Numerical solution of a stochastic population growth model in a closed system

Khodabin, Morteza; Maleknejad, Khosrow; Asgari, Mahnaz

doi:10.1186/1687-1847-2013-130

研究
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出版：2013年5月6日

封闭系统中随机人口增长模型的数值解

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：130(2013)引用这篇文章

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7引文
韵律学细节

摘要

本文介绍了一个封闭系统中的随机人口模型。该模型是一个非线性随机积分微分方程。首先，我们解决了这个问题通过随机的θ-方法。然后利用伯恩斯坦多项式和配点法求解。该方法将积分微分方程简化为非线性代数方程组。结果证明了该方法的适用性和准确性。

1引言

生命和科学中的一些现象，特别是在力学、工程以及自最近以来在金融中，都被发现依赖于随机激励。因此，描述和研究这些现象的当前趋势似乎很自然地侧重于使用随机数学模型，而不是确定性模型。

记住，在许多情况下，随机激励是高斯白噪声型的，它在数学上被描述为布朗运动的形式导数，所有这些现象都在数学上建模，本质上由复杂的随机微分或积分微分方程表示。在数学文献中，人们考虑了许多人口模型，从用离散随机变量表示人口规模的确定性和随机人口模型，到非常复杂的连续随机模型[1——三].

本文讨论了毒素对生活在封闭系统中的人群累积影响的数学模型[4]. 我们得到了它的一个随机模型。然后我们应用数值方法来解决这个问题。首先，我们将其转换为一个随机微分方程，并用随机θ-方法。然后我们将问题转化为随机积分方程（SIE），并引入伯恩斯坦多项式来求解SIE。

伯恩斯坦多项式是可微可积的分段多项式。近年来，这些多项式被用于求解微分方程和积分方程[5——8]. 我们使用它们来求解封闭系统中人口增长模型中出现的非线性随机积分微分方程（SIDE）。利用伯恩斯坦多项式及其导数和配点法，将SIDE转化为非线性代数方程。

在第2节中，我们回顾了封闭系统中的确定性种群增长。第三节介绍了封闭系统中的随机人口增长。第四节利用随机性解决了这个问题θ-方法。在第5节中，我们引入了Bernstein多项式，并将SIDE转换为非线性代数系统。最后，第6节给出了结论。

2准备工作

定义2.1（布朗运动过程）

一个实值随机过程 $B类 (t吨)$ , $t吨 \in [0, T型]$ 称为布朗运动，如果它满足以下性质

（i）
该过程具有独立的增量 $0 \leq {t吨}_{0} \leq {t吨}_{1} \leq \dots \leq {t吨}_{n个} \leq T型$ ,
（ii）
为所有人 $t吨 \geq 0$ , $小时 > 0$ , $B类 (t吨 + 小时) 负极 B类 (t吨)$ 平均值为0且方差为正态分布小时,
（iii）
功能 $t吨 ⟶ B类 (t吨)$ 为连续a.s。

定义2.2假设 $0 \leq 秒 \leq T型$ ，让 $D类 = D类 (秒, T型)$ 是函数类

（f） (t吨, ω) : [0, \infty] \times Ω \to R（右）

满足

（i）
功能 $(t吨, ω) \to （f） (t吨, ω)$ 是 $β \times Ϝ$ 可测量，其中βBorel代数在上吗 $[0, \infty)$ 和Ϝ是σ-Ω上的代数。
（ii）
（f）适应 $Ϝ_{t吨}$ ，其中 $Ϝ_{t吨}$ 是σ-随机变量生成的代数 $B类 (秒)$ ； $秒 \leq t吨$ 而改编意味着（f）取决于 $B类 (秒)$ ； $秒 \leq t吨$ .
（iii）
$电子 [\int_{秒}^{T型} （f） {(t吨, ω)}^{2} 天 t吨] < \infty$ .

定义2.3（Itóintegral）

让 $（f） \in D类 (秒, T型)$ ，然后是的Itó积分（f）由定义

\int_{秒}^{T型} （f） (t吨, ω) 天 B类 (t吨) (w个) = \underset{n个 \to \infty}{林} \int_{秒}^{T型} ϕ_{n个} (t吨, ω) 天 B类 (t吨) (ω),

哪里， ${ϕ_{n个}}$ 是一系列基本函数

电子 [\int_{秒}^{T型} {(（f） 负极 ϕ)}^{2} 天 t吨] \to 0 美国 n个 \to \infty .

请参见[9].

