Oscillation criteria of fractional differential equations

Chen, Da-Xue

doi:10.1186/1687-1847-2012-33

研究
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出版：2012年3月15日

分数阶微分方程的振动准则

陈大雪¹

差分方程研究进展 体积 2012，物品编号：33(2012)引用这篇文章

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56引文
韵律学细节

摘要

在本文中，我们关注分数阶微分方程的振动性

{[第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)]}^{'} - q个 (t吨) （f） (\int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v）) = 0 对于 t吨 > 0,

哪里 $天_{-}^{α} 年$ 是Liouville右边的分数阶导数α ∈（0,1）个，共个年和η >0是奇数正整数的商。利用广义Riccati变换技术和不等式，建立了方程的振动准则。举例说明了我们的主要结果。据作者所知，关于方程的振荡行为还一无所知，因此本文开始了这项研究。

MSC（2010）：34A08；34C10。

1简介

本文的目的是获得分数阶微分方程的几个振动定理

{[第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)]}^{'} - q个 (t吨) （f） (\int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v）) = 0 对于 t吨 > 0,

(1.1)

哪里α ∈（0，1）是一个常数，η>0是奇数正整数的商， $天_{-}^{α} 年$ 是Liou-ville右侧分数阶导数α属于年由定义 $(天_{-}^{α} 年) (t吨) : = \frac{1}{Γ (1 - α)} \frac{d日}{d日 t吨} \int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v）$ 对于t吨 ∈ ℝ₊：=（0，∞），这里Γ是由 $Γ (t吨) : = \int_{0}^{\infty} {v（v）}^{t吨 - 1} {e（电子）}^{- v（v）} d日 v（v）$ 对于t吨 ∈ ℝ₊，并且假设以下条件成立：

（A）
第页和q个是正连续函数[t吨₀，∞）对于特定t吨₀>0和（f）:ℝ→ℝ是一个连续函数，因此（f）(u个)/(u个^η) ≥K对于某个常数K>0和所有u个≠ 0.

通过（1.1）的解，我们表示一个非平凡函数年 ∈ C类(ℝ₊,ℝ)这样的话 $\int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v） \in {C类}^{1} (ℝ_{+}, ℝ), 第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨) \in {C类}^{1} (ℝ_{+}, ℝ)$ 并满足（1.1）t吨> 0. 我们的注意力仅限于存在于ℝ₊并满足sup{|年(t吨)|以下为：t吨>t吨_*}任何情况下>0t吨_*≥ 0. 一个解决方案年如果（1.1）既不是最终正的也不是最终负的，则称其为振荡的。否则它是非振荡的。方程式(1.1）如果其所有解都是振荡的，则称其为振荡的。

分数阶导数的理论可以追溯到莱布尼茨在给L'Hospital的清单中的注释[1]1695年9月30日，其中讨论了1/2阶导数的含义。莱布尼茨的注释导致了任意阶导数和积分理论的出现，到十九世纪末，由于主要是利乌维尔、格伦瓦尔德、莱特尼科夫和黎曼，该理论或多或少已经完成。最近，有几本关于分数导数和分数积分的书，例如[2–6].

三个世纪以来，分数导数理论主要发展成为一个纯粹的数学理论领域，只对数学家有用。然而，在过去的几十年中，许多作者指出分数导数和分数积分非常适合于描述各种实际问题的性质。

系统和过程的数学建模和仿真基于分数阶导数对其特性的描述，自然会产生分数阶微分方程，并需要求解这些方程。分数阶微分方程是整数阶经典微分方程的推广，在过去三十年左右的时间里，由于其在众多看似多样且广泛的科学和工程领域中的应用，得到了相当大的普及和重要性。如今，涉及分数阶微积分的科学和工程问题已经非常多，而且还在不断增加。研究发现，借助分数导数，可以很好地模拟各种应用，尤其是跨学科应用。分数微分和积分提供了更精确的系统模型。分数阶微积分目前应用的一些领域包括流体流动、流变学、自相似和多孔结构中的动力学过程、扩散输运阿金到扩散、电网络、概率和统计、动力系统控制理论、粘弹性、腐蚀电化学、化学物理、，光学、信号处理、经济学等；例如，请参见[7–12]以及其中引用的参考文献。

