Nonstandard finite difference schemes for a fractional-order Brusselator system

Ongun, Mevlüde Yakıt; Arslan, Damla; Garrappa, Roberto

doi:10.1186/1687-1847-2013-102

研究
开放式访问
出版：2013年4月12日

分数阶Brusselator系统的非标准差分格式

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：102(2013)引用这篇文章

8550访问
24引文
韵律学细节

摘要

本文讨论分数阶问题的数值方法。提出并研究了一些非标准差分格式。本文介绍了它在分数阶布鲁塞尔系统仿真中的应用。通过一些数值实验，我们证明了该方法的有效性。

1引言

近年来，分数阶微积分在工程、化学、金融、物理、地震学等领域有着广泛的应用，因而得到了越来越广泛的应用。

虽然关于非整数阶导数的讨论几乎可以追溯到整数阶微分学经典理论的发展，但直到十九世纪末，人们才意识到利用分数阶微积分的强大功能可以取得巨大的进步；通过分数阶微分方程（FDE），确实可以自然地描述具有记忆效应的真实现象和表现出异常扩散的系统[1].

出版了一些完全致力于分数微积分的基础书籍（这里我们只引用奥尔德姆和斯巴纳的著作[2]桑科、基尔巴斯和马里切夫[三]、米勒和罗斯[4]，波德鲁布尼[5]、迪瑟姆[6]和Mainardi[7])在传播这一主题方面先后发挥了相当大的作用。各种新书[8–13]也已出版，以说明FDE的应用及其解决方法。

在大多数情况下，FDE的解不存在于有限数量的初等函数中；因此，为了通过差分格式或其他替代方法实际评估近似解，设计数值方法是至关重要的(例如，请参阅[14–19]).

FDE数值处理的一个主要困难是存在长记忆和持久记忆，这与分数阶导数算子的非局部性质有关。从实用的角度来看，存储并考虑解决方案的所有历史记录通常是一项要求很高的任务。

在存在非线性的情况下，每当采用隐式格式处理稳定性问题时，由于需要在每一步求解一些非线性代数系统，这些困难都会被放大。

引入了非标准有限差分（NSFD）格式[20,21]目的是避免全隐式格式，这种格式计算量很大，但同时保留了解的一些主要物理性质，例如正性、单调性或收敛到稳定的稳态。

这项工作的中心目标是在分数阶问题的背景下应用NSFD方案，并研究它们在复制真实解的一些主要特性方面的潜力[22–25]. 特别是，本文利用一些特别设计的NSFD格式对分数阶布鲁塞尔振子系统进行了数值模拟；分析了系统的稳定性，并表明所提出的NSFD方法能够在数值解中保持稳定性。

论文组织如下。在第2节中，我们简要回顾了分数导数和FDE的主要定义，并介绍了NSFD方法。第三节讨论了将NSFD格式应用于分数阶问题的主要问题。在第四节中，我们分析了分数阶布鲁塞尔振子系统的稳定性，并提出了一些适用于该系统的NSFD。通过一些数值模拟，在第5节中，我们展示了所提方案的稳定性保持特性，并将结果与经典方法的结果进行了比较。最后，第6节给出了一些结论。

2序言和注释

在这一节中，给出了分数阶微积分理论中的一些基本定义和性质；此外，我们还介绍了非标准离散化方法的主要方面。

2.1分数导数和FDE

分数阶导数有几种引入方式。Riemann-Liouville（RL）阶微分算子 $α > 0$ 定义为

{}_{RL公司}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) 选择 {D类}^{米} {J型}_{{t吨}_{0}}^{米 负极 α} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (米 负极 α)} \frac{{d日}^{米}}{d日 {t吨}^{米}} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{米 负极 α 负极 1} （f） (秒) d日 秒,

哪里 $Γ (\cdot)$ 是Euler伽马函数， $米 = ⌈ α ⌉$ 是这样的最小整数 $米 > α$ 和 ${D类}^{米}$ 和 ${d日}^{米} / d日 {t吨}^{米}$ 表示整数阶的标准导数。

尽管从历史的角度来看它很重要（RL方法是第一个引入分数导数的定义），但它在实际应用中往往用处不大；实际上，当在FDE中使用时，它允许将方程与初始条件耦合，初始条件表示为分数积分的极限，如

{\begin{cases} {}_{RL公司}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α} 年 (t吨) = （f） (t吨, 年 (t吨)), \\ {}_{RL公司}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α 负极 k个} 年 ({t吨}_{0}) = {b条}_{k个}, k个 = 1, \dots, 米 负极 1, \\ 林_{t吨 \to {t吨}_{0}^{+}} {J型}_{{t吨}_{0}}^{米 负极 α} 年 (t吨) = {b条}_{米}, \end{cases}

它没有明确的物理意义。

为了克服这些困难，Caputo（C）阶微分算子的替代方法 $α > 0$ 已根据

{}_{C}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) 选择 {J型}_{{t吨}_{0}}^{米 负极 α} {D类}^{米} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (米 负极 α)} {¦Β}_{{t吨}_{0}}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{米 负极 α 负极 1} \frac{{d日}^{米}}{d日 {t吨}^{米}} （f） (秒) d日 秒 .

