） \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ ;
（iv）
$H（H） (X（X） (t吨, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0}), {0}) \leq 第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0})$ , $H（H） ({X（X）}_{0}, {0}) \leq {x个}_{0}$ .

那么任何解存在的最大区间 $X（X） (t吨, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0})$ 属于(3.1)针对每种情况（一）-解决方案和（ii）-解决方案)这样的话 $H（H） ({X（X）}_{0}, {0}) \leq {x个}_{0}$ 是 J型.此外,如果 $第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0})$ 限定于 J型,然后 ${极限}_{t吨 \to \infty} X（X） (t吨, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0})$ 存在于 $({K（K）}_{C类} (R（右）), H（H）)$ .

证明由于两种情形（（i）-解和（ii）-解）的证明方法相似，我们只证明了情形（i）–可微性。根据假设（i），存在 $吨 > {t吨}_{0}$ 问题（3.1）的唯一（i）-解决方案存在于 $[{t吨}_{0}, 吨]$ .让

S公司 = {X（X） (t吨) ∣ X（X） (t吨) 定义于 [{t吨}_{0}, α_{X（X）}] 是（3.1）的（i）-解} .

然后 $S公司 \neq \emptyset$ .采取 $α = 啜饮 {α_{X（X）} ∣ X（X） (t吨) \in S公司}$ 显然，存在一个唯一的（i）-问题（3.1）的解决方案，其定义如下 $[{t吨}_{0}, α)$ 具有 $H（H） ({X（X）}_{0}, {0}) \leq {x个}_{0}$ 接下来，我们将证明 $α = \infty$ .我们认为 $α < \infty$ 并定义

米 (t吨) = H（H） (X（X） (t吨, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0}, {0})), {t吨}_{0} \leq t吨 < α .

使用假设（ii）和（iii），我们有

\begin{aligned} {D类}_{+} 米 (t吨) & = \underset{t吨 \to + 0}{lim信息} \frac{H（H） (X（X） (t吨 + 小时, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0}), {0}) - H（H） (X（X） (t吨, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0}), {0})}{小时} \\ \leq \underset{小时 \to + 0}{lim信息} \frac{H（H） (X（X） (t吨 + 小时, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0}), X（X） (t吨, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0}))}{小时} \\ = \underset{小时 \to + 0}{lim信息} \frac{H（H） (X（X） (t吨 + 小时, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0}) ⊖ X（X） (t吨, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0}), {0})}{小时} \\ = H（H） ({D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨), {0}) = H（H） (F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒, {0}) \\ \leq H（H） (F类 (t吨, X（X） (t吨)), {0}) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} H（H） (K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)), {0}) d日 秒 \\ \leq （f） (t吨, 米 (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} k个 (t吨, 秒, 米 (秒)) d日 秒, {t吨}_{0} \leq t吨 < α, \end{aligned}

和 $米 ({t吨}_{0}) = H（H） ({X（X）}_{0}, {0}) \leq {x个}_{0}$ 此外，根据假设（iv），可以得出如下结论 $米 (t吨) \leq 第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0})$ , ${t吨}_{0} \leq t吨 < α$ 接下来，我们推断 ${极限}_{t吨 \to α - 0} X（X） (t吨, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0})$ 存在于 $({K（K）}_{C类} (R（右）), H（H）)$ 事实上，对于任何 ${t吨}_{1}$ , ${t吨}_{2}$ 这样的话 ${t吨}_{0} \leq {t吨}_{1} < {t吨}_{2} < α$ ，我们获得

