On the generalized Apostol-type Frobenius-Euler polynomials

Kurt, Burak; Simsek, Yilmaz

doi:10.1186/1687-1847-2013-1

研究
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出版：2013年1月4日

关于广义Apostol-型Frobenius-Euler多项式

差分方程研究进展 体积 2013，物品编号：1(2013)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

本文的目的是推导与Frobenius-Euler多项式有关的一些新恒等式。我们还给出了负整数上广义Frobenius-Euler多项式和广义Hurwitz-Lerch-zeta函数之间的关系。此外，我们的结果给出了与Frobenius-Euler多项式相关的广义Carliz结果。

MSC公司：05A10、11B65、28B99、11B68。

1引言、定义和符号

在本演示中，我们使用了以下标准概念： $N个 = {1, 2, \dots}$ , ${N个}_{0} = {0, 1, 2, \dots} = N个 \cup {0}$ , ${Z轴}^{-} = {- 1, - 2, \dots}$ 此外，与往常一样ℤ表示整数集，ℝ表示实数集和ℂ表示复数集。此外， ${(λ)}_{0} = 1$ 和

{(λ)}_{k个} = λ (λ + 1) (λ + 2) \dots (λ + k个 - 1),

哪里 $k个 \in N个$ , $λ \in C类$ .

经典Frobenius-Euler多项式 ${H（H）}_{n个}^{(α)} (x个; u个)$ 订单的α通过以下生成函数定义：

{(\frac{1 - u个}{{e（电子）}^{t吨} - u个})}^{α} {e（电子）}^{x个 t吨} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(α)} (x个; u个) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!},

(1)

哪里u个是一个代数数，并且 $α \in Z轴$ .

请注意 ${H（H）}_{n个}^{(1)} (x个; u个) = {H（H）}_{n个} (x个; u个)$ ，表示Frobenius-Euler多项式，以及 ${H（H）}_{n个}^{(α)} (0; u个) = {H（H）}_{n个}^{(α)} (u个)$ ，表示Frobenius-Euler顺序数α. ${H（H）}_{n个} (x个; - 1) = {E类}_{n个} (x个)$ ，表示欧拉多项式(囊性纤维变性。[1–24]).

定义1.1（有关详细信息，请参阅[16,17])

让 $一, b条, c \in {R（右）}^{+}$ , $一 \neq b条$ , $x个 \in R（右）$ .广义Apostol型Frobenius-Euler多项式由以下生成函数定义：

{(\frac{一^{t吨} - u个}{λ {b条}^{t吨} - u个})}^{α} c^{x个 t吨} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(α)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} .

(2)

备注1.2如果我们设置 $x个 = 0$ 和 $α = 1$ 在（2）中，我们得到

\frac{一^{t吨} - u个}{λ {b条}^{t吨} - u个} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个} (u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!},

(3)

哪里 ${H（H）}_{n个} (u个; λ; 一, b条, c)$ 表示广义Apostol-type Frobenius-Euler数(囊性纤维变性。[17]).

2新身份

在本节中，我们导出了许多与广义Apostol型Frobenius-Euler数和阶多项式有关的新恒等式α.

定理2.1 让 $α, β \in Z轴$ .以下每个关系都成立:

(4)

(5)

(6)

和

{H（H）}_{n个}^{(- α)} (x个; {u个}^{2}; 一^{2}, {b条}^{2}, c^{2}; λ^{2}) = \sum_{k个 = 0}^{n个} (\binom{n个}{k个}) {H（H）}_{k个}^{(- α)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) {H（H）}_{n个 - k个}^{(- α)} (x个; - u个; 一, b条, c; λ) .

(7)

（6）的证明由（2）可知，

\sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(- α)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(α)} (年; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} = c^{(x个 + 年) t吨} .

(8)

因此，

\sum_{n个 = 0}^{\infty} (\sum_{k个 = 0}^{n个} (\binom{n个}{k个}) {H（H）}_{n个 - k个}^{(α)} (年; u个; 一, b条, c; λ) {H（H）}_{k个}^{(- α)} (x个; u个; 一, b条, c; λ)) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {(x个 自然对数 c)}^{n个} \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} .

因此，通过使用（8）中的柯西积，然后将 $\frac{{t吨}^{n个}}{n个!}$ 在所得方程的两边，我们都得到了期望的结果。

（4）、（5）和（7）的证明与（2）的证明相同，因此我们省略了它们。□

观察到在（6）中我们有

{((x个 + 年) 自然对数 c)}^{n个} = {({H（H）}^{(α)} (年; u个; 一, b条, c; λ) + {H（H）}^{(- α)} (x个; u个; 一, b条, c; λ))}^{n个},

哪里 ${({H（H）}^{(α)} (年; u个; 一, b条, c; λ))}^{n个}$ 被替换为 ${H（H）}_{n个}^{(α)} (年; u个; 一, b条, c; λ)$ .