上述定义的主要优点是，当用于FDE时，可以将方程与经典的Cauchy型初始条件耦合，从而获得标准形式的初值问题

{\begin{cases} {}_{C}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) = （f） (t吨, 年 (t吨)), \\ {D类}^{k个} 年 ({t吨}_{0}) = 年_{0, k个}, k个 = 0, \dots, 米 负极 1 . \end{cases}

(1)

值得注意的是，这两个定义通过关系密切相关

{}_{C}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) =_{RL公司} {D类}_{{t吨}_{0}}^{α} (（f） (t吨) 负极 {T型}_{米 负极 1} [（f） ； {t吨}_{0}]),

其中，对于函数（f）假设在 ${t吨}_{0}$ , ${T型}_{米负极 1} [（f）； {t吨}_{0}]$ 是 $(米负极 1)$ 的次泰勒多项式（f）居中于 ${t吨}_{0}$

{T型}_{米 负极 1} [（f） ； {t吨}_{0}] (t吨) = \sum_{k个 = 0}^{米 负极 1} \frac{{t吨}^{k个}}{k个!} {（f）}^{(k个)} ({t吨}_{0}) .

什么时候？ $0 < α < 1$ ，因此 $米 = 1$ 和 ${T型}_{0} [（f）； {t吨}_{0}] (t吨) = （f） ({t吨}_{0})$ ，我们只是

{}_{C}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) =_{RL公司} {D类}_{{t吨}_{0}}^{α} (（f） (t吨) 负极 （f） ({t吨}_{0})) .

另一种方法是Grünwald-Letnikov（GL）算子，定义为

{}_{德国劳埃德船级社}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) = \underset{N个 \to \infty}{林} {小时}_{N个}^{负极 α} \sum_{j个 = 0}^{N个} {w个}_{j个}^{(α)} （f） (t吨 负极 j个 {小时}_{N个}), {小时}_{N个} = \frac{t吨 负极 {t吨}_{0}}{N个},

（2）

其中重量 ${w个}_{j个}^{(α)}$ 是幂级数展开式中的系数 ${(1 负极 ξ)}^{α}$ ,即,

{(1 负极 ξ)}^{α} = \sum_{j个 = 0}^{\infty} {w个}_{j个}^{(α)} ξ^{j个}, {w个}_{j个}^{(α)} = {(负极 1)}^{j个} (\binom{α}{j个}) = \frac{Γ (j个 负极 α)}{Γ (负极 α) Γ (j个 + 1)}

并且，从实用的角度来看，可以通过以下递归方式对其进行递归评估：

{w个}_{0}^{(α)} = 1, {w个}_{j个}^{(α)} = (1 负极 \frac{1 + α}{j个}) {w个}_{j个 负极 1}, j个 = 1, 2, \dots .

（3）

在适当的规律性假设下，RL和GL操作符一致，即,

{}_{RL公司}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) =_{德国劳埃德船级社} {D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) .

因此，也可以通过公式在C和GL操作符之间建立关系

{}_{C}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) =_{德国劳埃德船级社} {D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) (（f） (t吨) 负极 {T型}_{米 负极 1} [（f） ； {t吨}_{0}]),

(4)

其中，对于 $0 < α < 1$ ，成为

{}_{C}{D类}_{{t吨}_{0}}^{α} （f） (t吨) =_{德国劳埃德船级社} {D类}_{{t吨}_{0}}^{α} (（f） (t吨) 负极 （f） ({t吨}_{0})) .

(5)

结合（4）或（5）使用的GL算子为使用Caputo算子数值求解FDE提供了一种实用而方便的方法。通过截断（2）中的总和，可以将问题（1）的解近似为

\sum_{j个 = 0}^{N个} {w个}_{j个}^{(α)} (年 (t吨 负极 j个 {小时}_{N个}) 负极 年_{0}) = {小时}_{N个}^{α} （f） (t吨, 年 (t吨)) .

(6)

这种方法在文献中得到了广泛的研究(例如，请参阅[18,26])由（6）得到的数值解收敛于1阶真解 ${小时}_{N个} \to 0$ 方法（6）将构成下一节设计NSFD方法的基础。

我们介绍以下关于GL离散化方案（6）权重的结果，稍后将使用。

引理1 让 $0 < α < 1$ 和 ${w个}_{n个}^{(α)}$ GL运算符中的系数.那么对于任何 $n个 = 1, 2, \dots$

1
$负极 1 < {w个}_{n个}^{(α)} < 0$ ,
2
$0 < {w个}_{n个}^{(α 负极 1)} < 1$ .

证明证明是（3）中所述递归关系的直接结果。□

2.2非标准离散化

NSFD方案首先由Mickens提出[20,21]对于ODE或PDE，先后在多个领域对其使用进行了研究（例如，请参见[27–31]).

为了描述NSFD方案的主要方面，我们考虑以下形式的ODE

\frac{d日 年}{d日 t吨} = （f） (t吨, 年, λ),

(7)

哪里λ可能是向量参数。给定网格 ${t吨}_{n个} = {t吨}_{0} + 小时 n个$ ，为了简单起见，我们假设步长相等 $小时 > 0$ ，NSFD格式由以下两个主要步骤构造：（1）将（7）左侧的导数替换为以下形式的离散表示

\frac{d日 年}{d日 t吨} \approx \frac{年_{n个} 负极 年_{n个 负极 1}}{ϕ (小时, λ)},

(8)

哪里 $年_{n个}$ 是近似值 $年 ({t吨}_{n个})$ ; （2）将（7）中的非线性项替换为非局部离散表示 $F类 (t吨, 年_{n个}, 年_{n个负极 1}, \dots, λ)$ 取决于之前的一些近似值。因此，生成的方案为

\frac{年_{n个} 负极 年_{n个 负极 1}}{ϕ (小时, λ)} = F类 (t吨, 年_{n个}, 年_{n个 负极 1}, \dots, λ) .

