A strong convergence theorem for Bregman asymptotically quasi-nonexpansive mappings in the intermediate sense

Tomizawa, Yukino

doi:10.1186/1687-1812-2014-154

研究
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出版：2014年7月22日

Bregman渐近拟单扩张映射在中间意义下的强收敛定理

Yukino Tomizawa公司^1,2

不动点理论及其应用 体积 2014，物品编号：154(2014)引用这篇文章

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2引文
韵律学细节

摘要

本文的目的是在中间意义上引入一类新的Bregman渐近拟单扩张映射。为了在自反Banach空间中寻找映射的不动点，建立了带修正Mann迭代的收缩投影法的强收敛定理。这个定理推广了当前文献中的一些已知结果。

MSC公司：47H09、47J25。

1引言

不动点理论是非线性分析的一个重要分支，已被应用于许多非线性现象的研究。非线性泛函分析中的许多问题都与寻找非扩张型非线性映射的不动点有关。从实际应用的角度来看，我们希望构造一个迭代过程来近似非扩张型映射的不动点。许多作者已经考虑了收敛到某些不动点的非扩张型映射的迭代算法问题。

让C类是真实Banach空间的非空子集，并且T型非线性映射C类融入自身。我们表示为 $F类 (T型)$ 的不动点集T型回忆一下T型据说是非扩张如果

∥ T型 x个 - T型 年 ∥ \leq ∥ x个 - 年 ∥ 为所有人 x个, 年 \in C类 .

一般来说，T型据说是渐近非扩张(囊性纤维变性。[1])如果存在序列 ${k_{n个}} \subset [1, \infty)$ 具有 $林_{n个 \to \infty} k_{n个} = 1$ 这样的话

∥ {T型}^{n个} x个 - {T型}^{n个} 年 ∥ \leq k_{n个} ∥ x个 - 年 ∥ 为所有人 x个, 年 \in C类 和 n个 \geq 1 .

在希尔伯特空间的框架下，高桥、武内和久保田[2]引入了一种新的混合迭代格式，称为非扩张映射的收缩投影方法。投影方法的一个优点是不需要任何紧假设就能保证迭代序列的强收敛性。此外，舒[三]引入了一种改进的Mann迭代来逼近一致凸Banach空间中渐近非扩张映射的不动点。动机[2,三]、仁川[4]针对渐近非扩张映射，引入了一种新的混合迭代方案，该方案使用了收缩投影方法和修正的Mann迭代。映射T型据说是中间意义上的渐近非扩张性(囊性纤维变性。[5])如果

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \underset{x个, 年 \in C类}{啜饮} (∥ {T型}^{n个} x个 - {T型}^{n个} 年 ∥ - ∥ x个 - 年 ∥) \leq 0 .

(1.1)

如果 $F类 (T型)$ 非空且（1.1）适用于所有人 $x个 \in C类$ 和 $年 \in F类 (T型)$ ，然后T型据说是中间意义下的渐近拟单扩张值得一提的是，由于中间意义上的映射一般不是Lipschitz连续的，所以中间意义上渐近非扩张映射类适当地包含了渐近非扩张映象类。

最近，许多作者在实Banach空间框架下进一步研究了新的混合迭代格式；例如，请参见[6–8]. 秦和王[9]引入了一类关于Lyapunov泛函渐近拟单扩张的新映射(囊性纤维变性。[10])在中间意义上。使用收缩投影法，郝[11]证明了关于Lyapunov泛函的渐近拟单扩张映射在中间意义上的强收敛性定理。

1967年，布雷格曼[12]在设计和分析可行性和优化算法的过程中，发现了使用所谓的Bregman距离函数（参见第2节）的优雅而有效的技术。这开辟了一个不断扩大的研究领域，其中Bregman的技术以各种方式应用于设计和分析不仅用于解决可行性和优化问题的迭代算法，而且用于解决变分不等式、近似平衡和计算非线性映射不动点的算法。

本文的目的是利用收缩投影方法证明渐近拟单扩张映射在中间意义上关于Bregman距离的强收敛性定理。许多作者研究了关于Bregman距离逼近非扩张型映射的不动点的迭代方法；参见[13–16]. 然而，关于Bregman距离的非Lipschitz连续的非线性映射尚未被研究。在此背景下，我们引入了一类新的渐近拟单扩张映射，它是关于中间意义上的Bregman距离的推广。基于上述结果，我们设计了一个新的混合迭代方案来寻找自反Banach空间中映射的不动点。该迭代方法有望应用于与Bregman距离相关的非线性泛函分析中的许多其他问题。

本文引入了一类新的非线性映射，它是渐近拟单扩张映射在中间意义上关于Bregman距离的推广。动机[4,12]利用自反Banach空间中Bregman距离的收缩投影方法，设计了一种新的混合迭代格式，用于在新类中寻找映射的不动点。我们证明了映射的一个新的强收敛定理，这是[11]. 在第2节中，我们给出了几个初步定义和结果。在第三节中，我们引入了一类关于Bregman距离的新映射，并证明了这些映射的不动点集的闭性和凸性。在第四节中，我们利用收缩投影方法证明了在新类中寻找映射不动点的一个强收敛定理。

2准备工作

在本文中，我们表示为N个和R（右）所有非负整数和实数的集合，我们假设E类是一个具有范数的实自反Banach空间 $∥ \cdot ∥$ , ${E类}^{*}$ 的对偶空间E类和 $〈 \cdot, \cdot 〉$ 之间的配对E类和 ${E类}^{*}$ .何时 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列E类，我们表示 ${{x个}_{n个}}$ 到x个通过 ${x个}_{n个} \to x个$ 和弱收敛 ${x个}_{n个} ⇀ x个$ .

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 成为一个函数。这个有效域属于（f）由定义

dom公司 （f） : = {x个 \in E类 : （f） (x个) < + \infty} .

什么时候？ $dom公司（f） \neq \emptyset$ 我们这么说（f）是适当的.我们用int dom表示（f）这个内部的有效域（f）。我们用ran表示（f）这个范围属于（f）.

功能（f）据说是强强制性如果 $林_{∥ x个 ∥ \to \infty} （f） (x个) / ∥ x个 ∥ = + \infty$ .给出一个适当的凸函数 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ ，的次微分的属于（f）是一个映射 $\partial （f） : E类 \to 2^{{E类}^{*}}$ 由定义

\partial （f） (x个) : = {{x个}^{*} \in {E类}^{*} : （f） (年) \geq （f） (x个) + 〈 {x个}^{*}, 年 - x个 〉, \forall 年 \in E类} 为所有人 x个 \in E类 .

