Oscillation of higher-order quasi-linear neutral differential equations

Xing, Guojing; Li, Tongxing; Zhang, Chenghui

doi:10.1186/1687-1847-2011-45

研究
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出版：2011年10月20日

高阶拟线性中立型微分方程的振动性

差分方程研究进展 体积 2011，物品编号：45(2011)引用本文

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韵律学细节

摘要

本文建立了一类高阶拟线性中立型微分方程的振动准则。这些标准改进了文献中的这些结果。给出了一些例子来说明我们的结果的重要性。

2010年数学学科分类34C10；34K11。

1.简介

中立型微分方程在自然科学和技术中有许多应用。例如，它们经常用于研究包含无损传输线的分布式网络，参见Hale[1]. 近年来，人们对各类中立型泛函微分方程解的振动性和非振动性进行了大量的研究。我们让读者参考报纸[2–22]以及其中引用的参考文献。

在这项工作中，我们将注意力局限于形式为的高阶拟线性中立型微分方程的振动性

{\{第页 (t吨) {[{(x个 (t吨) + 第页 (t吨) x个 (τ (t吨)))}^{(n个 - 1)}]}^{γ}\}}^{'} + q个 (t吨) {x个}^{γ} (σ (t吨)) = 0, n个 \geq 2 .

(1.1)

在本文中，我们假设：

(C类 ₁)γ≤1是奇数正整数的商；

(C类 ₂)第页 ∈C类([t吨 ₀, ∞), [0, ∞));

(C类 _三)q个 ∈C类([t吨 ₀（∞），[0，∞）），以及q个在任何半线上最终都不是零[t吨 _*，∞）用于t吨 _*≥t吨 ₀;

(C类 ₄)第页,τ,σ ∈C类¹([t吨 ₀, ∞),ℝ),第页(t吨) > 0,第页'(t吨)≥0，lim_t吨→∞ τ(t吨)=极限_t吨→∞ σ(t吨) = ∞,σ ^-1存在并且σ ^-1是连续可微的，其中σ ^-1表示的反函数σ.

我们只考虑这些解决方案x个方程的(1.1）满足sup{|x个(t吨)| :t吨≥吨}全部>0吨≥t吨 ₀。我们假设该等式(1.1）具有这种解决方案。像往常一样，方程的解(1.1）被称为振荡，如果它有任意大的零点[t吨 ₀, ∞); 否则称为非振荡。方程式(1.1）如果其所有解都是振荡的，则称其为振荡的。

关于高阶中立型微分方程的振动，Agarwal等人[三,4]，Li等人[13]，Tang等人[16]、Zafer[19]，Zhang等人[21,22]研究了偶数阶中立型微分方程的振动性

{[x个 (t吨) + 第页 (t吨) x个 (τ (t吨))]}^{(n个)} + q个 (t吨) （f） (x个 (σ (t吨))) = 0 .

Karpuz等人[9]研究了奇阶中立型微分方程的振动性

{[x个 (t吨) + 第页 (t吨) x个 (τ (t吨))]}^{(n个)} + q个 (t吨) x个 (σ (t吨)) = 0, 0 \leq 第页 (t吨) < 1 .

Li和Thandapani[14]、伊尔迪斯和厄卡兰[18]研究了奇阶非线性中立型微分方程的振动性

{[x个 (t吨) + 第页 (t吨) x个 (一 + b t吨)]}^{(n个)} + q个 (t吨) {x个}^{α} (c（c） + d日 t吨) = 0, 0 \leq 第页 (t吨) \leq {P（P）}_{0} < \infty

和

{[x个 (t吨) + 第页 (t吨) x个 (τ (t吨))]}^{(n个)} + q个 (t吨) {x个}^{α} (σ (t吨)) = 0, 0 \leq 第页 (t吨) \leq {P（P）}_{1} < 1,

分别是。

到目前为止，关于方程振动性的结果很少(1.1）在条件下第页(t吨) ≥ 1; 参见，例如[三,4,13–15]. 在本说明中，我们将使用一些不同的技术来研究方程的振荡(1.1).