许多文章研究了分数阶微分方程的某些方面，例如Cauchy型问题解的存在唯一性、显式解和数值解的方法以及解的稳定性，我们参考[13–20]. 然而，就作者所知，到目前为止，关于分数阶微分方程的振动行为，人们知之甚少。特别是，到目前为止，关于（1.1）的振荡特性还不清楚。为了发展分数阶微分方程的定性理论，研究（1.1）的振动是非常有趣的。本文通过应用广义Riccati变换技巧和一个不等式，建立了（1.1）的几个振动准则。我们的结果是全新的。我们还提供了几个示例来说明结果。

2序言和引理

在本节中，我们将介绍贯穿本文的分数积分和分数导数的定义。有关更多详细信息，请参阅[2–6]. 我们还给出了几个引理，它们对建立我们的结果很有用。

分数阶积分和分数阶导数有几种定义，如黎曼-卢维尔定义、卡普托定义、卢维尔定义，格伦瓦尔德-莱特尼科夫定义、埃尔德利·科伯定义和哈达玛定义。我们在半轴上采用Liouville右侧定义ℝ₊就本文而言。

定义2.1（Kilbas等人[5])β级Liouville右侧分数积分0函数g的:ℝ₊→ℝ 在半轴上 ℝ₊ 由提供

(我_{-}^{β} 克) (t吨) : = \frac{1}{Γ (β)} \int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{β - 1} 克 (v（v）) d日 v（v） 对于 t吨 > 0,

(2.1)

如果右侧是在上逐点定义的 ℝ₊,哪里Γ是伽马函数。

定义2.2（Kilbas等人[5])函数g的β>0阶Liouville右侧分数导数:ℝ₊→ℝ 在半轴上 ℝ₊ 由提供

\begin{align} (天_{- 克}^{β}) (t吨) & : = {(- 1)}^{⌈β⌉} \frac{{d日}^{⌈β⌉}}{d日 {t吨}^{⌈β⌉}} (我_{-}^{⌈β⌉ - β} 克) (t吨) \\ = {(- 1)}^{⌈β⌉} \frac{1}{Γ (⌈β⌉ - β)} \frac{{d日}^{⌈β⌉}}{d日 {t吨}^{⌈β⌉}} \int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{⌈β⌉ - β - 1} 克 (v（v）) d日 v（v） 对于 t吨 > 0, \end{align}

(2.2)

如果右侧是在上逐点定义的 ℝ₊,哪里 ⌈β⌉：=最小值{z（z） ∈ ℤ:z（z）≥β}是天花板函数。

引理2.1 设y是（1.1）的解，并且

G公司 (t吨) : = \int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v） （f） 哦 第页 α \in (0, 1) 一 n个 d日 t吨 > 0,

（2.3）

然后

{G公司}^{'} (t吨) = - Γ (1 - α) (天_{-}^{α} 年) (t吨) （f） 哦 第页 α \in (0, 1) 一 n个 d日 t吨 > 0 .

(2.4)

证明从（2.3）和（2.2），针对α ∈（0，1）和t吨>我们获得0

\begin{align} {G公司}^{'} (t吨) & = Γ (1 - α) \frac{1}{Γ (1 - α)} \frac{d日}{d日 t吨} \int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v） \\ = - Γ (1 - α) [{(- 1)}^{⌈α⌉} \frac{1}{Γ (⌈α⌉ - α)} \frac{{d日}^{⌈α⌉}}{d日 {t吨}^{⌈α⌉}} \int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{⌈α⌉ - α - 1} 年 (v（v）) d日 v（v）] \\ = - Γ (1 - α) (天_{-}^{α} 年) (t吨) . \end{align}

证据是完整的。

引理2.2（Hardy等人[21])如果X和Y为非负，则

米 X（X） {Y（Y）}^{米 - 1} - {X（X）}^{米} \leq (米 - 1) {Y（Y）}^{米} （f） 哦 第页 米 > 1,

其中等式成立当且仅当X=Y（Y）.

3主要成果

定理3.1 假设（A）和

\int_{{t吨}_{0}}^{\infty} {第页}^{- 1 / η} (t吨) d日 t吨 = \infty

(3.1)

保持。此外，假设存在正函数b ∈ C类¹[t吨₀, ∞)这样的话

\underset{t吨 \to \infty}{林 啜饮} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} [K b条 (秒) q个 (秒) - \frac{第页 (秒) {[{b条}^{'}_{+} (秒)]}^{η + 1}}{{(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) b条 (秒)]}^{η}}] d日 秒 = \infty,

(3.2)

哪里 ${b条}_{+}^{'} (秒) : = 最大值 \{{b条}^{'} (秒), 0\}$ 那么（1.1）的每个解都是振荡的.