这个芬切尔共轭的函数（f）是凸函数 ${（f）}^{*} : {E类}^{*} \to (- \infty, + \infty)$ 由定义

{（f）}^{*} (ξ) : = 啜饮 {〈 ξ, x个 〉 - （f） (x个) : x个 \in E类} .

我们知道这一点 ${x个}^{*} \in \partial （f） (x个)$ 当且仅当 $（f） (x个) + {（f）}^{*} ({x个}^{*}) = 〈 {x个}^{*}, x个〉$ 对于 $x个 \in E类$ ; 参见[17].

提议2.1([18]，建议2.47）

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 做一个合适的人,凸下半连续函数.那么以下条件是等价的:

（i）
$跑 \partial （f） = {E类}^{*}$ 和 $\partial {（f）}^{*} = {(\partial （f）)}^{- 1}$ 在以下有界子集上有界 ${E类}^{*}$ ;
（ii）
（f） 具有强烈的强制性.

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是凸函数，并且 $x个 \in 整数dom （f）$ 。对于任何 $年 \in E类$ ，我们定义右手导数属于（f）在x个在这个方向年通过

{（f）}^{\circ} (x个, 年) : = \underset{t吨 ↘ 0}{林} \frac{（f） (x个 + t吨 年) - （f） (x个)}{t吨} .

(2.1)

功能（f）据说是Gáteaux可微于 x个如果存在任何限制（2.1）年。在这种情况下梯度属于（f）在x个是函数 $\nabla （f） (x个) : E类 \to (- \infty, + \infty)$ 由定义 $〈 \nabla （f） (x个), 年〉 = {（f）}^{\circ} (x个, 年)$ 为所有人 $年 \in E类$ .功能（f）据说是Gáteaux可微如果它在每个点都是G–teaux可微的 $x个 \in 整数dom （f）$ 如果一致达到极限（2.1） $∥ 年 ∥ = 1$ ，然后函数（f）据说是Fréchet在 x个.功能（f）据说是子集上一致Fréchet可微 C类属于 E类如果对于 $x个 \in C类$ 和 $∥ 年 ∥ = 1$ 。我们知道，如果（f）在有界子集上一致Fréchet可微E类，然后（f）在以下有界子集上一致连续E类(囊性纤维变性。[19]). 我们需要以下结果。

提议2.2([20]，提议2.1）

如果函数 $（f） : E类 \to R（右）$ 是凸的,一致Fréchet可微且在有界子集上有界 E类,然后 ∇（f） 在以下有界子集上一致连续 E类 从强拓扑 E类 到的强拓扑 ${E类}^{*}$ .

提议2.3([21]，建议3.6.4）

让 $（f） : E类 \to R（右）$ 是在有界子集上有界的凸函数 E类.那么以下断言是等价的:

（i）
（f） 在 E类;
（ii）
${（f）}^{*}$ Fréchet可微 $\nabla {（f）}^{*}$ 是一致范数-到-有界子集上的范数连续 $dom公司 {（f）}^{*} = {E类}^{*}$ .

A函数 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 据说是可接受的如果它是适当的，凸的，下半连续的E类和Gáteaux在int dom上可微（f）.在这些条件下，我们知道（f）在intdom中是连续的（f）,¼f是单值的，并且 $\partial （f） = \nabla （f）$ ; 参见[17,22]. 容许函数 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 被称为勒让德(囊性纤维变性。[17])如果满足以下两个条件：

（L1）领域的内部（f），整数dom（f），非空，（f）Gáteaux可微且 $dom公司 \nabla （f） = 整数dom （f）$ ;

（L2）领域的内部 ${（f）}^{*}$ , $整数dom {（f）}^{*}$ ，非空， ${（f）}^{*}$ Gáteaux可微且 $dom公司 \nabla {（f）}^{*} = 整数dom {（f）}^{*}$ .

让（f）是上的Legendre函数E类.自E类是反射性的，我们总是 $\nabla （f） = {(\nabla {（f）}^{*})}^{- 1}$ 。当结合条件（L1）和（L2）时，这一事实意味着以下等式：

跑 \nabla （f） = dom公司 {（f）}^{*} = 整数dom {（f）}^{*} 和 跑 \nabla {（f）}^{*} = dom公司 （f） = 整数dom （f） .

条件（L1）和（L2）暗示功能（f）和 ${（f）}^{*}$ 在各自域的内部严格凸。

例2.4以下函数是Legendre on $E类 = {R（右）}^{n个}$ ：让 $x个 \in {R（右）}^{n个}$ .

（i）
能量减半： $（f） (x个) = {∥ x个 ∥}^{2} / 2 = \frac{1}{2} \sum_{j个 = 1}^{n个} {x个}_{j个}^{2}$ .
（ii）
玻尔兹曼-香农熵：
$（f） (x个) = {\begin{matrix} \sum_{j个 = 1}^{n个} ({x个}_{j个} 自然对数 ({x个}_{j个}) - {x个}_{j个}), & x个 \geq 0; \\ + \infty, & 否则 . \end{matrix}$
（iii）
伯格熵：
$（f） (x个) = {\begin{matrix} - \sum_{j个 = 1}^{n个} 自然对数 ({x个}_{j个}), & x个 > 0; \\ + \infty, & 否则 . \end{matrix}$

请注意 $整数dom （f） = {R（右）}^{n个}$ 在（i）中，鉴于 $整数dom （f） = {x个 \in {R（右）}^{n个} : {x个}_{j个} > 0, j个 = 1, \dots, n个}$ 在（ii）和（iii）中。

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是上的凸函数E类它在int-dom上是Gâteaux可微的（f）.双功能 ${D类}_{（f）} : dom公司（f） \times 内部dom （f） \to [0, + \infty)$ 由提供

{D类}_{（f）} (年, x个) : = （f） (年) - （f） (x个) - 〈 \nabla （f） (x个), 年 - x个 〉

被称为Bregman距离 （f）(囊性纤维变性。[23]). 一般来说，Bregman距离不是度量，因为它是不对称的，不满足三角形不等式。然而，它具有以下重要属性，称为三点身份(囊性纤维变性。[24])：对于任何 $x个 \in dom公司（f）$ 和 $年, z（z） \in 整数dom （f）$ ,

{D类}_{（f）} (x个, 年) + {D类}_{（f）} (年, z（z）) - {D类}_{（f）} (x个, z（z）) = 〈 \nabla （f） (z（z）) - \nabla （f） (年), x个 - 年 〉 .

