Erratum to: Generalized metrics and Caristi’s theorem

Kirk, William A; Shahzad, Naseer

doi:10.1186/1687-1812-2014-177

勘误表
开放式访问
出版：2014年8月19日

勘误表：广义度量与Caristi定理

不动点理论及其应用 体积 2014，物品编号：177(2014)引用这篇文章

1258访问
34引文
韵律学细节

这个原始文章于2013年5月15日出版

中的断言[1]卡里斯蒂定理在广义度量空间中成立，除其他外，其基础是错误的断言，即如果 ${{第页}_{n个}}$ 是广义度量空间中的序列 $(X（X）, d日)$ ，如果 ${{第页}_{n个}}$ 满足 $\sum_{我 = 1}^{\infty} d日 ({第页}_{我}, {第页}_{我 + 1}) < \infty$ ，那么 ${{第页}_{n个}}$ 是一个柯西序列。在下面的示例1中，我们给出了这个断言的反例，在示例2中，我们表明，实际上，Caristi定理在这种空间中是失败的。对于给您带来的不便，我们深表歉意。

为了方便起见，我们给出了广义度量空间的定义。Brancari提出的概念[2].

定义1让X（X）是一个非空集合并且 $d日 : X（X） \times X（X） \to [0, \infty)$ 这样的映射 $x个, 年 \in X（X）$ 和所有不同的点 $u个, v（v） \in X（X）$ ，每个都不同于x个和年:

（i）
$d日 (x个, 年) = 0 \Leftrightarrow x个 = 年$ ,
（ii）
$d日 (x个, 年) = d日 (年, x个)$ ,
（iii）
$d日 (x个, 年) \leq d日 (x个, u个) + d日 (u个, v（v）) + d日 (v（v）, 年)$ （四边形不等式）。

然后X（X）称为广义度量空间.

以下示例是对的示例1的修改[三].

示例1让 $X（X） : = N个$ ，并定义函数 $d日 : N个 \times N个 \to R（右）$ 为了所有人 $米, n个 \in N个$ 具有 $米 > n个$ :

\begin{matrix} d日 (n个, n个) : = 0; \\ d日 (米, n个) = d日 (n个, 米) : = \frac{1}{2^{n个}} 如果 米 = n个 + 1; \\ d日 (米, n个) = d日 (n个, 米) : = 1 如果 米 - n个 是偶数; \\ d日 (米, n个) = d日 (n个, 米) : = \sum_{我 = n个}^{米} d日 (我, 我 + 1) 如果 米 - n个 很奇怪 . \end{matrix}

看看这个 $(X（X）, d日)$ 是广义度量空间，假设 $米, n个 \in N个$ 具有 $米 > n个$ 然后假设 $第页, q个 \in N个$ 各有不同米和n个。我们还假设 $q个 > 第页$ 。我们现在展示一下

d日 (n个, 米) \leq d日 (n个, 第页) + d日 (第页, q个) + d日 (q个, 米) .

（问）

如果三个数字中的一个 $| n个 - 第页 |$ , $q个 - 第页$ 或 $| q个 - 米 |$ 是均匀的，因为

d日 (n个, 米) \leq 1,

显然（Q）成立。如果这三个数字都是奇数，那么，因为 $米 - n个 = (米 - q个) + (q个 - 第页) + (第页 - n个)$ , $米 - n个$ 很奇怪并且

d日 (n个, 米) = \sum_{我 = n个}^{米} d日 (我, 我 + 1) .

在这种情况下，有四种情况需要考虑：

（i）
$n个 < 第页 < q个 < 米$ ,
（ii）
$第页 < n个 < q个 < 米$ ,
（iii）
$n个 < 第页 < 米 < q个$ ,
（iv）
$第页 < n个 < 米 < q个$ .

如果（i）成立，则

\begin{array}{rcl} d日 (n个, 米) & = & \sum_{我 = n个}^{米} d日 (我, 我 + 1) \\ = & \sum_{我 = n个}^{第页} d日 (我, 我 + 1) + \sum_{我 = 第页}^{q个} d日 (我, 我 + 1) + \sum_{我 = q个}^{米} d日 (我, 我 + 1) \\ = & d日 (n个, 第页) + d日 (第页, q个) + d日 (q个, 米) . \end{array}

在其他三种情况下

d日 (n个, 米) < d日 (n个, 第页) + d日 (第页, q个) + d日 (q个, 米) .