引理2.1 让 $（f） (t吨)$ 是一个有规律的适应过程，概率为1 $\int_{0}^{T型} {（f）}^{2} (t吨) 天 t吨 < \infty$ .然后是Itô积分 $\int_{0}^{T型} （f） (t吨) 天 B类 (t吨)$ 定义并可近似为

\sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} （f） ({t吨}_{我}) (B类 ({t吨}_{我 + 1}) 负极 B类 ({t吨}_{我})) 为所有人 ω,

哪里, ${{t吨}_{我}}$ 是的分区 $[0, T型]$ 具有 $δ_{n个} = 最大值 ({t吨}_{我 + 1} 负极 {t吨}_{我}) \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ .

证明请参见[10]. □

3封闭系统中的决定性人口增长

这种种群规模的一个可能模型是平衡标准逻辑增长与毒素积累效应的模型，毒素的积累对种群规模有害。该模型可以用以下Volterra积分方程进行数学表达[11]:

\frac{天 u个}{天 \tilde{t吨}} = 一 u个 负极 b {u个}^{2} 负极 c（c） u个 \int_{0}^{\tilde{t吨}} u个 (秒) 天 秒, u个 (0) = {u个}_{0},

哪里 $一 > 0$ 是出生率系数， $b > 0$ 是拥挤系数，最后一项包含表示“总代谢”或自时间零点以来产生的毒素总量的积分。由于该系统是封闭的，从长远来看，毒素的存在总是会导致种群水平降至零。已经提出了几种分析和数值方法来求解经典的人口增长模型[12——14].

在引入随机模型之前，我们通过使用无量纲变量应用尺度时间和人口 $t吨 = \frac{c（c）}{b} \tilde{t吨}$ 并定义 $x = \frac{b}{一} u个$ 并通过定义 $k个 = \frac{一 b}{c（c）}$ ，我们获得

\frac{天 x (t吨)}{天 t吨} = k个 x (t吨) (1 负极 x (t吨) 负极 \int_{0}^{t吨} x (秒) 天 秒), x (0) = x_{0} .

(1)

该模型为一阶积分微分方程。在[11]，作者考虑了两个案例 $k个 = \frac{一 b}{c（c）}$ 小型和 $k个 = \frac{一 b}{c（c）}$ 大型。他为这个案子证明了这一点 $k个 ≫ 1$ 在人口对毒素的敏感性较弱的地区，logistic曲线会迅速上升，达到峰值，然后缓慢指数衰减。对于小k，那里的人群对毒素非常敏感，溶液与 $秒^{2} (t吨)$ .

4封闭系统中的随机人口增长

在随机形式中，系数k个不是完全确定的，取决于一些随机的环境影响。我们可以用一个平均值加上一个随机函数项来代替这个系数

k个 = 第页 + 错误,

或

k个 = 第页 + α W公司 (t吨),

哪里 $W公司 (t吨) = \frac{天 B类 (t吨)}{天 t吨}$ 是一维白噪声过程 $B类 (t吨)$ 是一维布朗运动α是表示噪声强度的非随机系数t吨因此，（1）的随机形式如下所示

\frac{天 x (t吨)}{天 t吨} = (第页 + α \frac{天 B类 (t吨)}{天 t吨}) x (t吨) (1 负极 x (t吨) 负极 \int_{0}^{t吨} x (秒) 天 秒), t吨 \geq 0,

因此，我们可以写

天 x (t吨) = 第页 x (t吨) (1 负极 x (t吨) 负极 \int_{0}^{t吨} x (秒) 天 秒) 天 t吨 + α x (t吨) (1 负极 x (t吨) 负极 \int_{0}^{t吨} x (秒) 天 秒) 天 B类 (t吨), t吨 \geq 0,

(2)

具有 $x (0) = x_{0}$ 、和 $B类 = {B类 (t吨), t吨 \geq 0}$ 是定义在概率空间上的标准布朗运动 ${Ω, Ϝ, {Ϝ_{t吨}}_{t吨 \geq 0}, P（P）}$ 带过滤器 ${Ϝ_{t吨}}_{t吨 \geq 0}$ 这是连续的。

5 SIDE的数值解

要找到等式的解(2)，我们可以将其写为

天 x (t吨) = （f） (t吨, x (t吨)) 天 t吨 + 克 (t吨, x (t吨)) 天 B类 (t吨),

(3)

具有

（f） (t吨, x (t吨)) = 第页 x (t吨) (1 负极 x (t吨) 负极 \int_{0}^{t吨} x (秒) 天 秒)

(4)

和

克 (t吨, x (t吨)) = α x (t吨) (1 负极 x (t吨) 负极 \int_{0}^{t吨} x (秒) 天 秒) .