\begin{aligned} H（H） (X（X） ({t吨}_{1}, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0}), X（X） ({t吨}_{2}, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0})) \\ = H（H） (\begin{array}{c} {X（X）}_{0} + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{1}} F类 (秒, X（X） (秒)) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{1}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} K（K） (秒, 单位, X（X） (单位)) d日 单位 d日 秒, \\ {X（X）}_{0} + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{2}} F类 (秒, X（X） (秒)) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{2}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} K（K） (秒, 单位, X（X） (单位)) d日 单位 d日 秒 \end{array}) \\ \leq H（H） ({¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{1}} F类 (秒, X（X） (秒)) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{1}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} K（K） (秒, 单位, X（X） (单位)) d日 单位 d日 秒, \\ {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{2}} F类 (秒, X（X） (秒)) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{2}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} K（K） (秒, 单位, X（X） (单位)) d日 单位 d日 秒) \\ \leq {¦Β}_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} H（H） (F类 (秒, X（X） (秒)), {0}) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} H（H） (K（K） (秒, 单位, X（X） (单位)), {0}) d日 单位 d日 秒 \\ \leq {¦Β}_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} （f） (秒, 第页 (秒)) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} k个 (秒, 单位, 第页 (单位)) d日 单位 d日 秒 = {¦Β}_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {第页}^{'} (秒) d日 秒 = 第页 ({t吨}_{2}) - 第页 ({t吨}_{1}) . \end{aligned}

自 ${极限}_{t吨 \to α - 0} 第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0})$ 存在且是有限的，以极限为 ${t吨}_{1}, {t吨}_{2} \to α - 0$ 并利用 $({K（K）}_{C类} (R（右）), H（H）)$ ，根据估计 $H（H） (X（X） ({t吨}_{1}, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0}), X（X） ({t吨}_{2}, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0})) \leq 第页 ({t吨}_{2}) - 第页 ({t吨}_{1})$ 那个 ${极限}_{t吨 \to α - 0} X（X） (t吨, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0})$ 存在于 $({K（K）}_{C类} (R（右）), H（H）)$ 。现在我们定义 $X（X） (α) = {极限}_{t吨 \to α - 0} X（X） (t吨)$ 并考虑IVP

{D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒, X（X） (α) = \underset{t吨 \to α - 0}{极限} X（X） (t吨) .

(3.3)

根据假设（i），可以得出如下结论 $X（X） (t吨)$ 可以扩展到α，这与我们的假设相矛盾。因此，问题（3.1）的任何（i）-解决方案都存在于 $J型 = [{t吨}_{0}, \infty)$ 等等 $α = \infty$ . □

示例3.2考虑IIDE

{D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = 一 (t吨) X（X） (t吨) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} b条 (秒) X（X） (秒) d日 秒, X（X） ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0},

(3.4)

我们假设 $一 (t吨), b条 (t吨) : {R（右）}^{+} \to {R（右）}^{+}$ 是连续函数。我们看到了 $F类 (t吨, X（X） (t吨)) = 一 (t吨) X（X） (t吨)$ 和 $K（K） (t吨, 秒, X（X） (t吨)) = b条 (t吨) X（X） (t吨)$ 是当地的Lipschitzian。如果我们允许 $（f） (t吨, x个 (t吨)) = 一 (t吨) x个 (t吨)$ 和 $k个 (t吨, 秒, x个 (t吨)) = b条 (t吨) x个 (t吨)$ ，然后 $x个 (t吨) \equiv 0$ 是的独特解决方案

{x个}^{'} (t吨) = 一 (t吨) x个 (t吨) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} b条 (秒) x个 (秒) d日 秒, x个 ({t吨}_{0}) = 0,

在 $[{t吨}_{0}, \infty)$ 此外，我们看到 $H（H） (一 (t吨) X（X） (t吨), {0}) \leq 一 (t吨) H（H） (X（X） (t吨), {0}) = （f） (t吨, H（H） (X（X） (t吨), {0}))$ 和 $H（H） (b条 (t吨) X（X） (t吨), {0}) \leq b条 (t吨) H（H） (X（X） (t吨), {0}) = k个 (t吨, 秒, H（H） (X（X） (t吨), {0}))$ 因此，问题（3.4）的解决方案 $[{t吨}_{0}, \infty)$ .