因此 $(X（X）, d日)$ 是一个广义度量空间。现在假设 ${{n个}_{k个}}$ 是中的Cauchy序列 $(X（X）, d日)$ .那么如果 ${n个}_{我} \neq {n个}_{k个}$ 和 $d日 ({n个}_{我}, {n个}_{k个}) < 1$ , $| {n个}_{我} - {n个}_{k个} |$ 一定很奇怪。但是，如果 ${{n个}_{k个}}$ 是无限的， $| {n个}_{我} - {n个}_{k个} |$ 对于所有足够大的对象，不能是奇数我,k个.（假设 ${n个}_{我} > {n个}_{j个} > {n个}_{k个}$ .如果 ${n个}_{我} - {n个}_{j个}$ 和 ${n个}_{j个} - {n个}_{k个}$ 那就怪了 ${n个}_{我} - {n个}_{k个}$ 是偶数。）因此，任何Cauchy序列 $(X（X）, d日)$ 最终必须是常量。由此可见 $(X（X）, d日)$ 是完整的，并且 ${n个}$ 不是中的Cauchy序列 $(X（X）, d日)$ 然而， $\sum_{我 = 1}^{\infty} d日 (我, 我 + 1) < \infty$ .

的定理2[1]断言Caristi定理的类比在完备的广义度量空间中成立 $(X（X）, d日)$ 因此，映射 $（f） : X（X） \to X（X）$ 如果存在下半连续函数，那么在这样的空间中应该总是有一个固定点 $φ : X（X） \to {R（右）}^{+}$ 这样的话

d日 (x个, （f） (x个)) \leq φ (x个) - φ (（f） (x个)) 对于每个 x个 \in X（X） .

以下示例显示，在示例1中描述的空间中，情况并非如此。

示例2让 $(X（X）, d日)$ 为例1的空格，让 $（f） (n个) = n个 + 1$ 对于 $n个 \in N个$ ，并定义 $φ : N个 \to {R（右）}^{+}$ 通过设置 $φ (n个) = \frac{2}{n个}$ .显然（f）没有固定点，而且由于空间是离散的，φ是连续的。另一方面，（f）满足Caristi的条件：

\frac{1}{2^{n个}} = d日 (n个, （f） (n个)) \leq φ (n个) - φ (（f） (n个)) = \frac{2}{n个} - \frac{2}{n个 + 1} .

要看到这一点，请注意

\frac{1}{2^{n个}} \leq \frac{2}{n个} - \frac{2}{n个 + 1} = \frac{2}{n个 (n个 + 1)} .

这相当于断言

2^{n个 + 1} \geq n个 (n个 + 1) .

（C）

证据是通过归纳得出的。显然（C）成立，如果 $n个 = 1$ 或 $n个 = 2$ .假设（C）适用于某些 $n个 \in N个$ , $n个 \geq 2$ .然后

\begin{array}{rcl} 2^{n个 + 2} & = & 2 (2^{n个 + 1}) \\ \geq & 2 n个 (n个 + 1) \\ = & (n个 + n个) (n个 + 1) \\ \geq & (n个 + 1) (n个 + 2) . \end{array}

工具书类

Kirk WA，Shahzad N：广义度量和Caristi定理。不动点理论应用。2013.，2013:文章ID 129
谷歌学者
Brancari A:一类广义度量空间上Banach-Caccioppoli型的不动点定理。出版物。数学。（碎片）2000, 57: 31–37.
数学科学网谷歌学者
Jachymski J，Matkowski J，̧tkowski T：半度量空间上的非线性收缩。J.应用。分析。1995, 1(2):125–134.
第条数学科学网谷歌学者

下载参考资料

作者信息

作者和附属机构

美国爱荷华州爱荷华市爱荷华大学数学系，邮编：52242
威廉·A·柯克
沙特阿拉伯吉达，邮编21959，邮政信箱80293，阿卜杜勒阿齐兹国王大学数学系
纳西尔·沙哈扎德

作者

威廉·A·柯克
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者
纳西尔·沙哈扎德
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者

通讯作者

与的通信纳西尔·沙哈扎德.

其他信息

原始文章的在线版本可以在10.1186/1687-1812-2013-129

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 4.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/4.0)允许以任何媒体或格式使用、复制、改编、分发和复制，只要您对原始作者和来源给予适当的信任，提供知识共享许可的链接，并指出是否进行了更改。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Kirk，W.A.，Shahzad，N.勘误表：广义度量和Caristi定理。不动点理论应用 2014, 177 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-177

下载引文

收到:2014年8月1日
认可的:2014年8月1日
出版:2014年8月19日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-177