（5）

通过使用随机θ-方法，我们得到

x_{n个 + 1} = x_{n个} + 小时 [(1 负极 θ) （f） ({t吨}_{n个}, x_{n个}) + θ （f） ({t吨}_{n个 + 1}, x_{n个 + 1})] + 克 ({t吨}_{n个}, x_{n个}) Δ {B类}_{n个},

（6）

哪里 $Δ {B类}_{n个} = B类 ({t吨}_{n个}) 负极 B类 ({t吨}_{n个负极 1})$ , $小时 = {t吨}_{n个} 负极 {t吨}_{n个负极 1}$ .在这里 $x_{n个}$ 表示的数值近似值 $x ({t吨}_{n个})$ 此外，我们使用以下近似值计算积分项：

\int_{0}^{{t吨}_{n个}} x (秒) 天 秒 ≃ \frac{小时}{2} (x_{0} + 2 \sum_{j个 = 0}^{n个 负极 1} x_{j个} + x_{n个}) .

(7)

通过将（4）、（5）和（7）代入（6），模型转换为 $x_{n个 + 1}$ 可以用二次方程求解。

结果如图所示1和2具有 $θ = 0.5$ .

6伯恩斯坦多项式和函数逼近

伯恩斯坦多项式的一般形式n个间隔上的th度 $[一, b]$ 由定义

β_{我, n个} (t吨) = (\binom{n个}{我}) \frac{{(t吨 负极 一)}^{我} {(b 负极 t吨)}^{n个 负极 我}}{{(b 负极 一)}^{n个}}, 一 \leq t吨 \leq b, 我 = 0, 1, \dots, n个 .

(8)

请注意，每个 $(n个 + 1)$ 多项式有度n个并满足以下属性

（i）
$β_{我, n个} (t吨) = 0$ 如果 $我 < 0$ 或 $我 > n个$ .
（ii）
$\sum_{0}^{n个} β_{我, n个} (t吨) = 1$ .
（iii）
$β_{我, n个} (一) = β_{我, n个} (b) = 0$ , $1 \leq 我 \leq n个负极 1$ .

Bernestein近似 $（f） : [0, 1] \to R（右）$ 由提供

β_{n个} (（f） (t吨)) = \sum_{我 = 0}^{n个} (\binom{n个}{我}) （f） (\frac{我}{n个}) {t吨}^{我} {(1 负极 t吨)}^{n个 负极 我} = \sum_{我 = 0}^{n个} {c（c）}_{我} β_{我, n个},

(9)

哪里

β_{我, n个} = (\binom{n个}{我}) {t吨}^{我} {(1 负极 t吨)}^{n个 负极 我} .

定理6.1 适用于所有功能 （f） 在里面 $C类 [0, 1]$ ,顺序 ${β_{n个} (（f）) ； n个 = 1, 2, \dots}$ 一致收敛于 （f）.

证明请参见[15]. □

Bernestein近似的许多显著特性之一是 $β_{n个} (（f）)$ 任何阶收敛到相应的导数（f）[16].

如果 $（f） \in {C类}_{k个} [0, 1]$ 对于任何 $k个 \geq 0$ ，然后

\underset{n个 \to \infty}{林} {(β_{n个} (（f）))}^{(k个)} = {（f）}^{(k个)} 一致开启 [0, 1] .

7基于伯恩斯坦多项式的数值方法

在本节中，使用Bernstein多项式基来求解方程的积分形式(2)作为

\begin{aligned} x (t吨) = x_{0} + 第页 \int_{0}^{t吨} [x (秒) (1 负极 x (秒) 负极 \int_{0}^{秒} x (z) 天 z)] 天 秒 \\ + α \int_{0}^{t吨} [x (秒) (1 负极 x (秒) 负极 \int_{0}^{秒} x (z) 天 z)] 天 B类 (秒), \\ t吨 \geq 0 . \end{aligned}

(10)

让

年 (t吨) = \int_{0}^{t吨} x (秒) 天 秒,

(11)

然后

\frac{天 年 (t吨)}{天 t吨} = x (t吨), 年 (0) = 0 .