定理2.2 让 $α \in N个$ .那么我们有

\sum_{k个 = 0}^{α} (\binom{α}{k个}) {(- u个)}^{α - k个} {(x个 自然对数 c + k个 自然对数 一)}^{n个} = \sum_{第页 = 0}^{n个} \sum_{k个 = 0}^{α} (\binom{n个}{第页}) (\binom{α}{k个}) {(- u个)}^{α - k个} {(k个 自然对数 b条)}^{第页} {H（H）}_{n个 - 第页}^{(α)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) .

证明通过使用（2），我们得到

\begin{matrix} \sum_{n个 = 0}^{\infty} (\sum_{k个 = 0}^{α} (\binom{α}{k个}) {(- u个)}^{α - k个} {(x个 自然对数 c + k个 自然对数 一)}^{n个}) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \\ = \sum_{n个 = 0}^{\infty} (\sum_{第页 = 0}^{n个} \sum_{k个 = 0}^{α} (\binom{n个}{第页}) (\binom{α}{k个}) {(- u个)}^{α - k个} {(k个 自然对数 b条)}^{第页} {H（H）}_{n个 - 第页}^{(α)} (x个; u个; 一, b条, c; λ)) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} . \end{matrix}

通过将 $\frac{{t吨}^{n个}}{n个!}$ 在结果方程的两边，我们都得到了期望的结果。□

定理2.3 以下关系成立:

(9)

证明我们设置了

\begin{matrix} (2 u个 - 1) \frac{一^{t吨} - u个}{λ {b条}^{t吨} - u个} c^{x个 t吨} \frac{一^{t吨} - (1 - u个)}{λ {b条}^{t吨} - (1 - u个)} c^{年 t吨} \\ = (一^{t吨} - u个) (一^{t吨} - (1 - u个)) c^{(x个 + 年) t吨} (\frac{1}{λ {b条}^{t吨} - u个} - \frac{1}{λ {b条}^{t吨} - (1 - u个)}) . \end{matrix}

从上面的等式中，我们可以看出

\begin{matrix} (2 u个 - 1) (\sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个} (x个; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!}) (\sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个} (年; 1 - u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!}) \\ = (一^{t吨} - 1 + u个) \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个} (x个 + 年; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} - (一^{t吨} - u个) \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个} (x个 + 年; 1 - u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} . \end{matrix}

因此，

\begin{matrix} (2 u个 - 1) \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{第页 = 0}^{n个} (\binom{n个}{第页}) {H（H）}_{第页} (x个; u个; 一, b条, c; λ) {H（H）}_{n个 - 第页} (年; 1 - u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \\ = (u个 - 1) \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个} (x个 + 年; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} + u个 \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个} (x个 + 年; 1 - u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \\ + \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{第页 = 0}^{n个} (\binom{n个}{第页}) {(自然对数 一)}^{n个 - 第页} {H（H）}_{第页} (x个 + 年; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \\ - \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{第页 = 0}^{n个} (\binom{n个}{第页}) {(自然对数 一)}^{n个 - 第页} {H（H）}_{第页} (x个 + 年; 1 - u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} . \end{matrix}

比较的系数 $\frac{{t吨}^{n个}}{n个!}$ 在上述方程的两边，我们都得到了期望的结果。□

备注2.4通过替换 $一 = 1$ , $b条 = c = e（电子）$ , $λ = 1$ 在定理2.3中，我们得到了Carlitz的结果（有关详细信息，请参见[[1]，等式。2.19]）如下：

\begin{matrix} (2 u个 - 1) \sum_{第页 = 0}^{n个} (\binom{n个}{第页}) {H（H）}_{第页} (x个; u个) {H（H）}_{n个 - 第页} (年; 1 - u个) \\ = (u个 - 1) {H（H）}_{n个} (x个 + 年; u个) + u个 {H（H）}_{n个} (x个 + 年; 1 - u个) + {H（H）}_{n个} (x个 + 年; u个) - {H（H）}_{n个} (x个 + 年; 1 - u个) . \end{matrix}

我们给出多项式的以下生成函数 ${Y（Y）}_{n个} (x个; λ; 一)$ :

\frac{t吨}{λ 一^{t吨} - 1} 一^{x个 t吨} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {Y（Y）}_{n个} (x个; λ; 一) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} (一 \geq 1)

（10）

(囊性纤维变性。[16,17]). 我们还注意到

{Y（Y）}_{n个} (0; λ; 一) = {Y（Y）}_{n个} (λ; 一) .