利用比较定理3.1，我们将证明以下全局存在性结果。

定理3.3 假设

（i）
$F类 \in C类 [J型 \times {K（K）}_{C类} (R（右）), {K（K）}_{C类} (R（右）)]$ , $K（K） \in C类 [D类 \times {K（K）}_{C类} (R（右）), {K（K）}_{C类} (R（右）)]$ ,F类和 K（K） 在有界集上有界,并且有一个本地（i）-的解决方案(3.1)对于每个 $({t吨}_{0}, {X（X）}_{0})$ , ${t吨}_{0} \geq 0$ 和 ${X（X）}_{0} \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ ;
（ii）
$V（V） \in C类 [J型 \times {K（K）}_{C类} (R（右）), [0, \infty)]$ ; $| V（V） (t吨, A类) - V（V） (t吨, B) | \leq L（左） H（H） (A类, B)$ ,哪里 L（左） 是局部Lipschitz常数,对于 $A类, B \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ , $t吨 \in J型$ , $V（V） (t吨, A类) \to \infty$ 作为 $H（H） (A类, {0}) \to \infty$ 统一用于 $[{t吨}_{0}, 吨]$ ,对于每个 $吨 > {t吨}_{0}$ 和用于 $t吨 \in J型$ , $A类 \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ ,
$\begin{aligned} \underset{小时 \to 0^{+}}{酸橙酱} \frac{1}{小时} [V（V） (t吨 + 小时, A类 + 小时 {F类 (t吨, A类) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, A类) d日秒}) - V（V） (t吨, A类)] \\ \leq （f） (t吨, V（V） (t吨, A类)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} k个 (t吨, 秒, V（V） (秒, A类)) d日秒, \end{aligned}$

哪里 $（f） \in C类 [J型 \times [0, \infty), R（右）]$ , $k个 \in C类 [D类 \times [0, \infty), R（右）]$ ;

（iii）
最大解 $第页 (t吨) = 第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0})$ 标量积分的-微分方程
${x个}^{'} (t吨) = （f） (t吨, x个 (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} k个 (t吨, 秒, x个 (秒)) d日秒, x个 ({t吨}_{0}) = {x个}_{0} \geq 0$
(3.5)

存在于 J型 并且在任何时候都为正 ${x个}_{0} > 0$ .

然后,对于每个 ${X（X）}_{0} \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 这样的话 $V（V） ({t吨}_{0}, {X（X）}_{0}) \leq {x个}_{0}$ ,问题(3.1)有一个（i）-解决方案 $X（X） (t吨)$ 在 $[{t吨}_{0}, \infty)$ ,这符合估计

V（V） (t吨, X（X） (t吨)) \leq 第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0}), t吨 \geq {t吨}_{0} .

(3.6)

证明让表示所有函数的集合X（X）定义于 ${J型}_{X（X）} = [{t吨}_{0}, {c（c）}_{X（X）})$ 值在中 ${K（K）}_{C类} (R（右）)$ 这样的话 $X（X） (t吨)$ 是问题（3.1）的（i）-解 ${J型}_{X（X）}$ 和 $V（V） (t吨, X（X） (t吨)) \leq 第页 (t吨)$ , $t吨 \in {J型}_{X（X）}$ .我们在上定义了偏序≤如下：关系 $X（X） \leq Y（Y）$ 意味着 ${J型}_{X（X）} \subseteq {J型}_{Y（Y）}$ 和 $Y（Y） (t吨) \equiv X（X） (t吨)$ 在 ${J型}_{X（X）}$ 。我们首先要证明非空。事实上，根据假设（i），存在一个（i）-解 $X（X） (t吨)$ 问题（3.1）的定义 ${J型}_{X（X）} = [{t吨}_{0}, {c（c）}_{X（X）})$ .让 $X（X） (t吨) = X（X） (t吨, {t吨}_{0}, {X（X）}_{0})$ 是存在于 ${J型}_{X（X）}$ .定义 $k个 (t吨) = V（V） (t吨, X（X） (t吨))$ 以便 $k个 ({t吨}_{0}) = V（V） ({t吨}_{0}, {X（X）}_{0}) \leq {x个}_{0}$ 现在，对于小型 $小时 > 0$ 利用假设（ii），我们考虑

