The infinite sum of the cubes of reciprocal Pell numbers

Xu, Zhefeng; Wang, Tingting

doi:10.1186/1687-1847-2013-184

研究
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出版：2013年6月26日

倒数Pell数立方体的无穷和

徐哲峰¹&
王婷婷¹

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：184(2013)引用这篇文章

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5引文
韵律学细节

摘要

给定Pell数的序列 ${{P（P）}_{n个}}$ ，我们计算和的倒数的积分部分 $\sum_{k个 = n个}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{n个}^{三}}$ 明确表示佩尔数本身。

MSC公司：11B39。

1引言

对于任何整数 $n个 \geq 0$ 著名的Pell数字 ${P（P）}_{n个}$ 由二阶线性递归序列定义 ${P（P）}_{n个 + 2} = 2 {P（P）}_{n个 + 1} + {P（P）}_{n个}$ ，其中 ${P（P）}_{0} = 0$ 和 ${P（P）}_{1} = 1$ Pell-Lucas数字 $问_{n个}$ 由定义 $问_{n个 + 2} = 2 问_{n个 + 1} + 问_{n个}$ ，其中 $问_{0} = 2$ 和 $问_{1} = 2$ .让 $α = 1 + \sqrt{2}$ 和 $β = 1 负极 \sqrt{2}$ 然后从特征方程 $x^{2} 负极 2 x 负极 1 = 0$ ，我们还有计算公式

{P（P）}_{n个} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (α^{n个} 负极 β^{n个}) 和 问_{n个} = α^{n个} + β^{n个} .

例如 ${P（P）}_{n个}$ 和 $问_{n个}$ 是 ${P（P）}_{0} = 1, {P（P）}_{1} = 2, {P（P）}_{2} = 5, {P（P）}_{三} = 12, {P（P）}_{4} = 29, \dots$ , $问_{0} = 2, 问_{1} = 2, 问_{2} = 6, 问_{三} = 14, 问_{4} = 34, 问_{5} = 82, \dots$ .

许多作者研究了Pell数和相关序列的各种性质，参见[1–6]. 例如，桑托斯和希尔斯[三]研究了q个-Pell序列得到了两个恒等式。基利克[4]研究了广义阶-k个斐波那契-贝尔序列并给出了几个同余。最近，作者[7]以及[8]研究了从佩尔数导出的无穷和，并证明了以下恒等式：

\begin{matrix} ⌊ {(\sum_{k个 = n个}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}})}^{负极 1} ⌋ = {\begin{cases} {P（P）}_{n个 负极 1} + {P（P）}_{n个 负极 2} & 如果 n个 是均匀的，并且 n个 \geq 2 ； \\ {P（P）}_{n个 负极 1} + {P（P）}_{n个 负极 2} 负极 1 & 如果 n个 很奇怪并且 n个 \geq 1, \end{cases} \\ ⌊ {(\sum_{k个 = n个}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}^{2}})}^{负极 1} ⌋ = {\begin{cases} 2 {P（P）}_{n个 负极 1} {P（P）}_{n个} 负极 1 & 如果 n个 是偶数； \\ 2 {P（P）}_{n个 负极 1} {P（P）}_{n个} & 如果 n个 是奇数， \end{cases} \end{matrix}

哪里 $⌊ x ⌋$ 是楼层函数，也就是说，它表示小于或等于的最大整数x.

一些相关作品也可以在[9]以及[10]. 尤其是在[10]，作者研究了一个与（1）没有什么不同的问题。也就是说，他们研究了 ${(\sum_{k个 = n个}^{\infty} \frac{1}{{u个}_{k个}})}^{负极 1}$ 并证明了一个有趣的结论：

∥ {(\sum_{k个 = n个}^{\infty} \frac{1}{{u个}_{k个}})}^{负极 1} ∥ = {u个}_{n个} 负极 {u个}_{n个 负极 1} 为所有人 n个 > {n个}_{0},

哪里 $∥ \cdot ∥$ 表示最接近的整数，即 $∥ x ∥ = ⌊ x + \frac{1}{2} ⌋$ , ${{u个}_{n个}}_{n个 \geq 0}$ 是满足递归公式的整数序列

{u个}_{n个} = 一 {u个}_{n个 负极 1} + {u个}_{n个 负极 2} + \dots + {u个}_{n个 负极 秒} (秒 \geq 2)

具有初始条件 ${u个}_{0} \geq 0$ , ${u个}_{k个} \in N个$ , $1 \leq k个 \leq 秒负极 1$ .

在中使用方法[10]似乎很难处理 ${(\sum_{k个 = n个}^{\infty} \frac{1}{{u个}_{k个}^{秒}})}^{负极 1}$ 对于所有整数 $秒 \geq 2$ .

本文的主要目的与

P（P） (秒, n个) \equiv ⌊ {(\sum_{k个 = n个}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}^{秒}})}^{负极 1} ⌋

(1)

对于所有整数 $秒 \geq 三$ .结束时[7]，作者询问是否存在相应的公式 $P（P） (三, n个)$ .

事实上，这个问题很难解决，因为它很不清楚先验的为了解决这个问题，我们仔细地应用了待定系数的方法，并构造了一些精细的不等式来完成证明。结果如下。

定理 对于任何正整数 $n个 \geq 1$ ,我们有身份

P（P） (三, n个) = {\begin{cases} {P（P）}_{n个}^{2} {P（P）}_{n个 负极 1} + 三 {P（P）}_{n个} {P（P）}_{n个 负极 1}^{2} + ⌊ 负极 \frac{61}{82} {P（P）}_{n个} 负极 \frac{91}{82} {P（P）}_{n个 负极 1} ⌋ & 如果 n个 是均匀的，并且 n个 \geq 2 ； \\ {P（P）}_{n个}^{2} {P（P）}_{n个 负极 1} + 三 {P（P）}_{n个} {P（P）}_{n个 负极 1}^{2} + ⌊ \frac{61}{82} {P（P）}_{n个} + \frac{91}{82} {P（P）}_{n个 负极 1} ⌋ & 如果 n个 很奇怪并且 n个 \geq 1 . \end{cases}

即使猜测公式的类似表达式是什么，这仍然是一个困难的问题 $P（P） (三, n个)$ 在定理中 $P（P） (k个, n个)$ 什么时候 $k个 \geq 4$ .