备注1.1. 本文中考虑的所有函数不等式都假定最终成立；也就是说，他们对所有人都满意t吨足够大。

备注1.2. 在不损失一般性的情况下，我们只能处理（1.1）的正解。

2.主要成果

在本节中，我们将建立方程的一些新的振动定理(1.1）.为了方便起见，（f） ^-1表示的反函数（f），我们让z（z）(t吨) :=x个(t吨) +第页(t吨)x个(τ(t吨))、和问(t吨)：=最小值{q个(σ ^-1(t吨)),q个(σ ^-1(τ(t吨)))}.

引理2.1. （尼瑟定理）[[2]，引理2.2.1]让（f） ∈C类^n个([t吨 ₀, ∞),ℝ)及其衍生物(n个-1）经常登录[t吨 ₀, ∞). 如果（f） ^(n个)符号不变，在[t吨 ₀，∞），然后，存在米 ∈ ℤ和t吨 ₁ ∈[t吨 ₀，∞）使0≤米≤n个-1和（-1）^n个+米 ff（关闭） ^(n个)≥ 0,

（f） {（f）}^{(j个)} > 0 （f） o个 第页 j个 = 0, 1, \dots, 米 - 1 w个 小时 e（电子） n个 米 \geq 1

和

{(- 1)}^{米 + j个} （f） {（f）}^{(j个)} > 0 （f） o个 第页 j个 = 米, 米 + 1, \dots, n个 - 1 w个 小时 e（电子） n个 米 \leq n个 - 1

等一下[t吨 ₁, ∞).

引理2.2. [[2]，引理2.2.3]让（f）是Kneser定理中的函数（f） ^(n个)(t吨) ≤ 0. 如果lim_t吨→∞ （f）(t吨)≠0，则每λ ∈（0，1），存在t吨 _λ ∈[t吨 ₁，∞），以便

∣ （f） ∣ \geq \frac{λ}{(n个 - 1)!} {t吨}^{n个 - 1} ∣ {（f）}^{(n个 - 1)} ∣

等待[t吨 _λ, ∞).

为了证明我们的定理，我们将使用以下不等式。

引理2.3. [23]假设0<γ≤ 1,x个 ₁,x个 ₂ ∈[0，∞）。然后，

{x个}_{1}^{γ} + {x个}_{2}^{γ} \geq {({x个}_{1} + {x个}_{2})}^{γ} .

(2.1)

以下引理在主要结果的证明中非常有用。

引理2.4. 假设第页'(t吨)≥0且

\int_{{t吨}_{0}}^{\infty} \frac{1}{{第页}^{1 ∕ γ} (t吨)} d日 t吨 = \infty .

(2.2)

如果x个是（1.1）的正解，则z（z）满足

z（z） (t吨) > 0, (第页 (t吨) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (t吨 {))}^{γ})^{'} \leq 0, {z（z）}^{(n个 - 1)} (t吨) > 0, {z（z）}^{(n个)} (t吨) \leq 0

最终。

证明。由于第页'(t吨)≥0，证明简单，故省略。□

引理2.5. 假设（2.2）成立，n个是均匀的，并且第页'(t吨) ≥ 0. 如果x个是（1.1）的正解，则z（z）满足

z（z） (t吨) > 0, {z（z）}^{'} (t吨) > 0, (第页 (t吨) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (t吨 {))}^{γ})^{'} \leq 0, {z（z）}^{(n个 - 1)} (t吨) > 0, {z（z）}^{(n个)} (t吨) \leq 0

最终。

证明。由于第页'(t吨)≥0和引理2.1，证明很容易，因此省略。

现在，我们给出结果。首先，我们建立了（1.1）振动的一些比较定理。

定理2.6.让n为奇数, 0 ≤第页(t吨) ≤第页 ₀< ∞, (σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0和τ'(t吨) ≥τ ₀> 0.假设(2.2)持有。如果一阶中立型微分不等式

\begin{gathered} {(\frac{年 (σ^{- 1} (t吨))}{σ_{0}} + \frac{{第页}_{0}^{γ}}{σ_{0} τ_{0}} 年 (σ^{- 1} (τ (t吨))))}^{'} \\ + 问 (t吨) {(\frac{λ_{0} {t吨}^{n个 - 1}}{(n个 - 1)! {第页}^{1 ∕ γ} (t吨)})}^{γ} 年 (t吨) \leq 0 \end{gathered}

(2.3)

对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后每个解决方案(1.1)振荡或趋向于零作为t→ ∞.

