Fixed points and orbits of non-convolution operators

León-Saavedra, Fernando; Romero-de la Rosa, Pilar

doi:10.1186/1687-1812-2014-221

研究
开放式访问
出版：2014年10月29日

非卷积算子的不动点和轨道

不动点理论及其应用 体积 2014，物品编号：221(2014)引用这篇文章

1208访问
8引文
韵律学细节

摘要

连续线性算子T型在Fréchet空间上F类如果存在向量，则为超循环 $（f） \in F类$ （它被称为超循环T型)这样的轨道 ${{T型}^{n个} （f） : n个 \in N个}$ 在F类.一个子集M（M）向量空间的F类如果 $M（M） \cup {0}$ 包含无限维闭向量空间。在本文中，我们研究了算子的轨道 ${T型}_{λ, b条} （f） = {（f）}^{'} (λ z（z） + b条)$ ( $λ, b条 \in C$ )Aron和Markose（J.Korean Math.Soc.41（1）：65-762004）在整函数空间上定义的。我们完成了Aron和Markose（J.Korean Math.Soc.41（1）:65-762004）中的结果，描述了 ${T型}_{λ, b条}$ 是超循环的 $H（H） (C)$ .我们还刻画了当超循环向量集 ${T型}_{λ, b条}$ 是可以腾空的。地图的固定点 $z（z） \to λ z（z） + b条$ （在这种情况下 $λ \neq 1$ )在证明中起着核心作用。

1引言

让我们用表示F类复无穷维Fréchet空间。连续线性算子T型定义于F类如果存在向量，则称为超循环 $（f） \in F类$ （称为超循环向量T型)这样的轨道 $({{T型}^{n个} （f） : n个 \in N个})$ 在F类.我们参考书籍[1,2]以及其中关于超循环算子的更多信息的参考文献。从现代术语来看M（M）向量空间的F类如果 $M（M） \cup {0}$ 包含无限维闭向量空间。研究（通常是病理性的）子集的可空间性是一个自然的问题，已被广泛研究（参见[1]第8章或最近的调查[三]以及其中的参考文献）。

1991年，戈德弗里和夏皮罗[4]表明每一个连续线性算子 $L（左） : H（H） (C) \to H（H） (C)$ 它与平移进行交换（这些操作符称为卷积操作符），并且不是恒等式的倍数，是超循环的。该结果统一了Birkhoff和MacLane的两个经典结果（参见调查[5]).

在[5]，Aron和Markose在 $H（H） (C)$ 它们不是卷积运算符。也就是说， ${T型}_{λ, b条} （f） = {（f）}^{'} (λ z（z） + b条)$ , $λ, b条 \in C$ 。在第一节中，我们说明如果 $λ \in D类$ 和 $b条 \in C$ 然后 ${T型}_{λ, b条}$ 不是超循环的 $H（H） (C)$ 。此结果与中的结果[5]和[6]显示了以下特征： ${T型}_{λ, b条}$ 是超循环的 $H（H） (C)$ 当且仅当 $| λ | \geq 1$ 因此，我们完成了Aron和Markose的结果[5]费尔南德斯和哈拉克[6]表征时间 ${T型}_{λ, b条}$ ( $λ, b条 \in C$ )是超循环的。让我们用表示 $H（H） C (T型)$ 超循环向量集T型在第3节中，我们描述了 $H（H） C ({T型}_{λ, b条})$ 是可以腾空的。即 $H（H） C ({T型}_{λ, b条})$ 只有当且仅当 $| λ | = 1$ .在证明过程中，必须考虑地图的不动点 $z（z） \to λ z（z） + b条$ ( $λ \neq 1$ ).

2表征 ${T型}_{λ, b条}$

这一结果的证明遵循了[5].

定理2.1 对于任何 $λ \in D类$ 和 $b条 \in C$ 以及任何 $（f） \in H（H） (C)$ ,顺序 ${T型}_{λ, b条}^{n个} （f） \to 0$ 关于的紧致子集的一致性 ℂ.因此 ${T型}_{λ, b条}$ 不是超循环的 $H（H） (C)$ .