(2.2)

例2.5与示例2.4的勒让德函数相对应的布列格曼距离如下( $x个, 年 \in {R（右）}^{n个}$ ):

（i）
欧氏距离： ${D类}_{（f）} (年, x个) = {∥ 年 - x个 ∥}^{2} / 2$ .
（ii）
Kullback-Leibler散度： ${D类}_{（f）} (年, x个) = \sum_{j个 = 1}^{n个} (年_{j个} 自然对数 (年_{j个} / {x个}_{j个}) - 年_{j个} + {x个}_{j个})$ .
（iii）
Itakura-Saito分歧： ${D类}_{（f）} (年, x个) = \sum_{j个 = 1}^{n个} (自然对数 ({x个}_{j个} / 年_{j个}) + 年_{j个} / {x个}_{j个} - 1)$ .

使用Legendre函数 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ ，我们将双函数联系起来 ${W公司}^{（f）} : dom公司 {（f）}^{*} \times dom公司（f） \to [0, + \infty)$ 由定义

{W公司}^{（f）} (ξ, x个) : = （f） (x个) - 〈 ξ, x个 〉 + {（f）}^{*} (ξ) 的 x个 \in dom公司 （f） 和 ξ \in dom公司 {（f）}^{*} .

提议2.6([13]，提议10）

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是一个Legendre函数，这样 $\nabla {（f）}^{*}$ 在以下有界子集上有界 $整数dom {（f）}^{*}$ .让 $x个 \in 整数dom （f）$ .如果序列 ${{D类}_{（f）} (x个, {x个}_{n个})}_{n个 \in N个}$ 有界的,然后是序列 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 也是有界的.

2.7号提案([13]，提议1）

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是Legendre函数.然后以下陈述成立:

（i）
功能 ${W公司}^{（f）} (\cdot, x个)$ 都是凸的 $x个 \in dom公司（f）$ ;
（ii）
${W公司}^{（f）} (\nabla （f） (x个), 年) = {D类}_{（f）} (年, x个)$ 为所有人 $x个 \in 整数dom （f）$ 和 $年 \in dom公司（f）$ .

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是上的凸函数E类在intdom上Gáteaux可微（f）.功能（f）据说是在某一点上完全凸 $x个 \in 整数dom （f）$ 如果是总凸模 $x个, {v（v）}_{（f）} (x个, \cdot) : [0, + \infty) \to [0, + \infty]$ ，由定义

{v（v）}_{（f）} (x个, t吨) : = inf公司 {{D类}_{（f）} (年, x个) : 年 \in dom公司 （f）, ∥ 年 - x个 ∥ = t吨},

无论何时都为正 $t吨 > 0$ .功能（f）据说是全凸的当它在intdom的每个点上都是全凸的（f）.功能（f）据说是有界集上的全凸如果，对于任何非空有界集 $B类 \subset E类$ ，的总凸模 （f）在B类, ${v（v）}_{（f）} (B类, t吨)$ 对任何情况都是积极的 $t吨 > 0$ ，其中 ${v（v）}_{（f）} (B类, \cdot) : [0, + \infty) \to [0, + \infty]$ 由定义

{v（v）}_{（f）} (B类, t吨) : = inf公司 {{v（v）}_{（f）} (x个, t吨) : x个 \in B类 \cap 整数dom （f）} .

我们顺便说一句（f）在有界集上是完全凸的当且仅当（f）在有界集上一致凸；参见[25,26].

主张2.8([25]，提议4.2）

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是一个凸函数，其域至少包含两个点.如果 （f） 是下半连续的,然后 （f） 在有界集上是完全凸的当且仅当 （f） 在有界集上一致凸.

提案2.9([27]，引理3.1）

让 $（f） : E类 \to R（右）$ 是一个全凸函数.如果 $x个 \in E类$ 和顺序 ${{D类}_{（f）} ({x个}_{n个}, x个)}_{n个 \in N个}$ 是有界的,然后是序列 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 也是有界的.

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是上的凸函数E类在intdom上Gáteaux可微（f）.功能（f）据说是地始终如一(囊性纤维变性。[26])如果是任何两个序列 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 和 ${年_{n个}}_{n个 \in N个}$ 在int dom中（f）和dom（f）分别使第一个有界，

\underset{n个 \to \infty}{林} {D类}_{（f）} (年_{n个}, {x个}_{n个}) = 0 暗示 \underset{n个 \to \infty}{林} ∥ 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥ = 0 .

提议2.10([22]，建议2.1.2）

A函数 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 在有界子集上是全凸的 E类 当且仅当它是顺序一致的.

让C类是E类.让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是上的凸函数E类在intdom上Gáteaux可微（f）. The布列格曼投影 ${项目}_{C类}^{（f）} (x个)$ 关于 （f）(囊性纤维变性。[23])第页，共页 $x个 \in 内部dom （f）$ 到上面C类最小值超过了吗C类功能的 ${D类}_{（f）} (\cdot, x个) : E类 \to [0, + \infty]$ 也就是说，

{项目}_{C类}^{（f）} (x个) : = arg最小值 {{D类}_{（f）} (年, x个) : 年 \in C类} .

提议2.11([28]，推论2.1）

让 $（f） : E类 \to R（右）$ 被接纳,强强制性,严格凸函数.让 C类 做一个不空虚的人,关闭,和的凸子集dom公司（f）.然后 ${项目}_{C类}^{（f）} (x个)$ 为所有人唯一存在 $x个 \in 整数dom （f）$ .

备注让 $（f） (x个) = {∥ x个 ∥}^{2} / 2$ 对于 $x个 \in E类$ .

（i）
如果E类是Hilbert空间，然后是Bregman投影 ${项目}_{C类}^{（f）}$ 减少到公制投影C类.
（ii）
如果E类是一个光滑的巴拿赫空间，然后是布雷格曼投影 ${项目}_{C类}^{（f）}$ 简化为广义投影 $Π_{C类} x个$ 其定义为
$Π_{C类} x个 : = arg最小值 {ϕ (年, x个) : 年 \in C类},$

哪里 $ϕ : E类 \times E类 \to {R（右）}^{+}$ Lyapunov函数(囊性纤维变性。[10])由定义 $ϕ (年, x个) : = {∥ 年 ∥}^{2} - 2 〈年, J型 x个〉 + {∥ x个 ∥}^{2}$ 为所有人 $x个, 年 \in E类$ .