(9)

左侧的离散导数是一阶导数的经典离散表示的推广，通过使用 $ϕ (小时, λ) = 小时$ .分母函数 $ϕ (小时, λ)$ 是步长的函数小时并且必须满足一致性条件

ϕ (小时, λ) = 小时 + O（运行） ({小时}^{2}), 小时 \to 0,

(10)

以确保（8）中的离散表示收敛到相应的连续导数 $小时 \to 0$ 分母函数实现（10）的示例如下小时, $罪 (小时)$ , $1 负极 {e（电子）}^{负极小时}$ , $(1 负极 {e（电子）}^{负极 λ 小时}) / λ$ 等等。

然而，除了满足一致性条件（10）之外，还有其他一些选择合适分母函数的标准。主要目标是实现所谓的动态一致性离散模型（9）的解必须满足对原始连续模型（7）特别重要的一些性质(例如、积极性、单调性、不动点等）。

为了更好地描述这个问题，我们考虑线性问题 $（f） (t吨, 年, λ) = 负极 λ 年$ 众所周知，单调收敛于稳态 $年 = 0$ 无论何时 $λ > 0$ 经典显式Euler格式，通过 $ϕ (小时, λ) = 小时$ 和 $F类 (年_{n个}, 年_{n个负极 1}, \dots, λ) = 负极 λ 年_{n个负极 1}$ 不保持单调收敛到0，除非小时足够小。相反，很容易验证非标准分母函数的使用

ϕ (小时, λ) = \frac{1 负极 {e（电子）}^{负极 小时 λ}}{λ}

确保任何价值的小时.

根据不动点的知识选择分母函数是很常见的（f）.对于更一般的具有固定点的问题 ${\tilde{年}}_{ℓ}$ , $ℓ = 1, 2, \dots, L（左）$ ，因此 $（f） (t吨, {\tilde{年}}_{ℓ}, λ) = 0$ ，表示后

{R（右）}_{ℓ} = \frac{d日 （f）}{d日 年} |_{年 = {\tilde{年}}_{ℓ}}

分母函数ϕ可以选择为

ϕ (小时, R（右）) = \frac{1 负极 {e（电子）}^{负极 R（右） 小时}}{R（右）}, R（右） = \underset{ℓ = 1, \dots, L（左）}{最大值} | {R（右）}_{ℓ} |

以确保离散模型的稳态保持与原始连续模型相同的稳定性。

对于右手边的非线性项，几种非局部离散表示 $F类 (t吨, 年_{n个}, 年_{n个负极 1}, \dots, λ)$ 可以根据调查问题的性质提出。例如，可能的替换示例如下

\begin{matrix} 年^{2} \to 年_{n个 负极 1} 年_{n个}, 年_{n个 负极 1} \frac{年_{n个 负极 2} + 年_{n个}}{2}, 年_{n个 负极 1} 年_{n个 + 1}, \\ 年^{三} \to (\frac{年_{n个 负极 1} + 年_{n个}}{2}) 年_{n个 负极 1}^{2}, 年_{n个 负极 1}^{2} 年_{n个}, 年_{n个 负极 2} 年_{n个 负极 1} 年_{n个}, \frac{年_{n个 负极 2}^{2} 年_{n个}^{2}}{年_{n个 负极 1}} . \end{matrix}

3分数阶微分方程的NSFD

将NSFD格式用于分数阶问题是一个相当新的课题，文献中的贡献很少[32–34]. 为了将NSFD方案应用于FDE，我们必须考虑分数阶系统的一些特性。虽然向量场的非局部离散表示 $（f） (t吨, 年 (t吨))$ 我们必须注意到，由于分数阶导数算子的非局部性质，导数的离散表示必须考虑到（6）中解的所有历史。因此，（9）对应的FDE具有顺序 $0 < α < 1$ 必须写在表格中

\frac{1}{ϕ (小时, λ)} \sum_{j个 = 0}^{n个} {w个}_{j个}^{(α)} (年_{n个 负极 j个} 负极 年_{0}) = F类 (t吨, 年_{n个}, 年_{n个 负极 1}, \dots, λ)

(11)

当GL离散化（6）被用作NSFD格式构造的基础方法时。

一致性条件（10）不再确保（11）中分数导数的离散表示收敛到其连续定义。在（2）的基础上，修改了一致性条件

ϕ (小时, λ) = {小时}^{α} + O（运行） ({小时}^{第页}), 第页 > α, 小时 \to 0,

(12)

因此必须假设。此类分母函数的一些示例如下

\begin{matrix} {小时}^{α}, \frac{罪 ({小时}^{α} λ)}{λ}, {(\frac{罪 (小时 λ)}{λ})}^{α}, \frac{1 负极 {e（电子）}^{负极 {小时}^{α} λ}}{λ}, \\ {(\frac{1 负极 {e（电子）}^{负极 小时 λ}}{λ})}^{α}, Γ (α + 1) \frac{{E类}_{α} (负极 {小时}^{α} λ) 负极 1}{λ}, \end{matrix}

哪里 $Γ (\cdot)$ 和 ${E类}_{α} (\cdot)$ 伽马-欧拉函数和Mittag-Lefler函数分别定义为

Γ (z（z）) = {¦Β}_{0}^{\infty} {e（电子）}^{负极 t吨} {t吨}^{z（z） 负极 1} d日 t吨, {E类}_{α} (z（z）) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{z（z）}^{k个}}{Γ (α k个 + 1)} .