证明设置 $φ (z（z）) = λ z（z） + b条$ , $λ \in D类$ 和 $b条 \in C$ 。自 $λ \neq 1$ , $φ (z（z）)$ 有一个固定点 ${z（z）}_{0}$ 的确， ${z（z）}_{0} = \frac{b条}{1 - λ}$ 。我们表示为 $φ_{n个} (z（z）)$ 由定义的迭代序列

φ_{n个} (z（z）) = φ \circ \dots \circ φ (n个 次),

简单的计算得出

φ_{n个} (z（z）) = λ^{n个} z（z） + \frac{1 - λ^{n个}}{1 - λ} b条 .

让我们观察一下操作符的迭代 ${T型}_{λ, b条}$ 有这个表格

{T型}_{λ, b条}^{n个} （f） (z（z）) = λ^{\frac{n个 (n个 - 1)}{2}} {（f）}^{(n个)} (λ^{n个} z（z） + \frac{(1 - λ^{n个}) b条}{1 - λ}) = λ^{\frac{n个 (n个 - 1)}{2}} {（f）}^{(n个)} (φ_{n个} (z（z）)),

哪里 ${（f）}^{(n个)}$ 表示n个的th导数（f）众所周知，如果 $λ \in D类$ 然后 ${z（z）}_{0}$ 是一个吸引人的不动点，即， $φ_{n个} (z（z）)$ 收敛到不动点 ${z（z）}_{0}$ 在紧子集上一致。的确，让我们 $R（右） > 0$ .如果 $| z（z） | \leq R（右）$ ，然后

| φ_{n个} (z（z）) - {z（z）}_{0} | = | λ^{n个} z（z） + \frac{(1 - λ^{n个}) b条}{1 - λ} - \frac{b条}{1 - λ} | \leq {| λ |}^{n个} R（右） + \frac{{| λ |}^{n个}}{| 1 - λ |} | b条 | \to 0

作为 $n个 \to \infty$ 因此，存在 ${n个}_{0}$ 如果 $| z（z） | \leq R（右）$ 然后 $| φ_{n个} (z（z）) - {z（z）}_{0} | < 1 / 2$ 为所有人 $n个 \geq {n个}_{0}$ .

如果 $n个 \geq {n个}_{0}$ 和 $| z（z） | \leq R（右）$ ，我们有柯西不等式

| {（f）}^{(n个)} (φ_{n个} (z（z）)) | \leq C n个! 2^{n个}, 其中 C = 最大值 {| （f） (w个) | : | w个 | \leq 1} .

现在，根据斯特林的公式 $n个! \leq e（电子） {n个}^{n个 + 1 / 2} {e（电子）}^{- n个}$ 因此，如果 $| z（z） | \leq R（右）$ 和 $n个 \geq {n个}_{0}$ ，然后

| {T型}_{λ, b条}^{n个} （f） (z（z）) | \leq C n个! 2^{n个} {| λ |}^{\frac{n个 (n个 - 1)}{2}} \leq C e（电子） {n个}^{1 / 2} {(\frac{2 n个 {| λ |}^{(n个 - 1) / 2}}{e（电子）})}^{n个},

从那以后 $2 n个 {| λ |}^{(n个 - 1) / 2} \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ ，我们得出结论 ${最大值}_{| z（z） | \leq R（右）} | {T型}_{λ, b条}^{n个} （f） (z（z）) | \to 0$ ，作为 $n个 \to \infty$ ，根据需要。我们指出，这是对Aron和Markose的论点的提炼。其中一名裁判追查常数并恢复因子 ${n个}^{1 / 2}$ 这是缺失的，但这并没有破坏论点。□

中的定理13[5]和定理2.1给出了以下特征。

定理2.2 对于任何 $λ \in C$ 和 $b条 \in C$ ,操作员 ${T型}_{λ, b条}$ 在中是超循环的 $H（H） (C)$ 当且仅当 $| λ | \geq 1$ .

3超循环向量集的可隔性 ${T型}_{λ, b条}$

如中所述[三]，很少有非平凡的子集示例M（M）它们是线性的（即， $M（M） \cup {0}$ 包含无限维向量空间），并且不可空。以下结果提供了以下示例： $| λ | > 1$ ，集合 $H（H） C ({T型}_{λ, b条})$ 是线性的，但它不是空间的。

什卡林[7]证明了对于导数算子D类，超循环向量集 $H（H） C (D类)$ 是可空间的。

定理3.1 对于任何 $λ \in C$ 和 $b条 \in C$ , $H（H） C ({T型}_{λ, b条})$ 只有当且仅当 $| λ | = 1$ .