提议2.12([26]，推论4.4）

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是一个全凸函数.让 C类 做一个不空虚的人,关闭,和的凸子集整数dom（f）和 $x个 \in 整数dom （f）$ .如果 $\hat{x个} \in C类$ ,那么下面的陈述是等价的:

（i）
矢量 $\hat{x个}$ 是Bregman投影 ${项目}_{C类}^{（f）} (x个)$ 属于 x个 到上面 C类.
（ii）
矢量 $\hat{x个}$ 是唯一的解决方案吗 z（z） 关于变分不等式
$〈 \nabla （f） (x个) - \nabla （f） (z（z）), z（z） - 年〉 \geq 0 为所有人年 \in C类 .$
（iii）
矢量 $\hat{x个}$ 是唯一的解决方案 z（z） 关于不平等
${D类}_{（f）} (年, z（z）) + {D类}_{（f）} (z（z）, x个) \leq {D类}_{（f）} (年, x个) 为所有人年 \in C类 .$

3中间意义上的Bregman渐近拟单扩张

让C类是E类和T型映射自C类融入自身。让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是一个容许函数。回想一下，映射T型据说是Bregman准单扩张(囊性纤维变性。[14])如果 $F类 (T型) \neq \emptyset$ 和

{D类}_{（f）} (第页, T型 x个) \leq {D类}_{（f）} (第页, x个) 为所有人 第页 \in F类 (T型) 和 x个 \in C类 .

映射T型据说是Bregman渐近拟单扩张(囊性纤维变性。[29])如果 $F类 (T型) \neq \emptyset$ 存在一个序列 ${k_{n个}} \subset [1, \infty)$ 具有 $林_{n个 \to \infty} k_{n个} = 1$ 这样的话

{D类}_{（f）} (第页, {T型}^{n个} x个) \leq k_{n个} {D类}_{（f）} (第页, x个) 为所有人 第页 \in F类 (T型), x个 \in C类 和 n个 \in N个 .

每个Bregman拟单扩张映射都是Bregman渐近拟单扩张的 $k_{n个} = 1$ .

我们引入了一类新的映射；映射T型据说是中间意义上的Bregman渐近拟单扩张如果 $F类 (T型) \neq \emptyset$ 和

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \underset{第页 \in F类 (T型), x个 \in C类}{啜饮} ({D类}_{（f）} (第页, {T型}^{n个} x个) - {D类}_{（f）} (第页, x个)) \leq 0 .

(3.1)

放置

ξ_{n个} = 最大值 {0, \underset{第页 \in F类 (T型), x个 \in C类}{啜饮} ({D类}_{（f）} (第页, {T型}^{n个} x个) - {D类}_{（f）} (第页, x个))} .

这意味着 $林_{n个 \to \infty} ξ_{n个} = 0$ 然后将（3.1）简化为以下内容：

{D类}_{（f）} (第页, {T型}^{n个} x个) \leq {D类}_{（f）} (第页, x个) + ξ_{n个} 为所有人 第页 \in F类 (T型) 和 x个 \in C类 .

中间意义上的Bregman渐近拟非扩张映射一般不是Lipschitz连续的。

示例3.1假设 $E类 = R（右）$ , $C类 = [1 / 2, 三 / 2]$ 和 $T型 : C类 \to C类$ 由定义

T型 x个 = {\begin{matrix} 1, & x个 \in [\frac{1}{2}, 1], \\ 1 - \sqrt{\frac{x个 - 1}{2}}, & x个 \in (1, \frac{三}{2}] . \end{matrix}

请注意 $F类 (T型) = {1}$ 和 ${T型}^{n个} x个 = 1$ 为所有人 $x个 \in C类$ 和 $n个 \geq 2$ .如果 $（f） : R（右） \to (- \infty, + \infty]$ 是Legendre函数，那么T型Bregman在中间意义上是渐近拟单扩张的

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \underset{x个 \in C类}{啜饮} ({D类}_{（f）} (1, {T型}^{n个} x个) - {D类}_{（f）} (1, x个)) \leq \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \underset{x个 \in C类}{啜饮} {D类}_{（f）} (1, {T型}^{n个} x个) = 0 .

然而，T型就实施例2.5中的Bregman距离而言，上述不是Lipschitzian距离。事实上，假设存在 $L（左） > 0$ 这样的话 ${D类}_{（f）} (T型年, T型 x个) \leq L（左） {D类}_{（f）} (年, x个)$ 为所有人 $x个, 年 \in C类$ 根据泰勒定理，存在 $t吨 \in (0, 1)$ 这样的话

{D类}_{（f）} (年, x个) = （f） (年) - （f） (x个) - 〈 \nabla （f） (x个), 年 - x个 〉 = \frac{1}{2} \nabla^{2} （f） (x个 + t吨 (年 - x个)) {(年 - x个)}^{2} .

(3.2)

（i）
让 $（f） (x个) = {∥ x个 ∥}^{2} / 2$ 在 $dom公司（f） = R（右）$ 和 ${D类}_{（f）} (年, x个) = {∥ 年 - x个 ∥}^{2} / 2$ 为所有人 $x个, 年 \in R（右）$ .放置 $年 = 1$ 和 $x个 = 1 + 1 / 2 (L（左） + 1)$ .自 $T型 x个 = 1 - 1 / 2 \sqrt{L（左） + 1}$ ，我们有
$\frac{1}{8 (L（左） + 1)} = \frac{1}{2} {∥ \frac{- 1}{2 \sqrt{L（左） + 1}} ∥}^{2} = \frac{1}{2} {∥ T型年 - T型 x个 ∥}^{2} \leq \frac{L（左）}{2} {∥ 年 - x个 ∥}^{2} = \frac{L（左）}{8 {(L（左） + 1)}^{2}} .$

这意味着 $L（左） + 1 \leq L（左）$ ，这是一个矛盾。

（ii）出租 $（f） (x个) = x个自然对数 (x个) - x个$ 在 $dom公司（f） = [0, + \infty)$ 和 ${D类}_{（f）} (年, x个) = 年自然对数 (年 / x个) - 年 + x个$ 为所有人 $x个 \in (0, + \infty)$ 和 $年 \in [0, + \infty)$ 。请注意 $\nabla^{2} （f） (x个) = 1 / x个$ .放置 $x个 = 1$ 根据（3.2），我们已经

{D类}_{（f）} (年, 1) = \frac{{(年 - 1)}^{2}}{2 (1 + t吨 (年 - 1))} \leq \frac{{(年 - 1)}^{2}}{2} 的 年 \geq 1

和

{D类}_{（f）} (年, 1) = \frac{{(年 - 1)}^{2}}{2 (1 + t吨 (年 - 1))} \geq \frac{{(年 - 1)}^{2}}{2} 的 0 < 年 \leq 1 .