证明假设年是（1.1）的非振荡解。在不失一般性的情况下，我们可以假设年是（1.1）的最终正解。然后就有了t吨₁ ∈[t吨₀，∞），以便

年 (t吨) > 0 和 G公司 (t吨) > 0 对于 t吨 \in [{t吨}_{1}, \infty),

(3.3)

哪里G公司定义见（2.3）。因此，从（1.1）可以看出

{[第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)]}^{'} = q个 (t吨) （f） (G公司 (t吨)) > 0 对于 t吨 \in [{t吨}_{1}, \infty) .

(3.4)

因此 $第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)$ 正在严格增加[t吨₁，∞）并最终为一个符号。因为第页(t吨)>0用于t吨 ∈[t吨₀，∞）和η>0是奇数正整数的商，我们可以看到 $(天_{-}^{α} 年) (t吨)$ 最终有一个迹象。我们现在声称

(天_{-}^{α} 年) (t吨) < 0 对于 t吨 \in [{t吨}_{1}, \infty) .

(3.5)

如果没有，那么 $(天_{-}^{α} 年) (t吨)$ 最终是积极的，并且存在t吨₂ ∈[t吨₁，∞），以便 $(天_{-}^{α} 年) ({t吨}_{2}) > 0$ 。自 $第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)$ 正在严格增加[t吨₁，∞），很明显 $第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨) \geq 第页 ({t吨}_{2}) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} ({t吨}_{2}) : = {c（c）}_{1} > 0$ 对于t吨 ∈[t吨₂, ∞). 因此，从（2.4）我们得到

- \frac{{G公司}^{'} (t吨)}{Γ (1 - α)} = (天_{-}^{α} 年) (t吨) \geq {c（c）}_{1}^{1 / η_{第页} - 1 / η} (t吨) 对于 t吨 \in [{t吨}_{2}, \infty) .

积分最后一个不等式的两边t吨₂到t吨，我们得到

\int_{{t吨}_{2}}^{t吨} {第页}^{- 1 / η} (秒) d日 秒 \leq - \frac{G公司 (t吨) - G公司 ({t吨}_{2})}{{c（c）}_{1}^{1 / η} Γ (1 - α)} < \frac{G公司 ({t吨}_{2})}{{c（c）}_{1}^{1 / η} Γ (1 - α)} 对于 t吨 \in [{t吨}_{2}, \infty) .

出租t吨→ ∞, 我们看到了 $\int_{{t吨}_{2}}^{\infty} {第页}^{- 1 / η} (秒) d日秒 \leq \frac{G公司 ({t吨}_{2})}{{c（c）}_{1}^{1 / η} Γ (1 - α)} < \infty$ 这与（3.1）相矛盾。因此，（3.5）成立。定义函数w个通过广义Riccati替换

w个 (t吨) = b条 (t吨) \frac{- 第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)}{{G公司}^{η} (t吨)} 对于 t吨 \in [{t吨}_{1}, \infty) .

(3.6)

那么我们有w个(t吨)>0用于t吨 ∈[t吨₁,∞). 根据（3.6）、（1.1）、（2.4）和（A），可以得出

\begin{align} {w个}^{'} (t吨) & = {b条}^{'} (t吨) \frac{- 第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)}{{G公司}^{η} (t吨)} + b条 (t吨) {[\frac{- 第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)}{{G公司}^{η} (t吨)}]}^{'} \\ \leq {b条}_{+}^{'} (t吨) \frac{- 第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)}{{G公司}^{η} (t吨)} + b条 (t吨) [\frac{- {[第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)]}^{'}}{{G公司}^{η} (t吨)} + 第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨) \frac{η {G公司}^{η - 1} (t吨) {G公司}^{'} (t吨)}{{G公司}^{2 η} (t吨)}] \\ = {b条}_{+}^{'} (t吨) \frac{w个 (t吨)}{b条 (年)} + b条 (t吨) [\frac{- q个 (t吨) （f） (G公司 (t吨))}{{G公司}^{η} (t吨)} + 第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨) \frac{η [- Γ (1 - α) (天_{-}^{α} 年) (t吨)]}{{G公司}^{η + 1} (t吨)}] \\ \leq {b条}_{+}^{'} (t吨) \frac{w个 (t吨)}{b条 (t吨)} - K b条 (t吨) q个 (t吨) - η Γ (1 - α) b条 (t吨) 第页 (t吨) {[\frac{w个 (t吨)}{b条 (t吨) 第页 (t吨)}]}^{1 + 1 / η} \\ = - K b条 (t吨) q个 (t吨) + \frac{{b条}_{+}^{'} (t吨)}{b条 (t吨)} w个 (t吨) - η Γ (1 - α) {[b条 (t吨) 第页 (t吨)]}^{- 1 / η} {w个}^{1 + 1 / η} (t吨) 对于 t吨 \geq {t吨}_{1}, \end{align}