证明.让x个是（1.1）和lim的非振动解_t吨→∞ x个(t吨) ≠ 0. 然后是lim_t吨→∞ z（z）(t吨) ≠ 0. 由（1.1）可知

\frac{(第页 (σ^{- 1} (t吨)) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (t吨 {)))}^{γ})^{'}}{(σ^{- 1} (t吨))^{'}} + q个 (σ^{- 1} (t吨)) {x个}^{γ} (t吨) = 0

(2.4)

因此，对于所有足够大的t吨，我们有

\begin{array}{l} \frac{(第页 (σ^{- 1} (t吨)) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (t吨 {)))}^{γ})^{'}}{(σ^{- 1} (t吨))^{'}} \\ + {第页}_{0}^{γ} \frac{(第页 (σ^{- 1} (τ (t吨))) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (τ (t吨 {))))}^{γ})^{'}}{(σ^{- 1} (τ (t吨)))^{'}} \\ + q个 (σ^{- 1} (t吨)) {x个}^{γ} (t吨) + {第页}_{0}^{γ} q个 (σ^{- 1} (τ (t吨))) {x个}^{γ} (τ (t吨)) = 0 \end{array}

(2.5)

请注意

\begin{matrix} q个 (σ^{- 1} (t吨)) {x个}^{γ} (t吨) + {第页}_{0}^{γ} q个 (σ^{- 1} (τ (t吨))) {x个}^{γ} (τ (t吨)) \geq 问 (t吨) [{x个}^{γ} (t吨) + {第页}_{0}^{γ} {x个}^{γ} (τ (t吨))] \\ \geq 问 (t吨) [x个 (t吨) + {第页}_{0} x个 (τ (t吨))]^{γ} \\ \geq 问 (t吨) {z（z）}^{γ} (t吨) \end{matrix}

(2.6)

由于（2.1）和z（z）和问根据（2.5）和（2.6）

\begin{array}{l} \frac{(第页 (σ^{- 1} (t吨)) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (t吨 {)))}^{γ})^{'}}{(σ^{- 1} (t吨))^{'}} \\ + {第页}_{0}^{γ} \frac{(第页 (σ^{- 1} (τ (t吨))) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (τ (t吨 {))))}^{γ})^{'}}{(σ^{- 1} (τ (t吨)))^{'}} + 问 (t吨) {z（z）}^{γ} (t吨) \leq 0 \end{array}

(2.7)

鉴于(σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀>0和τ'(t吨) ≥τ ₀>0，我们得到

\begin{array}{l} \frac{(第页 (σ^{- 1} (t吨)) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (t吨 {)))}^{γ})^{'}}{σ_{0}} \\ + {第页}_{0}^{γ} \frac{(第页 (σ^{- 1} (τ (t吨))) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (τ (t吨 {))))}^{γ})^{'}}{σ_{0} τ_{0}} + 问 (t吨) {z（z）}^{γ} (t吨) \leq 0 \end{array}

(2.8)

另一方面，根据引理2.2和引理2.4，我们有

z（z） (t吨) \geq \frac{λ}{(n个 - 1)! {第页}^{1 ∕ γ} (t吨)} {t吨}^{n个 - 1} {第页}^{1 ∕ γ} (t吨) {z（z）}^{(n个 - 1)} (t吨) .