2定理证明

在本节中，我们将直接证明我们的定理。首先，我们考虑以下情况 $n个 = 2 米$ 是一个偶数。很明显，在这种情况下，我们的定理等价于

\begin{aligned} {P（P）}_{2 米}^{2} {P（P）}_{2 米 负极 1} + 三 {P（P）}_{2 米} {P（P）}_{2 米 负极 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米} + 91 {P（P）}_{2 米 负极 1}) \\ < {(\sum_{k个 = 2 米}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}^{三}})}^{负极 1} < {P（P）}_{2 米}^{2} {P（P）}_{2 米 负极 1} + 三 {P（P）}_{2 米} {P（P）}_{2 米 负极 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米} + 91 {P（P）}_{2 米 负极 1}) + \frac{1}{82} \end{aligned}

或

\begin{aligned} \frac{1}{{P（P）}_{2 米}^{2} {P（P）}_{2 米 负极 1} + 三 {P（P）}_{2 米} {P（P）}_{2 米 负极 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米} + 91 {P（P）}_{2 米 负极 1}) + \frac{1}{82}} \\ < \sum_{k个 = 2 米}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}^{三}} < \frac{1}{{P（P）}_{2 米}^{2} {P（P）}_{2 米 负极 1} + 三 {P（P）}_{2 米} {P（P）}_{2 米 负极 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米} + 91 {P（P）}_{2 米 负极 1})} . \end{aligned}

（2）

现在我们证明对于所有正整数k个，我们有不平等

\begin{aligned} \frac{1}{{P（P）}_{2 k个}^{三}} + \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{三}} < & \frac{1}{{P（P）}_{2 k个}^{2} {P（P）}_{2 k个 负极 1} + 三 {P（P）}_{2 k个} {P（P）}_{2 k个 负极 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个} + 91 {P（P）}_{2 k个 负极 1})} \\ 负极 \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 2}^{2} {P（P）}_{2 k个 + 1} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 2} {P（P）}_{2 k个 + 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个 + 2} + 91 {P（P）}_{2 k个 + 1})} . \end{aligned}

(3)

很明显，（3）适用于 $k个 = 1, 2, 三和 4$ 因此，在不失一般性的情况下，我们可以假设 $k个 \geq 5$ 。请注意 ${P（P）}_{2 k个}^{三} = \frac{1}{8} ({P（P）}_{6 k个} 负极三 {P（P）}_{2 k个})$ , ${P（P）}_{2 k个 + 1}^{三} = \frac{1}{8} ({P（P）}_{6 k个 + 三} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1})$ , ${P（P）}_{2 k个}^{三} + {P（P）}_{2 k个 + 1}^{三} = \frac{1}{8} ({P（P）}_{6 k个 + 三} + {P（P）}_{6 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极三 {P（P）}_{2 k个})$ , ${P（P）}_{2 k个}^{三} {P（P）}_{2 k个 + 1}^{三} = \frac{1}{512} (问_{12 k个 + 三} 负极 6 问_{8 k个 + 2} + 9 问_{4 k个 + 1} + 4)$ 和

{P（P）}_{2 k个}^{2} {P（P）}_{2 k个 负极 1} + 三 {P（P）}_{2 k个} {P（P）}_{2 k个 负极 1}^{2} = \frac{1}{8} ({P（P）}_{6 k个 负极 1} + 三 {P（P）}_{6 k个 负极 2} + 5 {P（P）}_{2 k个 负极 1} + 5 {P（P）}_{2 k个}),

所以不等式（3）等价于

\begin{aligned} \frac{8 ({P（P）}_{6 k个 + 三} + {P（P）}_{6 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 {P（P）}_{2 k个})}{问_{12 k个 + 三} 负极 6 问_{8 k个 + 2} + 9 问_{4 k个 + 1} + 4} \\ < \frac{378 {P（P）}_{6 k个 负极 1} + 154 {P（P）}_{6 k个 负极 2} 负极 \frac{78}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 \frac{318}{41} {P（P）}_{2 k个}}{({P（P）}_{6 k个 负极 1} + 三 {P（P）}_{6 k个 负极 2} 负极 \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个} 负极 \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个 负极 1}) ({P（P）}_{6 k个 + 5} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 4} 负极 \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2} 负极 \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1})} . \end{aligned}

(4)

从的定义和属性 ${P（P）}_{n个}$ 和 $问_{n个}$ ，我们可以很容易地推断出这些恒等式

\begin{matrix} {P（P）}_{n个} {P（P）}_{k个} = \frac{1}{8} 问_{n个 + k个} 负极 \frac{{(负极 1)}^{k个}}{8} 问_{n个 负极 k个}, n个 \geq k个, \\ 问_{n个} 问_{k个} = 问_{n个 + k个} + {(负极 1)}^{k个} 问_{n个 负极 k个}, n个 \geq k个, \\ {P（P）}_{n个} 问_{k个} = {P（P）}_{n个 + k个} + {(负极 1)}^{k个} {P（P）}_{n个 负极 k个}, n个 \geq k个 . \end{matrix}