(3.7)

哪里 ${b条}_{+}^{'}$ 定义见定理3.1。拿

米 = 1 + \frac{1}{η}, X（X） = \frac{{[η Γ (1 - α)]}^{1 / 米} w个 (t吨)}{{[b条 (t吨) 第页 (t吨)]}^{1 / (η + 1)}} 和 Y（Y） = \frac{{[{b条}_{+}^{'} (t吨) / b条 (t吨)]}^{η} {[b条 (t吨) 第页 (t吨)]}^{1 / 米}}{米^{η} {[η Γ (1 - α)]}^{η / 米}},

从（3.7）和引理2.2我们得出如下结论

{w个}^{'} (t吨) \leq - K b条 (t吨) q个 (t吨) + \frac{第页 (t吨) {[{b条}_{+}^{'} (t吨)]}^{η + 1}}{{(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) b条 (t吨)]}^{η}} 对于 t吨 \in [{t吨}_{1}, \infty) .

积分最后一个不等式的两边t吨₁到t吨，我们获得

\int_{{t吨}_{1}}^{t吨} [K b条 (秒) q个 (秒) - \frac{第页 (秒) {[{b条}_{+}^{'} (秒)]}^{η + 1}}{{(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) b条 (秒)]}^{η}}] d日 x个 \leq w个 ({t吨}_{1}) - w个 (t吨) < w个 ({t吨}_{1}) 对于 t吨 \in [{t吨}_{1}, \infty) .

出租t吨→ ∞, 我们得到 $林 {啜饮}_{t吨 \to \infty} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} [K b条 (秒) q个 (秒) - \frac{第页 (秒) {[{b条}_{+}^{'} (秒)]}^{η + 1}}{{(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) b条 (秒)]}^{η}}] d日秒 \leq w个 ({t吨}_{1}) < \infty,$ 这与（3.2）相矛盾。证据是完整的。

定理3.2 假设（A）和（3.1）成立。此外，假设存在正函数b ∈ C类¹[t吨₀，∞）和一个函数 $H（H） \in C类 (天, ℝ)$ ,哪里 $天 : = \{(t吨, 秒) : t吨 \geq 秒 \geq {t吨}_{0}\}$ ,这样的话

H（H） (t吨, t吨) = 0 （f） 哦 第页 t吨 \geq {t吨}_{0}, H（H） (t吨, 秒) > 0 （f） 哦 第页 (t吨, 秒) \in 天_{0},

哪里 $天_{0} : = \{(t吨, 秒) : t吨 > 秒 \geq {t吨}_{0}\}$ ,H有一个非正的连续偏导数 ${H（H）}_{秒}^{'} (t吨, 秒) : = \frac{\partial H（H） (t吨, 秒)}{\partial 秒}$ 在 $天_{0}$ 关于第二个变量，并满足

\underset{t吨 \to \infty}{林 啜饮} \frac{1}{H（H） (t吨, {t吨}_{0})} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨 - 1} [b条 (秒) q个 (秒) H（H） (t吨, 秒) - \frac{b条 (秒) 第页 (秒) {小时}_{+}^{η} (t吨, 秒)}{K {(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) H（H） (t吨, 秒)]}^{η}}] d日 秒 = \infty,

(3.8)

哪里 ${小时}_{+} (t吨, 秒) : = 最大值 \{0, {H（H）}_{秒}^{'} (t吨, 秒) + H（H） (t吨, 秒) \frac{{b条}_{+}^{'} (秒)}{b条 (秒)}\}$ 对于 $(t吨, 秒) \in 天_{0}$ ,在这里 ${b条}_{+}^{'}$ 定义见定理3.1。那么（1.1）的所有解都是振荡的。