(2.9)

因此，设置第页(t吨)(z（z） ^(n个-1)(t吨))^γ=年(t吨)在（2.8）和（2.9）中，我们可以看到年是（2.3）的正解。这与我们的假设相矛盾，证明是完整的。

应用关于（2.3）系数的附加条件，我们可以从定理2.6推导出（1.1）的各种振动准则。

定理2.7.让n为奇数, 0 ≤第页(t吨) ≤第页 ₀< ∞, (σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0, τ'(t吨) ≥τ ₀> 0和τ(t吨) ≤t.假设(2.2)持有。如果一阶微分不等式

{w个}^{'} (t吨) + \frac{1}{\frac{1}{σ_{0}} + \frac{{第页}_{0}^{γ}}{σ_{0} τ_{0}}} 问 (t吨) {(\frac{λ_{0} {t吨}^{n个 - 1}}{(n个 - 1)! {第页}^{1 ∕ γ} (t吨)})}^{γ} w个 (τ^{- 1} (σ (t吨))) \leq 0

(2.10)

对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后的每一个解决方案(1.1)振荡或趋向于零作为t→ ∞.

证明。我们假设x个是（1.1）和lim的正解_t吨→∞ x个(t吨) ≠ 0. 那么引理2.4和定理2.6的证明意味着年(t吨) =第页(t吨)(z（z） ^(n个-1)(t吨))^γ>0是非递增的，它满足（2.3）。让我们表示

w个 (t吨) = \frac{年 (σ^{- 1} (t吨))}{σ_{0}} + \frac{{第页}_{0}^{γ}}{σ_{0} τ_{0}} 年 (σ^{- 1} (τ (t吨))) .

它源自τ(t吨) ≤t吨那个

w个 (t吨) \leq 年 (σ^{- 1} (τ (t吨))) (\frac{1}{σ_{0}} + \frac{{第页}_{0}^{γ}}{σ_{0} τ_{0}}) .

将这些术语替换为（2.3），我们得到w个是（2.10）的正解。这个矛盾完成了证明。

推论2.8. 让n个奇数，0≤第页(t吨) ≤第页 ₀< ∞, (σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0,τ'(t吨) ≥τ ₀>0和τ(t吨) ≤t吨假设（2.2）成立。如果τ ^-1(σ(t吨)) <t吨和

\underset{t吨 \to \infty}{极限 inf公司} \int_{τ^{- 1} (σ (t吨))}^{t吨} \frac{问 (秒) (秒^{n个 - 1})^{γ}}{第页 (秒)} d日 秒 > \frac{(\frac{1}{σ_{0}} + \frac{{第页}_{0}^{γ}}{σ_{0} τ_{0}}) {((n个 - 1)!)}^{γ}}{e（电子）},

(2.11)

则（1.1）的每个解都是振荡的或趋于零t吨→ ∞.

证明.根据[[10]定理2.1.1]，条件（2.11）保证（2.10）没有正解。推论的证明是完整的。

定理2.9.让n为奇数, 0 ≤第页(t吨) ≤第页 ₀< ∞, (σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0, τ'(t吨) ≥τ ₀> 0和τ(t吨) ≤t吨.假设(2.2)持有。如果一阶微分不等式

{w个}^{'} (t吨) + \frac{1}{\frac{1}{σ_{0}} + \frac{{第页}_{0}^{γ}}{σ_{0} τ_{0}}} {(\frac{λ_{0} {t吨}^{n个 - 1}}{(n个 - 1)! {第页}^{1 ∕ γ} (t吨)})}^{γ} w个 (σ (t吨)) \leq 0

(2.12)

对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后每个解决方案(1.1)振荡或趋向于零作为t→ ∞.

证明。我们假设x个是（1.1）和lim的正解_t吨→∞ x个(t吨) ≠ 0. 那么引理2.4和定理2.6的证明意味着年(t吨) =第页(t吨)(z（z） ^(n个-1)(t吨))^γ>0是非递增的，它满足（2.3）。我们表示

w个 (t吨) = \frac{年 (σ^{- 1} (t吨))}{σ_{0}} + \frac{{第页}_{0}^{γ}}{σ_{0} τ_{0}} 年 (σ^{- 1} (τ (t吨))) .

鉴于τ(t吨) ≥t吨，我们获得

w个 (t吨) \leq 年 (σ^{- 1} (t吨)) (\frac{1}{σ_{0}} + \frac{{第页}_{0}^{γ}}{σ_{0} τ_{0}}) .