因此，应用这些公式，我们

({P（P）}_{6 k个 负极 1} + 三 {P（P）}_{6 k个 负极 2}) ({P（P）}_{6 k个 + 5} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 4}) = \frac{1}{8} (8 问_{12 k个 + 三} + 10 问_{12 k个 + 2} 负极 2, 772)

和

\begin{aligned} ({P（P）}_{6 k个 负极 1} + 三 {P（P）}_{6 k个 负极 2} 负极 \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个} 负极 \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个 负极 1}) ({P（P）}_{6 k个 + 5} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 4} 负极 \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2} 负极 \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1}) \\ = \frac{1}{8} (8 问_{12 k个 + 三} + 10 问_{12 k个 + 2} 负极 \frac{7, 344}{41} 问_{8 k个 + 1} 负极 \frac{2, 124}{41} 问_{8 k个} 负极 \frac{30, 226, 500}{1, 681} 问_{4 k个 负极 三}) \\ 负极 \frac{1}{8} (\frac{12, 507, 840}{1, 681} 问_{4 k个 负极 4} + \frac{4, 442, 760}{1, 681}) . \end{aligned}

从这两个恒等式和（4），我们推导出不等式（3）等价于

\begin{aligned} \frac{{P（P）}_{6 k个 + 三} + {P（P）}_{6 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 {P（P）}_{2 k个}}{问_{12 k个 + 三} 负极 6 问_{8 k个 + 2} + 9 问_{4 k个 + 1} + 4} \\ < \frac{378 {P（P）}_{6 k个 负极 1} + 154 {P（P）}_{6 k个 负极 2} 负极 \frac{78}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 \frac{318}{41} {P（P）}_{2 k个}}{8 问_{12 k个 + 三} + 10 问_{12 k个 + 2} 负极 \frac{7, 344}{41} 问_{8 k个 + 1} 负极 \frac{2, 124}{41} 问_{8 k个} 负极 \frac{30, 226, 500}{1, 681} 问_{4 k个 负极 三} 负极 \frac{12, 507, 840}{1, 681} 问_{4 k个 负极 4} 负极 \frac{4, 442, 760}{1, 681}} . \end{aligned}

(5)

为了方便起见，我们

\begin{aligned} 一个 = & ({P（P）}_{6 k个 + 三} + {P（P）}_{6 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 {P（P）}_{2 k个}) \times (8 问_{12 k个 + 三} + 10 问_{12 k个 + 2} 负极 \frac{7, 344}{41} 问_{8 k个 + 1} \\ 负极 \frac{2, 124}{41} 问_{8 k个} 负极 \frac{30, 226, 500}{1, 681} 问_{4 k个 负极 三} 负极 \frac{12, 507, 840}{1, 681} 问_{4 k个 负极 4} 负极 \frac{4, 442, 760}{1, 681}) \end{aligned}

和

B类 = (问_{12 k个 + 三} 负极 6 问_{8 k个 + 2} + 9 问_{4 k个 + 1} + 4) (378 {P（P）}_{6 k个 负极 1} + 154 {P（P）}_{6 k个 负极 2} 负极 \frac{78}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 \frac{318}{41} {P（P）}_{2 k个}) .