证明首先，让我们假设 $| λ | > 1$ 让我们证明一下 $H（H） C ({T型}_{λ, b条})$ 不包含封闭的无限维子空间。让 ${z（z）}_{0}$ 是…的固定点 $φ (z（z）) = λ z（z） + b条$ 然后我们考虑定义拓扑的一系列范数 $H（H） (C)$ 即，针对 $n个 \in N个$ 和 $（f） \in H（H） (C)$ ，我们写

{第页}_{n个} (（f）) = \underset{| z（z） - {z（z）}_{0} | \leq {| λ |}^{n个 / 4}}{最大值} | （f） (z（z）) | .

不难看出，上述半范数序列正在增加，并定义了上的原始拓扑 $H（H） (C)$ .

考虑到增加半规范的顺序 ${{第页}_{n个}}$ ，根据中的定理10.25[2]，找到子空间序列就足够了 ${M（M）}_{n个} \subset H（H） (C)$ 有限余维，正数 $C_{n个} \to \infty$ 和 $N个 \geq 1$ 满足以下要求：

（a）
${第页}_{N个} (（f）) > 0$ , $\forall （f） \in H（H） C ({T型}_{λ, b条})$ .
（b）
${第页}_{N个} ({T型}_{λ, b条}^{n个} （f）) \geq C_{n个} {第页}_{n个} (（f）)$ , $\forall （f） \in {M（M）}_{n个}$ .

实际上，让我们考虑子空间

{M（M）}_{n个} = {（f） \in H（H） (C) : （f） ({z（z）}_{0}) = {（f）}^{'} ({z（z）}_{0}) = \dots = {（f）}^{(n个 - 1)} ({z（z）}_{0}) = 0},

它们显然是有限余维的。

请注意 $φ_{n个} (z（z）) - {z（z）}_{0} = λ^{n个} (z（z） - {z（z）}_{0})$ ，所以 $φ_{n个} (z（z）)$ 映射磁盘 $D类 ({z（z）}_{0}, 1) = {| z（z） - {z（z）}_{0} | \leq 1}$ 到上面 $D类 ({z（z）}_{0}, ∥ λ |^{n个})$ 因此，

\begin{aligned} {第页}_{0} ({T型}_{λ, b条}^{n个} （f）) & = \underset{| z（z） - {z（z）}_{0} | \leq 1}{最大值} | {T型}_{λ, b条}^{n个} （f） (z（z）) | \\ = {| λ |}^{\frac{n个 (n个 - 1)}{2}} \underset{| z（z） - {z（z）}_{0} | \leq 1}{最大值} | {（f）}^{(n个)} (φ_{n个} (z（z）)) | \\ = {| λ |}^{\frac{n个 (n个 - 1)}{2}} \underset{| φ_{n个} (z（z）) - {z（z）}_{0} | \leq {| λ |}^{n个 + 1}}{最大值} | {（f）}^{(n个)} (φ_{n个} (z（z）)) | \\ = {| λ |}^{\frac{n个 (n个 - 1)}{2}} \underset{| w个 - {z（z）}_{0} | \leq {| λ |}^{n个}}{最大值} | {（f）}^{(n个)} (w个) | . \end{aligned}

如果 $（f） \in {M（M）}_{1}$ 然后 $（f） ({z（z）}_{0}) = 0$ ，所以 $（f） (z（z）) = \int_{[{z（z）}_{0}, z（z）]} {（f）}^{'} (ξ) d日 ξ$ 。因此，我们有

\underset{| z（z） - {z（z）}_{0} | \leq R（右）}{最大值} | （f） (z（z）) | \leq R（右） \underset{| z（z） - {z（z）}_{0} | \leq R（右）}{最大值} | {（f）}^{'} (z（z）) |,

并且很容易通过归纳得出，如果 $（f） \in {M（M）}_{n个}$ 然后

\underset{| z（z） - {z（z）}_{0} | \leq R（右）}{最大值} | （f） (z（z）) | \leq {R（右）}^{n个} \underset{| z（z） - {z（z）}_{0} | \leq R（右）}{最大值} | {（f）}^{(n个)} (z（z）) | .