如果 $年 = 1 + 1 / 2 (L（左） + 1)$ ，我们有

\begin{aligned} \frac{1}{8 (L（左） + 1)} & = \frac{1}{2} {(\frac{- 1}{2 \sqrt{L（左） + 1}})}^{2} \leq {D类}_{（f）} (T型 年, 1) \\ \leq L（左） {D类}_{（f）} (年, 1) \leq \frac{L（左）}{2} {(\frac{1}{2 (L（左） + 1)})}^{2} = \frac{L（左）}{8 {(L（左） + 1)}^{2}} . \end{aligned}

这意味着 $L（左） + 1 \leq L（左）$ ，这是一个矛盾。

（iii）
让 $（f） (x个) = - 自然对数 (x个)$ 在 $dom公司（f） = (0, + \infty)$ 和 ${D类}_{（f）} (年, x个) = 自然对数 (x个 / 年) + 年 / x个 - 1$ 为所有人 $x个, 年 \in (0, + \infty)$ 。请注意 $\nabla^{2} （f） (x个) = 1 / {x个}^{2}$ .放置 $年 = 1$ 根据（3.2），我们已经
${D类}_{（f）} (1, x个) = \frac{{(1 - x个)}^{2}}{2 {(x个 + t吨 (1 - x个))}^{2}} \leq \frac{{(1 - x个)}^{2}}{2} 的 x个 \geq 1$

和

{D类}_{（f）} (1, x个) = \frac{{(1 - x个)}^{2}}{2 {(x个 + t吨 (1 - x个))}^{2}} \geq \frac{{(1 - x个)}^{2}}{2} 的 0 < x个 \leq 1 .

如果 $x个 = 1 + 1 / 2 (L（左） + 1)$ ，我们有

\begin{aligned} \frac{1}{8 (L（左） + 1)} & = \frac{1}{2} {(\frac{1}{2 \sqrt{L（左） + 1}})}^{2} \leq {D类}_{（f）} (1, T型 x个) \\ \leq L（左） {D类}_{（f）} (1, x个) \leq \frac{L（左）}{2} {(\frac{- 1}{2 (L（左） + 1)})}^{2} = \frac{L（左）}{8 {(L（左） + 1)}^{2}} . \end{aligned}

这意味着 $L（左） + 1 \leq L（左）$ ，这是一个矛盾。

定理3.2 让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是勒让德函数，它在有界子集上是完全凸的 E类.假设 $\nabla {（f）}^{*}$ 在以下有界子集上有界 $整数dom {（f）}^{*}$ .让 C类 做一个不空虚的人,关闭,和的凸子集整数dom（f）.让 $T型 : C类 \to C类$ 是闭的Bregman渐近拟-中间意义上的非扩张映射.然后 $F类 (T型)$ 是封闭凸的.

证明自T型我们很容易得出结论 $F类 (T型)$ 已关闭。现在我们展示了 $F类 (T型)$ .让 ${第页}_{1}, {第页}_{2} \in F类 (T型)$ 和 $第页 = t吨 {第页}_{1} + (1 - t吨) {第页}_{2}$ ，其中 $t吨 \in (0, 1)$ 。我们证明 $第页 \in F类 (T型)$ 根据的定义T型，我们有

{D类}_{（f）} ({第页}_{我}, {T型}^{n个} 第页) \leq {D类}_{（f）} ({第页}_{我}, 第页) + ξ_{n个}

(3.3)

对于 $我 = 1, 2$ 通过三点恒等式（2.2），我们知道

{D类}_{（f）} (x个, 年) = {D类}_{（f）} (x个, z（z）) + {D类}_{（f）} (z（z）, 年) + 〈 \nabla （f） (z（z）) - \nabla （f） (年), x个 - z（z） 〉 .

这意味着

{D类}_{（f）} ({第页}_{我}, {T型}^{n个} 第页) = {D类}_{（f）} ({第页}_{我}, 第页) + {D类}_{（f）} (第页, {T型}^{n个} 第页) + 〈 \nabla （f） (第页) - \nabla （f） ({T型}^{n个} 第页), {第页}_{我} - 第页 〉

(3.4)

对于 $我 = 1, 2$ 结合（3.3）和（3.4）得出

{D类}_{（f）} (第页, {T型}^{n个} 第页) \leq ξ_{n个} - 〈 \nabla （f） (第页) - \nabla （f） ({T型}^{n个} 第页), {第页}_{我} - 第页 〉

(3.5)

对于 $我 = 1, 2$ .乘法t吨和 $1 - t吨$ （3.5）两侧 $我 = 1$ 和 $我 = 2$ 分别产生

\underset{n个 \to \infty}{林} {D类}_{（f）} (第页, {T型}^{n个} 第页) \leq \underset{n个 \to \infty}{林} (ξ_{n个} - 〈 \nabla （f） (第页) - \nabla （f） ({T型}^{n个} 第页), t吨 {第页}_{1} + (1 - t吨) {第页}_{2} - 第页 〉) = 0 .

这意味着 ${{D类}_{（f）} (第页, {T型}^{n个} 第页)}_{n个 \in N个}$ 有界。通过命题2.6和2.10，我们可以看到序列 ${{T型}^{n个} 第页}_{n个 \in N个}$ 有界且 $∥ 第页 - {T型}^{n个} 第页 ∥ \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ .由于T型，我们有

第页 = \underset{n个 \to \infty}{林} {T型}^{n个 + 1} 第页 = T型 (\underset{n个 \to \infty}{林} {T型}^{n个} 第页) = T型 第页

因此 $第页 \in F类 (T型)$ .因此 $F类 (T型)$ 是凸的。这就完成了证明。□

定理3.2简化为以下结果。

推论3.3([29]，引理1）

让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是勒让德函数，它在有界子集上是完全凸的 E类.让 C类 做一个不空虚的人,关闭,和的凸子集整数dom（f）和 $T型 : C类 \to C类$ 闭Bergman渐近拟-序列的非扩张映射 ${k_{n个}}_{n个 \in N个} \subset [1, + \infty)$ 这样的话 $k_{n个} \to 1$ 作为 $n个 \to \infty$ .然后 $F类 (T型)$ 是封闭凸的.