\begin{aligned} k个 (t吨 + 小时) - k个 (t吨) \\ = V（V） (t吨 + 小时, X（X） (t吨 + 小时)) - V（V） (t吨, X（X） (t吨)) \\ \leq V（V） (t吨 + 小时, X（X） (t吨 + 小时)) + V（V） (t吨 + 小时, X（X） (t吨) + 小时 {F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒}) \\ - V（V） (t吨 + 小时, X（X） (t吨) + 小时 {F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒}) - V（V） (t吨, X（X） (t吨)) \\ \leq L（左） H（H） (X（X） (t吨 + 小时), X（X） (t吨) + 小时 {F类 (t吨, X（X） (t吨) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒)}) \\ + V（V） (t吨 + 小时, X（X） (t吨) + 小时 {F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒}) - V（V） (t吨, X（X） (t吨)) \end{aligned}

在假设（ii）中使用Lipschitz条件。因此

\begin{aligned} {D类}^{+} k个 (t吨) & \equiv \underset{小时 \to 0^{+}}{酸橙酱} \frac{1}{小时} [k个 (t吨 + 小时) - k个 (t吨)] \\ \leq {D类}^{+} V（V） (t吨, X（X） (t吨)) \\ + L（左） \underset{小时 \to 0^{+}}{酸橙酱} \frac{1}{小时} H（H） (X（X） (t吨 + 小时), X（X） (t吨) + 小时 {F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒}) . \end{aligned}

自

\begin{aligned} \frac{1}{小时} H（H） (X（X） (t吨 + 小时), X（X） (t吨) + 小时 {F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒}) \\ = H（H） (\frac{X（X） (t吨 + 小时) ⊖ X（X） (t吨)}{小时}, F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒) \end{aligned}

和 $X（X） (t吨)$ 是（3.1）的任何（i）-解，我们发现

\begin{aligned} \underset{小时 \to 0^{+}}{酸橙酱} \frac{1}{小时} H（H） (X（X） (t吨 + 小时), X（X） (t吨) + 小时 {F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒}) \\ = \underset{小时 \to 0^{+}}{酸橙酱} H（H） (\frac{X（X） (t吨 + 小时) ⊖ X（X） (t吨)}{小时}, F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒) \\ = H（H） [{D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨), F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒] = 0 . \end{aligned}

因此，我们得到了标量积分微分不等式

{D类}^{+} k个 (t吨) \leq （f） (t吨, k个 (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} k个 (t吨, 秒, x个 (秒)) d日 秒, k个 ({t吨}_{0}) \leq {x个}_{0} .

根据第2.3条[12]，我们得到了估计值

k个 (t吨) \leq 第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0}), t吨 \in 我_{X（X）} .

由此可见

V（V） (t吨, X（X） (t吨)) \leq 第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0}), t吨 \in 我_{X（X）},

(3.7)

哪里 $第页 (t吨)$ 是（3.5）的最大解。这表明 $X（X） \in S公司$ 等等非空。如果 ${({X（X）}_{β})}_{β}$ 是一条链条 $(S公司, \leq)$ ，则存在唯一定义的映射Y（Y）在 ${J型}_{Y（Y）} = [{t吨}_{0}, {啜饮}_{β} {c（c）}_{{X（X）}_{β}}]$ 这与 ${X（X）}_{β}$ 在 ${J型}_{{X（X）}_{β}}$ 显然， $Y（Y） \in S公司$ 因此Y（Y）是的上界 ${({X（X）}_{β})}_{β}$ 在里面 $(S公司, \leq)$ 。如果我们证明 ${c（c）}_{Z轴} = \infty$ 假设这不是真的，那么 ${c（c）}_{Z轴} < \infty$ .自 $第页 (t吨)$ 假设存在于 $[{t吨}_{0}, \infty)$ , $第页 (t吨)$ 限定于 ${J型}_{Z轴}$ .自 $V（V） (t吨, X（X） (t吨)) \to \infty$ 作为 $H（H） (X（X） (t吨), {0}) \to \infty$ 在中一致t吨在 $[{t吨}_{0}, {c（c）}_{Z轴}]$ ，关系 $V（V） (t吨, X（X） (t吨)) \leq 第页 (t吨)$ 在 ${J型}_{Z轴}$ 意味着 $H（H） (Z轴 (t吨), {0})$ 限定于 ${J型}_{Z轴}$ 根据假设（i），这表明存在 $M（M） > 0$ 这样的话