因此，

\begin{aligned} {第页}_{0} ({T型}_{λ, b条}^{n个} （f）) & = {| λ |}^{\frac{n个 (n个 - 1)}{2}} \underset{| w个 - {z（z）}_{0} | \leq {| λ |}^{n个}}{最大值} | {（f）}^{(n个)} (w个) | \\ \geq {| λ |}^{\frac{n个 (n个 - 1)}{2}} \underset{| w个 - {z（z）}_{0} | \leq {| λ |}^{n个 / 4}}{最大值} | {（f）}^{(n个)} (w个) | \\ \geq {| λ |}^{\frac{n个 (n个 - 1)}{2}} {| λ |}^{- {n个}^{2} / 4} \underset{| w个 - {z（z）}_{0} | \leq {| λ |}^{n个 / 4}}{最大值} | （f） (w个) | \\ = {| λ |}^{\frac{{n个}^{2} - 2 n个}{4}} {第页}_{n个} (（f）), \end{aligned}

因此满足条件（b） $N个 = 0$ 和 $C_{n个} = {| λ |}^{\frac{{n个}^{2} - 2 n个}{4}} \to \infty$ 作为 $n个 \to \infty$ ，因此 $H（H） C ({T型}_{λ, b条})$ 是不可分隔的。

现在，让我们假设 $| λ | = 1$ 让我们证明一下 $H（H） C ({T型}_{λ, b条})$ 是可以腾空的。事实上，让我们首先假设 $λ = 1$ .如果 $b条 = 0$ 然后 ${T型}_{1, 0} = D类$ Shkarin证明了[7]那个 $H（H） C (D类)$ 是可以腾空的。如果 $b条 \neq 0$ 然后 ${T型}_{1, b条} = D类 {e（电子）}^{b条 D类}$ ，所以 ${T型}_{1, b条} = ψ (D类)$ ，其中 $ψ (z（z）) = z（z） {e（电子）}^{b条 z（z）}$ 是不是多项式的指数型整函数，根据示例10.12[[2]，第275页]，空格 $H（H） C ({T型}_{1, b条})$ 是可以腾空的。

现在让我们考虑一下这个案例 $λ \in \partial D类 ∖ {1}$ .设置 ${z（z）}_{0} = \frac{b条}{1 - λ}$ 不动点 $φ (z（z）) = λ z（z） + b条$ .根据中的定理10.2[2]，自 ${T型}_{λ, b条}$ 满足自然数全序列的超循环性准则，就足以表现出无穷维闭子空间 ${M（M）}_{0}$ 属于 $H（H） (C)$ 根据哪种合适的权力 ${T型}_{λ, b条}$ 趋于0。现在，该证明模仿了中示例10.13中的一些想法[2]. 的确，对于任何人 $n个 \geq 1$ ，有一些 $C_{n个} > 0$ 这样的话

x^{n个} \leq 2^{x} 为所有人 x \geq C_{n个} .

(1)

让我们考虑一个严格递增的正整数序列 ${({n个}_{k个})}_{k个}$ 令人满意的 ${n个}_{k个 + 1} \geq C_{{n个}_{k个}}$ .如果 $j个 \geq k个 + 1$ ，然后 ${n个}_{j个} \geq {n个}_{k个 + 1} \geq C_{{n个}_{k个}}$ 因此，通过（1）我们得到

{n个}_{j个}^{{n个}_{k个}} \leq 2^{{n个}_{j个}} 的 j个 \geq k个 + 1 .

(2)

让我们考虑一下 ${M（M）}_{0}$ 的闭子空间 $H（H） (C)$ 所有功能的（f）表单的

（f） (z（z）) = \sum_{k个 = 1}^{\infty} 一_{k个} {(z（z） - {z（z）}_{0})}^{{n个}_{k个} - 1},

让我们证明一下 ${T型}_{λ, b条}^{{n个}_{k个}} （f） \to 0$ 一致地在紧子集上作为 $k个 \to \infty$ .

我们有

({T型}^{{n个}_{k个}} （f）) (z（z）) = λ^{\frac{{n个}_{k个} ({n个}_{k个} - 1)}{2}} ({D类}^{{n个}_{k个}} （f）) (φ_{{n个}_{k个}} (z（z）)) .