然后通过计算得出：

\begin{aligned} 一个 = 8 ({P（P）}_{18 k个 + 6} + {P（P）}_{6 k个}) + 10 ({P（P）}_{18 k个 + 5} + {P（P）}_{6 k个 负极 1}) 负极 \frac{7, 344}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 4} + {P（P）}_{2 k个 负极 2}) \\ 负极 \frac{2, 124}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 三} + {P（P）}_{2 k个 负极 三}) 负极 \frac{30, 226, 500}{1, 681} ({P（P）}_{10 k个} 负极 {P（P）}_{2 k个 + 6}) 负极 \frac{12, 507, 840}{1, 681} ({P（P）}_{10 k个 负极 1} \\ + {P（P）}_{2 k个 + 7}) 负极 \frac{4, 442, 760}{1, 681} {P（P）}_{6 k个 + 三} + 8 ({P（P）}_{18 k个 + 三} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 三}) + 10 ({P（P）}_{18 k个 + 2} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 2}) \\ 负极 \frac{7, 344}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 1} 负极 {P（P）}_{2 k个 + 1}) 负极 \frac{2, 124}{41} ({P（P）}_{14 k个} 负极 {P（P）}_{2 k个}) 负极 \frac{30, 226, 500}{1, 681} ({P（P）}_{10 k个 负极 三} 负极 {P（P）}_{2 k个 + 三}) \\ 负极 \frac{12, 507, 840}{1, 681} ({P（P）}_{10 k个 负极 4} + {P（P）}_{2 k个 + 4}) 负极 \frac{4, 442, 760}{1, 681} {P（P）}_{6 k个} + 三 \times 8 ({P（P）}_{14 k个 + 4} + {P（P）}_{10 k个 + 2}) \\ + 三 \times 10 ({P（P）}_{14 k个 + 三} + {P（P）}_{10 k个 + 1}) 负极 \frac{7, 344 \times 三}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 2} + {P（P）}_{6 k个}) 负极 \frac{2, 124 \times 三}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 1} \\ + {P（P）}_{6 k个 负极 1}) 负极 \frac{30, 226, 500 \times 三}{1, 681} ({P（P）}_{6 k个 负极 2} + {P（P）}_{2 k个 负极 4}) 负极 \frac{12, 507, 840 \times 三}{1, 681} ({P（P）}_{6 k个 负极 三} + {P（P）}_{2 k个 负极 5}) \\ 负极 \frac{4, 442, 760}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 \times 8 ({P（P）}_{14 k个 + 三} 负极 {P（P）}_{10 k个 + 三}) 负极 三 \times 10 ({P（P）}_{14 k个 + 2} 负极 {P（P）}_{10 k个 + 2}) \\ + \frac{7, 344 \times 三}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 1} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 1}) + \frac{2, 124 \times 三}{41} ({P（P）}_{10 k个} 负极 {P（P）}_{6 k个}) + \frac{30, 226, 500 \times 三}{1, 681} ({P（P）}_{6 k个 负极 三} \\ 负极 {P（P）}_{2 k个 负极 三}) + \frac{12, 507, 840 \times 三}{1, 681} ({P（P）}_{6 k个 负极 4} 负极 {P（P）}_{2 k个 负极 4}) + \frac{4, 442, 760}{1, 681} {P（P）}_{2 k个} \\ = 154 {P（P）}_{18 k个 + 三} + 70 {P（P）}_{18 k个 + 2} 负极 \frac{95, 514}{41} {P（P）}_{14 k个 + 1} 负极 \frac{38, 910}{41} {P（P）}_{14 k个} 负极 \frac{486, 612, 540}{1, 681} {P（P）}_{10 k个 负极 三} \\ 负极 \frac{201, 554, 538}{1, 681} {P（P）}_{10 k个 负极 4} 负极 \frac{977, 366, 722}{1, 681} {P（P）}_{6 k个 负极 三} 负极 \frac{344, 423, 038}{1, 681} {P（P）}_{6 k个 负极 4} \\ 负极 \frac{285, 928, 452}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 负极 4} 负极 \frac{118, 454, 868}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 负极 5}, \\ B类 = 378 ({P（P）}_{18 k个 + 2} + {P（P）}_{6 k个 + 4}) + 154 ({P（P）}_{18 k个 + 1} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 5}) 负极 \frac{78}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 4} + {P（P）}_{10 k个 + 2}) \\ 负极 \frac{318}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 三} 负极 {P（P）}_{10 k个 + 三}) 负极 6 \times 378 ({P（P）}_{14 k个 + 1} + {P（P）}_{2 k个 + 三}) 负极 6 \times 154 ({P（P）}_{14 k个} 负极 {P（P）}_{2 k个 + 4}) \\ + \frac{78 \times 6}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 三} + {P（P）}_{6 k个 + 1}) + \frac{318 \times 6}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 2} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 2}) + 9 \times 378 ({P（P）}_{10 k个} 负极 {P（P）}_{2 k个 负极 2}) \\ + 9 \times 154 ({P（P）}_{10 k个 负极 1} 负极 {P（P）}_{2 k个 负极 三}) 负极 \frac{78 \times 9}{41} ({P（P）}_{6 k个 + 2} + {P（P）}_{2 k个}) 负极 \frac{318 \times 9}{41} ({P（P）}_{6 k个 + 1} 负极 {P（P）}_{2 k个 + 1}) \\ + 4 \times 378 {P（P）}_{6 k个 负极 1} + 4 \times 154 {P（P）}_{6 k个 负极 2} 负极 \frac{78 \times 4}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 \frac{318 \times 4}{41} {P（P）}_{2 k个} \\ = 154 {P（P）}_{18 k个 + 三} + 70 {P（P）}_{18 k个 + 2} 负极 \frac{95, 514}{41} {P（P）}_{14 k个 + 1} 负极 \frac{38, 910}{41} {P（P）}_{14 k个} + \frac{158, 064}{41} {P（P）}_{10 k个} \\ + \frac{64, 416}{41} {P（P）}_{10 k个 负极 1} + \frac{36, 496}{41} {P（P）}_{6 k个 负极 1} + \frac{14, 880}{41} {P（P）}_{6 k个 负极 2} 负极 \frac{225, 516}{41} {P（P）}_{2 k个 负极 2} 负极 \frac{92, 796}{41} {P（P）}_{2 k个 负极 三} . \end{aligned}

注意到一个和B类（高于订单 ${P（P）}_{10 k个}$ )完全一致。请注意 ${P（P）}_{n个 + 2} = 2 {P（P）}_{n个 + 1} + {P（P）}_{n个}$ ，我们有

\begin{aligned} B类 负极 一个 = & \frac{41, 028, 234}{1, 681} {P（P）}_{10 k个} + \frac{17, 049, 300}{1, 681} {P（P）}_{10 k个 负极 1} \\ + \frac{348, 025, 790}{1, 681} {P（P）}_{6 k个 负极 2} + \frac{290, 016, 982}{1, 681} {P（P）}_{6 k个 负极 三} \\ + \frac{39, 772, 560}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 负极 2} + \frac{16, 612, 800}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 负极 三} > 0 \end{aligned}

对于所有整数 $k个 \geq 1$ 因此，不等式（3）、（4）和（5）适用于所有整数 $k个 \geq 1$ .

现在，反复应用（3），我们已经

\begin{aligned} \sum_{k个 = 2 米}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}^{三}} = & \sum_{k个 = 米}^{\infty} (\frac{1}{{P（P）}_{2 k个}^{三}} + \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{三}}) \\ < & \sum_{k个 = 米}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{2 k个}^{2} {P（P）}_{2 k个 负极 1} + 三 {P（P）}_{2 k个} {P（P）}_{2 k个 负极 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个} + 91 {P（P）}_{2 k个 负极 1})} \\ 负极 \sum_{k个 = 米}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 2}^{2} {P（P）}_{2 k个 + 1} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 2} {P（P）}_{2 k个 + 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个 + 2} + 91 {P（P）}_{2 k个 + 1})} \\ = & \frac{1}{{P（P）}_{2 米}^{2} {P（P）}_{2 米 负极 1} + 三 {P（P）}_{2 米} {P（P）}_{2 米 负极 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米} + 91 {P（P）}_{2 米 负极 1})} . \end{aligned}