虽然上述所有函数都满足一致性条件（12），但并非所有函数都保持（6）的一阶收敛性。事实上，必须立即注意到，为了实现这一进一步的目标，必须第页（12）满足 $第页 \geq 1 + α$ 。由于列出的大多数函数都不满足这一要求，很明显，收敛顺序会下降，可能会降低到α，何时 $0 < α < 1$ ，而不是1。

尽管收敛顺序有所下降，但其中一些分母函数对于克服稳定性问题是有用的。为此，在这种情况下，让我们考虑线性测试 $（f） (t吨, 年, λ) = 负极 λ 年$ 与表（11）中的显式GL方案一起使用 $F类 (t吨, 年_{n个}, 年_{n个负极 1}, \dots, λ) = 负极 λ 年_{n个负极 1}$ 。通过遵循类似于中进行的分析[35]，我们很容易看出，为了获得稳定的行为，我们必须要求分母函数满足

0 < ϕ (小时, λ) < \frac{2^{α}}{λ} .

（13）

在上面列出的各种分母函数中，我们将考虑以下两个

ϕ_{1} (小时, λ) = \frac{1 负极 {e（电子）}^{负极 {小时}^{α} λ}}{λ}, ϕ_{2} (小时, λ) = {(\frac{1 负极 {e（电子）}^{负极 小时 λ}}{λ})}^{α} .

它们都满足一致性条件（12），但只是 $ϕ_{2} (小时, λ)$ 保持收敛阶为1，因为 $ϕ_{2} (小时, λ) = {小时}^{α} 负极 \frac{α λ}{2} {小时}^{1 + α} + \dots$ . 此外，虽然 $ϕ_{2} (小时, λ)$ 满足以下任意值小时稳定性要求（13）仅当λ大小适中，功能 $ϕ_{1} (小时, λ)$ 在任何情况下都能满足（13）。因此， $ϕ_{1} (小时, λ)$ 预计将更好地保持稳定性，而 $ϕ_{2} (小时, λ)$ 似乎更适合实现更高的精度。

4分数阶布鲁塞尔模型：稳定性分析和NSFD方案

分数阶布鲁塞尔函数[36]是自动催化化学反应的模型，其数学描述如下：

{\begin{cases} {}_{C}{D类}_{0, t吨}^{α} x个 (t吨) = 一 负极 (μ + 1) x个 (t吨) + x个 {(t吨)}^{2} 年 (t吨), \\ {}_{C}{D类}_{0, t吨}^{α} 年 (t吨) = μ x个 (t吨) 负极 x个 {(t吨)}^{2} 年 (t吨), \end{cases}

(14)

哪里 $x个 (t吨)$ , $年 (t吨)$ 是激活剂和抑制剂变量一,μ是外部参数（它们之间的关系决定了系统动力学）[37].

为了研究这个模型的动力学，我们考虑了它的平衡点。让 $克 (x个, 年) = 一负极 (μ + 1) x个 (t吨) + x个 {(t吨)}^{2} 年 (t吨)$ 和 $小时 (x个, 年) = μ x个 (t吨) 负极 x个 {(t吨)}^{2} 年 (t吨)$ ; 平衡点E类（14）的解

克 ({x个}_{等式}, 年_{等式}) = 0 和 小时 ({x个}_{等式}, 年_{等式}) = 0,

(15)

可以很容易地确定为 $E类 = (一, \frac{μ}{一})$ 下面的结果可以总结出这个平衡点的动力学[38].

定理2 存在边际值 $α_{0}$ 这样平衡 E类 是局部渐近稳定的，如果 $α < α_{0}$ 如果 $α > α_{0}$ .

证明如果所有特征值都满足，则稳态是局部渐近稳定的λ雅可比矩阵的

J型 = [\begin{array}{cc} \partial 克 / \partial x个 & \partial 克 / \partial 年 \\ \partial 小时 / \partial x个 & \partial 小时 / \partial 年 \end{array}]

在平衡点评估满足以下条件[39,40]

| 参数 (λ) | > \frac{α π}{2} .

特征值λ可以通过求解特征方程来确定 $det（探测） (J型 (E类) 负极 λ 我) = 0$ 由于系统（14）在平衡点处的雅可比矩阵为

J型 (E类) = [\begin{array}{cc} μ 负极 1 & 一^{2} \\ 负极 μ & 负极 一^{2} \end{array}]

的特征值 $J型 (E类)$ 是

λ_{1, 2} = \frac{1}{2} [信托收据 J型 \pm \sqrt{{信托收据}^{2} J型 负极 4 det（探测） J型}],

哪里 $信托收据 J型 = μ 负极 1 负极一^{2}$ 和 $det（探测） J型 = 一^{2}$ .