如果我们替换 $x个 = 0$ 和 $一 = 1$ 到（10），我们可以看到

{Y（Y）}_{n个} (λ; 1) = \frac{1}{λ - 1} .

定理2.5 广义阿波斯托-类型Frobenius-欧拉多项式的正确性如下:

(11)

证明替换 $c = b条$ 对于 $α = 1$ 加入（2）并对t吨，我们获得

\begin{matrix} \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个 + 1} (x个; u个; 一, b条, b条; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \\ = \frac{一^{t吨} 自然对数 一}{一^{t吨} - u个} \frac{一^{t吨} - u个}{λ {b条}^{t吨} - u个} {b条}^{x个 t吨} + \frac{自然对数 b条 λ {b条}^{t吨}}{一^{t吨} - u个} {(\frac{一^{t吨} - u个}{λ {b条}^{t吨} - u个})}^{2} {b条}^{x个 t吨} + 自然对数 ({b条}^{x个}) \frac{一^{t吨} - u个}{λ {b条}^{t吨} - u个} {b条}^{x个 t吨} . \end{matrix}

使用（10），我们有

\begin{array}{rcl} \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个 + 1} (x个; u个; 一, b条, b条; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} & = & \frac{自然对数 (一^{\frac{1}{u个}})}{t吨} \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{k个 = 0}^{n个} (\binom{n个}{k个}) {Y（Y）}_{n个 - k个} (1; \frac{1}{u个}; 一) {H（H）}_{k个} (x个; u个; 一, b条, b条; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \\ + \frac{自然对数 ({b条}^{\frac{λ}{u个}})}{t吨} \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{k个 = 0}^{n个} (\binom{n个}{k个}) {Y（Y）}_{n个 - k个} (\frac{1}{u个}; 一) {H（H）}_{k个}^{(2)} (x个; u个; 一, b条, b条; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \\ + 自然对数 ({b条}^{x个}) \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个} (x个; u个; 一, b条, b条; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} . \end{array}

因此，经过一些初步计算，我们得出（11）。□

定理2.6 让 $| u个 | < 1$ 和 $米 \in N个$ .那么我们有

{H（H）}^{(- 米)} (u个; 一, b条, c; λ) = \sum_{k个 = 0}^{n个} (\binom{n个}{k个}) {H（H）}_{k个}^{(- α)} (- x个; u个; 一, b条, c; λ) {H（H）}_{n个 - k个}^{(α - 米)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) .

(12)

证明在（2）中，我们替换α通过−α，然后我们设置

{(\frac{一^{t吨} - u个}{λ {b条}^{t吨} - u个})}^{- α} c^{(- x个) t吨} \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(α - 米)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} = {(\frac{一^{t吨} - u个}{λ {b条}^{t吨} - u个})}^{- 米} .

通过使用（2），我们得到

\sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(- α)} (- x个; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(α - 米)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(- 米)} (u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} .

因此，

\sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{k个 = 0}^{n个} (\binom{n个}{k个}) {H（H）}_{k个}^{(- α)} (- x个; u个; 一, b条, c; λ) {H（H）}_{n个 - k个}^{(α - 米)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(- 米)} (u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} .

比较的系数 $\frac{{t吨}^{n个}}{n个!}$ 在上述等式的两边，我们得出（12）。□

3插值功能

在本节中，我们给出了广义Frobenius-Euler多项式与Hurwitz-Lerch zeta函数之间的递推关系。最近，许多作者不仅研究了Hurwitz-Lerch zeta函数，还研究了它的推广，例如（除其他外）Srivastava[19]、斯里瓦斯塔瓦和崔[24]还有加格等人。[6]. Hurwitz-Lerch zeta函数的推广 $Φ (z（z）, 秒, 一)$ 如下所示：

Φ_{μ, ν}^{(ρ, σ)} (z（z）, 秒, 一) : = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{(μ)}_{ρ n个}}{{(ν)}_{σ n个}} \frac{{z（z）}^{n个}}{{(n个 + 一)}^{秒}}

( $μ \in C类$ , $一, υ \in C类 ∖ {Z轴}_{0}^{-}$ , $ρ, σ \in {R（右）}^{+}$ , $ρ < σ$ 什么时候 $秒, z（z） \in C类$ ( $| z（z） | < 1$ )； $ρ = σ$ 和 $ℜ (秒 - μ + ν) > 0$ 什么时候 $| z（z） | = 1$ ). 很明显