证明假设年是（1.1）的非振荡溶液。在不失一般性的情况下，我们可以假设年是（1.1）的最终正解。我们按照定理3.1的证明进行，得到（3.7）成立。将（3.7）乘以H（H）(t、秒)并从中集成t吨₁到t吨-1，用于t吨 ∈[t吨₁+1，∞）我们得到

\begin{align} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} K b条 (秒) q个 (秒) H（H） (t吨, 秒) d日 秒 & \leq - \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} H（H） (t吨, 秒) {w个}^{'} (秒) d日 秒 + \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} H（H） (t吨, 秒) \frac{{b条}_{+}^{'} (秒)}{b条 (秒)} w个 (秒) d日 秒 \\ - \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} H（H） (t吨, 秒) η Γ (1 - α) {[b条 (秒) 第页 (秒)]}^{- 1 / η} {w个}^{1 + 1 / η} (秒) d日 秒 . \end{align}

（3.9）

使用分部积分公式t吨 ∈[t吨₁+1，∞）我们得到

\begin{align} - \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} H（H） (t吨, 秒) {w个}^{'} (秒) d日 秒 & = - {[- H（H） (t吨, 秒) w个 (秒)]}_{秒 = {t吨}_{1}}^{秒 = t吨 - 1} + \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} {H（H）}_{秒}^{'} (t吨, 秒) w个 (秒) d日 秒 \\ < H（H） (t吨, {t吨}_{1}) w个 ({t吨}_{1}) + \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} {H（H）}_{秒}^{'} (t吨, 秒) w个 (秒) d日 秒 . \end{align}

(3.10)

将（3.9）中的（3.10）替换为t吨 ∈[t吨₁+1，∞）我们有

\begin{align} K \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} b条 (秒) q个 (秒) H（H） (t吨, 秒) d日 秒 \\ \leq H（H） (t吨, {t吨}_{1}) w个 ({t吨}_{1}) + \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} \{[{H（H）}_{秒}^{'} (t吨, 秒) + H（H） (t吨, 秒) \frac{{b条}_{+}^{'} (秒)}{b条 (秒)}] w个 (秒) - \frac{η Γ (1 - α) H（H） (t吨, 秒)}{{[b条 (秒) 第页 (秒)]}^{1 / η}} {w个}^{1 + 1 / η} (秒)\} d日 秒 \\ \leq H（H） (t吨, {t吨}_{1}) w个 ({t吨}_{1}) + \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} [{小时}_{+} (t吨, 秒) w个 (秒) - \frac{η Γ (1 - α) H（H） (t吨, 秒)}{{[b条 (秒) 第页 (秒)]}^{1 / η}} {w个}^{1 + 1 / η} (秒)] d日 秒, \end{align}

（3.11）

哪里小时₊定义见定理3.2。拿

米 = 1 + \frac{1}{η}, X（X） = \frac{{[η Γ (1 - α) H（H） (t吨, 秒)]}^{1 / 米} w个 (秒)}{{[b条 (秒) 第页 (秒)]}^{1 / (η + 1)}} 和 Y（Y） = \frac{{小时}_{+}^{η} (t吨, 秒) {[b条 (秒) 第页 (秒)]}^{1 / 米}}{米^{η} {[η Γ (1 - α) H（H） (t吨, 秒)]}^{η / 米}},

通过使用（3.11）中的引理2.2，我们得到t吨 ∈[t吨₁+ 1, ∞),

\int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} b条 (秒) q个 (秒) H（H） (t吨, 秒) d日 秒 \leq K^{- 1} H（H） (t吨, {t吨}_{1}) w个 ({t吨}_{1}) + K^{- 1} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} \frac{b条 (秒) 第页 (秒) {小时}_{+}^{η} (t吨, 秒)}{{(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) H（H） (第页, 秒)]}^{η}} d日 秒 .