将这些术语代入（2.3），我们得到w个是（2.12）的正解。这是一个矛盾，证明是完整的。

推论2.10. 让n个奇数，0≤第页(t吨) ≤第页 ₀< ∞, (σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0,τ'(t吨) ≥τ ₀>0和τ(t吨) ≤t吨假设（2.2）成立。如果σ(t吨) <t吨和

\underset{t吨 \to \infty}{极限 inf公司} \int_{σ (t吨)}^{t吨} \frac{问 (秒) (秒^{n个 - 1})^{γ}}{第页 (秒)} d日 秒 > \frac{(\frac{1}{σ_{0}} + \frac{{第页}_{0}^{γ}}{σ_{0} τ_{0}}) {((n个 - 1)!)}^{γ}}{e（电子）},

(2.13)

则（1.1）的每个解都是振荡的或趋于零t吨→ ∞.

证明.推论的证明与推论2.8的证明相似，因此省略。

例子2.11. 考虑奇阶中立型微分方程

{[x个 (t吨) + \frac{17}{18} x个 (\frac{t吨}{e（电子）})]}^{(n个)} + \frac{{q个}_{0}}{{t吨}^{n个}} x个 (\frac{t吨}{{e（电子）}^{2}}) = 0, n个 \geq 三, {q个}_{0} > 0, t吨 \geq 1 .

(2.14)

使用的结果[[9]，例1]，（2.14）的每个解都是振荡的或趋于零t吨→ ∞, 如果

{q个}_{0} > 9 (n个 - 1)! {e（电子）}^{2 n个 - 三} .

应用推论2.8，我们得到（2.14）的每个解都是振荡的或趋于零t吨→ ∞, 什么时候

{q个}_{0} > (n个 - 1)! ({e（电子）}^{2 n个 - 三} + \frac{17 {e（电子）}^{2 n个 - 2}}{18}) .

很容易看出，我们的结果提高了[9].

从上述关于奇阶微分方程振动性的结果和引理2.5，我们可以很容易地得到关于偶数阶中立型微分方程振动的以下结果。

定理2.12.让n保持平衡, 0 ≤第页(t吨) ≤第页 ₀< ∞, (σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0和τ'(t吨) ≥τ ₀> 0.假设(2.2)持有。如果一阶中立型微分不等式(2.3)对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后每个解决方案(1.1)是振荡的.

定理2.13.让n保持平衡, 0 ≤第页(t吨) ≤第页 ₀< ∞, (σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0, τ'(t吨) ≥τ ₀> 0和τ(t吨) ≤t吨.假设(2.2)持有。如果一阶微分不等式(2.10)对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后每个解决方案(1.1)是振荡的.

推论2.14. 让n个偶数，0≤第页(t吨) ≤第页 ₀< ∞, (σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0,τ'(t吨) ≥τ ₀>0和τ(t吨) ≤t吨假设（2.2）成立。如果（2.11）成立，并且τ ^-1(σ(t吨)) <t吨，则（1.1）的每个解都是振荡的。

定理2.15.让n为偶数, 0 ≤第页(t吨) ≤第页 ₀< ∞, (σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0, τ'(t吨) ≥τ ₀> 0和τ(t吨) ≤t吨.假设(2.2)持有。如果一阶微分不等式(2.12)对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后每个解决方案(1.1)是振荡的.

推论2.16. 让n个偶数，0≤第页(t吨) ≤第页 ₀< ∞, (σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0, τ'(t吨) ≥τ ₀>0和τ(t吨) ≤t吨假设（2.2）成立。如果（2.13）成立，并且σ(t吨) <t吨，则（1.1）的每个解都是振荡的。

例子2.17. 考虑偶数阶中立型微分方程

{[x个 (t吨) + \frac{7}{8} x个 (\frac{t吨}{e（电子）})]}^{(n个)} + \frac{{q个}_{0}}{{t吨}^{n个}} x个 (\frac{t吨}{{e（电子）}^{2}}) = 0, n个 \geq 4, {q个}_{0} > 0, t吨 \geq 1 .

(2.15)

使用的结果[[9]，实施例1][[21,22]，推论1]，我们发现（2.15）的每个解都是振荡的，如果

{q个}_{0} > 4 (n个 - 1)! {e（电子）}^{2 n个 - 三} .