（6）

另一方面，我们证明了不等式

\begin{aligned} \frac{1}{{P（P）}_{2 k个}^{三}} + \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{三}} > & \frac{1}{{P（P）}_{2 k个}^{2} {P（P）}_{2 k个 负极 1} + 三 {P（P）}_{2 k个} {P（P）}_{2 k个 负极 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个} + 91 {P（P）}_{2 k个 负极 1}) + \frac{1}{82}} \\ 负极 \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 2}^{2} {P（P）}_{2 k个 + 1} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 2} {P（P）}_{2 k个 + 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个 + 2} + 91 {P（P）}_{2 k个 + 1}) + \frac{1}{82}} . \end{aligned}

(7)

这个不等式等价于

\begin{aligned} \frac{{P（P）}_{6 k个 + 三} + {P（P）}_{6 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 {P（P）}_{2 k个}}{问_{12 k个 + 三} 负极 6 问_{8 k个 + 2} + 9 问_{4 k个 + 1} + 4} \\ > \frac{378 {P（P）}_{6 k个 负极 1} + 154 {P（P）}_{6 k个 负极 2} 负极 \frac{78}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 \frac{318}{41} {P（P）}_{2 k个}}{({P（P）}_{6 k个 负极 1} + 三 {P（P）}_{6 k个 负极 2} 负极 \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个} 负极 \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个 负极 1} + \frac{4}{41}) ({P（P）}_{6 k个 + 5} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 4} 负极 \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2} 负极 \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} + \frac{4}{41})} \end{aligned}

或

\begin{aligned} \frac{4}{41} ({P（P）}_{6 k个 + 三} + {P（P）}_{6 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 {P（P）}_{2 k个}) (60 {P（P）}_{6 k个 + 1} + 40 {P（P）}_{6 k个} 负极 \frac{552}{41} {P（P）}_{2 k个} 负极 \frac{396}{41} {P（P）}_{2 k个 负极 1} + \frac{4}{41}) \\ > B类 负极 一个 \end{aligned}

或

\begin{aligned} 140 问_{12 k个 + 三} + 140 问_{12 k个 + 2} + \frac{1, 200}{41} 问_{8 k个 + 2} + \frac{5, 952}{41} 问_{8 k个 + 1} + \frac{19, 116}{41} 问_{4 k个} + \frac{9, 444}{41} 问_{4 k个 负极 1} \\ + \frac{4}{41} {P（P）}_{6 k个 + 三} + \frac{4}{41} {P（P）}_{6 k个} + \frac{12}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 \frac{12}{41} {P（P）}_{2 k个} + \frac{47, 728}{41} > \frac{41}{4} (B类 负极 一个) . \end{aligned}

(8)

很明显，不等式（8）适用于所有整数 $k个 \geq 5$ ，所以不等式（7）是正确的。现在，反复应用（7），我们已经

\begin{aligned} \sum_{k个 = 2 米}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}^{三}} = & \sum_{k个 = 米}^{\infty} (\frac{1}{{P（P）}_{2 k个}^{三}} + \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{三}}) \\ > & \frac{1}{{P（P）}_{2 米}^{2} {P（P）}_{2 米 负极 1} + 三 {P（P）}_{2 米} {P（P）}_{2 米 负极 1}^{2} 负极 \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米} + 91 {P（P）}_{2 米 负极 1}) + \frac{1}{82}} . \end{aligned}

(9)

结合（6）和（9），我们可以立即推导出不等式（2）。

现在我们考虑一下 $n个 = 2 米 + 1$ 是奇数。很明显，在这种情况下，我们的定理等价于

\begin{aligned} {P（P）}_{2 米 + 1}^{2} {P（P）}_{2 米} + 三 {P（P）}_{2 米 + 1} {P（P）}_{2 米}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米 + 1} + 91 {P（P）}_{2 米}) \\ < {(\sum_{k个 = 2 米 + 1}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}^{三}})}^{负极 1} < {P（P）}_{2 米 + 1}^{2} {P（P）}_{2 米} + 三 {P（P）}_{2 米 + 1} {P（P）}_{2 米}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米 + 1} + 91 {P（P）}_{2 米}) + \frac{1}{82} \end{aligned}

或

\begin{aligned} \frac{1}{{P（P）}_{2 米 + 1}^{2} {P（P）}_{2 米} + 三 {P（P）}_{2 米 + 1} {P（P）}_{2 米}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米 + 1} + 91 {P（P）}_{2 米}) + \frac{1}{82}} \\ < \sum_{k个 = 2 米 + 1}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}^{三}} < \frac{1}{{P（P）}_{2 米 + 1}^{2} {P（P）}_{2 米} + 三 {P（P）}_{2 米 + 1} {P（P）}_{2 米}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米 + 1} + 91 {P（P）}_{2 米})} . \end{aligned}

(10)

首先我们证明不等式

\begin{aligned} \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{三}} + \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 2}^{三}} < & \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{2} {P（P）}_{2 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} {P（P）}_{2 k个}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个 + 1} + 91 {P（P）}_{2 k个})} \\ 负极 \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{2} {P（P）}_{2 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} {P（P）}_{2 k个}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个 + 1} + 91 {P（P）}_{2 k个})} . \end{aligned}

(11)