(3.12)

自 ${H（H）}_{秒}^{'} (t吨, 秒) \leq 0$ 对于t吨>秒≥t吨₀，我们有0>H（H）(t吨,t吨₁) ≤H（H）(t吨,t吨₀)的t吨>t吨₁≥t吨₀因此，从（3.12）中我们得到t吨 ∈[t吨₁+ 1, ∞),

\begin{align} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} [b条 (秒) q个 (秒) H（H） (t吨, 秒) - \frac{b条 (秒) 第页 (秒) {小时}_{+}^{η} (t吨, 秒)}{K {(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) H（H） (t吨, 秒)]}^{η}}] d日 秒 \\ \leq K^{- 1} H（H） (t吨, {t吨}_{1}) w个 ({t吨}_{1}) \leq K^{- 1} H（H） (t吨, {t吨}_{0}) w个 ({t吨}_{1}) . \end{align}

（3.13）

自0起<H（H）(t、秒) ≤H（H）(t、吨₀)的t吨>秒≥t吨₀，我们有 $0 < \frac{H（H） (t吨, 秒)}{H（H） (t吨, {t吨}_{0})} \leq 1$ 对于t吨>秒≥t吨₀因此，从（3.13）可以看出

\begin{align} \frac{1}{H（H） (t吨, {t吨}_{0})} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨 - 1} [b条 (秒) q个 (秒) H（H） (t吨, 秒) - \frac{b条 (秒) 第页 (秒) {小时}_{+}^{η} (t吨, 秒)}{K {(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) H（H） (t吨, 秒)]}^{η}}] d日 秒 \\ = \frac{1}{H（H） (t吨, {t吨}_{0})} \int_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{1}} [b条 (秒) q个 (秒) H（H） (t吨, 秒) - \frac{b条 (秒) 第页 (秒) {小时}_{+}^{η} (t吨, 秒)}{K {(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) H（H） (t吨, 秒)]}^{η}}] d日 秒 \\ + \frac{1}{H（H） (t吨, {t吨}_{0})} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨 - 1} [b条 (秒) q个 (秒) H（H） (t吨, 秒) - \frac{b条 (秒) 第页 (秒) {小时}_{+}^{η} (t吨, 秒)}{K {(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) H（H） (t吨, 秒)]}^{η}}] d日 秒 \\ \leq \frac{1}{H（H） (t吨, {t吨}_{0})} \int_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{1}} b条 (秒) q个 (秒) H（H） (t吨, 秒) d日 秒 + \frac{1}{H（H） (t吨, {t吨}_{0})} K^{- 1} H（H） (t吨, {t吨}_{0}) w个 ({t吨}_{1}) \\ \leq \int_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{1}} b条 (秒) q个 (秒) d日 秒 + K^{- 1} w个 ({t吨}_{1}) 对于 t吨 \in [{t吨}_{1} + 1, \infty) . \end{align}

出租t吨→ ∞, 我们有

\begin{array}{l} \underset{t吨 \to \infty}{林 啜饮} \frac{1}{H（H） (t吨, {t吨}_{0})} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨 - 1} [b条 (秒) q个 (秒) H（H） (t吨, 秒) - \frac{b条 (秒) 第页 (秒) {小时}_{+}^{η} (t吨, 秒)}{K {(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) H（H） (t吨, 秒)]}^{η}}] d日 秒 \\ \leq \int_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{1}} b条 (秒) q个 (秒) d日 秒 + K^{- 1} w个 ({t吨}_{1}) < \infty, \end{array}

这与（3.8）相矛盾。证据是完整的。

接下来，我们考虑这个案例

\int_{{t吨}_{0}}^{\infty} {第页}^{- 1 / η} (t吨) d日 t吨 < \infty,

(3.14)

其收益率（3.1）不成立。在这种情况下，我们得到了以下结果。

定理3.3 假设（A）和（3.14）成立，且存在正函数b ∈ C类¹[t吨₀,∞)使（3.2）保持不变。此外，假设对于每个常数C≥t吨₀,

\int_{C类}^{\infty} {[\frac{1}{第页 (t吨)} \int_{C类}^{t吨} q个 (秒) d日 秒]}^{1 / η} d日 t吨 = \infty .

(3.15)

那么（1.1）的每个解y都是振荡的或满足 $\underset{t吨 \to \infty}{林} \int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v） = 0$ .