4主要成果

在本节中，我们证明了在中间意义下寻找Bregman渐近拟单扩张映射不动点的以下强收敛定理。让C类是E类和T型映射自C类融入自身。映射T型据说是渐近正则如果，对于任何 $x个 \in C类$ ,

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {T型}^{n个 + 1} x个 - {T型}^{n个} x个 ∥ = 0 .

定理4.1 让 $（f） : E类 \to (- \infty, + \infty]$ 是有界的勒让德函数,强强制性,上有界子集上一致Fréchet可微和全凸 E类.让 C类 做一个不空虚的人,关闭,和的凸子集整数dom（f）.让 $T型 : C类 \to C类$ 是闭的Bregman渐近拟-中间意义上的非扩张映射.假设 T型 在上是渐近正则的 C类和 $F类 (T型)$ 有界的.让 ${{x个}_{n个}}$ 是一系列 C类 由生成

{\begin{matrix} {x个}_{0} \in 内部dom （f）, 任意选择, \\ {C类}_{1} = C类, \\ {x个}_{1} = {项目}_{C类}^{（f）} {x个}_{0}, \\ 年_{n个} = \nabla {（f）}^{*} (α_{n个} \nabla （f） ({x个}_{n个}) + (1 - α_{n个}) \nabla （f） ({T型}^{n个} {x个}_{n个})), \\ {C类}_{n个 + 1} = {z（z） \in {C类}_{n个} : {D类}_{（f）} (z（z）, 年_{n个}) \leq {D类}_{（f）} (z（z）, {x个}_{n个}) + ξ_{n个}}, \\ {x个}_{n个 + 1} = {项目}_{{C类}_{n个 + 1}}^{（f）} {x个}_{0}, n个 \in N个, \end{matrix}

哪里

ξ_{n个} = 最大值 {0, \underset{第页 \in F类 (T型), x个 \in C类}{啜饮} ({D类}_{（f）} (第页, {T型}^{n个} x个) - {D类}_{（f）} (第页, x个))}

和 ${α_{n个}}_{n个 \in N个} \subset [0, 1)$ 序列是否令人满意 ${酸橙酱}_{n个 \to \infty} α_{n个} < 1$ .然后 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 强烈收敛于 ${项目}_{F类 (T型)}^{（f）} {x个}_{0}$ .

证明我们把证明分为五个步骤。

步骤1。我们证明了这一点 ${C类}_{n个}$ 对所有人来说都是封闭和凸的 $n个 \in N个$ .

很明显 ${C类}_{1} = C类$ 是封闭和凸的。假设 ${C类}_{米}$ 在某些情况下是封闭和凸的 $米 \in N个$ 我们看到了，因为 $z（z） \in {C类}_{米}$ ,

{D类}_{（f）} (z（z）, 年_{米}) \leq {D类}_{（f）} (z（z）, {x个}_{米}) + ξ_{米}

等于

〈 \nabla （f） ({x个}_{米}) - \nabla （f） (年_{米}), z（z） 〉 \leq {（f）}^{*} (\nabla （f） ({x个}_{米})) - {（f）}^{*} (\nabla （f） (年_{米})) + ξ_{米} .

(4.1)

让 $x个, 年 \in {C类}_{米 + 1}$ 和 $z（z） = t吨 x个 + (1 - t吨) 年$ ，其中 $t吨 \in (0, 1)$ 根据（4.1），我们已经

\begin{aligned} 〈 \nabla （f） ({x个}_{米}) - \nabla （f） (年_{米}), z（z） 〉 \\ = t吨 〈 \nabla （f） ({x个}_{米}) - \nabla （f） (年_{米}), x个 〉 + (1 - t吨) 〈 \nabla （f） ({x个}_{米}) - \nabla （f） (年_{米}), 年 〉 \\ \leq (t吨 + 1 - t吨) ({（f）}^{*} (\nabla （f） ({x个}_{米})) - {（f）}^{*} (\nabla （f） (年_{米})) + ξ_{米}) \\ = {（f）}^{*} (\nabla （f） ({x个}_{米})) - {（f）}^{*} (\nabla （f） (年_{米})) + ξ_{米} \end{aligned}

因此 $z（z） \in {C类}_{米 + 1}$ .因此 ${C类}_{n个}$ 对所有人来说都是封闭和凸的 $n个 \in N个$ 根据2.11号提案， ${项目}_{{C类}_{n个}}^{（f）} {x个}_{0}$ 对所有人都有明确的定义 $n个 \in N个$ .

第2步。我们证明了这一点 $F类 (T型) \subset {C类}_{n个}$ 为所有人 $n个 \in N个$ .

让 $第页 \in F类 (T型)$ 很明显 $F类 (T型) \subset {C类}_{1} = C类$ 。假设 $F类 (T型) \subset {C类}_{米}$ 对一些人来说 $米 \in N个$ 根据2.7号提案，我们有

\begin{aligned} {D类}_{（f）} (第页, 年_{米}) & = {D类}_{（f）} (第页, \nabla {（f）}^{*} (α_{米} \nabla （f） ({x个}_{米}) + (1 - α_{米}) \nabla （f） ({T型}^{米} {x个}_{米}))) \\ = {W公司}^{（f）} (α_{米} \nabla （f） ({x个}_{米}) + (1 - α_{米}) \nabla （f） ({T型}^{米} {x个}_{米}), 第页) \\ \leq α_{米} {W公司}^{（f）} (\nabla （f） ({x个}_{米}), 第页) + (1 - α_{米}) {W公司}^{（f）} (\nabla （f） ({T型}^{米} {x个}_{米}), 第页) \\ = α_{米} {D类}_{（f）} (第页, {x个}_{米}) + (1 - α_{米}) {D类}_{（f）} (第页, {T型}^{米} {x个}_{米}) \\ \leq α_{米} {D类}_{（f）} (第页, {x个}_{米}) + (1 - α_{米}) ({D类}_{（f）} (第页, {x个}_{米}) + ξ_{米}) \\ \leq {D类}_{（f）} (第页, {x个}_{米}) + ξ_{米} . \end{aligned}

(4.2)

这意味着 $第页 \in {C类}_{米 + 1}$ .因此 $F类 (T型) \subset {C类}_{n个}$ 为所有人 $n个 \in N个$ .