最大 {H（H） (F类 (t吨, X（X） (t吨)), {0}), H（H） (K（K） (t吨, 秒, X（X） (t吨)), {0})} \leq M（M）, t吨 \in {J型}_{Z轴} .

我们都有 ${t吨}_{1}, {t吨}_{2} \in {J型}_{Z轴}$ 具有 ${t吨}_{1} \leq {t吨}_{2}$ ,

\begin{aligned} H（H） (Z轴 ({t吨}_{2}), Z轴 ({t吨}_{1})) & = H（H） (\begin{array}{c} {X（X）}_{0} + ({¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{2}} F类 (秒, Z轴 (秒)) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{2}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} K（K） (秒, 单位, Z轴 (单位)) d日 单位 d日 秒), \\ {X（X）}_{0} + ({¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{1}} F类 (秒, Z轴 (秒)) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{1}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} K（K） (秒, 单位, Z轴 (单位)) d日 单位 d日 秒) \end{array}) \\ \leq {¦Β}_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} H（H） (F类 (秒, Z轴 (秒)), {0}) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} H（H） (K（K） (秒, 单位, Z轴 (单位)), {0}) d日 单位 d日 秒 \\ \leq 2 M（M） ({t吨}_{2} - {t吨}_{1}), \end{aligned}

哪里 ${t吨}_{0} \leq {t吨}_{1} < {t吨}_{2}$ 因此，Z轴Lipschitzian在吗 ${J型}_{Z轴}$ 因此有一个连续的延伸 ${Z轴}_{0}$ 在 $[{t吨}_{0}, {c（c）}_{Z轴}]$ .通过连续性 ${Z轴}_{0}$ ，我们得到

{Z轴}_{0} ({c（c）}_{Z轴}) = {X（X）}_{0} + ({¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{c（c）}_{Z轴}} F类 (秒, Z轴 (秒)) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{{c（c）}_{Z轴}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{秒} K（K） (秒, 单位, {Z轴}_{0} (单位)) d日 单位 d日 秒) .

这意味着 ${Z轴}_{0} (t吨)$ 是问题（3.1）的（i）-解决方案 $[{t吨}_{0}, {c（c）}_{Z轴}]$ 而且，很明显， $V（V） (t吨, {Z轴}_{0} (t吨)) < 第页 (t吨)$ , $t吨 \in [{t吨}_{0}, {c（c）}_{Z轴}]$ .考虑问题

{D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = F类 (t吨, X（X） (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, X（X） (秒)) d日 秒, X（X） ({t吨}_{0}) = {Z轴}_{0} ({c（c）}_{Z轴}) .