使用[[19]，定理2]，我们可以得到（2.15）是振荡的，当

{q个}_{0} > 4 (n个 - 1) 2^{(n个 - 1) (n个 - 2)} {e（电子）}^{2 n个 - 三} .

应用本文中的推论2.14，我们发现（2.15）在

{q个}_{0} > (n个 - 1)! ({e（电子）}^{2 n个 - 三} + \frac{7 {e（电子）}^{2 n个 - 2}}{8}) .

因此，我们可以看到我们的结果比[9,19,21,22].

3.进一步结果

在第2节中，我们为以下情况建立了（1.1）的一些振动准则(σ ^-1(t吨))' ≥σ ₀> 0,τ'(t吨) ≥τ ₀>0和0≤第页(t吨) ≤第页 ₀<∞，这会限制我们的应用。例如，如果 $τ (t吨) = \sqrt{t吨}$ 则导致第2节不适用。下面，我们尝试弱化上述限制。在下面，我们将继续使用符号问如第2节所述，我们让H（H）(t吨)：=最大值{1/(σ ^-1(t吨))',第页 ^γ(t吨)/(σ ^-1(τ(t吨)))'}.

定理3.1.让n为奇数, (σ ^-1(t吨))' > 0和τ'(t吨) > 0.假设(2.2)持有。如果一阶中立型微分不等式

(年 (σ^{- 1} (t吨)) + 年 (σ^{- 1} (τ (t吨)))) + \frac{问 (t吨)}{H（H） (t吨)} {(\frac{λ_{0} {t吨}^{n个 - 1}}{(n个 - 1)! {第页}^{1 ∕ γ} (t吨)})}^{γ} 年 (t吨) \leq 0

(3.1)

对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后每个解决方案(1.1)振荡或趋向于零作为t→ ∞.

证明.让x个是（1.1）和lim的非振动解_t吨→∞ x个(t吨) ≠ 0. 然后是lim_t吨→∞ z（z）(t吨) ≠ 0. 从（1.1）中，我们得到（2.4）。因此，对于所有足够大的t吨，我们有

\begin{array}{l} \frac{(第页 (σ^{- 1} (t吨)) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (t吨 {)))}^{γ})^{'}}{(σ^{- 1} (t吨))^{'}} \\ + {第页}^{γ} (t吨) \frac{(第页 (σ^{- 1} (τ (t吨))) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (τ (t吨 {))))}^{γ})^{'}}{(σ^{- 1} (τ (t吨)))^{'}} \\ + q个 (σ^{- 1} (t吨)) {x个}^{γ} (t吨) + {第页}^{γ} (t吨) q个 (σ^{- 1} (τ (t吨))) {x个}^{γ} (τ (t吨)) = 0 \end{array}

(3.2)

请注意

\begin{array}{l} q个 (σ^{- 1} (t吨)) {x个}^{γ} (t吨) + {第页}^{γ} (t吨) q个 (σ^{- 1} (τ (t吨))) {x个}^{γ} (τ (t吨)) \\ \geq 问 (t吨) [{x个}^{γ} (t吨) + {第页}^{γ} (t吨) {x个}^{γ} (τ (t吨))] \\ \geq 问 (t吨) [x个 (t吨) + 第页 (t吨) x个 (τ (t吨))]^{γ} \\ = 问 (t吨) {z（z）}^{γ} (t吨) \end{array}

(3.3)

由于（2.1）和z（z）根据（3.2）和（3.3）

\begin{array}{l} \frac{(第页 (σ^{- 1} (t吨)) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (t吨 {)))}^{γ})^{'}}{(σ^{- 1} (t吨))^{'}} + {第页}^{γ} (t吨) \frac{(第页 (σ^{- 1} (τ (t吨))) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (τ (t吨 {))))}^{γ})^{'}}{(σ^{- 1} (τ (t吨)))^{'}} \\ + 问 (t吨) {z（z）}^{γ} (t吨) \leq 0 \end{array}