(12)

为了近似求解，将（11）和（12）替换为（10），并将其重写为

\begin{aligned} 年^{'} (t吨) = & x_{0} + 第页 \int_{0}^{t吨} [年^{'} (秒) 负极 {(年^{'} (秒))}^{2} 负极 年^{'} (秒) 年 (秒)] 天 秒 \\ + α \int_{0}^{t吨} [年^{'} (秒) 负极 {(年^{'} (秒))}^{2} 负极 年^{'} (秒) 年 (秒)] 天 B类 (秒) . \end{aligned}

(13)

功能 $年 (t吨)$ 可以近似如下：

年 (t吨) = \sum_{我 = 0}^{n个} {c（c）}_{我} β_{我, n个} = {C类}^{T型} Φ (t吨), n个 \geq 1, 0 \leq t吨 \leq 1,

(14)

哪里，C类和 $Φ (t吨)$ 是 $(n个 + 1) \times 1$ 向量由

C类 = {[{c（c）}_{0}, {c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{n个}]}^{T型}, Φ (t吨) = {[β_{0, n个}, \dots, β_{n个, n个}]}^{T型},

所以，我们可以写

\frac{天 年 (t吨)}{天 t吨} = {C类}^{T型} \frac{天 Φ (t吨)}{天 t吨} .

(15)

将（14）和（15）代入（13），我们得到

\begin{aligned} {C类}^{T型} Φ^{'} (t吨) = & x_{0} + 第页 \int_{0}^{t吨} [{C类}^{T型} Φ^{'} (秒) 负极 {({C类}^{T型} Φ^{'} (秒))}^{2} 负极 ({C类}^{T型} Φ^{'} (秒)) ({C类}^{T型} Φ (秒))] 天 秒 \\ + α \int_{0}^{t吨} [{C类}^{T型} Φ^{'} (秒) 负极 {({C类}^{T型} Φ^{'} (秒))}^{2} 负极 ({C类}^{T型} Φ^{'} (秒)) ({C类}^{T型} Φ (秒))] 天 B类 (秒) . \end{aligned}

(16)

搭配法 ${t吨}_{j个} = \frac{2 j个负极 1}{2 (n个 + 1)}$ , $j个 = 1, \dots, n个 + 1$ ，用于确定未知向量C类如下：

\begin{aligned} {C类}^{T型} Φ^{'} ({t吨}_{j个}) = x_{0} + 第页 \int_{0}^{{t吨}_{j个}} [{C类}^{T型} Φ^{'} (秒) 负极 {({C类}^{T型} Φ^{'} (秒))}^{2} 负极 ({C类}^{T型} Φ^{'} (秒)) ({C类}^{T型} Φ (秒))] 天 秒 \\ + α \int_{0}^{{t吨}_{j个}} [{C类}^{T型} Φ^{'} (秒) 负极 {({C类}^{T型} Φ^{'} (秒))}^{2} 负极 ({C类}^{T型} Φ^{'} (秒)) ({C类}^{T型} Φ (秒))] 天 B类 (秒), \\ j个 = 1, \dots, n个 + 1 . \end{aligned}

(17)

我们使用引理2.1计算Itó积分。通过求解非线性系统（17），我们找到了未知系数。然后我们得到近似解 $年 (t吨)$ 和 $x (t吨)$ .

这些图显示了随机产生的数值解的结果θ-方法 $θ = 0.5$ 伯恩斯坦近似 $n个 = 12$ 对于两种情况第页结果表明，沿logistic曲线快速上升，然后快速指数衰减至零第页.

它们还说明了确定性模型和随机模型的数值解之间的比较。

8结论

本文提出了一个封闭系统中种群增长的随机模型。我们用两种数值方法求解非线性积分微分方程，结果如图所示1-4。对于大值第页，该问题变得非常棘手，并且需要数值方法中非常小的步骤。在这种情况下，实现伯恩斯坦配置方法是可行的，该方法有效且易于使用。

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作者信息

作者和附属机构

伊朗卡拉杰伊斯兰阿扎德大学卡拉杰分校数学系
莫特扎·科达宾（Morteza Khodabin）、科斯罗·马列内贾德（Khosrow Maleknejad）和马哈纳斯·阿斯加里（Mahnaz Asgari）

作者

莫特扎·科达宾
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科斯洛·马列克内贾德
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马哈兹·阿斯加里
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通讯作者

与的通信莫特扎·科达宾.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者都对本文中的工作做出了广泛贡献。

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关于本文

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Khodabin，M.，Maleknejad，K.&Asgari，M.封闭系统中随机人口增长模型的数值解。高级差异Equ 2013，130（2013年）。https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-130

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收到:2012年5月18日
认可的:2013年4月17日
出版:2013年5月6日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-130