局部存在的假设意味着存在一个（i）-解 ${X（X）}_{0} (t吨)$ 在 $[{c（c）}_{Z轴}, {c（c）}_{Z轴} + δ)$ , $δ > 0$ .定义

{Z轴}_{1} (t吨) = {\begin{matrix} {Z轴}_{0} (t吨) & 的 t吨 \in [{t吨}_{0}, {c（c）}_{Z轴}], \\ {X（X）}_{0} (t吨) & 的 t吨 \in [{c（c）}_{Z轴}, {c（c）}_{Z轴} + δ] . \end{matrix}

因此 ${Z轴}_{1} (t吨)$ 是问题（3.1）的（i）-解决方案 $[{t吨}_{0}, {c（c）}_{Z轴} + δ)$ ，通过重复用于获得（3.7）的参数，我们得到 $V（V） (t吨, {Z轴}_{1} (t吨)) \leq 第页 (t吨)$ , $t吨 \in [{t吨}_{0}, {c（c）}_{Z轴} + δ)$ 这与Z轴，因此 ${c（c）}_{Z轴} = + \infty$ .证据完整。□

推论3.1 假设

（i）
$F类 \in C类 [J型 \times {K（K）}_{C类} (R（右）), {K（K）}_{C类} (R（右）)]$ , $K（K） \in C类 [D类 \times {K（K）}_{C类} (R（右）), {K（K）}_{C类} (R（右）)]$ ,F类和 K（K） 在有界集上有界,并且有一个本地（ii）-的解决方案(3.1)对于每个 $({t吨}_{0}, {X（X）}_{0})$ , ${t吨}_{0} \geq 0$ 和 ${X（X）}_{0} \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ ;
（ii）
$V（V） \in C类 [J型 \times {K（K）}_{C类} (R（右）), [0, \infty)]$ ; $| V（V） (t吨, A类) - V（V） (t吨, B) | \leq L（左） H（H） (A类, B)$ ,哪里 L（左） 是局部Lipschitz常数,对于 $A类, B \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ , $t吨 \in J型$ , $V（V） (t吨, A类) \to \infty$ 作为 $H（H） (A类, {0}) \to \infty$ 统一用于 $[{t吨}_{0}, 吨]$ ,对于每个 $吨 > {t吨}_{0}$ 和用于 $t吨 \in J型$ , $A类 \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ ,
$\begin{aligned} \underset{小时 \to 0^{+}}{酸橙酱} \frac{1}{小时} [V（V） (t吨 + 小时, A类 ⊖ (- 1) 小时 {F类 (t吨, A类) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} K（K） (t吨, 秒, A类) d日秒}) - V（V） (t吨, A类)] \\ \leq （f） (t吨, V（V） (t吨, A类)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} k个 (t吨, 秒, V（V） (秒, A类)) d日秒, \end{aligned}$

哪里 $（f） \in C类 [J型 \times [0, \infty), R（右）]$ , $k个 \in C类 [D类 \times [0, \infty), R（右）]$ ;

（iii）
最大解 $第页 (t吨) = 第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0})$ 标量积分的-微分方程
${x个}^{'} (t吨) = （f） (t吨, x个 (t吨)) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} k个 (t吨, 秒, x个 (秒)) d日秒, x个 ({t吨}_{0}) = {x个}_{0} \geq 0,$
(3.8)

存在于 J型 并且在任何时候都为正 ${x个}_{0} > 0$ .

然后,对于每个 ${X（X）}_{0} \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 这样的话 $V（V） ({t吨}_{0}, {X（X）}_{0}) \leq {x个}_{0}$ ,问题(3.1)有一个（ii）-解决方案 $X（X） (t吨)$ 在 $[{t吨}_{0}, \infty)$ ,这符合估计

V（V） (t吨, X（X） (t吨)) \leq 第页 (t吨, {t吨}_{0}, {x个}_{0}), t吨 \geq {t吨}_{0} .

(3.9)

证明通过使用定理3.3的证明中的方法，可以很容易地得到这个结果。□

4一些示例

在本节中，我们提供了一些简单说明IIDEs理论的示例。我们将分别考虑带有（i）和（ii）衍生物的IIDEs（3.1）。为了方便起见，从现在开始，我们用（i）导数表示IIDE（3.1）的解 ${X（X）}_{1}$ 和具有（ii）衍生物的溶液 ${X（X）}_{2}$ .