因此，我们得到

\begin{array}{l} {(第页 (σ^{- 1} (t吨)) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (t吨 {)))}^{γ} + 第页 (σ^{- 1} (τ (t吨))) ({z（z）}^{(n个 - 1)} (σ^{- 1} (τ (t吨 {))))}^{γ})}^{'} \\ + \frac{问 (t吨)}{H（H） (t吨)} {z（z）}^{γ} (t吨) \leq 0 \end{array}

(3.4)

另一方面，根据引理2.2和引理2.4，我们得到了（2.9）。因此，设置第页(t吨)(z（z） ^(n个-1)(t吨))^γ=年(t吨)在（3.4）和（2.9）中，我们可以看到年是（3.1）的正解。这与我们的假设相矛盾，证明是完整的。

应用关于（3.1）系数的附加条件，我们可以从定理3.1推导出（1.1）的各种振动准则。

定理3.2.让n为奇数, (σ ^-1(t吨))' > 0, τ'(t吨) > 0和τ(t吨) ≤t.假设(2.2)持有。如果一阶微分不等式

{w个}^{'} (t吨) + \frac{问 (t吨)}{2 H（H） (t吨)} {(\frac{λ_{0} {t吨}^{n个 - 1}}{(n个 - 1)! {第页}^{1 ∕ γ} (t吨)})}^{γ} w个 (τ^{- 1} (σ (t吨))) \leq 0

(3.5)

对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后(1.1)是振荡的或趋向于零作为t→ ∞.

证明。我们假设x个是（1.1）和lim的正解_t吨→∞ x个(t吨) ≠ 0. 那么引理2.4和定理3.1的证明意味着年(t吨) =第页(t吨)(z（z） ^(n个-1)(t吨))^γ>0是非递增的，它满足（3.1）。让我们表示

w个 (t吨) = 年 (σ^{- 1} (t吨)) + 年 (σ^{- 1} (τ (t吨))) .

它源自τ(t吨) ≤t吨那个

w个 (t吨) \leq 2 年 (σ^{- 1} (τ (t吨))) .

将这些术语替换为（3.1），我们得到w个是（3.5）的正解。这个矛盾完成了证明。

推论3.3. 让n个很奇怪(σ ^-1(t吨))' > 0,τ'(t吨)>0和τ(t吨) ≤t吨假设（2.2）成立。如果τ ^-1(σ(t吨)) <t吨和

\underset{t吨 \to \infty}{极限 inf公司} \int_{τ^{- 1} (σ (t吨))}^{t吨} \frac{问 (秒)}{H（H） (秒)} \frac{{(秒^{n个 - 1})}^{γ}}{第页 (秒)} d日 秒 > \frac{2 ((n个 - {1)!)}^{γ}}{e（电子）},

(3.6)

则（1.1）的每个解都是振荡的或趋于零t吨→ ∞.

证明.根据[[10]定理2.1.1]条件（3.6）保证（3.5）没有正解。推论的证明是完整的。

定理3.4.让n为奇数, (σ ^-1(t吨))' > 0, τ'(t吨) > 0和τ(t吨) ≥t吨.假设(2.2)持有。如果一阶微分不等式

{w个}^{'} (t吨) + \frac{问 (t吨)}{2 H（H） (t吨)} {(\frac{λ_{0} {t吨}^{n个 - 1}}{(n个 - 1)! {第页}^{1 ∕ γ} (t吨)})}^{γ} w个 (σ (t吨)) \leq 0

(3.7)

对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后每个解决方案(1.1)振荡或趋向于零作为t→ ∞.

证明。我们假设x个是（1.1）和lim的正解_t吨→∞ x个(t吨) ≠ 0. 那么引理2.4和定理3.1的证明意味着年(t吨) =第页(t吨)(z（z） ^(n个-1)(t吨))^γ>0是非递增的，它满足（3.1）。我们表示

w个 (t吨) = 年 (σ^{- 1} (t吨)) + 年 (σ^{- 1} (τ (t吨))) .

鉴于τ(t吨) ≥t吨，我们获得

w个 (t吨) \leq 2 年 (σ^{- 1} (t吨)) .