对于 $0 < α < 2$ 考虑抛物线 ${信托收据}^{2} J型负极 4 det（探测） J型 = 0$ 并引入边际值 $α_{0} = \frac{2}{π} | 参数 (λ_{我}) |$ , $我 = 1, 2$ .何时 $α < α_{0}$ 系统具有振荡但稳定的模态；什么时候 $α > α_{0}$ 出现了不稳定和更复杂的动力学[38]. □

的价值α因此是一个额外的分岔参数，它切换系统的稳定和不稳定状态，并改变极限环的形式。什么时候？ $α = 1$ ，当 $μ > 一^{2} + 1$ 它有一个稳定的极限环 ${(一负极 1)}^{2} < μ < 一^{2} + 1$ [38].

由于系统（14）并没有封闭形式的一般解，必须使用数值方法来近似其解；一个主要要求是数值格式要保持系统的动力学。

为了离散分数阶非线性系统（14），我们提出并讨论了一些与（11）中所述GL算子截断相结合的NSFD格式。

在下面，我们将用表示 ${x个}_{n个}$ 和 $年_{n个}$ 的近似值 $x个 ({t吨}_{n个})$ 和 $年 ({t吨}_{n个})$ 此外，为了简洁起见，我们将

{\tilde{x个}}_{n个 负极 1} = {\begin{cases} {w个}_{n个}^{(α 负极 1)} {x个}_{0}, & n个 = 1, \\ {w个}_{n个}^{(α 负极 1)} {x个}_{0} 负极 \sum_{j个 = 2}^{n个} {w个}_{j个}^{(α)} {x个}_{n个 负极 j个}, & n个 \geq 2 \end{cases}

和类似的

{\tilde{年}}_{n个 负极 1} = {\begin{cases} {w个}_{n个}^{(α 负极 1)} 年_{0}, & n个 = 1, \\ {w个}_{n个}^{(α 负极 1)} 年_{0} 负极 \sum_{j个 = 2}^{n个} {w个}_{j个}^{(α)} 年_{n个 负极 j个}, & n个 \geq 2 \end{cases}

和

{X（X）}_{n个} = \sum_{j个 = 1}^{n个} {w个}_{j个}^{(α)} {x个}_{n个 负极 j个}, {Y（Y）}_{n个} = \sum_{j个 = 1}^{n个} {w个}_{j个}^{(α)} 年_{n个 负极 j个} .

NSFD方案1：作为第一个非标准格式，我们通过以下方法替换（14）右侧的非线性项

x个 (t吨) \to x个 ({t吨}_{n个 负极 1}), {x个}^{2} (t吨) 年 (t吨) \to x个 ({t吨}_{n个}) x个 ({t吨}_{n个 负极 1}) 年 ({t吨}_{n个 负极 1}) .

截断GL离散化（11）的应用导致

{\begin{cases} {x个}_{n个} + \sum_{j个 = 1}^{n个} {w个}_{j个}^{(α)} {x个}_{n个 负极 j个} 负极 {w个}_{n个}^{(α 负极 1)} {x个}_{0} = ϕ (小时) [一 负极 (μ + 1) {x个}_{n个 负极 1} + {x个}_{n个} {x个}_{n个 负极 1} 年_{n个 负极 1}], \\ 年_{n个} + \sum_{j个 = 1}^{n个} {w个}_{j个}^{(α)} 年_{n个 负极 j个} 负极 {w个}_{n个}^{(α 负极 1)} 年_{0} = ϕ (小时) [μ {x个}_{n个 负极 1} 负极 {x个}_{n个} {x个}_{n个 负极 1} 年_{n个 负极 1}] \end{cases}

从中我们可以明确地评估 ${x个}_{n个}$ 和 $年_{n个}$ 作为

{\begin{cases} {x个}_{n个} = \frac{{w个}_{n个}^{(α 负极 1)} {x个}_{0} 负极 \sum_{j个 = 1}^{n个} {w个}_{j个}^{(α)} {x个}_{n个 负极 j个} + ϕ (小时) [一 负极 (μ + 1) {x个}_{n个 负极 1}]}{1 负极 ϕ (小时) {x个}_{n个 负极 1} 年_{n个 负极 1}}, \\ 年_{n个} = {w个}_{n个}^{(α 负极 1)} 年_{0} 负极 \sum_{j个 = 1}^{n个} {w个}_{j个}^{(α)} 年_{n个 负极 j个} + ϕ (小时) [μ {x个}_{n个 负极 1} 负极 {x个}_{n个} {x个}_{n个 负极 1} 年_{n个 负极 1}] . \end{cases}

自 ${w个}_{1}^{(α)} = 负极 α$ 我们获得 ${w个}_{n个}^{(α 负极 1)} {x个}_{0} 负极 {X（X）}_{n个} = {\tilde{x个}}_{n个负极 1} + α {x个}_{n个负极 1}$ 和 ${w个}_{n个}^{(α 负极 1)} 年_{0} 负极 {Y（Y）}_{n个} = {\tilde{年}}_{n个负极 1} + α 年_{n个负极 1}$ 因此，得出的NSFD方案是

{\begin{cases} {x个}_{n个} = \frac{{\tilde{x个}}_{n个 负极 1} + {x个}_{n个 负极 1} (α 负极 ϕ (小时) (μ + 1)) + 一 ϕ (小时)}{1 负极 ϕ (小时) {x个}_{n个 负极 1} 年_{n个 负极 1}}, \\ 年_{n个} = {\tilde{年}}_{n个 负极 1} + 年_{n个 负极 1} (α 负极 ϕ (小时) {x个}_{n个} {x个}_{n个 负极 1}) + ϕ (小时) μ {x个}_{n个 负极 1} . \end{cases}

在作为分母函数的测试中，我们将使用函数 $ϕ_{1} (小时, μ + 1) = \frac{1 负极 {e（电子）}^{负极 {小时}^{α} (μ + 1)}}{μ + 1}$ 第3节介绍。

NSFD方案2：在我们的第二个非标准方案中，我们使用替换

x个 (t吨) \to x个 ({t吨}_{n个}), {x个}^{2} (t吨) 年 (t吨) \to x个 ({t吨}_{n个}) x个 ({t吨}_{n个 负极 1}) 年 ({t吨}_{n个 负极 1}) .