让我们从考虑以下区间值积分微分方程开始说明：

{D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = F类 (t吨) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} k个 (t吨, 秒) X（X） (秒) d日 秒, X（X） ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0} = [{X（X）}_{0}^{-}, {X（X）}_{0}^{+}], t吨 \in [{t吨}_{0}, 吨],

(4.1)

哪里 $F类 : [{t吨}_{0}, 吨] \to {K（K）}_{C类} (R（右）)$ 是一个区间值函数(即, $F类 (t吨) = [{F类}^{-} (t吨), {F类}^{+} (t吨)]$ ), $k个 (t吨, 秒)$ 是一个真实的已知函数，并且 ${X（X）}_{0} \in {K（K）}_{C类} (R（右）)$ .在方程式中(4.1），我们将通过定义2.2中定义的两种类型的Hukuhara导数来求解它。因此，根据可微性的类型，我们有以下两种情况。

案例1：假设 $X（X） (t吨)$ 在方程式中(4.1）是（i）-可微的。通过使用推论2.1，我们得到 ${D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = [{({X（X）}^{-} (t吨))}^{'}, {({X（X）}^{+} (t吨))}^{'}]$ 因此，我们有以下几点：

{\begin{matrix} {({X（X）}^{-} (t吨))}^{'} = {F类}^{-} (t吨) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} \underset{̲}{k个 (t吨, 秒) X（X） (秒) d日 秒}, \\ {({X（X）}^{+} (t吨))}^{'} = {F类}^{+} (t吨) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} \bar{k个 (t吨, 秒) X（X） (秒) d日 秒}, \end{matrix}

(4.2)

哪里

\underset{̲}{k个 (t吨, 秒) X（X） (秒) d日 秒} = {\begin{matrix} k个 (t吨, 秒) {X（X）}^{-} (t吨), & k个 (t吨, 秒) \geq 0, \\ k个 (t吨, 秒) {X（X）}^{+} (t吨), & k个 (t吨, 秒) < 0 \end{matrix}

和

\bar{k个 (t吨, 秒) X（X） (秒) d日 秒} = {\begin{matrix} k个 (t吨, 秒) {X（X）}^{+} (t吨), & k个 (t吨, 秒) \geq 0, \\ k个 (t吨, 秒) {X（X）}^{-} (t吨), & k个 (t吨, 秒) < 0 . \end{matrix}

从（4.2）中，我们有

{\begin{matrix} {({X（X）}^{-} (t吨))}^{'} = {F类}^{-} (t吨) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} \underset{̲}{k个 (t吨, 秒) X（X） (秒)} d日 秒, \\ {({X（X）}^{+} (t吨))}^{'} = {F类}^{+} (t吨) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} \bar{k个 (t吨, 秒) X（X） (秒)} d日 秒, \\ {X（X）}^{-} ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0}^{-}, \\ {X（X）}^{+} ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0}^{+} . \end{matrix}

（4.3）

案例2：假设 $X（X） (t吨)$ 在（4.1）中是（ii）-可微的，然后我们按照案例1进行处理。因此，（4.3）可以按照（ii）-可微性的意义重写如下：

{\begin{matrix} {({X（X）}^{+} (t吨))}^{'} = {F类}^{-} (t吨) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} \underset{̲}{k个 (t吨, 秒) X（X） (秒)} d日 秒, \\ {({X（X）}^{-} (t吨))}^{'} = {F类}^{+} (t吨) + {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} \bar{k个 (t吨, 秒) X（X） (秒)} d日 秒, \\ {X（X）}^{-} ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0}^{-}, \\ {X（X）}^{+} ({t吨}_{0}) = {X（X）}_{0}^{+} . \end{matrix}

(4.4)

示例4.1让我们考虑以下IIDE：

{D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = {¦Β}_{0}^{t吨} X（X） (秒) d日 秒, X（X） (0) = {X（X）}_{0} = [- 1, 1], t吨 \in [0, π / 2] .