Φ_{μ, 1}^{(1, 1)} (z（z）, 秒, 一) = Φ_{μ}^{*} (z（z）, 秒, 一) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{(μ)}_{n个}}{n个!} \frac{{z（z）}^{n个}}{{(n个 + 一)}^{秒}}

(13)

和

Φ_{n个}^{*} (z（z）, 秒, 一) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{(n个)}_{n个}}{n个!} \frac{{z（z）}^{n个}}{{(n个 + 一)}^{秒}} = Φ (z（z）, 秒, 一),

哪里 $Φ (z（z）, 秒, 一)$ 表示Lerch-Zeta函数(囊性纤维变性。[6,19,21,24]).

广义Apostol-type Frobenius-Euler多项式与Hurwitz-Lerch zeta函数之间的关系如下所示。

定理3.1 让 $| \frac{λ}{u个} | < 1$ .我们有

{H（H）}_{n个}^{(α)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) = \sum_{k个 = 0}^{α} (\binom{α}{k个}) {(- u个)}^{α - k个 - 1} G公司 (- n个; x个, \frac{λ}{u个}; 一, b条, c; α, k个),

(14)

哪里

G公司 (秒; x个, β; 一, b条, c; α, j个) = \sum_{米 = 0}^{\infty} (\binom{米 + α - 1}{米}) \frac{β^{米}}{{(x个 自然对数 c + j个 自然对数 一 + 米 自然对数 b条)}^{秒}}, | β | < 1 .

证明从（2）开始，我们有

\sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(α)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} = \sum_{j个 = 0}^{α} (\binom{α}{j个}) {(- u个)}^{α - j个 - 1} \sum_{米 = 0}^{\infty} (\binom{米 + α - 1}{米}) {(\frac{λ}{u个})}^{米} {e（电子）}^{α (x个 自然对数 c + k个 自然对数 一 + 米 自然对数 b条)} .

因此，

\begin{matrix} \sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(α)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \\ = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{k个 = 0}^{α} (\binom{α}{k个}) {(- u个)}^{α - k个 - 1} \sum_{米 = 0}^{\infty} (\binom{米 + α - 1}{米}) {(\frac{λ}{u个})}^{米} {(x个 自然对数 c + k个 自然对数 一 + 米 自然对数 b条)}^{n个} \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} . \end{matrix}

比较的系数 $\frac{{t吨}^{n个}}{n个!}$ 在上述等式的两边，我们得出（14）。□

备注3.2通过替换 $一 = 1$ , $b条 = c = e（电子）$ 到（14），我们有

{H（H）}_{n个}^{(α)} (x个; u个; λ) = - \frac{{(1 - u个)}^{α}}{u个} G公司 (- n个; x个, \frac{λ}{u个}; 1, e（电子）, e（电子）; α, 1) = - \frac{{(1 - u个)}^{α}}{u个} Φ (\frac{λ}{u个}, - n个, x个),

哪里

G公司 (- n个; x个, \frac{λ}{u个}; 1, e（电子）, e（电子）; α, 1) = Φ (\frac{λ}{u个}, - n个, x个) .

备注3.3功能 $G公司 (秒; x个, β; 一, b条, c; α, j个)$ 是广义Apostol型Frobenius-Euler多项式的插值函数α负整数，由 $G公司 (秒; x个, β; 一, b条, c; α, j个)$ 对于 $秒 = - n个$ , $n个 \in N个$ .

4阵列型多项式、Apostol-Bernoulli多项式和广义Apostol型Frobenius-Euler多项式之间的关系

在[17]，Simsek构造了广义λ-第二类斯特林型数 $S公司 (n个, v（v）; 一, b条; λ)$ 通过以下生成函数：

{（f）}_{S公司, v（v）} (t吨; 一, b条; λ) = \frac{{(λ {b条}^{t吨} - 一^{t吨})}^{v（v）}}{v（v）!} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} S公司 (n个, v（v）; 一, b条; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} .

(15)

这些多项式的生成函数 ${S公司}_{v（v）}^{n个} (x个; 一, b条; λ)$ 由提供

克_{v（v）} (x个, t吨; 一, b条; λ) = \frac{1}{v（v）!} {(λ {b条}^{t吨} - 一^{t吨})}^{v（v）} {b条}^{x个 t吨} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {S公司}_{v（v）}^{n个} (x个; 一, b条; λ) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!}

(16)

(囊性纤维变性。[17]).