通过以与前一种情况类似的方式操作，我们可以看到，得到的NSFD方案可以表示为

{\begin{cases} {x个}_{n个} = \frac{{\tilde{x个}}_{n个 负极 1} + α {x个}_{n个 负极 1} + ϕ (小时) 一}{1 + ϕ (小时) (μ + 1) 负极 ϕ (小时) {x个}_{n个 负极 1} 年_{n个 负极 1}}, \\ 年_{n个} = {\tilde{年}}_{n个 负极 1} + 年_{n个 负极 1} [α 负极 ϕ (小时) {x个}_{n个} {x个}_{n个 负极 1}] + ϕ (小时) μ {x个}_{n个} \end{cases}

和分母函数 $ϕ_{2} (小时, μ + 1) = {(\frac{1 负极 {e（电子）}^{负极小时 (μ + 1)}}{μ + 1})}^{α}$ 将使用。

NSFD方案3：在上一个非标准方案中，我们选择

x个 (t吨) \to x个 ({t吨}_{n个 负极 1}), {x个}^{2} (t吨) 年 (t吨) \to x个 ({t吨}_{n个 负极 1}) x个 ({t吨}_{n个 负极 1}) 年 ({t吨}_{n个 负极 1})

得到的方案是

{\begin{cases} {x个}_{n个} = {\tilde{x个}}_{n个 负极 1} + α {x个}_{n个 负极 1} + ϕ (小时) {x个}_{n个 负极 1} [{x个}_{n个 负极 1} 年_{n个 负极 1} 负极 (μ + 1)] + ϕ (小时) 一, \\ 年_{n个} = {\tilde{年}}_{n个 负极 1} + 年_{n个 负极 1} [α 负极 ϕ (小时) {x个}_{n个 负极 1}^{2}] + ϕ (小时) μ {x个}_{n个 负极 1} . \end{cases}

什么时候？ $ϕ (小时) = {小时}^{α}$ 这是一个完全显式的格式，它与经典的正向Euler方法的FDE是对等的。无论如何，在我们的实验中，我们将使用两个分母函数 $ϕ_{1} (小时, μ + 1) = \frac{1 负极 {e（电子）}^{负极 {小时}^{α} (μ + 1)}}{μ + 1}$ 和 $ϕ_{2} (小时, μ + 1) = {(\frac{1 负极 {e（电子）}^{负极小时 (μ + 1)}}{μ + 1})}^{α}$ 为了比较行为，相应的方案将分别表示为NSFD 3a和NSFD 2b。

为了研究数值逼近的积极性，我们假设 ${x个}_{0} \geq 0$ , $年_{0} \geq 0$ 和 $一, μ > 0$ .直接的分析使我们能够确定正向迭代的条件 ${x个}_{n个}$ 和 $年_{n个}$ 获得。我们将这些情况总结如下：

方案1： $ϕ (小时) < \frac{α}{μ + 1}$ 和 $ϕ (小时) < \frac{1}{{x个}_{n个} {x个}_{n个负极 1}}$ .

方案2： ${x个}_{n个负极 1} 年_{n个负极 1} < μ + 1$ 和 $ϕ (小时) < \frac{α}{{x个}_{n个} {x个}_{n个负极 1}}$ .

方案3： ${x个}_{n个负极 1} 年_{n个负极 1} > μ + 1$ 和 $ϕ (小时) < \frac{α}{{x个}_{n个负极 1} 年_{n个负极 1}}$ .

5数值模拟

我们在本节中介绍了一些数值模拟。为了将所得结果与本文研究的NSFD方案进行比较，我们使用了在[41]，其稳定性特性已在[42].

在第一个模拟中，我们考虑这种情况 $一 = 1$ , $μ = 三$ , $α = 0.7$ 使用初始值 $({x个}_{0}, 年_{0}) = (1.1, 2.9)$ .自 $λ_{1, 2} = (1 \pm 我 \sqrt{三}) / 2$ ，定理2的边际值为 $α_{0} = 2 | 参数 (λ_{我}) | / π = 2 / 三$ ，因此会出现不稳定模式，如图所示1，其中ABM方法评估的参考溶液在时域和相平面中绘制。

在图中2，我们给出了通过具有步长的NSFD方案获得的结果 $小时 = 0.05$ 关于积分区间 $[0, 80]$ 我们可以清楚地看到，所有NSFD方案都提供了预期的不稳定模式，并且轨迹很好地收敛到相同的极限环。尽管所有方法似乎都以令人满意的方式工作，但所获得的结果，但NSFD方案2更好地再现了图1.