证明假设年是（1.1）的非振荡溶液。在不失一般性的情况下，假设年是（1.1）的最终正解。按照定理3.1的证明进行，我们得到（3.3）和（3.4）成立。那么有两种情况是 $(天_{-}^{α} 年) (t吨)$ .证明时间 $(天_{-}^{α} 年) (t吨)$ 最终为负类似于定理3.1，因此省略。

接下来，假设 $(天_{-}^{α} 年) (t吨)$ 最终是积极的。然后就有了t吨₂≥t吨₁这样的话 $(天_{-}^{α} 年) (t吨) > 0$ 对于t吨≥t吨₂从（2.4）中我们得到G’(t吨)<0用于t吨≥t吨₂因此我们得到了lim_t吨→∞G公司(t吨) :=L（左）≥0且G公司(t吨) ≥L（左）。我们现在要求L（左）= 0. 假设不是，即。，L（左）>0，然后从（3.4）中得到

{[第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)]}^{'} = q个 (t吨) （f） (G公司 (t吨)) \geq q个 (t吨) K {G公司}^{η} (t吨) \geq K {L（左）}^{η} q个 (t吨) 对于 t吨 \in [{t吨}_{2}, \infty) .

积分最后一个不等式的两边t吨₂到t吨，我们有

第页 (t吨) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨) \geq 第页 ({t吨}_{2}) {(天_{-}^{α} 年)}^{η} ({t吨}_{2}) + K {L（左）}^{η} \int_{{t吨}_{2}}^{t吨} q个 (秒) d日 秒 > K {L（左）}^{η} \int_{{t吨}_{2}}^{t吨} q个 (秒) d日 秒 对于 t吨 \in [{t吨}_{2}, \infty) .

因此，从（2.4）中我们得到

- \frac{{G公司}^{'} (t吨)}{Γ (1 - α)} = (天_{-}^{α} 年) (t吨) > K^{1 / η} L（左） {[\frac{1}{第页 (t吨)} \int_{{t吨}_{2}}^{t吨} q个 (秒) d日 秒]}^{1 / η} 对于 t吨 \in [{t吨}_{2}, \infty) .

积分最后一个不等式的两边t吨₂到t吨，我们获得

G公司 (t吨) \leq G公司 ({t吨}_{2}) - Γ (1 - α) K^{1 / η} L（左） \int_{{t吨}_{2}}^{t吨} {[\frac{1}{第页 (u个)} \int_{{t吨}_{2}}^{u个} q个 (秒) d日 秒]}^{1 / η} d日 u个 对于 t吨 \in [{t吨}_{2}, \infty) .

出租t吨→ ∞, 从（3.15）我们得到了lim_t吨→∞G公司(t吨) = -∞. 这与（3.3）相矛盾。因此，我们有L（左）=0，即lim_t吨→∞G公司(t吨) = 0. 鉴于（2.3），我们认为证明是完整的。

定理3.4 假设（A）和（3.14）成立。让b(t吨)和H(t吨,秒)如定理3.2所定义，以便（3.8）成立。此外，假设对于每个常数C≥t吨₀,（3.15）保持。则（1.1）的每个解y都是振荡的或满足 $\underset{t吨 \to \infty}{林} \int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v） = 0$ .

证明假设年是（1.1）的非振荡解。在不失一般性的情况下，假设年是（1.1）的最终正解。按照定理3.1的证明进行，我们得到（3.3）和（3.4）成立。那么有两种情况是 $(天_{-}^{α} 年) (t吨)$ .证明时间 $(天_{-}^{α} 年) (t吨)$ 最终为负类似于定理3.2，因此省略。证明何时 $(天_{-}^{α} 年) (t吨)$ 最终为正，类似于定理3.3的证明，因此被省略。证据是完整的。

备注3.1从定理3.1-3.4中，我们可以导出在不同的函数选择下（1.1）振动的许多不同的充分条件b条和H（H）.

4个示例

示例4.1考虑分数微分方程

{[{t吨}^{η - 1} {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)]}^{'} - \frac{1}{{t吨}^{2}} {(\int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v）)}^{η} = 0, t吨 > 0,

(4.1)

哪里α ∈(0,1),η>0是奇数正整数的商(η+ 1)^η+1[Γ(1 -α)]^η> 1. 在（4.1）中，第页(t吨)=t吨^η-1, $q个 (t吨) = \frac{1}{{t吨}^{2}}$ 和（f）(u个)=u个^η.接受t吨₀>0和K= 1. 自