请注意 $| λ | = 1$ 和地图 $φ_{{n个}_{k个}}$ 拿着光盘 $D类 ({z（z）}_{0}, R（右）)$ 自己，所以

\begin{aligned} \underset{| z（z） - {z（z）}_{0} | \leq R（右）}{最大值} | ({T型}^{{n个}_{k个}} （f）) (z（z）) | & = \underset{| z（z） - {z（z）}_{0} | \leq R（右）}{最大值} | ({D类}^{{n个}_{k个}} （f）) (φ_{{n个}_{k个}} (z（z）)) | \\ = \underset{| w个 - {z（z）}_{0} | \leq R（右）}{最大值} | ({D类}^{{n个}_{k个}} （f）) (w个) | . \end{aligned}

最后，我们有

\begin{aligned} \underset{| w个 - {z（z）}_{0} | \leq R（右）}{最大值} | ({D类}^{{n个}_{k个}} （f）) (w个) | & = \underset{| w个 - {z（z）}_{0} | \leq R（右）}{最大值} | \sum_{j个 = k个 + 1}^{\infty} 一_{j个} {D类}^{{n个}_{k个}} {(w个 - {z（z）}_{0})}^{{n个}_{j个} - 1} | \\ \leq \sum_{j个 = k个 + 1}^{\infty} | 一_{j个} | ({n个}_{j个} - 1) ({n个}_{j个} - 2) \dots ({n个}_{j个} - {n个}_{k个}) {R（右）}^{{n个}_{j个} - {n个}_{k个} - 1} \\ \leq \sum_{j个 = k个 + 1}^{\infty} | 一_{j个} | {n个}_{j个}^{{n个}_{k个}} {R（右）}^{{n个}_{j个}} \\ \leq \sum_{j个 = k个 + 1}^{\infty} | 一_{j个} | {(2 R（右）)}^{{n个}_{j个}} \to 0 作为 k个 \to \infty . \end{aligned}

在最后一步中，我们使用了不等式（2）。这就完成了定理3.1的证明。□

工具书类

Bayart F，MatheronéCambridge Tracts in Mathematics 179。在线性算子动力学剑桥大学出版社，剑桥；2009年第xiv+337页
第章谷歌学者
Grosse-Erdmann K-G，Peris Manguillot A Universitext。在线性混沌斯普林格，伦敦；2011年第12页+386
第章谷歌学者
Bernal-González L，Pellegrino D，Seoane-Sepúlveda JB:拓扑向量空间中非线性集的线性子集。牛市。美国数学。社会（N.S.）2014, 51(1):71–130. 10.1090/S0273-0979-2013-01421-6
第条谷歌学者
Godefroy G，Shapiro JH：具有稠密不变循环向量流形的算子。J.功能。分析。1991, 98(2):229–269. 10.1016/0022-1236（91）90078-J
第条数学科学网谷歌学者
Aron R，Markose D：关于泛函数。J.韩国数学。Soc公司。2004, 41(1):65–76. 无限维函数理论卫星会议10.4134/JKMS.2004.41.1.065
第条数学科学网谷歌学者
Fernández G，Hallack AA：关于超循环非进化算子的一个结果的评论。数学杂志。分析。申请。2005, 309(1):52–55. 2016年10月10日/j.jmaa.2004年12月06日
第条数学科学网谷歌学者
Shkarin S:关于微分算子的超循环向量集。以色列。数学杂志。2010, 180: 271–283. 10.1007/s11856-010-0104-z
第条数学科学网谷歌学者

下载参考资料

致谢

该研究得到了安达卢西亚政府FQM-257的支持。作者感谢裁判仔细阅读我们的手稿，并给出了建设性意见，这有助于大幅提高论文质量。

作者信息

作者和附属机构

阿夫达卡迪兹大学数学系。西班牙加的斯赫雷斯-德拉弗龙特拉大学，邮编11405
费尔南多·莱昂·萨维德拉
西班牙加的斯赫雷兹·德拉弗伦特拉13岁马拉尼翁博士，IES Sofía数学系，邮编：11407
皮拉尔·罗梅罗·德·拉·罗莎

作者

费尔南多·莱昂·萨维德拉
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者
皮拉尔·罗梅罗·德·拉·罗莎
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者

通讯作者

与的通信费尔南多·莱昂·萨维德拉.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

两位作者在这篇文章中的贡献相等。他们阅读并批准了最后的手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 4.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/4.0)允许以任何媒体或格式使用、复制、改编、分发和复制，只要您对原始作者和来源给予适当的信任，提供知识共享许可的链接，并指出是否进行了更改。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

León-Saavedra，F.，Romero-de la Rosa，P.非卷积算子的不动点和轨道。不动点理论应用 2014, 221 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-221

下载引文

收到:2014年7月1日
认可的:2014年10月14日
出版:2014年10月29日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-221