在第二个实验中，我们考虑一个问题 $一 = 1$ , $μ = 2$ 和 $α = 0.8$ .自 $λ_{1, 2} = \pm 我$ 定理2的阈值为 $α_{0} = 1$ ，我们可以从图中的图中看到稳定模式三通过ABM方法再次获得。

同样在这种情况下，我们观察到，见图4所有NSFD方案均显示出与理论结果和图中参考解一致的稳定模式三在这种情况下，已对间隔执行积分 $[0, 40]$ .

在表中1，我们比较了以下近似值的结果 $(x个 (t吨), 年 (t吨))$ 通过建议的方案获得 $一 = 1$ , $μ = 2$ , $α = 0.8$ , $({x个}_{0}, 年_{0}) = (0.9, 2.1)$ 关于区间 $[0, 40]$ 数量越来越多N个第步（共步）。错误 $E类 (N个)$ 关于参考解，将其与收敛阶（EOC）的估计一起报告为 $EOC公司 = {日志}_{2} (E类 (N个) / E类 (2 N个))$ .

表1错误和EOC，某些值为 N个在 $T型 = 40$ 对于 $(一, μ) = (1, 2)$ , $α = 0.8$ 和 $({x个}_{0}, 年_{0}) = (0.9, 2.1)$

全尺寸桌子

正如第3节中的讨论所预期的那样，通过使用分母函数可以降低收敛顺序 $ϕ_{1}$ 而功能 $ϕ_{2}$ 允许保留顺序1。此外，所有方案都可以获得相当准确的结果。

6结束语

本文研究了分数阶Brusselator微分系统数值解的几种NSFD格式。提出了一些不同的分母函数和非局部项，并将结果与经典的Adams-Bashfort-Moulton方法进行了比较。从数值实验中，我们观察到，NSFD格式可以很好地复制真实解的行为，因此它们是检测正在研究的问题和类似问题的主要稳定性属性的有用工具。