\int_{{t吨}_{0}}^{\infty} {第页}^{- 1 / η} (t吨) d日 t吨 = \int_{{t吨}_{0}}^{\infty} \frac{1}{{t吨}^{1 - \frac{1}{η}}} d日 t吨 = \infty,

我们发现（A）和（3.1）成立。我们将应用定理3.1，它仍然满足条件（3.2）。拿b条(秒)=秒，我们获得

\begin{array}{l} \underset{t吨 \to \infty}{林 啜饮} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} [K b条 (秒) q个 (秒) - \frac{第页 (秒) {[{b条}_{+}^{'} (秒)]}^{η + 1}}{{(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) b条 (秒)]}^{η}}] d日 秒 \\ = \underset{t吨 \to \infty}{林 啜饮} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} \frac{1}{秒} [1 - \frac{1}{{(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α)]}^{η}}] d日 秒 \\ = \infty, \end{array}

这意味着（3.2）成立。因此，根据定理3.1，（4.1）的每个解都是振荡的。

示例4.2考虑分数微分方程

{[{t吨}^{η + 1} {(天_{-}^{α} 年)}^{η} (t吨)]}^{'} - 2 t吨 [三 + 经验 (\int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v）)] {(\int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v）)}^{η} = 0, t吨 > 0,

(4.2)

哪里α ∈（0,1）和η>0是奇数正整数的商。在（4.2）中，第页(t吨)=t吨^η+1,q个(t吨)=2t吨和（f）(u个) = (3 +e（电子）^u个)u个^η.接受t吨₀>0和K= 3. 自

\int_{{t吨}_{0}}^{\infty} {第页}^{- 1 / η} (t吨) d日 t吨 = \int_{{t吨}_{0}}^{\infty} \frac{1}{{t吨}^{1 + \frac{1}{η}}} d日 t吨 < \infty,

我们看到（A）和（3.14）保持3.3，它保持不变。应用定理满足条件（3.2）和（3.15）。采取b条(秒)=1，那么我们得到

\underset{t吨 \to \infty}{林 啜饮} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} [K b条 (秒) q个 (秒) - \frac{第页 (秒) {[{b条}_{+}^{'} (秒)]}^{η + 1}}{{(η + 1)}^{η + 1} {[Γ (1 - α) b条 (秒)]}^{η}}] d日 秒 = \underset{t吨 \to \infty}{林 啜饮} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} 6 秒 d日 秒 = \infty,

这意味着（3.2）成立。对于每个常量C类≥t吨₀，我们可以找到0<米<1和t吨_米≥C类这样的话t吨-C类≥百万吨对于t吨 ∈[t吨_米, ∞). 因此，我们得出结论

\begin{align} \int_{C类}^{\infty} {[\frac{1}{第页 (t吨)} \int_{C类}^{t吨} q个 (秒) d日 秒]}^{1 / η} d日 t吨 = \int_{C类}^{\infty} {[\frac{1}{{t吨}^{η + 1}} \int_{C类}^{t吨} 2 秒 d日 秒]}^{1 / η} d日 t吨 \\ = \int_{C类}^{\infty} {(\frac{{t吨}^{2} - {C类}^{2}}{{t吨}^{η + 1}})}^{1 / η} d日 t吨 = \int_{C类}^{\infty} {[\frac{(t吨 + C类) (t吨 - C类)}{{t吨}^{η + 1}}]}^{1 / η} d日 t吨 \\ \geq {(2 C类 米)}^{\frac{1}{η}} \int_{{t吨}_{米}}^{\infty} \frac{1}{t吨} d日 t吨 = \infty, \end{align}

得出（3.15）成立。因此，根据定理3.3，每个解年（4.2）是振荡的或满足 $\underset{t吨 \to \infty}{林} \int_{t吨}^{\infty} {(v（v） - t吨)}^{- α} 年 (v（v）) d日 v（v） = 0$ .

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本研究得到了湖南省自然科学基金（11JJ3010）和湖南省科技计划（2010FJ6021）的资助。陈博士感谢匿名审稿人提出的宝贵建议和意见，这些建议和意见帮助作者改进了之前的文章手稿。

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中国湖南省湘潭市复兴东路88号湖南工程学院理工学院，邮编411104
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陈，DX。分数阶微分方程的振动准则。高级差异Equ 2012, 33 (2012). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2012-33

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收到:2011年11月27日
认可的:2012年3月15日
出版:2012年3月15日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2012-33