很容易检查不等式（11）是否正确 $k个 = 1, 2 和三$ 因此，我们可以假设 $k个 \geq 4$ 。请注意 ${P（P）}_{2 k个 + 1}^{三} = \frac{1}{8} ({P（P）}_{6 k个 + 三} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1})$ , ${P（P）}_{2 k个 + 2}^{三} = \frac{1}{8} ({P（P）}_{6 k个 + 6} 负极三 {P（P）}_{2 k个 + 2})$ , ${P（P）}_{2 k个 + 1}^{三} + {P（P）}_{2 k个 + 2}^{三} = \frac{1}{8} ({P（P）}_{6 k个 + 6} + {P（P）}_{6 k个 + 三} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极三 {P（P）}_{2 k个 + 2})$ , ${P（P）}_{2 k个 + 1}^{三} {P（P）}_{2 k个 + 2}^{三} = \frac{1}{512} (问_{12 k个 + 9} + 6 问_{8 k个 + 6} + 9 问_{4 k个 + 三} 负极 4)$ , ${P（P）}_{2 k个 + 1}^{2} {P（P）}_{2 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} {P（P）}_{2 k个}^{2} = \frac{1}{8} ({P（P）}_{6 k个 + 2} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 1} 负极 5 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 5 {P（P）}_{2 k个})$ ，所以不等式（11）等价于不等式

\begin{aligned} \frac{{P（P）}_{6 k个 + 6} + {P（P）}_{6 k个 + 三} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 {P（P）}_{2 k个 + 2}}{问_{12 k个 + 9} + 6 问_{8 k个 + 6} + 9 问_{4 k个 + 三} 负极 4} \\ < \frac{378 {P（P）}_{6 k个 + 2} + 154 {P（P）}_{6 k个 + 1} + \frac{78}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2} + \frac{318}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1}}{({P（P）}_{6 k个 + 2} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 1} + \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} + \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个}) ({P（P）}_{6 k个 + 8} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 7} + \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个 + 三} + \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2})} . \end{aligned}

(12)

根据Pell-Lucas数的定义和性质，我们得到

({P（P）}_{6 k个 + 2} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 1}) ({P（P）}_{6 k个 + 8} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 7}) = (8 问_{12 k个 + 9} + 10 问_{12 k个 + 8} + 2, 772) / 8

和

\begin{aligned} ({P（P）}_{6 k个 + 2} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 1} + \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} + \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个}) ({P（P）}_{6 k个 + 8} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 7} + \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个 + 三} + \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2}) \\ = \frac{1}{8} (8 问_{12 k个 + 9} + 10 问_{12 k个 + 8} + \frac{7, 344}{41} 问_{8 k个 + 5} + \frac{2, 124}{41} 问_{8 k个 + 4} 负极 \frac{31, 844, 565}{1, 681} 问_{4 k个 负极 1} \\ 负极 \frac{13, 186, 923}{1, 681} 问_{4 k个 负极 2} + \frac{4, 442, 760}{1, 681}) . \end{aligned}

通过这两个恒等式和（12），我们推导出不等式（11）等价于

\begin{aligned} \frac{{P（P）}_{6 k个 + 6} + {P（P）}_{6 k个 + 三} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 {P（P）}_{2 k个 + 2}}{问_{12 k个 + 9} + 6 问_{8 k个 + 6} + 9 问_{4 k个 + 三} 负极 4} \\ < \frac{378 {P（P）}_{6 k个 + 2} + 154 {P（P）}_{6 k个 + 1} + \frac{78}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2} + \frac{318}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1}}{8 问_{12 k个 + 9} + 10 问_{12 k个 + 8} + \frac{7, 344}{41} 问_{8 k个 + 5} + \frac{2, 124}{41} 问_{8 k个 + 4} 负极 \frac{31, 844, 565}{1, 681} 问_{4 k个 负极 1} 负极 \frac{13, 186, 923}{1, 681} 问_{4 k个 负极 2} + \frac{4, 442, 760}{1, 681}} . \end{aligned}

(13)

为了方便起见，我们

\begin{aligned} {一个}^{'} = & (8 问_{12 k个 + 9} + 10 问_{12 k个 + 8} + \frac{7, 344}{41} 问_{8 k个 + 5} + \frac{2, 124}{41} 问_{8 k个 + 4} 负极 \frac{31, 844, 565}{1, 681} 问_{4 k个 负极 1} \\ 负极 \frac{13, 186, 923}{1, 681} 问_{4 k个 负极 2} + \frac{4, 442, 760}{1, 681}) \times ({P（P）}_{6 k个 + 6} + {P（P）}_{6 k个 + 三} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 {P（P）}_{2 k个 + 2}) \end{aligned}

和 ${B类}^{'} = (问_{12 k个 + 9} + 6 问_{8 k个 + 6} + 9 问_{4 k个 + 三} 负极 4) (378 {P（P）}_{6 k个 + 2} + 154 {P（P）}_{6 k个 + 1} + \frac{78}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2} + \frac{318}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1})$ .那么我们有