工具书类

Kempfle S，Schäfer I，Beyer H：通过函数微积分的分数微积分：理论和应用。非线性动力学。2002, 29(1–4):99–127.
第条谷歌学者
Oldham KB，Spanier J：分数微积分.纽约学术出版社；1974
谷歌学者
Samko SG、Kilbas AA、Marichev OI：分数积分与导数Gordon&Breach，伊弗顿；1993年。（《理论与应用》，由S.M.Nikol’skiĭ编辑并作序，翻译自1987年的俄语原文，由作者修订）
谷歌学者
Miller KS，Ross B A Wiley-国际科学出版物。在分数阶微积分和分数阶微分方程简介.威利，纽约；1993
谷歌学者
波德鲁布尼I科学与工程数学198。在分数阶微分方程圣地亚哥学术出版社；1999
谷歌学者
Diethelm K数学课堂讲稿2004。在分数阶微分方程的分析施普林格，柏林；2010
第章谷歌学者
Mainardi F公司：分数阶微积分与线性粘弹性波伦敦帝国理工学院出版社；2010
书谷歌学者
Baleanu D、Diethelm K、Scalas E、Trujillo JJ复杂性、非线性和混沌系列3。在分数微积分.世界科学，哈肯萨克；2012
谷歌学者
Butzer PL，Westphal U：分数微积分简介。在分数阶微积分在物理学中的应用.编辑：Hilfer R.World Scientific，新加坡；2000:1–85.
第章谷歌学者
Caponetto R、Dongola G、Fortuna L、PetrášI非线性科学系列，A系列72。在分数阶系统：建模和控制应用世界科学，新加坡；2010
谷歌学者
Kilbas AA，Srivastava HM，Trujillo JJ North-Holland数学研究204。在分数阶微分方程的理论与应用爱思唯尔，阿姆斯特丹；2006
谷歌学者
马金·R：生物工程中的分数微积分贝格尔出版社，雷丁；2006
谷歌学者
Sabatier J、Agrawal O、Machado JT：分数微积分进展：Theor。发展和应用。物理与工程专业施普林格，柏林；2007
书谷歌学者
Diethem K，Ford NJ，Freed AD：分数阶微分方程数值解的预测-校正方法。非线性动力学。2002, 29(1–4):3–22.
第条数学科学网谷歌学者
Diethelm K，Ford N，Freed A，Luchko Y：分数微积分算法：数值方法的选择。计算。方法应用。机械。工程师。2005, 194(6):743–773.
第条数学科学网谷歌学者
Garrapa R，Popolizio M：关于分数阶偏微分方程矩阵函数的使用。数学。计算。模拟。2011, 81(5):1045–1056.
第条数学科学网谷歌学者
Garrapa R，Popolizio M：关于线性分数阶微分方程的精确积积分规则。J.计算。申请。数学。2011, 235(5):1085–1097.
第条数学科学网谷歌学者
Lubich C：离散分数阶微积分。SIAM J.数学。分析。1986, 17(3):704–719.
第条数学科学网谷歌学者
Moret I，Novati P：关于矩阵Mittag-Lefler函数的Krylov子空间方法的收敛性。SIAM J.数字。分析。2011, 49(5):2144–2164.
第条数学科学网谷歌学者
Mickens RE，Smith A：常微分方程的有限差分模型：分母函数的影响。J.富兰克林研究所。1990, 327: 143–149.
第条数学科学网谷歌学者
Mickens回复：微分方程的非标准差分模型《世界科学》，River Edge；1994
谷歌学者
Baleanu D，Mohammadi H，Rezapour S：非线性分数阶微分方程初值问题的正解。文章摘要。申请。分析。2012年、2012年：文章ID 837437
谷歌学者
Delavari H，Baleanu D，Sadati J：重访Caputo分数阶非线性系统的稳定性分析。非线性动力学。2012, 67(4):2433–2439.
第条数学科学网谷歌学者
邓伟，李C，吕J：多时滞线性分数阶微分系统的稳定性分析。非线性动力学。2007, 48(4):409–416.
第条谷歌学者
Jarad F、Abdeljawad T、Baleanu D：稳定性q个-分数非自治系统。非线性分析。，真实世界应用。2013, 14: 780–784.
第条数学科学网谷歌学者
Garrapa R：关于分数阶微分方程的一些显式Adams多步方法。J.计算。申请。数学。2009, 229(2):392–399.
第条数学科学网谷歌学者
Chen M，Clemence DP：汉坦病毒流行中小鼠种群模型的分析和数值方案。J.差异。等于。申请。2006, 12(9):887–899.
第条数学科学网谷歌学者
Mickens RE：Lotka-Volterra系统的非标准有限差分格式。申请。数字。数学。2003, 45(2–3):309–314.
第条数学科学网谷歌学者
Mickens RE：满足正条件的微分方程非标准差分格式的分母函数计算。数字。方法部分差异。埃克。2007, 23(3):672–691.
第条数学科学网谷歌学者
Roeger LIW：Lotka-Volterra系统的非标准有限差分格式：Mickens方法的推广。J.差异。等于。申请。2006, 12(9):937–948.
第条数学科学网谷歌学者
Roeger LIW：从非标准有限差分格式导出的动态一致离散Lotka-Volterra竞争模型。离散连续。动态。系统。，序列号。B2008, 9(2):415–429.
第条数学科学网谷歌学者
Moaddy K，Momani S，Hashim I：流体力学中线性分数阶偏微分方程的非标准差分格式。计算。数学。申请。2011, 61(4):1209–1216.
第条数学科学网谷歌学者
Momani S，Rqayiq AA，Baleanu D：双边空间分数阶偏微分方程的非标准差分格式。国际法学分会。混乱2012年，22（4）：文章ID 1250079
谷歌学者
Radwan AG，Moaddy K，Momani S：广义Chua电路的稳定性和非标准差分方法。计算。数学。申请。2011, 62(3):961–970.
第条数学科学网谷歌学者
Galeone L，Garrapa R：关于分数阶微分方程的多步方法。梅迪特尔。数学杂志。2006, 3(3–4):565–580.
第条数学科学网谷歌学者
王毅，李聪：有效维数小于1的分数布鲁塞尔函数有极限环吗？物理学。莱特。A类2007, 363(5–6):414–419.
第条谷歌学者
周涛，李聪：分数阶微分系统的同步。物理D2005, 212(1–2):111–125.
第条数学科学网谷歌学者
Gafiychuk VV，Datsko B：Brusselator非线性分数系统的稳定性分析和极限环。物理学。莱特。A类2008, 372(29):4902–4904.
第条谷歌学者
El-Sayed AMA，El-Mesiry AEM，El-Saka HAA：关于分数阶逻辑方程。申请。数学。莱特。2007, 20(7):817–823.
第条数学科学网谷歌学者
Matignon D：分数阶微分方程的稳定性结果及其在控制处理中的应用。2.英寸系统应用中的计算工程IMACS、IEEE-SMC、里尔；1996:963–968.
谷歌学者
Garrapa，R：分数阶微分方程的预测-校正PECE方法。MATLAB中央文件交换[文件ID:32918]（2011）
谷歌学者
Garrapa R：关于分数阶微分方程的预测-校正算法的线性稳定性。国际期刊计算。数学。2010, 87(10):2281–2290.
第条数学科学网谷歌学者

下载参考资料

致谢

M.Y.Ongun和D.Arslan感谢土耳其SDU科学研究项目委员会提供的部分资金支持，项目编号：2695-YL-11。R.Garrappa的工作是在PRIN-MIUR项目2009F4NZJP下进行的。

作者信息

作者和附属机构

土耳其伊斯帕塔苏莱曼·德米雷尔大学
Mevlüde Yakít Ongun和Damla Arslan
意大利巴里巴里大学数学系
罗伯托·加拉帕

作者

Mevlüde Yakít Ongun
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者
达姆拉·阿尔斯兰
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者
罗伯托·加拉帕
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者

通讯作者

与的通信Mevlüde Yakít Ongun.

其他信息

相互竞争的利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者都对这项工作做出了同等的贡献，并打字、阅读和批准了最终的手稿。

作者提交的原始图像文件

下面是作者提交的原始图像文件的链接。

图1的作者原始文件

图2的作者原始文件

图3的作者原始文件

图4的作者原始文件

图5的作者原始文件

图6的作者原始文件

图7的作者原始文件

图8的作者原始文件

图9的作者原始文件

图10的作者原始文件

图11的作者原始文件

图12的作者原始文件

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Ongun，M.Y.，Arslan，D.&Garrappa，R.分数阶Brusselator系统的非标准差分格式。高级差异Equ 2013, 102 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-102

下载引文

收到:2012年12月24日
认可的:2013年3月27日
出版:2013年4月12日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-102