(4.5)

案例1。从（4.3）中，我们得到

{\begin{matrix} {({X（X）}^{-} (t吨))}^{'} = {¦Β}_{0}^{t吨} {X（X）}^{-} (秒) d日 秒, \\ {({X（X）}^{+} (t吨))}^{'} = {¦Β}_{0}^{t吨} {X（X）}^{+} (秒) d日 秒, \\ {X（X）}^{-} (0) = - 1, \\ {X（X）}^{+} (0) = 1 . \end{matrix}

(4.6)

通过求解IDE（4.6），我们得到 ${X（X）}_{1} (t吨) = [\frac{- ({e（电子）}^{t吨} + {e（电子）}^{- t吨})}{2}, \frac{({e（电子）}^{t吨} + {e（电子）}^{- t吨})}{2}]$ ，此解决方案如图所示1.

案例2。从（4.4）中，我们得到

{\begin{matrix} {({X（X）}^{+} (t吨))}^{'} = {¦Β}_{0}^{t吨} {X（X）}^{-} (秒) d日 秒, \\ {({X（X）}^{-} (t吨))}^{'} = {¦Β}_{0}^{t吨} {X（X）}^{+} (秒) d日 秒, \\ {X（X）}^{-} (0) = - 1, \\ {x个}^{+} (0) = 1 . \end{matrix}

(4.7)

通过求解IDE（4.7），我们得到 ${X（X）}_{2} (t吨) = [- 余弦 (t吨), 余弦 (t吨)]$ ，此解决方案如图所示2.

示例4.2让我们考虑以下IIDE：

{D类}_{H（H）}^{克} X（X） (t吨) = [- 2, 2] + {¦Β}_{0}^{t吨} X（X） (秒) d日 秒, X（X） (0) = {X（X）}_{0} = [- 2, 2], t吨 \in [0, 0.5] .

(4.8)

案例1。我们获得 ${X（X）}_{1} (t吨) = [- 2 {e（电子）}^{t吨}, 2 {e（电子）}^{t吨}]$ ，此解决方案如图所示3.

案例2。我们获得 ${X（X）}_{2} (t吨) = [- 2 余弦 (t吨) + 2 罪 (t吨), 2 余弦 (t吨) - 2 罪 (t吨)]$ ，此解决方案如图所示4.

如图所示，第一类和第二类Hukuhara可微区间值解X（X）以各种方式表现，即可以这么说 $伦恩 ({X（X）}_{1} (t吨))$ 在示例中，时间不会减少（参见图1和3)和 $伦恩 ({X（X）}_{2} (t吨))$ 在示例中，时间没有增加（参见图2和4)。

5结论和进一步工作

从例4.1到例4.2，我们注意到经典Hukuhara导数（（i）-可微）下的解的值的长度增加了。事实上，我们可以从图中看到这一点1和3然而，如果我们考虑第二类Hukuhara导数（（ii）-可微），解的长度会发生变化。在第二类Hukuhara导数下，可微解的值长度不增加（见图2和4). 在[17,18]，作者引入并研究了区间值函数的新的广义可微性概念。我们的观点是，推广这一概念对区间值微分方程和区间值积分微分方程的动力学研究有很大帮助。

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致谢

作者对匿名审稿人的宝贵意见和建议表示感谢，这些意见和建议极大地改进了论文。第一位指定的作者要感谢越南胡志明市技术教育大学。

作者信息

作者和附属机构

越南胡志明市技术教育大学基础科学学院
永安庄
越南胡志明市第7区阮胡同街Ton Duc Thang大学应用数学系
Van Hoa Ngo公司
越南胡志明市越南国立大学数学与计算机科学学院
丁福阮

作者

永安庄
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关于本文

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Truong，V.A.，Ngo，V.H.&Nguyen，D.P.广义下区间值积分微分方程解的全局存在性H（H）-可微性。高级差异Equ 2013，217（2013年）。https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-217

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已接收:2013年1月10日
认可的:2013年7月8日
出版:2013年7月22日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-217