将这些术语替换为（3.1），我们得到w个是（3.7）的正解。这是一个矛盾，证明是完整的。

推论3.5. 让n个很奇怪(σ ^-1(t吨))' > 0,τ'(t吨)>0和τ(t吨) ≥t吨假设（2.2）成立。如果σ(t吨) <t吨和

\underset{t吨 \to \infty}{极限 inf公司} \int_{σ (t吨)}^{t吨} \frac{问 (秒)}{H（H） (秒)} \frac{{(秒^{n个 - 1})}^{γ}}{第页 (秒)} d日 秒 > \frac{2 ((n个 - {1)!)}^{γ}}{e（电子）},

(3.8)

则（1.1）是振荡的或趋于零t吨→ ∞.

证明.推论的证明与推论3.3的证明相似，因此省略。

从上述关于奇阶微分方程振动性的结果和引理2.5，我们可以很容易地得到关于偶数阶中立型微分方程振动的以下结果。

定理3.6.让n保持平衡, (σ ^-1(t吨))' > 0和τ'(t吨) > 0.假设(2.2)持有。如果一阶中立型微分不等式(3.1)对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后每个解决方案(1.1)是振荡的.

定理3.7.让n保持平衡, (σ ^-1(t吨))' > 0, τ'(t吨) > 0和τ(t吨) ≤t.假设(2.2)持有。如果一阶微分不等式(3.5)对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后(1.1)是振荡的.

推论3.8. 让n个持平(σ ^-1(t吨))' > 0,τ'(t吨)>0和τ(t吨) ≤t吨假设（2.2）成立。如果（3.6）成立，并且τ ^-1(σ(t吨)) <t吨，则（1.1）的每个解都是振荡的。

定理3.9.让n保持平衡, (σ ^-1(t吨))' > 0,τ'(t吨) > 0和τ(t吨) ≥t.假设(2.2)持有。如果一阶微分不等式(3.7)对于某些λ没有正解 ₀ ∈(0, 1)，然后每个解决方案(1.1)是振荡的.

推论3.10. 让n个持平(σ ^-1(t吨))' > 0,τ'(t吨)>0和τ(t吨) ≥t吨假设（2.2）成立。如果（3.8）成立，并且σ(t吨) <t吨，则（1.1）是振荡的。

对于上述结果的一些应用，我们给出了以下示例。

例子3.11. 考虑奇阶中立型微分方程

{[x个 (t吨) + {t吨}^{2} x个 ({t吨}^{2})]}^{(n个)} + \frac{{q个}_{0}}{{t吨}^{(n个 - 1) ∕ 4}} x个 (\sqrt{t吨}) = 0, n个 \geq 三, t吨 \geq 1 .

(3.9)

很容易验证是否满足推论3.5的所有条件。因此，（3.9）的每个解都是振荡的或趋于零t吨→ ∞.

例子3.12. 考虑偶数阶中立型微分方程(2.15).

应用推论3.8，我们知道当

{q个}_{0} > \frac{7}{4} {e（电子）}^{2 n个 - 2} (n个 - 1)! .

请注意，第2节中的结果要好于此。然而，在某些情况下，它们是不同的。因此，他们的存在是有意义的。

4.总结

在本文中，我们考虑了高阶拟线性中立型微分方程的振动性(1.1）当γ≤ 1. 关于案例的结果γ≥1，我们可以更换问(t吨)带有问(t吨)/2^γ-1.自

{x个}_{1}^{γ} + {x个}_{2}^{γ} \geq \frac{1}{2^{γ - 1}} {({x个}_{1} + {x个}_{2})}^{γ}, {x个}_{1}, {x个}_{2} \in [0, \infty)

对于γ≥ 1.

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7.确认

作者要感谢审稿人对本文的改进提出了有益的建议和意见。本研究得到中华人民共和国国家自然科学基金会（批准号：61034007、60874016、50977054）的支持。第二位作者感谢拉维·阿加瓦尔教授和马丁·博纳教授的无私指导。

作者信息

作者和附属机构

山东大学控制科学与工程学院，山东济南，250061，中华人民共和国
邢国静、李同兴、张成辉
济南大学数学学院，山东济南，250022，中华人民共和国
李同兴

作者

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收到:2011年7月8日
认可的:2011年10月20日
出版:2011年10月20日
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高阶拟线性中立型微分方程的振动性

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