广义Apostol-Bernoulli多项式由Srivastava定义等人。[[22]，第254页，等式(20)]如下所示。

让 $一, b条, c \in {R（右）}^{+}$ 具有 $一 \neq b条$ , $x个 \in R（右）$ 和 $n个 \in {N个}_{0}$ 然后是广义伯努利多项式 ${B类}_{n个}^{(α)} (x个; λ; 一, b条, c)$ 订单的 $α \in Z轴$ 通过以下生成函数定义：

{（f）}_{B类} (x个, 一, b条, c; λ; α) = {(\frac{t吨}{λ {b条}^{t吨} - 一^{t吨}})}^{α} c^{x个 t吨} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {B类}_{n个}^{(α)} (x个; λ; 一, b条, c) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!},

（17）

哪里

| t吨 自然对数 (\frac{一}{b条}) + 自然对数 λ | < 2 π .

我们注意到 ${B类}_{n个}^{(1)} (x个; λ; 一, b条, c) = {B类}_{n个} (x个; λ; 一, b条, c)$ 还有 ${B类}_{n个} (x个; λ; 1, e（电子）, e（电子）) = {B类}_{n个} (x个; λ)$ ，表示Apostol-Bernoulli多项式(囊性纤维变性。[1–24]).

定理4.1 让 v（v） 是一个整数.那么我们有

{H（H）}_{n个 - v（v）}^{(- ν)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) = \frac{ν!}{{u个}^{2 ν} {(n个)}_{v（v）}} \sum_{k个 = 0}^{n个} (\binom{n个}{k个}) {S公司}_{v（v）}^{n个} (x个, 1, b条; \frac{λ}{u个}) {Y（Y）}_{n个 - k个}^{(ν)} (\frac{1}{u个}; 一) .

证明更换c通过b条在（2）中，经过一些计算，我们得到

\sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个}^{(- v（v）)} (x个; u个; 一, b条, b条; λ) \frac{{t吨}^{n个 + v（v）}}{n个!} = \frac{ν!}{{u个}^{2 ν}} \sum_{n个 = 0}^{\infty} {S公司}_{ν}^{n个} (x个, 1, b条; \frac{λ}{u个}) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \sum_{n个 = 0}^{\infty} {Y（Y）}_{n个}^{(ν)} (\frac{1}{u个}; 一) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} .

比较的系数 $\frac{{t吨}^{n个}}{n个!}$ 在上述方程的两边，我们都得到了期望的结果。□

推论4.2

{H（H）}_{n个 - v（v）}^{(- ν)} (x个; u个; 一, b条, c; λ) = \frac{ν!}{{u个}^{2 ν} {(n个)}_{α}} \sum_{k个 = 0}^{n个} (\binom{n个}{k个}) S公司 (k个, ν, 1, b条; \frac{λ}{u个}) {B类}_{n个 - k个} (x个, 一, b条; \frac{λ}{u个}) .

证明更换c通过b条在（2）中，经过一些计算，我们得到

\sum_{n个 = 0}^{\infty} {H（H）}_{n个 - v（v）}^{(- v（v）)} (x个; u个; 一, b条, b条; λ) \frac{{t吨}^{n个 + v（v）}}{n个!} = \frac{ν!}{{u个}^{2 ν}} \sum_{n个 = 0}^{\infty} S公司 (n个, ν, 1, b条; \frac{λ}{u个}) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} \sum_{n个 = 0}^{\infty} {B类}_{n个} (x个, 一, b条; \frac{λ}{u个}) \frac{{t吨}^{n个}}{n个!} .

比较的系数 $\frac{{t吨}^{n个}}{n个!}$ 在上述方程的两边，我们都得到了期望的结果。□

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下载参考资料

致谢

献给Hari M.Srivastava教授。

所有作者都得到了阿克德尼茨大学研究项目办公室的部分支持。

作者信息

作者和附属机构

土耳其安塔利亚Akdeniz大学教育学院数学系，07058
伯拉克·科特
土耳其安塔利亚Akdeniz大学科学院数学系，07058
伊尔玛兹·辛塞克

作者

伯拉克·科特
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伊尔马兹·西姆塞克
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通讯作者

与的通信伊尔马兹·西姆塞克.

其他信息

相互竞争的利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者一起完成了论文。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Kurt，B.，Simsek，Y.关于广义Apostol-型Frobenius-Euler多项式。Adv Differ等于 2013, 1 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-1

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收到:2012年11月8日
认可的:2012年12月13日
出版:2013年1月4日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-1

关于广义Apostol-型Frobenius-Euler多项式

摘要

1引言、定义和符号

2新身份

3插值功能

4阵列型多项式、Apostol-Bernoulli多项式和广义Apostol型Frobenius-Euler多项式之间的关系

工具书类

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