步骤3。我们证明了这一点 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 有界。

让 $第页 \in F类 (T型)$ 根据第2.12（iii）条，我们有

\begin{aligned} {D类}_{（f）} ({x个}_{n个}, {x个}_{0}) & = {D类}_{（f）} ({项目}_{{C类}_{n个}}^{（f）} {x个}_{0}, {x个}_{0}) \\ \leq {D类}_{（f）} (第页, {x个}_{0}) - {D类}_{（f）} (第页, {项目}_{{C类}_{n个}}^{（f）} {x个}_{0}) \\ \leq {D类}_{（f）} (第页, {x个}_{0}) \end{aligned}

为所有人 $n个 \in N个$ 。这意味着 ${{D类}_{（f）} ({x个}_{n个}, {x个}_{0})}_{n个 \in N个}$ 有界。根据命题2.9 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 有界。

步骤4。我们证明了 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 属于 $F类 (T型)$ .

自 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 有界且E类是反射性的，我们可以假设 ${{x个}_{{n个}_{j个}}}_{j个 \in N个}$ 是的弱收敛子序列 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 并用表示其弱极限 $\bar{x个}$ .自 ${C类}_{n个}$ 是封闭凸的，我们有 $\bar{x个} \in {C类}_{{n个}_{j个}}$ 为所有人 $j个 \in N个$ .通过下半连续性（f），我们有

\begin{aligned} {D类}_{（f）} (\bar{x个}, {x个}_{0}) & = （f） (\bar{x个}) - （f） ({x个}_{0}) - 〈 \nabla （f） ({x个}_{0}), \bar{x个} - {x个}_{0} 〉 \\ \leq \underset{j个 \to \infty}{lim信息} (（f） ({x个}_{{n个}_{j个}}) - （f） ({x个}_{0}) - 〈 \nabla （f） ({x个}_{0}), {x个}_{{n个}_{j个}} - {x个}_{0} 〉) \\ = \underset{j个 \to \infty}{lim信息} {D类}_{（f）} ({x个}_{{n个}_{j个}}, {x个}_{0}) \\ \leq \underset{j个 \to \infty}{酸橙酱} {D类}_{（f）} ({x个}_{{n个}_{j个}}, {x个}_{0}) \leq {D类}_{（f）} (\bar{x个}, {x个}_{0}) . \end{aligned}

这意味着

\underset{j个 \to \infty}{林} {D类}_{（f）} ({x个}_{{n个}_{j个}}, {x个}_{0}) = {D类}_{（f）} (\bar{x个}, {x个}_{0}) .

(4.3)

根据提议2.12（iii），我们有

\begin{aligned} \underset{j个 \to \infty}{林} {D类}_{（f）} (\bar{x个}, {x个}_{{n个}_{j个}}) & = \underset{j个 \to \infty}{林} {D类}_{（f）} (\bar{x个}, {项目}_{{C类}_{{n个}_{j个}}}^{（f）} {x个}_{0}) \\ \leq \underset{j个 \to \infty}{林} ({D类}_{（f）} (\bar{x个}, {x个}_{0}) - {D类}_{（f）} ({项目}_{{C类}_{{n个}_{j个}}}^{（f）} {x个}_{0}, {x个}_{0})) \\ = \underset{j个 \to \infty}{林} ({D类}_{（f）} (\bar{x个}, {x个}_{0}) - {D类}_{（f）} ({x个}_{{n个}_{j个}}, {x个}_{0})) = 0 . \end{aligned}

根据提案2.10，我们有 $∥ \bar{x个} - {x个}_{{n个}_{j个}} ∥ \to 0$ 作为 $j个 \to \infty$ 根据提议2.2，我们有

\underset{j个 \to \infty}{林} ∥ \nabla （f） (\bar{x个}) - \nabla （f） ({x个}_{{n个}_{j个}}) ∥ = 0 .

(4.4)

自 ${x个}_{n个} = {项目}_{{C类}_{n个}}^{（f）} {x个}_{0} \in {C类}_{n个}$ 和 ${x个}_{n个 + 1} = {项目}_{{C类}_{n个 + 1}}^{（f）} {x个}_{0} \in {C类}_{n个 + 1} \subset {C类}_{n个}$ ，我们有 ${D类}_{（f）} ({x个}_{n个}, {x个}_{0}) \leq {D类}_{（f）} ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{0})$ 。这意味着 ${{D类}_{（f）} ({x个}_{n个}, {x个}_{0})}_{n个 \in N个}$ 不会减少，并且 ${D类}_{（f）} ({x个}_{n个}, {x个}_{0})$ 作为存在 $n个 \to \infty$ 根据第2.12（iii）条，我们有

\begin{aligned} {D类}_{（f）} ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) & = {D类}_{（f）} ({x个}_{n个 + 1}, {项目}_{{C类}_{n个}}^{（f）} {x个}_{0}) \\ \leq {D类}_{（f）} ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{0}) - {D类}_{（f）} ({项目}_{{C类}_{n个}}^{（f）} {x个}_{0}, {x个}_{0}) \\ = {D类}_{（f）} ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{0}) - {D类}_{（f）} ({x个}_{n个}, {x个}_{0}) \end{aligned}

为所有人 $n个 \in N个$ 。这意味着

\underset{n个 \to \infty}{林} {D类}_{（f）} ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) = 0 .

(4.5)

根据提案2.10，我们有 $∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥ \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ 根据提议2.2，我们有

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) - \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥ = 0 .

(4.6)

自 ${x个}_{n个 + 1} \in {C类}_{n个 + 1}$ ，我们有 ${D类}_{（f）} ({x个}_{n个 + 1}, 年_{n个}) \leq {D类}_{（f）} ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) + ξ_{n个}$ 为所有人 $n个 \in N个$ 到（4.5），我们已经 ${D类}_{（f）} ({x个}_{n个 + 1}, 年_{n个}) \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ 根据2.10号提案，我们有 $∥ {x个}_{n个 + 1} - 年_{n个} ∥ \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ 根据提议2.2，我们有

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) - \nabla （f） (年_{n个}) ∥ = 0 .

(4.7)

根据的定义 $年_{n个}$ ，我们有

\begin{aligned} ∥ \nabla （f） ({T型}^{n个} {x个}_{n个}) - \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) ∥ \\ \leq \frac{1}{1 - α_{n个}} ∥ \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) - \nabla （f） (年_{n个}) ∥ + \frac{α_{n个}}{1 - α_{n个}} ∥ \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) - \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥ . \end{aligned}

根据（4.6）和（4.7），我们发现 ${酸橙酱}_{n个 \to \infty} α_{n个} < 1$ 那个

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ \nabla （f） ({T型}^{n个} {x个}_{n个}) - \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) ∥ = 0 .