\begin{aligned} {一个}^{'} = 8 ({P（P）}_{18 k个 + 15} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 三}) + 10 ({P（P）}_{18 k个 + 14} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 2}) + \frac{7, 344}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 11} 负极 {P（P）}_{2 k个 负极 1}) \\ + \frac{2, 124}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 10} 负极 {P（P）}_{2 k个 负极 2}) 负极 \frac{31, 844, 565}{1, 681} ({P（P）}_{10 k个 + 5} 负极 {P（P）}_{2 k个 + 7}) 负极 \frac{13, 186, 923}{1, 681} ({P（P）}_{10 k个 + 4} \\ + {P（P）}_{2 k个 + 8}) + \frac{4, 442, 760}{1, 681} {P（P）}_{6 k个 + 6} + 8 ({P（P）}_{18 k个 + 12} + {P（P）}_{6 k个 + 6}) + 10 ({P（P）}_{18 k个 + 11} + {P（P）}_{6 k个 + 5}) \\ + \frac{7, 344}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 8} + {P（P）}_{2 k个 + 2}) + \frac{2, 124}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 7} + {P（P）}_{2 k个 + 1}) 负极 \frac{31, 844, 565}{1, 681} ({P（P）}_{10 k个 + 2} 负极 {P（P）}_{2 k个 + 4}) \\ 负极 \frac{13, 186, 923}{1, 681} ({P（P）}_{10 k个 + 1} + {P（P）}_{2 k个 + 5}) + \frac{4, 442, 760}{1, 681} {P（P）}_{6 k个 + 三} + 三 \times 8 ({P（P）}_{14 k个 + 10} + {P（P）}_{10 k个 + 8}) \\ + 三 \times 10 ({P（P）}_{14 k个 + 9} + {P（P）}_{10 k个 + 7}) + \frac{7, 344 \times 三}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 6} + {P（P）}_{6 k个 + 4}) + \frac{2, 124 \times 三}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 5} \\ + {P（P）}_{6 k个 + 三}) 负极 \frac{31, 844, 565 \times 三}{1, 681} ({P（P）}_{6 k个} + {P（P）}_{2 k个 负极 2}) 负极 \frac{13, 186, 923 \times 三}{1, 681} ({P（P）}_{6 k个 负极 1} + {P（P）}_{2 k个 负极 三}) \\ + \frac{4, 442, 760 \times 三}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 \times 8 ({P（P）}_{14 k个 + 11} 负极 {P（P）}_{10 k个 + 7}) 负极 三 \times 10 ({P（P）}_{14 k个 + 10} 负极 {P（P）}_{10 k个 + 6}) \\ 负极 \frac{7, 344 \times 三}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 7} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 三}) 负极 \frac{2, 124 \times 三}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 6} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 2}) + \frac{31, 844, 565 \times 三}{1, 681} ({P（P）}_{6 k个 + 1} \\ 负极 {P（P）}_{2 k个 负极 三}) + \frac{13, 186, 923 \times 三}{1, 681} ({P（P）}_{6 k个} 负极 {P（P）}_{2 k个 负极 4}) 负极 \frac{4, 442, 760 \times 三}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 + 2} \\ = 154 {P（P）}_{18 k个 + 12} + 70 {P（P）}_{18 k个 + 11} + \frac{95, 514}{41} {P（P）}_{14 k个 + 8} + \frac{38, 910}{41} {P（P）}_{14 k个 + 7} 负极 \frac{506, 756, 250}{1, 681} {P（P）}_{10 k个 + 2} \\ 负极 \frac{209, 906, 976}{1, 681} {P（P）}_{10 k个 + 1} + \frac{983, 915, 086}{1, 681} {P（P）}_{6 k个} \\ + \frac{407, 692, 984}{1, 681} {P（P）}_{6 k个 负极 1} 负极 \frac{771, 966, 210}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 负极 三} \\ 负极 \frac{304, 496, 118}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 负极 4}, \\ {B类}^{'} = 378 ({P（P）}_{18 k个 + 11} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 7}) + 154 ({P（P）}_{18 k个 + 10} + {P（P）}_{6 k个 + 8}) + \frac{78}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 11} 负极 {P（P）}_{10 k个 + 7}) \\ + \frac{318}{41} ({P（P）}_{14 k个 + 10} + {P（P）}_{10 k个 + 8}) + 6 \times 378 ({P（P）}_{14 k个 + 8} 负极 {P（P）}_{2 k个 + 4}) + 924 ({P（P）}_{14 k个 + 7} + {P（P）}_{2 k个 + 5}) \\ + \frac{468}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 8} 负极 {P（P）}_{6 k个 + 4}) + \frac{1, 908}{41} ({P（P）}_{10 k个 + 7} + {P（P）}_{6 k个 + 5}) + 9 \times 378 ({P（P）}_{10 k个 + 5} 负极 {P（P）}_{2 k个 负极 1}) \\ + 1, 386 ({P（P）}_{10 k个 + 4} 负极 {P（P）}_{2 k个 负极 2}) + \frac{702}{41} ({P（P）}_{6 k个 + 5} 负极 {P（P）}_{2 k个 + 1}) + \frac{318 \times 9}{41} ({P（P）}_{6 k个 + 4} + {P（P）}_{2 k个 + 2}) \\ 负极 4 \times 378 {P（P）}_{6 k个 + 2} 负极 4 \times 154 {P（P）}_{6 k个 + 1} 负极 \frac{78 \times 4}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2} 负极 \frac{318 \times 4}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} \\ = 154 {P（P）}_{18 k个 + 12} + 70 {P（P）}_{18 k个 + 11} + \frac{95, 514}{41} {P（P）}_{14 k个 + 8} + \frac{38, 910}{41} {P（P）}_{14 k个 + 7} + \frac{158, 064}{41} {P（P）}_{10 k个 + 5} \\ + \frac{64, 416}{41} {P（P）}_{10 k个 + 4} 负极 \frac{36, 496}{41} {P（P）}_{6 k个 + 2} 负极 \frac{14, 880}{41} {P（P）}_{6 k个 + 1} 负极 \frac{225, 516}{41} {P（P）}_{2 k个 负极 1} 负极 \frac{92, 796}{41} {P（P）}_{2 k个 负极 2} . \end{aligned}

请注意 ${P（P）}_{n个 + 2} = 2 {P（P）}_{n个 + 1} + {P（P）}_{n个}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} {B类}^{'} 负极 {一个}^{'} & = & \frac{597, 729, 018}{1, 681} {P（P）}_{10 k个 + 2} + \frac{247, 592, 208}{1, 681} {P（P）}_{10 k个 + 1} 负极 \frac{992, 616, 926}{1, 681} {P（P）}_{6 k个} \\ 负极 \frac{411, 295, 736}{1, 681} {P（P）}_{6 k个 负极 1} + \frac{718, 126, 158}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 负极 三} + \frac{282, 199, 170}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 负极 4} \\ = & (\frac{三, 483, 829, 506}{1, 681} {P（P）}_{10 k个} 负极 \frac{992, 616, 926}{1, 681} {P（P）}_{6 k个}) + (\frac{1, 443, 050, 244}{1, 681} {P（P）}_{10 k个 负极 1} \\ 负极 \frac{411, 295, 736}{1, 681} {P（P）}_{6 k个 负极 1}) + \frac{718, 126, 158}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 负极 三} + \frac{282, 199, 170}{1, 681} {P（P）}_{2 k个 负极 4} > 0 \end{array}

对于所有整数 $k个 \geq 4$ 因此，不等式（11）、（12）和（13）适用于所有整数 $k个 \geq 4$ .