(4.8)

我们有

∥ \nabla （f） ({T型}^{n个} {x个}_{n个}) - \nabla （f） (\bar{x个}) ∥ \leq ∥ \nabla （f） ({T型}^{n个} {x个}_{n个}) - \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) ∥ + ∥ \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) - \nabla （f） (\bar{x个}) ∥ .

根据（4.4）和（4.8），我们已经 $∥ \nabla （f） ({T型}^{{n个}_{j个}} {x个}_{{n个}_{j个}}) - \nabla （f） (\bar{x个}) ∥ \to 0$ 作为 $j个 \to \infty$ 根据命题2.3和2.8， $\nabla {（f）}^{*}$ 在以下有界子集上一致连续 ${E类}^{*}$ 因此 $∥ {T型}^{{n个}_{j个}} {x个}_{{n个}_{j个}} - \bar{x个} ∥ \to 0$ 作为 $j个 \to \infty$ .自（f）是渐近正则的，我们有

\underset{j个 \to \infty}{林} ∥ {T型}^{{n个}_{j个} + 1} {x个}_{{n个}_{j个}} - \bar{x个} ∥ \leq \underset{j个 \to \infty}{林} (∥ {T型}^{{n个}_{j个} + 1} {x个}_{{n个}_{j个}} - {T型}^{{n个}_{j个}} {x个}_{{n个}_{j个}} ∥ + ∥ {T型}^{{n个}_{j个}} {x个}_{{n个}_{j个}} - \bar{x个} ∥) = 0 .

这意味着 $T型 {T型}^{{n个}_{j个}} {x个}_{{n个}_{j个}} - \bar{x个} \to 0$ 作为 $j个 \to \infty$ .由于T型，我们有 $\bar{x个} = T型 \bar{x个}$ 因此 ${{x个}_{{n个}_{j个}}}_{j个 \in N个}$ 属于 $F类 (T型)$ .

步骤5。我们证明了这一点 ${x个}_{n个} \to {项目}_{F类 (T型)}^{（f）} {x个}_{0}$ 作为 $n个 \to \infty$ .

自 ${项目}_{F类 (T型)}^{（f）} {x个}_{0} \in F类 (T型) \subset {C类}_{n个}$ 和 ${x个}_{n个} = {项目}_{{C类}_{n个}}^{（f）} {x个}_{0}$ ，我们有 ${D类}_{（f）} ({x个}_{n个}, {x个}_{0}) \leq {D类}_{（f）} ({项目}_{F类 (T型)}^{（f）} {x个}_{0}, {x个}_{0})$ 为所有人 $n个 \in N个$ 到（4.3），我们已经

{D类}_{（f）} (\bar{x个}, {x个}_{0}) = \underset{j个 \to \infty}{林} {D类}_{（f）} ({x个}_{{n个}_{j个}}, {x个}_{0}) \leq {D类}_{（f）} ({项目}_{F类 (T型)}^{（f）} {x个}_{0}, {x个}_{0}) .

因此 $\bar{x个} = {项目}_{F类 (T型)}^{（f）} {x个}_{0}$ 自从 $\bar{x个} \in F类 (T型)$ .因此 $\bar{x个}$ 是的唯一强群集点 ${x个}_{n个}$ .因此 ${x个}_{n个} \to {项目}_{F类 (T型)}^{（f）} {x个}_{0}$ 作为 $n个 \to \infty$ 。这就完成了证明。□

如果 $（f） (x个) = {∥ x个 ∥}^{2} / 2$ 为所有人 $x个 \in E类$ ，则将定理4.1简化为以下推论。

推论4.2([11]，定理2.1）

让 E类 是一个反射性的,严格凸光滑Banach空间使得 E类和 ${E类}^{*}$ 有Kadec-克莱财产.让 C类 做一个不空虚的人,关闭,和的凸子集 E类.让 $T型 : C类 \to C类$ 是渐近拟-ϕ-中间意义上的非扩张映射.假设 T型 在上是渐近正则的 C类 并关闭,和 $F类 (T型) \neq \emptyset$ 是有界的.让 ${{x个}_{n个}}$ 是由生成的序列

{\begin{matrix} {x个}_{0} \in E类, 任意选择, \\ {C类}_{1} = C类, \\ {x个}_{1} = Π_{{C类}_{1}} {x个}_{0}, \\ 年_{n个} = {J型}^{- 1} (α_{n个} J型 {x个}_{n个} + (1 - α_{n个}) J型 {T型}^{n个} {x个}_{n个}), \\ {C类}_{n个 + 1} = {z（z） \in {C类}_{n个} : ϕ (z（z）, 年_{n个}) \leq ϕ (z（z）, {x个}_{n个}) + ξ_{n个}}, \\ {x个}_{n个 + 1} = Π_{{C类}_{n个 + 1}} {x个}_{1}, n个 \in N个, \end{matrix}

(4.9)

哪里

ξ_{n个} : = 最大值 {0, \underset{第页 \in F类 (T型), x个 \in C类}{啜饮} (ϕ (第页, {T型}^{n个} x个) - ϕ (第页, x个))},

$Π_{{C类}_{n个}}$ 是广义投影 E类 到上面 ${C类}_{n个}$ 和 ${α_{n个}}_{n个 \in N个} \subset [0, 1)$ 序列是否令人满意 ${酸橙酱}_{n个 \to \infty} α_{n个} < 1$ .然后 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 强烈收敛于 $Π_{F类 (T型)} {x个}_{1}$ ,哪里 $Π_{F类 (T型)}$ 是广义投影 C类 到上面 $F类 (T型)$ .

证明使用定理4.1证明中使用的技术 $（f） (x个) = {∥ x个 ∥}^{2} / 2$ 为所有人 $x个 \in E类$ ，我们发现序列 ${{x个}_{n个}}$ 由（4.9）生成的强收敛于 $Π_{F类 (T型)} {x个}_{1}$ . □

工具书类

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Tomizawa，Y.Bregman渐近拟单扩张映射在中间意义上的强收敛定理。不动点理论应用 2014, 154 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-154

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收到:2014年1月10日
认可的:2014年6月13日
出版:2014年7月22日
DOI程序:https://doi.org/10.1186/1687-18112-2014-154

Bregman渐近拟单扩张映射在中间意义下的强收敛定理

摘要

1引言

2准备工作

3中间意义上的Bregman渐近拟单扩张

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