现在，反复应用（11），我们已经

\begin{aligned} \sum_{k个 = 2 米 + 1}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}^{三}} = & \sum_{k个 = 米}^{\infty} (\frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{三}} + \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 2}^{三}}) \\ < & \sum_{k个 = 米}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{2} {P（P）}_{2 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} {P（P）}_{2 k个}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个 + 1} + 91 {P（P）}_{2 k个})} \\ 负极 \sum_{k个 = 米}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 三}^{2} {P（P）}_{2 k个 + 2} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 三} {P（P）}_{2 k个 + 2}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个 + 三} + 91 {P（P）}_{2 k个 + 2})} . \end{aligned}

(14)

另一方面，我们证明了不等式

\begin{aligned} \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{三}} + \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 2}^{三}} > & \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{2} {P（P）}_{2 k个} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} {P（P）}_{2 k个}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个 + 1} + 91 {P（P）}_{2 k个}) + \frac{1}{82}} \\ 负极 \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 三}^{2} {P（P）}_{2 k个 + 2} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 三} {P（P）}_{2 k个 + 2}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 k个 + 三} + 91 {P（P）}_{2 k个 + 2}) + \frac{1}{82}} . \end{aligned}

(15)

很容易检查不等式（15）是否正确 $k个 = 1, 2 和三$ 。所以，我们可以假设 $k个 \geq 4$ 这一次，不等式（15）等价于

\begin{aligned} \frac{{P（P）}_{6 k个 + 6} + {P（P）}_{6 k个 + 三} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 {P（P）}_{2 k个 + 2}}{问_{12 k个 + 9} + 6 问_{8 k个 + 6} + 9 问_{4 k个 + 三} 负极 4} \\ > \frac{378 {P（P）}_{6 k个 + 2} + 154 {P（P）}_{6 k个 + 1} + \frac{78}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2} + \frac{318}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1}}{({P（P）}_{6 k个 + 2} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 1} + \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} + \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个} + \frac{4}{41}) ({P（P）}_{6 k个 + 8} + 三 {P（P）}_{6 k个 + 7} + \frac{39}{41} {P（P）}_{2 k个 + 三} + \frac{159}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2} + \frac{4}{41})} \end{aligned}

或

\begin{aligned} \frac{4}{41} ({P（P）}_{6 k个 + 6} + {P（P）}_{6 k个 + 三} + 三 {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 三 {P（P）}_{2 k个 + 2}) (60 {P（P）}_{6 k个 + 4} + 40 {P（P）}_{6 k个 + 三} + \frac{552}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} + \frac{396}{41} {P（P）}_{2 k个} + \frac{4}{41}) \\ > {B类}^{'} 负极 {一个}^{'} \end{aligned}

或

\begin{aligned} 140 问_{12 k个 + 9} + 140 问_{12 k个 + 8} 负极 \frac{17, 904}{41} 问_{8 k个 + 4} 负极 \frac{8, 352}{41} 问_{8 k个 + 三} + \frac{19, 116}{41} 问_{4 k个 + 2} + \frac{9, 444}{41} 问_{4 k个 + 1} \\ + \frac{4}{41} {P（P）}_{6 k个 + 6} + \frac{4}{41} {P（P）}_{6 k个 + 三} + \frac{12}{41} {P（P）}_{2 k个 + 1} 负极 \frac{12}{41} {P（P）}_{2 k个 + 2} + \frac{21, 152}{41} > \frac{41}{4} ({B类}^{'} 负极 {一个}^{'}) . \end{aligned}

(16)

很明显，不等式（16）适用于所有整数 $k个 \geq 4$ ，所以不等式（15）是正确的。现在，反复应用（15），我们已经

\begin{aligned} \sum_{k个 = 2 米 + 1}^{\infty} \frac{1}{{P（P）}_{k个}^{三}} = & \sum_{k个 = 米}^{\infty} (\frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 1}^{三}} + \frac{1}{{P（P）}_{2 k个 + 2}^{三}}) \\ > & \frac{1}{{P（P）}_{2 米 + 1}^{2} {P（P）}_{2 米} + 三 {P（P）}_{2 米 + 1} {P（P）}_{2 米}^{2} + \frac{1}{82} (61 {P（P）}_{2 米 + 1} + 91 {P（P）}_{2 米}) + \frac{1}{82}} . \end{aligned}

(17)

结合（14）和（17），我们可以立即推导出不等式（10）。

现在我们的定理来自不等式（2）和（10）。这就完成了我们定理的证明。

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鸣谢

作者对裁判的帮助和详细评论表示感谢。这项工作得到了中华人民共和国国家科学基金会（11001211071194）、中华人民共和国高教博士项目研究基金（20106101120001）和西北大学国际合作基金会（YZZ12065）的支持。

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作者和附属机构

西北大学数学系，中国陕西省西安市
徐哲峰和王婷婷

作者

徐哲峰
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Xu，Z.，Wang，T.倒数Pell数的立方体的无穷和。高级差异Equ 2013, 184 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-184

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收到:2013年5月17日
认可的:2013年6月4日
出版:2013年6月26日
DOI程序:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-184